03-第31课 尺规作图（正文）-【金牌中考总复习】2026年中考数学总复习

第一部分 基础知识复习 1 第八章 第31课 尺规作图 1 知识梳理 2 重点突破 3 中考特训 4 素养导向 2 &1& 尺规作图的概念 在几何里，把限定用无刻度的直尺和圆规来画图的作法，称为尺规作图.在尺规作图中，要保留作图的痕迹，一般不要求写出作法. 第31课 尺规作图 知识梳理 3 1. 尺规作图是指( ) C A.用直尺规范作图 B.用刻度尺和圆规作图 C.用没有刻度的直尺和圆规作图 D.直尺和圆规是作图工具 第31课 尺规作图 知识梳理 4 &2& 五种基本尺规作图 （1）作一条段等于已知线段（已知：线段<m></m>）&3& 作法： ①作射线<m></m>； ②以点<m></m>为圆心，线段<m></m>的长为半径画弧，交射线<m></m>于点<m></m>，则线段<m></m>就是所求作的线段. 原理：圆上的点到圆心的距离都等于半径. 第31课 尺规作图 知识梳理 5 （2）作一个角等于已知角（已知：<m></m>）&4& 第31课 尺规作图 知识梳理 6 作法： ①作射线<m></m>； ②以点<m></m>为圆心，任意长为半径画弧，交<m></m>于点<m></m>，交<m></m>于点<m></m>； ③以点<m></m>为圆心，<m></m>长为半径画弧，交<m></m>于点<m></m>； ④以点<m></m>为圆心，<m></m>长为半径画弧，两弧交于点<m></m>； ⑤经过点<m></m>作射线<m></m>，则<m></m>就是所求作的角. 原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等. 第31课 尺规作图 知识梳理 7 （3）作一条线段的垂直平分线（已知：线段<m></m>） 作法： ①分别以点<m></m>，<m></m>为圆心，大于<m></m>的长为半径作弧，两弧相交于点<m></m>和<m></m>； ②作直线<m></m>，交<m></m>于点<m></m>，则直线<m></m>就是线段<m></m>的垂直平 分线，点<m></m>就是线段<m></m>的中点. 原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 第31课 尺规作图 知识梳理 8 （4）作一个角的平分线（已知：<m></m>） 作法： ①以点<m></m>为圆心，任意长为半径作弧，交<m></m>于点<m></m>，交<m></m>于点<m></m>； ②分别以点<m></m>，<m></m>为圆心，大于<m></m>的长为半径作弧，两弧在<m></m>内交于点<m></m>； ③作射线<m></m>，则射线<m></m>就是<m></m>的平分线. 原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等. 第31课 尺规作图 知识梳理 9 （5）过一点作已知直线的垂线． 点在直线上 已知：直线<m></m>和<m></m>上一点<m></m> 求作：<m></m>的垂线，使它经过点<m></m>. 作法：作平角<m></m>的平分线<m></m>，直线<m></m>就是所求作的垂线. 原理：等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线. _________________________________________ 第31课 尺规作图 知识梳理 10 点在直线外 已知：直线<m></m>和<m></m>外一点<m></m> 求作：<m></m>的垂线，使它经过点<m></m>. 作法： ①任意取点<m></m>，使点<m></m>和点<m></m>在<m></m>的两旁； ②以点<m></m>为圆心，<m></m>长为半径画弧，交<m></m>于点<m></m>和<m></m>； ③分别以点<m></m>和<m></m>为圆心，大于<m></m>长为半径画弧，两弧交于点<m>；</m> ④作直线<m></m>，直线<m></m>就是所求作的垂线. 续表 第31课 尺规作图 知识梳理 11 点在直线外 原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ______________________________________ 续表 第31课 尺规作图 知识梳理 12 （6）过直线外一点作这条直线的平行线（已知：直线<m></m>及<m></m>外一点<m></m>） 作法： ①过点<m></m>作直线<m></m>交<m></m>于点<m></m>； ②作<m></m>，则<m></m>. 原理：同位角相等，两直线平行. 第31课 尺规作图 知识梳理 13 2. 已知<m></m>，请用尺规作图法，按下列要求作图.（保留作图痕迹，不写作法） （1） 如图，在线段<m></m>上找一点<m></m>，使<m></m>. 解：如答图1，点<m></m>即为所求. 第31课 尺规作图 知识梳理 14 （2） 如图，若<m></m>，在<m></m>的内部作射线<m></m>，使<m></m>． 解：如答图2，<m></m>即为所求. 第31课 尺规作图 知识梳理 15 （3） 如图，求作<m></m>边上的垂直平分线<m></m>． 解：如答图3，<m></m>即为所求. 第31课 尺规作图 知识梳理 16 （4） 如图，求作<m></m>的平分线<m></m>. 解：如答图4，<m></m>即为所求； 第31课 尺规作图 知识梳理 17 （5） 如图，求作<m></m>边上的高<m></m>. 解：如答图5，<m></m>即为所求. 第31课 尺规作图 知识梳理 18 思考：是否还有其他方法可过直线外一点作已知直线的平行线？ 第31课 尺规作图 知识梳理 19 &5& 作线段等于已知线段 例1 如图，已知<m></m>中，<m></m> ，<m></m> . 第31课 尺规作图 重点突破 20 （1） 尺规作图：在<m></m>的延长线上截取<m></m>，并连接<m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图，<m></m>，<m></m>为所求作. 第31课 尺规作图 重点突破 21 （2） 求<m></m>的度数. 解：<m></m>， <m></m>， <m></m> ， <m></m> . 第31课 尺规作图 重点突破 22 &6& 作已知角的平分线 例2 （2024·广东）如图，在<m></m>中，<m></m> . 第31课 尺规作图 重点突破 23 （1） 尺规作图：作<m></m>的平分线<m></m>交<m></m>于点<m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如答图1，即为所作； 答图1 第31课 尺规作图 重点突破 24 （2） 在（1）的条件下，以点<m></m>为圆心，<m></m>长为半径作<m></m>.求证：<m></m>与<m></m>相切. 答图2 证明：如答图2，作<m></m>于点<m></m>， <m></m>是<m></m>的平分线，<m></m>，<m></m>， <m></m>， <m></m>是半径，<m></m>， <m></m>与<m></m>相切. 第31课 尺规作图 重点突破 25 &7& 作线段的垂直平分线 例3 （2018·广东）如图，<m></m>是菱形<m></m>的对角线，<m></m> . 第31课 尺规作图 重点突破 26 （1） 尺规作图：作<m></m>的垂直平分线<m></m>，垂足为<m></m>，交<m></m>于<m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图所示，直线<m></m>即为所求； 第31课 尺规作图 重点突破 27 （2） 在（1）条件下，连接<m></m>，求<m></m>的度数. 解：<m></m> 四边形<m></m>是菱形， <m></m> ，<m></m>，<m></m>. <m></m> ，<m></m> ，<m></m> ， <m></m>垂直平分线段<m></m>，<m></m>， <m></m> ，<m></m> . 第31课 尺规作图 重点突破 28 &8& 作一个角等于已知角 例4 （2019·广东）如图，在<m></m>中，点<m></m>是<m></m>边上的一点. 第31课 尺规作图 重点突破 29 （1） 尺规作图：在<m></m>内，求作<m></m>，使<m></m>，<m></m>交<m></m>于<m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图，<m></m>为所作； 第31课 尺规作图 重点突破 30 （2） 在（1）的条件下，若<m></m>，求<m></m>的值. 解：<m></m>，<m></m>， <m></m>. 第31课 尺规作图 重点突破 31 &9& 过一点作已知直线的垂线 例5 （2023·广东）如图，在<m></m>中，<m></m> . 第31课 尺规作图 重点突破 32 （1） 尺规作图：过点<m></m>作<m></m>边上的高<m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图<m></m>为所求作的高； 第31课 尺规作图 重点突破 33 （2） 在（1）的条件下，<m></m>，<m></m>，求<m></m>的长. 解：<m></m>为<m></m>边上的高， <m></m>，<m></m> ， 在<m></m>中，<m></m> ， <m></m>， <m></m>， <m></m> . 第31课 尺规作图 重点突破 34 &10& 简单应用 例6 （2016·广东）如图，已知<m></m>中，<m></m>为边<m></m>的中点. 第31课 尺规作图 重点突破 35 （1） 尺规作图：作边<m></m>的中点<m></m>，并连接<m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图，点<m></m>即为所求. 第31课 尺规作图 重点突破 36 （2） 在（1）的条件下，若<m></m>，求<m></m>的长. 解：<m></m>为边<m></m>的中点，<m></m>为边<m></m>的中点， <m></m>为<m></m>的中位线. <m></m>， <m></m>. 第31课 尺规作图 重点突破 37 1. （2024·深圳）在下面三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线<m></m>平分<m></m>的是( ) B A.①② B.①③ C.②③ D.只有① 第31课 尺规作图 中考特训 38 第2题图 2. （2024·河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段<m></m>一定是<m></m>的( ) B A.角平分线 B.高 C.中位线 D.中线 第31课 尺规作图 中考特训 39 第3题图 3. （2024·武汉）小美同学按如下步骤作四边形<m></m>画<m></m>；②以点<m></m>为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交<m></m>，<m></m>于点<m></m>，<m></m>；③分别以点<m></m>，<m></m>为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点 C A.<m></m> B.<m></m> C.<m></m> D.<m></m> <m></m>；④连接<m></m>，<m></m>，<m></m>.若<m></m> ，则<m></m>的大小是( ) 第31课 尺规作图 中考特训 40 4. （2024·湖北）如图，<m></m>是半圆<m></m>的直径，<m></m>为半圆<m></m>上一点，以点<m></m>为圆心，适当长为半径画弧，交<m></m>于点<m></m>，交<m></m>于点<m></m>，分别以点<m></m>，<m></m>为圆心，大于<m></m>的长为半径画弧，两弧在<m></m>的内部相交于点<m></m>，画射线<m></m>，连接<m></m>.若<m></m> ，则<m></m>的度数是( ) C 第4题图 A.<m></m> B.<m></m> C.<m></m> D.<m></m> 第31课 尺规作图 中考特训 41 第5题图 5. （2024·内蒙古）如图，在<m></m>中，<m></m> ，<m></m> ，以点<m></m>为圆心，适当长为半径画弧，分别交<m></m>，<m></m>于点<m></m>和点<m></m>，再分别以点<m></m>，<m></m>为圆心，大于<m></m>的长为半径画弧，两弧交于点<m></m>，连接<m></m>并 B A.8 B.16 C.12 D.24 延长交<m></m>于点<m></m>.若<m></m>的面积为8，则<m></m>的面积是( ) 第31课 尺规作图 中考特训 42 第6题图 6. （2024·贵州）如图，在<m></m>中，以点<m></m>为圆心，线段<m></m>的长为半径画弧，交<m></m>于点<m></m>，连接<m></m>.若<m></m>，则<m></m>的长为___. 5 第7题图 7. 如图，在<m></m>中，<m></m> ,<m></m> ,分别以点<m></m>和点<m></m>为圆心，大于<m></m>的长为半径画弧，两弧相交于点<m></m>，<m></m>，作直线<m></m>交<m></m>于点<m></m>，连接<m></m>，则<m></m>____. 第31课 尺规作图 中考特训 43 8. 如图，在<m></m>中，<m></m>. 第31课 尺规作图 中考特训 44 （1） 尺规作图：作边<m></m>的垂直平分线<m></m>，与<m></m>，<m></m>分别相交于点<m>，</m><m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图所示，直线<m></m>为所求. 第31课 尺规作图 中考特训 45 （2） 在（1）的条件下，连接<m></m>，若<m></m> ，求<m></m>的度数. 证明：<m></m>是<m></m>的垂直平分线， <m></m>， <m></m> ， <m></m> . 第31课 尺规作图 中考特训 46 9. （2024·河南）如图，在<m></m>中，<m></m>是斜边<m></m>上的中线，<m></m>交<m></m>的延长线于点<m></m>. （1） 尺规作图：作<m></m>，使<m></m>，且射线<m></m>交<m></m>于点<m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图所示，<m></m>为所求；. 第31课 尺规作图 中考特训 47 （2） 证明（1）中得到的四边形<m></m>是菱形. 证明：<m></m>， <m></m>， <m></m>， <m></m> 四边形<m></m>是平行四边形， <m></m> 在<m></m>中，<m></m>是斜边<m></m>上的中线， <m></m>， <m></m> 平行四边形<m></m>是菱形. 第31课 尺规作图 中考特训 48 10. （2024·新疆）如图，已知平行四边形<m></m>. （1） 尺规作图：作<m></m>的平分线交<m></m>于点<m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图，<m></m>即为所求. 第31课 尺规作图 中考特训 49 （2） 在（1）的条件下，求证：<m></m>是等腰三角形. 证明：<m></m>为<m></m>的平分线， <m></m>. <m></m> 四边形<m></m>为平行四边形， <m></m>，<m></m>， <m></m>，<m></m>， <m></m>是等腰三角形. 第31课 尺规作图 中考特训 50 11. （2024·广州）如图，<m></m>中，<m></m> . 第31课 尺规作图 中考特训 51 （1） 尺规作图：作<m></m>边上的中线<m></m>（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如答图1，线段<m></m>即为所求； 答图1 第31课 尺规作图 中考特训 52 （2） 在（1）所作的图中，将中线<m></m>绕点<m></m>逆时针旋转<m></m> 得到<m></m>，连接<m></m>，<m></m>. 求证：四边形<m></m>是矩形. 答图2 证明：如答图2， <m></m> 由作图可得<m></m>，由旋转可得<m></m>， <m></m> 四边形<m></m>为平行四边形， <m></m> ， <m></m> 四边形<m></m>为矩形. 第31课 尺规作图 中考特训 53 12. （2023·宿迁）如图，在<m></m>中，<m></m>，<m></m>，<m></m> . 第31课 尺规作图 素养导向 54 （1） 求出对角线<m></m>的长； 答图1 解：如答图1，连接<m></m>，过点<m></m>作<m></m>于点<m></m>. <m></m> ，<m></m> ，<m>.</m> <m></m>是等腰直角三角形. 又<m></m>，<m></m>. <m></m>中，<m></m>. 第31课 尺规作图 素养导向 55 （2） 尺规作图：将四边形<m></m>沿着经过点<m></m>的某条直线翻折，使点<m></m>落在<m></m>边上的点<m></m>处，请作出折痕.（保留作图痕迹，不写作法） 解：如答图2，<m></m>即为所求. 答图2 第31课 尺规作图 素养导向 56 57 $