2026年中考数学一轮通关秘籍：函数+不等式+方程高频精练

绝密★启用前 2026年中考数学一轮通关秘籍 函数+方程+不等式三大核心模板专项突破（人教版） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 或 2.二次函数的图象如图所示，有如下结论： 为实数． 其中正确结论的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.下列说法正确的是(    ) A. 函数，随增大而减小 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 函数，随增大而增大 D. 二次函数图象向上平移个单位后得到的函数解析式为 4.二次函数图象如图所示，下列结论： ；；；；若，且，则其中结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，直线与抛物线交于点和点若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线有下列结论：一元二次方程的解是，当时，其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。 7.如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线下面结论： ； ； ； 方程必有一个根大于且小于． 其中正确的是            只填序号 8.如图，点、是函数上两点，点为一动点，作轴，轴，下列结论： ≌；；若，则平分；若，则其中正确的序号是          把你认为正确的都填上． 9.已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点为线段上一点，且：：，则点的坐标为          ． 三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题分如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． 求的值； 求函数的解析式； 抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11.本小题分某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同． 求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ 每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，购买金额不超过万元． 请根据以上要求，完成如下问题： 设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式； 请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？ 12.本小题分如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． 求抛物线及直线的函数关系式； 若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； 在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． 2026年中考数学一轮通关秘籍 函数+方程+不等式三大核心模板专项突破（人教版）答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由图形可以看出：抛物线和一次函数的交点的横坐标分别为，， 当时，的取值范围正好在两交点之内，即． 故选：． 2.【答案】  【解析】点拨：对称轴在轴右侧， ，异号． ． ， ． 故正确 对称轴为直线， ． 故正确 ， 当时，， ． ． 故正确 根据图象知，当时，有最小值当为实数时，有， 为实数． 故正确． 本题正确的结论有共个． 故选D． 3.【答案】  【解析】解：、函数，随增大而增大，原说法错误，故此选项不符合题意； B、直线经过第一、二、四象限，原说法错误，故此选项不符合题意； C、函数，随增大而增大，原说法正确，故此选项符合题意； D、二次函数的图象向上平移个单位后得到的函数解析式为，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：． 分别利用一次函数、反比例函数，二次函数的性质以及平移的规律分析得出答案． 本题主要考查了一次函数以及反比例函数的性质，二次函数图象与几何变换，正确把握相关函数的性质是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为，即， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ， 故错误； ， ， 故正确； 时，函数值最大， ，即， 故正确； 抛物线与轴的交点到对称轴的距离大于， 抛物线与轴的一个交点在点与之间，另一个交点在点与之间， 时，， ， 故错误； 当，则， 和所对应的函数值相等， ， ， 故正确； 综上所述，正确的结论是：，共有个． 故选：． 根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据抛物线对称轴方程得到，则可对进行判断；由抛物线开口方向得到，由得到，由抛物线与轴的交点在轴上方得到，则可对进行判断；利用时，函数有最大值对进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与轴的一个交点在点与之间，则时，，于是可对进行判断；由得到，则可判断和所对应的函数值相等，则，于是可对进行判断． 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 5.【答案】  【解析】解：将点代入， ， 再将点代入， ， 与交于两点， ， 时，或； 故选：． 6.【答案】  【解析】解：抛物线的开口向下， ， 与轴的交点在轴的正半轴上， ， 对称轴为 ， ，故正确； 对称轴为 ，， ，故正确； 对称轴为，图象过点， 图象与轴另一个交点， 关于的一元二次方程的解为或，故错误； 抛物线开口向下，图象与轴的交点为，， 当时，，故正确； 故选：． 7.【答案】  【解析】解：由图象可得， ，，， 则，故正确； ， ， ，故正确； 函数图象与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴是直线， 函数图象与轴的另一个交点在点和点之间，故正确； 当时，， ， ，故错误； 故答案为：． 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 8.【答案】  【解析】解：点是动点， 与不一定相等， 与不一定全等，故不正确； 设， 轴， ， ， ， 轴， ， ， ， ，故正确； 如图，过点作于，于， ，， ， ， ， ， ，， 是的平分线，故正确； 如图，延长交轴于，延长交轴于， 轴，轴， 四边形是矩形， 点，在双曲线上， ， ， ， ， ， ， ，， ，故错误； 正确的有， 故答案为：． 由点是动点，进而判断出错误，设出点的坐标，进而得出，，利用三角形面积公式计算即可判断出正确，利用角平分线定理的逆定理判断出正确，先求出，进而得出，最后用三角形的面积公式即可得出结论． 此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 先把点坐标代入中求出，得到反比例函数解析式，再解方程组得，设，利用两点间的距离公式得到，然后解关于的方程可得到点的坐标． 【解答】 解：把代入得， 反比例函数解析式为， 解方程组得或，则， 设，则，， ， ， 整理得，解得，舍去， 点的坐标为 故答案为 10.【答案】解：将代入， 可得：； 将代入得：， 所以点的坐标为， 将、代入中， 可得：， 解得：， 所以二次函数的解析式为：； 存在，分以下两种情况： 若在上方，设交轴于点，则， ， 设为，代入，可得：， 联立两个方程可得：， 解得：， 所以； 若在下方，设交轴于点，则， ， ， 设为，代入可得：， 联立两个方程可得：， 解得：， 所以， 综上所述的坐标为或．  【解析】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键． 把代入直线中解答即可； 把代入直线解析式得出点的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； 分在上方和下方两种情况进行解答即可． 11.【答案】解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨， 由题意得：， 解得：， 当时，， 是分式方程的根， 吨， 答：每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨； 由题意得：购买型机器人的台数为台， 所以； 由题意得：， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，最小，此时， 购买型机器人台，型机器人台时，购买总金额最低是万元．  【解析】设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意列出分式方程，解方程检验后即可得出答案； 根据题意列出一次函数解析式即可； 先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求出答案． 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键． 12.【答案】解：将，代入， 得 解得 抛物线的函数关系式为． 设直线的函数关系式为， 将，代入， 得 解得 直线的函数关系式为； 过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示， 设点坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为， ，， ． 点的坐标为， 点的坐标为， ， ． ， 当时，的面积取得最大值，最大值为， 此时点的坐标为； 存在，理由如下： 当时，， 点坐标为， ， 抛物线的对称轴为直线． 点的坐标为， 点，关于抛物线的对称轴对称， 令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示， 点，关于抛物线的对称轴对称， ， ， 此时的周长取最小值， 当时，， 此时点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，同理可知：， ， 在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．  【解析】根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线的函数关系式； 过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，进而可得出的值，由点的坐标可得出点的坐标，进而可得出的值，利用三角形的面积公式可得出，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； 利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点，的坐标可得出点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为点，则此时周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出周长的最小值，即可得出结论． 本题考查待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质、三角形的面积以及周长，以及轴对称最短路线问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $