专题01幂的乘除期中复习讲义(复习重点+核心题型+巩固提升)-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期

专题01幂的乘除期中复习讲义 期中复习◆重点 1.熟练掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方及零指数、负指数幂的运算法则，做到公式记忆准确、运用规范，不混淆、不错用。 2.严格遵循“先乘方、后乘除”的运算顺序，正确区分括号与负号，熟练判断幂的符号，有效避免运算顺序与符号类易错问题。 3.既能正向运用公式进行计算化简，也能逆向推导、整体代换，解决求值、比较大小等问题，强化代数变形与逻辑推理能力。 4.熟练运用科学记数法表示较大或较小数，确保计算结果最简、步骤完整、书写严谨，提升综合运算与实际应用能力。 核心题型◆归纳 题型1同底数幂的运算 题型2零指数幂、负整数指数幂 题型3幂的乘方逆运算 题型4积的乘方逆用 题型5幂的大小比较 题型6幂的运算中求字母或代数式的值 题型7科学记数法 题型8幂的运算化简求值综合题 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点01幂的运算公式 1. 同底数幂相乘 文字：底数不变，指数相加． 公式：（其中都是正整数）； 2.同底数幂相除 文字：底数不变，指数相减. 公式：（≠0，都是正整数，并且） 3.幂的乘方 文字：底数不变，指数相乘． 公式：（其中都是正整数）． 4.积的乘方 文字：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 公式：   （其中是正整数）． 5.商的乘方 文字：把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。 公式:（)n=(b≠0) 知识点02零指数与负整数指数 1. 零指数幂 = 1（a≠0） ★易错：无意义。 2.负整数指数幂 =（a≠0） 知识点03科学记数法 1.大于10的数：a× 1≤a<10,n=整数位数－1 2.小于1的正数：a×.n=左边第一个非0数字前所有0的个数. 知识点04运算顺序与解题步骤 1.先算乘方（幂的乘方、积的乘方）; 2.再算乘除（同底数幂乘除）; 3.最后合并同类项; 4.结果不能含负指数、括号，底数最简. 题型解析◆精准备考 题型1同底数幂的运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为___________． 3．化简：． 题型2零指数幂、负整数指数幂 1．如果，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若，则_____． 3．计算：． 题型3幂的乘方逆运算 1．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是___________． 3．在幂的运算中规定：若（且是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 题型4积的乘方逆用 1．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知，则a的值为______． 3．将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)填空：______； (2)已知，，求的值；（用含a，b的式子表示） (3)已知，求x的值． 题型5幂的大小比较 1．若，，，，则，，，的大小关系是（    ） A．B． C． D． 2．已知以下三个数：，，，则最大的数为______； 3．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 题型6幂的运算中求字母或代数式的值 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，m，n为正整数，求=________． 3．已知，，求的值； 题型7科学记数法 1．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约亿光年，质量约为太阳的万亿倍．已知太阳的质量约为，则用科学记数法表示该星系团的质量，约为（   ） A． B． C． D． 2．齐齐哈尔市地处北纬47°世界黄金奶源带，2026年1月4日，一列满载54个40英尺隔热保温集装箱的鲜奶专列从齐齐哈尔站鸣笛启程驶向3000公里外的广州东部公铁联运枢纽（增城西站），标志着黑龙江优质奶源南下通道实现规模化、专业化运输．其中数据3000用科学记数法表示为________． 3．水由氢，氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是多少（单位：）？ 题型8幂的运算化简求值综合题 1．求值： (1)已知，求x的值． (2)已知，求x的值． 2．若与为同类项，求代数式的值． 3．化简 (1)． (2)． 过关检测◆提升 一、单选题 1．已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（        ） A． B． C． D． 2．下列等式成立的是（   ） A．B． C． D． 3．已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 4．若，，则等于（    ） A．18 B．34 C．3 D．4 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算：_______． 7．根据徐州市统计局公布的数据，年徐州全市实现地区生产总值约为万元，将用科学记数法表示为__________． 8．已知，则____． 9．若，则____________． 10．计算：______． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．若与为同类项，求代数式的值． 13．根据已知，求值 (1)已知，求的值． (2)若，求的值． 14．在幂的运算中规定：若（且是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 15．将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01幂的乘除期中复习讲义 期中复习◆重点 1.熟练掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方及零指数、负指数幂的运算法则，做到公式记忆准确、运用规范，不混淆、不错用。 2.严格遵循“先乘方、后乘除”的运算顺序，正确区分括号与负号，熟练判断幂的符号，有效避免运算顺序与符号类易错问题。 3.既能正向运用公式进行计算化简，也能逆向推导、整体代换，解决求值、比较大小等问题，强化代数变形与逻辑推理能力。 4.熟练运用科学记数法表示较大或较小数，确保计算结果最简、步骤完整、书写严谨，提升综合运算与实际应用能力。 核心题型◆归纳 题型1同底数幂的运算 题型2零指数幂、负整数指数幂 题型3幂的乘方逆运算 题型4积的乘方逆用 题型5幂的大小比较 题型6幂的运算中求字母或代数式的值 题型7科学记数法 题型8幂的运算化简求值综合题 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点01幂的运算公式 1. 同底数幂相乘 文字：底数不变，指数相加． 公式：（其中都是正整数）； 2.同底数幂相除 文字：底数不变，指数相减 公式：（≠0，都是正整数，并且） 3.幂的乘方 文字：底数不变，指数相乘． 公式：（其中都是正整数）． 4.积的乘方 文字：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 公式：   （其中是正整数）． 5.商的乘方 文字：把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。 公式（)n=(b≠0) 知识点02零指数与负整数指数 1. 零指数幂 = 1（a≠0） ★易错：无意义。 2.负整数指数幂 =（a≠0） 知识点03科学记数法 1.大于10的数：a× 1≤a<10,n=整数位数－1 2.小于1的正数：a×.n=左边第一个非0数字前所有0的个数. 知识点04运算顺序与解题步骤 1.先算乘方（幂的乘方、积的乘方）; 2.再算乘除（同底数幂乘除）; 3.最后合并同类项; 4.结果不能含负指数、括号，底数最简. 题型解析◆精准备考 题型1同底数幂的运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法、积的乘方法则计算，再判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ， A计算错误； 对于选项B，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， B计算错误； 对于选项C，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ， C计算正确； 对于选项D，根据积的乘方法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再将结果相乘， ， D计算错误． 2．若，则的值为___________． 【答案】16 【分析】利用同底数幂的除法法则对已知式子变形，即可求解的值． 【详解】解：， ． 3．化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型2零指数幂、负整数指数幂 1．如果，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂成立的条件求解即可，任何不等于0的数的零次幂都等于1，零指数幂的底数不能为0． 【详解】解：∵， ， ． 2．若，则_____． 【答案】 【详解】解：，， ， ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型3幂的乘方逆运算 1．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件中的底数4和8转化为底数为2的幂，再利用幂的运算法则对所求式子变形，代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 2．已知，则的值是___________． 【答案】8 【分析】先求出，再根据幂的乘方和同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 3．在幂的运算中规定：若（且是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方变形得，再根据已知规定即可求解； （2）根据乘方的定义将左边式子变形得到，则，再根据已知规定即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型4积的乘方逆用 1．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，再逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 2．已知，则a的值为______． 【答案】 【分析】先根据积的运算法则对已知等式进行化简，再求解a的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)填空：______； (2)已知，，求的值；（用含a，b的式子表示） (3)已知，求x的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算及其逆用（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）逆用积的乘方法则计算即可； （2）逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则计算即可； （3）同底数幂的乘法、幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：由，， ∴． （3）解：， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型5幂的大小比较 1．若，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的大小比较，利用幂的乘方逆运算将四个幂化为同指数，再根据指数相同底数大于1时，底数越大幂越大的规律比较大小，最后结合排除法确定选项。 【详解】解：原式中各指数44，33，22都是11的倍数，根据幂的乘方逆运算，可得： ， ， ， ， 对正指数幂，指数相同且底数都大于1时，底数越大幂越大，且底数满足 ，即． 2．已知以下三个数：，，，则最大的数为______； 【答案】 【分析】将三个幂变形为同指数的形式，再根据指数为正整数，底数大于时，底数越大幂越大，比较大小即可得到结果． 【详解】解：因为，，且， 所以，即， 又因为，且， 所以，即， 综上可得：， 故最大的数为：． 3．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型6幂的运算中求字母或代数式的值 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用同底数幂乘法和幂的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算． 【详解】解：． 2．已知，，m，n为正整数，求=________． 【答案】/ 【分析】先将已知条件中转化为以为底的幂，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴将，代入得： 原式． 3．已知，，求的值； 【答案】27 【分析】根据同底数幂的乘法逆运算推出，利用幂的乘方的逆运算推出，再代入式子求解，即可解题． 【详解】解：， ∴， ． ， ． 题型7科学记数法 1．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约亿光年，质量约为太阳的万亿倍．已知太阳的质量约为，则用科学记数法表示该星系团的质量，约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将倍数“1000万亿”转化为科学记数形式，再结合太阳质量计算星系团质量即可． 【详解】解：∵万亿，太阳质量约为， ∴该星系团质量为． 2．齐齐哈尔市地处北纬47°世界黄金奶源带，2026年1月4日，一列满载54个40英尺隔热保温集装箱的鲜奶专列从齐齐哈尔站鸣笛启程驶向3000公里外的广州东部公铁联运枢纽（增城西站），标志着黑龙江优质奶源南下通道实现规模化、专业化运输．其中数据3000用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】将数据整理成的形式，其中，为整数，再确定a、n的值即可解答． 【详解】解：将的小数点向左移动位得到，因此，可得． 3．水由氢，氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是多少（单位：）？ 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键．根据一个水分子的质量两个氢原子的质量一个氧原子的质量，即可得出答案． 【详解】解：， 答：一个水分子的质量大约是． 题型8幂的运算化简求值综合题 1．求值： (1)已知，求x的值． (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方法则可得，再根据指数相等得出答案； （2）将原式整理为，即可得出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 2．若与为同类项，求代数式的值． 【答案】 【分析】先化简，再根据同类项的定义得到，再用整体代入法计算即可． 【详解】解： ， ∵与为同类项， ∴， ∴． 3．化简 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的运算法则进行计算，再合并同类项即可； （2）利用同底数幂的乘法和除法公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 过关检测◆提升 一、单选题 1．已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，结合“底数相等，幂相等，则指数相等”的性质，逐个验证选项即可得到不成立的关系式． 【详解】解：∵，，， 对选项A：∵， ∴，A成立，不符合题意； 对选项B：∵， ∴，B成立，不符合题意； 对选项C：∵， ∴，C成立，不符合题意； 对选项D：不能得出，D选项符合题意． 2．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A， ，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，只有在时成立，题目未给出该条件，故C错误； 对于选项D，，故D正确． 3．已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：∵根据幂的运算法则可得，，且， 又∵，， ∴． 4．若，，则等于（    ） A．18 B．34 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将所求代数式变形为含已知条件的形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵，， 又∵ ． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方运算法则，即可判断答案． 【详解】解：A、因为，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 6．计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 7．根据徐州市统计局公布的数据，年徐州全市实现地区生产总值约为万元，将用科学记数法表示为__________． 【答案】 【分析】科学记数法的定义是：把一个数表示为的形式，其中，为整数，对于原数，将小数点向左移动位，可得到符合要求的 ，因此，最终结果为． 【详解】解：∵，将小数点向左移动位得到， ∴． 8．已知，则____． 【答案】3 【分析】利用同底数幂的除法法则逆运算法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的除法逆运算法则，可得， 将，代入得： 原式． 9．若，则____________． 【答案】64 【分析】先由已知等式得到的值，再利用同底数幂的除法法则化简所求式子，代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ． 10．计算：______． 【答案】 【分析】首先逆用同底数幂的乘法法则把转化成，再逆用积的乘方法则把转化成，再根据乘方的法则进行计算． 【详解】解： . 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】解：（1）原式； （2）原式. 12．若与为同类项，求代数式的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了幂的运算，同类项的定义，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行幂的运算，再根据同类项的定义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：． 因为与为同类项， 所以， 所以． 13．根据已知，求值 (1)已知，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】（1）根据幂的乘方法则和同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可； （2）根据积的乘方法则和同底数幂相乘法则得出，则可求出、的值，然后代入计算即可. 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解： ， ， ，解得， ，解得， . 14．在幂的运算中规定：若（且是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方变形得，再根据已知规定即可求解； （2）根据乘方的定义将左边式子变形得到，则，再根据已知规定即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）逆用同底数幂的除法及幂的乘方即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ，， ； （2）解：， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $