精品解析：河北石家庄市第二中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷

2025级高一年级4月月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 7. 若复数满足，则|z|的最大值为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图所示，等边的边长为2，位边上的一点，且，也是等边三角形，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各式的运算结果是纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，，则有两解 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 11. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，， 的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 13. 在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 14. 在中，角所对的边分别为，且点满足，，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角的对边分别为，且满足． （1）求的值； （2）若，求角的大小． 16. 如图，中，，，，，为的中点，与相交于点． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 17. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． （1）当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ （2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； （3）当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？ 19. 如图，已知，，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点）． （1）求外接圆的直径； （2）直接写出面积的最大值（无需过程）； （3）记与的夹角为，试将表示为的函数，并求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一年级4月月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i 【答案】A 【解析】 【详解】，则z的虚部为，故选项A正确. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 由得，故. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，结合余弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，则. 因为，所以， 由余弦定理得，则. 4. 已知点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求向量和， 然后根据投影向量公式计算. 【详解】已知点，，，则 ， ，投影向量为， ，， 所以. 故选：C 5. 在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理和线性运算即可求解. 【详解】解：已知D是BC上靠近点C的三等分点，所以， 又E为AD中点，所以， 所以， 故选：C. 6. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解. 【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. 7. 若复数满足，则|z|的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模长的几何意义可求答案. 【详解】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：D 8. 如图所示，等边的边长为2，位边上的一点，且，也是等边三角形，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量表示以及向量数量积定义化简条件，解得结果. 【详解】 则因为，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各式的运算结果是纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算结合纯虚数的概念，逐项判断即可. 【详解】解：A项中，故A错误； B项中，，故B正确； C项中，，故C错误； D项中，，故D正确. 故选：BD. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，，则有两解 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理求解判断AB；由可得，均为锐角，再结合同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式化简可得，进而判断C；根据正弦定理、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，则， 所以，又，则， 所以有两解，则有两解，故A正确； 对于B，在中，，由正弦定理得，，故B错误； 对于C，由，可得，且，均为锐角， 所以， 则，所以也为锐角， 则为锐角三角形，故C正确； 对于D，由，由正弦定理得，， 则，所以或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：AC 11. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，， 的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由面积公式及余弦定理化简求得，即可判断A；根据平面向量的混合运算法则，计算的值即可判断B；先利用余弦定理求出的值，再根据正弦定理即可判断C；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出和的值，即可判断D. 【详解】因为，所以， 即，又， 所以， 所以，又，所以， 对于A：，故A正确； 对于B： ， 因为点O为的外心，所以，， 则，故B正确； 对于C：由余弦定理， 由正弦定理，则，故C错误； 对于D：因为，则， 即①， 同理， 即，所以②， 联立①②，解得，，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题 可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ， ,,,． 所以点P的坐标为. 故答案为：. 13. 在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用等面积法及正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 又由余弦定理可知， 即，则的周长为. 14. 在中，角所对的边分别为，且点满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题要运用三角形的正弦定理与余弦定理，结合辅助角公式和向量的乘积运算来解答. 【详解】， 根据正弦定理可得， 代入可得， 因为，所以， 代入可得， 化简可得， 因为，所以， 化简可得，即， 因为，即， 所以解得，即， 因为，点在上，所以是的三等分点， ， 两边同时平方可得， 因为，，，， 所以， 代入可得，化简可得， 即，因为，解得， 根据余弦定理可得，解得. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角的对边分别为，且满足． （1）求的值； （2）若，求角的大小． 【答案】（1）2； （2）． 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换和诱导公式可得，由正弦定理可得答案； （2）由余弦定理可得答案 【小问1详解】 由已知得， 即，即， 即，即，即． 由正弦定理可知，因此； 【小问2详解】 ， 由余弦定理可得， 又，所以． 16. 如图，中，，，，，为的中点，与相交于点． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理及其推论待定系数计算即可； （2）利用向量数量积公式及模长公式计算即可. 【小问1详解】 易知 ， 因为三点共线，所以，解得； 【小问2详解】 记， 则，， 又，，，故， ， ， ， 则． 17. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； 【小问3详解】 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 18. 2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． （1）当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ （2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； （3）当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？ 【答案】（1） （2）8米 （3）1.5米 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理和的关系可求出的值. （2）方法一：首先根据余弦定理求出的关系式，然后根据不等式的性质求出的最大值；方法二：首先根据正弦定理求出的关系式，然后根据正弦函数的性质求出的最大值. （3）首先作出辅助线画出图像，然后利用余弦定理求出的纵向分量的最大值，从而确定长度的最小值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理知，即， 因为，，所以， 解得，因为，所以， 此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功． 【小问2详解】 法一：在中，由余弦定理知， 故， 整理得， 即，当且仅当时等号成立，此时， ，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米． 法二：在中，由正弦定理知， 所以． 当，即当时，有最大值为8， 此时，，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米． 【小问3详解】 如图，过作的垂线，垂足为 设，则，由题可知所以， 在中，由余弦定理知， 则，整理得， 所以， 又因为，， 当，即当时，有最大值为， 由题知恒成立，所以，此时， 故当的长度至少为米时，无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功． 19. 如图，已知，，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点）． （1）求外接圆的直径； （2）直接写出面积的最大值（无需过程）； （3）记与的夹角为，试将表示为的函数，并求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3），；最大值为． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理可得外接圆半径； （2）作出辅助线，得到的高的最大值，进而得到面积最大值； （3）记与的夹角为，，由正弦定理，用含的式子表达出，从而由三角恒等变换和三角函数的有界性得到的最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理， 所以， 由正弦定理可得直径． 【小问2详解】 ，理由如下： 设的外接圆圆心为， 由（1）可知外接圆直径为，故外接圆半径为，， 取的中点，连接，，由垂径定理得⊥， 显然当三点共线时，取得最大值，此时取得最大值， 其中，故，由勾股定理得， 所以， 故的面积最大值为. 【小问3详解】 记与的夹角为，连接，由题意可知， 在中，由正弦定理，， 且为锐角，则， 可得 ， 由正弦定理， 可得，，． 因此 ． 其中为锐角，． 又，现取，则有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $