抽象函数具体化 课件-2026届高三数学二轮复习

利用具体函数解决 抽象函数问题 核心整合 核心整合 结合具体条件，利用满足题意的具体函数替代抽象函数研究问题 知考法，明技巧 知考法，明技巧 解析 知考法，明技巧 知考法，明技巧 解析 知考法，明技巧 方法提炼 知考法，明技巧 若一个函数关于直线对称，则它的导函数会关于点中心对称； 若一个函数关于点中心对称，则它的导函数会关于直线对称 知考法，明技巧 知考法，明技巧 解析 知考法，明技巧 知考法，明技巧 解析 知考法，明技巧 知考法，明技巧 知考法，明技巧 解析 知考法，明技巧 知考法，明技巧 解析 知考法，明技巧 方法提炼 知考法，明技巧 知考法，明技巧 解析 视角一　抽象函数与函数性质的交汇 (1)已知f(x)是定义在R上的函数，若f(x＋a)(a∈R)是奇函数，则f(x)的图象关于点A(a，0)对称．常见函数： (2)已知f(x)是定义在R上的函数，若f(x＋a)(a∈R)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．常见函数： (3)若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. 常见函数： (4)若函数y＝f(x)同时关于点(a，0)与点(b，0)中心对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. (5)若函数y＝f(x)既关于x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|. 例1　(1)(2025·沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，则 (　　) A．f(0)＝1 B．f(1)＝－1 C．f(2)＝0 D．f(3)＝0 因为函数f(x＋1)为奇函数，不妨设f(x＋1)＝x，即f(x)＝－k(x－1), 所以f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，所以f(1)＝0. 又因为f(x＋2)为偶函数，不妨设f(x＋2)＝x2，即f(x)＝(x－2)2， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称， 由f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称及直线x＝2对称， 可设函数为f(x)＝，易得f(3)＝0 (2)(2025·山西二模)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝0，函数y＝xf(x＋3)是奇函数，函数y＝(x＋1)f(x)的图象关于直线x＝－1对称，则 (　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x－1)是奇函数 C．f(x＋8)＝f(x) D．f(1)＝0 因为函数y＝xf(x＋3)为奇函数，则不妨设xf(x＋3)＝x3，即f(x)＝(x－3)2, 易得f(x)的图象关于直线x＝3对称 又因为y＝(x＋1)f(x)关于x＝－1对称，故设(x＋1)f(x)＝(x＋1)2， 得f(x)＝x＋1，所以f(x)的图象点(－1，0)成中心对称， 综上，不妨设f(x)＝，故f(x－1)＝为奇函数， 故选 (1)结合基本初等函数的性质，将抽象函数转化为具体函数，进而判断函数的图象特征． (2)当抽象函数满足多个条件时，转化的具体函数也需满足相同的条件． 练习1　(2025·湖北二模)(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(2－3x)＝f(3x)，f′的图象关于直线x＝－2对称，f′(x)在[1，3]上单调递减，且f′(2 031)＝6，则 (　　) A．f′(x－1)是偶函数 B．f′(x＋1)是奇函数 C．f′(7)＝－6 D．f′(x)的极小值为－6 例2　(1)(2025·河南二模)已知函数f(x)为R上的奇函数，若函数y＝g(x＋2)与y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则g(4)＝ (　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 视角二　双抽象函数 这类问题的处理策略是根据两个函数的关系，转化为一个函数间的关系，再判断奇偶性、单调性、周期性，进而求解． 根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，不妨设f(x)＝x， 函数y＝g(x＋2)与y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称， 可得g(x＋2)＝x－2，故g(x)＝x－4 所以g(4)＝4－4＝0.故选B. (2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝ (　　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 由f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＋g(x＋4)＝12， 故y＝g(x)的图象关于点中心对称，又依题意y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(2)＝4 不妨设g(x)＝2，则f(x)＝5－g(2－x)1 则 视角三　抽象函数还原具体函数模型 抽象函数还原具体函数模型的几种构造方法： (1)f(x)＋f(y)＝f(x＋y)时，可构造f(x)＝kx. (2)若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c，则可构造f(x)＝ax2＋bx＋c. (3)若f(x＋y)＝f(x)f(y)，则可构造f(x)＝ax(a>0且a≠1). (4)若f(xy)＝f(x)＋f(y)(xy≠0)，则可构造f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1). (5)若f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，则可构造f(x)＝cos ωx. 例4　(1)(2025·四川一模)(多选题)已知函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(1)≠0，那么 (　　) A．f(0)＝1 B．f(1)＝2 C．f(－x)＝f(x) D．若f(π)＝，则f(x＋2π)＝f(x) 对于A，令x＝1，y＝0，f(1)＋f(1)＝2f(1)f(0)，因为f(1)≠0，所以f(0)＝1，故A正确；设f(x)＝cos x，则f(x＋y)＋f(x－y)＝cos (x＋y)＋cos (x－y)＝cos x cos y－sin x sin y＋cos x cos y＋sin x sin y＝2cos x cos y＝2f(x)f(y)，显然满足条件，但是f(1)＝cos 1≠2，故B错误；对于C，令x＝0，f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(y)＝f(－y)，又y∈R，所以f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，故C正确；对于D，设f(x)＝cos ，类似B中推导，可知满足题设条件，但最小正周期是6π，故D错误．故选AC. (2)(2025·重庆模拟)(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的可导函数，若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3xy(x＋y)，且f′(0)＝－3，则 (　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是减函数 C．f()＝0 D．x＝1是f(x)的极小值点 对于选项A：令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令y＝－x，可得0＝f(x)＋f(－x)，且函数f(x)的定义域为R，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于选项B，D，因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3x2y＋3xy2＝f(x)＋f(y)＋(x＋y)3－x3－y3，所以f(x＋y)－(x＋y)3＝f(x)－x3＋f(y)－y3，设f(x)－x3＝kx，所以f′(x)＝3x2＋k，因为f′(0)＝－3，所以k＝－3，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>1；令f′(x)<0，解得－1<x<1；可知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数，f(x)在(－1，1)上为减函数，所以x＝1是f(x)的极小值点，故B错误，D正确．对于选项C，f(x)＝x3－3x，所以f()＝()3－3＝0，故C正确．故选ACD. 1. 利用具体函数转化抽象函数模型时，要善用基本运算的运算法则，将运算法则与抽象函数特征相匹配，从而得出具体函数结构. 2. 在无法判断具体函数模型时，则可利用赋值法研究特定函数值及函数的性质. 练习3．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则 (　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；不妨取f(x)＝0，此时f(x)符合题设，但f(x)无极值．故D不正确．综上，选ABC. $