黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题

最学参考答案 定圆候的外接球的球心和半轻，判断C,翻折△SB,使S,AB,C四点共面，即可确定S5+C的最小值 题号 】 2 3 5 6 7 10 答案 D BC ABD 【详解】由条件可知，SC=√S0+OC,√6，圆锥S0的侧面积为xx5x√6=3反x,故A错误 题号 11 答案 ABD B当O0是VC的高时，成时vVC的面积和三楼幢S-C的体软大，体职的大值是时25x厅x厅-5， 故B正确： 8.A 【分析】先分析出侧面PAB与底面ABC的夹角对应的平面角，结合面积关系及基本不等式得到PA,PB的关系，求出三梭 C因为50-0C,所以圆能S0外核球的球心即为点O,半径为，5，所以外接球的体积为（可。4x,放C正确： 锥P-ABC的体积最小时PA,PB的值，进面求出三校推P-ABC的外接球的表面积 D.若AB=BC,则VABC是婷腰直角三角形，AB■BC■√6，SAmSB=6, 【详解】不妨设PA=a,PB=b,作PE⊥B交AB于点E,如图所示， 所以△SB是等边三角形，如图，将△S4B沿AB翻折，使S,AB,C四点共面， 此时S,B,C三点共线时，SE+EC的最小值是SC, △SBC中，S8=BC=V6∠SBC=60'+90=150， 由余弦定理可知，.SC 6+6-2x6x√6 =√246万=3+5，故D正确 2 因为PAPB,PC两两相互垂直，所以PC⊥PA,PC⊥PB, 又PA.PBC平面PAB,PAOPB=B, 所以PC⊥平面PAB,因为ABC平面PAB, 所以PC⊥AB,又PE⊥AB,PCOPE=P,PC,PEc平面PCE, 故选：BCD 所以AB⊥平面PCE；CEC平面PCE, 所以AB CE，,则∠CEP为侧面PAB与底面ABC的夹角，即∠CP=4S 11.ABD 在Rt.CPE中，PE=PC=反， 【分析】根据题盒可得圈定平面OB,求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得∠4CB>于，即A正确，利用线面角 圈为5w-PE,=号F8, 定义作出其平面角可得B正确，由三棱谁锥体体积公式计算可得可判断C错设，求得三梭锥O一ABC的外接球的球心位 2 厦和半径即可求得D正确 所以b=5后+8，即8=2（口+8） 【详屏】如下图所示 又d8=2(d+b)24ab,所以ab之4（当且仅当a=b=2时取等号） c-火na0-地x万号c动229（省且仅当0b2时取特号）. 6 当三校锥P-ABC体积最小时，a=b=2,,设外接球的半径为R 则(-d2++Pc++阿-10，得产-月 所以外接球的表面积5=4xR=10x, 故选：A 品知04-0-l0C=4,由Oi.OB=0可得0410B: -10.BCD 固定平面OA8,由二面角O-AB-C的大小为120可知C为一个与平面OAB夹角为60的平面与O的交点（在AB的右侧）， 「分析】代入图锥的侧面积公式，判斯A,根据点B的位置，确定三校锥体积的最大值，判斯B,根据恩中的条件，确 如田中过平面ABC的建战形成的劣须ACB所示 答案塘1页，共4项 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 取AB的中点为M,作OP1平面ABC,则有∠OMP=60, ◆丽=Ci且0<nc4,故.号c而+C, 又s知OM=25PM=.on-6.l4-而， 由8PD三点共做，则号+片=1sr-之 如下图所示： 曲而-而-西a-则.丽-西+网a-网a+o网o-网 所而-西+-@a+网a-网-河西-国 C在劣或石上运功， 号，则.而-{@-扣a丽-a-aa, 即可丽=-6C丽D,而CC丽=C币.丽，则2m6. 5.08-g 22W5+6 对于A高知∠ACB=一∠D8=X-∠P(>受，因此可得VABC是饶角三角老，甲A正确 16. 对于B,设直线OC与平面ABC所成的角为8， 【详解】(1) 同0听“而了，为定值即B正确 对于C,作CH⊥AB, 易知三校镇O一ABC的体积的最大值为 6cxo-5c-54c4-g5c-而-同，pc 对于D,设三棱锥O-ABC的外接球的球心为2，如下图： 连接，CA由M,N分别是BC,8队的中点，提据中位线性质。∥4C,且N=空-1， 由棱台性质，4G∥4C,于是ACW∥4G,由N=AG=1可知，四边形MNAG是平行四边形，则4NIMC, 又4Nc平面C,MCC平面GMH,于是4N平面MC (2)过AM作MB⊥AC,垂足为E,过B作EF⊥AG,垂足为F,接F,CB 由MEc而ABC,AA⊥国ABC,故4⊥AB,又E⊥AC,ACnAA=A,AC,A4C平面4CC4,则ME⊥平面4CC4. 由于P是VABC的外心，则PQL平面ABC,因此O,P,2三点共线， 由4GC平面ACCA,故ME⊥AG,又F⊥AG,MEOEF=B,MB,EFc平面MEF,于是4G⊥平面EF, 设02=r, 由AFc平面AEF,故4G⊥MF.于是平面AMC与平面ACCA所成角即∠AFE. 在vaP2中由约股定理可得-同+认阿-户，解精7-名 2 因此三校猴0-A8C的外接球的表面积为：标x,即D正晚 又@：l,mCG方则面C4G-方故rak血C4G方，在uF中，r0,则 63 故选：ABD 若 12.5 13.6 14.6 干是AE器-号 【详解】由02DC,则西=区，放西-区+C可-cD+C网-西+丽， 答案第2项，共4项 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 设点C到平面AMC的距离为方 名xGPx5ac2x同'- eu-nas分ix29-含 1 北ac化ew台受子即hr h2 (3)仿法一：几月法 17.(00.01 26 (3)冲位数为78，平均敷为765 18.(1)证明见解折 过G作GP⊥4C,垂足为P,作CQ⊥AM,垂足为Q,连接P2,PM,过P作PR⊥C2,垂足为R 在器号 由年G4-G-,Gw-厚m6,昆c0-闾9 【详解】(1)在矩形ABCD中，AB=AD=1, 二庭面ABCD为正方形，点AC⊥8D, 由CP⊥平面AC,AMc平面AhC,则CP⊥AM,又CQ⊥AM,COnCP=G,C2,GPc平面CPQ,于是M⊥ 又：在长方体BCD-4BGD中，DD⊥平面ABCD, 平面GP. ACc平面ABCD,:DD⊥AC, 又PRc平面GP2,则PR⊥AM,又PR⊥CQ,CQNAM=Q,C2AMc平面CAMM,放PR⊥平面GMM 又：BDADD=D,BD,DDc平面BDDB, 在G0中，PR.Gg.2 AC⊥平面BDD民，又ACc平面PAC, 2 0G3531 平面PAC⊥平面BDD,8: 又CA~2PA,故点C到平面CMM的距离是P到平面GMM的距燕的两倍 (2)在长方体ABCD-A8CD中，AD/IBC且4A=BC, 即点C到平面G的距离是子 :四边形A6C0为平行四边形，故AB/DC, 方法二：等体积法] “直线4B与平面BDD,马所成的角等于直线DC与平面BDD民所成的角， 设ACnBD=O,违接DO, 由(I)知AC⊥平面BDDB即CO⊥平面BDD,A, .∠CD,O为直线D,C与平面BDD8所成的角， 在正方形BCD中，B=i,则4C=反.c0=5, 编助战同方法一 在RtaCD0中，CD=lD0=3,则CD,=P+3=而， 答案第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 由M为C边中点，得=西+不G, 5, ae40-器斋将 所外@+©-F++ke-5+号 ÷直线4B与平面800A所成的角的正弦值为 16 所以当且仅当6=G时，M取得桑大值号】 (3)假设存在点2使得P2I平面4CP,由(1)知4AC⊥平面BDD,A, 又P2C平面BDDR,所以AC⊥P2, :P⊥平面ACP,POc平面ACP,:P2⊥PO, 设B0■B瓦，1eR,则由P0LP而→P西-PO=0, 即(P0+D+羽P师+D网)=0， o岛隔高岛 又点P为DD的中点， XSe1PDLSncalPELS1PFl.Sora +Sanc +Sone-Soc 所以（丽+丽+丽丽+丽-0， 则ePDl+alPB1+blPF外2Sx,由三缩分式型柯西不等式有7=eIPDI'PET6PF产2S皮 2+9×3日≥6+c+9y26+0+9y 3be 即丽-号8丽+丽-0， 3 当且仅当PDPP丽，即P=3业叫-3P时时取等号， 网-3网=D+.反， 由余弦定理d2=b+2-2bcco4,得9=分+2-b加，即36c=(6+c-9, 所2-号+阿-0，解得=品 所似2-as号403-号名龄器-音 b+c>a=3 由 得3<b+cs6,当且仅当b=c时取等号 +-9=ws3学 6+c+9y2 因此7≥20+e49256c49咒，◆1=6+e+9e021.8+2a-可-928 V3bc6+c于-9 7218. 3 当且汉当名即==6球，儿加器骨1-名 19.a)4- 因此当b=c3时，256+6+9取得最小值05，此时7≥05， (6+c-9 3 85 则当1PB3引PD外3引PF1与b=0=3时，T取得最小值05 【详解】(1)在VABC中，由binM+atan4cosB=2 asinC,得bsin AcosA+asinAcosB=2 asinCcosA, 此时v8C的面积Sc:5x35 由正弦定理得si血Bsin Acos A+s由4 sinAcosB=2 sin AsinCcosA,而snA>0, 则2si抽CcosA=sin BcosA+sin4cosB=sin(M+B)=sinC,又sinC>0, 因此o4一子面0<<，所似4月 (2)由(1)及余独定理3■d■b+2-2bcco4=b2+c2-bc22bc-bc=bc,当且仅当b=c时取等号， 答案第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp兆瓣中学2025一2026学年度下学期第三次月考 班级 高一学年数学 学科试题 题人：高一数学组 审题人：高一数学组 姓名 考试用时：120分钟 总分：150分 一、 选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的 考场 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足(3+41)z=5i,则：的共轭复数z的虚部为（) 考号 8.子 2.甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有3000名学生，为统计三校学生某 座位号 方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为74的样本，应在这三校分别抽 取学生() A.20人，24人，30人 B.30人，24人，20人 C.24人.30人.20人 D.20人，30人，24人 3.已知向盘a,6,满足a=山V月，同-1，a话=2，则云与的夹角为（） A君 .号 c 4.在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82,84,80,93， 85,87,89,88,91,88,这组数据的第80百分位数为（) A.88 B.89 C.90 D,91 5,设a、B为两个平面，m、n为两条直线，且a∩B=州.下述四个命题： ①若mHn,则nlla或nlHp ②若m⊥n,则n⊥a或n1B ③若nlla且n1HB,则mln ④若n与a,P所成的角相等，则m⊥n 其中所有真命题的编号是() A.①③ B.②④ c.①②③ D.①③⊙ 6,己知直三梭柱ABC-ARG的所有搜长都相等，M为AG的中点，则AM与BC所 成角的余弦值为 A,正 B. c. . 3 3 4 4 高一数学 第 7.如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，则原 平面图形的面积是（) D A.2+V2 B.1+V2 G 22 0.1+② 2 8.在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两相互垂直，PC=√互，侧面PAB与底面ABC的夹角为45°， 当三梭锥P-ABC的体积最小时，三枚锥P~BC的外接球的丧面积为() A.10n B.18π C.20π D.40π 二、多进愿：本题3个小题，年小题6分，共18分.在每个小题给出的四个进项中，有 多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得·分 9.某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图， 单位/万元 ◆收入…支出 00 80 60 50 30 20 10 T立寸4678910品2月份 已知！利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是（) A.该企业2025年1月至6月的.总利润高于2025年7月至12月的总利润 B.该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入 C,该企业2025年8月至12月的支出持续增长 D,该企业2025年11月份的月利润最大 10,如图，AC为圆锥SO底面圆0的直径，点B是圆0上异于A,C的动点，S0=OC=V5,则下 列结论正确的是（) 1页（共3贯） A.圆锥SO的侧面积为3π B.三校锥S-ABC体积的最大值为√ C.圆锥S0外接球体积为4W5π D.若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为3+√5 11.已知A,B是球0的球面上两点，C为该球面上的动点，球0的半径为4，OA,OB=0,二面角 0-AB-C的大小为120，则（) A.△ABC是钝角三角形 B.直线OC与平面ABC所成角为定攸 C.三校维O-ABC的体积的最大值为8√互D.三棱锥O-ABC的外接球的丧面积为 128 3 三、填空题：本题共3个小题，年小题5分，共15分. 12.已知复效：2生，其中1为虚效单位。则圳 13。现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8：乙组数据有10个数，其 平均数为6，方差为2.若将这两组数据混合成一组，则新的致据的方差为 14.如图，在AABC中， A=万，D=2DC,E是AB中点，CE与D交于点P,若存在实数A使 CB 得可C阳=2.D成立，则夹数1= 四。解答题：本题共5个小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 bcosC=2a-c. (1求角B的大小： (2若b=2V5,且△ABC的面积为2N5,求AABC的周长， 16.如图，在三棱台ABC-ABG中，AA⊥平面ABC,B⊥AC,AB=AC=4=2,AG=1,M为BC 高一数学 第 中点，N为AB的中点， (1)求证：4W∥平面MC: (2)求平面AMC与平面ACCA所成夹角的余弦位： 3)求点C到平面AMC的距高. 17.2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宜传周，为提高同学们的垃圾 分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛“，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了 100名学生的竞赛成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进 行整理后，按[0,60)，[60,70)，[70,80)，80,90)，[90,100]分为5组，得到如图所示的频率分布直 方图. 频竿 组距 0.035 0.025 0.020 0 5060708090100竞赛成城/分 (1)求图中a的值， (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在[80,100]内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学 生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在[90,100]内被抽取的人数. (3]估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均效： 2页（共3页） 18.如图，长方体ABCD-ABGD中，AB=AD=1,A=3,点P为DD的中点. D B (1)求证：平面PAC⊥平面BDDB: (2)求直线AB与平面BDDB所成的角的正弦值： 3)在直线BB上是否存在点Q使得P2L平面ACP,若存在，则此时 B2为多少：若不存在，请说明理由。 B 19.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinA+atanAcosB=2 asinC, (1)求A. 2)若M为BC边的中点，BC=√5，求AM的最大值 (3)奥古斯丁·路易斯•柯西（Aug4 stin Louis Cauchy,1789年一1857年)是法国著名数学家.柯西在数 学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其 中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用.现保持(1)的条件不变，若a=3,P是ABC 内一点，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F,借助三维柯西不答式： (:+y2+xy)》2≤(++0y+疗+)，其中五，名，为，，2，为∈(0，∞)，当且仅当 立=立=支时，等号成立.当T=1+CLC取得最小值时，米A△ABC的面积. yy2为 1 PDIPE引IPF 高一数学 第3页（共3页）