14-专题十四 二次函数的综合题（正文）-【金牌中考总复习】2026年中考数学总复习

第二部分 专题十四 二次函数的综合题 1 &1& 与线段有关 （2024·临夏州）在平面直角坐标系中，抛物线<m></m>与<m></m>轴交于<m></m>，<m></m>两点，与<m></m>轴交于点<m></m>，作直线<m></m>. （1） 求抛物线的解析式. 解：<m></m> 抛物线<m></m>与<m></m>轴交于<m></m>，<m></m>两点， <m></m>， <m></m> 抛物线的解析式为<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 2 （2） 如图1，点<m></m>是线段<m></m>上方的抛物线上一动点，过点<m></m>作<m></m>，垂足为<m></m>，请问线段<m></m>是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点<m></m>的坐标；若不存在请说明理由. 专题十四 二次函数的综合题 3 解：存在；<m></m>， <m></m> 当<m></m>时，<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m> ， 设直线<m></m>的解析式为<m></m>，把<m></m>代入， 得<m></m>，<m></m>， 如图，过点<m></m>作<m></m>轴，交<m></m>于点<m></m>， 设<m></m>，则<m></m>， 专题十四 二次函数的综合题 4 <m></m>， <m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m> ，<m></m>， <m></m> 当<m></m>最大时，<m></m>最大， <m></m>， <m></m> 当<m></m>时，<m></m>的最大值为<m></m>，此时<m></m>最大，<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 （3） 如图2，点<m></m>是直线<m></m>上一动点，过点<m></m>作线段<m></m>（点<m></m>在直线<m></m>下方），已知<m></m>，若线段<m></m>与抛物线有交点，请直接写出点<m></m>的横坐标<m></m>的取值范围. 解：设<m></m>，则<m></m>， 当点<m></m>恰好在抛物线上时，则<m></m>， <m></m>， 当<m></m>时，则<m></m>，解得<m></m>或<m></m>， <m></m> 线段<m></m>与抛物线有交点， <m></m>或<m></m>. 专题十四 二次函数的综合题 6 &2& 与角度有关 如图，在平面直角坐标系中，二次函数<m></m>的图象与<m></m>轴交于<m></m>，<m></m>两点（点<m></m>在点<m></m>的左侧），与<m></m>轴交于点<m></m>，一次函数<m></m>经过点<m></m>，<m></m>. 专题十四 二次函数的综合题 7 （1） 求二次函数的解析式. 解：在<m></m>中，令<m></m>得<m></m>，令<m></m>得<m></m>， <m></m>，<m></m>， 把<m></m>，<m></m>代入<m></m>得： <m></m>，解得<m></m>，<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 8 （2） 求证：<m></m>. 证明：在<m></m>中，令<m></m>得<m></m>或<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>, <m></m> ，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 9 （3） 抛物线上是否存在一点<m></m>，使<m></m>，若存在，求出点<m></m>的坐标；若不存在，请说明理由. 解：抛物线上存在一点<m></m>，使<m></m>，理由如下： <m></m>，<m></m>， <m></m>， 专题十四 二次函数的综合题 10 当<m></m>在<m></m>上方时，设<m></m>交<m></m>于<m></m>，如图： 由（2）知，<m></m>，<m></m>，<m></m>， 设<m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m>，解得<m></m>，<m></m>， 由<m></m>，<m></m>得直线<m></m>解析式为<m></m>， 专题十四 二次函数的综合题 11 联立<m></m>，解得<m></m>或<m></m>，<m></m>，<m></m>； 当<m></m>在<m></m>下方时，同理可得<m></m>，<m></m>， 在<m></m>中，令<m></m>得<m></m>， 解得<m></m>或<m></m>，<m></m>； 综上所述，<m></m>的坐标为<m></m>，<m></m>或<m></m>. 专题十四 二次函数的综合题 &3& 与面积有关 在平面直角坐标系中，<m></m>为坐标原点，抛物线<m></m>经过点<m></m>，对称轴过点<m></m>，直线<m></m>过点<m></m>且垂直于<m></m>轴.过点<m></m>的直线<m></m>交抛物线于点<m></m>、<m></m>，交直线<m></m>于点<m></m>，其中点<m></m>、<m></m>在抛物线对称轴的左侧. 专题十四 二次函数的综合题 13 （1） 求抛物线的解析式. 解：<m></m> 抛物线<m></m>经过点<m></m>，对称轴过点<m></m>， <m></m> 抛物线的对称轴为直线<m></m>，<m></m>， <m></m> 抛物线与<m></m>轴的另一个交点为<m></m>，代入<m></m>， 得<m></m>，解得<m></m>， <m></m> 该抛物线解析式为<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 14 （2） 如图1，当<m></m>时，求点<m></m>的坐标. 解：如答图1，过点<m></m>作<m></m> 直线<m></m>于点<m></m>， 答图1 专题十四 二次函数的综合题 15 <m></m> 直线<m></m>过点<m></m>且垂直于<m></m>轴，<m></m> ， <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m> ， <m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m> 点<m></m>的纵坐标为<m></m>，由<m></m>， 解得<m></m>，<m></m>（舍去），<m></m>， 专题十四 二次函数的综合题 设直线<m></m>的解析式为<m></m>，则<m></m>，解得<m></m>， <m></m> 直线<m></m>的解析式为<m></m>， 联立，得<m></m>，解得<m></m>（舍去），<m></m>，<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 （3） 如图2，当点<m></m>恰好在<m></m>轴上时，<m></m>为直线<m></m>下方的抛物线上一动点，连接<m></m>、<m></m>，其中<m></m>交<m></m>于点<m></m>，设<m></m>的面积为<m></m>，<m></m>的面积为<m></m>，求<m></m>的最大值. 解：当点<m></m>恰好在<m></m>轴上时，<m></m>， 设直线<m></m>的解析式为<m></m>，则<m></m>，解得<m></m>， <m></m> 直线<m></m>的解析式为<m></m>， 专题十四 二次函数的综合题 18 答图2 设<m></m>，过点<m></m>作<m></m>轴交直线<m></m>于点<m></m>，如图2，则<m></m>， <m></m>， <m></m>，<m></m>， <m></m>， <m></m>， <m></m>，<m></m> 当<m></m>时，<m></m>取得最大值，最大值为1. 专题十四 二次函数的综合题 19 &4& 与相似三角形等有关 1. （2024·青海）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡<m></m>，从点<m></m>处抛出一个小球，落到点<m></m>处.小球在空中所经过的路线是抛物线<m></m>的一部分. 专题十四 二次函数的综合题 20 （1） 求抛物线的解析式． 解：由题意，<m></m> 点<m></m>是抛物线<m></m>上的一点，<m></m>. <m></m>.<m></m>.<m></m> 抛物线的解析式为<m></m>. （2） 求抛物线最高点的坐标． 解：由题意，<m></m> 抛物线为<m></m>， <m></m> 抛物线最高点的坐标为<m></m>. 专题十四 二次函数的综合题 21 （3） 斜坡上点<m></m>处有一棵树，点<m></m>是<m></m>的三等分点，小球恰好越过树的顶端<m></m>，求这棵树的高度. 解：由题意，过点<m></m>，<m></m>分别作<m></m>轴的垂线，垂足分别是点<m></m>，<m></m>，又<m></m>，<m></m> ，<m></m>.又<m></m> 点<m></m>是<m></m>的三等分点，<m></m> . 专题十四 二次函数的综合题 22 <m></m>，<m></m>，<m></m>.<m></m>.<m></m> 点<m></m>的横坐标为1.将<m></m>代入<m></m>中， <m></m>.<m></m> 点<m></m>的坐标为<m></m>.<m></m>. 答：这棵树的高度是2. 专题十四 二次函数的综合题 2. （2024·内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数<m></m>的图象与<m></m>轴交于点<m></m>，与<m></m>轴交于点<m></m>，抛物线<m></m>经过<m></m>，<m></m>两点，在第一象限的抛物线上取一点<m></m>，过点<m></m>作<m></m>轴于点<m></m>，交<m></m>于点<m></m>. 专题十四 二次函数的综合题 24 （1） 求这条抛物线所对应的函数表达式． 解：令<m></m>，则<m></m>，则<m></m>；令<m></m>，则<m></m>， <m></m>，<m></m>，把<m></m>，<m></m>代入 <m></m>，得<m></m>，解得<m></m>， <m></m> 抛物线所对应的函数表达式为<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 25 （2） 是否存在点<m></m>，使得<m></m>和<m></m>相似？若存在，请求出点<m></m>的坐标，若不存在，请说明理由． 解：存在点<m></m>，使得<m></m>和<m></m>相似， 设点<m></m>，则<m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>和<m></m>相似，<m></m>，<m></m>或<m></m>， 专题十四 二次函数的综合题 26 答图1 ①如答图1，当<m></m>时，<m>，</m> <m></m>，<m></m>点纵坐标为6，<m></m>，解得<m></m>或<m></m>，<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 27 答图2 ②如答图2，当<m></m>时，<m></m>，过<m></m>作<m></m>于<m></m>，则<m></m>,<m></m>，<m></m>，<m></m> ，<m></m>，<m></m>，<m></m>，解得<m></m>（舍去）或<m></m>，<m></m>，综上所述，点<m></m>的坐标为<m></m>或<m></m>. 专题十四 二次函数的综合题 28 （3） <m></m>是第一象限内抛物线上的动点（不与点<m></m>重合），过点<m></m>作<m></m>轴的垂线交<m></m>于点<m></m>，连接<m></m>，当四边形<m></m>为菱形时，求点<m></m>的横坐标. 专题十四 二次函数的综合题 29 答图3 解：如答图3，<m></m> 四边形<m></m>为菱形，<m></m>，<m></m>，<m></m>，设点<m></m>，<m>，</m><m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，即<m></m>，<m></m>，<m></m>，即 <m></m>或<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，过点<m></m>作<m></m>于<m></m>，<m></m>， 专题十四 二次函数的综合题 30 <m></m>，<m></m>，即<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>， <m></m>，解得<m></m>（不合题意，舍去）或<m></m>， <m></m>，<m></m> 点<m></m>的横坐标为<m></m> . 专题十四 二次函数的综合题 &5& 与特殊图形存在性有关 （2024·泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线<m></m>经过点<m></m>，与<m></m>轴交于点<m></m>，且关于直线<m></m>对称. 专题十四 二次函数的综合题 32 （1） 求该抛物线的解析式． 解：<m></m> 抛物线<m></m>经过点<m></m>，与<m></m>轴交于点<m></m>，且关于直线<m></m>对称， <m></m>，解得<m></m>，<m></m> 该抛物线的解析式为<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 （2） 当<m></m>时，<m></m>的取值范围是<m></m>，求<m></m>的值． 解：<m></m> 抛物线的开口向下，对称轴为直线<m></m>，<m></m> 抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，<m></m>时，<m></m>， ①当<m></m>时，当<m></m>时，函数有最大值，即<m></m>，解得<m></m>或<m></m>，均不符合题意，舍去； ②当<m></m>时，当<m></m>时，函数有最大值，即<m></m>，解得<m></m>；故<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 34 （3） 点<m></m>是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点<m></m>作<m></m>轴的垂线交直线<m></m>于点<m></m>，在<m></m>轴上是否存在点<m></m>，使得以<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由. 专题十四 二次函数的综合题 35 解：存在；当<m></m>时，解得<m></m>,<m></m>，当<m></m>时，<m></m>，<m></m>，<m></m>， 设直线<m></m>的解析式为<m></m>，把<m></m>代入，得<m></m>，<m></m>， 设<m></m>，则<m></m>，<m></m>， <m></m>,<m></m>，当<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： 专题十四 二次函数的综合题 36 ①当<m></m>为边时，则<m></m>，即<m></m>，解得<m></m>（舍去）或<m></m>，此时菱形的边长为<m></m>； ②当<m></m>为对角线时，则<m></m>，即<m></m>，解得<m></m>或<m></m>（舍去）， 此时菱形的边长为<m></m>； 综上所述，存在以<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>为顶点的四边形是菱形，边长为<m></m>或2. 专题十四 二次函数的综合题 37 &6& 其他问题 1. （2024·苏州）如图1，二次函数<m></m>的图象<m></m>与<zzd>开口向下</zzd>的二次函数<m></m>图象均过点<m></m>，<m></m>. （1） 求图象<m></m>对应的函数表达式． 解：将<m></m>，<m></m>代入<m></m>，得<m></m>，解得 <m></m>,<m></m>对应的函数表达式为<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 38 （2） 若图象<m></m>过点<m></m>，点<m></m>位于第一象限，且在图象<m></m>上，直线<m></m>过点<m></m>且与<m></m>轴平行，与图象<m></m>的另一个交点为<m></m>在<m></m>左侧<m></m>，直线<m></m>与图象<m></m>的交点为<m></m>，<m></m>在<m></m>左侧<m></m>.当<m></m>时，求点<m></m>的坐标． 专题十四 二次函数的综合题 39 答图1 解：设<m></m>对应的函数表达式为<m></m>，将点<m></m>代入得<m></m>，解得<m></m>对应的函数表达式为<m></m>，其对称轴为直线<m></m>.又<m></m> 图象<m></m>的对称轴也为直线<m></m>，作直线<m></m>，交直线<m></m>于点<m></m>（如答图1）,由二次函数的对称性得，<m></m>， <m></m>，<m></m>.又<m></m>，而<m></m>, 专题十四 二次函数的综合题 40 <m></m>.设<m></m>，则点<m></m>的横坐标为<m></m>，点<m></m>的横坐标为<m></m>.将<m></m>代入<m></m>，得<m></m>， 将<m></m>代入<m></m>，得<m></m>. <m></m>，<m></m>，即<m></m>， 解得<m></m>，<m></m>（舍去）<m></m> 点<m></m>的坐标为<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 （3） 如图2，<m></m>，<m></m>分别为二次函数图象<m></m>，<m></m>的顶点，连接<m></m>，过点<m></m>作<m></m>，交图象<m></m>于点<m></m>，连接<m></m>.当<m></m>时，求图象<m></m>对应的函数表达式. 专题十四 二次函数的综合题 42 答图2 解：连接<m></m>，交<m></m>轴于点<m></m>，过点<m></m>作<m></m>于点<m></m>，过点<m></m>作<m></m>轴于点<m></m>.（如答图2）<m></m>，<m></m>轴，<m></m>轴，<m></m> 四边形<m></m>为矩形， <m></m>，<m></m>.设<m></m>对应的函数表达式为<m></m>， <m></m> 点<m></m>，<m></m>分别为二次函数图象<m></m>，<m></m>顶点，将<m></m>分别代 入<m></m>，<m></m>得<m></m>，<m>，</m><m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m> 在 专题十四 二次函数的综合题 43 <m></m>中，<m></m>.<m></m>，<m></m> .又<m></m> ,<m></m>. <m></m> .设<m></m>，则<m></m>，<m></m>，<m></m> 点<m></m>. <m></m>,<m></m>.<m></m>. 又<m></m>，<m></m>，<m></m>, <m></m> 点<m></m>在<m></m>上，<m></m>，即<m></m>. 专题十四 二次函数的综合题 <m></m>，<m></m>, 由①，②可得<m></m>.解得<m></m>（舍去），<m></m>，<m></m>. <m></m>的函数表达式为<m></m>. 专题十四 二次函数的综合题 2. （2024·南充）已知抛物线<m></m>与<m></m>轴交于点<m></m>，<m></m>. （1） 求抛物线的解析式． 解：<m></m> 抛物线<m></m>与<m></m>轴交于点<m></m>，<m></m>， <m></m>，解得<m></m>， <m></m> 抛物线的解析式为<m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 46 （2） 如图1，抛物线与<m></m>轴交于点<m></m>，点<m></m>为线段<m></m>上一点（不与端点重合），直线<m></m>，<m></m>分别交抛物线于点<m></m>，<m></m>，设<m></m>面积为<m></m>，<m></m>面积为<m></m>，求<m></m>的值． 专题十四 二次函数的综合题 47 解：设<m></m>，直线<m></m>为<m></m>，据题意得 <m></m>，解得<m></m>，<m></m>， 联立<m></m>，解得<m></m>或<m></m>，<m></m>， 设<m></m>，直线<m></m>为<m></m>，据题意得<m></m>， 解得<m></m>，<m></m>， 专题十四 二次函数的综合题 48 联立<m></m>，解得<m></m>或<m></m>，<m></m>， <m></m>， <m></m>. <m></m>； 专题十四 二次函数的综合题 （3） 如图2，点<m></m>是抛物线对称轴与<m></m>轴的交点，过点<m></m>的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点<m></m>，<m></m>，过抛物线顶点<m></m>作直线<m></m>轴，点<m></m>是直线<m></m>上一动点.求<m></m>的最小值. 专题十四 二次函数的综合题 50 解：设直线<m></m>为<m></m>，由<m></m>得<m></m>，<m></m>，<m></m>， 设<m></m>，<m></m>，联立直线 <m></m>与抛物线<m></m>， 得<m></m>， <m></m>, 根据根与系数的关系可得<m></m>，<m></m>， 专题十四 二次函数的综合题 51 作点<m></m>关于直线<m></m>的对称点<m></m>，连接<m></m>， 由题意得直线<m></m>，则<m></m>， <m></m>，过<m></m>点作<m></m>于<m></m>， 则<m></m>.则<m></m>，<m></m>， 在<m></m>中， <m></m> <m></m> <m></m> 专题十四 二次函数的综合题 <m></m> <m></m>, 即当<m></m>时，<m></m>，此时<m></m>， 故<m></m>的最小值为<m></m> . 专题十四 二次函数的综合题 54 $