精品解析：黑龙江佳木斯市富锦市宏胜镇中学等校2026年中考一模数学试题

2026中考一模 数学试题 考生注意： 1．全卷共三道大题，总分120分，考试时间120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案均需 写在答题卡上，写在试题卷上无效； 3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置； 4．字迹工整，卷面整洁，认真审题，规范作答． 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 齐齐哈尔市冬季某日的气温为，该日的温差是（ ） A. 10 B. 14 C. -10 D. -14 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 4. 龙东地区是我国重要的商品粮基地，某农场今年种植玉米120公顷，比去年增加，去年种植玉米的面积是（ ） A. 144公顷 B. 100公顷 C. 96公顷 D. 150公顷 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 某校为了解九年级学生的体育锻炼情况，随机抽取了50名学生，统计了他们每天锻炼的时间，结果如下表所示： 锻炼时间（分钟） 30以下 60以上 人数 10 30 10 则这50名学生每天锻炼时间的众数所在组是（ ） A. 30分钟 B. 45分钟 C. 60分钟 D. 分钟 8. 如图，在中， 是直径， 是弦， 于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 分解因式：____________． 12. 若分式的值为零，则x的值为_____________． 13. 已知一组数据：2，3，5，7，8，则这组数据的中位数是________． 14. 龙东地区某滑雪场的雪道坡度为，那么该雪道的倾斜角为________度． 15. 若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______． 16. 如图，在中，，，．则______． 17. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留） 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 19. 龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 20. 观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 三、解答题（满分60分） 21. 计算：． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 24. 龙东地区某中学为了解学生对“黑土文化”的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“比较了解”“了解一点”“不了解”三个等级，绘制了如下不完整的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图信息解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生人数为________； （2）补全条形统计图和扇形图的 %； （3）若该校共有1200名学生，估计该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数； （4）若从“了解一点”的3名男生和2名女生中随机抽取2人参加黑土文化宣传活动，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 25. 为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． （1）求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 26. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径作，交于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 27. 如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)两点，抛物线交y轴于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点．直线y＝x－1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． （1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？ （3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP＝EQ，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026中考一模 数学试题 考生注意： 1．全卷共三道大题，总分120分，考试时间120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案均需 写在答题卡上，写在试题卷上无效； 3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置； 4．字迹工整，卷面整洁，认真审题，规范作答． 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值，比较有理数的大小，通过计算各数的绝对值，比较大小，绝对值最小的数即为答案． 【详解】解：∵，，，，且， ∴绝对值最小的数是0． 故选：B． 2. 齐齐哈尔市冬季某日的气温为，该日的温差是（ ） A. 10 B. 14 C. -10 D. -14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的减法的实际应用，减法法则为减去一个数等于加上这个数的相反数，熟练掌握减法法则是问题求解的关键． 温差是最高温度与最低温度的差值，直接计算即可． 【详解】解：依题意，温差， 故选：B． 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 4. 龙东地区是我国重要的商品粮基地，某农场今年种植玉米120公顷，比去年增加，去年种植玉米的面积是（ ） A. 144公顷 B. 100公顷 C. 96公顷 D. 150公顷 【答案】B 【解析】 【分析】设去年种植玉米的面积为公顷，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设去年种植玉米的面积为公顷， 由于今年种植面积比去年增加，今年种植面积为120公顷， 则列方程得：， 化简得：， 解得：， 因此，去年种植玉米的面积是100公顷． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．通过逐一验证每个选项是否符合这些规则，即可得出正确答案 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D符合题意． 故选：D． 6. 如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，从而求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 7. 某校为了解九年级学生的体育锻炼情况，随机抽取了50名学生，统计了他们每天锻炼的时间，结果如下表所示： 锻炼时间（分钟） 30以下 60以上 人数 10 30 10 则这50名学生每天锻炼时间的众数所在组是（ ） A. 30分钟 B. 45分钟 C. 60分钟 D. 分钟 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据众数定义判断即可． 【详解】解：由表格可得，锻炼时间在分钟区间的人数为，多于其余两个区间的人数， ∴出现次数最多的是分钟，即众数所在组是分钟． 8. 如图，在中， 是直径， 是弦， 于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】可先求出半径和的长度，再根据垂径定理，得出，在中，可利用勾股定理求出的长度． 【详解】∵，， ∴， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得： ， ∴． 9. 某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量，即可推导得到函数关系式． 【详解】解：每件利润为元， 实际每天销售量为：， ∴． 10. 如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠知：， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则x的值为_____________． 【答案】3 【解析】 【详解】由分式的值为零的条件得x-3=0且x+2≠0， 由x-3=0，解得x=3 故答案为3 13. 已知一组数据：2，3，5，7，8，则这组数据的中位数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据中位数的定义，将数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据的个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，. 这组数据的中位数为． 14. 龙东地区某滑雪场的雪道坡度为，那么该雪道的倾斜角为________度． 【答案】30 【解析】 【分析】根据坡度的定义可知坡度等于雪道倾斜角的正切值，再结合特殊锐角的三角函数值即可求出倾斜角的度数． 【详解】解：设该雪道的倾斜角为， 雪道坡度为， ， ， 即该雪道的倾斜角为30度． 15. 若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且， ∴时，随着的增大而增大， ∴， 当时，点在第二象限，；点、在第四象限，，此时满足， ∴的取值范围是． 16. 如图，在中，，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及勾股定理的运用，用平行四边形的性质表示出、及的长度，则即可求解，解答本题的关键在于表示出所需边长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴ 又∵由平行四边形性质可得， ； 又∵中，由勾股定理得 ∴． 故答案为：． 17. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积. 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得：． 19. 龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【答案】6 【解析】 【详解】解：设工作总量为1，甲队效率为，乙队效率为，则两队合作效率为， 故合作需天． 20. 观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】分别从符号、分子、分母三个部分归纳变化规律，整合后即可得到第个数的代数式． 【详解】解：符号规律：当序号为奇数时该数为正，序号为偶数时该数为负，所以符号可表示为； 分子规律：第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，所以第个数的分子为； 分母规律：第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，所以第个数的分母为； 综上，第个数为． 三、解答题（满分60分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据平方差公式和分式的性质化简所求式子，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 由于， 则原式． 23. 如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 【答案】 证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， ∴， 在和中， ． ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． 利用“”证明即可得到：． 【详解】略 24. 龙东地区某中学为了解学生对“黑土文化”的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“比较了解”“了解一点”“不了解”三个等级，绘制了如下不完整的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图信息解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生人数为________； （2）补全条形统计图和扇形图的 %； （3）若该校共有1200名学生，估计该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数； （4）若从“了解一点”的3名男生和2名女生中随机抽取2人参加黑土文化宣传活动，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）60人 （2） 补全统计图如图： （3）720人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据“不了解”的人数为6人占比，即可求解； （2）算出“了解一点”的人数，“了解一点”和“比较了解”占比，补全统计图即可； （3）根据样本估计总体的方法求解即可； （4）用列表法求解即可； 【小问1详解】 解：总人数人． 【小问2详解】 解：“了解一点”的人数人． “了解一点”比例， “比较了解”比例， 【小问3详解】 解：该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数人； 【小问4详解】 解：列表如下， 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男1，男2 男1，男3 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，男3 男2，女1 男2，女2 男3 男3，男1 男3，男2 男3，女1 男3，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，男3 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，男3 女2，女1 共有20种情况，1男1女有12种情况， 故恰好抽到1名男生和1名女生的概率​． 25. 为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． （1）求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元 （2）有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱 【解析】 【分析】（1）设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，根据“购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元”列方程组求解即可； （2）设购进A型设备m台，则购进B型设备台，根据“总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半”列不等式组求出m的值，得出方案；再列出总费用的函数关系，根据一次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 根据题意得：． 解得：． 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元． 【小问2详解】 解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台， 根据题意得：， 解得：． ∵m为整数， ∴，8，9，10， ∴共4种购进方案； 总费用， ∵，故W随m增大而减小， ∴当时，W最小，此时， 最小费用（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱． 26. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径作，交于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的半径为， 【解析】 【分析】（）连接，由等腰三角形的性质及已知可得，由圆周角定理得，即得，得到，即得到，得，即可求证； （）由锐角三角函数可得，即得的半径为，，设，则，可得，，再根据求出的值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 27. 如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)两点，抛物线交y轴于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点．直线y＝x－1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． （1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？ （3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP＝EQ，求点P的坐标． 【答案】（1）y=-x2+2x+3，D（1,4）；（2）当P点坐标为（，-）时，线段PQ最长为；（3）（1，0）或（2，1）或（0，-1） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法将A、B、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）就可以求出抛物线的解析式． （2）根据抛物线的解析式和直线的解析式及PQ⊥x轴可以设出P点的横坐标，从而可以表示出P、Q的坐标，再利用P、Q的纵坐标之差表示出PQ的长，最后利用抛物线的最值就可以求出PQ的值及P点的坐标． （3）由条件求出E点的坐标，再由条件表示出P、Q的坐标，然后根据两点间的距离公式就可以分情况求出点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），由题意，得 ， 解得： ∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3， ∴y=-（x-1）2+4， ∴D（1，4）； （2）∵PQ⊥x轴， ∴P、Q的横坐标相同， ∵P点在直线y=x-1上，设P（a，a-1），则Q（a，-a2+2a+3）， ∴PQ=-a2+2a+3-a+1=-a2+a+4， ∴PQ=-（a-）2+， ∴当a=时，线段PQ最长为，则P点坐标为（，-）； （3）∵E为线段OC上的三等分点，且OC=3， ∴E（0，1）或E（0，2）， 设P（p，p-1）（在y=x-1上），则Q（p，-p2+2p+3）． 当E（0，1）时， ∵EP=EQ， ∴（p-0）2+（p-1-1）2=（p-0）2+（-p2+2p+3-1）2， ∴p2+（p-2）2=p2+（p2-2p-2）2， （p-2）2=（p2-2p-2）2， ①当p2-2p-2=p-2时， ∴p（p-3）=0， ∴p=0或3， 当p=0，P（0，-1），Q（0，3）， 当p=3，P（3，2），Q（3，0）， 过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． ∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点， ∴x-1=-x2+2x+3， 解得：x1=，x2=， M的横坐标为，N点的横坐标为， ∴P点横坐标：大于等于小于等于， ∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去； ②p2-2p-2=-p+2， 整理得：p2-p-4=0， 解得：P1=，p2=， ∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点， ∴x-1=-x2+2x+3， 解得：x1=，x2=， M的横坐标为，N点的横坐标为， ∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． ∴P点横坐标：大于等于小于等于， 当E（0，2）时， ∵EP=EQ， ∴（p-0）2+（p-1-2）2=（p-0）2+（-p2+2p+3-2）2， p2+（p-3）2=p2+（p2-2p-1）2， ∴（p-3）2=（p2-2p-1）2． ③当p2-2p-1=p-3时， ∴（p-1）（p-2）=0 ∴p=1或2． 当p=1时，P（1，0），Q（1，4） 当p=2时，P（2，1），Q（2，3） ④p2-2p-1=-p+3 p2-p-4=0， 解得：P1=＜-1，p2=＞2， P（，）或（，）． 综上所述，P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1），P（，）或（，）． ∵点P在线段MN上， ∴P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1）． 【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定及性质，两点间的距离公式的运用，二次函数最值的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $