精品解析：内蒙古自治区通辽市霍林郭勒市第五中学2023-2024学年九年级下学期5月月考数学试题

2023-2024九年级第二学期阶段测评 数学试题 （ 注意：本卷考试：时间120分钟， 总分：120 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数的绝对值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据绝对值的性质以及相反数的定义进行解题即可． 【详解】解：的相反数是， ， 则的相反数的绝对值为． 故选：B． 2. 2020年在党中央统一部署下，全国人民齐心协力抗新冠战疫中取得了阶段性胜利，赢得国际社会的赞扬．近期我国又向世卫组织捐款亿美元，将亿用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．因为亿＝，所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数。本题小数点往左移动到的后面，所以 【详解】解：亿 故选 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较大的数，掌握科学记数法是解题的关键． 3. 一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解决本题的关键是根据所给的左视图和俯视图得到主视图的各边长．找到主视图中原几何体的长与高,它们的乘积即为所求． 【详解】解：主视图反映物体的长和高，左视图反映物体的宽和高，俯视图反映物体的长和宽．结合三者之间的关系从而确定主视图的长和高分别为4，2，所以其面积为8． 故选：B． 4. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：D． 5. 若一组数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，根据方差的定义即可求解，正确理解当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，的方差为， ∴，，，，的波动幅度不变， ∴数据，，，，的方差是， 故选：． 6. 下列命题中是真命题的个数是（　　） ①同位角相等； ②相等的弧所对的圆周角必相等； ③若两直线垂直于第三条直线，则这两直线平行； ④坐标系中，y轴左侧的点在第二象限或在第三象限； ⑤无限小数是无理数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，涉及同位角定义，圆周角定理，平行线判定，点的坐标，无理数概念等，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理． 根据同位角定义，圆周角定理，平行线判定，点的坐标，无理数概念等逐项判断． 【详解】解：同位角不一定相等，故①是假命题， 相等的弧所对的圆周角必相等，故②是真命题； 在同一平面内，若两直线垂直于第三条直线，则这两直线平行，故③是假命题； 坐标系中，y轴左侧的点在第二象限或在第三象限或x轴负半轴上，故④是假命题； 无限不循环小数是无理数，故⑤是假命题； ∴真命题有1个， 故选：A． 7. 若不等式组有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出两个不等式，根据已知不等式组有解，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 由得， 由得， 不等式组有解， ，即， 的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 8. 如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ） A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟 B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米 C. 报亭到小亮家的距离是米 D. 小亮打羽毛球的时间是分钟 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了分钟，故该选项正确，不符合题意； B. （米/分钟）， 即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意； C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是米，故该选项正确，不符合题意； D. 小亮打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键． 9. 如图，有两个全等矩形纸条，长与宽分别为和，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由四边形，四边形都是矩形得，，则四边形是平行四边形，证明，通过性质证明四边形是菱形，设，利用勾股定理构建方程即可求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：如图， ∵四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴菱形的面积， 故选：． 10. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点， ∴b2﹣4c＜0；故①错误． 当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误． ∵当x=3时，y=9+3b+c=3， ∴3b+c+6=0．故③正确． ∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确． 综上所述，正确的结论有③④两个， 故选B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是的平方根，的立方根是，则___________ 【答案】或 【解析】 【分析】利用平方根与立方根的含义求解 可得答案． 【详解】解： 是的平方根， 或 的立方根是， 当 当 综上： 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是平方根与立方根的含义以及多项式的因式分解，掌握以上知识点是解题的关键． 12. 已知A，B，C三点及直线EF，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是______． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【解析】 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得A、B、C三点在同一条直线上． 【详解】∵AB∥EF，BC∥EF， ∴A、B、C三点在同一条直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）． 故答案为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【点睛】此题主要考查了平行公理，关键是掌握过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 13. 某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为，列出方程，求解方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：． 14. 如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为，矩形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 故答案为； 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 15. 有个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得： ∵=， ∴=， ∴=， ∴S1=S正方形ABCD， ∴S1=x2， ∵=， ∴=， ∴S2=S正方形ABCD， ∴S2=x2， ∴S1:S2=x2: x2=4:9. 故答案是：4:9. 【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质. 16. 如图，边长为的正方形去一角变为五边形，其中，，点为线段上任一点，，，垂足分别为，则矩形面积的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，延长交于点，设，则，利用平行线构造相似三角形，得出线段的比相等，从而表示矩形的长、宽，再表示矩形的面积，利用配方法求函数的对称轴，根据的取值范围求最大值，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：如图，延长交于点， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，函数有最大值为， 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，为坐标系原点，在坐标平面内，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点坐标为___________． 【答案】或或． 【解析】 【分析】根据要求画出以为顶点的平行四边形即可解决问题． 【详解】解：在平面直角坐标系内描出 三点，利用平行四边形的性质描出点，得到：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质以及平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十二烷的化学式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键． 三、解答题 （本题共9个小题，计66分，注意要有必要的解答过程） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． 20. 先化简，再求值． ，其中满足 【答案】，． 【解析】 【分析】先化简分式，再解方程，把使分式有意义的方程的解代入求值即可． 【详解】解： 又， 时，原分式没有意义， ． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解法，掌握运算方法是解题关键，注意代入求值时原分式一定要有意义． 21. 经研究发现，体育锻炼有助于缓解人的紧张情绪，有效改善身体和心理健康状态．为了解某校九年级男生短跑100m的成绩，从中抽取了部分男生进行测试，并把测试成绩分为“A，B，C，D”四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）　　，　　； （2）请补全折线统计图； （3）扇形统计图中表示C等级的扇形的圆心角度数为　　； （4）学校决定从A等级的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名参加全市中学生100m短跑比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两人中至少有一人被选中的概率． 【答案】（1）45，15 （2） 补全折线统计图如图所示： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用折线统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得抽取的男生人数，用折线统计图中B的人数除以抽取的男生人数再乘以可得，用折线统计图中C的人数除以抽取的男生人数再乘以可得，即可得a，b的值． （2）求出D等级的人数，补全折线统计图即可． （3）用乘以C等级的人数所占的百分比，即可得出答案． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人中至少有一人被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、折线统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：抽取的男生人数为（人）， ∴，， ∴，， 故答案为：45；15， 【小问2详解】 解：D等级的人数为（人）． 【小问3详解】 解：扇形统计图中表示C等级的扇形的圆心角度数为． 故答案为：， 【小问4详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人被选中的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共10种， ∴甲、乙两人中至少有一人被选中的概率为：． 22. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）． 【答案】古树的高度为 【解析】 【分析】延长，交于点G，过点B作于点F，根据斜面的坡度为，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明四边形为矩形，得出，根据三角函数求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示： 则， ∵斜面的坡度为， ∴设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 即， ∵为水平方向，为竖直方向， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 答：古树的高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义． 23. 如图，已知：都是等边三角形，与相交于点O． （1）求的度数？ （2）探究满足怎样条件时？与互相平分，并说明理由． 【答案】（1） （2）满足，且时，则有与互相平分， 理由：∵都是等边三角形， ， ， ， ∴、、三点在同一直线上， 同理，、、三点也在同一直线上， ∵都是等边三角形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握全等三角形的判定方法(即、、、和)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)，以及平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）由条件可证明，可证得，根据三角形的内角和定理求出， （2）连接，当与互相平分，则四边形是平行四边形，于是，因此是边长相等的两个等边三角形，由此可以说明满足的条件，由此条件证明四边形是平行四边形便可． 【小问1详解】 解：∵与都是等边三角形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 24. 如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． （3）求证：． 【答案】（1）证明：连接， 在中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又， ， ， 在上 是的切线． （2） （3）证明：， ， ， ， ， ， 由（1）中结论，得，， ， 即． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可； （2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可； （3）证明即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 25. 甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用天，且甲队单独施工天和乙队单独施工天的工作量相同． 甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？ 设先由甲队施工天，再由乙队施工天，刚好完成筑路任务，求与之间的函数关系式． 在的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为万元，需付给乙队的筑路费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用． 【答案】 甲队天，乙队天；；当甲、乙两队都做天时，最少万元． 【解析】 【分析】（1）设甲队单独完成此项任务需要天，则乙队单独完成此项任务需要天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可； 由甲乙完成的工作量之和为，列函数关系式，变形可得答案， 设甲队安排天，利用总天数不超过天，列不等式求解的范围，再列出总费用的关系式，利用一次函数的性质可得答案． 【详解】解：设甲队单独完成需要天，则乙队单独完成需要天，由题意得： ， 经检验：是原方程的根，则 甲队单独完成需要天，则乙队单独完成需要天． 由题意得： 设甲队安排天，则乙队安排天， 解得： 又总费用 时，即甲乙都安排天，总费用最少， 此时，总费用万元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质的应用，掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，， ∴， 即：的最小值为：； 【小问3详解】 解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024九年级第二学期阶段测评 数学试题 （ 注意：本卷考试：时间120分钟， 总分：120 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数的绝对值为（　　） A. B. C. D. 2. 2020年在党中央统一部署下，全国人民齐心协力抗新冠战疫中取得了阶段性胜利，赢得国际社会的赞扬．近期我国又向世卫组织捐款亿美元，将亿用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 3. 一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 4. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 若一组数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中是真命题的个数是（　　） ①同位角相等； ②相等的弧所对的圆周角必相等； ③若两直线垂直于第三条直线，则这两直线平行； ④坐标系中，y轴左侧的点在第二象限或在第三象限； ⑤无限小数是无理数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 若不等式组有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ） A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟 B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米 C. 报亭到小亮家的距离是米 D. 小亮打羽毛球的时间是分钟 9. 如图，有两个全等矩形纸条，长与宽分别为和，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形面积为（　　） A. B. C. D. 10. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是的平方根，的立方根是，则___________ 12. 已知A，B，C三点及直线EF，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是______． 13. 某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则_____． 14. 如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 15. 有个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为，，则________． 16. 如图，边长为的正方形去一角变为五边形，其中，，点为线段上任一点，，，垂足分别为，则矩形面积的最大值是_____． 17. 在平面直角坐标系中，为坐标系原点，在坐标平面内，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点坐标为___________． 18. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 三、解答题 （本题共9个小题，计66分，注意要有必要的解答过程） 19. 计算： 20. 先化简，再求值． ，其中满足 21. 经研究发现，体育锻炼有助于缓解人的紧张情绪，有效改善身体和心理健康状态．为了解某校九年级男生短跑100m的成绩，从中抽取了部分男生进行测试，并把测试成绩分为“A，B，C，D”四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）　　，　　； （2）请补全折线统计图； （3）扇形统计图中表示C等级的扇形的圆心角度数为　　； （4）学校决定从A等级的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名参加全市中学生100m短跑比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两人中至少有一人被选中的概率． 22. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）． 23. 如图，已知：都是等边三角形，与相交于点O． （1）求的度数？ （2）探究满足怎样条件时？与互相平分，并说明理由． 24. 如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． （3）求证：． 25. 甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用天，且甲队单独施工天和乙队单独施工天的工作量相同． 甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？ 设先由甲队施工天，再由乙队施工天，刚好完成筑路任务，求与之间的函数关系式． 在的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为万元，需付给乙队的筑路费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用． 26. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $