专题04两条直线的位置关系期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题04两条直线的位置关系期中复习讲义 期中复习◆重点 1.牢记同一平面内两条直线的位置关系，掌握对顶角、邻补角的定义及性质，能熟练进行基础角度计算； 2.掌握垂直的定义、垂线的基本性质，区分点到直线的距离与两点间距离，解决相关基础应用题； 3.重点掌握平行线的判定方法与性质，能准确区分判定与性质，规范书写几何证明步骤； 4.突破三线八角识别、拐点模型两大难点，能运用“过拐点作平行线”的方法解决压轴角度计算问题； 核心题型◆归纳 题型1平面内两直线的位置关系 题型2立体图形中平行的棱 题型3对顶角的性质 题型4与余角、补角有关的计算 题型5垂线的定义理解 题型6垂线段最短 题型7点到直线的距离 题型8用直尺、三角板画平行线 题型9平行公理及推论的应用 题型10两直线平行的判定 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点01同一平面内两条直线的位置关系 1.两种位置关系：（1）相交（有且只有一个公共点）、（2）平行（没有公共点）（如下图） 2. 关键补充：垂直是特殊的相交（相交成90°角），注意前提是“同一平面内”，空间中存在异面直线（不相交也不平行） 知识点02相交线相关概念与性质 1. 对顶角 （1）定义：两条直线相交时，相对的两个角是对顶角，如下图（有公共顶点，两边互为反向延长线）； （2）性质：对顶角相等，即∠1=∠2； （3）易错提醒：相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的两个底角）。 2. 邻补角 （1）定义：两条直线相交时，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角； （2）性质：邻补角互补（和为180°），邻补角一定是互补的，如下图：∠1+∠2=180°。（互补的角不一定是邻补角）。 知识点03垂直的核心考点 1. 定义：两条直线相交成90°（直角），则这两条直线互相垂直，记作AB⊥CD，其中一条直线是另一条直线的垂线，公共顶点O叫做垂足； 2.垂线的基本性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（“一点”可在直线上，也可在直线外）； （2）垂线段最短（常考最短路径、距离计算问题，）； 3.距离辨析： （1）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是垂线段本身）； （2）两点间的距离：连接两点的线段的长度（注意与点到直线的距离区分，避免混淆）。 知识点04平行线的定义 1. 定义：在同一平面内，没有公共点的两条直线，叫做平行线，记作：A∥B。 前提：必须强调 “同一平面内”。 知识点05两直线平行的条件 1.同位角相等 ⇒ 两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。 几何语言： ∵ ∠1 = ∠2 ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行） 2. 内错角相等 ⇒ 两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行。 几何语言： ∵ ∠1 = ∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 3.同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同旁内角和为180°（互补），则两直线平行。 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点06平行线的画法 1.用直尺和三角板作平行线的步骤： 1 放三角板，使一条直角边与已知直线重合；② 移动三角板，使另一条直角边过直线外的已知点；③ 沿该直角边画直线，即为所求平行线（可结合平行公理验证：只能画出一条）。 知识点07平行公理 1.定义：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 前提：“直线外一点”（若点在直线上，无法作已知直线的平行线）； 核心：“有且只有一条”（“有” 表示存在性，“只有一条” 表示唯一性，二者缺一不可）。 2.平行公理的推论（平行线的传递性） （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 如下图：若 a∥b，b∥c，则 a∥c。 3.平行公理的应用 基础应用：过直线外一点作已知直线的平行线。 知识点08“三线八角”识别 1.定义：由一条截线和两条被截直线组成的八个角，称为三线八角； 2.快速识别技巧（记形状）： （1）同位角：“F”型（在截线同侧，被截直线同一方向）； （2）内错角：“Z”型（在截线两侧，被截直线之间）； （3）同旁内角：“U”型（在截线同侧，被截直线之间）； 3.易错提醒：只有在“同一条截线、两条被截直线”组成的图形中，才有三线八角，脱离这个前提的角，不属于同位角、内错角或同旁内角。 4.拐点模型应用 核心方法：过拐点作平行线，利用平行线性质拆分角度、转化计算； 常见模型：铅笔模型（拐角 + 同旁内角 = 180°）、猪蹄模型（拐角 = 内错角之和）。 题型解析◆精准备考 题型1平面内两直线的位置关系 1．同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据已知条件结合平行线性质推导b与c的位置关系即可． 【详解】解：∵同一平面内，，， ∴根据平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它也垂直于另一条， ∴，即b与c互相垂直． 因此答案选B． 2．在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：与后续直线的位置关系以4为周期循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导出一般性规律，与后续直线的位置关系以4为周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】(1)①，③，②，④ (2)不是，同一平面 【分析】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的判定方法，垂直的定义． （1）平行线的判定方法，垂直的定义即可判断； （2）由图形即可得到答案． 【详解】（1）根据图可知，，，， 故答案为：①，③，②，④； （2）与所在的直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线． 故答案为：不是，同一平面． 题型2立体图形中平行的棱 1．五棱柱中，与其中一条侧棱平行的侧棱有（   ）条 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查五棱柱的知识，熟记五棱柱的特征，是解决此类问题的关键； 五棱柱有五条侧棱，所有侧棱互相平行，因此对于任意一条侧棱，其余四条都与它平行． 【详解】∵ 五棱柱的侧棱均互相平行， ∴ 任取一条侧棱，与之平行的侧棱有4条（不包括自身）． 故选：B． 2．在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有_________条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相_________． 【答案】 3 垂直 【分析】本题考查了正方体的结构特征，熟练掌握基本特征是解题的关键 根据正方体的结构特征，其12条棱分为3组互相平行的棱，每组4条；每个顶点处的三条棱两两垂直。 【详解】正方体的12条棱可分为3组，每组4条棱互相平行，因此每条棱有且仅有3条棱与它平行；与同一个顶点相连的三条棱互相垂直． 故答案为：3，垂直； 3．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行 【分析】（1）根据长方体的立体结构画出即可． （2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可． （3）因为线与面没有交点，所以平行． 【详解】解：（1）如图即为补全的图形； （2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH； 故答案为：CD、EF、GH； （3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了平行线的判断，理解平行线的定义是解题关键． 题型3对顶角的性质 1．如图，直线、、交于点，若，则与的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对顶角相等以及平角的性质，即可得出结果． 【详解】解：如下图： ∵， ∵， ∴． 2．如图，直线相交于点，则的度数为________． 【答案】/43度 【分析】根据对顶角相等，求解即可． 【详解】解：根据对顶角相等，得， ， ， 解得． 3．如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】先求出的度数，则可得的度数，再求出和的度数，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由对顶角相等得：， ∴． 题型4与余角、补角有关的计算 1．将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平角的定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，． 2．已知，以O为顶点作射线，．若，，则的度数为___． 【答案】或或或 【分析】分情况讨论：①、在直线同侧，②、在直线异侧，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：①、在直线同侧， 如图，当、在直线上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，当、在直线下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②、在直线异侧， 如图，当在直线上方、在直线下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，当在直线下方、在直线上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为__________； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解； （2）设，根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，根据，即可求解； （3）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设． 因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以； （3）解：因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 题型5垂线的定义理解 1．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线相交于点，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据垂线段的性质，垂直的定义，对顶角的定义和点到直线的距离定义逐一判断即可． 【详解】解：①连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，原说法缺少“直线外”的前提条件，故错误错误； ②直线相交于点，若，则，原说法正确； ③相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，原说法正确； ∴说法正确的有2个． 2．在同一平面内，若，且，则的度数为____． 【答案】或 【分析】根据垂直的定义可得，结合已知比例求出，再分两种情况讨论的位置，计算的度数． 【详解】解：由题意，分两种情况讨论： ∵， ， ， ； ① 当与在同侧，即在内部时， ； ② 当与在两侧，即在外部另一侧时 ． 3．如图，直线与交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂线的定义可得，即可得出，由角平分线的定义得出，再利用邻补角计算即可得出答案； （2）由题意得出，表示出，根据角平分线的定义得出，结合求出，再求出的度数，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ． 平分， ， ． （2）解：比大， ， ． 平分， ． ， ， 解得， ， ． 题型6垂线段最短 1．某村为号召村民利用屋顶资源建立太阳能发电板．在一个无风的日子，一辆宣传车在直线形成的公路上由向行驶，如图，是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位置时，村庄听到宣传车内容最清晰（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据点到直线垂线段最短求解即可． 【详解】解：根据题意，， 则点O到的最短距离为的长， ∴当宣传车行驶到点N时，该户村民听到的内容最清楚． 2．已知点P在直线l外，点均在直线l上，，则点到直线的距离是______（填“”或具体值）． 【答案】 【分析】点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据点到直线的距离定义以及垂线段最短的性质，判断点到直线的距离的取值范围即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，点到直线的垂线段长度是所有连接点与直线上点的线段中最短的． ∵，，， ∴点到直线的距离不大于， 即点到直线的距离为． 3．如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段： （1）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【详解】（1）解：如图所示，垂线段，即为所求． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． （2）∵， ∴点与直线上各点的连线中垂线段最短． ∴． 题型7点到直线的距离 1．如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（    ） A．线段的长是点到直线的距离 B．、、三条线段中，最短 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 【答案】C 【分析】本题主要考查相交线，根据“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，逐项判断即可 【详解】A、因为，所以线段的长是点到直线的距离，说法正确，该选项不符合题意； B、因为，且，均不垂直于直线，所以、、三条线段中，最短，说法正确，该选项不符合题意； C、因为，所以线段的长是点到直线的距离，原说法错误，该选项符合题意； D、因为，所以线段的长是点到直线的距离，说法正确，该选项不符合题意； 故选：C 2．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 3．三角形在网格中的位置如图所示． (1)用三角尺过点A画出的垂线，垂足为D；过点C画出的垂线，垂足为E； (2)在（1）的条件下． ①点C到的距离是线段________的长；线段的长是点________到直线________的距离； ②比较大小： ________（填“”“”或“”）；依据是：________． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②，垂线段最短 【分析】（1）根据要求，作图即可； （2）①根据点到直线的距离的定义进行作答即可；②根据垂线段最短，作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：①点C到的距离是线段的长；线段的长是点到直线的距离； ②，依据：垂线段最短． 题型8用直尺、三角板画平行线 1．已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：将三角板中的角与重合，再从点处沿着直线平移，当三角板中的角的顶点与点重合时，画出的直线即为直线的平行线．理由是：同位角相等，两直线平行． 故选：C． 2．已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是__________；其依据是_____________． 【答案】 经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是画平行线，平行线的判定，根据画平行线的方法可得答案． 【详解】解：直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；其依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；同位角相等，两直线平行； 3．如图，内有一点． (1)用三角板，直尺过点画，交于点；画，垂足为，交于点； (2)在（1）的基础上判断：图中线段，PG，中最长的是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用推平行线法作平行线，再根据三角板有直角，作垂线段； （2）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：作图如下： （2） 解：根据垂线段最短，可得比短，所以最长的是． 题型9平行公理及推论的应用 1．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线和对顶角的相关概念，需根据初中数学教材中的定义和公理进行判断，即可 【详解】（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行：该说法错误，因为只有当点不在已知直线上时成立，若点在已知直线上，则无法作出平行线； （2）不相交的两条直线叫做平行线：该说法错误，因为缺少“在同一平面内”的条件； （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种：该说法正确； （4）相等的角是对顶角：该说法错误，因为相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角； 错误的有（1）、（2）、（4），共3个， 故选C 2．如图，已知，添加下列一个条件：①；②；③；④．其中能判定的是______（填序号）．    【答案】①③④ 【分析】根据证得，结合每一个选项中的条件证得，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意； ②∵，，∴，∴不平行，∴不能判定，故错误，故不符合题意； ③∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意； ④∵，∴，∵，∴，∴，∴，故正确，故符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，平行公理的应用，正确掌握平行线的判定定理是解题的关键． 3．如图，点在的边上．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线的垂线，垂足为点；点到直线的距离是线段______的长，约等于_____（精确到）； (2)过点画直线，若，则的度数为_______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意画出，垂足为点，根据点到直线的距离等于垂线段的长度即可得出结论，用带有刻度的直尺度量的长度即可； （2）根据题意，画出直线，根据平行线的性质以及垂线的定义即可得出的度数． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 点到直线的距离是线段的长，约等于， 故答案为：，． （2）解：如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画垂线，点到直线的距离，平行线的性质，垂线段的定义，掌握以上知识是解题的关键． 题型10两直线平行的判定 1．如图，下列判断错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A．，，原选项判断正确，不符合题意； B．，，原选项判断正确，不符合题意； C．，，原选项判断错误，符合题意； D．，，原选项判断正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图，因为，，所以______，所以____________，理由是_________． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，据此即可解答． 【详解】解：因为，， 所以， 所以，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：；；；同旁内角互补，两直线平行． 3．在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了（如图1），其实这是光的折射现象．如图2，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中时发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法． (1)请你为小聪的解题过程补充理由或结果； (2)请你在方框里帮小明写出他的解答过程． 小聪： 解：（已知）， （   ） （已知）， ． （   ）， ． （已知）， （   ） 小明：                 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． （1）由平行线的性质得，然后根据即可求解； （2）由平行线的性质得，由对顶角的性质得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， ． （平角的定义）， ． （已知）， （2）（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （对顶角相等） ． 过关检测◆提升 一、单选题 1．同一平面内两条直线的位置关系有（   ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，掌握基础概念，明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系即可求解． 【详解】解：∵ 同一平面内，不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系，垂直是相交的特殊情况，不单独作为一类位置关系． ∴ 只有选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 2．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查点和线的位置关系，角的表示以及相关的数学语言，根据点和线的位置关系以及数学语言判断即可． 【详解】解：A．点P在直线m外，该选项错误； B．直线m和n相交于点O，该选项正确； C．可以表示成，该选项错误； D．射线和射线表示不同射线，该选项错误． 故选：B． 3．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、图中，但不一定互余，不符合题意； B、图中，不互余，不符合题意； C、图中，不互余，不符合题意； D、图中，互余，符合题意； 4．已知，如图所示，，垂足为O，为过O点的一条直线，则与的关系一定成立的是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【答案】B 【分析】根据图形可看出，，，即可得． 【详解】解：图中，，， ∴， ∴与互余． 故选：B． 5．在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，为它们的完美点，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据的不同位置分情况讨论，计算得到的度数． 【详解】根据完美交线定义，可知直线与交于，其中一个夹角为，结合，分两种情况讨论： ①当与点在直线同侧时， 设， ， ， ； ②当与点在直线两侧时， 设， ， ， ； 因此的度数为或． 6．如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据同旁内角定义进行判断即可． 【详解】解：图中与构成同旁内角的角为，，，共个． 二、填空题 7．如图，，，则点在同一直线上，理由是______． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 8．如图，点在直线上，点，在直线上，，，垂足分别为，，，，，则点到直线的距离为______． 【答案】4 【分析】根据点到直线的距离定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离为线段的长，即点到直线的距离为4． 9．如图，（1）因为，所以_______；（2）因为_______，所以；（3）因为，所以_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）根据同位角相等，两直线平行即可解答； （3）根据同旁内角互补，两直线平行即可解答； 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； 故答案为：；；． 10．如图，直线AB，CD相交于点O，，，OB平分．给出下列结论，其中正确的结论是__________．（填序号） ①当时，；②OD平分；③与相等的角有3个；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判断③；根据平角的定义以及，即可判断④． 【详解】解：， ， ， ∴， ， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴，故①正确，符合题意； 不能证明， 无法证明为的角平分线，故②错误，不符合题意； 平分， ． 直线，交于点， ． ， ∴， ， 与相等的角至少有3个，故③正确，符合题意； ，， ，故④正确，符合题意． 综上，正确的结论有①③④． 三、解答题 11．如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）先由得，结合求出的度数，再由平分，得到的度数，接着通过求出，最后根据对顶角相等，由得到的度数； （2）先由与互补，得，再结合与互为邻补角，根据同角的补角相等推出，同时减去后，得到，从而得到． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． （2）解：．理由如下： 因为与互补， 所以． 因为， 所以． 所以， 即． 所以． 12．在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题 (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 【答案】(1)4；3 (2) 【分析】本题主要考查点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离： （1）点A到直线的距离为线段的长度，点到直线的距离为线段； （2）点到直线的距离为线段的长度． 【详解】（1）因为， 所以． 所以点A到直线的距离为线段的长度， 点到直线的距离为线段的长度． 故答案为：； （2）因为， 所以点到直线的距离为线段的长度． 因为． 所以． 13．如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为________  （________）， ________， 所以________． 又因为________， 所以__________． 所以（_____________________）． 【答案】 对顶角相等 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与对顶角的性质，掌握利用对顶角相等转化角度，得到相等的同位角，从而判定两直线平行是解题的关键． 先利用对顶角相等的性质，将转化为，再结合已知的度数，得到与相等，最后根据同位角相等，两直线平行的判定定理，证明． 【详解】解：（对顶角相等）， ， ， 又， （ 同位角相等，两直线平行）． 14．如图，点在的边上．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线的垂线，垂足为点；点到直线的距离是线段______的长，约等于_____（精确到）； (2)过点画直线，若，则的度数为_______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意画出，垂足为点，根据点到直线的距离等于垂线段的长度即可得出结论，用带有刻度的直尺度量的长度即可； （2）根据题意，画出直线，根据平行线的性质以及垂线的定义即可得出的度数． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 点到直线的距离是线段的长，约等于， 故答案为：，． （2）解：如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画垂线，点到直线的距离，平行线的性质，垂线段的定义，掌握以上知识是解题的关键． 15．完成下列证明，在括号内填写出推理依据 已知：，，求证：． 证明：（______）， 又 （______）． ______（______）． （______）． 又， ． ∴（______）． 【答案】对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用性质和判定定理进行推理是解此题的关键． 求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】证明：∵（对顶角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵． ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04两条直线的位置关系期中复习讲义 期中复习◆重点 1.牢记同一平面内两条直线的位置关系，掌握对顶角、邻补角的定义及性质，能熟练进行基础角度计算； 2.掌握垂直的定义、垂线的基本性质，区分点到直线的距离与两点间距离，解决相关基础应用题； 3.重点掌握平行线的判定方法与性质，能准确区分判定与性质，规范书写几何证明步骤； 4.突破三线八角识别、拐点模型两大难点，能运用“过拐点作平行线”的方法解决压轴角度计算问题； 核心题型◆归纳 题型1平面内两直线的位置关系 题型2立体图形中平行的棱 题型3对顶角的性质 题型4与余角、补角有关的计算 题型5垂线的定义理解 题型6垂线段最短 题型7点到直线的距离 题型8用直尺、三角板画平行线 题型9平行公理及推论的应用 题型10两直线平行的判定 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点01同一平面内两条直线的位置关系 1.两种位置关系：（1）相交（有且只有一个公共点）、（2）平行（没有公共点）（如下图） 2. 关键补充：垂直是特殊的相交（相交成90°角），注意前提是“同一平面内”，空间中存在异面直线（不相交也不平行） 知识点02相交线相关概念与性质 1. 对顶角 （1）定义：两条直线相交时，相对的两个角是对顶角，如下图（有公共顶点，两边互为反向延长线）； （2）性质：对顶角相等，即∠1=∠2； （3）易错提醒：相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的两个底角）。 2. 邻补角 （1）定义：两条直线相交时，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角； （2）性质：邻补角互补（和为180°），邻补角一定是互补的，如下图：∠1+∠2=180°。（互补的角不一定是邻补角）。 知识点03垂直的核心考点 1. 定义：两条直线相交成90°（直角），则这两条直线互相垂直，记作AB⊥CD，其中一条直线是另一条直线的垂线，公共顶点O叫做垂足； 2.垂线的基本性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（“一点”可在直线上，也可在直线外）； （2）垂线段最短（常考最短路径、距离计算问题，）； 3.距离辨析： （1）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是垂线段本身）； （2）两点间的距离：连接两点的线段的长度（注意与点到直线的距离区分，避免混淆）。 知识点04平行线的定义 1.定义：在同一平面内，没有公共点的两条直线，叫做平行线，记作：A∥B。 前提：必须强调 “同一平面内”。 知识点05两直线平行的条件 1.同位角相等 ⇒ 两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。 几何语言： ∵ ∠1 = ∠2 ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行） 2.内错角相等 ⇒ 两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行。 几何语言： ∵ ∠1 = ∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 3.同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同旁内角和为180°（互补），则两直线平行。 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点06平行线的画法 1.用直尺和三角板作平行线的步骤： 1 放三角板，使一条直角边与已知直线重合；② 移动三角板，使另一条直角边过直线外的已知点；③ 沿该直角边画直线，即为所求平行线（可结合平行公理验证：只能画出一条）。 知识点07平行公理 1.定义：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 前提：“直线外一点”（若点在直线上，无法作已知直线的平行线）； 核心：“有且只有一条”（“有” 表示存在性，“只有一条” 表示唯一性，二者缺一不可）。 2.平行公理的推论（平行线的传递性） （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 如下图：若 a∥b，b∥c，则 a∥c。 3.平行公理的应用 基础应用：过直线外一点作已知直线的平行线。 知识点08“三线八角”识别 1.定义：由一条截线和两条被截直线组成的八个角，称为三线八角； 2.快速识别技巧（记形状）： （1）同位角：“F”型（在截线同侧，被截直线同一方向）； （2）内错角：“Z”型（在截线两侧，被截直线之间）； （3）同旁内角：“U”型（在截线同侧，被截直线之间）； 3.易错提醒：只有在“同一条截线、两条被截直线”组成的图形中，才有三线八角，脱离这个前提的角，不属于同位角、内错角或同旁内角。 4.拐点模型应用 核心方法：过拐点作平行线，利用平行线性质拆分角度、转化计算； 常见模型：铅笔模型（拐角 + 同旁内角 = 180°）、猪蹄模型（拐角 = 内错角之和）。 题型解析◆精准备考 题型1平面内两直线的位置关系 1．同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 2．在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 3．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 题型2立体图形中平行的棱 1．五棱柱中，与其中一条侧棱平行的侧棱有（   ）条 A．3 B．4 C．5 D．6 2．在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有_________条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相_________． 3．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 题型3对顶角的性质 1．如图，直线、、交于点，若，则与的度数之和为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点，则的度数为________． 3．如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求的度数． 题型4与余角、补角有关的计算 1．将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．已知，以O为顶点作射线，．若，，则的度数为___． 3．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为__________； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 题型5垂线的定义理解 1．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线相交于点，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在同一平面内，若，且，则的度数为____． 3．如图，直线与交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 题型6垂线段最短 1．某村为号召村民利用屋顶资源建立太阳能发电板．在一个无风的日子，一辆宣传车在直线形成的公路上由向行驶，如图，是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位置时，村庄听到宣传车内容最清晰（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．已知点P在直线l外，点均在直线l上，，则点到直线的距离是______（填“”或具体值）． 3．如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________． 题型7点到直线的距离 1．如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（    ） A．线段的长是点到直线的距离 B．、、三条线段中，最短 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 2．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 3．三角形在网格中的位置如图所示． (1)用三角尺过点A画出的垂线，垂足为D；过点C画出的垂线，垂足为E； (2)在（1）的条件下． ①点C到的距离是线段________的长；线段的长是点________到直线________的距离； ②比较大小： ________（填“”“”或“”）；依据是：________． 题型8用直尺、三角板画平行线 1．已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是__________；其依据是_____________． 3．如图，内有一点． (1)用三角板，直尺过点画，交于点；画，垂足为，交于点； (2)在（1）的基础上判断：图中线段，PG，中最长的是 ． 题型9平行公理及推论的应用 1．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知，添加下列一个条件：①；②；③；④．其中能判定的是______（填序号）．    3．如图，点在的边上．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线的垂线，垂足为点；点到直线的距离是线段______的长，约等于_____（精确到）； (2)过点画直线，若，则的度数为_______（用含的代数式表示）． 题型10两直线平行的判定 1．如图，下列判断错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，因为，，所以______，所以____________，理由是_________． 3．在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了（如图1），其实这是光的折射现象．如图2，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中时发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法． (1)请你为小聪的解题过程补充理由或结果； (2)请你在方框里帮小明写出他的解答过程． 小聪： 解：（已知）， （   ） （已知）， ． （   ）， ． （已知）， （   ） 小明：                 过关检测◆提升 一、单选题 1．同一平面内两条直线的位置关系有（   ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 2．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 3．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，如图所示，，垂足为O，为过O点的一条直线，则与的关系一定成立的是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 5．在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，为它们的完美点，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．如图，，，则点在同一直线上，理由是______． 8．如图，点在直线上，点，在直线上，，，垂足分别为，，，，，则点到直线的距离为______． 9．如图，（1）因为，所以_______；（2）因为_______，所以；（3）因为，所以_______． 10．如图，直线AB，CD相交于点O，，，OB平分．给出下列结论，其中正确的结论是__________．（填序号） ①当时，；②OD平分；③与相等的角有3个；④． 三、解答题 11．如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 12．在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题 (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 13．如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为________  （________）， ________， 所以________． 又因为________， 所以__________． 所以（_____________________）． 14．如图，点在的边上．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线的垂线，垂足为点；点到直线的距离是线段______的长，约等于_____（精确到）； (2)过点画直线，若，则的度数为_______（用含的代数式表示）． 15．完成下列证明，在括号内填写出推理依据 已知：，，求证：． 证明：（______）， 又 （______）． ______（______）． （______）． 又， ． ∴（______）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $