精品解析：2025-2026学年全国华侨港澳台高三下学期第二次模拟联合考试数学试卷

2025-2026学年全国华侨港澳台 第二次模拟联合考试 数学 一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数 满足（为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数 是奇函数，且时，，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 6. 在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A. B. 4 C. D. 2 8. 将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题6分，共30分．） 11. 若 是多项式的因式，且 除的余式为5，则除以的余式是___________． 12. 在中，角 所对的边分别为 ，且，则 ___________． 13. 函数的最小值是__________. 14. 在菱形中，，将沿 折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 15. 函数满足：任意.且.则的最小值是__________. 三、解答题：（本大题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 17. 已知数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：. 18. 游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. （1）求第2次射箭的人是甲同学的概率； （2）甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 19. 已知椭圆C：经过点，为C的右焦点． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线l与C交于，两点（l的斜率存在且不为0），设点B关于x轴的对称点为D，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年全国华侨港澳台 第二次模拟联合考试 数学 一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出集合，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 2. 复数 满足（为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，所以，所以复数 的共轭复数的虚部为1. 3. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，而，则， 因此，又，所以与的夹角为． 4. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】记为条件“”，其解集为， 记为条件“”，其解集为， 因为，所以成立，而不成立， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知函数 是奇函数，且时，，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义列式求解即可. 【详解】由奇函数的定义得， 故选：D. 6. 在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设长方体外接球的半径为 ． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 7. 已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的前项和公式，化简得到，求得，再根据，求出，即可得解. 【详解】由等比数列的前项和公式， 可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即， 所以，解得或（舍去）， 由，可得 ， 所以. 故选：D. 8. 将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解． 【详解】由题得任意放球共有种方法， 如果有1个小球与所在的盒子的编号相同， 第一步，从4个小球中选择1个，使其编号与盒子编号相同.选择的方式有4种； 第二步：不妨设选的是1号球，再对后面的2，3，4进行排列，且3个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种， 所以有1个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法． 由古典概型的概率公式得恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为， 故选：A 9. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线过的定点，当时，最小，再利用勾股定理计算. 【详解】直线可化为， 当 时，，所以直线恒过定点， 当时，圆心到直线的距离最大，此时最小， 又圆，则，， 则， 故的最小值为. 故选：A 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，所以可设焦点，利用向量的坐标关系，用表示出点、的坐标，利用，建立关于、 、的方程，根据的关系，结合离心率公式，求解离心率. 【详解】椭圆焦点，其中，离心率， 设在轴上，故， 由得：解得，即， 由， 故，因在第四象限，，故，得， 在椭圆上，代入，化简得：， 代入，整理得：， 令，解二次方程得（舍去），故. 故选：D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题6分，共30分．） 11. 若 是多项式的因式，且 除的余式为5，则除以的余式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知的除式形式确定余式的形式设余式，利用因式定理和余数定理构造方程，联立方程求出余式． 【详解】是二次多项式， 除以的余式次数必小于2，设余式为， 则可以设， 是多项式的因式， ，即， 化简得 ， 除的余式为5， ，则，化简得， ，解得 ， ， ． 故答案为：． 12. 在中，角 所对的边分别为 ，且，则 ___________． 【答案】4或 【解析】 【详解】由，得，由余弦定理. 当时，， ，此时三角形为直角三角形； 当时，，，此时三角形为钝角三角形. 13. 函数的最小值是__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先根据二倍角的余弦公式化简函数，然后根据二次函数的性质确定最小值. 【详解】.设， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值为. 14. 在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作的中点，作 平面，以为坐标原点，为轴，过作 的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，根据几何关系可得为正三角形，分别表示出各点的坐标，利用向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】作的中点，作 平面，以为坐标原点，为轴， 过作 的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设 ，则，可得为正三角形， 于是，得到， 且， 则， 故． 故答案为： 15. 函数满足：任意.且.则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件等式变形为，再构造函数，得到，并迭代得到，由此得到，并求和，利用放缩法，即可求解最小值. 【详解】因为，所以， 设，那么， 因此 ， 因此， 取，得到，所以， 所以的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是通过构造得到，关键二是得到的解析式，关键三是根据，利用放缩法求和. 三、解答题：（本大题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 17. 已知数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）因为， 所以， 故 . 【解析】 【分析】（1）由，得，从而为常数列； （2）求出通项公式，裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为，得， 所以， 数列为常数列，则， 所以，. 【小问2详解】 略 18. 游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. （1）求第2次射箭的人是甲同学的概率； （2）甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列如下： . 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【小问1详解】 第2次射箭的人是甲同学有以下两种情形： 情形一：第1次是甲同学，且射中； 情形二：第1次是乙同学，没射中， 所以第2次射箭的人是甲同学的概率为 ； 【小问2详解】 由题意可知 ， ， ， ， 所以的分布列如下： 所以 . 19. 已知椭圆C：经过点，为C的右焦点． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线l与C交于，两点（l的斜率存在且不为0），设点B关于x轴的对称点为D，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点距离公式求出，再利用求解即可； （2）设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理得出，，再根据直线与直线的斜率之和为0建立等式，证明直线过定点，表示出，利用基本不等式求最值． 【小问1详解】 如图所示， 因为为C的右焦点，则 ，且椭圆左焦点为， 所以， 所以，， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 设直线方程为，，，， 联立，得， ，即， ，， 因为点B关于x轴的对称点为D，则直线与直线的斜率之和为0， 所以， 即，即， 得，即，所以直线过定点，且， 所以 即，令， ， 当且仅当时，即时，面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $