8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 解析：C[设棱台的高为h,S△AC =S,则S△A,,9=4S, B ∴.VA-ABc= SAA·h 1 3 3S%, 1 4 Vc-AG=3SA4G·h= 1 s. 又V=3h(S+4S+2S)= 7 VB-A Bc=Vs-VA-ABE -Ve-ABC =3Sh- 45-号0， 3 .体积比为1：2：4.] 8.3.2 圆柱、圆锥、圆 课程标准 1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式. 2.知道球的表面积和体积计算公式. 3.能用公式解决简单的实际问题. 课前0 [情境引入] 我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句 话，线段由点构成，点的多少表示线段的长短；面由 线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大 小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由 点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两 个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体 的点的数量相同，祖啦原理就运用到了它， 问题同一摞硬币，当改变摆放的形式时，这摞硬 币的体积是否会改变？如何计算柱体的体积？ 提示不会改变；柱体的体积是底面积乘以高， [知识梳理] [知识点一]圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1.圆柱的侧面积和表面积 (1)圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形.如 图，设圆柱的底面半径为r,母线长为1，则这个矩形 的长等于圆柱底面的周长C=2πr,宽等于圆柱的母 线长1，于是可得S贸柱侧=C=2r1. ·1 13.如图所示，在长方体ABCD 一A'B'C'D'中，用截面截下 A 一个棱锥D'一A'DC,求棱 锥D'一A'DC的体积与剩 余部分的体积之比. 解：设AB=a,AD=b,DD'=c, 则长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V=abc, 因为V三校锥U-Ac=V三粒锥C-ADD 又Sam=子bc,且三棱维C-ADD'的高为CD =a.所以V:tc-An=S△mr·CD=石abc. 则剩余每分几何体的体积V。=ac一石ad=音adk 故V:r-AxVa=名ak:吾ac=1:5. 台、球的表面积和体积 素养解读 通过了解几何体的结构特征，从而计算圆柱、圆锥、 圆台的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观 想象和数学建模素养。 预习学案 对应学生用书P84 (2)圆柱的表面积：圆柱的表面积等于它的两个底面 面积与侧面积的和，即S侧鞋表=2xr2+2元rl=2xr(r十 l). 2.圆锥的侧面积和表面积 (1)圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形.如 图①，设圆锥的底面半径为，母线长为1，则这个扇 形的弧长等于圆锥底面的周长C=2πr,半径等于圆 锥的母线长1，于是可得S一C= (2)圆锥的表面积：圆锥的表面积等于它的底面面积 与侧面积的和，即S网维表=xr2十元rl=元r(r十). 图① 图② 3.圆台的侧面积和表面积 (1)圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环.如 图②，设圆台的上、下底面半径分别为'，r,母线 长为1，上、下底面圆周长分别为2πr',2xr,于是可 得S假台侧=x(r'十r)l. (2)圆台的表面积：圆台的表面积等于它的侧面积与 上下底面面积的和，即S限台表=x(r'十r)l十元r2十 πr2=π(r'2+x2+r1+rl). 推导过程：设小圆锥的母线长为1，则片-，二仁， 所以1=，二？·1，所以大圆锥的母线长为1十 ,子·1，所以圆台的侧面积S=r(1+) r·1 所以圆台的表面积S=S底十S侧=πr2十xr'2十π(r +r')1=(r2+r2+rl+r'l). [知识点二]圆柱、圆锥、圆台的体积 1.圆柱、圆锥、圆台的高 (1)圆柱的高：两底面之间的距离，即从一底面上任意 一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底 面的交点)之间的距离： (2)圆锥的高：从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂 线与底面的交点)之间的距离. (3)圆台的高：两个底面之间的距离，即从上底面上任 意一点向下底面作垂线.这点与垂足（垂线与下底 面的交点)之间的距离. 2.圆柱的体积 圆柱的体积：底面半径为r,高为h的圆柱的体积是 V柱=元r2h=Sh(S为底面积). 综上可知，柱体的体积公式是V柱体=Sh,其中S为 底面面积，h为柱体高. 3.圆锥的体积圆锥的体积：底面半径为r,高为h的圆 锥的体积是V=了矿h=子Sa(S为底面面积). 4.圆台的体积 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别为r', r,高为，那么它的体积公式是V台=子(S+√SS +S)h=子r+m+)h. 2思考1.棱柱、棱锥、棱台的体积之间有何关系？ 提示：通过比较棱柱、棱锥、棱台的体积公式，可以 得到如下结论： V越体=Sh(S为底面积，h为柱体高)； V=号S(S为底面积，A为推体高： V=3(SSS+5)a(S,5分别为上.下底 面面积，h为台体高). 当S=S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就 是柱体的体积公式；当S'=0时，台体变为锥体， 台体的体积公式也就是锥体的体积公式. [知识点三]球的表面积和体积 1.球的表面积 半径为R的球的表面积是S=4πR2. 2.球的体积 半径为R的球的体积V=专R. ·1 第八章立体几何初步 2思考2.球的表面是曲面吗？ 提示：(1)球的表面是曲面，不能在一个平面上展 开，即使是球面上任意小的一块，也不能在一个平 面上展开，因此球没有展开图 (2)依据此函数关系，已知球的半径可求球的表面 积，已知球的表面积可求球的半径. (3)球的表面积之比为其半径比的平方 球的体积是对球体所占空间的大小的度量，只与 半径R有关，是以半径R为自变量的函数 丰径为R的球的体积为V=专R。 3.球的体积与半径的关系如何？ 提示：(1)球的体积是关于其半径的三次函数. (2)根据此函数关系，已知球的半径可求球的体 积，已知球的体积可求球的半径」 (3)球的体积之比为其半径比的立方. [预习自测] 1.若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积 为 A.2元 B.3π C.元 D.4x 解析：D[由题知圆柱的底面半径r=1,母线长U =2,则它的侧面积S侧=2πrl=2πX1×2=4π.故 选D.] 2.若圆锥的轴截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边 长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为() A. B.2π C.3元D.4π 解析：B[由题意，得圆锥的母线长为2，底面半径 为1，底面周长为2x,则该圆维的侧面积为2X2 ×2=2π.] 3.把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成 一个大铁球，则这个大铁球的半径为 ) A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm 解析：B[设大铁球的半径为Rcm,则有专xR 告x×(号P+音×（号P+告×9，解得R=6.] 4.若一个圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底 边长为2a,对角线长为√5a,则这个圆台的体积为 解析：圆台的轴截面如图，由AD= D a,AB=2a,BD=√3a,可知∠ADB =90°。分别过点D,C作DH⊥AHGB AB,CGL AB,所以DH=号a,所以HB VBD-DFa-0=号a,所以DC=HG =a,所以圆台的体积为V=3元· 苦案浮 7 数学·必修第二册 5.已知一圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆 柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和 圆锥的表面积之比. 解：如图，设圆柱和圆锥的底面半径 分别为r,R,圆锥母线长为，则有尺 ● 课堂⊙ 题型一 圆柱的表面积与体积 [例1](1)已知圆柱的轴截面的面积为S,则圆柱的 侧面积为 (2)底面直径为2的圆柱，被一平面所截，截得的几 何体中，最短的母线长为2，最长的母线长为4，求 此几何体的体积. 汇思路点拨]利用公式直接求解. [解析](1)设圆柱的底面半径为r,高为h,则2rh =S,S=2πrh=xS. (2)将此几何体补接一个同样的几何体，得到母线 长为6的圆柱.V=号×xX1X6=3元 [答案](1)πS(2)3π 规律方法 对于圆柱，关键抓住底面半径和母线及轴截面来寻 找各量的关系. ◇[变式训练] 1.若圆柱的底面面积为S,侧面展开图是一个正方 形，则这个圆柱的侧面积是 A.4πS B.2πS C.πS D.2 3πS 解析：A[设圆柱的底面半径为r,则πr2=S,母线 l=2xr,Ss=(2πr)2=4π2r2=4πS.] 题型 圆锥的体积与表面积 [例2]如图所示，△ABC中的三边长分B, 别是AC=3,BC=4,AB=5,则以AB边 所在直线为轴，将此三角形旋转一周所 得旋转体的表面积S为 (2)如图，BD是边长为3的正方形 ABCD的对角线，将△BCD绕直线 AB旋转一周后形成的几何体的体积 等于 ·1 PF=2R=2r,l=√2R. 2rr2+2元r2 4πr2 S国锥表 xR·√2R+πR 4√2πr2+4πr 4元r 1 =√2-1. 4(2+1)πr2√2+1 互动学案 对应学生用书P86 汇思路点拨]先判断旋转一周后所得到的几何体 的构成部分，然后再利用公式求解 [解析](1)在△ABC中，作CD⊥AB 交AB于点D(如图)，则AC=3,BC 4,AB=5,AC+BC2=AB2,..ACL BC.CD号.那么以△ABC的AB边 所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得到的旋转 体是两个同底的圆维，且底面年径=号，母线长 分别是3,4， S=(AC+BC)=xX号X3+4)= 5 (2)对角线BD绕着AB旋转，形成圆锥的侧面；边 BC绕着AB旋转形成圆面；边CD绕着AB旋转， 形成圆柱的侧面，所以该几何体是由圆柱挖去一个 同底面的国维，所以V=云：子：3言·x:子·3 =18π. [答案] (218x 规律方法 :求圆锥的体积和表面积涉及的关键量是底面半径， 高和母线. ◇[变式训练] 2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为√5， 则这个圆锥的表面积等于 解析：设圆锥的底面圆的直径为α，则圆锥母线长 为a,由题意得只。-后0=2，所以同维底面年径 为1，圆锥的表面积=π·12十元·1×2=3π. 答案：3π 题型 圆台的体积与表面积 [例3]如图，在四边形ABCD中， ∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB= 5,AD=2,CD=2√2，求四边形 D ABCD绕AD所在直线旋转一周所A 形成几何体的表面积和体积. 8 [思路点拔]四边形绕AD所在 直线旋转 圆台、圆锥组合 体→利用公式求解。 [解]由∠ADC=135°，得∠EDC=45°. 又因为CD=2√2，所以ED=CE=2. 因为AB=5,AE=AD+DE=4, 所以BC=√/(AB-CE)+AE=5. 所以几何体的表面积S=S圆维侧十S圆台侧十S国台下底面 =π·CE·CD十π(CE+AB)·BC+π·AB =πX2X2√2+π(2+5)X5+π×5 =(4√2+60)π. Vxa=3xXCE·DE-= 3元 1 Vg台=3元X4(4元十√4元X25元+25x)=52元. v=V6-Vw=52x号=。 3元. 规律方法 要分清台体的体积公式与上、下底面积的表达关系， 常因公式记错而解错问题. ◇[变式训练] 3.圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的 侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面 积是多少？ 解：如图设圆台的上底面圆的周 长为c,因为扇环的圆心角 是180°， 所以c=元·SA. 又=2x×10=20π， 所以SA=20. 同理SB=40. 所以AB=SB-SA=20. 所以S表=S侧十S上底十S下底=x(10十20)×20+元× 102+π×202=1100π(cm2). 所以圆台的表面积为1100πcm2. 题型四 球的表面积与体积 [例4幻若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底 面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表 面积之比为 A.√2：2 B.2:1 C.√5：2 D.3:2 (2)若三个球的表面积之比为1：4：9，则这三个 球的体积之比为 [思路点拔]“(1)先设出圆锥与球的各相关量，然 后根据题中的两个等量关系求各相关量的关系， 再求圆锥侧面积与球的表面积之比 (2)先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再 求出体积之比 ·1 第八章立体几何初步 [解析](1)设圆锥的底面半径为r,高为h,母线 长为I,球的半径为R, 则由题意得 (r=2R, r=2h, ∴.l=√r2+h=√5h, ∴.S国w=元rl=元×2h×W5h=2V5xh2,S康=4πR =4πh2, :.S盟维越=25π2 S球 4πh2 2 故圆锥侧面积与球的表面积之比为√5：2. (2)设三个球的半径分别为R1,R2,R3, ,三个球的表面积之比为1：4：9， .4πR:4πR2:4πR=1:4:9,即R:R2:R =1:4:9, R1:R2:R3=1:2:3, V,:V:V,=专R:青R:专R=R:R :R=1:8:27. [答案](1)C(2)1:8:27 规律方法 对于球的表面积公式S=4πR及球的体积公式V 4 R,一定要记准、记牢.计算球的表面积或体 积的关键是确定球的半径R.一般来说，题中不会直 接给出球的半径，而是将其隐藏在某些条件中.解题 过程中，一定要注意 ◇[变式训练] 4.已知三个球的半径分别为R1,R2,R,且满足R,十 2R2=3R3,则 (1)它们相应的表面积S1,S2,S3满足的等量关系 是 (2)它们相应的体积V1,V2,V3满足的等量关系 是 S5,同 解析：)因为S,=4R所以R,√x2后 理可得R,=S,R,= .由R1十2R2=3R3,得 2√乐 2√ √S,+2√S2=3√S 回-成风腰沿 同理可得R=√4 -，R- 34元 河 4π 由R1+2R2=3R,得W1+2W2=3W 答案：(1)√S,+2√S2=3√S (2)/WT+2W2=3W3 9 数学·必修第二册 题型五 球的切、接问题 [例5](1)半球内有一个内接正方体，若正方体的 棱长为√6，则这个半球的体积为 (2)已知三棱锥P一ABC,若PA,PB,PC两两垂 直，且PA=2,PB=PC=1,则三棱锥P一ABC的 内切球的表面积为 汇思路点拨丁通过切点或接点转化为平面问题求解。 [解析](1)方法一过正方体对 角面作截面如图所示，设半球的半 径为R,因为正方体的棱长为√6， 所以CC=6,0C=×6=5. 2 在Rt△CCO中，由勾股定理，得 CC2+OC2=OC2,即（√6）2+（√5）2=R,所以R =8.故V=分×含xR=18元 方法二将其补成球和内接长方体，设原正方体棱 长为a,球的半径为R,则根据长方体外接球的直径 等于其对角线长，得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R =602,所以R=气=8 (2)由题意，设三棱锥P一ABC的内切球的半径为 T,球心为O,则V三枝P-ABC=V三粒维OPAB十 V:0十Vm十V知,即×X 2x1x1=号×号×2x1×r×2+号×号×11× r+ ×X5一×，解得r= 31 故内切球的表面积为42=平 [答案](1)18元(2) 课后。 基础过关 》 1.如果两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的 表面积之比为 ( ) A.1:9 B.1:27 C.1:3 D.1:1 解析：A[设这两个球的表面积分别为S1,S2,半 径分别为r1,r2,则 4元r1 )-() =] 2.若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等， 那么圆柱与圆锥的体积之比 A.1 1 B.2 c号 ·1g 规律方法 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外 接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的 位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适 的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各 :个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外 接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体 的体对角线长等于球的直径.对于球与旋转体 的组合，通常作出它们的轴截面来解题；对于球 与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和 球心（或“切点”“接点”）作出截面图解题.在球 的截面中，常利用球的半径、截面圆的半径、球 心到截面的距离组成的直角三角形计算其中的 未知量来解题， ◇[变式训练] 5.张衡(78年~139年)是中国东汉时期杰出的天文 学家、数学家、发明家、地理学家、文学家，他的数学 著作有《算罔论》.张衡给立方体定名为质，给球体 定名为浑.他研究过球的外切立方体体积和内接立 方体体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为 10的开平方，直到五百多年后，印度和阿拉伯的数 学家才得出这个数值.现有棱长为6√10的正方体， 利用张衡的结论可得该正方体的内切球的体积为 解析：设正方体的棱长为a,内切球的半径为r,由a =2r,求得半径，再代入球的体积公式求解.设正方 体的棱长为a,内切球的半径为r,则a=2r,因为a =6√10，所以r=3√10，又π=√10，所以球的体积 为V=号r=专×而×(3v而)=360. 答案：3600 素养提升 对应学生课时P299 解析：D[设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r, 高都为h,由已知得2Rh=rh,.r=2R, 1 V:V#=Rh:3rh=3:4,故选D.] 3.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方 体每条棱都相切的球，则此球的体积为 ( ) A. B.4√3π C.246x D.8/2 3 3 解析：D[设正方体的棱长为a,则6a2=24,解得 a=2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的 面对角线长为2√2，等于球的直径长，所以球的半 径长是厄，所以此球的体积为青元X() -8] 0 4.轴截面是正三角形的圆锥称作等 边圆锥，则等边圆锥的侧面积是 底面积的 A.4倍 B.3倍 C.√2倍 D.2倍 解析：D[设轴截面正三角形的边长为2a, ∴.S底=πa2,S侧=πaX2a=2πa2,.S=2S底.故 选D.] 5.圆柱的一个底面积是S,侧面展开图是一个正方 形，那么这个圆柱的侧面积是 ( A.4πS B.2xS C.πS D.23xS 3 解析：A [底面半径是 会，所以正方形的边长是 S 2元入元 =2√πS,故圆柱的侧面积是(2√π)2 =4πS.] 6.(多选题)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它 的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的 ( A.母线长是20 B.表面积是1100π C.高是10√2 D.体积是70003 3 解析：ABD[如图所示，设圆台的 上底面周长为C,因为扇环的圆心 角为180°， 所以C=π·SA,又C=10X2π， 所以SA=20,同理SB=40, 故圆台的母线AB=SB一SA B =20, 高h=√AB-(20-10)2=10√3， 体积V= 3元×105×(102+10×20+202)= 70005,表面积S=x(10+20)×20+100x+ 3 400元=1100x,故选A,B,D.] 7.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆 锥的体积是 解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径 为，则2w=2×2xX2r=1,则高A=V-7 3 答案 8.《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦 门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干 咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等.一个麦门冬 可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所 示，则该麦门冬的体积约为 ·19 第八章立体几何初步 解析：由题意可知麦门冬的体积为两个底面直径为 2,高为4的圆锥的体积之和，故该麦门冬的体积V 8 -号×x×1X4×2-骨x 答案：3不 8. 9.把底面半径为8cm的圆锥放倒在一平面上，使圆 锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平 面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆 锥的母线长为 ,表面积等于 解析：设圆锥的母线长为1，如图， 以S为圆心，SA为半径的圆的面 积S=π. 又圆锥的侧面积S圆维，=πrl=8π. 根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了 2.5周，∴.π2=2.5×8πl,∴.l=20(cm). 圆锥的表面积S=S国锥，十S底=元X8X20十元X8 =224π(cm2). 答案：20cm224元cm2 10.若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是 60°，求圆锥的体积. 解：设圆锥的底面半径为r,母线为1，则2r=3, 得l=6r. 又5=+6r=7xr=15x,得r厚. 7 7元 11.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一 个高为√5的圆柱，求圆柱的表面积. 解：设圆锥的底面半径为R,圆柱 的底面半径为r,表面积为S. 则R=OC=2,AC=4,AO= √4-2=25 E 如图所示易知△AEB∽△AOC, 焉腮即 C _r 252' .r=1,Sg=2πr2=2元，侧=2πr·h=2√3元. ∴.S=S感+S=2π十2√3π=(2十2√5)π. 数学·必修第二册 能力提升 》 13.有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这 个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的 12.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截 各个顶点，求这三个球的表面积之比. 面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好 相等，且液面高度h正好相同，则h= 解：设正方体的棱长为a.如图所示. (1)中正方体的 内切球球心是正 密蓝 方体的中心，切 点是正方体六个 解析：设圆锥形容器的液面的半径为，则液体的 (1) (2 面的中心， 体积为子R人，圆柱形容器内的液体体积为 经过四个切点及球心作截面，所以有2r1=a,r 2 所以S1=4π2=πa2. 根指题意，有行R=(号)》么：解得R号。得 (2)中球与正方体的各棱的切，点在每条棱的中点， 根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相 过球心作正方体的对角面得截面， ③ 似三角形，得2”么 2na,n号所以s==2. (3)中正方体的各个顶，点在球面上，过球心作正方 所以= 体的对角面得截面， 2. 等案 所以有2x,=5a=5 a,所以S,=4rr号=3πa2. 综上可得S,:S2:S3=12:3. 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1平 面 课程标准 素养解读 1.掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事 实与推论 从直观认识的基础上论证点、线、面之间的位置关 2.会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间 系，发展培养学生的空间想象素养与逻辑推理素养. 的位置关系. 课前。预习学案 对应学生用书P89 [情境引入] 时，常把平行四边形的一边画成竖向.也可以用其它 我们的桌面、椅面都给我们平面的形象，而且木匠 的平面图形来表示，如三角形、梯形等。 在做桌面时，也要求它是平的，并且用直尺在桌面 (3)常把一个希腊字母如a3或y等写在表示平面的 上任意移动来判断所做桌面是否平 平行四边形的一个角上来表示平面.如图(1)所示，表 问题判断一个面是否是平面的依据是什么？ 示平面a.如图(2)所示，表示平面a、平面3也可以用 提示如果一个面内的任意两点所确定的直线都 表示平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个 在这个面内，那么这个面就是平面 顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图(1) [知识梳理] 所示中的平面a,也可以表示为平面ABCD、平面AC [知识点一]平面的概念 或者平面BD. (1)几何里所说的“平面(plane)”就是从一些物体中 抽象出来的，无厚薄，无大小，是无限延展的一个几何 D 概念. (2)平面通常用平行四边形表示，当平面水平放置时， 常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置 (1 2 ·122·