专题01二次根式（期中复习讲义，6重难点题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

专题01 二次根式 （期中复习讲义，6重难点题型+过关检测） 题型1 二次根式有意义的条件 2 题型2 二次根式的性质 3 题型3 最简二次根式化简 4 题型4 二次根式加减运算 5 题型5 二次根式乘除与分母有理化 6 题型6 二次根式混合运算 8 1. 能准确判断一个式子是否为二次根式，牢记二次根式有意义的条件，能熟练求解含字母的二次根式中字母的取值范围； 2. 熟记二次根式的5条核心性质，能准确运用性质进行简单化简、求值，理解双重非负性的应用场景； 3. 能准确判断一个二次根式是否为最简二次根式，掌握最简二次根式的化简方法，能将普通二次根式化为最简形式； 4. 熟练掌握二次根式加减、乘除及混合运算的法则，能准确进行基础运算，确保运算过程规范、结果最简。 03 期中知识•梳理 知识点1：二次根式的定义 一般地，我们把形如（其中）的式子叫做二次根式。 关键说明： 1. “”称为二次根号，根指数为2，通常省略不写； 2. 被开方数必须是非负数（正数或0），否则二次根式在实数范围内无意义； 3. 形如（）的式子也属于二次根式，它表示与的乘积，若是带分数，需化为假分数形式； 4. 即使化简后为有理数（如），其初始形式仍属于二次根式。 知识点2：二次根式的性质 1. 双重非负性：且（二次根式的结果和被开方数均为非负数），这是中考及期中高频考点，常与绝对值、平方数结合考查（若，则、、）； 2. 平方性质：（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，可逆用为（），用于凑配完全平方； 3. 算术平方根性质：，核心是先判断被开方数的底数符号，再去掉根号和平方，避免忽略符号出错； 4. 积的算术平方根：（，），可逆用用于二次根式乘法运算和化简； 5. 商的算术平方根：（，），分母不能为0，可逆用用于二次根式除法运算和分母有理化。 知识点3：最简二次根式 满足两个条件的二次根式称为最简二次根式，是所有二次根式运算的最终要求： 1. 被开方数不含分母（分母中也不能含有根号）； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（如不是最简二次根式，因为12含能开得尽方的因数4；不是最简二次根式，因为，能开得尽方）。 知识点4：二次根式的运算 1. 加减运算：核心是“先化简，再合并”，即先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式（同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式，如与，与系数无关）； 2. 乘除运算：遵循“先算根号内，再算根号外”，利用积、商的算术平方根性质，或直接套用法则：（，），（，），结果必须化为最简二次根式； 3. 混合运算：遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”的顺序，注意运算过程中灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算，避免盲目运算； 4. 分母有理化：将分母中含根号的式子化为分母不含根号的形式，是二次根式除法和化简的关键步骤，常用方法分单项式分母和多项式分母两种。 04 期中题型•汇总 题型1 二次根式有意义的条件 解题核心 二次根式有意义的唯一条件是被开方数；若式子中含多个二次根式、分式、零指数幂或负整数指数幂，需同时满足所有约束条件： 1. 多个二次根式：所有被开方数均非负； 2. 含分式：被开方数非负且分母不为0； 3. 含零指数幂/负整数指数幂：被开方数非负且幂的底数不为0。 巧记口诀：二次根式有意义，被开方数非负数；单个根式列不等式，复合形式列不等式组。 【典例1】．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，则此三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或11 D．12 【变式2】．，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（        ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4】．能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【变式5】．要使式子有意义，则的取值范围为________． 题型2 二次根式的性质 解题核心 重点掌握3条核心性质的应用，避免两个易错点：1. 忽略双重非负性的约束；2. 化简时，未判断a的符号直接去掉根号。 1. 双重非负性：常用于求值（若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）； 2. （）：可逆用凑配，简化计算； 3. ：先判断a的符号，再去绝对值，最终结果必为非负数。 【典例2】．把化简得（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】．已知实数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示，则的化简结果为（   ） A． B．0 C． D． 【变式5】．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 题型3 最简二次根式化简 解题核心 围绕最简二次根式的两个条件，逐步化简，核心是“去分母、开尽方”，分两种情况处理： 1. 被开方数含能开得尽方的因数/因式：将能开得尽方的部分化为整数（或整式）移到根号外； 2. 被开方数含分母：先将分母化为平方数，再利用商的算术平方根性质化简，或直接分母有理化。 【典例3】．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．化简二次根式的结果为（   ） A． B． C． D．6 【变式2】．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．已知是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【变式5】．如图，正方形的面积为8，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数是______． 题型4 二次根式加减运算 解题核心 二次根式加减的本质是“合并同类二次根式”，核心原则：先化简，再合并，不化简不合并，避免出现“”这类错误（非同类二次根式不能合并）。 关键：同类二次根式的判断——被开方数相同的最简二次根式，与系数无关；合并时，只合并系数，被开方数不变。 【典例4】．计算：； 【变式1】．计算：. 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算：． 【变式4】．计算： (1) (2) 【变式5】．计算： (1) (2) 题型5 二次根式乘除与分母有理化 一、乘除运算解题技巧 解题核心：利用二次根式乘除法则，先算根号内，再算根号外，结果必须化为最简二次根式；可灵活逆用法则简化计算。 补充说明：当二次根式系数不为1时，先将系数相乘（或相除），再将根号内的数相乘（或相除），最后结合起来化简，避免系数与根号内的数混淆。 解题步骤 1. 明确运算类型（乘法/除法），确定适用法则； 2. 系数运算：将二次根式的系数相乘（乘法）或相除（除法），得出新的系数； 3. 根号内运算：将根号内的非负数相乘（乘法）或相除（除法），得出新的被开方数； 4. 合并化简：将新的系数与新的被开方数结合，化为最简二次根式；若出现分母含根号，需进行分母有理化。 二、分母有理化解题技巧 解题核心：分母有理化的本质是消除分母中的根号，核心方法是“分子分母同乘一个适当的式子，使分母变为有理数”，分两种情况处理，避免漏乘或化简不彻底。 1. 单项式分母（分母为，）：分子分母同乘，利用消除根号； 2. 多项式分母（分母为，，，）：分子分母同乘分母的有理化因式（平方差公式），使分母变为（有理数）。 【典例5】．计算： 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算：． 【变式3】．运算能力计算： (1)； (2)． 【变式4】．观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 【变式5】．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化：___________； (2)化简“理想二次根式”：___________； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 题型6 二次根式混合运算 【典例6】．计算： 解题核心 核心遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”的运算顺序，关键是“先化简、再运算、善用运算律”，避免盲目计算和符号错误，同时牢记所有结果需化为最简二次根式。 易错提醒：1. 运算时区分“乘方”与“乘法”，如，而非；2. 去括号时，若括号前是负号，需变号；3. 灵活运用交换律、结合律、分配律简化运算，减少计算量。 (1)； (2)． 【变式1】．计算： 【变式2】．． 【变式3】．计算： (1) (2) 【变式4】．计算： (1) (2) 【变式5】．计算： (1)； (2)． 05 过关•检测 1．下列式子一定是二次根式的为（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的两条边长为和，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 5．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 6．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．定义新运算：对于任意实数A，B，有．若x为的整数部分，y为小数部分，则的值为（    ） A． B．11 C． D．9 8．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，以点A为圆心，长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为（    ） A． B． C． D． 9．在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 10．由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 11．若代数式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是______． 12．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则___________． 13．计算： （1）__________  （2）__________  （3）__________ 14．若a，b为实数，且，则的值为____． 15．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 16．规定新运算：，其中a，b为实数，则 =____________ 17．计算：的结果是______． 18．已知，则代数式的值为________． 19．若，则的值为 _____． 20．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 _____ ． 21．计算： (1) (2) 22．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ． (2)根据上述思路，试将予以化简． 23．已知a、b、c满足． (1)求a、b、c的值． (2)试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 24．如图，小华想用一块面积为的正方形纸片，沿边的方向裁出一块面积为 的长方形纸片． (1)正方形纸片的边长为 ； (2)若使长方形纸片的长、宽之比为，小华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?若能，请帮小华设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 25．阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【方法应用】 (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 26．阅读材料：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ，，即， 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则________． (2)若，且、均为正整数，求的值； (3)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 27．化简求值： (1)已知，，求的值； (2)当时，求的值． 28．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 29．已知、是非负实数，现对根式进行化简，若能找到两个数、满足，则，那么：．比如：；；根据以上信息： (1)化简：______． (2)将式子化为另一个式子的平方； (3)求关于的方程的所有整数解的和． 30．阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 （期中复习讲义，6重难点题型+过关检测） 题型1 二次根式有意义的条件 2 题型2 二次根式的性质 5 题型3 最简二次根式化简 8 题型4 二次根式加减运算 10 题型5 二次根式乘除与分母有理化 12 题型6 二次根式混合运算 17 1. 能准确判断一个式子是否为二次根式，牢记二次根式有意义的条件，能熟练求解含字母的二次根式中字母的取值范围； 2. 熟记二次根式的5条核心性质，能准确运用性质进行简单化简、求值，理解双重非负性的应用场景； 3. 能准确判断一个二次根式是否为最简二次根式，掌握最简二次根式的化简方法，能将普通二次根式化为最简形式； 4. 熟练掌握二次根式加减、乘除及混合运算的法则，能准确进行基础运算，确保运算过程规范、结果最简。 03 期中知识•梳理 知识点1：二次根式的定义 一般地，我们把形如（其中）的式子叫做二次根式。 关键说明： 1. “”称为二次根号，根指数为2，通常省略不写； 2. 被开方数必须是非负数（正数或0），否则二次根式在实数范围内无意义； 3. 形如（）的式子也属于二次根式，它表示与的乘积，若是带分数，需化为假分数形式； 4. 即使化简后为有理数（如），其初始形式仍属于二次根式。 知识点2：二次根式的性质 1. 双重非负性：且（二次根式的结果和被开方数均为非负数），这是中考及期中高频考点，常与绝对值、平方数结合考查（若，则、、）； 2. 平方性质：（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，可逆用为（），用于凑配完全平方； 3. 算术平方根性质：，核心是先判断被开方数的底数符号，再去掉根号和平方，避免忽略符号出错； 4. 积的算术平方根：（，），可逆用用于二次根式乘法运算和化简； 5. 商的算术平方根：（，），分母不能为0，可逆用用于二次根式除法运算和分母有理化。 知识点3：最简二次根式 满足两个条件的二次根式称为最简二次根式，是所有二次根式运算的最终要求： 1. 被开方数不含分母（分母中也不能含有根号）； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（如不是最简二次根式，因为12含能开得尽方的因数4；不是最简二次根式，因为，能开得尽方）。 知识点4：二次根式的运算 1. 加减运算：核心是“先化简，再合并”，即先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式（同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式，如与，与系数无关）； 2. 乘除运算：遵循“先算根号内，再算根号外”，利用积、商的算术平方根性质，或直接套用法则：（，），（，），结果必须化为最简二次根式； 3. 混合运算：遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”的顺序，注意运算过程中灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算，避免盲目运算； 4. 分母有理化：将分母中含根号的式子化为分母不含根号的形式，是二次根式除法和化简的关键步骤，常用方法分单项式分母和多项式分母两种。 04 期中题型•汇总 题型1 二次根式有意义的条件 解题核心 二次根式有意义的唯一条件是被开方数；若式子中含多个二次根式、分式、零指数幂或负整数指数幂，需同时满足所有约束条件： 1. 多个二次根式：所有被开方数均非负； 2. 含分式：被开方数非负且分母不为0； 3. 含零指数幂/负整数指数幂：被开方数非负且幂的底数不为0。 巧记口诀：二次根式有意义，被开方数非负数；单个根式列不等式，复合形式列不等式组。 【典例1】．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解自变量取值范围即可． 【详解】∵ 二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得． 【变式1】．已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，则此三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或11 D．12 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，进而求出b的值，然后根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边长分别为3，3，4或3，4，4，且都满足三角形三边关系， ∴或， ∴等腰三角形的周长为10或11． 【变式2】．，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件和二次根式的性质，可得且，计算即可． 【详解】解：， 且， 且， 且， ． 【变式3】．下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（        ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义逐个判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式； ②：被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式； ③：根指数为2，，，满足被开方数非负，是二次根式； ④：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； ⑤：根指数为2，被开方数，是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个，故选B． 【变式4】．能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分式分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， ∴． 【变式5】．要使式子有意义，则的取值范围为________． 【答案】且 【详解】解：根据题意得， 解不等式得， 解不等式得， ∴x的取值范围为且． 题型2 二次根式的性质 解题核心 重点掌握3条核心性质的应用，避免两个易错点：1. 忽略双重非负性的约束；2. 化简时，未判断a的符号直接去掉根号。 1. 双重非负性：常用于求值（若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）； 2. （）：可逆用凑配，简化计算； 3. ：先判断a的符号，再去绝对值，最终结果必为非负数。 【典例2】．把化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵ 二次根式中被开方数非负， ∴ ， 解得， ∴． 【变式1】．已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知的条件求出，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为：． 【变式2】．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用最基本的运算知识即可解决． 【详解】、， 、， 、， 、． 【变式3】．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、完全平方公式及二次根式的性质，根据对应运算法则分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，A选项错误； B、积的乘方等于每个因式分别乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，，B选项错误； C、根据完全平方公式，C选项错误； D、根据二次根式的性质，D选项正确． 【变式4】．已知实数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示，则的化简结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴判断实数的符号，再结合绝对值、二次根式、立方根的性质进行化简．关键是根据数轴上点的位置，判断、、的正负性，再利用公式化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ：两个负数相加，结果为负，即， ：正数减负数，结果为正，即， ：负数减正数，结果为负，即， ． 故选：A． 【变式5】．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【分析】根据数轴得出的取值范围，判断与的符号，然后利用二次根式的性质及绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ ． 题型3 最简二次根式化简 解题核心 围绕最简二次根式的两个条件，逐步化简，核心是“去分母、开尽方”，分两种情况处理： 1. 被开方数含能开得尽方的因数/因式：将能开得尽方的部分化为整数（或整式）移到根号外； 2. 被开方数含分母：先将分母化为平方数，再利用商的算术平方根性质化简，或直接分母有理化。 【典例3】．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意， B．是最简二次根式，符合题意， C．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意， D．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 【变式1】．化简二次根式的结果为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】解：原式 【变式2】．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式化简、平方根与立方根的计算，对各选项逐一计算即可找出错误的选项． 【详解】解：选项A．，计算错误； 选项B．，计算正确； 选项C．，，计算正确； 选项D．，，计算正确． 【变式3】．已知是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，得出被开方数为完全平方数，结合为正整数，即可求出的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数，即为完全平方数， ∵是正整数， 当时，，不是完全平方数， 当时，，是完全平方数， ∴正整数的最小值是． 【变式4】．二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，解题思路是将四个二次根式分别化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，即可得到答案． 【详解】解：∵ ① ，化简后被开方数为； ② ，化简后被开方数为； ③ ，化简后被开方数为； ④ ，化简后被开方数为； ∴ 化为最简二次根式后，①和②的被开方数相同，故选A． 【变式5】．如图，正方形的面积为8，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的意义，二次根式化简，用数轴表示无理数等知识．先根据正方形的面积为8，得到正方形的边长，根据点在数轴上（点在点左侧），且，即可得到点所表示的数是． 【详解】解：∵正方形的面积为8， ∴正方形的边长， ∵点在数轴上（点在点左侧），且， ∴点所表示的数是． 故答案为： 题型4 二次根式加减运算 解题核心 二次根式加减的本质是“合并同类二次根式”，核心原则：先化简，再合并，不化简不合并，避免出现“”这类错误（非同类二次根式不能合并）。 关键：同类二次根式的判断——被开方数相同的最简二次根式，与系数无关；合并时，只合并系数，被开方数不变。 【典例4】．计算：； 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】．计算：. 【答案】0 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】利用零指数幂的性质，绝对值的性质，二次根式的性质分别化简，再相加减即可求解． 【详解】解： ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式4】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用合并同类二次根式的方法，将系数相加减，根式部分保持不变即可； （2）先根据有理数乘方法则计算；再判断的正负性，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号；然后根据立方根的定义计算；最后将以上各部分的结果进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． 【变式5】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 题型5 二次根式乘除与分母有理化 一、乘除运算解题技巧 解题核心：利用二次根式乘除法则，先算根号内，再算根号外，结果必须化为最简二次根式；可灵活逆用法则简化计算。 补充说明：当二次根式系数不为1时，先将系数相乘（或相除），再将根号内的数相乘（或相除），最后结合起来化简，避免系数与根号内的数混淆。 解题步骤 1. 明确运算类型（乘法/除法），确定适用法则； 2. 系数运算：将二次根式的系数相乘（乘法）或相除（除法），得出新的系数； 3. 根号内运算：将根号内的非负数相乘（乘法）或相除（除法），得出新的被开方数； 4. 合并化简：将新的系数与新的被开方数结合，化为最简二次根式；若出现分母含根号，需进行分母有理化。 二、分母有理化解题技巧 解题核心：分母有理化的本质是消除分母中的根号，核心方法是“分子分母同乘一个适当的式子，使分母变为有理数”，分两种情况处理，避免漏乘或化简不彻底。 1. 单项式分母（分母为，）：分子分母同乘，利用消除根号； 2. 多项式分母（分母为，，，）：分子分母同乘分母的有理化因式（平方差公式），使分母变为（有理数）。 【典例5】．计算： 【答案】 【详解】解： 原式 ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式乘除法的运算法则．将系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后将结果化为最简二次根式． 【详解】解：原式， ， ， ， ． 【变式2】．计算：． 【答案】 24 【分析】根据二次根式的乘法和除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4】．观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)（n为正整数） (2)2025 【分析】（1）根据题意即可得到规律； （2）根据规律将式子化简，再运用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：①由得； ②由得； ③由得； ……， 以此类推可知，由得（n为正整数）； （2）解： ． 【变式5】．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化：___________； (2)化简“理想二次根式”：___________； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4)2025． 【分析】本题考查了分母有理化、理想二次根式的化简及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法和理想二次根式的化简技巧，利用平方差公式和完全平方公式进行化简． （1）中分子分母同乘，利用平方差公式去分母中的根号； （2）中将拆成，凑成完全平方; （3）中先对分母有理化得，对中根号内化简为理想二次根式得，再相加； （4）中每个分式分母有理化后，中间项相互抵消，只剩首尾两项，再利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． ． （4）解： ． 题型6 二次根式混合运算 【典例6】．计算： 解题核心 核心遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”的运算顺序，关键是“先化简、再运算、善用运算律”，避免盲目计算和符号错误，同时牢记所有结果需化为最简二次根式。 易错提醒：1. 运算时区分“乘方”与“乘法”，如，而非；2. 去括号时，若括号前是负号，需变号；3. 灵活运用交换律、结合律、分配律简化运算，减少计算量。 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可； （2）先计算括号内的乘法，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．计算： 【答案】 【分析】原式先根据完全平方公式计算，再计算二次根式的乘法和化简二次根式，然后再合并即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】．． 【答案】1 【详解】解：． 【变式3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 05 过关•检测 1．下列式子一定是二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义，形如的式子，当时是二次根式，据此判断即可． 【详解】解：A.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； B.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； C.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； D.中的被开方数，故一定是二次根式，故此选项正确． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵对于选项A，，被开方数含能开得尽方的因数，A不符合要求； 对于选项B，的被开方数含分母， B不符合要求； 对于选项C，的被开方数不含分母，且，没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，C符合要求； 对于选项D，，被开方数含分母，D不符合要求． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质与运算，计算即可． 【详解】解：选项A，，则A错误； 选项B，，则B错误； 选项C，，则C正确； 选项D，与不是同类二次根式，不能直接合并，则D错误． 4．等腰三角形的两条边长为和，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】等腰三角形未明确腰和底，需分两种情况讨论腰长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，排除不成立的情况后计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若腰长为，底边长为， ∵两腰之和为 ， ∵ ，， ∴，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况舍去； 情况2：若腰长为，底边长为， ∵两腰之和，满足三角形三边关系， ∴三角形周长为 ． 5．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式（可合并二次根式）的定义，先化简，再根据同类二次根式的定义求的最小正整数值即可． 【详解】解：∵，与可以合并， ∴正整数的最小值是． 6．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定公式分别表示出和，再计算的比值即可得到结果． 【详解】解：由题意得 ，， ． 7．定义新运算：对于任意实数A，B，有．若x为的整数部分，y为小数部分，则的值为（    ） A． B．11 C． D．9 【答案】A 【分析】首先估算求出，然后求出，，然后代入利用新定义法则求解即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∵x为的整数部分，y为小数部分 ∴， ∴ ． 8．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，以点A为圆心，长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出的长度，进而求出的长，再根据点A所表示的数为1，点C在点A的左侧，即可求出点C所表示的数． 【详解】解∶∵A，B在数轴上表示的数为1和， ， 又， ∴点C所表示的数为：，即选项A符合题意． 9．在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三角形底边长和面积，直接代入三角形面积公式即可求出对应底边上的高． 【详解】解：设边上的高为h， ∵，， ∴， 解得． 10．由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题直接利用题目给出的海伦公式计算三角形面积，先求出半周长，再代入公式化简即可得到结果。 【详解】解：∵三边长分别为 ， ∴半周长 代入海伦公式计算得： ． 11．若代数式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：由题意得 ， 解得，且． 12．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则___________． 【答案】1 【分析】由数轴可得，即；再根据绝对值、二次根式的性质化简，然后再运算即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴． 13．计算： （1）__________  （2）__________  （3）__________ 【答案】 8 27 【分析】运用二次根式的性质与积的乘方运算法则进行计算，逐小题化简即可得到结果． 【详解】解：（1）根据二次根式的性质，得 （2）先计算被开方数的乘方，再根据二次根式的性质化简，得 （3）根据积的乘方运算法则，结合二次根式的性质计算，得 14．若a，b为实数，且，则的值为____． 【答案】13 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，先求出的值，再代入求出的值，最后计算即可。 【详解】解：∵二次根式的被开方数必须是非负数 ∴ 解得 将代入 得 ∴． 15．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 16．规定新运算：，其中a，b为实数，则 =____________ 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将所求式子转化为常规实数运算，再利用绝对值的性质化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，可得， ，根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，可得． 17．计算：的结果是______． 【答案】 【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果． 【详解】解： ， ∴的结果是． 18．已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式将原式变形为，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ． 19．若，则的值为 _____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对多项式进行变形，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入中， 原式． 20．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 _____ ． 【答案】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，化简得出的整数部分为，小数部分为，代入计算即可求出值． 将 化简为 ，确定整数部分 和小数部分 ，再代入表达式计算 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故答案为：5． 21．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)、、、、 (2)，过程见解析 【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可； （2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：、、、、． （2）解：原式 23．已知a、b、c满足． (1)求a、b、c的值． (2)试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能构成三角形，周长为 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b、c的值； （2）根据三角形三边关系，实数大小的比较方法，二次根式加减运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 解得：，，； （2）解：能构成三角形，理由如下： 由（1）知：，，， ∵， ∴， ∴能构成三角形， 三角形的周长为：． 24．如图，小华想用一块面积为的正方形纸片，沿边的方向裁出一块面积为 的长方形纸片． (1)正方形纸片的边长为 ； (2)若使长方形纸片的长、宽之比为，小华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?若能，请帮小华设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，即可求解； （2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案． 【详解】（1）解：正方形纸片的面积为， 正方形纸片的边长为； （2）不能，理由如下： 长方形纸片的长、宽之比为， 设长方形纸片的长为，则宽为， ， 解得（负值已舍去）， 长方形纸片的长为， 又，， ， 小华不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片． 25．阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【方法应用】 (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， ． 26．阅读材料：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ，，即， 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则________． (2)若，且、均为正整数，求的值； (3)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2) (3)时， 有最大值为5． 【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征求解即可； （2）将等式平方得到，再结合、均为正整数得到方程，求解即可； （3）仿照题干，将代数式配方，得到，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 、均为正整数， ，， ，， ； （3）解：， ， ， ，即， 当，即时，有最大值为，此时有最大值为5． 27．化简求值： (1)已知，，求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先求出，，再通过平方差公式分解因式，然后代入即可求解； （）由得，再两边平方即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 28．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 【答案】(1)； (2)或3 (3) 【分析】（1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是； （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为或3． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∵ ∴、， 两式相减，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴的“整数区间”是． 29．已知、是非负实数，现对根式进行化简，若能找到两个数、满足，则，那么：．比如：；；根据以上信息： (1)化简：______． (2)将式子化为另一个式子的平方； (3)求关于的方程的所有整数解的和． 【答案】(1) (2) (3)34 【分析】（1）仿照例题，根据即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案. （2）根据，，利用完全平方公式进行化简，进行计算即可。 （3）运用材料提供的信息将方程左边化成，当时， 当时，当时，分三种情况解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：， ∵ ， ∴当时， 原式， 不合题意； 当时， 原式， 符合题意， ∴， ∴， ∴x的所有整数解为，8，9，10， ∴x的所有整数解的和； 当时， 原式， 不合题意， ∴x的所有整数解的和为34． 30．阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的应用，完全平方公式的应用； （1）直接分母有理化化简，把化为再进一步化简即可； （2）设，，可得，，可得，再进一步求解即可； （3）设，可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根． （3）解：∵①， 设②， ∴①②得，①②得， ∴③，④， ∴③④得， ③④得， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $