精品解析：福建省福清第一中学2026届高三第二学期质量检测数学试题二

福清一中2026届高三第二学期质量检测卷二 数学 科试卷 完卷时间： 120 分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 4. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 5. 已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为（ ） A. 8 B. 1 C. 0 D. 7. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知函数，关于函数下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递减 10. 若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则（ ） A. B. ，使得 C. D. 对任意均有 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为__________. 13. 某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只来测试，直到这4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是______（用数字作答） 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 四、解答题：本大题共5小题，共60分. 15. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求的值； （2）若cosB，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 16. 已知A为抛物线的焦点，B为T的准线与x轴的交点，C在y轴正半轴上，直线AD交T于M，N两点，D在线段AM上，且四边形ABCD为菱形． （1）求（用p表示）； （2）证明：D为线段AM的中点． 17. 设函数，． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若函数在区间上的极值点为a且零点为b，求证：． （参考数据：，） 18. 如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱，DA，DC上异于D点的动点． （1）若P是CD的中点，求证：平面； （2）定义：异面直线的距离指的是公垂线与两条异面直线都垂直相交的直线的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离； （3）若直线与平面MNP交于点H，且，求平面MNP与平面的夹角余弦值的取值范围． 19. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福清一中2026届高三第二学期质量检测卷二 数学 科试卷 完卷时间： 120 分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集、补集运算可知，再结合并集运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 2. 设，是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的分类，以及充分条件与必要条件的概念，即可求出结果. 【详解】因为， 若复数为纯虚数，则，，所以；即“复数为纯虚数”是“”的充分条件； 若，则，但复数不是纯虚数；即“复数为纯虚数”不是“”的必要条件； 综上，“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及复数的分类，属于基础题型. 3. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】利用下标和性质分别求出和即可得解. 【详解】设等差数列的首项为，等比数列的首项为， 则， 所以. 故选：D 4. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 5. 已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率. 【详解】在中， 设，则， 又由椭圆定义可知 则离心率， 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解. 6. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为（ ） A. 8 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为偶函数，得出关于中心对称，再根据为偶函数，得出关于对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性计算即可. 【详解】为偶函数，则，左右两边同时求导得，，将看作整体得①， 将图象向右平移2个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故， 即的周期为， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则. 故选：C 7. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点的中点的中点F，连接和，可证面面，故动点在面内的轨迹为，结合几何关系即可求出线段长度的最大值. 【详解】取的中点的中点的中点F，连接和， 由分别为的中点，知，同理可知：,，有， 又由,面且平面，所以平面， 同理可知，平面. 因为,平面平面，所以平面平面， 而平面，故动点在平面内的轨迹为， 由可知，， 所以，即，所以线段的最大值为. 故选：A. 8. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知函数，关于函数下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递减 【答案】CD 【解析】 【分析】由题可得，作出函数图象，利用图象判断各个选项. 【详解】由，作出的图象如下图： 对于AB，由图象知，A，B错误； 对于C，由图象得的值域为，故C正确； 对于D，由图象在上单调递减，故D正确. 故选：CD. 10. 若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则（ ） A. B. ，使得 C. D. 对任意均有 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求得，判断A； ，利用指数函数单调性得判断B；，然后利用对勾函数单调性求解最值判断C；，利用函数单调性证明判断D. 【详解】令，可得所有项的系数之和， 求所有项的系数绝对值之和等价于求的所有项系数和， 令，可得，所以A正确， 对于B：二项式系数之和为，因为，所以，故B错误； 对于C：，因为，且在上递增， 所以的最小值为，所以，故C正确 对于D：在上递减， 所以，即，故D正确. 故选：ACD 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】确定直线方程，计算交点坐标，得到，A正确，根据两点间距离公式得到，B正确，计算，C错误，计算到两直线的距离不相等，D错误. 【详解】双曲线的右焦点为，直线 联立，解得 根据对称性知 对选项A，故，A正确； 对选项B：，故，B正确； 对选项C， ，C错误； 对选项D，而，所以， 由角平分线定理可知：， （另解：直线到的距离为到的距离为， 两者不相等，），D错误 故选：AB. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，求得，得到的概率，进而求得学生数学成绩在130分以上的人数，得到答案. 【详解】由题意知，期末考试数学成绩X服从正态分布， 因为，可得， 则， 又因为某地有8000名学生参加考试， 所以估计某地学生数学成绩在130分以上的人数为. 故答案为：. 13. 某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只来测试，直到这4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是______（用数字作答） 【答案】576. 【解析】 【详解】分析：由题第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，可以分步完成，第一步：第五次测试的有几种可能； 第二步：前四次有一件正品有几种可能； 第三步：前四次有几种顺序；最后根据乘法公式计算可得共有几种可能． 详解：对四件次品编序为1，2，3，4．第五次抽到其中任一件次品有种情况． 前四次有三次是次品，一次是正品共有 种可能． 前4次测试中的顺序有种可能． ∴由分步计数原理即得共有 种可能． 故答案为576． 点睛：本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列． 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设四个顶点为，根据得到截面方程即可求解. 【详解】建立正四面体的顶点坐标， 设四个顶点为， 每条棱长均为，设动点， ， ， ， ， ， ， 因为， 所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面）， 而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点， 由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于， 截面四边形的顶点为， 在平面上形成一个菨形，其对角线的长度为，故面积为2. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共60分. 15. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求的值； （2）若cosB，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【答案】（1）2（2）5 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解； （2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，结合三角形的面积公式可求，联立解得，的值，根据余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长． 【详解】（1）∵， ∴sinBcosA﹣2sinBcosC＝2sinCcosB﹣sinAcosB，sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosB+2sinBcosC， 可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA， ∴2． （2）∵由（1）可得sinC＝2sinA， ∴由正弦定理可得c＝2a，① ∵cosB，△ABC的面积为， ∴sinB，由acsinBac•，解得ac＝2，② ∴由①②可得a＝1，c＝2， ∴由余弦定理可得b2， ∴△ABC的周长a+b+c＝1+2+2＝5． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式，考查了三角形的面积公式、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 16. 已知A为抛物线的焦点，B为T的准线与x轴的交点，C在y轴正半轴上，直线AD交T于M，N两点，D在线段AM上，且四边形ABCD为菱形． （1）求（用p表示）； （2）证明：D为线段AM的中点． 【答案】（1） （2） 证明：易得直线AD的方程为， 与T的方程联立得， 整理得，解得， 由题知点M在x轴上方，所以， 因为，所以D为线段AM的中点． 【解析】 【分析】（1）由题意写出点的坐标，根据菱形的性质，结合两点距离公式，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程组，解出交点坐标，根据中点坐标公式，可得答案. 【小问1详解】 由题可知，， 所以菱形ABCD的边长为p，因为C在y轴正半轴上，所以， 故，所以． 【小问2详解】 略 17. 设函数，． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若函数在区间上的极值点为a且零点为b，求证：． （参考数据：，） 【答案】（1）函数在区间上单调递增 （2）证明：， 由（1）知函数在区间上单调递增， 又，， ∴存在唯一的，使得， 当时，，；当时，，， ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴函数在区间上有唯一极值点a， 又， 由参考数据，可知， ∴函数在区间上有唯一的零点b，且， 构造函数（），， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴. 【解析】 【分析】（1）通过导数讨论函数单调性； （2）利用导数研究函数的单调性，确定极值点a和零点b所在区间，构造函数，由单调性证明不等式. 【小问1详解】 法一： ∵，∴， 当时，，则，即， ∴函数在区间上单调递增； 法二： ∵， ∴， 令，当时，， 所以函数在区间上单调递增，即函数在区间上单调递增， ∴， ∴函数在区间上单调递增； 【小问2详解】 略 18. 如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱，DA，DC上异于D点的动点． （1）若P是CD的中点，求证：平面； （2）定义：异面直线的距离指的是公垂线与两条异面直线都垂直相交的直线的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离； （3）若直线与平面MNP交于点H，且，求平面MNP与平面的夹角余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：连接， 平面， 为直线与平面所成的角， ， ， ， 在长方体中，以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，，，，，                                                当P是CD的中点时，，，，， ，， ，， ，平面， 平面； （2）； （3） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由为直线与平面所成角可得，利用线面垂直的判定定理证明； 由，，先求出公垂线所在向量，再求距离； 由点H在直线上，则，，根据，可得M， N， P的坐标，再利用空间向量法求夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， 设， ，， ， 取，得， 异面直线与的距离为：； 【小问3详解】 设，，， 点H在直线上，则， ， ，，， 因为， ， ，                                 ，， 设平面MNP的法向量为， 由，得，令得：， 设平面的法向量为， ，， 由，得，令得：， 设平面MNP与平面的夹角为， ， ，N，P分别为棱上异于D点的动点， 由得：， 当时，， 当时，令，则， ， 平面MNP与平面所成夹角余弦值的取值范围为 19. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 【答案】（1）150元 （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式求出各可能取值的概率，利用期望公式计算可得； （2）（i）利用独立事件的概率乘法公式和条件概率公式求解可得；（ii）根据相互独立事件的概率乘法公式求出，然后利用全概率公式，结合等比数列求和公式可得. 【小问1详解】 设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为. . 则的分布列为 100 200 300 P 故（元）. 【小问2详解】 （i）， ， 因为， 所以 （ii）第个顾客获得第1份幸运礼品，第个顾客获得第2份幸运礼品的概率为： ， 因为， 所以第个顾客获得第2份幸运礼品的概率为： ， 所以第个抽幸运奖顾客获得第二份幸运礼品的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $