期中培优：利用平行线的性质探究角度数量关系讲义-2025-2026学年 北师大版七年级数学下册

期中培优：利用平行线的性质探究角度数量关系讲义 期中培优：利用平行线的性质探究角度数量关系讲义 知识点解析 一、核心原理 依托平行线的三大性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合对顶角相等、邻补角互补等基础角的关系，通过作辅助平行线构造相等/互补角，实现角的等量代换与和差转化，推导出角度间的数量关系（相等、互补、和差倍分），本质是平行线造等角/补角，角的代换定数量关系。 二、通用解题思路 1. 标已知，定平行关系：标注题干中已知的平行线、相等/互补角，明确平行线的截线，锁定直接可推导的等角/补角； 1. 构辅助线，补平行链：若无直接截线或角无法关联，过角的顶点作已知平行线的平行线，构造新的同位角/内错角/同旁内角，搭建所有待探究角的联系桥梁； 1. 代换转化，推数量关系：利用平行线性质、对顶角/邻补角性质进行角的等量代换，通过角的和差拼接，化简推导出待探究角度的相等、互补或和差倍分关系。 三、核心技巧与注意事项 1. 辅助线核心：过“折点”作平行线，是解决折线型平行线角度问题的唯一关键，折点有几个则作几条； 1. 截线锁定：平行线的性质需依托公共截线发挥作用，找准截线才能正确对应同位角/内错角/同旁内角； 1. 代换无遗漏：所有角的转化均需有依据，不盲目等同，结合图形标注代换过程，避免角的混淆； 1. 多平行传递：若有多组平行线，利用“平行于同一直线的两直线互相平行”串联，统一角的转化标准。 例题分析 例1．（25-26七年级下·四川成都·月考）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点H是直线与外一点，连接、． (1)如图1，延长交于点K，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线的反向延长线交的角平分线于点N，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，点P、H、Q在同一直线上，直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作，过点作，则，可设，由得到，故，，因此得到，即：； （3）设，则，过点作，过点作，过点作，则，则，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故． 【详解】（1）解：过点H作， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：过点作，过点作， 平分平分， ∴， 设， ， ， ， ， ， 即； （3）解：过点作，过点作，过点作， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 即． 例2．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）过点作直线，利用平行线的性质求解； （2）设，则可得，列方程求得，根据平行线的性质可得，再利用平行线的性质求得即可； （3）分类讨论，画出图形，利用平行线的性质，逐一列方程求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，过点作直线， ， ， ， ． ， ； （2）解：设， 则， ， ， （对顶角相等）， ， 解得， ， ， ， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， 的平分线与直线交于点， ， ， ， （3）解：如图，过点作，过点作，过点作， 当时，延长交于点， 根据题意可得，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 综上，当时，或或． 例3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 (1)如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则_____． (2)如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请问与之间满足的数量关系是？说明理由． 【综合应用】 (3)在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)不变， 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等证出，即，又因为，得到，再等量代换，得出，即可解答； （2）过点F作，根据两直线平行，内错角相等即可解答，也是平行线+折线（一个折点）模型问题； （3）设，再根据共顶点的，角，用含α的式子表示出，，再根据得，然后由（2）的方法可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：，理由： 如图2，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：不变，， 理由如下： ∵分别平分， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）方法可得． 例4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，直线与和分别交于点、，为上一点，为上一点，连接． (1)如图，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图，点为直线和直线之间一点，连接和，若，，  求的度数； (3)如图，若，垂足为点，与的角平分线相交于点，的角平分线与的角平分线所在直线相交于点，与的角平分线相交于点，求证：．（注意：若使用三角形内角和等于，请证明．） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）过点作，由平行线的性质和垂线的定义可得，，进而即可求解； （）延长交直线于点，设，，可得，，即得，，，进而根据得到，再根据即可求解； （）先证明三角形的内角和等于，如图，连接并延长交直线于点，由角平分线的定义可得，即得，即得到，进而得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得，即可求证； 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：如图，延长交直线于点， 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵直线， ∴，， 由（）可得，， ∴， ∴， 由（）可得，； （3）证明：如图，过点作， ∴，， ∵， ∴，即三角形的内角和等于， 如图，连接并延长交直线于点， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， 由（）可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∵平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式训练 变式1．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知直线，和，分别交于点，，点在直线上，且不与点，重合，点，分别在直线，上．记，，． (1)当点在图1位置时，若，，求的度数； (2)当点在图2位置时，请写出 ，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，得到，结合题意可得，推出，即可求解； （2）过点作，得到，结合题意可得，推出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ． 变式2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我市为提升生态长廊的夜景效果，在两条笔直平行的景观道，上安装旋转灯．旋转灯的光束自顺时针旋转至再回转，灯的光束自顺时针旋转至再回转，两灯不停交叉照射． (1)如图1，若灯的光束顺时针旋转，光束与交于点，为上一点，且，则______． (2)已知灯每秒转，灯每秒转，若灯先转20秒后灯开始转， ①如图2，灯转40秒后，两灯的光束的夹角为，则的值为______． ②如图3，当时，在灯射线到达之前，灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图4，在转动过程中，若某一时刻两灯的光束交于点，此时点为射线上一点，与的角平分线交于点，求和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②灯转动10或85秒时，两灯的光束互相平行 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． （1）根据题意可知，，，根据平角的定义和平行线的性质即可得出答案； （2）①设两灯的光束交于点，过作，根据平行线的性质得，，则，根据题意得，，进而算出，，根据“转速=转过的角度÷时间”列出算式计算，即可求解；②分两种情况讨论：灯的光束未达到之前与灯的光束达到之后开始回转两种情况，根据平行线的性质找到角相等，列方程求解即可； （3）设与交于点，根据平行线的性质得，即，，根据角平分线得，，再根据角平分线和三角形内角和得，以此化简即可解答． 【详解】（1）解：如图， 依题意得：， ， ． ． ， ． （2）解：①如图，设两灯的光束交于点，过作， 由题意可得，， ， ． ，． ． ． ． ． ②设灯转动秒时，两灯的光束互相平行， 如图，灯射线与交于点，灯射线与交于点， ， ． ， ． ． 依题意得：，， ，解得． 如图，灯的光束自顺时针旋转至再回转，与交于点，灯射线与交于点， ， ． ， ． ． 依题意得：，， ，解得． 综上所述：灯转动10或85秒时，两灯的光束互相平行． （3）解：，理由如下： 如图，设与交于点， ， ，即． ． 、分别为与的角平分线， ，． ， ，即． ， ． ， ∴． ， ． ，即． 变式3．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）已知如图1，，，试回答下列问题： (1)则的度数是________；理由：________． (2)如图2，把向下平移，分别交、、于点E、F、G，请你写出一个还能求出的角的度数，说明理由． (3)如图3，连接，写出，，的关系并说明理由． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等 (2)（答案不唯一），见解析 (3)结论：；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出答案． （2）根据平行线的性质和平移的性质即可得出答案． （3）根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴（两直线平行，内错角相等）； 故答案为：，两直线平行，内错角相等； （2）解：根据平移可得， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）（答案不唯一）； （3）解：结论：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 变式4．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图2，点在直线，之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点落在直线的下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵，∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图2，过作， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作， 同理可得， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图3，过作， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作， 同理可得， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； 实战演练 1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线，（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中角的顶点B放在直线上，过角的顶点，作直线的平行线，直线始终位于直线的上方． (1)探究发现：如图1，若，则的度数为 ． (2)若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间． ①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点C恰好落在上，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），连接．若，请求的度数． (3)深入探究：若直角三角板的直角顶点C不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，见解析；② (3) 【分析】（1）根据得出，根据三角形内角和定理推论得出； （2）①根据得出，进而得出，进一步得出结果； ②由（1）得出，再根据平行线的性质计算即可得出结果； （3）分类讨论：当C在下方，在的左侧时，设交于D，根据得出，结合，；同样得出当C在下方，C在右侧时，当点C在上方，在左侧时，当点C在上方，点C在右侧时的情形，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知，， 由平移的性质得出，，， ∴， ∴； （3）解：如图，当C在下方，在的左侧时，设交于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当C在下方，C在右侧时，设交于D， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，当点C在上方，在左侧时，设交于D， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，当点C在上方，点C在右侧时，设交于D， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：和之间的数量关系是． 2．（24-25七年级下·吉林四平·期中）如图1所示，线段，交于点A．过点D作直线，，交于点G，再过点C作，点C不与A、D重合． (1)如图1，若点C在线段上，且，请求出的度数． (2)如图2，若点C在线段上，且为锐角时，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若点C在线段的延长线上，且点G在直线的上方时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由垂线的定义得出，由三角形内角和得出，由平行线的性质即可得出． （2）由垂线的定义得出，由平行线的性质得出，，等量代换可得出． （3）由平行线的性质得出，，由垂线的定义得出，由角的和差关系得出，等量代换可得出． 【详解】（1）解：设与交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：与的数量关系是∶，理由如下∶ ∵， ∴，即， ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：与的数量关系是∶， 理由如下∶如图所示∶ ∵， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：利用平行线的性质探究角度数量关系讲义 期中培优：利用平行线的性质探究角度数量关系讲义 知识点解析 一、核心原理 依托平行线的三大性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合对顶角相等、邻补角互补等基础角的关系，通过作辅助平行线构造相等/互补角，实现角的等量代换与和差转化，推导出角度间的数量关系（相等、互补、和差倍分），本质是平行线造等角/补角，角的代换定数量关系。 二、通用解题思路 1. 标已知，定平行关系：标注题干中已知的平行线、相等/互补角，明确平行线的截线，锁定直接可推导的等角/补角； 1. 构辅助线，补平行链：若无直接截线或角无法关联，过角的顶点作已知平行线的平行线，构造新的同位角/内错角/同旁内角，搭建所有待探究角的联系桥梁； 1. 代换转化，推数量关系：利用平行线性质、对顶角/邻补角性质进行角的等量代换，通过角的和差拼接，化简推导出待探究角度的相等、互补或和差倍分关系。 三、核心技巧与注意事项 1. 辅助线核心：过“折点”作平行线，是解决折线型平行线角度问题的唯一关键，折点有几个则作几条； 1. 截线锁定：平行线的性质需依托公共截线发挥作用，找准截线才能正确对应同位角/内错角/同旁内角； 1. 代换无遗漏：所有角的转化均需有依据，不盲目等同，结合图形标注代换过程，避免角的混淆； 1. 多平行传递：若有多组平行线，利用“平行于同一直线的两直线互相平行”串联，统一角的转化标准。 例题分析 例1．（25-26七年级下·四川成都·月考）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点H是直线与外一点，连接、． (1)如图1，延长交于点K，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线的反向延长线交的角平分线于点N，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，点P、H、Q在同一直线上，直接写出的值（用含n的式子表示）． 例2．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 例3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 (1)如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则_____． (2)如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请问与之间满足的数量关系是？说明理由． 【综合应用】 (3)在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 例4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，直线与和分别交于点、，为上一点，为上一点，连接． (1)如图，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图，点为直线和直线之间一点，连接和，若，，  求的度数； (3)如图，若，垂足为点，与的角平分线相交于点，的角平分线与的角平分线所在直线相交于点，与的角平分线相交于点，求证：．（注意：若使用三角形内角和等于，请证明．） 变式训练 变式1．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知直线，和，分别交于点，，点在直线上，且不与点，重合，点，分别在直线，上．记，，． (1)当点在图1位置时，若，，求的度数； (2)当点在图2位置时，请写出 ，，之间的关系，并说明理由． 变式2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我市为提升生态长廊的夜景效果，在两条笔直平行的景观道，上安装旋转灯．旋转灯的光束自顺时针旋转至再回转，灯的光束自顺时针旋转至再回转，两灯不停交叉照射． (1)如图1，若灯的光束顺时针旋转，光束与交于点，为上一点，且，则______． (2)已知灯每秒转，灯每秒转，若灯先转20秒后灯开始转， ①如图2，灯转40秒后，两灯的光束的夹角为，则的值为______． ②如图3，当时，在灯射线到达之前，灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图4，在转动过程中，若某一时刻两灯的光束交于点，此时点为射线上一点，与的角平分线交于点，求和的数量关系，并说明理由． 变式3．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）已知如图1，，，试回答下列问题： (1)则的度数是________；理由：________． (2)如图2，把向下平移，分别交、、于点E、F、G，请你写出一个还能求出的角的度数，说明理由． (3)如图3，连接，写出，，的关系并说明理由． 变式4．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图2，点在直线，之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点落在直线的下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？请说明理由． 实战演练 1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线，（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中角的顶点B放在直线上，过角的顶点，作直线的平行线，直线始终位于直线的上方． (1)探究发现：如图1，若，则的度数为 ． (2)若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间． ①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点C恰好落在上，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），连接．若，请求的度数． (3)深入探究：若直角三角板的直角顶点C不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系． 2．（24-25七年级下·吉林四平·期中）如图1所示，线段，交于点A．过点D作直线，，交于点G，再过点C作，点C不与A、D重合． (1)如图1，若点C在线段上，且，请求出的度数． (2)如图2，若点C在线段上，且为锐角时，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若点C在线段的延长线上，且点G在直线的上方时，请直接写出与的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $