二次函数角度问题等角专项课件 2026年中考数学二轮复习

命题点　二次函数中的角度问题　 【核心母题】如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C．已知直线y=3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．设直线BC与l相交于点F。问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 【解题启发】初中阶段，证明2个角相等的方法有哪些？ 2 1. 通过一题多解探究，掌握二次函数等角问题的五种解法：平行、等腰、全等/ 相似、对称、三角函数。 2. 通过对比分析，明确五种方法的思路与适用场景。 3. 通过总结归纳，提升几何条件转化为代数关系的能力，形成等角问题的解题模型。 3 平行：两直线平行，同位角/内错角相等 1 3 2 角平分线：角平分线分得的两个角相等 1 2 等腰三角形：等边对等角 2 1 全等（相似）：对应角相等 1 2 三角函数：若两个锐角的三角函数值相等，则两角相等 1 2 圆周角定理：同圆/等圆中，同弧/等弧所对的圆周角相等 1 2 【母题变式1】抛物线上是否存在点P，使得∠PCB=∠CBO？ 类型一：平行线型等角 P 识图—图形特征： 画角： 分析： CP与x轴平行⟹ C,P纵坐标相同 平行 等角顶点不同时，利用公共边＋平行线构造等角 过点C作CP∥x轴交抛物线与点P，此时∠PCB=∠CBO ∵y=−x2+2x+3与y轴交于C ∴C(0,3) ∵CP∥x轴 ∴yp=yc=3 ∴= ∴xp=2 ∴P(2,3) x轴：纵坐标相同 y轴：横坐标相同 一般直线：k相同 (-1,0) (3,0) (0,3) 【母题变式2】问抛物线上是否存在点P，使得∠PAC=∠ACO？ 类型二：等腰三角形型等角 P D 识图—图形特征： 画角： 分析： 等角对等边⟹ AD=CD 等腰三角形 等角顶点不同时，利用公共边＋中垂线构造等角 ①设D坐标根据距离公式求解 ②在Rt△ADO中勾股定理 (-1,0) (3,0) (0,3) 【跟踪训练】如图，抛物线y=−x2+x+4与x轴相交于A(-2,0)，B(8,0)两点，与y轴交于C。问抛物线上是否存在点P，使得∠PCB=∠CBO？ 根据题意画出对应的角，注意画角需要分类讨论，顺时针与逆时针两种情况。 P1 D P2 过点C作CP1∥x轴交抛物线与点P1 此时∠PCB=∠CBO ∵y=−x2+x+4与y轴交于C ∴C(0,4) ∵CP∥x轴 ∴=yc=4 ∴= ∴xp=6 ∴P1(6,4) 作∠P2CB=∠CBO，交x轴于点D ∴CD=BD 设OD=x，则CD=BD=8-x ∵∠DOC=90° ∴CD2=OD2+CO2 ∴x=3 ∴D(3,0) ∴=-+4 y=−x2+x+4 =-+4 ∴P2(,) 综上所述： P1(6,4) P2(,) 【母题变式3】抛物线上有点P(2,3)使得∠PCB=∠CBO，问抛物线上是否存在点Q，使得∠CBQ=∠PBC？ 类型四：全等三角形型等角 P D Q 作∠CBQ=∠PBC交y轴于D ∵B(3,0),C(0,3) ∴OB=OC ∴∠CBO=∠BCO=45° ∵∠PCB=∠CBO ∴∠PCB=∠BCO 又∵CB=CB ∴CDBCPB（ASA） ∴CQ=CP=2 ∴D(0,1) ∴=-+1 =-+1 y=−x2+2x+3 ∴x=- ,x=3(舍) ∴Q(- ,- ) 识图—图形特征： 画角： 分析： ∆CDB≌∆CPB⟹ CP=CD 全等三角形 构造全等三角形得等角，进而得到边长相等 (-1,0) (3,0) (0,3) 类型三：对称型等角 P P1 Q 【母题变式3】抛物线上有点P(2,3)使得∠PCB=∠CBO，问抛物线上是否存在点Q，使得∠CBQ=∠PBC？ 对称轴是对应点所连线段的中垂线 F 识图—图形特征： 定角： 分析： BQ与BP关于CB对称⟹ 寻找P的对称点 对称 等角顶点相同时，以公共边为对称轴作对称点 垂直：k1·k2=-1 平分：中点公式 (-1,0) (3,0) (0,3) 【母题变式4】问抛物线上是否存在点P，使得∠PBA=∠CAO？ 类型五： 三角函数型等角 D E P1 y=−x2+2x+3 =-3x+9 ∴x=2,x=3（舍） ∴P1(2,3) ∵D、E关于x轴对称 ∴E(0,-9) ∴=3x-9 ∵∠P1BA=∠CAO ∴tan∠P1BA=tan∠CAO ∴==3 ∵OD=9 ∴D(0,9) ∴ y=−x2+2x+3 =3x-9 ∴x=-4,x=3（舍） ∴P2(-4,-21) 综上所述： P1(2,3)，P2(-4,-21) 识图—图形特征： 定角： 分析： ∠PBA=∠CAO⟹ 三角函数值相同 三角函数/相似三角形 利用等角三角函数得到边长比例进而求解点坐标 (-1,0) (3,0) (0,3) 【问题解决】如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C．已知直线y=3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．设直线BC与l相交于点F。问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； P 方法一 方法二 方法三 你有几种做法？ 11 【问题解决】如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C．已知直线y=3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．设直线BC与l相交于点F。问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； P 方法一 方法二 方法三 三角函数 易证△COB是等腰直角三角形 ∠ECF=∠OCB=∠CBO=45° ∠DEC=∠OBP tan∠DEC=tan∠OBP= Q 12 【问题解决】如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C．已知直线y=3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．设直线BC与l相交于点F。问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； P 方法一 方法二 方法三 构造相似 易证△COB是等腰直角三角形 ∠BCO=∠FBD △FDB∽△BPC M 13 【问题解决】如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C．已知直线y=3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．设直线BC与l相交于点F。问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； P 方法一 方法二 方法三 等腰三角形 M N 等腰三角形三线合一 N是FB中点、MN⊥FB N点坐标 kMN 直线MN解析式 y=3x+9 B y=−x2+2x+3 M点坐标 直线BM解析式 P点 14 【问题解决】如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C．已知直线y=3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．设直线BC与l相交于点F。问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； P 方法一 方法二 方法三 三角函数 Q 15 平行 角平分线 等腰三角形 全等(相似) 三角函数 平行线型： 内错角、同位角→ 作平行线 x轴：纵坐标相同 y轴：横坐标相同 一般直线：k相同 对称型： 关于x 轴/y轴/直线对称→ 找对称点 垂直：k1·k2=-1 平分：中点公式 等腰三角形型： 等角对等边→距离相等 距离公式 全等/相似型： 两角相等→原题中有已知或易表示的线段长度或线段长度比例时→全等/相似三角形 三角函数型： 等角→构建直角三角形→三角函数值相等 tan=tan E $