抽象函数与嵌套函数课件-2026届高三数学二轮复习

抽象函数与嵌套函数 高中数学 二轮复习 返回导航 1．以选择题、填空题的形式考查抽象函数性质的应用，难度中档偏上． 2．以选择题、填空题的形式考查嵌套函数零点的个数或由零点的个数求参数等，难度中档或偏上． 返回导航 内容索引 第一部分 热点分类　考向探究 培优专训　难点突破 第二部分 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 一 返回导航 考向 1 抽象函数 ABD 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 ABC 返回导航 返回导航 1．求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、奇偶性及周期性，往往在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用． 2．数形结合可通过画图使抽象函数形象化，根据奇偶性、周期性等性质画出示意图，摘取有效信息，结合图象解题． 反思感悟 返回导航 C 返回导航 D 返回导航 ABD 返回导航 返回导航 返回导航 考向 2 嵌套函数 C 返回导航 返回导航 1．破解此类问题的主要步骤 第一步：换元解套，将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t＝g(x)与y＝f(t)的零点问题． 第二步：依次求解，令f(t)＝0求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数． 2．含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”，结合性质、图象抓临界位置，确定参数取值范围． 反思感悟 返回导航 返回导航 返回导航 培优专训　难点突破 第 分 部 二 返回导航 D 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 B 返回导航 返回导航 返回导航 ABC 返回导航 BC 返回导航 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 角度1　赋值法研究抽象函数 例1　(多选)(2025·广东深圳三模)已知函数f(x)的定义域为R，f(f(x＋y))＝f(x)＋f(y)，f(1)＝1，则(　 　) A．f(0)＝0 B．f(x)的图象关于点(0，0)对称 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(2 025)＝2 025 解析：对于A，令x＝1，y＝0，则f(f(1))＝f(1)＋f(0)，因为f(1)＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(0)，解得f(0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f(f(x－x))＝f(x)＋f(－x)，得f(f(0))＝f(x)＋f(－x)，由A可知f(0)＝0，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，故B正确；对于C，令y＝1－x，则f(f(x＋1－x))＝f(x)＋f(1－x)＝f(f(1))＝f(1)＝1，即f(x)＋f(1－x)＝1，假设f(x)的图象关于直线x＝对称，则有f(x)＝f(1－x)＝，与f(1)＝1矛盾，所以假设不成立，f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；对于D，由f(x)＋f(1－x)＝1且f(－x)＝－f(x)，得f(x)－f(x－1)＝1，即f(x)＝f(x－1)＋1，所以f(2)＝f(1)＋1＝2，f(3)＝f(2)＋1＝3，…，f(2 025)＝2 025，故D正确．故选ABD． 角度2　数形结合研究抽象函数 例2　(2025·重庆江北区质检)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其中f(x)满足f(－x)＝f(x)且在[0，＋∞)上单调递减，函数g(x)满足g(1－x)＝g(1＋x)且在[1，＋∞)上单调递减，设函数F(x)＝[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|]，则对任意x∈R，均有(　 　) A．F(1－x)≥F(1＋x) B．F(1－x)≤F(1＋x) C．F(1－x2)≥F(1＋x2) D．F(1－x2)≤F(1＋x2) 解析：由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则f(x)为R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0]上单调递增．又函数g(x)满足g(1－x)＝g(1＋x)，∴函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且在[1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1]上单调递增．F(x)＝[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|]＝作出函数F(x)的大致图象如图， ∵1＋x2与1－x2关于直线x＝1对称，且1－x2≤1＋x2，∴结合函数图象可得F(1－x2)≥F(1＋x2)．故选C． 角度3　利用函数性质间的关系推理论证 例3　(多选)(2025·安徽安庆模拟)已知函数f(x)与f ′(x)的定义域均为R，且f(x)与f(x＋1)－2均为奇函数，f ′(1)＝2，则下列结论正确的是(　 　) A．f(2 025)＝4 050 B．f ′(x)的图象关于直线x＝1对称 C．f ′(x＋2 026)＝f ′(x) D． ′(2i－1)＝2 025 解析：因为f(x)与f(x＋1)－2均为奇函数，所以f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(－x＋1)－2＝－[f(x＋1)－2]，即f(x＋1)＋f(1－x)＝4，令x＝0，有2f(1)＝4⇒f(1)＝2，由f(x＋1)＋f(1－x)＝4⇒f(x＋2)＋f(－x)＝4⇒f(x＋2)－f(x)＝4，所以f(2 025)＝[f(2 025)－f(2 023)]＋[f(2 023)－f(2 021)]＋…＋[f(5)－f(3)]＋[f(3)－f(1)]＋f(1)＝4×1 012＋2＝4 050，故A正确；对f(x＋1)＋f(1－x)＝4求导有f ′(x＋1)－f ′(1－x)＝0⇒f ′(1＋x)＝f ′(1－x)，即f ′(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；由f ′(1＋x)＝f ′(1－x)⇒f ′(x＋2)＝f ′(－x)，对f(－x)＝－f(x)求导有－f ′(－x)＝－f ′(x)⇒f ′(－x)＝f ′(x)，即f ′(x)为偶函数，即得f ′(x＋2)＝f ′(－x)＝f ′(x)，所以f ′(x)的一个周期为2，所以f ′(x＋2 026)＝f ′(x＋2×1 013)＝f ′(x)，故C正确；因为f ′(x)的一个周期为2，所以f ′(2i－1)＝f ′(1)＝2，所以 ′(2i－1)＝4 050，故D错误．故选ABC． 跟踪训练 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＋1＝f(x)＋f(y)，且f＝0，则f(210)＝(　 　) A．1 B．10 C．11 D．1 024 解析：因为定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＋1＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＋1＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝1，令y＝，得f＋1＝f(x)＋f，因为f＝0，所以f(x)＝f＋1，所以f(210)＝f(29)＋1＝f(28)＋2＝…＝f(2)＋9＝f(1)＋10＝11．故选C． (2)(2025·江西景德镇模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x＋2)也为奇函数，若f(1)＝2，则f(2 027)的值是(　 　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：因为f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，用x＋2代替x得f(－x)＝－f(x＋4)，又f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(1)＝2，所以f(2 027)＝f(4×507－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2．故选D． (3)(多选)已知定义域为R的偶函数f(x)，满足f(1－x)＝f(1＋x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则(　 　) A．f(x)的一个周期为2 B．f>f C．f(x)>的解集为(k∈Z) D．f(2k)＝0(k∈Z) 解析：对于A，因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，由f(1－x)＝f(1＋x)可知，f(x)图象的一条对称轴为直线x＝1，且f(－x)＝f(x＋2)，即得f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为2，故A正确；对于B，f＝f＝，f＝f＝f＝，因为f>f，所以f>f，故B正确；对于C，根据题意，可以作出函数f(x)的图象如下， 由上分析知，函数f(x)的最小正周期为2，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则由f(x)>可得<x≤1，而当1<x≤2时，f(x)＝2－x，则由f(x)>可得1<x<，综上可得0≤x≤2时，由f(x)>可得<x<，故对于x∈R，则f(x)>的解集为，k∈Z，故C错误；对于D，由图知对于k∈Z，必有f(2k)＝0，故D正确．故选ABD． 例4　(2025·湖北恩施模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝[f(x)]2－3f(x)＋2的零点个数是(　 　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：函数y＝[f(x)]2－3f(x)＋2＝[f(x)－1][f(x)－2]的零点， 即方程f(x)＝1和f(x)＝2的根，函数f(x)＝的图象如图所示， 由图可得方程f(x)＝1和f(x)＝2的根共有4个，即函数y＝[f(x)]2－3f(x)＋2有4个零点．故选C． 跟踪训练 已知函数f(x)＝若方程f(f(x)＋1)－k＝0有两个不相 等实数根，则k的取值范围是___________． 解析：因为函数y＝ex在R上为增函数，函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，所以当x≤0时，1<ex＋1≤2，当x>0时，>0，于是函数f(x)的值域为(0，＋∞)，又函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，函数图象如图所示，设t＝f(x)＋1，由f(x)>0可得t>1，则f(t)＝．依题意，可得y＝f(f(x)＋1)－k有两个零点，即得f(t)－k＝0，也即＝k，于是t＝>1，则t＝f(x)＋1＝，由题意可知，需使方程f(x)＝－1有两个不等实数根，结合图象可得解得≤k<．综上所述，k的取值范围是． 1．(2022·全国乙卷理)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝(　 　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 解析：由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x)．在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x)．在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，f(－1)＋f(1)＝－2，得f(2)＝－3，f(1)＝f(－1)＝－1，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，所以(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24．故选D． 2．已知函数f (x)满足：①定义域为R；②f (x＋1)为偶函数；③f (x＋2)为奇函数；④对任意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0．则f ，f ，f 的大小关系是(　 　) A．f <f <f B．f <f <f C．f <f <f D．f <f <f 解析：∵f (x＋1)在R上为偶函数，∴f (x＋1)＝f (－x＋1)，∴f (x)的图象关于直线x＝1对称．∵f (x＋2)在R上为奇函数，∴f (x＋2)＋f (－x＋2)＝0，∴f (x)的图象关于点(2，0)对称，且f (2)＝0．∵f (x＋1)＝f (－x＋1)，∴f (x)＝f (－x＋2)①．又f (x＋2)＋f (－x＋2)＝0，∴f (－x＋2)＝－f (x＋2)②，由①②得f (x)＝－f (x＋2)③，由③得f (x＋2)＝－f (x＋4)④，由③④得f (x)＝f (x＋4)，∴f (x)的一个周期为4，且f (0)＝0，f (x)的图象关于点(0，0)对称．又对任意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，∴f (x)在[0，1]上单调递增，∴f (x)在一个周期内的图象如图所示．∴f ＝f ＝f ＝f ＝f ，f ＝f ＝f ，由图可得f <f <f ，即f <f <f ．故选C． 3．(2025·安徽池州二模)已知函数f (x)＝若[f (x)]2－(a＋2)f (x)＋2a＝0有4个互不相同的根，则a的取值范围为(　 　) A．(2，3) B．(2，3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：令t＝f (x)，则方程[f (x)]2－(a＋2)f (x)＋2a＝0可转化为t2－(a＋2)t＋2a＝0．对t2－(a＋2)t＋2a＝0进行因式分解可得(t－2)(t－a)＝0，则t1＝2，t2＝a．所以f (x)＝2或f (x)＝a．当x≤0时，f (x)＝ex＋2，因为指数函数y＝ex在(－∞，0]上单调递增，所以f (x)＝ex＋2在(－∞，0]上单调递增，且f (x)∈(2，3]．当x>0时，f (x)＝x＋，对其求导，f ′(x)＝1－＝＝．令f ′(x)＝0，即＝0，解得x＝1(x>0)．当0<x<1时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；当x>1时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．所以f (x)在x＝1处取得极小值，也是最小值， f (1)＝1＋＝2．对于f (x)＝2，当x>0时，x＋＝2，即x2－2x＋1＝0，(x－1)2＝0，解得x＝1，有1个根．因为[f (x)]2－(a＋2)f (x)＋2a＝0有4个互不相同的根，f (x)＝2已经有1个根，所以f (x)＝a需要有3个不同的根．结合f (x)的图象(如图)可知，当2<a≤3时，y＝f (x)的图象与直线y＝a有3个交点，即f (x)＝a有3个不同的根，则a的取值范围为(2，3]．故选B． 4．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)，则(　 　) A．f (0)＝0 B．f (1)＝0 C．f (x)是偶函数 D．x＝0为f (x)的极小值点 解析：取x＝y＝0，则f (0)＝0＋0＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝0，取y＝－1，则f (－x)＝f (x)＋x2f (－1)，所以f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，故C正确；由于f (0)＝0，且函数f (x)为偶函数，所以函数f (x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f (x)的极小值点，也可能为函数f (x)的极大值点，也可能不是函数f (x)的极值点，故D不正确．故选ABC． 5．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f ，g(2＋x)均为偶函数，则(　 　) A．f (0)＝0 B．g＝0 C．f (－1)＝f (4) D．g(－1)＝g(2) 解析：因为f ，g(2＋x)均为偶函数，所以f ＝f ，即f ＝f ，g(2＋x)＝g(2－x)，所以f (3－x)＝f (x)，g(4－x)＝g(x)，则f (－1)＝f (4)，故C正确；函数f (x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，又g(x)＝f ′(x)，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋4)＝－g(x＋3)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)，所以g(x＋1)＝－g(x)，所以g(x＋2)＝g(x)，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；若函数f (x)满足题设条件，则函数f (x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (0)的函数值，故A错误．故选BC． $