天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高一下学期第三次学业质量检测（6月）数学试题

杨村一中2024～2025学年度第二学期第三次学业质量检测 高一数学 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分） 1. 某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（ ） A. 40人 B. 28人 C. 12人 D. 8人 2. 盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个．若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色不同的概率等于（ ） A. B. C. D. 3. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ） A. 的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的第85百分位数为85 4. 已知表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下面四个命题： （1）若，，则；（2）若，，，，则； （3）若，，则；（4），，则． 上面四个命题正确的有（ ） A. （1），（3） B. （2），（4） C. （1），（2），（4） D. （1），（3），（4）． 5. 设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共88分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 9. 已知复数z满足，则______． 10. 若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______． 11. 在中，若，其面积为，则__________． 12. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ①若，则定等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤O为平面内一点，若动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的外心．其中所有正确结论的序号______． 13. 已知正方体棱长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为______． 14. 在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上动点，则的最小值为_________． 三、解答题（本题共5道大题，共58分） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，． ①求的值； ②求面积． 16. 如图，在直三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点D是棱中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离． 17. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 18. 在锐角三角形中，分别为角所对的边，. （1）证明：. （2）求的范围. 19. 如图，在菱形中，的余弦值为为靠近的三等分点，将沿直线翻折成，连接和， （1）求证：平面平面； （2）判断线段的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由； （3）求二面角的正切值的最大值． 杨村一中2024～2025学年度第二学期第三次学业质量检测 高一数学 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 第Ⅱ卷（非选择题 共88分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】④⑤ 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（本题共5道大题，共58分） 【15题答案】 【答案】（1）；（2）①；②． 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【17题答案】 【答案】（1）分； （2）分； （3） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）是； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$