破解抽象函数的方法 课件-2026届高三数学二轮复习

破解抽象函数的方法汇总 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足 的一部分性质或运算法则的函数.抽象函数主要有两个研究方向:一是 由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数或其他知识,再由此预 测、猜想抽象函数可能有的相关结论；二是根据给出的抽象函数性 质,推导其特殊的性质和关系.考题多和函数的性质（单调性、奇偶性、 周期性等）相结合,以小题的方式考查居多. 2 解决抽象函数问题的常用方法 方法一（通法） 1.赋值，特殊值代入求值，如令 ，0，1等. 2.通过函数式得到抽象函数的性质： （1）通过 的变换判断单调性； （2）令式子中出现和 ，判断函数的奇偶性； （3）换为 确定是否具有周期性. 3 方法二（模型化） 结合具体函数，使得抽象函数具体化，常见的有： （1） ； （2）且 ； （3）且 ； （4）为常数 ； （5） ； （6） . 4 例1 [2025·青岛三模]已知函数的定义域为 ， ，，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 令，则 , ，为奇函数. 令 ，则, 为奇函数，, , ,， 的周期为4， 故 .故选C. √ 类型一 抽象函数求值 5 变式题 已知函数的定义域为,对任意的, , 恒成立.若,则 ( ) A.0 B. C. D. [解析] 令，得，所以； 令 ，，得， 又 ，所以； 令，得 ； 令，，得 .故选D. √ 6 例2 已知函数的定义域为，且 ，对定义域内的任 意，，都有，且当 时， ， . （1）求证： 是偶函数； 证明：令，得， . 令，得， ， ， 又 的定义域关于原点对称， 是偶函数. 类型二 抽象函数的性质 7 （2）求证：在 上单调递增； 证明：设 ，则 ， ，，，即 ， ，在 上单调递增. 8 （3）解不等式 . 解：， . 是偶函数， 不等式 可化为 ， 又函数在上单调递增， ， 解得 ， 又， ， 不等式的解集为 . 9 变式题（1）（多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷]已知函数 的定义域为 , ，则( ) A. B. C.是偶函数 D.为 的极小值点 √ √ √ 10 [解析] 令，可得，故A正确； 令 ，可得，即，故B正确； 令 ，则，可得， 令, ,可得， 即 ，故是偶函数，故C正确； 设函数 ，此时满足， 但函数 没有极值点，故D错误.故选 . 11 （2）[2026·大同调研] 已知定义域为的函数 ，对任意的实数 ，都有，且当时， ， ，则当时， 的取值范围为_______. [解析] 设，则，所以. 又，所以函数为增函数. 令，得 ；令，则. 因为的定义域为 ,关于原点对称，所以为奇函数， 所以 ，， 所以在 上的取值范围为 . 12 例3 [2022·新高考全国Ⅱ卷]若函数的定义域为 ，且 ,,则 ( ) A. B. C.0 D.1 [解析] 方法一：令,,得,所以 . 令,得 , 所以,即 , 所以,所以 , 即,所以, 即 是周期为6的周期函数. √ 13 因为,, , ,, , ,所以 . 方法二：令，，得，所以 . 设，则由,知, ， 解得 ，不妨取，则， 所以 ， 所以符合条件， 因此的最小正周期 ，且,, ,, ， 所以 ， 所以 . 故选A. 变式题（多选题）[2026·重庆巴蜀中学开学考]已知定义域为 的函数 ，对任意实数,都有 ，且 ，则以下结论正确的是( ) A. B. 是奇函数 C.的图象关于点 中心对称 D. √ √ √ 16 [解析] 方法一：对于A，令，可得 ， 解得或，令，可得 ， 当时，，显然不成立，故 ，故A正确； 对于B，令，得，即 ， 又函数的定义域为，所以 为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令 ，得 ， 即， 所以函数的图象关于点 中心对称，故C正确； 17 对于D，因为为偶函数，所以 ，又由C选项得 ，即 ， 得，所以 ， 故函数的周期为4， 因为, ,, ， 所以 ， 所以 ，故D正确. 故选 . 方法二：根据题意可设，由 ， 可得，不妨令，则 ，满足题意. 易知是偶函数，B错误； ，A正确； 令，则，当时， ， 故的图象关于点中心对称，C正确； 的最小正周期，又，，，，所以 ，D正确.故选 . 例4 [2024· 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为 ， ,且当时， ,则下列结论中一 定正确的是( ) A. B. C. D. √ 类型三 抽象函数迭代 20 [解析] 因为,且当时, , 所以， ， ，， ， ， ， ， ， .故选B. 21 变式题 （多选题）[2025·南京六校调研]已知定义在上的函数 ， 其导函数为，且满足, , ，则( ) A. B. C. D. [解析] 令，则有，即 ， 令，则有 ， 所以， 所以函数 的图象不关于点对称，故A错误，B正确； √ √ 22 由 ,得，则 ，故C正确； 因为，所以 ， 即，令，则有 ， 又，所以数列是等差数列，其首项为 ，公差为1， 所以，即 ，则 ，故D错误.故选 . $