专题04特殊的平行四边形（期中复习讲义，7重难题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

专题04 特殊的平行四边形 （期中复习讲义，7重难题型+过关检测） 题型1 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 3 题型2 中点四边形 4 题型3 特殊平行四边形的性质综合计算（中档题，必考） 8 题型4 特殊平行四边形的判定综合证明（中档题，必考） 10 题型5 特殊平行四边形折叠（小压轴，高频） 12 题型6 动态探究与几何模型综合题（压轴题，高频） 13 题型7 坐标系中的动点与最值综合题（压轴题，高频） 16 1. 熟记多边形、平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的知识点，能准确区分性质与判定的用途。 2. 能熟练解决基础及中档题型，规范完成判定证明、性质计算，确保步骤完整、计算准确。 3. 能突破特殊平行四边形压轴题型（折叠、动态探究、坐标系动点），运用转化思想，提升综合解题能力。03 期中知识•梳理 知识点1：矩形的定义及性质 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形（矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）； 2. 特有性质：① 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）；② 对角线相等（AC=BD）；③ 既是中心对称图形，也是轴对称图形（有2条对称轴）； 3. 面积公式：矩形面积 = 长 × 宽（S=ab），也可沿用平行四边形面积公式（底×高）。 知识点2：矩形的判定定理（必考） 1. 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 角判定：有三个角是直角的四边形是矩形； 3. 对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形； 4. 补充：对角线相等且互相平分的四边形是矩形（结合平行四边形判定+矩形对角线性质）。 知识点3：菱形的定义及性质 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形（菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）； 2. 特有性质：① 四条边都相等（AB=BC=CD=DA）；② 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；③ 既是中心对称图形，也是轴对称图形（有2条对称轴）； 3. 面积公式：① 菱形面积 = 底 × 高（S=ah）；② 菱形面积 = 对角线乘积的一半（S=AC×BD，核心高频考点）。 知识点4：菱形的判定定理（必考） 1. 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2. 边判定：四条边都相等的四边形是菱形； 3. 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 4. 补充：对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形（结合平行四边形判定+菱形对角线性质）。 知识点5：正方形的定义及性质 1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形（正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，具有三者所有性质）； 2. 特有性质：① 四条边都相等，四个角都是直角；② 对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角；③ 既是中心对称图形，也是轴对称图形（有4条对称轴）； 3. 面积公式：① 正方形面积 = 边长²（S=a²）；② 正方形面积 = 对角线乘积的一半（S=AC×BD）。 知识点6：正方形的判定定理（必考） 1. 定义判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 2. 矩形基础：有一组邻边相等的矩形是正方形； 3. 菱形基础：有一个角是直角的菱形是正方形； 4. 对角线判定：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形（或对角线相等、互相垂直且互相平分的四边形是正方形）。 知识点7：特殊平行四边形的关系 1. 包含关系：正方形⊂矩形⊂平行四边形，正方形⊂菱形⊂平行四边形； 2. 区别：矩形侧重“角是直角”，菱形侧重“邻边相等”，正方形兼具两者特征； 3. 易错提醒：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形、菱形、正方形。 04 期中题型•汇总 题型1 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 【典例1】．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【变式3】．如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【变式4】．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 【变式5】．如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． (1)当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． (2)在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； (3)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 题型2 中点四边形 【典例2】．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图， 四边形 为矩形， E， F， G， H 分别为 ， ，， 的中点， 则四边形的形状是（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式3】．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 【变式4】．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 【变式5】．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 【变式6】．综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 题型3 特殊平行四边形的性质综合计算（中档题，必考） 【典例3】．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【变式1】．如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________． 【变式2】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【变式3】．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【变式4】．如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点，连接．若菱形的面积为，，则的长为___________． 【变式5】．如图，菱形的对角线，相交于点，过点C作于点E，连接OE，若，，则菱形的面积为________________． 【变式6】．如图，在正方形中，点E，点F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的度数为___________． 【变式7】．如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 【变式8】．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为________． 题型4 特殊平行四边形的判定综合证明（中档题，必考） 【典例4】．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【变式1】．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求四边形的周长． 【变式2】．如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【变式3】．如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【变式4】．如图，在四边形中，，，，垂足为E，F，G分别为边，的中点，连接，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的度数． 【变式5】．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【变式6】．如图，长方形中，，，点在边上，将沿着翻折后，点落在线段上的点处，那么的长度是______． 题型5 特殊平行四边形折叠（小压轴，高频） 【典例5】．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．    （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 【变式1】．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【变式2】．如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 【变式3】．如图，四边形是菱形，，，点是射线上一动点，把沿折叠，其中点的对应点为，连接，若为等边三角形，则的长为________． 【变式4】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 题型6 动态探究与几何模型综合题（压轴题，高频） 【典例6】．在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【变式1】．如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【变式2】．如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【变式3】．如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 【变式4】．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【变式5】．综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          【变式6】．如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．    (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，直接写出与的大小关系； (2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图③，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值． 题型7 坐标系中的动点与最值综合题（压轴题，高频） 【典例7】．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 【变式1】．如图，矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是． (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)点D是上一点，矩形沿直线折叠，使得点A恰好落在对角线上的点E处，求点D的坐标； (3)动点P从点B出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（秒）（）． ①当点C在线段的垂直平分线上时，则t的值为______秒； ②连接，，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值，并求出此时的度数． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形，，．在上取一点D，沿折叠，点B恰好落在上的点E处． (1)点E的坐标为 ； (2)求的周长； (3)动点P从点C出发沿边以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点P运动的时间为秒．另一动点Q从点O出发以每秒2个单位的速度，在上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请求出t的值． 【变式3】．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ． 【变式4】．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点C，B的坐标（结果用根号表示） (2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形； (3)在点P、Q运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 【变式5】．如图，在平面直角坐标系中，菱形边在轴上，，，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)写出点坐标_____． (2)连接，求的面积关于运动时间的函数解析式． (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6】．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点P是第一象限内一动点． (1)如图1，若动点满足，求点P的坐标； (2)如图2，在第（1）问的条件下，且， ①求点B的坐标； ②当，求的值． (3)如图3，若，且，若动点P满足，问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值． 05 过关•检测 1．如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题中，真命题的是（    ） A．两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形． C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 3．如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则以下结论：①；②；③；④，一定成立的是（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②④ 4．在平面直角坐标系中，正方形的三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点、的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．某天放学，三名同学准备从学校回家．如图，点为学校所在的位置，三名同学的家在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，正方形的面积为，则正方形的周长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 9．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 10．如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 11．如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于（ ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，，若，，，则的长为___________． 14．已知矩形，E为的中点，F为上一点．若，，，则_____． 15．如图，菱形的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边的中点，P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 16．如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④；⑤的最小值为2．其中正确结论有________个． 17．如图，将，的矩形纸片放在以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的平面直角坐标系中，连接，将纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在边上，则点C的坐标为______． 18．如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，且，点H为中点，连接和，M为的中点，连接，作于点G，若，则_______． 19．如图，八（1）班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片进行折纸．已知该纸片长为，宽为．折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）． (1)____________________： (2)求的长． 20．如图，在菱形中，点分别是边上的一点，且与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 22．如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 23．如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． (1)若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； (2)如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 24．折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 25．“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是边上的动点． (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为G，连接，试说明； (2)若，如图②，且，将四边形沿翻折，点B、C的对应点分别为．当点E从点A运动至点B的过程中，点的运动路径长为 ； (3)若四边形是正方形，，如图③，连接交于点M，以为直径作圆，该圆与交于点A和点N，将沿翻折，若点M的对应点刚好落在边上，求此时的长度． 26．如图1，已知正方形是边上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接并延长交于点，连接． (1)写出与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊的平行四边形 （期中复习讲义，7重难题型+过关检测） 题型1 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 3 题型2 中点四边形 9 题型3 特殊平行四边形的性质综合计算（中档题，必考） 22 题型4 特殊平行四边形的判定综合证明（中档题，必考） 30 题型5 特殊平行四边形折叠（小压轴，高频） 38 题型6 动态探究与几何模型综合题（压轴题，高频） 45 题型7 坐标系中的动点与最值综合题（压轴题，高频） 68 1. 熟记多边形、平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的知识点，能准确区分性质与判定的用途。 2. 能熟练解决基础及中档题型，规范完成判定证明、性质计算，确保步骤完整、计算准确。 3. 能突破特殊平行四边形压轴题型（折叠、动态探究、坐标系动点），运用转化思想，提升综合解题能力。03 期中知识•梳理 知识点1：矩形的定义及性质 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形（矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）； 2. 特有性质：① 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）；② 对角线相等（AC=BD）；③ 既是中心对称图形，也是轴对称图形（有2条对称轴）； 3. 面积公式：矩形面积 = 长 × 宽（S=ab），也可沿用平行四边形面积公式（底×高）。 知识点2：矩形的判定定理（必考） 1. 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 角判定：有三个角是直角的四边形是矩形； 3. 对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形； 4. 补充：对角线相等且互相平分的四边形是矩形（结合平行四边形判定+矩形对角线性质）。 知识点3：菱形的定义及性质 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形（菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）； 2. 特有性质：① 四条边都相等（AB=BC=CD=DA）；② 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；③ 既是中心对称图形，也是轴对称图形（有2条对称轴）； 3. 面积公式：① 菱形面积 = 底 × 高（S=ah）；② 菱形面积 = 对角线乘积的一半（S=AC×BD，核心高频考点）。 知识点4：菱形的判定定理（必考） 1. 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2. 边判定：四条边都相等的四边形是菱形； 3. 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 4. 补充：对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形（结合平行四边形判定+菱形对角线性质）。 知识点5：正方形的定义及性质 1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形（正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，具有三者所有性质）； 2. 特有性质：① 四条边都相等，四个角都是直角；② 对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角；③ 既是中心对称图形，也是轴对称图形（有4条对称轴）； 3. 面积公式：① 正方形面积 = 边长²（S=a²）；② 正方形面积 = 对角线乘积的一半（S=AC×BD）。 知识点6：正方形的判定定理（必考） 1. 定义判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 2. 矩形基础：有一组邻边相等的矩形是正方形； 3. 菱形基础：有一个角是直角的菱形是正方形； 4. 对角线判定：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形（或对角线相等、互相垂直且互相平分的四边形是正方形）。 知识点7：特殊平行四边形的关系 1. 包含关系：正方形⊂矩形⊂平行四边形，正方形⊂菱形⊂平行四边形； 2. 区别：矩形侧重“角是直角”，菱形侧重“邻边相等”，正方形兼具两者特征； 3. 易错提醒：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形、菱形、正方形。 04 期中题型•汇总 题型1 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 【典例1】．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 【变式1】．如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，结合菱形的判定定理，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 选项B由已知可得，不需要添加， ∵， ∴，即， 选项A由已知可得，不需要添加， ∴四边形是平行四边形， 添加选项C，无法证得四边形为菱形， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴． 若添加选项D， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【变式2】．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．先根据给定条件判断平行四边形是否为矩形或菱形，再结合正方形的判定定理(对角线互相垂直的矩形是正方形、邻边相等的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形)逐一分析不同条件组合能否判定为正方形，最终得出②③组合不能判定为正方形，其余符合条件的组合可以判定的结论． 【详解】解：A、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以②③组合不能判定为正方形，故此选项错误，符合题意； B、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ④矩形的对角线互相垂直说明是正方形(对角线垂直的矩形是正方形)； 所以②④组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； C、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； 所以①②组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； D、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以①③组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； 根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形是正方形． 故选：A． 【变式3】．如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【答案】(1)②或③ (2)选择②或③，证明见解析 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； （2）解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【变式4】．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，即可得出结论； （2）由三角形中位线定理和勾股定理，求出和的长，再由勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）证明：点E为的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 是边的中点，， ， 四边形是菱形： （2）解：，E分别是边的中点， ， ， ， ，四边形是菱形， ， ， ， ，即的长是． 【变式5】．如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． (1)当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． (2)在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； (3)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 【答案】(1)当D移至的中点时，四边形是菱形．证明见解析 (2)30 (3)不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理见解析 【分析】（1）当D移至的中点时，四边形是菱形；由平移的性质可得且，，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知，再证明四边形是平行四边形，结合即可证明； （2）由勾股定理可得，由平移的性质可得，再根据菱形的性质求面积即可； （3）不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件即可解答． 【详解】（1）解：如图：当D移至的中点时，四边形是菱形．证明如下： ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴且，， 在中，，D是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为． （3）解：如图：四边形不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理如下： ∵，D是中点， ，即， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 题型2 中点四边形 【典例2】．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 【变式1】．如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 矩形中，，， ， 分别是和的中点， ， 以此类推，，， …… ， ． 【变式2】．如图， 四边形 为矩形， E， F， G， H 分别为 ， ，， 的中点， 则四边形的形状是（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的性质、菱形的判定定理解答． 【详解】解：连接、， ∵在中，G、H为、的中点， ∴，且， 在中，E、F为、的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式3】．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 【答案】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理，先证明四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵分别为四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵， ∴当时，四边形为菱形， 当，即时，四边形为矩形， ∵， ∴当时，四边形为矩形． 【变式4】．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故答案为：①④． 【变式5】．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)菱形；矩形；正方形 (3)2；对角线，与不垂直；菱形（答案不唯一）；见解析 【分析】（1）依题意画出图形即可： （2）图2中的中点四边形EFGH是菱形，图3中的中点四边形EFGH是矩形，图4中的中点四边形EFGH是正方形，然后填入表格即可； （3）根据中位线定理得，，，，，，结合已知条件即可判定四边形是菱形、矩形、正方形即可． 【详解】（1）解：依题意画出图形如图所示： （2）解：如下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 菱形 图3 ， 矩形 图4 ， 正方形 （3）解：选择图2时：已知四边形中，对角线，与不垂直，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是菱形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，与不垂直， 与不垂直， ∴平行四边形是菱形； 选择图3时，已知四边形中，对角线，，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是矩形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，， ， ， ∴平行四边形是矩形； 选择图4时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， 又，，， ， ， ∴菱形是正方形． 【变式6】．综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相等，菱形，垂直，矩形，相等且垂直，正方形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，，，从而得出，，即可得证； （2）根据菱形、矩形、正方形的判定与性质即可得出结果； （3）连接、、，由（2）可得，四边形为正方形，，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，，表示出，从而可得当点、、三点共线时，的长最小，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线相等时，中点四边形的形状是菱形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形； 由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形的形状是矩形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线， ∴， ∴四边形是矩形； 由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线垂直且相等时，中点四边形的形状是正方形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形， ∵对角线， ∴， ∴四边形为正方形； （3）解：如图：连接、、， ， 由（2）可得：，四边形为正方形，， ∴， 由直角三角形的性质可得，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的长最小，为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型3 特殊平行四边形的性质综合计算（中档题，必考） 【典例3】．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，对角线相等，可得，推出，根据题意，求出，，根据三角形的内角和，求出，再根据，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，是对角线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，当时，最小，此时为等腰直角三角形，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 过点作于点M，于点N，则四边形是矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴， ∴当时，最小，此时为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 【变式2】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明（），得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 【变式3】．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4】．如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点，连接．若菱形的面积为，，则的长为___________． 【答案】12 【分析】由菱形的性质可得，，，根据菱形的面积公式计算得出，再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式5】．如图，菱形的对角线，相交于点，过点C作于点E，连接OE，若，，则菱形的面积为________________． 【答案】24 【分析】根据菱形的性质得到，，利用直角三角形斜边中线的性质得到，再利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形、， 、，， ， ， ， 菱形的面积为． 【变式6】．如图，在正方形中，点E，点F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的度数为___________． 【答案】/30度 【分析】根据正方形的性质和，证明得到，从而得到，根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形是正方形，对角线为、相交于点， ， ， ，，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 【变式7】．如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】通过设正方形边长为，利用正方形性质、中点坐标公式确定各点坐标，再根据两点间距离公式结合求解的值． 【详解】设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： ，，，， 是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点， ， ， 是的中点，，， ，， ，即， 解得：， ． 【变式8】．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，，由正方形的性质可得，证明△△可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， △△， ， ， ． 故答案为：． 题型4 特殊平行四边形的判定综合证明（中档题，必考） 【典例4】．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 【变式1】．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出，，推出，结合角平分线的性质和等角对等边推出，根据等腰三角形的三线合一推出，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，点为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ，， ， 平分， ， ， ， 在中，，点为中点， ， 平分，， ， ， ，即， ， ， ， ，， 四边形的周长． 【变式2】．如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 【变式3】．如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 【变式4】．如图，在四边形中，，，，垂足为E，F，G分别为边，的中点，连接，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可得四边形为平行四边形，进而根据邻边相等可证明； （2）根据直角三角形斜边上中线的性质，三角形的内角和，平行线的性质以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， F，G分别为边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴， ∵F为边的中点， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴． 【变式5】．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)2 【分析】（1）由,，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【变式6】．如图，长方形中，，，点在边上，将沿着翻折后，点落在线段上的点处，那么的长度是______． 【答案】2 【分析】利用长方形的性质得到，由翻折得，，证明，得到，根据勾股定理得到，计算即可得到答案． 【详解】解：长方形， ，，，， ， 由翻折得， ，, ， ， ， 在中，， ， ． 题型5 特殊平行四边形折叠（小压轴，高频） 【典例5】．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．    （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 【答案】 /90度 【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即． （2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案． 【详解】解：（1）由翻折可得，， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）四边形为菱形， ， ， 由翻折可得，，，， 点是的中点， ， ， 即点与点重合． ， 点，，三点在同一条直线上． 过点作，交的延长线于点．   ，， ，， ，， 由翻折可得，， 设， 则，， 由勾股定理可得， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 【变式1】．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 【分析】利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得；连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 【答案】或 【分析】由题意可分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时，然后根据平行线的性质及折叠的性质可进行求解． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 【变式3】．如图，四边形是菱形，，，点是射线上一动点，把沿折叠，其中点的对应点为，连接，若为等边三角形，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．分两种情况进行讨论：当点在上时，当点在延长线上时，依据折叠的性质、等边三角形的性质以及含角直角三角形的性质，即可得到和的度数，进而得到的长． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， 分两种情况： 如图，当点在上时，点与点重合时，此时为等边三角形， 由折叠可得，， ， 在中，； ②如图，当点在延长线上时，当为等边三角形时，， ， 由折叠可得，， ， 在中，． 故答案为：或． 【变式4】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 题型6 动态探究与几何模型综合题（压轴题，高频） 【典例6】．在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据同角的余角相等可得，利用可证； 利用可证，根据全等三角形的性质可证，过点作，交的延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可证：，利用勾股定理可证结论成立； 作的中点，的中点，连接，因为点在边上运动，点在上运动，点是的中点，可知点的运动轨迹是连接、中点的线段，利用勾股定理求出的长度即为点运动的路径长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点为的中点， ， ， 如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如下图所示，作的中点，的中点，连接， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 随着点、的运动，点在线段上运动， ， ， 在中， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题．解决本题的关键是根据点、的运动路径找到点的运动轨迹，根据点的运动轨迹求出点运动的路径长度． 【变式1】．如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)的值为2或6或 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据直角的不同分情况讨论求解． （1）先根据菱形的性质得出，再根据，可得为等边三角形，从而可得出； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，从而可得为直角三角形，再利用勾股定理求得，然后利用求解； （3）分，，三种情况，分别得到关于的一元一次方程求解，求得的值． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为 ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为； （2）如图1，12秒后点走过的路程为， 则12秒后点到达点， 即点与点重合； 12秒后点走过的路程为，而， ∴点到点的距离为， 此时点到达的中点，即点为的中点 是等边三角形，而为中线， ， 为直角三角形， 在中， ； （3）为等边三角形， ， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， 点从点开始运动， ∴， 点为的中点， ∴， ①若，且点在上，如图1， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ②若，且点在上，如图2， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ③若，即， ， 点在的垂直平分线上， 此时点在点处， ， ， ， 综上所述，的值为2或6或． 【变式2】．如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②的面积是面积的时的值为或或． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，得到，即，求解即可； （3）①分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ， ∵动点从点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ． （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，如图： ， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：①点到达点后，以原速度的 2 倍返回到点的时间为：， 长方形的周长为：． 当平分周长时，， 当时，， 解得：， 当时，． 解得：； ②当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，， 如图：     ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 综上，的面积是面积的时的值为或或． 【变式3】．如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）延长至点N，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接，证明，得到，，再证明，在、和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E，F分别是的中点， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴； （2）解：三条线段的数量关系为， 理由如下：延长至点N，使，连接． ∵， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三条线段的数量关系为； （3）解：过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M在上，G，E在上， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，由勾股定理得： ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得， ∴． 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式4】．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，，， ∴； 由折叠性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在矩形中，， ∴． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 【变式5】．综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          【答案】（1）24；（2）4；（3）①；② 【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）连接，交于点O，过点E作于点K，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）①过点A作于点，根据垂线段最短，得出的最小值为的长，根据菱形面积求出结果即可； ②在的延长线上截取，连接，．证明，得出，根据当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，过点A作于点T，根据勾股定理求出． 【详解】解：（1）连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K． ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4． （3）①如图2，过点A作于点， ∵垂线段最短， ∴的最小值为的长， 由（1）可知菱形的面积为24， ∴， 即， 解得： ， ∴的最小值为． ②如图3，在的延长线上截取，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值， 即的最小值为的长， ∴的最小值为的长 过点A作于点T， 由①易知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式6】．如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．    (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，直接写出与的大小关系； (2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图③，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值． 【答案】(1) (2)点在运动过程中，的长度不变，值为，理由见解析 (3)6 【分析】（1）连接，证，得，再证，则，即可得出结论； （2）连接，如图2．首先证得，则有，只需求出的长即可得解； （3）过点在正方形外构造作，然后取中位线得，从而可得，再构造直角三角形求出即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图1所示：      ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在运动过程中，的长度不变，值为．理由如下： 连接，与相交于点，如图2．      ∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ， 在和中， ， ∴， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ，(负值不合题意，已经舍去) ， ∴点在运动过程中，的长度不变，值为； （3）解：如图3所示：过点在正方形外作，使，在上取点，使，连接，      ∵四边形是正方形， ， ，， ∴， ∴， ∴， 如图3所示：在上取点，使，连接、， 又∵， ∴， ∴ 即：当、、三点共线时，最小，最小值为， 如图3所示：过点作，垂足为，交于， ∵正方形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∵， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴ ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型7 坐标系中的动点与最值综合题（压轴题，高频） 【典例7】．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据速度时间距离即可得解； （2）根据矩形的性质可得，， ，从而可得，，从而由平行四边形的性质得到，再对当在点左侧运动时和当在上点右侧运动时，建立方程即可得解； （3）先证明四边形是平行四边形， 得到，从而可判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，再用三角形的中位线得出，进而求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：动点在射线上以每秒个单位长的速度运动，动点的运动时间为秒， ； （2）解：四边形为矩形，，， ，， ， 点是的中点， ， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， ， ， ， 当在点左侧运动时，此时， ， ； 当在点右侧运动时，此时， ∴， ∴， ∴综上，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形 （3）解：由（2）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， 当最小时，四边形的周长最小， 如图，作点关于的对称点，连接交于， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中位线， ， ， ． 【变式1】．如图，矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是． (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)点D是上一点，矩形沿直线折叠，使得点A恰好落在对角线上的点E处，求点D的坐标； (3)动点P从点B出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（秒）（）． ①当点C在线段的垂直平分线上时，则t的值为______秒； ②连接，，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值，并求出此时的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)①；②存在，，此时 【分析】（1）根据矩形的性质以及矩形的性质解答即可求解； （2）在中，根据勾股定理可得，再由折叠可得，，，从而得到，；设，则，，在中，由勾股定理求出a的值，即可求解； （3）①根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解；②证明，可得，，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：矩形中，轴，轴， ∵点B的坐标是， ∴， ∴，； 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形，点B的坐标是， ∴，，， ∴在中，； 由折叠得：，，， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， ∴； （3）解：根据题意得：， ①∵点C在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得：； ②存在某一时刻t，使， 由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在，，此时． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形，，．在上取一点D，沿折叠，点B恰好落在上的点E处． (1)点E的坐标为 ； (2)求的周长； (3)动点P从点C出发沿边以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点P运动的时间为秒．另一动点Q从点O出发以每秒2个单位的速度，在上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请求出t的值． 【答案】(1) (2)的周长为6 (3)时，以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（1）根据折叠和矩形的性质可求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； （2）先求出，然后根据三角形周长公式求解即可； （3）由知，要使以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，则有，然后分点Q没有到达点A，点Q到达点A后两种情况讨论． 【详解】（1）解：（1）∵矩形沿折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得：，， 由（1）知， ∴， ∴的周长； （3）解：由题意可知， 当点Q没有到达点A时，， ∴， 当点Q到达点A后，返回时，， ∴， 此时点P与点B重合，不合题意舍去． 综上所述，时，以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，平行四边形的性质，一元一次方程的应用等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 【变式3】．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）根据题意，分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，进而勾股定理，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ， ∵点是的中点， ∴， 由运动知，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：①当点在的右边时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ，解得， ， ； ②当点在的左边且在线段上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； ③当点在的左边且在的延长线上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； 综上所述，时，；时，；时，； （3）解：如图，取，作点关于的对称点，连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形的周长为 ， 最小时，四边形的周长最小， 当在上时，最小，即最小， ， ∴的最小值为， ∴四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、菱形性质、平行四边形的性质、勾股定理、轴对称的性质，坐标与图形，解（1）的关键是求出的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点的位置． 【变式4】．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点C，B的坐标（结果用根号表示） (2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形； (3)在点P、Q运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)经过秒，四边形是平行四边形 (3)不能成为菱形，见解析 【分析】（1）如图，过C作于E，则，，由勾股定理得，，则，由平行四边形，可知，，进而可得； （2）设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形，由题意知，，，，由四边形是平行四边形，可得，即，计算求解即可； （3）由（2）可知，经过秒，四边形是平行四边形，此时，由，可知平行四边形不能是菱形． 【详解】（1）解：如图，过C作于E， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴； （2）解：设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形， 由题意知，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 解得：， ∴运动开始，经过秒，四边形是平行四边形； （3）解：不能成为菱形，理由如下； 由（2）可知，经过秒，四边形是平行四边形，此时， ∵， ∴平行四边形不能是菱形． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的 应用，菱形的判定等知识．熟练掌握含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的应用，菱形的判定是解题的关键． 【变式5】．如图，在平面直角坐标系中，菱形边在轴上，，，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)写出点坐标_____． (2)连接，求的面积关于运动时间的函数解析式． (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，，， 【分析】（1）根据的长度，菱形的性质与锐角函数综合，可得和的长度，即可得点P的坐标； （2）分类讨论，分别由运动时间表示出线段长度，代入三角形的面积公式，化简整理即可； （3）根据运动时间，确定点M和点N的坐标，分类讨论，根据等腰三角形的性质即可得点E的坐标． 【详解】（1）解：∵菱形中，，，， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：根据题意可知，，， 如图，作于点K， 则， ∵， 则， ∵，， ∴， 作轴于点H， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴的面积， 当时， ， ∴的面积， 综上所述，， 答：的面积S关于运动时间t的函数解析式为． （3）解：在对角线上存在一点E，使得是含角的等腰三角形．理由： 如图，当时，，点M和点Q重合，，，， 当为顶角时，点与点O重合，， 当为顶角时，点与点P重合，， 当为顶角时，， 设， 则， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 答：当时，在对角线上存在一点E，使得 是含角的等腰三角形，，，，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握分类讨论的思想方法． 【变式6】．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点P是第一象限内一动点． (1)如图1，若动点满足，求点P的坐标； (2)如图2，在第（1）问的条件下，且， ①求点B的坐标； ②当，求的值． (3)如图3，若，且，若动点P满足，问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值． 【答案】(1)； (2)①；②6； (3)的值不会变化，它的值为2 【分析】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标的特征，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解决本题的关键． （1）利用非负数的意义求得a，b的值即可得出结论． （2）①过点P作于点E，轴于点F，利用矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质求得，则结论可求； ②通过证明，得到，则． （3）过点B作于点H，设，交于点K，利用线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质得到，；再利用得到，则，结论可求． 【详解】（1）解：， ，， ，． ． （2）解：①过点作于点，轴于点，如图， ，，轴于点， 四边形为正方形， ，， ． 点的坐标是， ， . ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； ②， ，， . ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：的值不会发生变化，它的值为，理由： 过点作于点，设，交于点，如图， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， . 在和中， ， ， ，. 在和中， ， ， ． ， ． 05 过关•检测 1．如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠和平行四边形的性质可得，，，即可得，四边形是矩形，再根据矩形的性质解答即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ∵点在的延长线上，即、、三点共线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 2．下列命题中，真命题的是（    ） A．两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形． C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解： A：只有两组邻边相等的四边形不一定是菱形，一组邻边相等的平行四边形才是菱形，故该选项不合题意； B：有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，有一个角是直角的平行四边形才是矩形，故该选项不合题意； C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故该选项符合题意； D：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不是正方形，故该选项不合题意． 3．如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则以下结论：①；②；③；④，一定成立的是（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线定理进行推导，逐一判断各个结论 【详解】 解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； ②延长交的延长线于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在中，为中点， ∴，故②正确； ③由②知，， ∴，， ， ∴， ， ∴，故③错误； 由①知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④． 4．在平面直角坐标系中，正方形的三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知三个顶点的坐标特征，利用正方形邻边垂直且边长相等的性质，即可确定第四个顶点D的坐标． 【详解】解：已知正方形中，，，， 和的纵坐标相同， 轴，且， 和的横坐标相同， 轴，且， ，，符合正方形邻边的性质， 四边形是正方形， ，， 点的横坐标与点横坐标相同，点的纵坐标与点纵坐标相同， 点坐标为． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点、的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可以得出和的长度，根据勾股定理即可得出的长度，得出点的坐标，即可求解． 【详解】∵顶点、的坐标分别为，， 故，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 6．某天放学，三名同学准备从学校回家．如图，点为学校所在的位置，三名同学的家在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可知点A、C关于x轴对称，在的垂直平分线上，即A、C的横坐标和中点横坐标相等，根据正方形对角线求C的纵坐标． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线， 即A、C的横坐标均为1， ∵， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故C点坐标． 7．如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，正方形的面积为，则正方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积求出边长，利用正方形的性质证明，从而得到，在中利用勾股定理求出，即可求得正方形的周长． 【详解】解：∵正方形的面积为， ， ∴， ∵四边形和四边形均为正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴正方形的周长为． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，特殊角的直角三角形的性质． 首先根据矩形的性质得到，，继而得到，根据特殊角的直角三角形的性质得到，继而得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点O，连接，由题意易得，，然后根据三角形三边不等关系进行求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，如图所示： ∵在矩形中，，N是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，则有当点O、M、N三点共线时，有最小值，最小值为． 11．如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相交于点，连接，可得，即得，再利用解答即可求解． 【详解】解：如图，设相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线得出，由等边对等角可得，求出，再利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，，若，，，则的长为___________． 【答案】18 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而求出的长，再根据三角形中位线的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：在中，、是中点， ， ， ，分别是，的中点， ． 14．已知矩形，E为的中点，F为上一点．若，，，则_____． 【答案】或 【分析】本题分两种情况讨论，即点F分别靠近点A和靠近点B两种情况，作辅助线构造直角三角形，利用矩形的性质得到对应边的长度，再结合勾股定理逐步计算即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： ①点F靠近点A时，过点F作于G， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，， 是的中点， ， ， 在中，； ②点F靠近点B时，过点F作于G， 同理可得，，， ， 在中，； 综上所述，的长为或． 15．如图，菱形的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边的中点，P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 【答案】5 【分析】根据菱形的性质，轴对称性质，勾股定理，直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：取的中点Q， 因为菱形的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边的中点， ，， 连接交于点G， ∴， ∴关于对称， 连接交于点P， 则点P就是使得值最小的位置点，最小值为的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故点P是的中点， 连接，则与交于点P， 因为菱形的两条对角线分别为6和8， 故，， ， ， ， 故的最小值为5； 16．如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④；⑤的最小值为2．其中正确结论有________个． 【答案】 3 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断；②根据①可知四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断；③延长交于G，延长交于H．先证明，得，由与互余，可得，；⑤当时，即时，的最小值等于，即可判断． 【详解】解：连接， ∵是正方形的对角线，则， 而，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴；故①错误； ∵四边形为矩形， ∴四边形的周长；故②正确； 延长交于G，延长交于H， 在正方形中， ∴， 又∵ ∴； 由②知四边形是矩形， ∴， ∴； 由①知， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，，故④正确 ； 又∵，与互余， ∴与互余， ∴，即，故③正确； 由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于；故⑤错误； 综上，正确的有②③④共3个． 17．如图，将，的矩形纸片放在以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的平面直角坐标系中，连接，将纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在边上，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的翻折，矩形的性质以及勾股定理的运用． 先求出的长度，从而求得的长度，设，在中，运用勾股定理建立方程，求出的长度，从而求得的长度，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵矩形纸片，， ∴， 又∵将纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在边上， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设， ∵矩形纸片，， ∴， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴，即． 18．如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，且，点H为中点，连接和，M为的中点，连接，作于点G，若，则_______． 【答案】 【分析】连接，证明，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，等积法求出的长，三角形的中位线定理求出的长，进一步计算即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵点H为中点，M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 19．如图，八（1）班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片进行折纸．已知该纸片长为，宽为．折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）． (1)____________________： (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据矩形的性质，折叠的性质，可得，根据勾股定理求出，根据，即可； （2）设，根据折叠的性质，可得，根据勾股定理，即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 20．如图，在菱形中，点分别是边上的一点，且与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形四条边都相等得，根据得，在和中，利用证明； （2）由（1）知，再根据三角形内角和定理计算，最后利用三角形外角性质求得． 【详解】（1）证明：四边形为菱形，， ，即， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ． 21．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】首先，根据四边形是平行四边形，得到 ，进而得到，再由平分，平分及等腰三角形的“三线合一”得出，，，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ． ，平分， ， 同理可得， ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 22．如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)正方，见解析 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 23．如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． (1)若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； (2)如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查图形翻折的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形中位线定理，特殊角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点． （1）连接交于点，根据折叠的性质得到垂直平分，继而证明是的中位线，从而得证结论． （2）根据四边形是菱形，得到是等边三角形，过点作于点，设，根据特殊角的直角三角形的性质，以及勾股定理得到的长度，进而得到的长度． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， 由折叠可知：垂直平分，    是的中点， ∵点为边的中点， 是的中位线， ， ； （2）解：， ， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点，则， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ，解得：， ． 24．折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 25．“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是边上的动点． (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为G，连接，试说明； (2)若，如图②，且，将四边形沿翻折，点B、C的对应点分别为．当点E从点A运动至点B的过程中，点的运动路径长为 ； (3)若四边形是正方形，，如图③，连接交于点M，以为直径作圆，该圆与交于点A和点N，将沿翻折，若点M的对应点刚好落在边上，求此时的长度． 【答案】(1)①3；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①设，则，在中根据勾股定理列出方程，进而求得结果； ②取的中点Q，连接，可推出是梯形的中位线，从而得出，在中，根据直角三角形的性质得出，从而得出； （2）连接，交于O，连接，作点B关于的对称点，可证得，从而，进而证得是等边三角形，从而，从而得出点在以O为圆心，2为半径的上运动，根据弧长公式求得结果； （3）连接，作于X，作，交的延长线于V，设，可证得，从而，进而表示出，可证得，从而得出，进而表示出，在中，由勾股定理列出方程求得a的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图1， 取的中点Q，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴； （2）解：如图2， 连接，交于O，连接，作点B关于的对称点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在以O为圆心，2为半径的上运动， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3， 连接，作于X，作，交的延长线于V， 设， ∵四边形是的内接四边形，是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．涉及的知识：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；梯形；平移、旋转与对称；需要掌握的能力：与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 26．如图1，已知正方形是边上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接并延长交于点，连接． (1)写出与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明． （2）先证明，设，，则，推出，，根据，构建关系式即可解决问题． （3）如图3中，过点作直线交，于，．证明，推出，，设．，推出，即可得出结论． 【详解】（1），理由如下： 四边形是正方形，点关于直线的对称点为， ，，， ， ， ． （2），理由如下 如图2中， ， ，， ， ， ， ， 设，，则， ，， ， ， ， ， ，即 （3）结论：　　　 理由：如图中，过点作直线交，于，． 则四边形为矩形， ，， ， ，， ， ， ， ，， 设．， ， 四边形为矩形，四边形是正方形， ， ， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $