01-第三部分 中考新动向（正文）-【金牌中考总复习】2026年中考数学总复习

第三部分 中考新动向 1 &1& 阅读理解 图1 1. （2023·徐州）【阅读理解】如图1，在矩形<m></m>中，若<m></m>，<m></m>，由勾股定理，得<m></m>，同理<m></m>，故<m></m>. 图2 【探究发现】 如图2，四边形<m></m>为平行四边形，若<m></m>，<m></m>，则上述结论是否依然成立？请直接判断写出结论. 解：上述结论依然成立：<m></m>. 第三部分 中考新动向 2 【拓展提升】 如图3，已知<m></m>为<m></m>的一条中线，<m></m>，<m>，</m><m></m>，求证：<m></m>. 图3 第三部分 中考新动向 3 证明：如图，延长<m></m>至点<m></m>，使<m></m>，连接<m></m>，<m></m>， <m></m>是<m></m>边上的中线，<m></m>， <m></m>，<m></m> 四边形<m></m>是平行四边形， 由【探究发现】，可得<m></m>， <m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>. 第三部分 中考新动向 4 【尝试应用】 如图4，在矩形<m></m>中，若<m></m>，<m></m>，点<m></m>在边<m></m>上，则<m></m>的最小值为_____. 200 图4 第三部分 中考新动向 5 2. （2023·通辽）阅读材料： 材料1：关于<m></m>的一元二次方程<m></m>的两个实数根<m>，</m><m></m>和系数<m></m>，<m></m>，<m></m>，有如下关系：<m></m>，<m></m>. 材料2：已知一元二次方程<m></m>的两个实数根分别为<m></m>，<m></m>，求<m></m>的值. 解：<m></m>,<m></m>是一元二次方程<m></m>的两个实数根， <m></m>,<m></m>. 则<m></m>. 根据上述材料，结合你所学的知识，回答下列问题： 第三部分 中考新动向 6 （1） 应用：一元二次方程<m></m>的两个实数根分别为<m></m>，<m>，</m>则<m></m>____，<m></m>_ ___． （2） 类比：已知一元二次方程<m></m>的两个实数根分别为<m>，</m><m></m>，求<m></m>的值． 解：<m></m> 一元二次方程<m></m>的两根分别为<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m> . 第三部分 中考新动向 7 （3） 提升：已知实数<m></m>，<m></m>满足<m></m>，<m></m>，且<m></m>，求<m></m>的值. 解：<m></m> 实数<m></m>，<m></m>满足<m></m>，<m></m>，且<m></m>， <m></m>，<m></m>是一元二次方程<m></m>的两个实数根，<m></m>，<m></m>， <m></m>， <m></m>，<m></m> . 第三部分 中考新动向 8 3. （2023·长春）综合与实践（素材链接：人教版九年级上册数学教材90页） 【感知】 如图1，点<m></m>，<m></m>，<m></m>均在<m></m>上，<m></m> ，则锐角<m></m>的大小为____度. 45 图1 第三部分 中考新动向 9 图2 【探究】 小明遇到这样一个问题：如图2，<m></m>是等边三角形<m></m>的外接圆，点<m></m>在弧<m></m>上（点<m></m>不与点<m></m>，<m></m>重合），连接<m></m>，<m></m>，<m></m>.求证：<m></m>.小明发现，延长<m></m>至点<m></m>，使<m></m>，连接<m></m>，通过证明<m></m>，可推得<m></m>是等边三角形，进而得证.下面是小明的部分证明过程： 证明：延长<m></m>至点<m></m>，使<m></m>，连接<m></m>. <m></m> 四边形<m></m>是<m></m>的内接四边形，<m></m> ， <m></m> ，<m></m>， <m></m>是等边三角形，<m></m>，<m></m>. 请你补全余下的证明过程. 第三部分 中考新动向 10 [答案] 补全余下的证明过程： <m></m>， <m></m>是等边三角形， <m></m> ， <m></m> ， <m></m>为等边三角形， <m></m>. 第三部分 中考新动向 11 【应用】 如图3，<m></m>是<m></m>的外接圆，<m></m> ，<m></m>，点<m></m>在<m></m>上，且点<m></m>与点<m></m>在<m></m>的两侧，连接<m></m>，<m></m>，<m></m>.若<m></m>，则<m></m>的值为_ ___. 图3 第三部分 中考新动向 12 &2& 方案设计 1. 某校数学兴趣小组为了测量操场旗杆<m></m>的高度，根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子 放在距离旗杆底部（<m></m>）<m></m>的点<m></m>处，然后沿着<m></m>方向走到点<m></m>处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部<m></m>，即<m></m>，再用皮尺测得<m></m>为<m></m>，观察者目高<m></m>为<m></m>.根据上述测量方案及数据，求旗杆<m></m>的高度. 第三部分 中考新动向 13 解：根据题意得<m></m> . <m></m>， <m></m>. <m></m>，即<m></m>. <m></m>米. 答：旗杆<m></m>的高度为5.6米. 第三部分 中考新动向 14 2. （2023·河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析：如图，在平面直角坐标系中，点<m></m>，<m></m>在<m></m>轴上， 球网<m></m>与<m></m>轴的水平距离<m></m>，<m></m>，击球点<m></m>在<m></m>轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度<m></m>与水平距离<m></m>近似满足一次函数关系<m></m>；若选择吊球，羽毛球的飞行高度<m></m>与水平距离<m></m>近似满足二次函数关系<m></m>. 第三部分 中考新动向 15 （1） 求点<m></m>的坐标和<m></m>的值． 解：在<m></m>中，令<m></m>得<m></m>， <m></m> 点<m></m>的坐标为<m></m>. 把<m></m>代入<m></m>得<m></m>， 解得<m></m>，<m></m>的值是<m></m>. 第三部分 中考新动向 16 （2） 小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网，要使球的落地点到<m></m>点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式. 解：<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>， 在<m></m>中，令<m></m>得<m></m>， 在<m></m>中，令<m></m>得<m></m>（舍去）或<m></m>， <m></m>， <m></m> 选择吊球方式，球的落地点到<m></m>点的距离更近. 第三部分 中考新动向 17 3. （2024·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图1）.某学习小组设计了一个方案：如图2，点<m></m>,<m></m>,<m></m>依次在同一条水平直线上，<m></m>，<m></m>,垂足为<m></m>.在<m></m>处测得桥塔顶部<m></m>的仰角<m></m>为<m></m> ，测得桥塔底部<m></m>的俯角<m></m>为<m></m> ，又在<m></m>处测得桥塔顶部<m></m>的仰角<m></m>为<m></m> . 图1 图2 第三部分 中考新动向 18 （1） 求线段<m></m>的长（结果取整数）． 解：设<m></m>，由<m></m>，得<m></m>. <m></m>，垂足为<m></m>，<m></m> . 在<m></m>中，<m></m>,<m></m> ， <m></m>. 在<m></m>中，<m></m>，<m></m> , <m></m> . 第三部分 中考新动向 19 <m></m> .得<m></m>. 答：线段<m></m>的长约为<m></m>. 第三部分 中考新动向 20 （2） 求桥塔<m></m>的高度（结果取整数）.（参考数据：<m></m>,<m></m>.） 解：在<m></m>中，<m></m>，<m></m> , <m></m>. <m></m>. 答：桥塔<m></m>的高度约为<m></m>. 第三部分 中考新动向 21 4. （2024·自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法. 图1（利用影子） 图2（利用镜子） 图3（利用标杆） 第三部分 中考新动向 22 （1） 如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长<m></m>恰好等于自己的身高<m></m>.此时，小组同学测得旗杆<m></m>的影长<m></m>为<m></m>，据此可得旗杆高度为_____<m></m>． 11.3 [解析] 由题意得<m></m>，<m></m>，<m></m>， 故答案为：11.3； 第三部分 中考新动向 23 （2） 如图2，小李站在操场上<m></m>点处，前面水平放置镜面<m></m>，并通过镜面观测到旗杆顶部<m></m>.小组同学测得小李的眼睛距地面高度<m></m>，小李到镜面距离<m></m>，镜面到旗杆的距离<m></m>.求旗杆高度． 解：如图，由题意得<m></m>，<m></m>，<m></m>， 根据镜面反射可知<m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m> ，<m></m>， <m></m>，即<m></m>，<m></m>， 第三部分 中考新动向 24 答：旗杆高度为<m></m>； 第三部分 中考新动向 25 （3） 小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下： 图4（找水平线） 图5（定标高线） 图6（测雕塑高） 第三部分 中考新动向 26 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面<m></m>，<m></m>两点始终处于同一水平线上. 如图5，在支架上端<m></m>处，用细线系小重物<m></m>，标高线<m></m>始终垂直于水平地面. 如图6，在江姐故里广场上<m></m>点处，同学们用注水管确定与雕塑底部<m></m>处于同一水平线的<m></m>，<m></m>两点，并标记观测视线<m></m>与标高线交点<m></m>，测得标高<m></m>，<m></m>.将观测点<m></m>后移<m></m>到<m></m>处，采用同样方法，测得<m></m>，<m></m>.求雕塑高度（结果精确到<m></m>）. 第三部分 中考新动向 27 解：设<m></m>，由题意得<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>，即<m></m>，<m></m>， <m></m>，解得<m></m>，经检验符合题意，<m></m>是原方程的解. <m></m>， 答：雕塑高度为<m></m>. 第三部分 中考新动向 28 &3& 综合实践 1. （2023·广西）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务. 第三部分 中考新动向 29 【知识背景】 如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：<m></m>，其中秤盘质量为<m></m>，重物质量为<m></m>，秤砣质量为<m></m>，秤纽与秤盘的水平距离为<m></m>，秤纽与零刻线的水平距离为<m></m>，秤砣与零刻线的水平距离为<m></m>. 【方案设计】 目标：设计简易杆秤.设定<m></m>，<m></m>，最大可称重物质量为<m></m>，零刻线与末刻线的距离定为<m></m>. 第三部分 中考新动向 30 任务一：确定<m></m>和<m></m>的值. （1） 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于<m></m>，<m></m>的方程． 解：由题意得<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>； 第三部分 中考新动向 31 （2） 当秤盘放入质量为<m></m>的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于<m></m>，<m></m>的方程． 解：由题意得<m></m>，<m></m>，又<m></m>,<m></m>, <m></m>， <m></m>； （3） 根据（1）和（2）所列方程，求出<m></m>和<m></m>的值. 解：由（1）（2）可得<m></m>，解得<m></m>； 第三部分 中考新动向 32 任务二：确定刻线的位置. （4） 根据任务一，求<m></m>关于<m></m>的函数解析式． 解：由（3）可知<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>； 第三部分 中考新动向 33 （5） 从零刻线开始，每隔<m></m>在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离. 第三部分 中考新动向 34 解：由（4）可知<m></m>， <m></m> 当<m></m>时，则有<m></m>；当<m></m>时，则有<m></m>； 当<m></m>时，则有<m></m>；当<m></m>时，则有<m></m>； 当<m></m>时，则有<m></m>；当<m></m>时，则有<m></m>； 当<m></m>时，则有<m></m>；当<m></m>时，则有<m></m>； 当<m></m>时，则有<m></m>；当<m></m>时，则有<m></m>； 当<m></m>时，则有<m></m>； <m></m> 相邻刻线间的距离为5厘米. 第三部分 中考新动向 35 2. （2024·眉山）【综合与实践】 【问题提出】在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心<m></m>处，并绕点<m></m>旋转，探究直角三角板与正方形<m></m>重叠部分的面积变化情况. 【操作发现】将直角三角板的直角顶点放在点<m></m>处，在旋转过程中： 第三部分 中考新动向 36 （1） 若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 ___；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为___. 4 4 解：操作发现：<m></m> 四边形<m></m>是正方形，<m></m> ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 <m></m>； 第三部分 中考新动向 37 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， <m></m> ，<m></m> 四边形<m></m>是矩形， <m></m> 四边形<m></m>是正方形， <m></m> ，<m></m>，<m></m>，<m></m>， 第三部分 中考新动向 38 <m></m> 四边形<m></m>是正方形，<m></m>，<m></m> 四边形<m></m>的面积是4， 故答案为：4，4； 第三部分 中考新动向 39 （2） 若正方形的面积为<m></m>，重叠部分的面积为<m></m>，在旋转过程中<m></m>与<m></m>的关系为________. [解析] 如图，过点<m></m>作<m></m>于点<m></m>，<m></m>于点<m></m>. 第三部分 中考新动向 40 <m></m>是正方形<m></m>的中心，<m></m>， <m></m> ，<m></m> 四边形<m></m>是矩形， <m></m>，<m></m> 四边形<m></m>是正方形，<m></m> ， <m></m>，<m></m> ，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m>. 故答案为：<m></m>； 第三部分 中考新动向 41 【类比探究】 如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点<m></m>重合，在旋转过程中，两条直角边分别交正方形两边于<m></m>，<m></m>两点，小宇经过多次实验得到结论<m></m>，请你帮他进行证明. 证明：<m></m> 四边形<m></m>是正方形，<m></m>，<m></m>，<m></m> ， <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m>， 第三部分 中考新动向 42 【拓展延伸】 如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中<m></m> 角的顶点与点<m></m>重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交<m></m>于点<m></m>，斜边交<m></m>于点<m></m>，且<m></m>时，请求出重叠部分的面积. （参考数据：<m></m>，<m></m>，<m></m>） 第三部分 中考新动向 43 [答案] 过点<m></m>作<m></m>于点<m></m>，<m></m>于点<m></m>.同（2）可知四边形<m></m>是正方形， <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m> ， <m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m> ，<m></m> ，由（1）可知<m></m>，<m></m>， 第三部分 中考新动向 44 <m></m>，<m></m>， <m></m>， <m></m> 重叠部分的面积<m></m>. 第三部分 中考新动向 3. （2024·泰安）【综合与实践】 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动. 【探究发现】 第三部分 中考新动向 46 （1） 同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片<m></m>翻折，使矩形顶点<m></m>的对应点<m></m>恰好落在矩形的一边<m></m>上，折痕为<m></m>，将纸片展平，连接<m></m>与<m></m>相交于点<m></m>.同学们发现图形中四条线段成比例，即<m></m>，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由. 第三部分 中考新动向 47 解：<m></m>正确，理由如下， 作<m></m>于点<m></m>， <m></m>，<m></m> ， <m></m> . <m></m> ， <m></m> , <m></m>， 第三部分 中考新动向 48 又<m></m> ， <m></m> . <m></m> 四边形<m></m>是矩形，<m></m>， <m></m> 四边形<m></m>是矩形. <m></m> . 第三部分 中考新动向 49 【拓展延伸】 （2） 同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，<m></m>是平行四边形纸片<m></m>的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点<m></m>的对应点<m></m>，点<m></m>的对应点<m></m>都落在对角线<m></m>上，折痕分别是<m></m>和<m></m>.将纸片展平，连接<m></m>，<m></m>，<m></m>.同学们探究后发现，若<m></m>，那么点<m></m>恰好是对角线<m></m>的一个“黄金分割点”，即<m></m>.请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由. 第三部分 中考新动向 50 解：同学们的发现说法正确，理由如下， <m></m>，<m></m>，<m></m>， 由折叠知<m></m>， <m></m>. <m></m>， 由平行四边形及折叠知<m></m>，<m></m>， <m></m>， <m></m>, 即点<m></m>为<m></m>的一个黄金分割点. 第三部分 中考新动向 51 4. （2023·宁夏）【综合与实践】 【问题背景】 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为<m></m> 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究. 第三部分 中考新动向 52 【探究发现】 如图1，在<m></m>中，<m></m> ，<m></m>. 第三部分 中考新动向 53 （1） 操作发现：将<m></m>折叠，使边<m></m>落在边<m></m>上，点<m></m>的对应点是点<m></m>，折痕交<m></m>于点<m></m>，连接<m></m>，<m></m>，则<m></m>____<m></m> ，设<m></m>，<m></m>，那么<m></m>______（用含<m></m>的式子表示）． 72 解：<m></m> ，<m></m>，<m></m> ， <m></m> 边<m></m>落在边<m></m>上，点<m></m>的对应点是点<m></m>， <m></m> ，<m></m> ， <m></m> ，<m></m>， 故答案为：72，<m></m>； 第三部分 中考新动向 54 （2） 进一步探究发现：<m></m>，这个比值被称为黄金比.在（1） 的条件下试证明： <m></m>． 证明：由（1）知：<m></m> ，<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m>，即<m></m>，解得<m></m>,<m></m> ； 第三部分 中考新动向 55 【拓展应用】 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的<m></m>是黄金三角形.如图2，在菱形<m></m>中，<m></m> ，<m></m>.求这个菱形较长对角线的长. [答案] 如图，连接<m></m>，在<m></m>上截取<m></m>，连接<m></m>， 第三部分 中考新动向 56 <m></m> 四边形<m></m>是菱形，<m></m> ， <m></m> ，<m></m>，<m></m>， <m></m> ，<m></m> ，<m></m>， <m></m> ，<m></m>， <m></m>，<m></m>. 第三部分 中考新动向 5. （2024·广西）【综合与实践】 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略. 第三部分 中考新动向 58 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标. 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为<m></m>，每次拧干后校服上都残留<m></m>水. 浓度关系式：<m></m>，其中<m></m>，<m></m>分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；<m></m>为单次漂洗所加清水量（单位：<m></m>）. 第三部分 中考新动向 59 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于<m></m>. 【动手操作】请按要求完成下列任务： （1） 如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为<m></m>，需要多少清水？ 解：把<m></m>，<m></m>，代入<m></m>，得<m></m>， 解得<m></m>.经检验符合题意， <m></m> 只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为<m></m>，需要<m></m>清水； 第三部分 中考新动向 60 （2） 如果把<m></m>清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ 解：第一次漂洗：把<m></m>，<m></m>代入<m></m>，<m></m>， 第二次漂洗：把<m></m>，<m></m>代入<m></m>，<m></m>， 而<m></m>，<m></m> 进行两次漂洗，能达到洗衣目标； 第三部分 中考新动向 61 （3） 比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法. 解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， <m></m> 从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习. 第三部分 中考新动向 62 6. （2024·青海）【综合与实践】 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用. 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究. 第三部分 中考新动向 63 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ____________________________________ 不相等、不垂直 平行四边形 图1 如图1，在四边形<m></m>中，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>分别是各边的中点. 求证：中点四边形<m></m>是平行四边形. 第三部分 中考新动向 64 证明：<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>分别是<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>的中点， <m></m>，<m></m>分别是<m></m>和<m></m>的中位线， <m></m>，<m></m>（①） <m></m>. 同理可得<m></m>. <m></m> 中点四边形<m></m>是平行四边形. 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形. 第三部分 中考新动向 65 （1） 请你补全上述过程中的证明依据①____________. 中位线定理 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ___________________________ 不相等、不垂直 平行四边形 <m></m> 菱形 图2 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形. 第三部分 中考新动向 66 （2） 下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出<zzd>后续</zzd>的证明过程. 证明：<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>分别是<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>的中点，<m></m>，<m></m>分别是<m></m>和<m></m>的中位线，<m>，</m><m></m>,<m></m>.同理可得<m></m>. <m></m>,<m></m>,<m></m> 中点四边形<m></m>是菱形. 第三部分 中考新动向 67 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 _____________________________________________ 不相等、不垂直 平行四边形 <m></m> ②____ 图3 （3） 从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②______. 矩形 第三部分 中考新动向 68 （4） 下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出<zzd>后续</zzd>的证明过程. 证明：<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>分别是<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>的中点， <m></m>，<m></m>分别是<m></m>和<m></m>的中位线， <m></m>，<m></m>，<m></m>. 同理可得<m></m> 四边形<m></m>为平行四边形， <m></m>,<m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m> 中点四边形<m></m>是矩形. 第三部分 中考新动向 69 【归纳总结】 （5） 请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形. 原四边形对角线关系 中点四边形形状 _______________________________ ③____ ④____ 图4 结论：原四边形对角线③___________________时，中点四边形是④________. 且 正方形 第三部分 中考新动向 70 证明：如图，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>分别是<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>的中点， <m></m>，<m></m>分别是<m></m>和<m></m>的中位线， <m></m>，<m></m>,<m></m>. 同理可得<m></m>,<m></m>, 第三部分 中考新动向 71 <m></m> 中点四边形<m></m>是菱形. <m></m>,由（4）可知<m></m>,<m></m> 菱形<m></m>是正方形. 故答案为：<m></m>且<m></m>；④正方形. 第三部分 中考新动向 72 7. （2024·广东）【综合与实践】 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示， ①一张直径为<m></m>的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为<m></m>的圆锥形过滤漏斗. 第三部分 中考新动向 73 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中. 第三部分 中考新动向 74 【实践探索】 （1） 滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明. 解：滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下， 方法一：如答图1作出示意图，由题意知，<m></m>， 答图1 第三部分 中考新动向 75 折叠后<m></m>， <m></m> 底面周长<m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m> 滤纸能紧贴此漏斗内壁. 答图2 方法二：由<m></m>得<m></m>, 答图2中，<m></m> ， 第三部分 中考新动向 76 答图3 答图3中，<m></m>，<m></m> ， <m></m>， <m></m> 滤纸能紧贴此漏斗内壁. 第三部分 中考新动向 77 （2） 当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留<m></m>） 解：由（1）知<m></m>，<m></m> ，过<m></m>作<m></m>于点<m></m>， 则<m></m>，在<m></m>中，<m></m>， <m></m>. 答：圆锥形的体积是<m></m>. 第三部分 中考新动向 78 &4& 跨学科命题 1. 【跨地理】（2024·辽宁） 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/<m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 其中最低海拔最小的大洲是( ) A A.亚洲 B.欧洲 C.非洲 D.南美洲 第三部分 中考新动向 79 2. 【跨物理】（2023·广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度.下列能反映弹簧测力计的读数<m></m>（单位：<m></m>）与铁块被提起的时间<m></m>（单位：<m></m>）之间的函数关系的大致图象是( ) A A.&5& B.&6& C.&7& D.&8& 第三部分 中考新动向 80 3. 【跨物理】（2023·恩施州）如图，取一根长<m></m>的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点<m></m>并将其吊起来，在中点<m></m>的左侧距离中点<m></m>处挂一个重<m></m>的物体，在中点<m></m>的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点<m></m>的距离<m></m>（单位： <m></m>）及弹簧秤的示数<m></m>（单位：<m></m>）满足<m></m>，以<m></m>的数值为横坐标，<m></m>的数值为纵坐标建立直角坐标系.<m></m>关于<m></m>的函数图象大致是( ) 第三部分 中考新动向 81 A.&9& B.&10& C.&11& D.&12& √ 第三部分 中考新动向 82 4. 【跨化学】 无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色.现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是( ) B A.<m></m> B.<m></m> C.<m></m> D.<m></m> 第三部分 中考新动向 83 5. 【跨生物】 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型<m></m>来表示，即<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m> ，请你推算<m></m>的个位数字是( ) C A.8 B.6 C.4 D.2 6. 【跨物理】（2023·丽水）如果<m></m>的压力<m></m>作用于物体上，产生的压强<m></m>要大于<m></m>，则下列关于物体受力面积<m></m>的说法正确的是( ) A A.<m></m>小于<m></m> B.<m></m>大于<m></m> C.<m></m>小于<m></m> D.<m></m>大于<m></m> 第三部分 中考新动向 84 7. 【跨物理】（2024·广州） 如图，把<m></m>，<m></m>，<m></m>三个电阻串联起来，线路<m></m>上的电流为<m></m>，电压为<m></m>，则<m></m>，当<m>，</m><m></m>，<m></m>，<m></m>时，<m></m>的值为_____. 220 8. 【跨物理】（2024·连云港） 杠杆平衡时，“阻力×阻力臂<m></m>动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为<m></m>和<m></m>，动力为<m></m>，动力臂为<m></m>，则动力<m></m>关于动力臂<m></m>的函数表达式为________. 第三部分 中考新动向 85 9. 【跨化学】（2023·遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动植物的养护.当碳原子数目不超过10个时，按天干命名为甲烷、乙烷、丙烷……当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……甲烷的化学式为<m></m>，乙烷的化学式为<m></m>，丙烷的化学式为<m></m> 它们分子结构模型如图所示.按照此规律，十二烷的化学式为________. 第三部分 中考新动向 86 10. 【跨生物】 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：<m></m>），结果统计如下： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 甲 32 30 25 18 20 25 乙 28 25 26 24 22 25 两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是____（填“甲”或“乙”）. 乙 第三部分 中考新动向 87 11. 【跨物理】（2023·扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强<m></m>是气球体积<m></m>的反比例函数，且当<m></m>时，<m></m>.当气球内的气体压强大于<m></m>时，气球将爆炸.为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于____<m></m>. 0.6 12. 【跨物理】（2023·南充） 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为<m></m>和<m></m>，当动力臂由<m></m>增加到<m></m>时，撬动这块石头可以节省_____<m></m>的力. （杠杆原理：阻力×阻力臂<m></m>动力×动力臂） 100 第三部分 中考新动向 88 13. 【跨物理】 如图，一束光沿<m></m>方向入射，先后经过平面镜<m></m>，<m></m>反射后，沿<m></m>方向射出.已知<m></m> ，<m></m> ，则<m></m>____. 第13题图 第三部分 中考新动向 89 第14题图 14. 【跨地理】 数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬<m></m> ，求北纬<m></m> 纬线的长度. 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫作纬线； 337 92 信息二：如图2，赤道半径<m></m>约为<m></m>，弦<m></m>，以<m></m>为直径的圆的周长就是北纬<m></m> 纬线的长度.（参考数据：<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>） 根据以上信息，北纬<m></m> 纬线的长度约为________<m></m>. 第三部分 中考新动向 90 15. 【跨物理】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积<m></m>（单位：<m></m>）变化时，气体的密度<m></m> （单位：<m></m>）随之变化.已知密度<m></m> 与体积<m></m>是反比例函数关系，它的图象如图所示，当<m></m>时，<m></m>. 第三部分 中考新动向 91 （1） 求密度<m></m> 关于体积<m></m>的函数解析式． 解：设密度<m></m> 关于体积<m></m>的函数解析式为<m></m>. 将<m></m>代入，得<m></m> . 解得<m></m>. <m></m> 密度<m></m> 关于体积<m></m>的函数解析式为<m></m>. 第三部分 中考新动向 92 （2） 若<m></m>，求二氧化碳密度<m></m> 的变化范围. 解：<m></m>， <m></m> 当<m></m>时，<m></m> 随<m></m>的增大而减小. 当<m></m>时，<m></m>；当<m></m>时，<m></m>. <m></m> 当<m></m>时，二氧化碳密度<m></m> 的变化范围为<m></m>. 第三部分 中考新动向 93 16. 【跨物理】（2023·宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压<m></m>是气体体积<m></m>的反比例函数，其图象如图所示. （1） 当气球内的气压超过<m></m>时，气球会爆炸.若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式<m></m>，<m></m> 取3）． 第三部分 中考新动向 94 解：设函数关系式为<m></m>， 根据图象可得<m></m>， <m></m>， <m></m> 当<m></m>时，<m></m>， <m></m>，解得<m></m>， <m></m>，<m></m>随<m></m>的增大而减小， <m></m> 要使气球不会爆炸，<m></m>，此时<m></m>， <m></m> 气球的半径至少为<m></m>时，气球不会爆炸； 第三部分 中考新动向 95 （2） 请你利用<m></m>与<m></m>的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎. 解：由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎. 第三部分 中考新动向 96 17. 【跨物理】（2024·广元） 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角<m></m> 的正弦值与折射角<m></m> 的正弦值的比值<m></m>叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征. 第三部分 中考新动向 97 （1） 若光从真空射入某介质，入射角为<m></m> ，折射角为<m></m> ，且<m></m>，<m></m> ，求该介质的折射率． 第三部分 中考新动向 98 解：<m></m>， <m></m> 如图，设<m></m>，则<m></m>， 由勾股定理得<m></m>， <m></m>， 又<m></m> ，<m></m>， <m></m> 折射率为<m></m>； 第三部分 中考新动向 （2） 现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点<m>，</m><m></m>，<m></m>，<m></m>分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形<m></m>对角线交点<m></m>处射入，其折射光线恰好从点<m></m>处射出，如图2，已知<m></m> ，<m></m>，求截面<m></m>的面积. 解：由题意可得<m></m> ，折射率为<m></m>， <m></m>，<m></m>， <m></m> 四边形<m></m>是矩形，点<m></m>是<m></m>中点, 第三部分 中考新动向 100 <m></m>，<m></m> ， 又<m></m> ，<m></m>， 在<m></m>中，设<m></m>，<m></m>， 由勾股定理得<m></m>， <m></m>， <m></m>， <m></m>， <m></m> 截面<m></m>的面积为<m></m>. 第三部分 中考新动向 102 $