精品解析：黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷

2023-2024学年度第二学期 高一年级数学学科第二次考试（人教版六章-九章） 命题人：闵哲植 审核人：姜磊 班级：___________姓名：___________ 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是． A. 空间任意三点 B. 空间两条直线 C. 空间两条平行直线 D. 一条直线和一个点 【答案】C 【解析】 【分析】根据每个选项，可举出相应反例进而得到结果. 【详解】A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；B. 空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；C. 空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；D. 一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断． 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量，单位向量，相等向量定义判断即可. 【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定相等向量，故B错误； 对于C：向量不可以比较大小，故C错误； 对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确. 故选：D 3. 电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（ ）. A. 100 B. 160 C. 200 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽取比例相同求解即可. 【详解】解：由3个区人口数之比为2：3：5，得第三个区所抽取的人数最多，所占比例为50%． 又因为此区抽取了100人，所以3个区所抽取的总人数为100÷50%=200，即这个样本的容量为200． 故选： C． 4. 在中，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求角B，然后由正弦定理可得. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得，解得. 故选：C 5. 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，b⊂β，那么直线a与直线b一定（ ） A. 平行 B. 异面 C. 垂直 D. 不相交 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的定义结合两直线的位置关系的判定即可判断. 【详解】由平面α∥平面β，则两平面没有公共点，那么直线a与直线b一定没有公共点，但可以是平行或异面. 故选：D 6. 在正方体中，异面直线AB1与BD的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则为异面直线AB1与BD所成的角，故可得出结果. 【详解】异面直线与夹角等于与夹角； 连接，则为异面直线AB1与BD所成的角， 为正三角形，所以， 所以异面直线与夹角为. 故选：B 7. 下列命题正确的是(　　) A. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面 D. 平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行 【答案】D 【解析】 【详解】A错误；平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面； B错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面； C错误；与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内； D正确；设故做一平面，则， 又故选D 8. 如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面ABC⊥平面ABD B. 平面ABD⊥平面BDC C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE. 故选：C 二、多选题（每小题5分 共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ） A. 质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验 B. “隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的 C. 老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性 D. 某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑 【答案】AD 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的定义，逐项分析判断即可. 【详解】选项A：“一次性”抽取与逐个不放回的抽取等价，符合不放回简单随机抽样要求，故正确； 选项B：老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”，故错误； 选项C：因为总体容量是无限的，不符合简单随机抽样要求，故错误； 选项D：8条跑道，抽取1条，总体有限，每个个体被抽到的机会均等，是简单随机抽样，故正确. 故选：AD 10. 以下结论正确的有（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 【答案】AB 【解析】 【分析】利用直棱柱的定义可判断A选项；利用柱体的体积可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用棱台的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，A对； 对于B选项，根据柱体体积公式可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等，B对； 对于C选项，如在圆锥中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形， 设截面为，设为底面圆的一条直径， 若为钝角，当时，截面三角形的面积最大，C错； 对于D选项，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，只有当侧棱的延长线交于一点，这样的几何体才是棱台， 但D选项中几何体侧棱的延长线并不一定会交于一点，故几何体不一定为棱台，D错. 故选：AB. 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 12. 在正四棱柱中，是棱的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】画出正四棱柱，根据异面直线所成角的定义可判断A正确，B错误，利用面面垂直的判定定理可得C正确，利用线面角定义可知D错误. 【详解】如下图所示： 对于A，因为，所以为直线与所成的角或其补角， 易知，即为等边三角形，所以，即A正确； 对于B，因为，所以为直线与所成的角或其补角， 若，则，即满足，而不满足上式，即B错误； 对于C，易知，满足，所以， 又，可得平面， 又平面，所以平面平面，即C正确； 对于D，连接交于点，由正方形性质可得， 由直棱柱性质可知平面，又平面，所以； 又，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 因为，所以，故D错误； 故选：AC 二、填空题(每小题5分，共20分） 13. 平面向量，则=___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法和乘法坐标公式计算出答案. 【详解】. 故答案为： 14. 若复数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解. 【详解】, , 故答案为： 15. 如图，三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理得到边长相等判断等腰三角形，再作出高线并求出面积，利用等体积法求解即可. 【详解】因为侧棱与底面垂直，所以面，平面， 所以，， 而，由勾股定理得， 因为三棱柱的底面为正三角形，所以， 由勾股定理得，所以， 在中，如图，作，所以是中点， 所以，由勾股定理得，故， 设点到平面的距离为，由等体积公式得， 故，解得， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 16. 如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出半径之比，从而可求体积之比. 【详解】根据球的表面积公式，可求得两个球的半径之比为， 利用球的体积公式可得出两个球的体积比为 故答案为：. 四、解答题（17题10分，其它每小题12分，共70分） 17. 一支田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取多少人? 【答案】16 【解析】 【分析】先求出男运动员人数，再由每名运动员被抽到的概率都是，即能求出男运动员应抽取的人数. 【详解】因为田径队共有运动员98人， 其中女运动员有42人， 所以男运动员有56人， 又每名运动员被抽到的概率都是， 所以男运动员应抽取56×=16(人). 18. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】如图，连接BD交AC于点O，连接OE，可得OE是的一条中位线， 进而得出OE∥BD1，根据线面平行的判定定理即可证明. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O. 在正方体中容易得到O为BD的中点，又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1. 又OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 19. 20名学生某次物理考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数. 【答案】（1） （2）[50,60)为人，[80,90)为人 【解析】 【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值； （2）根据频率分布直方图分别求出成绩落在与的频率，再乘以20可得答案. 【小问1详解】 由图易知， 解得. 【小问2详解】 成绩落在）中学生人数为（人）. 成绩落在）中学生人数为（人）. 20. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线性运算的坐标表示及模的坐标表示求解即得. （2）利用向量的坐标求出、及，再利用向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 由向量，，得， 所以. 【小问2详解】 依题意，，， 则，， ， 因此， 所以向量与夹角的余弦值是. 21. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若的面积为，求AC； （2）在（1）的条件下，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，的面积为，先求得BC，再利用余弦定理求解； （2）根据，，，利用正弦定理求得，再利用二倍角公式求解. 【小问1详解】 解：在中，，，的面积为， 所以， 即，解得． 在中，由余弦定理得， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为，，， 在中，由正弦定理， 所以． 所以． 22. 在三棱柱中，底面是正三角形，，侧棱平面，、分别是、的中点，且． （I）求证：平面； （Ⅱ）求到平面的距离． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）推导出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得平面； （Ⅱ）根据题意得出，进而可计算出，由（I）知平面，设点到平面的距离为，利用等体积法可得出有关的等式，解出即可. 【详解】（Ⅰ）在三棱柱中，平面， 平面，所以． 在中，，，所以． 又，所以平面． 因为平面，所以． 又，，所以平面； （Ⅱ）在矩形中，因，所以， 则，即， 即，得． 在中，， 由（Ⅰ）知平面，所以为到平面的距离， 在中，， 设点到平面的距离为，则，即， 即， 所以， 解得． 所以点到平面的距离为. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期 高一年级数学学科第二次考试（人教版六章-九章） 命题人：闵哲植 审核人：姜磊 班级：___________姓名：___________ 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是． A. 空间任意三点 B. 空间两条直线 C. 空间两条平行直线 D. 一条直线和一个点 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 3. 电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（ ）. A. 100 B. 160 C. 200 D. 240 4. 在中，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5. 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，b⊂β，那么直线a与直线b一定（ ） A. 平行 B. 异面 C. 垂直 D. 不相交 6. 在正方体中，异面直线AB1与BD的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是(　　) A. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行 B. 平行于同一个平面两条直线平行 C. 与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面 D. 平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行 8. 如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面ABC⊥平面ABD B. 平面ABD⊥平面BDC C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 二、多选题（每小题5分 共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ） A. 质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验 B. “隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的 C. 老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性 D. 某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑 10. 以下结论正确有（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 等底面积、等高两个柱体，体积相等 C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 12. 在正四棱柱中，是棱的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 二、填空题(每小题5分，共20分） 13. 平面向量，则=___________. 14 若复数，则__________． 15. 如图，三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为______. 16. 如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________． 四、解答题（17题10分，其它每小题12分，共70分） 17. 一支田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取多少人? 18. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE. 19. 20名学生某次物理考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数. 20. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 21. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若的面积为，求AC； （2）在（1）的条件下，若，求． 22. 在三棱柱中，底面是正三角形，，侧棱平面，、分别是、的中点，且． （I）求证：平面； （Ⅱ）求到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $