精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市第四中学初中学业水平考试冲刺卷（一）数学

2026年内蒙古自治区初中学业水平考试冲刺卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，整数与分数是有理数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、是无限不循环小数，即无理数，仍是无限不循环小数，是无理数，故选项符合题意； B、是分数，是有理数，故选项不符合题意； C、，是整数，是有理数，故选项不符合题意； D、是有限小数，可化为分数，是有理数，故选项不符合题意． 2. 蒙古包呈圆形，四周侧壁可拆卸，便于游牧时拆装和搬运，顶部开有天窗，用于采光和通风．如图是一间蒙古包的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图完全相同 B. 左视图和俯视图完全相同 C. 左视图和主视图完全相同 D. 三视图各不相同 【答案】C 【解析】 【分析】蒙古包的立体图形由下部圆柱与上部圆锥组成，主视图和左视图均为下方矩形、上方等腰三角形的组合图形，俯视图为一个带圆心的圆． 【详解】解：主视图：下方为矩形，上方为等腰三角形； 左视图：与主视图形状完全相同； 俯视图：为一个带圆心的圆，与主视图、左视图均不相同． 因此左视图和主视图完全相同． 3. 金秋时节正是防沙治沙的黄金窗口期，内蒙古阿拉善盟创新推行春秋两季造林模式，提升苗木成活率，有效遏制沙漠化扩张态势．两年多来，当地累计带动28000多名人员参与了治沙项目，人均增收2.1万元．将数据“2.1万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法需将数字表示为形式，其中，为整数． 【详解】解：2.1万． 4. 将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 5. 如图，在菱形中，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意知所做的直线为线段的垂直平分线，得，得，根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：题目中的作图方法是作线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 7. 如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B的坐标，再根据旋转性质得到点的坐标，进而确定其纵坐标． 【详解】过点B作轴于点C， 是边长为2的等边三角形， ，， 在中，，， ． 将点B绕点O逆时针旋转，根据坐标旋转规律：点绕原点逆时针旋转后的坐标为， 可得， 因此点的纵坐标为，对应选项为B． 8. 如图，四边形的对角线和相交于点E，且，，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先根据且，可得，再根据得出答案． 【详解】解：∵且， ∴． ∵， ∴． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 请写出的一个同类项：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 10. 如图是的正方形网格，任意选择一个空白小正方形，能与阴影部分组成的图形是轴对称图形的概率为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，有种情况使之成为轴对称图形∶ ①② ∵总共有个小正方形，其中阴影小正方形有个， ∴空白小正方形共个， ∵能和已知阴影部分组成轴对称图形的空白正方形共有个， ∴根据概率公式，所求概率为符合条件的情况数总情况数，即． 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出关于x的不等式的解集________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数图象找出反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，x的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图象在一次函数的图象上方， ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 12. 如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理可得到，即，然后根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处， ，， 在中， ， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得，， ， ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可求解； （2）先算乘法，再算加法即可求解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 数学文化是激发学生学习兴趣、提升数学素养的重要途径．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有700人，八年级学生有600人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（）的总共有多少人？ 【答案】（1）88，87，40 （2）八年级学生数学文化知识较好；理由见解析 （3）450人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出八年级A组的人数，进而可求出m的值； （2）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论； （3）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级C组有：（人）， 把被抽取八年级10名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88，88， 故中位数， 在被抽取的七年级10名学生的数学竞赛成绩中，87分出现的次数最多， 故众数， 依题意，，故； 【小问2详解】 解：八年级学生数学文化知识较好，理由如下： 依题意，七、八年级学生成绩的平均数相同，但八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高， ∴八年级学生数学文化知识较好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（）的总共有450人． 15. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量与用1440元购买航海模型数量相同． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航海模型数量不多于航空模型数量的2倍，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）125元；90元 （2）购买航空模型40个，航海模型80个 【解析】 【分析】（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量与用1440元购买航海模型数量相同列出方程求解即可； （2）购买航空模型m个，学校花费w元，，则购买航海模型个，先根据航海模型数量不多于航空模型数量的2倍列出不等式求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 根据题意得： 解得， 经检验，是方程的解，也符合题意， ， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． 【小问2详解】 解：购买航空模型m个，学校花费w元，则购买航海模型个， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， ∴当时，w取最小值，此时， 答：购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少． 16. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，然后根据相似三角形的性质即可得证； （2）连接，根据等边对等角并结合（1）中结论可得出，然后根据平行线的判定与性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； （3）过点O作于点F，根据垂径定理得出，证明四边形为矩形得出，结合已知可求出，最后根据弧长公式求解即可. 【小问1详解】 证明：∵C是的中点， ， ． ∵是的直径， ． ， ． ， ； ， ； 【小问2详解】 证明：连接，如图， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ． ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：过点O作于点F，如图， 则， ， ． ，，， ∴四边形为矩形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 17. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离．（桥塔的粗细忽略不计） （1）直接写出A，B，C的坐标； （2）求缆索所在抛物线的函数解析式； （3）点E在缆索，，且，，求的长． 【答案】（1）、、 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据由为原点，结合，，轴，写出坐标即可； （2）由、，得顶点，设顶点式，代入，解得的值，即可的解析式； （3）与关于轴对称，得，令，解得或，结合，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴、、； 【小问2详解】 解：，缆索的最低点P到的距离， ∴抛物线的顶点P为， 设抛物线的解析式为， 将点代入抛物线得， 解得， ∴缆索所在抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：由题意得，∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， 又∵缆索所在抛物线为， ∴缆索所在抛物线为． 令， 解得或， 又∵， ， ∴的长为． 【点睛】本题核心是抛物线顶点式的应用与对称性转换，关键是利用顶点式求解析式，通过关于轴对称快速写出解析式，再解方程结合限制条件求解． 18. 在梯形中，，点E在边上，且． （1）如图1所示，过点E作，与相交于点F，求证：； （2）已知； ①如图2所示，若，且，，求的度数； ②如图3所示，如果点M在边上，连接，，，与交于N．如果，，且，求边的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，根据平行线分线段成比例定理，．已知，代入比例式即可证得； （2）①连接并延长与的延长线交于点F，由得，；由证，得，；在中，，得，故； ②延长、交于，过点E作，垂足为点Q，由得；由证，推，得；再证明，求得，接着利用，求得，进而求得． 【小问1详解】 证明：， ， ， ； 【小问2详解】 解：①连接并延长与的延长线交于点F，如图， 且， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， ； ②延长，交于点P，过点E作，垂足为点Q，如图， ， ， ， 由①知， ∴， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， 又∵， ， ， ∴是的中位线， ， 设，则， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ，， ， ，即， ， 解得（负值舍去）， ， ， ， 解得， ， ， ∴在中，， ， ． 【点睛】本题核心是平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质的综合应用，关键是通过构造相似三角形，将梯形问题转化为三角形问题，利用比例关系和勾股定理求解，同时注意平行线与相似的互推． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区初中学业水平考试冲刺卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.1 2. 蒙古包呈圆形，四周侧壁可拆卸，便于游牧时拆装和搬运，顶部开有天窗，用于采光和通风．如图是一间蒙古包的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图完全相同 B. 左视图和俯视图完全相同 C. 左视图和主视图完全相同 D. 三视图各不相同 3. 金秋时节正是防沙治沙的黄金窗口期，内蒙古阿拉善盟创新推行春秋两季造林模式，提升苗木成活率，有效遏制沙漠化扩张态势．两年多来，当地累计带动28000多名人员参与了治沙项目，人均增收2.1万元．将数据“2.1万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，四边形的对角线和相交于点E，且，，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 请写出的一个同类项：_______． 10. 如图是的正方形网格，任意选择一个空白小正方形，能与阴影部分组成的图形是轴对称图形的概率为______． 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出关于x的不等式的解集________． 12. 如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 数学文化是激发学生学习兴趣、提升数学素养的重要途径．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有700人，八年级学生有600人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（）的总共有多少人？ 15. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量与用1440元购买航海模型数量相同． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航海模型数量不多于航空模型数量的2倍，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 16. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长度． 17. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离．（桥塔的粗细忽略不计） （1）直接写出A，B，C的坐标； （2）求缆索所在抛物线的函数解析式； （3）点E在缆索，，且，，求的长． 18. 在梯形中，，点E在边上，且． （1）如图1所示，过点E作，与相交于点F，求证：； （2）已知； ①如图2所示，若，且，，求的度数； ②如图3所示，如果点M在边上，连接，，，与交于N．如果，，且，求边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $