河北石家庄市第二中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷

2025级高一年级4月月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上) 1.已知复数z=i(3+i),则二的虚部为() A.3 B.3i C.-3 D.-3i 2.已知向量ad=(t,1),b=(2,-3),且d/(a-b),则t=() A号 B c. D. 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=150°，sin2A:sin2B=12:25,且b=5,则 C=() A.√万 B.215 C.3 D.√67 4.已知点A(1,3),B(2,4),C(0,5),则AC在AB上的投影向量为() A.(0,0) B.(2,2) a. D.(1,1) 5.在△ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若BE=xAB+yAC,则x=() 2 B.-5 C.g 6 A.3 D.7 6.2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举—横渡长江，以硬核 技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度 约为1000米.若汽车从A地出发，以5√2km1h的静水速度向对岸航行，水流速度为 5km/h,要使航程最短，大约需要()时间（单位：mim) A.4√3 B.6W2 C.6 D.12 7.若复数=满足2-1+2=3，则的最大值为() A.3-V5 B.3+√5 C.3-V2 D.3+√2 8.如图所示，等边△ABC的边长为2，D位边AC上的一点，且AD=AC,△ADE也是等边三角形，若 BE.BD= 9,则2的值是() A.3 B. V3 3 c. D.3 B C 高一年级4月月考数学第1页共4页 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列各式的运算结果是纯虚数的是() A.i1+i)2 B.(1-i)2 C.8+6i D 8-6i 3+4i 3+4i 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的是() A.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 B.若a2+b2<c2,则sinA+sinB<sinC C.若tan Atan B>l,则△ABC为锐角三角形 D.若a cosA=bcos B,则△ABC为等腰三角形 11.已知△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,已知b=4,c=6,△ABC的面积S满足 V3(a2-b2-c2)+4S=0,点O为△ABC的外心，满足AO=AB+AC,则下列结论正确的是() A.S=6√3 B.CB.A0=10 c. D= 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12已知A(2.3),B(4,-3列.点P在线段AB的延长线上且A-引P则点P的坐标为 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A= ，a=7,BC边上的商AD-5V5, 2π 14 则△ABC的周长为 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acos C+√3 asin C-b-c=0,b=3,且点D 满足CD=2DB,|AD=√21，则a= 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.3分)记A4BC的内角4，B,C的对边分别为a6c,且满足血C-=2+2c0s(4+B） sinA (1)求二的值： (2)若c=√7a,求角C的大小 高一年级4月月考数学第2页共4页 16.(15分)如图，Rt△ABC中，∠C=90,AC=6,BC=9,3BM=BA,N为AC的中点， B BN与CM相交于点P. (1)若CP=CM,求1的值： (2)求∠MPN的余弦值， 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足a2+b2-ab=c2. (1)求角C的大小： (2)若a+b=8,求△ABC周长的最小值： (3)若△ABC是锐角三角形，且c=2√5，求△ABC面积s的取值范围. 高一年级4月月考数学第3页共4页 18.(17分)2025年春晚《秧B0T》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实 力.某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形ACDE中，在点A处放置机器 狗，在AC的中点B处放置足球，机器狗和足球均做匀速直线运动，且无其他外界干扰.己知AC=8 米，足球运动速度为V米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形ACDE内（含边界），则捕 捉成功.记足球和机器狗的运动方向与Ac所成夹角分别a(0≤u≤m),B0≤Bs 2 D A B ①)当AB长度不受限制，α=”，机器狗以√v米秒速度捕捉足球，B为何值时，机器狗能捕捉成功？ 球与机器狗运动方向所成夹角为，AE长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求 与足球运动的总路程的最大值： (3)当机器狗的速度为3v米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则AE的长度 至少为多少米？ 19Q7分)如图，已知QA=L叫OA=2,0A与0B的夹角为，点C是△1B0的外接圆优弧A8上的 个动点（含端点A,B). (1)求△4ABO外接圆的直径； (2)直接写出△OAC面积的最大值（无需过程）： (3)记OA与0C的夹角为6，试将OC表示为0的函数，并求OA.0C的最大值. 高一年级4月月考数学第4页共4页 2025级高一年级4月月考数学参考答案 1.A 2.A 3.D 4.C 5.c 6.D 7.B 8.A 【详解】BE.BD=(BA+AE)(BA+AE+ED) BA'+BA.AE+BA.ED+AE.BA+AE'+AE.ED =2+2-22c087-2-2元+2-22cos7+422+42cos2 3 3 =24,则24特。香因为0，所以2 3 9.BD 【详解】解：A项中i+)2=i·2i=-2,故A错误；B项中，(1-i)2=-2i,故B正确： C项中， 8+6i8+608-4_4814i,故C错误；D项中，8-6i-8⑧-68-4=-2i,故D正确 3+4i 25 25 3+4i 25 10.AC 得A品日则于m9,所以snB-子1，又a<b,则A<B, 【详解】对于A,由正弦定理得口三b 34 3 2 所以B有两解，则△ABC有两解，故A正确： 对于B,在△ABC中，a+b>c,由正弦定理得，sinA+sinB>sinC,故B错误； 对于C,由m tan8>1,可得sin4sinB cos Acos B >l,且A,，B均为锐角，所以sin Asin B>cos Acos B, 则cosC=-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)>0,所以C也为锐角， 则△ABC为锐角三角形，故C正确： 对于D,由acosA=bcosB,由正弦定理得，sin AcosA=sin Bcos B, 则sin2A=sim2B,所以2A=2B或2A+2B=元，则4=B或A+B= 21 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误， 11.ABD 【详解】因为5(c--c+4=0,所以5(-b-c+4×cm4=0, 即V5(a2-b2-c2)+2 be sinA=0,又b2+c2-ad2=2bc.cosA,所以-2W3 ibc cosA+2 bcsin A=0, 所以A,又40时，所以4-骨 对于A:8-c面A}24x5-6N5,故A正确： 对于B:CB.A0=(AB-AC)A0=AB.A0-4C.A0=B.40c0s∠0AB-ACA0cos∠QAC, 因为点0为△ABC的外心，所以A可cos∠OAB=A,cos∠OAC=A, 则cBA0-hc=x6-4)=10,放B正确： 对于C:由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA=16+36-2×24×1=28, 2 由正骏定用品=28=ad,则40-2行2@ 2xV53,枚C错误， 2 对于D:因为4O=1AB+u4C,则A0.AB=1AB.AB+u4C.AB=1x6+u:4x6×-362+12μ， 即62+2业=30.同理A04C=元1B-4C+u4CAC=元4x6x3ux4-12+16, 即122+16=8包，联立@@，解得入-专u。故D正确 12.(8,-15) 13.15 14.3V5 高一年级4月月考数学第5页共4页 1502:(2c-2 【详解】(I)由已知得sin(C-A)=2sinA+2cos(A+B)sinA, sin(C-A)=2sin 4-2cos Csin A,sin C cos A-cos CsinA=2sin A-2 cos Csin A, 即sinCcosA+cosCsin A=2sinA,即sin(C+A)=2sinA,即sinB=2sinA 由正弦定理可知b=2a,因此2=2 7分 ②)由余弦定理可得cosC+-C=十4。C=-又C∈(0，π.所以C=2列 .13分 2ab 2u.2a 160@号 【详解】()）CP=CM=2ca+22cB=22cw+21cB, 3 3 3 3 因为P,B,V三点共线，设PB=mBN,即CB-CP=mCW-mCB, c中mC亚，数限，头1，所以1，解得头 33 .6分 Qh1)知，aN-a-b,CM-+8,又∠C=90,4AC=6,aC-9,故ab-0. 3 3 aw-+a-+08-68=8. .8分 6 36 3 10分 9 网-a-可-6-6-6-0-丽分 则cos∠MPN=cos(BN,CM）= CM·BN -48 4 CM BN 2W10×3V0515分 17.5；(Q12:625,35] 【详解】(1)因为a2+b2-ab=c2,所以d2+b2-c2=b,由余弦定理可得 cosc-a+c--),因为CeQ可.所以c-骨 .3分 2ab 2ab 2 (2)因为a2+b2=(a+b)2-2ab=64-2ab,所以c2=a2+b2-ab=64-3ab, 由基本不等式可知8=a+b≥2√ab,当且仅当a=b=4时等号成立， 所以ab≤16，c2≥16即c≥4，所以当a=b=c=4时，△ABC周长有最小值为12；6分 3)出正弦定理可得品品。，所以a=4m4,b=4m8, 因为A+B+C三，所以B=红A, 则cb=16 sin Asin 3 1 sin A3 coss83sin Acos4+8sit -43sin 24-4cos24+4=8sin24- +4 6 11分 高一年级4月月考数学第6页共4页 0<A< 2 因为△ABC是锐角三角形，有 即<A< 2π 6 13分 0< 3 -A< 所以<2A-严<5π， 1 66’2<sm2A- ≤1,8<ab≤12， 6 6 因为s=absinC=5 ab, 所以2W3<S≤35，即△ABC面积s的取值范围是（2W3,3W5 15分 1&B-石：②8米：③15米 AF BF 【详解】(1)在△ABF中，由正弦定理 AF BF sir-a网sinB'即 sin a sin B' 所以 因为AF=VBBF,a=T, 3BF BF 如日和A,解得mB=片因为00受所以B 6, 3 此时BF=BA=4,因为BF.cos=2<4,所有点F在矩形ACDE内，捕捉成功..4分 (2)法一：在△ABF中，由余弦定理知AB2=AP2+BF2-2AF.BP.cos元-4F+BF)2-3AF.BF, 3 故(AF+BF)2=16+3AF.BF≤16+3× AF+BF 整理得AF+BF)2 ≤16， 2 4 即AF+BF≤8，当且仅当AF=BF=4时等号成立，此时a= 2π 3’ BF·cos=2<4,点F在矩形ACDE内，捕捉成功.故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米. .9分（法二至此处也是累计9分） AF BF AB 83 法二：在△ABF中，由正弦定理知sin(r-)sinB 3 sin -+6) 当B+匹=匹，即当B=时，AF+BF有最大值为8， 62 此时a=,o叫=2s4,点F在矩形ACDB内，浦提成功 E D 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米。 (3)如图，过F作AC的垂线，垂足为H F 3x+x≥4， 设BF=x,则AF=3x,由题可知 所以x∈[1,2]， 3x-x≤4， 在△ABF中，由余弦定理知AF2=BF2+AB2-2AB·BF.cOS∠FBA, BH C 2 2 则9x2=x2+16+(8c0s)x,整理得c0Sa=x- ，所以sina=V1-cos2a x2、4 又因为FH=xsina=V-x4+5x2-4 512 +9,x∈，2]， 2+4 .14分 当x2=5 3 2即当x10时，啦有最大值为， 由题知AB≥阳恒成立，所以AB2(四.x=2 此时BH=xcos≤x≤2<4， 散当AE的长度至少为，1.5米时，满足题意 ..17分 高一年级4月月考数学第7页共4页 19m22:a55+2:③+1 12 32 【详解】(1)在△A0B中，由余弦定理AB2=OA+OB2-20A.OB cos.∠AOB AB √72√2I -1+42xx2(》7,所以48=厅，由正孩定理可得直径2 sin∠AOB 3 3..4分 2 a55+2W2i .8分 12 (3)记OA与OC的夹角为0，连接AC,由题意可知6∈0， 2π 3 .9分 0A1√21 在△AOC中，由正弦定理 OA sin∠OcA =2R,则sin∠0CA= 2R2W2114, 3 且∠oC4=∠o8A为锐角，则cos∠0CA=-sin'Z0CA-5N5 14 可得sim∠0AC=sin(∠0CA+0)=sin∠0 CAcos0+cos∠CAsin0-V2。 s0 14 -sin 0, 14 由正弦定理oC。-2R,可得0d-2sin04C-2Ny瓦。 s0+5/ sin=cos+5 -sin, sin∠OAc 314 3 所以lbC表示为0的函数为10 Cco0+55n8,0E[0.2江 3 3 13分 因此0A.oc=8= cos0+5 3 sin cos0-cos53 inθcos0 cos20+15V sin 20+cos 20+ 6 -sin 20=53 6 2 3 anl28+p叭r月 其中P为锐角，c0sp= 5v7 14,np= 3W21 42 又29现0-号9ia4oc=月 .17分 注第(3)问的后半部分使用投影向量的几何意义说明C点运动到与OA平行的直径的右顶点时，便有 (oi-oc) 可酌情给分. 高一年级4月月考数学第8页共4页