精品解析：山西应县第一中学校2026届高三下学期一模数学试题

2026届高三下学期一模数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 2. 2025年5月14日，长征二号丁运载火箭一次性将12颗太空计算卫星成功送入预定轨道．若各卫星从星箭分离至入轨所需时间（单位：秒）按升序排列为82，85，87，89，91，93，95，97，99，101，103，105，则这组数据的中位数为（ ） A. 94 B. 93 C. 92 D. 91 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且满足，则（　　） A. 2 B. 1 C. D. 5. 如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（    ） A. ：对任意都有 B. ：对任意都有 C. ：对任意都有 D. ：对任意都有 6. 在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段，且其长度为 B. 过三点的截面面积为18 C. 沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D. 在棱上不存在点，使得平面 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（ ） A. 点的横坐标为 B. 直线与轴交点的纵坐标的绝对值为 C. 直线的斜率为 D. 若的周长为12，则 10. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的表面积为 C. D. 的面积为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 存在，使得为奇函数 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某学校有绘画、围棋、篮球三个兴趣小组，三个年级参加兴趣小组的学生人数如下表（每名同学只参加一个兴趣小组）： 绘画组 围棋组 篮球组 高一 50 40 高二 30 40 20 高三 20 10 10 学校要对这三个兴趣小组的活动效果进行抽样调查，按各组人数的比例用分层随机抽样的方法，从这些学生中抽取30人，若围棋组被抽出10人，则的值为__________. 13. ，则用和表示的结果为_____ 14. 已知数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为__________. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）若，，求的外接圆的半径； （2）若，求的面积． 16. 如图，是四棱柱，侧棱底面，底面是梯形，，． （1）求证：平面平面； （2）E是底面所在平面上一个动点，是否存在点E使得与平面夹角的正弦值为？若存在，求点E到平面距离的最小值；若不存在，请说明理由． 17. 科研人员为研究白鼠在注射某种抗生素24小时后体内抗生素残留率与注射剂量之间的关系，测得一组实验数据如表： 剂量 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 残留率 0.07 0.12 0.18 0.25 0.28 0.30 0.35 0.45 （1）根据以上数据计算得样本相关系数，表明抗生素残留率与注射抗生素剂量的线性相关程度较高，请建立关于的经验回归方程； （2）当数据对应的残差的绝对值时，称该数据为“正常数据”．现从这8个实验数据中随机抽取4个，用X表示抽到“正常数据”的个数，求的分布列及均值． 参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，；参考数据：，. 18. 已知椭圆的焦点是，且，离心率为． （1）求椭圆的方程 （2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期一模数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用复数的乘法及除法公式计算得出复数，再根据对称性求解即可. 【详解】因为， 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以. 故选：B. 2. 2025年5月14日，长征二号丁运载火箭一次性将12颗太空计算卫星成功送入预定轨道．若各卫星从星箭分离至入轨所需时间（单位：秒）按升序排列为82，85，87，89，91，93，95，97，99，101，103，105，则这组数据的中位数为（ ） A. 94 B. 93 C. 92 D. 91 【答案】A 【解析】 【分析】利用求解中位数知识即可求解. 【详解】由题意可得这12个数据的中位数为第6位和第7位数的平均数，故A正确； 故选：A. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集运算即可. 【详解】集合， 因为， 所以. 故选：D 4. 已知向量，，且满足，则（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由两边平方得： ， 展开：， 化简得：， 由，， 得：， 解得：. 5. 如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（    ） A. ：对任意都有 B. ：对任意都有 C. ：对任意都有 D. ：对任意都有 【答案】C 【解析】 【分析】由为偶函数，得，结合“－关系”的定义可得出答案． 【详解】由为偶函数，得 对于选项A：“”为假命题，“”也为假命题，故A错误； 对于选项B∶ 由 得成立，故“”为真命题， 而由对任意恒成立，将替换为，得对任意恒成立， 从而成立，所以“”也为真命题，故B错误； 对于选项C：当时，，，此时不成立，只有非负的情况下才会成立，即“”为假命题， 而由：，用替换得，又因，故，所以成立， 所以“”为真命题，故C正确； 对于选项D：“”为真命题， 由于由，用替换得，故， 所以“”也为真命题， 故D错误； 6. 在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段，且其长度为 B. 过三点的截面面积为18 C. 沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D. 在棱上不存在点，使得平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求，间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点，判断D. 【详解】对于A，取分别为的中点，连接， 根据中位线定理得， 又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，平面，所以平面平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面， 所以，又，点的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确； 对于B，由A可得， 所以过三点的截面为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，， 所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，C错误； 对于D，假设存在点，使得平面， 因为平面，则， 在正方形中，如图建立平面直角坐标系， 则， 设，则， 所以，得，显然不成立，D正确. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】，根据条件表示出，，则可表示出，进而可得离心率. 【详解】如图，令，由，得， 又，则， 即，又由，得， ， 故选：D. 8. 若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点，即函数必为单调函数，结合，故只能，即，求出临界值，即可求出答案. 【详解】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点， 所以直线与曲线最多有一个交点， 所以函数必为单调函数，否则必存在直线与其有多个交点. 求导得到， 又因为，所以只能，即， 设曲线与直线相切时切点的横坐标为， 则，解得， 所以， 则的取值范围为. 故选：A. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（ ） A. 点的横坐标为 B. 直线与轴交点的纵坐标的绝对值为 C. 直线的斜率为 D. 若的周长为12，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意画出简图，根据正三角形的性质及抛物线的方程，结合图象逐个分析选项，即可得到正确答案. 【详解】解：由题可知∥轴.因为为等边三角形，所以，则点在线段的中垂线上. 设的中点为,连接，则. 设,,的坐标分别为，，，因为，，所以，所以选项A正确. 设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，因为，所以，则.将代入方程，可得，所以得，即,从而，所以选项B错误. 因为，所以直线的斜率为，所以选项C正确. 若的周长为12，则.因为，所以，解得，所以选项D正确. 或 故选：ACD. 10. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的表面积为 C. D. 的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、表面积公式计算，可判断A、B，利用二面角结合条件可计算并判断C、D. 【详解】 如图，因为，，所以, 所以圆锥的体积为，表面积为，故A、B正确； 对于C，设是的中点，连接,因为，所以, 所以，就是二面角的平面角，则. 所以，，则.故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 存在，使得为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用周期函数的定义判断A；举例说明判断B；在内求出的最大值，结合周期性判断C；利用奇函数图象特征判断D. 【详解】对于A，， ，因此是以为周期的周期函数，故A正确； 对于B，，， 则，故B错误； 对于C，当时，， 令 ，，， 当时，， 令， ，， 因此函数在上的最大值为， 由选项A得在定义域R上的最大值为，故C正确； 对于D，由选项C知，函数在定义域R上的值域为， 函数的图象总在上方，因此函数不可能是奇函数， 即不存在，使得为奇函数，故D错误. 故选：AC 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某学校有绘画、围棋、篮球三个兴趣小组，三个年级参加兴趣小组的学生人数如下表（每名同学只参加一个兴趣小组）： 绘画组 围棋组 篮球组 高一 50 40 高二 30 40 20 高三 20 10 10 学校要对这三个兴趣小组的活动效果进行抽样调查，按各组人数的比例用分层随机抽样的方法，从这些学生中抽取30人，若围棋组被抽出10人，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分层抽样的等比例性质求解即可. 【详解】由题意可知三个兴趣小组的人数分别为， 围棋组被抽出10人，故，则. 故答案为：. 13. ，则用和表示的结果为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为__________. 【答案】49 【解析】 【分析】对递推公式取倒数，结合等差数列的定义求出通项公式，进而求出的表达式，接着由题设不等式得到的的最小值即为所求，利用放缩法求得和即可得解. 【详解】由知，，所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，则， 所以. 则满足的的最小值， 即满足的的最小值. 令，易知为单调递减函数. 又，令，解得. 因为， 当时， ， 所以. 当时， ， 所以. 因此满足不等式的的最小值为49. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）若，，求的外接圆的半径； （2）若，求的面积． 【答案】（1）1. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得，求得，由勾股定理判断为直角三角形，即可求得的外接圆的半径； （2）由余弦定理可得，结合题设条件推得的结论，求得，再利用三角形的面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，由和正弦定理可得：， 再由余弦定理得：，整理得. 因为，则．因，故为直角三角形， 所以的外接圆的半径为. 【小问2详解】 因为，又，所以. 由余弦定理，，可得， 又，且，代入化简，可得.解得， 则的面积为. 16. 如图，是四棱柱，侧棱底面，底面是梯形，，． （1）求证：平面平面； （2）E是底面所在平面上一个动点，是否存在点E使得与平面夹角的正弦值为？若存在，求点E到平面距离的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见详解； （2）存在点使得与平面夹角的正弦值为，点到平面距离的最小值为 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据各线段长度可得四边形是菱形，是正三角形，利用菱形性质及三角形性质即可得出，即，从而平面，于是平面平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出和平面的法向量，令即可求出点坐标，然后由点到平面的距离公式向量表示即可，根据式子即可求点到平面的最小值. 【小问1详解】 取中点，连接，则 ， 所以四边形是菱形，是正三角形， 所以，， 因为，所以， 所以，所以， 因为底面，平面， 所以，又因为平面，平面，， 所以平面，因为平面， 所以平面平面 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取得：， 所以，， 因为与平面夹角的正弦值为，所以， 即：，所以， 所以 由点到平面的距离公式得：， 所以当时，点到平面距离的最小，最小值为 17. 科研人员为研究白鼠在注射某种抗生素24小时后体内抗生素残留率与注射剂量之间的关系，测得一组实验数据如表： 剂量 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 残留率 0.07 0.12 0.18 0.25 0.28 0.30 0.35 0.45 （1）根据以上数据计算得样本相关系数，表明抗生素残留率与注射抗生素剂量的线性相关程度较高，请建立关于的经验回归方程； （2）当数据对应的残差的绝对值时，称该数据为“正常数据”．现从这8个实验数据中随机抽取4个，用X表示抽到“正常数据”的个数，求的分布列及均值． 参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，；参考数据：，. 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 4 均值为 【解析】 【分析】（1）根据数据求出，根据公式即可求出答案； （2）判断个数据中有多少个“正常数据”，再根据超几何分布公式即可列出分布列，利用期望公式即可求出均值. 【小问1详解】 由表知，， ， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 由已知， ， ， ， ， ， ， ， ， 即有4组数据为“正常数据”， 所以X的可能取值为， 则，， ，，， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故数学期望. 18. 已知椭圆的焦点是，且，离心率为． （1）求椭圆的方程 （2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用焦距，离心率为，，三者联立解方程即可得到答案. （2）先利用椭圆的定义将转化为，当直线斜率不存在时，即可直接求出的值，当直线斜率存在时，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立，得到韦达定理及，用斜率表示出的值，求出范围即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆的定义可知，则, 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，两点的坐标分别为和， 由消得， , 则，， 即 同理， 则， , 设 ，当且仅当时等号成立， 所以,， 综上所述的取值范围是. 19. 已知函数. （1）当时，求； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，再通过等比数列的前项和以及等差数列的前项和求解即可. （2）两次求导判断的单调性，进而得到函数的单调性. （3）根据题意，分离参变量，得到，构造函数，对函数求导，求得的最大值即可. 【小问1详解】 当时，，所以 ， 所以. 【小问2详解】 当时，，所以，令， 所以，所以在上单调递增，所以当时，， 所以在上，即，在上，即， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由题意可得在上恒成立， 当时，， 当时，原不等式变为，令，， 则， 令，，所以， 所以，所以在时，；在上，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以当时，， 因为，且在上单调递减， 所以，使得，且当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以当时，， 且函数在上单调递减，所以当时，； 当时，，所以当时，；当时，， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $