8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【八大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点梳理】 · 考点一：圆柱的表面积和体积 · 考点二：圆锥的表面积和体积 · 考点三：圆台的表面积和体积 · 考点四：球的表面积和体积 · 考点五：求组合体的体积和表面积 · 考点六：球与多面体相切问题 · 考点七：旋转体的体积和表面积 · 考点八：圆柱、圆锥、圆台、球综合问题 【知识梳理】 知识一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知识二　圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台＝(S＋＋)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 知识点三　球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径). 2.球的体积公式V＝πR3. 【题型归纳】 题型一：圆柱的表面积和体积 【典例1】．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可. 【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高， 则圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 则，故B正确. 故选：B. 【变式1】．（2019·天津河东·一模）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______. 【答案】 【分析】首先根据正弦定理求出正三角形边长与圆柱底面半径的关系，然后根据三棱柱体积求出圆柱底面半径，进而根据圆柱侧面积公式求出侧面积的值. 【详解】设底面正三角形的边长为，则正三角形的高为. 由于直三棱柱的底面是正三角形且在圆柱底面内，可知正三角形的外接圆半径为. 所以根据正弦定理，所以. 易知圆柱母线， 所以三棱柱的体积为. 所以. 那么圆柱的侧面积为. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二上·上海静安·期中）已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为，则该圆柱的表面积为_____. 【答案】 【分析】根据条件，可求出圆柱的底面直径，母线长，然后根据圆柱的表面积公式求解 【详解】由于圆柱的轴截面是正方形，面积为，即正方形的边长是， 则圆柱的母线长是，底面直径是， 于是圆柱的底面积是，侧面积是， 于是表面积是. 故答案为： 题型二：圆锥的表面积和体积 【典例2】．（2026·青海西宁·一模）已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的母线为l，则由题意知，所以， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积与圆柱的体积比为. 5．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设底面圆的半径为， 在等腰三角形中，由余弦定理： 代入，，，得： 即，解得。 圆锥表面积. 6．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误. 【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为 而，故当，，故D正确. 题型三：圆台的表面积和体积 【典例3】．（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的长度，再利用圆台侧面积公式进行求解. 【详解】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，，    ，，. 故选：D. 【变式1】．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 【变式2】．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直角梯形绕直角边旋转，形成圆台，然后通过梯形的边长确定圆台上、下底面半径及母线长，最后利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】 如图所示，直角梯形绕直角边旋转一周得到圆台，其中： 上底面半径，下底面半径，母线长为边的长度. 在梯形中，， 则圆台的侧面积． 故选：A. 题型四：球的表面积和体积 【典例4】．（25-26高一下·湖南·月考）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得到半球的底面半径和圆锥的高之间的关系，进而求出圆锥的母线长，再利用余弦定理即可求出圆锥轴截面顶角的余弦值，进而得到答案. 【详解】 设圆锥与半球的底面半径为R，圆锥的高为h，母线长为，轴截面的顶角为. 则由可得，即. 所以圆锥的母线长， 则由余弦定理可得， 所以圆锥轴截面顶角的余弦值是，故其正弦值是. 【变式1】．（2026·湖南常德·二模）一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为，由已知可得，，计算侧面积与球的表面积的比值. 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 【变式2】．（2026·河南洛阳·模拟预测）将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 题型五：求组合体的体积和表面积 【典例5】．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，设球的半径为，则圆锥的底面半径是，再设圆锥的高为， 则有，解得， 所以圆锥的高与底面半径之比为． 【变式1】．（22-23高一下·贵州贵阳·期中）如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为，则其体积为________________.    【答案】 【分析】根据给定条件，求出中间圆柱的高，再利用球和圆柱的体积公式求解作答. 【详解】依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半径为1，高为的圆柱组合而成， 于是几何体的表面积，解得， 所以该几何体的体积. 故答案为： 【变式2】．（22-23高一下·山西运城·期中）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．    (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 【答案】(1)该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体 (2)表面积；体积为 【分析】（1）由旋转体的结构特征分析， （2）结合图中的数据求，. 【详解】（1）该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体． （2）由图中的数据可知圆锥的底面半径为2，母线长为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为2，球的半径为2， 所以 ， 该几何体的体积为： ． 题型六：球与多面体相切问题 【典例6】．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 【变式1】．（2026·陕西·二模）图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由体积关系可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，结合图形可得，即可求解． 【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为， 所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图， 则， 则其外接球的半径为, 解得，所以， 【变式2】．（25-26高一下·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长，对角线，外接圆半径. 下底面边长，对角线，外接圆半径. 设正四棱台的高为，则体积为，解得. 过正四棱台的对角面作截面，设外接球的球心为P，截面图如下： 设，则，所以， ，所以， 即，解得，所以外接球的半径为， 所以正四棱台的外接球的表面积. 题型七：旋转体的体积和表面积 【典例7】．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【分析】根据球体的表面积和体积公式，圆锥表面积，圆台体积公式即可求解． 【详解】过点C作，垂足为F，则，， 所以， ； ． 【变式1】．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)5，7； (2)， 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可． 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为， 周长为； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 则旋转体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和， 即， 表面积为． 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】 【分析】由题意可得该几何体为一个圆台从半径较小的底面挖去一个圆锥，由圆台、圆锥的表面积、体积公式运算即可得解. 【详解】由，得． 又因为，所以． 因为，， 所以． 所以几何体的表面积 ． ． ． ． 题型八：圆柱、圆锥、圆台、球综合问题 【典例8】．（25-26高一下·福建厦门·月考）（1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积. （2）在正四棱台中，，求棱台的体积. 【答案】（1）体积，表面积为；（2）. 【分析】（1）由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式和表面积公式求球的体积和表面积； （2）根据题意求出、，则计算出、，根据棱台体积公式计算即可. 【详解】（1）设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆，， 在中，， ， ∴球的半径， 因此球的体积，球的表面积为； （2）如图，过作，垂足为， 易知为四棱台的高，因为， 则，， 故，则， 所以所求体积为. 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm． (1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1) (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克） 【答案】(1) (2)克 【分析】（1）分别求出两个半球的体积和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解． 【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是． （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 【变式2】．（24-25高二上·贵州遵义·期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为. (1)求这种“笼具”的体积； (2)现用的纱网材料制作这种“笼具”，问可以制作多少个“笼具”？ 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先根据条件求圆柱的底面半径，圆锥的高，再分别求圆柱和圆锥的体积，用圆柱的体积减去圆锥的体积即为该“笼具”的体积. （2）分别求圆柱的侧面积、1个底面积和圆锥的侧面积，相加即得该“笼具”的表面积，再用总面积除以“笼具”表面积，可得可制作“笼具”的个数. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则， 设圆锥的高为，则. 设圆柱的高为，则. 所以， , 所以该“笼具”的体积为. （2）因为圆柱的侧面积为 圆柱的一个底面积为， 圆锥的侧面积为. 所以该“笼具”的表面积为. 因为，所以的纱网材料可制作这种“笼具”20个. 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·月考）已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 【答案】C 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为，根据题意，求得，得到，即球的半径为，结合球的表面公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，解得， 又因为圆锥的高为，可得，解得， 即圆锥的底面圆的半径为，母线长为，即球的半径为， 所以球的表面积为. 2．（25-26高一下·山东青岛·月考）在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到该几何体，再根据圆柱和圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】依题意，旋转后所得的几何体的上部分为圆锥，下部分为圆柱内挖去一个与上部分完全相同的圆锥，如下图所示， 在边长为2的菱形ABCD中，， 则圆柱底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以一个圆锥的侧面积为，一个圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为． 3．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知圆锥的高为，侧面积是，其母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的侧面积公式，及母线、半径和高的关系，联立方程，即可求解. 【详解】设圆锥的高为，侧面积为，底面半径为，母线为， 根据题意，圆锥的侧面积是，即①， 又圆锥的高为，所以，即②， 由①可得，代入②可得，化简得， 整理得，化简得，解得或（舍）， 即. 4．（2026·湖北黄冈·一模）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果. 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 5（2026·江西宜春·一模）一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案. 【详解】由题意可知：长方体的体积为，球的体积为 则，整理可得，所以. 6．（25-26高一下·河北邢台·月考）一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 7．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为，则球的体积与圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出圆台和球的轴截面，设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，依据和全等得到，同理得到，进而得到母线长为，接着利用和相似得到，再由已知得到即可由球和圆台的体积公式计算求解. 【详解】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形，则球的大圆内切于梯形， 设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为， 则圆台的高为，设E为大圆与梯形的切点， 则在和中有， 所以和全等，所以，同理， 所以母线长为． 由上可知， 又（为切点），所以， 所以和相似，则， ， 由已知，， ． 9．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设圆台上底面半径为，下底面半径为，且，根据题意求得，根据圆台、球的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台上底面半径为，下底面半径为，且， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的，母线长， 在中，，即， 所以，故， 因为， 球的体积为， 圆台与球C的体积之比为. 二、多选题 10．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 12．（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题正确的有（   ） A．台体的体积公式中令，则得到柱体的体积公式 B．球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半径越大 C．在台体的体积公式中令，即可得锥体的体积公式 D．若圆台的上、下底面半径分别为，高为，则 【答案】ACD 【详解】对于A，，令，可得，故A正确； 对于B，球的体积与球的半径的立方成正比，半径越大，体积越大，故B错误； 对于C，，令，可得锥体的体积公式，故C正确； 对于D，，故D正确． 13．（24-25高一下·重庆·月考）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为4 B．表面积为11 C．高为 D．体积为 【答案】BC 【分析】如图所示，首先根据圆台的上底面周长求出，，进而可根据母线的公式求出母线长和高，从而可求出体积、表面积. 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为C， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以， 又，所以，同理， 故圆台的母线，高， 体积， 表面积， 故B，C正确，A，D错误. 故选：BC 故选：BC. 14．（2026·湖南邵阳·一模）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 【答案】AD 【分析】先做出圆台的轴截面，利用数形结合思想，根据各个选项所给条件逐一进行判断和运算即可. 【详解】取圆台的一个轴截面，则，如图（1）所示． 对于选项A，过点作的垂线，交于点，连接，则，所以内切球直径，内切球半径， 所以圆台的内切球体积，故选项A正确； 对于选项B，如图（2），在轴截面中，于点． 因为，所以． 设，则，所以． 所以圆台的外接球的表面积，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以． 如图（3）所示，当外接球球心点在之间时，圆台的母线， 圆台的表面积． 当外接球的球心在的延长线上时，如图（4）所示，圆台的母线， 圆台的表面积，故选项C错误； 对于选项D，外接球半径，由选项C分析可知，圆台的高或1． 所以圆台的体积， 当时，；当时，，故选项D正确． 故选：AD 三、填空题 15．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为_________． 【答案】2 【分析】先由高和母线比设参数，结合勾股定理得高与半径差的关系，再代入体积公式列方程即可得结果. 【详解】设圆台的高为，母线长为，下底面半径为， 则，设，则， 所以，即，所以， 又因为， 整理得：，所以. 16．（22-23高一下·贵州六盘水·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 【答案】 【分析】由斜二测画法原理可得平面图形是直角梯形，进而可求；直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积即可． 【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图： 其中，，，， 过作交于，则为的中点， 在中，，， 所以， 将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台， 其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 故此圆台体积为． 故答案为：；． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为_____. 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在线段上或在其延长线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得，矛盾， 若球心在线段的延长线上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 18．（2026·北京密云·一模）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 【答案】 【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积. 【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径. 外径长为，所以外圆半径 上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分: 上下外圆柱体积+中部正方体体积        = 空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为， 所以玉琮的体积为. 19．（25-26高一下·全国·课后作业）球面上有三个点，其中任意两点的球面距离（经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度）都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为________，表面积________． 【答案】 【分析】根据题意画出图象，根据几何关系求出球的半径，然后根据球的表面积公式求出结果. 【详解】如图所示，设这三个点是，，，球的半径为所在的小圆半径为，则，即． 三点中任意两点的球面距离是大圆周长的， ． ， ． 是半径为2的圆的内接等边三角形． ， ，则． 四、解答题 20．（25-26高一·全国·寒假作业）如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 【答案】(1)4992g (2)72000g 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助铁的密度求出铁的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而铁的密度为，所以生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为（）， 因此1000个零件的表面积为， 所以需油漆的质量为（）. 21．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)； (2)体积为，表面积为． 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积和体积即可求出答案. 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为. （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高， 母线长， 则旋转体的体积为， 表面积为. 22．（25-26高一下·山东淄博·月考）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 【答案】(1) (2)；当时， 【分析】（1）利用圆锥的侧面积公式，圆锥的底面积公式，圆锥的表面积公式求解； （2）设圆柱的底面半径为，利用三角形相似得到，解得，求出圆柱的轴截面面积，得到是的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； （2）设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 23．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形．    (1)求该圆锥的体积与表面积，侧面展开图的扇形面积； (2)该圆锥内切球半径为，内接正方体棱长为，分别求出的值． 【答案】(1)，侧面积 (2)， 【分析】（1）由题意可得圆锥的几何元素，利用其体积公式以及表面积、侧面积公式，可得答案； （2）由题意作图，结合直角三角形，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由轴截面为边长为4的等边三角形， 可得底面半径，高为，母线长， 于是， . （2）如图1，易知，可得在中，，解得， 如图2，易知，可得在中，，解得，    24．（25-26高二上·上海·期中）上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 【答案】(1)克； (2)2罐. 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助材料的密度求出材料的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而该3D打印材料的密度为1.3， 所以打印一件这样的零件需要克材料. 答：需要847克材料. （2）此零件的表面积为（）， 则需要购买每罐300克的喷漆共，显然，所以需要两罐. 答：需要2罐. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【考点梳理】 · 考点一：圆柱的表面积和体积 · 考点二：圆锥的表面积和体积 · 考点三：圆台的表面积和体积 · 考点四：球的表面积和体积 · 考点五：求组合体的体积和表面积 · 考点六：球与多面体相切问题 · 考点七：旋转体的体积和表面积 · 考点八：圆柱、圆锥、圆台、球综合问题 【知识梳理】 知识一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知识二　圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台＝(S＋＋)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 知识点三　球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径). 2.球的体积公式V＝πR3. 【题型归纳】 题型一：圆柱的表面积和体积 【典例1】．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2019·天津河东·一模）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______. 【变式2】．（24-25高二上·上海静安·期中）已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为，则该圆柱的表面积为_____. 题型二：圆锥的表面积和体积 【典例2】．（2026·青海西宁·一模）已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 题型三：圆台的表面积和体积 【典例3】．（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 题型四：球的表面积和体积 【典例4】．（25-26高一下·湖南·月考）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·湖南常德·二模）一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】．（2026·河南洛阳·模拟预测）将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 题型五：求组合体的体积和表面积 【典例5】．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（22-23高一下·贵州贵阳·期中）如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为，则其体积为________________.    【变式2】．（22-23高一下·山西运城·期中）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．    (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 题型六：球与多面体相切问题 【典例6】．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·陕西·二模）图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一下·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型七：旋转体的体积和表面积 【典例7】．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【变式1】．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 题型八：圆柱、圆锥、圆台、球综合问题 【典例8】．（25-26高一下·福建厦门·月考）（1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积. （2）在正四棱台中，，求棱台的体积. 【答案】（1）体积，表面积为；（2）. 【分析】（1）由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式和表面积公式求球的体积和表面积； （2）根据题意求出、，则计算出、，根据棱台体积公式计算即可. 【详解】（1）设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆，， 在中，， ， ∴球的半径， 因此球的体积，球的表面积为； （2）如图，过作，垂足为， 易知为四棱台的高，因为， 则，， 故，则， 所以所求体积为. 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm． (1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1) (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克） 【变式2】．（24-25高二上·贵州遵义·期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为. (1)求这种“笼具”的体积； (2)现用的纱网材料制作这种“笼具”，问可以制作多少个“笼具”？ 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·月考）已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 2．（25-26高一下·山东青岛·月考）在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知圆锥的高为，侧面积是，其母线长为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北黄冈·一模）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 5（2026·江西宜春·一模）一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河北邢台·月考）一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·全国·课后作业）球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为，则球的体积与圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题 10．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 A．台体的体积公式中令，则得到柱体的体积公式 B．球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半径越大 C．在台体的体积公式中令，即可得锥体的体积公式 D．若圆台的上、下底面半径分别为，高为，则 13．（24-25高一下·重庆·月考）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为4 B．表面积为11 C．高为 D．体积为 14．（2026·湖南邵阳·一模）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 三、填空题 15．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为_________． 16．（22-23高一下·贵州六盘水·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为_____. 18．（2026·北京密云·一模）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 19．（25-26高一下·全国·课后作业）球面上有三个点，其中任意两点的球面距离（经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度）都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为________，表面积________． 四、解答题 20．（25-26高一·全国·寒假作业）如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 21．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 22．（25-26高一下·山东淄博·月考）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 23．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形．    (1)求该圆锥的体积与表面积，侧面展开图的扇形面积； (2)该圆锥内切球半径为，内接正方体棱长为，分别求出的值． 24．（25-26高二上·上海·期中）上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $