专题12一次函数与方程（组）.不等式同步专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题12一次函数与方程（组）.不等式同步讲义 【题型01 已知直线与坐标轴交点求方程的解】........................3 【题型02 由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点】................4 【题型03 利用图象法解一元一次方程】..............................5 【题型04 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】....................6 【题型05 由两条直线的交点求不等式的解集】........................8 【题型06 两直线的交点与二元一次方程组的解】......................9 【题型07 图象法解二元一次方程组】................................9 【题型08 求直线围成的图形面积】.................................10 【解答题5题】...................................................11 ★知识梳理★ 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1. 对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 知识点04:必考结论（直接背） 1.y=kx+b 与 x 轴交点 (−​, 0) 2.kx+b=0 的解：x=−​ 3.kx+b>0：图像在 x 轴上方 的 x 范围 4.两直线交点 ⇔ 对应方程组的解 知识点05:典型解题步骤 1.把方程 / 不等式写成函数 y=kx+b 形式。 2.画出或想象直线图像。 3.看与 x 轴交点、上下方、两直线交点。 4.直接写出解或解集。 【题型1.已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【典例】如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 【跟踪专练1】画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） x 0 3 4 1 y 2 4 A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 【题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【典例】已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，平分，则点B的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ___________． 【题型3.利用图象法解一元一次方程】 【典例】如图，直线经过点，则方程的解为______． 【跟踪专练1】如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有________． 【跟踪专练3】已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【典例.】如图，一次函数的图象经过，则当时，x的取值范围是______． 【跟踪专练1】如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线经过，两点，则不等式组的解集为_________． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 【题型5.由两条直线的交点求不等式的解集】 【典例】如图，一次函数与一次函数的图象交点，不等式的解集是______． 【跟踪专练1】已知，，要使，那么应满足（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 【跟踪专练3】一次函数与的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解】 【典例】.直线和直线相交于点，则关于的方程组的解是_____． 【跟踪专练1】若直线与的交点坐标为，则是下列哪个方程组的解 A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知直线和直线． （1）若，则直线和直线的交点坐标为_____； （2）若直线和直线的交点在轴的上方，则实数的取值范围是_____． 【跟踪专练3】如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【题型7.图象法解二元一次方程组】 【典例】已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 【跟踪专练1】如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为________． 【跟踪专练3】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【题型8.求直线围成的图形面积.】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【跟踪专练2.】已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 【跟踪专练3】已知一次函数的图象经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，则一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D．或 【解答题】 1．如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 2．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 3．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 4．如下图，根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案： (1)关于的方程的解． (2)当时，代数式的值． (3)关于的方程的解． 5．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一次函数与方程（组）.不等式同步讲义 【题型01 已知直线与坐标轴交点求方程的解】........................3 【题型02 由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点】................5 【题型03 利用图象法解一元一次方程】..............................9 【题型04 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】...................12 【题型05 由两条直线的交点求不等式的解集】.......................14 【题型06 两直线的交点与二元一次方程组的解】.....................17 【题型07 图象法解二元一次方程组】...............................19 【题型08 求直线围成的图形面积】.................................23 【解答题5题】...................................................26 ★知识梳理★ 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1. 对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 知识点04:必考结论（直接背） 1.y=kx+b 与 x 轴交点 (−​, 0) 2.kx+b=0 的解：x=−​ 3.kx+b>0：图像在 x 轴上方 的 x 范围 4.两直线交点 ⇔ 对应方程组的解 知识点05:典型解题步骤 1.把方程 / 不等式写成函数 y=kx+b 形式。 2.画出或想象直线图像。 3.看与 x 轴交点、上下方、两直线交点。 4.直接写出解或解集。 【题型1.已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【典例】如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与x轴的交点的横坐标是一次函数的函数值为0时所得方程的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴则关于的方程的解为， 故答案为：． 【跟踪专练1】画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） x 0 3 4 1 y 2 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，解答即可． 【详解】解：∵当时，；当时， ∴在之间存在使得，即 ∴方程的根最精确的范围是． 【跟踪专练2】已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系；根据表格中的数据可知：当时，，然后根据方程，从而可以求得的值． 【详解】解：∵当时，， ∴ ∵ ∴ 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以方程的解是，该选项说法正确，符合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以不等式的解集是，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【典例】已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 【跟踪专练1】直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，平分，则点B的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线与勾股定理模型是解题的关键．过点作于点，利用全等得，，在中列式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 令， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即， 即， 解得：， ∴， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ___________． 【答案】 【分析】如图，作轴于，证明，则，，，，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，进而可得． 【详解】解：如图，作轴于， 由题意知，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点是解题的关键． 【题型3.利用图象法解一元一次方程】 【典例】如图，直线经过点，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟知一元一次方程与一次函数的关系是解题的关键．利用自变量时对应的函数值为3可确定程的解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴关于x的一元一次方程的解为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次函数图象，先根据直线与y轴的交点位置可对①选项进行判断；根据一次函数的性质对②选项进行判断；根据交点坐标的意义可对③进行判断；结合函数图象写出一次函数的图象在的图象上方的取值范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数与的图象分别交y轴于点，， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第二、四象限， ， 一次函数的图象经过第一、三象限， ， ，所以②错误； 一次函数与的图象的交点P的横坐标为1， ，所以③正确； 当时，，所以④选项符合题意． 故答案为：①③④． 【跟踪专练3】已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法，一次函数的性质和图象，根据给定数据求出一次函数解析式，再逐一判断各结论是否正确． 【详解】∵ 当 时，；当 时，， ∴ ， 解得：， ∴ 函数解析式为， 对于结论①：∵ ，∴ y随x的增大而增大，故①错误， 对于结论②：∵ ，∴ 图象经过第一、三、四象限，故②正确， 对于结论③：方程 ，解得：，故③正确， 对于结论④：直线 与直线，k值相等，故平行，故④正确． ∴ 正确的是②③④， 故选：C． 【题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【典例.】如图，一次函数的图象经过，则当时，x的取值范围是______． 【答案】 【分析】观察函数图象，即可得出：当时， 本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，找出时x的取值范围是解题的关键． 【详解】解：观察图形，可知：当时， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出直线解析式，然后求出点坐标，根据直线与横轴的交点坐标即可得出不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ∴函数表达式为． 当时，， 解得， ， 由题图得，关于的不等式的解集为． 【点睛】重点掌握待定系数法和数形结合的思想． 【跟踪专练2】如图，直线经过，两点，则不等式组的解集为_________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再将不等式组拆分为两个一元一次不等式分别求解，最后求不等式组的交集． 【详解】解：直线经过，两点， ，解得， 直线的解析式为． 解不等式组，即： 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，y随x的增大而增大，故A、C错误； 又∵图象与x轴交于， ∴的解为，不等式的解集是，故B错误，D正确； 故选：D． 【题型5.由两条直线的交点求不等式的解集】 【典例】如图，一次函数与一次函数的图象交点，不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了图象法解不等式． 根据图象判断即可． 【详解】解：由图象可知当时，， 即不等式的解集是， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，要使，那么应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，一元一次不等式的解法，掌握将函数不等式转化为一元一次不等式求解是解题的关键． 通过解不等式 直接求解的范围． 【详解】解：∵， ∴， 移项得：， 即， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【详解】解：不等式组的解集由图像可知满足且， 即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 【跟踪专练3】一次函数与的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的关系知识点，掌握一次函数图象 的性质以及函数图象与方程不等式的关系是解题的关键． 根据一次函数图象经过的象限判断的符号，根据交点横坐标判断方程的解，再根据图象位置判断时与的大小． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ①结论正确； ∵直线与轴交于负半轴， ， ， ②结论错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为2， 当时，， ③结论正确； 由图可知，当时，， ④结论正确．故正确的个数是3． 故选：C． 【题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解】 【典例】.直线和直线相交于点，则关于的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组的关系． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两条直线交点的坐标． 【详解】解：∵直线和直线相交于点， ∴该点的坐标同时满足两个方程， 因此方程组的解是． 故答案为：． 【跟踪专练1】若直线与的交点坐标为，则是下列哪个方程组的解 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题目中的两条直线解析式变形为二元一次方程的一般形式，再与选项中的方程组逐一对比，找到匹配的选项． 【详解】解：∵直线与的交点坐标为， ∴是方程组的解，对应选项A． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知直线和直线． （1）若，则直线和直线的交点坐标为_____； （2）若直线和直线的交点在轴的上方，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题是一次函数图象与系数的关系，两直线相交或平行问题，主要考查了两直线的交点，熟悉一次函数的性质是解本题的关键． （1）将代入两直线方程，联立方程求解交点坐标； （2）先求两直线交点坐标，再令交点的纵坐标大于0，解不等式即可得出答案． 【详解】解：（1）当时，直线，直线． 联立方程，， 解得， 将代入，得， 所以交点坐标为； （2）联立直线和直线的方程：， 解得， 将代入，得， 由于交点在x轴上方，故，即， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 【题型7.图象法解二元一次方程组】 【典例】已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 【答案】 【分析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得． 【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系． 【跟踪专练1】如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标进行求解即可． 【详解】解：∵直线与直线都经过点 ∴方程组的解是：． 故选择：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确理解“方程组的解即为直线与直线的交点坐标”是解题的关键． 【跟踪专练2】已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为________． 【答案】①②④ 【分析】把代入一次函数的解析式可判断①，根据一次函数的增减性可判断②，根据不等式的性质可判断③，画出函数，的简易图象可判断④，从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴直线必经过点；故①符合题意； ∵点，在直线上，且， ∴；故②符合题意； ∵， ∴， ∵，则， ∴，故③不符合题意； ∵（其中），经过点； ∴函数图象如图示，    画的简易图象如图示， 结合图象可得：直线与函数的图象最少有1个交点．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，画函数图象，不等式的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 【跟踪专练3】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 【题型8.求直线围成的图形面积.】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为________． 【答案】9 【分析】分别令，，求出A、B两点坐标，再利用三角形面积公式即可求出面积． 【详解】当时，， ∴B点坐标为，即， 当时，， ∴A点坐标为，即， ∴, 故答案为：9． 【点睛】本题考查了求一次函数图象与坐标轴形成的三角形的面积，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移及性质，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键；由题意易得的解析式为，然后分别得出直线与x轴、y轴的交点坐标，进而问题可求解． 【详解】解：由直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，可知：的解析式为， ∴令时，则，解得：； 令时，则， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【跟踪专练2.】已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 【答案】 2或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质进行解答． （1）通过联立两个一次函数解析式，解方程得到交点坐标； （2）先求两个函数与轴的交点坐标，再以这两个交点的距离为底边、两函数交点的纵坐标为高表示三角形面积，根据面积等于列方程求解． 【详解】（1）解：联立与， 得， 整理得， 由，解得， 代入得， 故交点坐标为． （2）解：函数与轴交于点， 函数与轴交于点， 两函数交于点． 三角形面积， 由，得， 简化得， 即或， 解得或， 均满足， 故或． 故答案为：；2或． 【跟踪专练3】已知一次函数的图象经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，则一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得与轴的交点坐标是关键． 设一次函数与轴的交点是，根据三角形的面积公式即可求得的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， 设一次函数与轴的交点是， 则， 解得：． 把代入，， 解得：， 则函数的解析式是； 把代入，， 解得：， 则函数的解析式是； 故选：D. 【解答题】 1．如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关计算是解题的关键； （1）用待定系数法求出函数解析式，然后根据函数解析式平移的性质得到直线的解析式； （2）由（1）可得直线的解析式，求出点点的坐标，再根据三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ． 将函数的图象向上平移个单位长度后得到的图象的解析式为， 即， 则直线的函数解析式为． （2）解：在中， 令，得； 令，得， ，， ，， ． ∴的面积为． 2．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：． 3．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)直线为，直线； (2)3； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． （3）解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 4．如下图，根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案： (1)关于的方程的解． (2)当时，代数式的值． (3)关于的方程的解． 【答案】(1)方程的解为 (2)当时，代数式的值为 (3)方程的解为 【分析】本题考查了一次函数与方程，（1）题干问一次函数等于即读图即可得出答案；（2）根据图像找到时对应的值即可知道代数式的值；（3）即，读图像即可求得答案. 【详解】（1）解：即； 由图像可知当时，； 的解为： 故答案为：. （2）解：当时，代数式的值即的值 由图像可知，当时， ； 故答案为：. （3）解：由图像可知，当时，； 的解为； 故答案为：. 5．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）由题意得，关于的方程的解是； （）由图可得答案． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的一元一次方程的解是， 故答案为：； （2）解：由图可得，一次函数和一次函数图象的交点为， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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