精品解析：黑龙江牡丹江海林市朝鲜族中学2025-2026学年高一下学期数学4月月考试题

2025-2026学年度 第二学期 高一年级数学学科第一次考试（必修二第六章） 命题人：韩福淑 审核人：姜磊 班级：___________姓名：___________ 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据向量数量积的定义，即可得答案； 【详解】， 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的定义，考查运算求解能力，属于基础题. 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念及加法运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求出，从而可求解. 【详解】由，，所以， 因为，所以，得， 所以，故A正确. 故选：A. 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是 A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出． 【详解】由余弦定理得，则，即，所以. ∵ ∴是等边三角形. 故选D. 【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，熟练掌握余弦定理是解答本题的关键． 6. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由向量和满足，，， 可得，解得， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：A. 7. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的夹角为钝角等价于且不共线，即可计算出答案. 【详解】依题可得，且不共线，即 解得且. 故选: 【点睛】本题考查向量的坐标运算.属于基础题.解本题时需要注意的是与的夹角为钝角等价于且不共线，不共线是非常容易遗忘的. 8. 在中，内角所对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用基本不等式，将等式转化为不等式，再根据三角函数的性质以及等号成立的条件，转化为，再利用正弦定理化边为角，即可求解. 【详解】由题可得， ，，当且仅当取等号， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用基本不等式求得，进而得，求得角，从而解决问题. 二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若的三角形有两解 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数. 【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得， ，所以，即，故A正确； 对于B，由余弦定理得， 化简得，故为等腰三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理， 因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误； 对于D，若，则由正弦定理得， 因为，所以三角形有两解，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设，则， 当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以， 当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：AD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11. 数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 若的平分线与BC交于点D，则AD的长为 C. 若D为BC的中点，则AD的长为 D. 若O为的外心，则 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意由正弦定理可得，根据余弦定理和三角形面积公式可求得，再由正弦定理可得A错误；利用解法一：利用角平分线相关长度公式直接代入边长、夹角计算；解法二：几何作高法，过作垂线，用面积求；解法三：向量法，由角平分线定理得向量表达式，平方模长计算；解法四：余弦定理联立，结合角平分线分对边比例，分别在两个小三角形列方程求的长为，即B正确； 利用解法一：向量中线公式，平方计算模长；解法二：中线长公式直接代入；解法三：在中用余弦定理，结合求得，即C错误；利用解法一：外接圆直径投影法，延长AO为直径，利用直径所对圆周角为直角，向量投影得结果为；解法二：外心性质+中点法，取AB中点H，由得向量点积性质，分别计算、再相加，可得D正确. 【详解】由及正弦定理可得， 不妨设，，，利用余弦定理可得， 由，可得，所以. 又，解得，所以，，. 对于A，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得，所以，故A错误； 对于B，解法一：由得，， 即，故B正确； 解法二：分别作BE，CF垂直于AD，垂足分别为E，F，如图①所示， ，故B正确； 解法三：由内角平分线定理知，， 所以，则，所以，故B正确； 解法四：由内角平分线定理知，，所以，， 因为， 所以，即， 所以，所以，故B正确； 对于C，解法一：若D为BC的中点，易知，如图②所示， 所以，可得，故C错误； 解法二：因为，， 所以，即， 所以，所以，故C错误； 解法三：由余弦定理知，， 在中，，所以，故C错误； 对于D，解法一：延长AO交外接圆于点，连接，，如图③所示， 易知即为直径，所以可知，， 利用投影向量的几何意义可得： ，故D正确. 解法二：取AB的中点H，连接OH，OA，如图④所示， 则，所以，同理， 所以，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分） 12. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用大边对大角确定最大角，再用余弦定理计算最大角即可. 【详解】不妨设，则c边对的角C最大，令， 得，而，故， 所以此三角形的最大角为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题. 13. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】将题设将变形为，再结合共线定理的推论即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 14. 向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为_________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理将分别按照和为基底展开，对照系数列出方程组求解即得. 【详解】依题意， ①， 选择平面的基底为时，不妨设，则 ②， 将① 式与②式对照即得：，解得 即向量在基底下的坐标为. 故答案为：. 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为. （1）写出向量的坐标; （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】(1) 由向量的坐标运算即可求解； (2) 由平行四边形的性质结合向量相等即可求出D的坐标. 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 设，由，可得， 所以，故. 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2） ， 又，故， 故三点共线. 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 17. 已知，与的夹角为60°. （1）求的值； （2）当实数为何值时，与垂直? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式先求，再通过​将模长问题转化为数量积运算求解； （2）利用向量垂直的充要条件，展开数量积并代入已知条件，建立关于的方程求解. 【小问1详解】 (1)由已知得， 所以. 【小问2详解】 因为与垂直，所以， 即，所以. 18. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可； （2）利用余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得， 则， 所以. 19. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可求角； （2）利用三角形面积公式以及余弦定理计算可得，即可得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理知， 在中，， 所以. 又，，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意可知的面积. 因为，所以. 由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 故的周长为12. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度 第二学期 高一年级数学学科第一次考试（必修二第六章） 命题人：韩福淑 审核人：姜磊 班级：___________姓名：___________ 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是 A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若的三角形有两解 10. 已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 若的平分线与BC交于点D，则AD的长为 C. 若D为BC的中点，则AD的长为 D. 若O为的外心，则 三、填空题(每小题5分，共15分） 12. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 13. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 14. 向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为_________． 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为. （1）写出向量的坐标; （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标. 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 17. 已知，与的夹角为60°. （1）求的值； （2）当实数为何值时，与垂直? 18. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 19. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $