专题08菱形期中复习讲义 (13大题型+题型突破)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题08菱形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握菱形定义、四边相等 + 对角线垂直平分且分对角的性质 2.熟记 3 种判定方法，掌握对角线乘积的一半专属面积公式 3.理清菱形与平行四边形的从属关系 1.能运用性质 / 判定，解决角度、线段、面积计算及菱形证明题 2.会结合勾股定理用菱形对角线求边长、面积 3.区分菱形与矩形的性质、判定差异 1.基础题零失分，中档计算 / 证明题稳拿分 2.规避判定前提缺失、性质混淆等高频失分点 3.规范书写步骤，熟练套用面积公式解题 题型1.菱形内角计算类 题型2.菱形边长与对角线计算 题型3.菱形面积计算 题型4.菱形性质证明题 题型5.菱形判定条件补充 题型6.菱形判定证明 题型7.菱形性质与判定综合角度计算 题型8.菱形性质与判定综合线段计算 题型9.菱形性质与判定综合面积计算 题型10.菱形实际应用计算 题型11.菱形与折叠变换综合计算 题型12.平面直角坐标系中的菱形计算 题型13.菱形动点探究与存在性问题 解答题5题 知识点01:菱形的定义（基础必记，期中辨析考点） 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ▶ 关键：菱形是「特殊的平行四边形」，具备平行四边形所有性质，且独有 “四边相等、对角线垂直” 特征。 知识点02:菱形的核心性质（期中必考，分 4 类记，重点标红） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（3 种方法，期中证明 / 添条件必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 ▶ 关键：只要知道两条对角线长度，可直接套用公式计算，无需求底和高。 知识点05:期中高频易错点（避坑关键，一眼避错） 1.混淆判定前提：“对角线互相垂直的四边形是菱形”❌（正确：对角线互相垂直的平行四边形）； 2.性质混淆：菱形≠矩形 —— 菱形四边相等、对角线垂直；矩形四个角是直角、对角线相等； 3.面积公式误用：忘记菱形独有面积公式，或计算时漏乘 “”。 题型01.菱形内角计算类 【典例】如图，菱形中，已知，则的大小是____________． 【答案】/140度 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，E是边上一点，连接交对角线于点F，连接，若，则_______°． 【答案】40 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判断及性质，三角形内角和定理等知识熟练掌握相关几何综合求解方法是解决本题的关键．根据题意，先通过菱形的性质求证，可得，再根据三角形内角和定理及同旁内角的关系进行角度的求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴，，， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交于点E，交于点F（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，根据，求出，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴， ∴， 故选：D． 题型02.菱形边长与对角线计算 【典例】已知菱形的一条边长为4，则这个菱形的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为4，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵菱形的四条边都相等， ∴其边长都为4， ∴菱形的周长． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，E，F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为______． 【答案】 16 【分析】根据三角形的中位线定理求出的长，进而求出菱形的周长即可. 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的周长为. 【跟踪专练2】如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 【答案】 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：如图所示：∵是定值，长度取最小值时，即在上时， 过点M作于点F， ∵在边长为2的菱形中，，M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，圆外一点到圆上一点距离的最值，含角直角三角形的性质，勾股定理等，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．48 B．72 C．96 D．108 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质，菱形性质．根据题意可知，，再根据菱形性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积：， 故选：A． 题型03.菱形面积计算 【典例】已知菱形的对角线、的长分别为12和16，则这个菱形的面积是________． 【答案】96 【分析】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的面积为对角线积的一半是解题的关键． 直接运用菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：这个菱形的面积是． 故答案为：96． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（   ）    A．36 B．18 C．24 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形对角线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．由菱形对角线的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，再应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，点O是的中点， ∵，， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：C 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【详解】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由菱形的性质得到关于x的方程，掌握菱形的面积公式：菱形面积（a、b是两条对角线的长度）． 根据题意设，，由菱形的性质推出，，，，由等角对等边推出，从而得到，求出，得到，，，由勾股定理求出，得到，，，于是得到菱形的面积． 【解答】解：∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，则菱形的高为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，，，，在中，根据勾股定理可得，则，然后根据可得，进而可得解．熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴ 是菱形的高， ， ， 故选：C． 题型04.菱形性质证明题 【典例】如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为__． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，连接交于H，利用证明，得出的长度，再根据菱形的性质得出的长度． 【详解】解：如图，连接交于H， ∵四边形为菱形，， ∴，，，．， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶． 【跟踪专练1】如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由菱形对角线相互垂直得到是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出菱形边长即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，则， 在中，点是的中点，则， 菱形的周长为． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，E为对角线上一点，连接并延长交的延长线于点F，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，根据菱形的性质可得，易证，得到，再根据菱形的性质求出，进而求出，利用三角形内角和定理求出，得到由即可得到结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】由的长可求得的长，再求得的长，再利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接交于，    ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型05.菱形判定条件补充 【典例】下列条件不能够判定“平行四边形是菱形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理，逐一验证判断即可． 【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形； B、对角线互相垂直的平行四边形亦可得到菱形； C、邻边相等的平行四边形可判定是菱形； D、选项中是矩形，不能判定其为菱形； 故选：D． ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定定理，解题的关键是熟练掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形． 【跟踪专练1】如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是_______________(只填一个即可)．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线，互相平分， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是_______．（填写序号） 【答案】② 【分析】根据题意可证明，再由可得，再证明得，进而证明四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】解：∵平分， ∴ 若，则有： ∴ ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， 故答案为②． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定及全等三角形的判定与性质，正确掌握菱形的判定定理是解答本题的关键． 【跟踪专练3】已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据平移可知，， ∴，， 四边形是平行四边形， ∴． 方案甲，添加不能判断四边形是菱形； 方案乙，由， 平行四边形是菱形； 方案丙，由， ∵， ∴， ∴， ， 平行四边形是菱形． 所以正确的是乙和丙． 故选：B． 题型06.菱形判定证明 【典例】如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD．则根据作图过程判定四边形ABCD是菱形的依据是__． 【答案】四条边都相等的四边形是菱形 【分析】由AB＝AC＝BD＝DC，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得． 【详解】解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是：四条边都相等的四边形是菱形， 理由如下： 根据题意得：AB＝AC＝BD＝DC， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为：四条边都相等的四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，解题的关键是明确题意，熟练掌握菱形的判定定理． 【跟踪专练1】依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，得到四边形的对角线互相垂直平分，得到四边形是菱形，不符合题意； B、根据四边相等的四边形为菱形，得到四边形是菱形，不符合题意； C、，得到四边形的一组对边平行且相等，进而得到四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形，得到四边形是菱形，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，不能得到四边形为菱形，符合题意； 故选D． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使，连接，请再添加一个条件：______，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，由平行四边形性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定可得出结论． 【详解】解：． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（    ） ①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形； A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确； ②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确； ③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确； 由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS）， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG＝CD＝AB，故①正确； 连接AE， ∵ABCE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）， 在△BGA和△COD中， ， ∴△BGA≌△COD（SAS）， ∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确； ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△DOG， ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABG＝S△DGE， ∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 题型07.菱形性质与判定综合角度计算 【典例】如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为____°． 【答案】30 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的对角线平分一组对角且菱形的对角相等是解题的关键；先根据作图方法证明四边形ABCD是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的对角相等进行求解即可； 【详解】解：由作图方法可知，， ∴四边形是菱形， ， ， 故答案为：30． 【跟踪专练1】如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D．连接、．若，则__________． 【答案】/25度 【分析】由题意和作法可知：，可得四边形是菱形，再根据菱形及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图：连接， 由题意和作法可知：， 四边形是菱形，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，证得四边形是菱形是解决本题的关键． 【跟踪专练3】如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据已知先判断，则，可判断①，结合含角的直角三角形的性质和中点的定义可判断④，由等边三角形的性质得出，接着证得，则，再由，得出四边形为平行四边形而不是菱形，即有不成立，根据平行四边形的性质得出，即可判断②③，从而得到答案． 【详解】解：、是等边三角形， ，，， ， ，， 为的中点， ， ， 即在与中， ， ， ，， ∴，即平分， 故①正确， 由①知，． ∵． ∴，即． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∵，， ，， ， ， 由①知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形不是菱形， ∴不成立，故②说法不正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， 则，故③说法正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择． 题型08.菱形性质与判定综合线段计算 【典例】如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是所以这个平行四边是菱形，进而计算其边长可得周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形平行四边形， ∴， 过点A作于点E，作于点F， ∴， ∴，, ∴平行四边是菱形， ∴重合部分四边形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解决此题的关键是掌握对菱形的性质和判定． 【跟踪专练1】如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算求得，在中，利用勾股定理即可求解，菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键． 【详解】解：与相交与，如图： 根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，，， ，四边形的面积为， ， ， ， 在中，，， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质得出，证出是等边三角形，，证明四边形是菱形，得出，，，，再证出，根据勾股定理得出，根据H是的中点，得出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 题型09.菱形性质与判定综合面积计算 【典例】在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则，再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到，即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ∴，四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴     ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质定理应用，由于本题存在特殊角度，故而需根据其特殊形结合菱形的性质求解出菱形的面积．关键在于对菱形的性质定理的熟练掌握并对特殊角度准确利用． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵菱形的边长为4，即， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，两条长边平行，宽为1的长纸条交叉叠放，若，则重叠部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 过点D作，，垂足分别为点E，F，则，先证明四边形是菱形，可得，再由直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为点E，F，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴， 根据题意得：， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重合部分的面积为． 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确； ②先证四边形是平行四边形，再证是等边三角形，得，则四边形是菱形，②正确； ③由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ，故①正确； ， 是等边三角形， ， 平行四边形是菱形，故②正确； 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形与四边形面积相等，故③正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 题型10.菱形实际应用计算 【典例】如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、勾股定理以及含有的直角三角形，先证明是菱形，过点作的垂线，交于点，利用勾股定理求出的长度，最后代入菱形面积公式即可． 【详解】纸条对边平行 平行于，平行于 是平行四边形 两条纸条宽度都为 是菱形 过点作的垂线，交于点，即 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．对角线，相交于点O，测得，．经过点O，，交于点E．交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求菱形的面积，解题关键是利用菱形的性质与勾股定理求解． 先利用菱形的性质得到，，，再利用勾股定理求得，从而可求得，再利用菱形面积求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于、，则的长为______ ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，由题意得，，，推出；根据，得出，即可求解； 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型11.菱形与折叠变换综合计算 【典例】如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为_______． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，菱形的性质，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．过，设与交于，根据折叠的性质得垂直平分，再由菱形的性质得，再根据正切函数的定义得出，设则，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】过，设与交于， 有折叠可知，垂直平分， ，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将菱形 沿对角线对折，点D与点 B 重合，，，G，H分别是，上的点，P，Q为上两点，沿 裁剪并展开，要使展开图是相邻两边长比为的矩形，则矩形的面积为________． 【答案】或 【分析】本题主要利用菱形的性质和三角函数来解决裁剪后形成矩形的问题，需要理解菱形对角线的性质以及三角形的边角关系，通过设定未知数和利用三角函数计算矩形的边长和面积． 根据四边形为菱形，，得出，当展开图是相邻两边长比为的矩形时，分两种情况分别求解即可； 【详解】解：∵四边形为菱形，， ， 如图，当展开图是相邻两边长比为的矩形时， 有两种情况满足． ①， 设，则，， 即， ， 此时展开图矩形的边长分别为和 4 ，面积为， ②， 设，则，， 即， ，此时展开图矩形的边长分别为 2 和，面积为． 综上所述，矩形的面积为或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，将矩形纸片分别沿，折叠，使点，恰好都落在对角线的中点处，点，分别在，边上． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据矩形性质和折叠的性质证明，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，四边形是平行四边形，再证明，即可证明； 【详解】（1）证明：是矩形的对角线， ， 又由折叠轴对称性质，得： ，， ， 又，， ， ； （2）证明：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 点在上，，， ， 点在上，且， 平行四边形是菱形． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质，折叠的性质，以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 题型12.平面直角坐标系中的菱形计算 【典例】如图，菱形的顶点A的坐标为，O是的中点，则点D的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，由菱形的性质得到，即轴，则由线段中点的定义可得，求出，由勾股定理得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即轴， ∵O是的中点， ∴， ∵顶点A的坐标为， ∴， 在，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】过点C作于E，由菱形的性质可得出，由含30度角的直角三角形的性质得出， 根据勾股定理可得出， 即可得出点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作于E， ∵四边形是菱形，A的坐标为， ∴， 在中，，， ∴， ∴ ∴点C的坐标是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查菱形性质、坐标与图形性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握萎形的四条边都相等和含30度角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，O为坐标原点，则对角线的长是（    ） A．5 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，延长交y轴于点D，根据菱形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴轴， ∵点C的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，． (1)求的长； (2)求菱形的面积； (3)写出 A，B，C，D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）由菱形得到，，，然后求出，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）利用菱形的面积公式求解即可； （3）根据和结合四个顶点在坐标系中的位置求解即可． 【详解】（1）解：∵在菱形中， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴； （2）∵，， ∴菱形的面积； （3）∵ ∴，； ∵ ∴，． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边对等角、勾股定理，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的基本性质． 题型13.菱形动点探究与存在性问题 【典例】如图，有一张平行四边形纸片，其中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合）．将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，连接，，，，，．若与相交，交点为，连接． 给出下面四个结论： ①四边形一定是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，四边形是菱形； ④当点固定，点在边上运动时，四边形的面积不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了图形与折叠，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①当时，，，但没有足够理由证明点是中点，故不一定成立；②根据折叠，可知垂直平分和，，，，可证明四边形是平行四边形，从而推出，，从而得到，，从而证明出四边形是平行四边形，接着证明即可；③根据折叠，，，，然后利用平行四边形的性质，可证，从而得到四边相等；④根据折叠，可知 ，由，可证为定值，故得出答案． 【详解】解：①不一定成立，当时，如图所示： 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ， 但没有足够理由证明点是中点 不一定等于 四边形不一定是平行四边形； ②当时， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， 垂直平分和，，， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是平行四边形 又 四边形是平行四边形 ， 四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，如图所示， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ，， 四边形是平行四边形 四边形是菱形； ④根据折叠的性质可知，， ， ， 点固定，即为定值，且以为底边时，高为平行四边形的高， 的面积不变， 四边形的面积不变，故④正确． 故答案为：②③④． 【跟踪专练1】如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为________． . 【答案】/ 【分析】过作，过点作于，交于，过点作于，过点作于，由直角三角形的性质求出，令，得到，因此，求出的值，得到的值，即可求出的值，由，即可解决问题． 【详解】解：过作，过点作于，交于，过点作于，过点作于，如下图， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是通过作辅助线，构造直角三角形，由直角三角形的性质求出的长，由即可求出的最小值． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】利用证明即可推出①和④正确；作点到和的距离，根据角平分线判定定理推出，证明，从而求出为定值，验证②错误；即可推出③正确． 【详解】解：连接，过点分别作于点，于点，如图所示， 四边形为菱形， ，． ， ， ，， ①和④正确． ，， 为等边三角形， ． ，， ，． ， ． ， ． 为定值． ②不正确． ，， 是等边三角形． ，， ， ，， ． ． ③正确． 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查的是菱形的性质，涉及到的知识点有三角形全等和角平分线的性质判定，作对辅助线是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)的值为2或6或 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据直角的不同分情况讨论求解． （1）先根据菱形的性质得出，再根据，可得为等边三角形，从而可得出； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，从而可得为直角三角形，再利用勾股定理求得，然后利用求解； （3）分，，三种情况，分别得到关于的一元一次方程求解，求得的值． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为 ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为； （2）如图1，12秒后点走过的路程为， 则12秒后点到达点， 即点与点重合； 12秒后点走过的路程为，而， ∴点到点的距离为， 此时点到达的中点，即点为的中点 是等边三角形，而为中线， ， 为直角三角形， 在中， ； （3）为等边三角形， ， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， 点从点开始运动， ∴， 点为的中点， ∴， ①若，且点在上，如图1， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ②若，且点在上，如图2， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ③若，即， ， 点在的垂直平分线上， 此时点在点处， ， ， ， 综上所述，的值为2或6或． 【解答题】 1．如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 【答案】 【分析】利用菱形对角线性质求边长，再通过面积法列方程求高． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ，即， 解得． 2．如图，是的角平分线．，交于点，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求角平分线的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析 (2)的长度为 【分析】（1）先根据对边平行，判定出平行四边形，再证出，可得邻边相等，即可得出四边形的形状； （2）由角平分线的性质，得，由菱形的性质，可得，，再结合特殊直角三角形以及勾股定理可求出的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：连接，交于点，如下图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵四边形为菱形， ∴、互相垂直且平分， 即，， 在中，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故的长度为． 3．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定定理以及菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握菱形的判定定理和性质是解题的关键． （1）根据平分得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，再根据即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理，在中，求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，是的中点， ， ， ， 在中，， ， ． 4．如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或2 【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，根据即可求解； （2）①同（1）得出，，根据即可求解； ②证明出四边形的邻边相等，即可进一步推得四边都相等，即得答案； （3）先分情况讨论，再根据每种情况，利用，，以及点，，，相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①如图1， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得， 点E与点F重合， ， ②如图2，当点E与点C重合时，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； ∴ （3）解：情况1，如图3， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 情况2，如图4， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， 即， ， ， ， ， ； 情况3，如图5， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或或2． 综上可知，的值为：或或2． 5．如图，平面直角坐标系中，点，点，连接，将沿直线翻折，点B落在第二象限内的点C处． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点为线段上一点，点为延长线上一点，，连接交于点，求证：； (3)如图，在（2）条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)点C的坐标为； (2)见解析 (3)10 【分析】（）由点A和点B的坐标可得，，由折叠性质可知，，所以四边形是菱形，则有，从而得出点的坐标； （）过作，交于点，则有，，由（）得四边形是菱形，，则，根据等角对等边得，然后证明，根据全等三角形的性质即可求证； （）由四边形是菱形得，，设，，，，所以，，，证明，所以，过点作于点，设，，则，，求得，，，，，则，过作于点，证明，所以，，利用，得出，证明，过作于点，则，则可得，最后利用的面积为即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为8， ∴点的坐标为； （2）证明：如图，过点作，交于点， ∴，， 由（）得，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3所示， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； 设，，，， ∴，， ∴， ∵，6 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 如图3所示，过点作于点， ∵， ∴可设，则， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴，解得或（不符合题意，舍去）， ∴，，，， ∴， 如图3所示，过点作于点，过点作于点，过作轴于点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08菱形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握菱形定义、四边相等 + 对角线垂直平分且分对角的性质 2.熟记 3 种判定方法，掌握对角线乘积的一半专属面积公式 3.理清菱形与平行四边形的从属关系 1.能运用性质 / 判定，解决角度、线段、面积计算及菱形证明题 2.会结合勾股定理用菱形对角线求边长、面积 3.区分菱形与矩形的性质、判定差异 1.基础题零失分，中档计算 / 证明题稳拿分 2.规避判定前提缺失、性质混淆等高频失分点 3.规范书写步骤，熟练套用面积公式解题 题型1.菱形内角计算类 题型2.菱形边长与对角线计算 题型3.菱形面积计算 题型4.菱形性质证明题 题型5.菱形判定条件补充 题型6.菱形判定证明 题型7.菱形性质与判定综合角度计算 题型8.菱形性质与判定综合线段计算 题型9.菱形性质与判定综合面积计算 题型10.菱形实际应用计算 题型11.菱形与折叠变换综合计算 题型12.平面直角坐标系中的菱形计算 题型13.菱形动点探究与存在性问题 解答题5题 知识点01:菱形的定义（基础必记，期中辨析考点） 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ▶ 关键：菱形是「特殊的平行四边形」，具备平行四边形所有性质，且独有 “四边相等、对角线垂直” 特征。 知识点02:菱形的核心性质（期中必考，分 4 类记，重点标红） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（3 种方法，期中证明 / 添条件必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 ▶ 关键：只要知道两条对角线长度，可直接套用公式计算，无需求底和高。 知识点05:期中高频易错点（避坑关键，一眼避错） 1.混淆判定前提：“对角线互相垂直的四边形是菱形”❌（正确：对角线互相垂直的平行四边形）； 2.性质混淆：菱形≠矩形 —— 菱形四边相等、对角线垂直；矩形四个角是直角、对角线相等； 3.面积公式误用：忘记菱形独有面积公式，或计算时漏乘 “”。 题型01.菱形内角计算类 【典例】如图，菱形中，已知，则的大小是____________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，E是边上一点，连接交对角线于点F，连接，若，则_______°． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交于点E，交于点F（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02.菱形边长与对角线计算 【典例】已知菱形的一条边长为4，则这个菱形的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【跟踪专练1】如图，在菱形中，E，F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为______． 【跟踪专练2】如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．48 B．72 C．96 D．108 题型03.菱形面积计算 【典例】已知菱形的对角线、的长分别为12和16，则这个菱形的面积是________． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（   ）    A．36 B．18 C．24 D．64 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为_______． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，则菱形的高为（　　） A．3 B．4 C． D． 题型04.菱形性质证明题 【典例】如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为__． 【跟踪专练1】如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，E为对角线上一点，连接并延长交的延长线于点F，，则______． 【跟踪专练3】如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 题型05.菱形判定条件补充 【典例】下列条件不能够判定“平行四边形是菱形”的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是_______________(只填一个即可)．    【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是_______．（填写序号） 【跟踪专练3】已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 题型06.菱形判定证明 【典例】如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD．则根据作图过程判定四边形ABCD是菱形的依据是__． 【跟踪专练1】依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使，连接，请再添加一个条件：______，使四边形是菱形． 【跟踪专练3】如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（    ） ①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形； A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④ 题型07.菱形性质与判定综合角度计算 【典例】如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为____°． 【跟踪专练1】如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D．连接、．若，则__________． 【跟踪专练3】如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 题型08.菱形性质与判定综合线段计算 【典例】如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【跟踪专练1】如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为_____． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（   ） A． B． C． D． 题型09.菱形性质与判定综合面积计算 【典例】在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为___________． 【跟踪专练1】如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 【跟踪专练2】如图，两条长边平行，宽为1的长纸条交叉叠放，若，则重叠部分的面积为_____． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型10.菱形实际应用计算 【典例】如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_______． 【跟踪专练1】中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．对角线，相交于点O，测得，．经过点O，，交于点E．交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于、，则的长为______ ． 【跟踪专练3】杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 题型11.菱形与折叠变换综合计算 【典例】如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为_______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为______． 【跟踪专练2】如图，将菱形 沿对角线对折，点D与点 B 重合，，，G，H分别是，上的点，P，Q为上两点，沿 裁剪并展开，要使展开图是相邻两边长比为的矩形，则矩形的面积为________． 【跟踪专练3】如图，将矩形纸片分别沿，折叠，使点，恰好都落在对角线的中点处，点，分别在，边上． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 题型12.平面直角坐标系中的菱形计算 【典例】如图，菱形的顶点A的坐标为，O是的中点，则点D的坐标为__________． 【跟踪专练1】菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，，则点的坐标为_____． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，O为坐标原点，则对角线的长是（    ） A．5 B． C．8 D． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，． (1)求的长； (2)求菱形的面积； (3)写出 A，B，C，D的坐标． 题型13.菱形动点探究与存在性问题 【典例】如图，有一张平行四边形纸片，其中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合）．将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，连接，，，，，．若与相交，交点为，连接． 给出下面四个结论： ①四边形一定是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，四边形是菱形； ④当点固定，点在边上运动时，四边形的面积不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________________． 【跟踪专练1】如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为________． . 【跟踪专练2】如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是___________． 【跟踪专练3】如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【解答题】 1．如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 2．如图，是的角平分线．，交于点，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求角平分线的长度（结果保留根号）． 3．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 4．如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 5．如图，平面直角坐标系中，点，点，连接，将沿直线翻折，点B落在第二象限内的点C处． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点为线段上一点，点为延长线上一点，，连接交于点，求证：； (3)如图，在（2）条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $