8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（知识清单+题型突破）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积计算这一核心知识点，系统梳理底面积、侧面积、表面积公式及体积公式，通过对比揭示三者侧面积关系，并引入祖暅原理构建体积推导逻辑，形成从公式应用到原理理解的学习支架。 资料特色在于题型设计融合实际情境，如古代建筑模型、六角螺帽等实例培养数学眼光，祖暅原理应用强化数学思维，分层练习题助力学生用数学语言解决问题。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式． 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积． 简单组合体的表面积与体积 图形 表面积公式 圆柱 底面积：S底＝ 2πr2 ； 侧面积：S侧＝ 2πrl ； 表面积：S＝ 2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ πrl ； 表面积：S＝ πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝ πr′2 ； 下底面面积：S下底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ π(r′l＋rl) ； 表面积：S＝ π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 【注意】圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的关系： S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl． 圆柱、圆锥、圆台的体积 (1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． 题型一 圆柱的表面积与体积 1．（2025·云南昭通·模拟预测）下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南·期中）如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六棱柱底面中心重合．正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为10毫米． (1)求这个六角螺帽的体积； (2)求这个六角螺帽的表面积． 5．（2025·上海宝山·二模）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 6．（24-25高一下·河南商丘·期末）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 题型二 圆锥的表面积与体积 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·山东青岛·月考）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）若一个圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则这个圆锥的表面积为_____． 10．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，其侧面积和体积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·全国·单元测试）若圆锥的母线长为，底面周长为，则其侧面积为__________，体积为__________． 13．（25-26高一下·全国·单元测试）已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的高为__________，圆锥的体积为__________． 题型三 圆台的表面积与体积 14．（25-26高一下·全国·期中）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 15．（25-26高二上·上海·期中）已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 16．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 18．（24-25高一下·云南昆明·期中）（多选）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为2 B．表面积为 C．高为 D．体积为 19．（24-25高一下·云南楚雄·期中）中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型四 组合旋转体的表面积和体积 20．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 21．（24-25高一下·湖北·月考）（多选）如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 22．（24-25高一下·山西·期中）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，M是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一周.    (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积. 23．（24-25高一下·河北邯郸·期中）素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 24．（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的体积； (2)求阴影部分形成的几何体的表面积. 25．（24-25高一下·陕西榆林·期中）在边长为2的正方形中，挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形（如图）以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为_____. 题型五 祖暅原理与柱体、锥体的体积 26．（24-25高一下·广东深圳·期中）南北朝时期，数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，用现代语言可以描述为：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．”例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的（    ）    A． B． C． D． 27．（24-25高一下·浙江丽水·期中）祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，. (1)写出，，三者之间的关系； (2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题： （i）求截得的“球缺”的体积； （ii）求截得的“球缺”的表面积. 28．（25-26高一下·浙江湖州·期中）我们的数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍了“祖暅原理”：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与任意距离处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明总成立.据此，当时“椭半球体”的体积是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高一下·全国·单元测试）我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为3，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为__________． 30．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南邵阳·二模）在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D．1 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）如图，，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且．，分别为上、下底面圆的圆心，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北黄冈·一模）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积可能为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·重庆·月考）（多选）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为4 B．表面积为11 C．高为 D．体积为 9．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）（多选）已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则下列说法正确的是（   ） A．该圆锥的母线长是 B．该圆锥的高是 C．该圆锥的表面积是 D．该圆锥的体积是 10．（2026高一·全国·专题练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 11．（25-26高一下·全国·课后作业）若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，中的三边长分别是，，，则以边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积为______________． 13．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 14．（25-26高一·全国·假期作业）如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 15．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）．    (1)若，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积； (3)当为何值时，圆柱的侧面积最大． 16．（24-25高一下·山西太原·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．球的体积可以利用祖暅原理求出．如图，左边是一个半径为的半球（用经过球心的平面截球体所得的几何体），右边是从底面半径和高均为的圆柱中挖去一个以该圆柱的上底面为底面､下底面圆心为顶点的圆锥所得到的几何体，这两个几何体在同一平面上．现用任意一个平行于的平面截这两个几何体，记左边半球被平面截得的截面面积为，右边几何体被平面截得的截面面积为． (1)当平面与的距离为时，求的值； (2)利用祖暅原理求此半球的体积，并由此给出球体的体积公式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式． 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积． 简单组合体的表面积与体积 图形 表面积公式 圆柱 底面积：S底＝ 2πr2 ； 侧面积：S侧＝ 2πrl ； 表面积：S＝ 2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ πrl ； 表面积：S＝ πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝ πr′2 ； 下底面面积：S下底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ π(r′l＋rl) ； 表面积：S＝ π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 【注意】圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的关系： S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl． 圆柱、圆锥、圆台的体积 (1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． 题型一 圆柱的表面积与体积 1．（2025·云南昭通·模拟预测）下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积. 【详解】由题意知区域和全等，且都是底面半径为10 m，高为40 m的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，或， 或， 或. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱体积公式求出圆柱的高，再代入侧面积公式求解即可. 【详解】设圆柱的高为h， ，解得， . 故选：D 4．（24-25高一下·云南·期中）如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六棱柱底面中心重合．正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为10毫米． (1)求这个六角螺帽的体积； (2)求这个六角螺帽的表面积． 【答案】(1)（立方毫米）． (2)（平方毫米）． 【分析】（1）利用棱柱和圆柱的体积公式计算即可； （2）利用棱柱和圆柱的侧面积公式计算即可 【详解】（1）由题意可得，正六棱柱底面六边形的面积（平方毫米）， 圆柱底面圆的面积（平方毫米）， 正六棱柱和圆柱的高（毫米）， 则这个六角螺帽的体积（立方毫米）． （2）由（1）可知这个六角螺帽的上、下底面的面积之和 （平方毫米）， 正六棱柱的侧面积（平方毫米）， 圆柱的侧面积（平方毫米）， 则这个六角螺帽的表面积（平方毫米）． 5．（2025·上海宝山·二模）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 【答案】 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 6．（24-25高一下·河南商丘·期末）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的底面半径为r，分别求出圆锥和圆柱的高（用表示），代入体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥的高为，设圆柱的高为，又圆锥和圆柱的侧面积相等， 所以，解得，所以这个圆锥和圆柱的体积之比为. 故选：C． 题型二 圆锥的表面积与体积 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出挖去的圆柱底面半径和高，再结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算可得结果. 【详解】根据题意的中点为可知，挖去的圆柱底面半径为，高为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为， 易知圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B 8．（25-26高一下·山东青岛·月考）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）若一个圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则这个圆锥的表面积为_____． 【答案】 【分析】利用圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】设圆锥母线长为a，结合三角形面积计算公式，得到，解得（负值舍去）， 所以底面半径，底面积，所以侧面积，所以圆锥的表面积为． 故答案为： 10．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，其侧面积和体积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥的侧面积公式与体积公式可得答案. 【详解】已知圆锥底面半径 ，母线与底面所成的角为 ， 则母线长 满足 ，即 ，解得 ， 圆锥高 ， 圆锥体积 ， 侧面积 ， 因此， 故选：A 11．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，高为h， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 故选：B. 12．（25-26高一下·全国·单元测试）若圆锥的母线长为，底面周长为，则其侧面积为__________，体积为__________． 【答案】 【分析】求出圆锥的底面半径和高，结合圆锥的侧面积和体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的母线长为，高为，底面半径为，由底面周长为，得， 所以圆锥的侧面积为， 又，由圆锥的体积公式可得． 故答案为：；. 13．（25-26高一下·全国·单元测试）已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的高为__________，圆锥的体积为__________． 【答案】 / / 【分析】设圆锥底面圆半径为，根据圆锥的底面周长与展开扇形的弧长相等关系列方程求，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积． 【详解】设圆锥底面圆半径为，则， ， ∴圆锥的高； 圆锥的体积． 故答案为：；. 题型三 圆台的表面积与体积 14．（25-26高一下·全国·期中）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【分析】设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：A. 15．（25-26高二上·上海·期中）已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 【答案】 【分析】根据圆台的侧面积公式计算即得. 【详解】设圆台的上下底面圆半径为，母线长， 则该圆台的侧面积为. 故答案为：. 16．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 17．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 【答案】 / 【分析】①由，得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形的高为圆台的高，利用圆台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长，，交于点，由与相似即可计算，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角，在侧面展开图中，连接，，即可计算出的最短距离. 【详解】①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为， 所以圆台的体积为. ②在梯形中，，即母线长为3， 如图，由圆台性质，延长，，交于点， 由与相似，得，即，解得， 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，，，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意. 故答案为：，. 18．（24-25高一下·云南昆明·期中）（多选）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为2 B．表面积为 C．高为 D．体积为 【答案】ABC 【分析】首先根据圆台的上底面周长求出，进而可根据母线的公式求出母线长和高，从而可求出体积、表面积. 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为，因为扇环所对的圆心角为180°， 所以，又，所以，同理， 故圆台的母线，高， 体积， 表面积，故A，B，C正确，D错误. 故选：ABC. 19．（24-25高一下·云南楚雄·期中）中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆台的上下底面的半径，求出母线长后可求表面积. 【详解】如图所示，设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为， 则，解得. 过点作，垂足为，则母线 . 故选：D. 题型四 组合旋转体的表面积和体积 20．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为： 21．（24-25高一下·湖北·月考）（多选）如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球表面积体积，即可组合得解几何体的表面积体积. 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球，A选项错误； 几何体底面积为，B选项正确； 几何体的表面积为，C选项错误； 所以所求体积为，D选项正确； 故选：BD. 22．（24-25高一下·山西·期中）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，M是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一周.    (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积. 【答案】(1)几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体 (2)表面积为；体积为 【分析】（1）根据旋转体的定义，想象出旋转后的几何体，再写出结构特征即可； （2）根据圆柱，圆锥，球的表面积和体积公式计算即可. 【详解】（1）该几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体. （2）由图可知圆锥的高为2，母线长为4，圆柱的高为，底面半径为， 所以表面积 ， 体积 . 23．（24-25高一下·河北邯郸·期中）素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球和圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的高为，则银杯内壁的表面积， 得. 故选：A 24．（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的体积； (2)求阴影部分形成的几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由圆柱的体积减去半球的体积即可求解． （2）分别求圆柱下底面、侧面和半球面的面积，即可求解； 【详解】（1），，所求几何体的体积为． （2）由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆柱下底面、侧面和半球面， 因为，，，， 故所求几何体的表面积为； 25．（24-25高一下·陕西榆林·期中）在边长为2的正方形中，挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形（如图）以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为_____. 【答案】 【分析】由圆柱及球的体积公式即可求解. 【详解】由题意可知以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周得到的几何体是： 底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个半径为1的半球， 所以体积为：， 故答案为： 题型五 祖暅原理与柱体、锥体的体积 26．（24-25高一下·广东深圳·期中）南北朝时期，数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，用现代语言可以描述为：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．”例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得所求球冠的体积等于圆柱体积的一半减去圆台的体积，计算求解即可. 【详解】∵，，， ∴， ∴，半球体积为， 所以平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的. 故选：A. 27．（24-25高一下·浙江丽水·期中）祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，. (1)写出，，三者之间的关系； (2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题： （i）求截得的“球缺”的体积； （ii）求截得的“球缺”的表面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由圆柱、圆锥和球的体积公式，分别求得圆柱、圆锥和半球的体积，即可得出结论；可得，，，所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）（i）根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积，所以小球缺的体积为，令，代入计算，即可求解；（ii）将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体，连接球心O和每个小网格的顶点，整个几何体就被分割成n个“小锥体”，求得球缺曲面部分的面积为，进而得到球缺的表面积. 【详解】（1）解：根据题意，利用圆柱、圆锥和球的体积公式， 可得，，， 所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）解：（i）图（1）中，截面圆的半径为，所以截面圆的面积为， 图（2）中，截面为圆环，其中小圆的半径为，大圆的半径为， 所以截面圆环的面积为， 根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积， 所以小球缺的体积为， 令，可得. （ii）类比球的表面积和体积的求法，将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体， 把球缺的曲面部分分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点， 整个几何体就被分割成n个“小锥体”，记球缺曲面部分的面积为S， 则，可得，， 所以该球缺的表面积为. 28．（25-26高一下·浙江湖州·期中）我们的数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍了“祖暅原理”：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与任意距离处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明总成立.据此，当时“椭半球体”的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由祖暅原理可得“椭半球体”的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，根据圆柱，圆锥的体积公式可求其解. 【详解】设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与距离处的平面截得的圆面，圆环面的面积分别为，，体积分别为,，则，由“祖暅原理”两个几何体的体积相等，故， 故选：B. 29．（25-26高一下·全国·单元测试）我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为3，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为__________． 【答案】 【分析】先确定图中阴影部分旋转后所得几何体的特征，再结合体积公式求其体积，根据祖暅原理即可求结论. 【详解】扇形绕直线旋转一周，阴影部分旋转后所得几何体的体积为半个球的体积减去一个圆锥的体积． 因为球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为3． 所以图中阴影部分旋转后所得几何体的体积为． 根据祖暅原理知图中阴影部分旋转后所得几何体的体积与所求不规则几何体的体积相等， 所以该不规则几何体的体积为. 故答案为：. 30．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误. 【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为 而，故当，，故D正确. 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 2．（2026·湖南邵阳·二模）在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到截面，并由等体积法得到各个几何体之间的体积关系，得到答案 【详解】如图所示，在正四棱锥中，是棱PA的中点， 取PD的中点为，连接EF，BE，CF，CE，CA，FA， 所以，因为，所以， 所以，，，四点共面，所以平面EBC在四棱锥上的截面是平面BCFE. 平面BCFE把四棱锥分为两个部分，设四棱锥的体积为，高为. 设四边形的面积为， 则， 同理. 设点到平面AEF的距离是， 则， 即，故， 所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为. 3．（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设底面半径为r，母线长为l，根据侧面展开图是一个半圆，可得，代入表面积公式，结合条件，即可得答案. 【详解】设底面半径为r，母线长为l， 由侧面展开图是一个半圆，得，解得， 则侧面展开图的面积， 所以圆锥的表面积，解得. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再利用几何体体积公式计算即可. 【详解】由题意，， 所以 ， 如图，原四边形 中，， 则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台， 故其体积为. 5．（2026高三·全国·专题练习）如图，，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且．，分别为上、下底面圆的圆心，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出圆柱的底面半径和母线长，利用轴截面为正方形得到两者关系，再将三棱锥的体积分割成易于计算的部分，代入已知体积值求出半径，最后计算侧面积. 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的底面圆的半径为，连接，，，如图， 由题意可知， ，解得， 所以该圆柱的侧面积． 故选：C． 6．（2026·湖北黄冈·一模）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果. 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，. 8．（24-25高一下·重庆·月考）（多选）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为4 B．表面积为11 C．高为 D．体积为 【答案】BC 【分析】如图所示，首先根据圆台的上底面周长求出，，进而可根据母线的公式求出母线长和高，从而可求出体积、表面积. 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为C， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以， 又，所以，同理， 故圆台的母线，高， 体积， 表面积， 故B，C正确，A，D错误. 故选：BC 故选：BC. 9．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）（多选）已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则下列说法正确的是（   ） A．该圆锥的母线长是 B．该圆锥的高是 C．该圆锥的表面积是 D．该圆锥的体积是 【答案】ABD 【分析】圆锥的母线长为侧面展开图的半圆的半径，由侧面展开图的面积即可得解；由圆锥的底面周长为侧面展开图的半圆的弧长即可求得底面半径；由即可求得该圆锥的高；由圆锥的表面积公式及体积公式可求得其表面积及体积. 【详解】设圆锥的母线长为l，则母线长l为侧面展开图的半圆的半径，又圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，所以，则；设圆锥的底面半径为，则；该圆锥的高；该圆锥的表面积，该圆锥的体积为， 故选：ABD 10．（2026高一·全国·专题练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 【答案】 【分析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，代入圆台的体积公式即可得出答案． 【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h， 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长， 大扇形弧长， 由知道 ， 则圆台的侧面积， 所以，所以 ， 所以高 ， 所以圆台的体积 11．（25-26高一下·全国·课后作业）若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 【答案】/ 【分析】由圆锥侧面展开图的面积公式结合条件即可求得底面半径，再由锥体体积公式进行计算即可. 【详解】易知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为， 则，，则高． 则圆锥的体积， 故答案为：. 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，中的三边长分别是，，，则以边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积为______________． 【答案】 【分析】因为为直角三角形，由题意可知得到的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径，母线长分别是3，4，求出两圆锥的侧面积之和即可. 【详解】在中，作交于点，如下图： 又，，，则， ，． 那么以的边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得到的旋转体是两个同底的圆锥， 且底面半径，母线长分别是3，4， 故答案为：. 13．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】 【分析】由题意可得该几何体为一个圆台从半径较小的底面挖去一个圆锥，由圆台、圆锥的表面积、体积公式运算即可得解. 【详解】由，得． 又因为，所以． 因为，， 所以． 所以几何体的表面积 ． ． ． ． 14．（25-26高一·全国·假期作业）如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 【答案】(1)4992g (2)72000g 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助铁的密度求出铁的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而铁的密度为，所以生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为（）， 因此1000个零件的表面积为， 所以需油漆的质量为（）. 15．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）．    (1)若，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积； (3)当为何值时，圆柱的侧面积最大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件知设球心为的中点，结合题设条件求出，再利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求解； （2）设，根据条件得到，进而求出，再利用圆柱和圆锥的表面积公式，即可求解； （3）设，根据条件得圆柱的侧面积为，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）如图，设球心为，由题知为的中点，且（其中为外接球的半径）， 又球半径为，，则， 所以，则圆柱的体积为，圆锥的体积为， 则几何体的体积.      （2）因为，不妨设， 由题知，得到， 则，又，则， 所以圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为， 所以几何体的表面积为. （3）设，则， 则圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大. 16．（24-25高一下·山西太原·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．球的体积可以利用祖暅原理求出．如图，左边是一个半径为的半球（用经过球心的平面截球体所得的几何体），右边是从底面半径和高均为的圆柱中挖去一个以该圆柱的上底面为底面､下底面圆心为顶点的圆锥所得到的几何体，这两个几何体在同一平面上．现用任意一个平行于的平面截这两个几何体，记左边半球被平面截得的截面面积为，右边几何体被平面截得的截面面积为． (1)当平面与的距离为时，求的值； (2)利用祖暅原理求此半球的体积，并由此给出球体的体积公式． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）结合题意，判断截面形状，再利用公式求即可； （2）由（1）得到对于任意，都有，利用祖暅原理将左边半球的体积转化为右边几何体体积求解即可. 【详解】（1）当平面与的距离为时， 由题意得左边半球被平面截得的截面为圆面， 其半径，则； 右边几何体被平面截得的截面为圆心相同的圆环，易得大圆的半径为， 因为圆柱的高等于底面半径，所以小圆的半径为，则． （2）由（1）得当平面与的距离为时，， 即对于任意，都有， 由祖暅原理可得左边半球的体积等于右边几何体体积， 即， 所以半径为的球体的体积公式为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $