2026年中考数学一轮通关秘籍：圆几何压轴高频模型精讲精练

绝密★启用前 2026年中考数学一轮通关秘籍 《圆》核心模板专顶突破（人教版） 解答题：本题共10小题，共100分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.(本小题10分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接 AC,OD交于点E >D (1)证明：oD//BC: (2若tanABC=2,证明：DA与⊙0相切； (3)在(2)的条件下，连接BD交⊙0于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长. 第1页，共1页 2.(本小题10分)如图CD是⊙0直径，A是⊙0上异于C,D的一点，点B是DC延长线上一点，连 AB、AC、AD,且∠BAC=∠ADB. ()求证：直线AB是⊙O的切线； (2若BC=20C,求tanADB的值： (3)在(2)的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙0于P,交CD于E,连PCPD,若AB=2V6,求 AE·AP的值. 第1页，共1页 3.(本小题10分)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙0相交于点D, 过D作直线DG//BC 0°E δ G (1)求证：DG是⊙o的切线： (②)若DE=6,BC=65,求优弧Ac的长 第1页，共1页 4.(本小题10分)如图，AB是⊙0的直径，AC与O0交于点F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂 足为E (1)试判断直线DE与⊙0的位置关系，并说明理由： (2)若⊙0的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长. C B 第1页，共1页 5.(本小题10分)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D. 连接BC并延长，交AD的延长线于点E, D ⊙ ()求证：AE=AB: (2)若AB=10,BC=6,求CD的长. 第1页，共1页 6.(本小题10分)如图，四边形ABCD内接于⊙0AC为⊙0的直径，D为的中点，过点D作 DE//AC交BC的延长线于点E, (1)判断DE与⊙0的位置关系，并说明理由： (2)若⊙0的半径为5，AB=8,求CE的长. D B E 第1页，共1页 7.(本小题10分)如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙0交AC于点D,∠CBD=∠A (1)求证：BC为⊙0的切线： (2若E为中点，BD=12,s∠BED=,求BE的长. A B 第1页，共1页 8.(本小题10分)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D,DF⊥AB于点F,连 接OF,且AF=1. (1)求证：DF是⊙o的切线： (2)求线段OF的长度. B 第1页，共1页 9.(本小题10分) 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙0于点D,过点D作DE//AB, 交CB的延长线于点E, B D ()求证：直线DE是⊙0的切线； 第1页，共1页 (2若∠BAC=30°，BC=22.求CD的长. 10.(本小题10分)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，连接AC、BC,点D在 BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC,点E在DC的延长线上，且BE L DC. (1求证：DC是⊙O的切线： (2若器=号，BE=3,求DA的长. 第1页，共1页 E/ ò 第1页，共1页 2026年中考数学一轮通关秘籍 《圆》核心模板专项突破（人教版）答案和解析 1.【答案】【小题1】 证明：如图，连接OC,则OC=OA: AD=DC, :OD垂直平分AC,∠AE0=90°. :AB为⊙O的直径， ÷∠ACB=90°， ·∠ACB=∠AEO, OD /BC. 【小题2】 证明：：tanABC-=能=2， :设BC=a,则AC=2a ÷AD=AB=VAC2+BC2=V5a :OE/BC,且A0=B0=3AB=号a, .OE=BC=a,AE=CE=AC=a. 在Rt△AED中，DE=VAD-AE=2a, 在△A0D中，A02+A2-(停+5=要， OD2-(OE+DE)=(a+2a)a2. :A02+AD=0D2, :∠0AD=90° 又：OA为⊙0的半径， :DA与⊙0相切. 【小题3】 解：如图，连接CF,AF, 第1页，共1页 (2得AE=CE=专AC,BC=AC, ÷AE=CE=BC=1. :=@, ·∠CBF=∠EAF. 又：AB=AD,∠OAD=90, ·△ABD为等腰直角三角形. :AB是⊙O的直径， ·∠AFB=90,即AF⊥BD ·F为BD的中点， :AF=BF. BC=AE, ∠CBF=∠EAF, 在△CBF和△EAF中， BF=AF, ·△CBF≌△EAF(SAS), ·EF=CF,∠EFA=∠CFB, :∠EFA+∠EFB=90°， :∠CFB+∠EFB=90°， 即∠EFC=90°， ·△CFE为等腰直角三角形. :CE=1, EF-CF- 2.【答案】【小题1】 证明：连接OA,:CD是⊙0的直径，：∠CAD=90°，·∠0AC+∠0AD=90°，又：OA=OD, ·∠OAD=∠ODA,又：∠BAC=∠ADB,÷∠BAC+∠OAC=90°，即∠BA0=90°，÷AB⊥OA, 又：OA为半径，：直线AB是⊙O的切线； 【小题2】 第1页，共1页 解：：∠BAC=∠ADB,∠B=∠B,△BCABAD,S=器，设半径OC=OA=T, :BC=20C,:BC=2,OB=3,在Rt△BA0中，AB=VOB2-OA2=22r,在Rt△CAD中， tan-ADC=-S-景=号： 【小题3】 解：在(2)的条件下，AB=22r=2W6,r=5,CD=2N5,在RtCAD中，-号， ÷AC=2,AD=2W2,:AP平分∠CAD,÷∠CAP=∠EAD,又：∠APC=∠ADE, ·△CAP∽EAD,能=0，·AE·AP=ACAD=2X22=4W2 3.【答案】()证明：连接OD交BC于H,如图， :点E是△ABC的内心， :AD平分∠BAC, 即∠BAD=∠CAD, B ·D=b’ D G ·OD⊥BC,BH=CH, DG//BC ÷OD⊥DG: DG是⊙0的切线： D 第1页，共1页 (2)解连接BD、OB、OC,如图， :点E是△ABC的内心， ·∠ABE=∠CBE, '∠DBC=∠BAD, ·∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE, ·DE=DB=DC=6, :BC=65, :∠BDC=120°，由圆内接四边形对角互补可得，∠BAC=60° :∠B0C=120°， +优弧Ac的长_360-120r6=8r 180 【解析】()连接OD交BC于H,如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD,则D=⑦， 利用垂径定理得到OD L BC,BH=CH,从而得到OD1DG,然后根据切线的判定定理得到结论： (2)连接BD、OB,如图，先证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE=6,再利用正弦定义求出 ∠BDH=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以∠BOD=60°，OB=BD=6,则 ∠B0C=120°，然后根据弧长公式计算优弧Ac的长. 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三 角形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线的判定和弧长公式. 4.【答案】解：(1)直线DE与⊙0相切，理由如下： 连结OD 第1页，共1页 :AD平分∠BAC, ÷∠OAD=∠CAD, OA=OD, ·∠OAD=∠ODA, ·∠ODA=∠CAD .OD //Ac, :DE⊥AC,即∠AED=90°， ·∠0DE=90°，即DE⊥OD DE是⊙0的切线： (2)过0作OG1AF于G, AF=2AG, :∠BAC=60°，0A=2, :AG=20A=1' ·AF=2 ÷AF=OD, 由(1)知，OD//AC, :四边形AODF是平行四边形， 又：AF=AO, 第1页，共1页 :四边形AODF是菱形， .DF//0A,DF=0A=2. :∠EFD=∠BAC=60°， EF=DF=1 【解析】本题考查切线的判定，垂径定理，勾股定理，以及菱形的判定与性质 (1)连结OD,根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义推出OD/AC,进而可得出结论： (2)过O作OG L AF于G,得到AF=2AG,根据直角三角形的性质得到AG=OA=1,AF=2 推出四边形AODF是菱形，得到DF//OA,DF=OA=2,进而可得出答案. 5.【答案】解：(1)证明：连接AC、OC如图， C :CD为⊙o的切线， ÷OC⊥CD, :CD⊥AD, .OC//AD, ·∠OCB=∠E, OB=OC> ·∠OCB=∠B, :∠B=∠E AE=AB: 第1页，共1页 (2:AB为⊙0的直径， ·∠ACB=90°， AC=V102-62=8' :AB=AE=10,AC⊥BE, CE=BC=6> :CD·AE=ACCE CD=器=等 【解析】本题考查的是切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的面积， 平行线的判定与性质有关知识. (1)连接AC、OC,根据切线的性质得到OC L CD,则可判断OC//AD,得到∠OCB=∠E,然后证 明∠B=∠E,从而得到结论： (2利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=8,再根据等腰三角形的 性质得到CE=BC=6,然后利用面积法求出CD的长. 6.【答案】解：(1)DE与⊙o相切. 理由：连接OD: B :AC为⊙0的直径， :∠ADC=90°. :D为C的中点， ·AD=D, AD=CD, 第1页，共1页 ：∠ACD=45°. :O是AC的中点， .∠0DC=45°. DE//AC ÷∠CDE=∠DCA=45°， ·∠0DE=90°， DE与⊙o相切. (2):⊙0的半径为5， .AC=10 :AD=CD=52, :AC为⊙0的直径， ：∠ABC=90°· :AB=8, :BC=6 :∠BAD=∠DCE, :∠ABD=∠CDE=45°， ·△ABD△CDE, …部=韶， CE=翠 【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的 判定和性质，正确的识别图形是解题的关键. (1)连接OD,由AC为⊙0的直径，得到∠ADC=90°，根据D=,得到AD=CD,根据平行 第1页，共1页 线的性质得到∠CDE=∠DCA=45°，求得∠0DE=90°，于是得到结论； (2根据勾股定理得到AD=CD=5V2,由圆周角定理得到∠ABC=90°，求得BC=6,证明 △ABD∽△CDE,再根据相似三角形的性质即可得到结论. 7.【答案】()证明：：AB是⊙o的直径， ÷∠ADB=90°， ·∠A+∠ABD=90°· 又：A=∠CBD, ·∠CBD+∠ABD=90°， ·∠ABC=90°， ·AB⊥BC 又：AB是⊙0的直径， :BC为⊙0的切线： (②)解：如图，连接AE E :AB是⊙0的直径， ·∠AEB=∠ADB=90°· :∠BAD=∠BED: :sin/BAD=:sinzBED=是， :在Rt△ABD中，Sm∠BAD=器=是，BD=12 ·AB=20 :E为的中点， 第1页，共1页 ·AE=BE :△AEB是等腰直角三角形， .∠BAE=45°， BE-ABX SnzBAE=20x 10 【解析】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、锐角三角函数定义、等腰直角三角形的判定 与性质等知识；熟练掌握切线的判定，由锐角三角函数定义求出直径是解决问题(2)的关键， (1)由圆周角定理和已知条件证出∠CBD十∠ABD=90°，得出∠ABC=90°，即可得出结论； (2)连接AE由圆周角定理得出∠BAD=∠BED,由锐角三角函数定义求出直径AB=20,由圆心角、 弧、弦的关系证出AE=BE,得出△AEB是等腰直角三角形，得出∠BAE=45°，由锐角三角函 数定义即可得出结果. 8.【答案】(1)证明：连接oD :△ABC是等边三角形， ·∠C=∠A=60°， OC=OD, :△OCD是等边三角形， ÷∠CD0=∠A=60°， OD//AB :DF⊥AB, ·∠FD0=∠AFD=90°， ·OD⊥DF, DF是⊙o的切线； 第1页，共1页 (2)解：：OD//AB?OC=OB ·OD是△ABC的中位线， :∠AFD=90°，∠A=60°， ·∠ADF=30°， 'AF=1 ·CD=OD=AD=2AF=2, 由勾股定理得：DF2=3, 在Rt△ODF中，OF=VOD2+DF2=22+3=V7 :线段OF的长为万· 【解析】(1)连接OD,根据等边三角形及圆的性质求出OD//AB,再由DP⊥AB,推出OD L DF, 根据切线的判定推出即可： (2由∠A=60°，OD1DF,AF=1可求得AD,AF,AB的长度，再根据中位线性质求出OD的长 度，根据勾股定理即可求得OF的长. 本题考查了切线的判定方法，利用勾股定理求线段的长度等知识点，能够求得半径与直线的垂直 是证明切线的关键，能够灵活应用“锐角30°所对的直角边等于斜边的一半”是解决线段长度的 关键. 9.【答案】(1证明，如图1，连接0D :AB是⊙O的直径， ·∠ACB=90°， :CD平分∠ACB, ·∠ACD=∠BCD=45 :∠ABD=∠ACD=45 OD=OB, ·∠0DB=∠0BD=45, DE//AB. ：∠BDE=∠0BD=45, 第1页，共1页 ·∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°， OD⊥DE :OD为⊙0的半径， ·直线DE是⊙O的切线. B D 图1 (2)解：如图2，过点B作BF⊥CD于点F, ·∠BFC=∠BFD=90°， :∠BCD=45, ·∠CBF=45, ·BF=CF 在Rt△BFC中，BC=2W2, 根据勾股定理，得BF=CF=2, BC=BC, ·∠CDB=∠BAC=30 ·BD=2BF=4, 在Rt△BFD中，根据勾股定理，得DF=2W3, CD=CF+DF=2+23. Fh. D E 图2 第1页，共1页 【解析】(1)连接OD.根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90.再根据角平分线，得 ∠ACD=∠BCD=45,进而得∠ABD=∠ACD=45°，又由∠0DB=∠0BD=45°，从而根据平行 线的性质，得BDE=∠OBD=45,于是∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°，得OD1DE,根据切线 的判定即可证明结论成立； (2如图2，过点B作BF⊥CD于点F,先证明BF=CF.再根据勾股定理得BF=CF=2,根据含30 角的直角三角形的性质得BD=2BF=4,进而利用勾股定理即可求解. 10.【答案】()证明：连接0C E 0 OC=OB ·∠OCB=∠OBC, :∠ABC=∠DCA, ·∠OCB=∠DCA, 又：AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°， ·∠AC0+∠0CB=90°， ·∠DCA+∠AC0=90°， 即∠DC0=90°， DC L OC :0C是半径， :DC是⊙o的切线： (2)解：：器=子，且0A=0B, 第1页，共1页 设0A=0B=2X,0D=3x .DB=OD+0B=5x 器=是 又：BE⊥DC,DC⊥OC, .OC//BE ·△DCO△DEB, 器=器=是， :BE=3, a0C=: 2x=号) …x=品， AD=0D-0A=X=品， 即AD的长为 10 【解析】(1)连接0C,由等腰三角形的性质得出∠OCB=∠0BC,由圆周角定理得出∠ACB=90 ,证出∠DCO=90°，则可得出结论； (②)设0A=0B=2x,OD=3x,证明△DC0∽△DB,由相似三角形的性质得出盖=器=是， 求出OC的长，则可求出答案. 本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与 性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键， 第1页，共1页