精品解析：黑龙江大庆市第五十一中学2025-2026学年七年级（五四制）下学期数学第一次学情自测

大庆市第51中学2025-2026学年度下学期月考试题 初二数学 一、选择题（每小题3分，共8小题，共24分） 1. 下列数，，，，0.3，，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的每个数逐一判断即可得到结果。 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 开方开不尽，是无理数； 含无限不循环的，是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； （相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数共有个 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2， C. 1，2， D. 7，9，11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A．， 能构成直角三角形， 故A选项不符合题意； B．， 能构成直角三角形， 故B选项不符合题意； C．， 能构成直角三角形， 故C选项不符合题意； D．， 不能构成直角三角形， 故D选项符合题意． 故选：D． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 4. 如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则， 则 ， ， ， ，即， 则， ， 则，即， ， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义及二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．分别计算每个选项的表达式，依据平方根、算术平方根的定义及二次根式的运算法则判断正误． 【详解】解：， 或，故A项错误． ，故B项正确． ，故C项错误． ，故D项错误． 故选：B． 6. 如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A. ㎝ B. 5cm C. ㎝ D. 7cm 【答案】B 【解析】 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长． 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为6cm， ∴AC′=3cm， ∵PC′=BC′， ∴PC′=×6=4cm， 在Rt△ACP中， AP2=AC′2+CP2， ∴AP==5． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理． 7. 如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出、、的长，然后根据三角形的面积求出边上的高即可． 【详解】解：， ， ∵根据网格特点可知，为直角三角形， ∴边上的高为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的有关计算，根据网格特点得出为直角三角形，是解题的关键． 8. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（　　） A. 10+ B. 10+ C. 10+ D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】根据题意得：c2＝a2+b2＝100，4×ab＝100﹣20＝80，即2ab＝80， 则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100+80＝180， ∴每个直角三角形的周长为10+＝10+6， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 10. 的平方根是_____；的立方根是_____；的算术平方根是_____． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据平方根、立方根、算术平方根的定义判断即可． 【详解】的平方根是；的立方根是；的算术平方根是， 故答案为：；； ． 11. 若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 12. 的小数部分是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算的范围，确定的整数部分，再根据小数部分的求法计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 因此小数部分为． 故答案为：． 13. 已知实数a的平方根是和，则a的值为_____； 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平方根的意义，根据实数若有平方根则这两个平方根互为相反数求解即可． 【详解】解：∵实数a的平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 14. 在中，若，，，则点到直线的距离为__________． 【答案】2.4## 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后作于点D，根据勾股定理可以求得的长，然后根据面积法，可以求得的长． 【详解】解：作于点D，如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 15. 如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 16. 如图，长方形中，，如果将该长方形沿对角线折叠，其中点是折叠后点C所在的位置，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．利用等角对等边可得，设，在中，利用勾股定理构建方程求解，再根据即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知， ， ， 设， 在中， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为： 三、解答题 17. 计算： （1） （2） （3）已知，求x的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （2）先化简绝对值和立方根，再运算加减，即可作答． （3）先将方程两边同时乘，再根据平方根解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：， ， ∴， 解得， 18. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上的位置确定被开方数的正负，再化简计算即可． 【详解】解：根据实数a、b在数轴上的位置可知：，， ∴， ∴，， ， ∴ ． 19. 如图，中，，于点D，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，再根据等面积法列式，得，再化简代入数值，即可作答． （2）根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得， ， ∴． 20. 已知的算术平方根是，的立方根是． （1）求a与b的值； （2）求的立方根． 【答案】（1），； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根的定义可直接求解． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 当，时，， ∴的立方根为3． 21. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）先运用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据四边形的面积等于与的面积之和，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ． 【小问2详解】 解：∵，， ， ∴是直角三角形，， ∴ ． 22. 树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】（1）的长为 （2）需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； 【小问2详解】 解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 23. 先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分是_____，小数部分是_____； （2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】（1）3， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，求出a，b的值，然后代入求值，再根据平方根定义解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴ ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 24. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是___________； （4）已知正数满足，则___________． 【答案】（1）13；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则解题是关键． （1）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （2）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （3）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最长得为最大值； （4）和对应直角三角形直角边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，点在的上方，且，点在的下方，且， 则， ∴代数式表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，点在的上方，且，点在的下方，且， 则， ∴代数式表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在 中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）构造，如图所示： 过点作，交延长线于点， 则， 设， 则，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在 中，由勾股定理得：， 即的最大值为； （4）构造于，如图所示： 设，则， ， 设，则， ∴， 解得：， ∴． ∴方程的解是． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第51中学2025-2026学年度下学期月考试题 初二数学 一、选择题（每小题3分，共8小题，共24分） 1. 下列数，，，，0.3，，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2， C. 1，2， D. 7，9，11 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A. ㎝ B. 5cm C. ㎝ D. 7cm 7. 如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（ ） A. B. C. D. 8. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（　　） A. 10+ B. 10+ C. 10+ D. 24 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：________． 10. 的平方根是_____；的立方根是_____；的算术平方根是_____． 11. 若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 12. 的小数部分是_____． 13. 已知实数a的平方根是和，则a的值为_____； 14. 在中，若，，，则点到直线的距离为__________． 15. 如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 16. 如图，长方形中，，如果将该长方形沿对角线折叠，其中点是折叠后点C所在的位置，那么______． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） （3）已知，求x的值． 18. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 19. 如图，中，，于点D，． （1）求的长； （2）求的面积． 20. 已知的算术平方根是，的立方根是． （1）求a与b的值； （2）求的立方根． 21. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 22. 树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 23. 先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分是_____，小数部分是_____； （2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 24. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是___________； （4）已知正数满足，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $