4.2一元线性回归模型 同步练-2025-2026学年高二下学期数学湘教选择性必修第二册

4.2一元线性回归模型 一、选择题 1．某科研型企业,每年都对应聘入围的大学生进行体检,其中一项重要指标就是身高与体重比,其中每年入围大学生体重y（单位:kg）与身高x（单位:cm）基本都具有线性相关关系,根据今年的一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列结论中不正确的是(      ) A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 C.若某应聘大学生身高增加1cm,则其体重约增加0.83kg D.若某应聘大学生身高为170cm,则可断定其体重必为55.39kg 2．已知一组样本数据，，，…，，画出相应散点图，发现变量x，y有较强的线性关系，利用最小二乘法得其回归方程为.若，则(      ) A. B.4 C.15 D.48 3．已知变量x,y的数据如下： x 3 4 6 7 y 2.5 3 m 5.9 若x与y的回归直线方程为,则(      ) A.3.5 B.4 C.4.2 D.5 4．已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： x 3 4 5 6 7 y 2.4 m 4 4.6 5.2 其经验回归方程为，则(      ) A.2.8 B.3 C.3.2 D.3.4 5．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温/℃ 18 13 10 -1 用电量/度 24 34 38 64 由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量均为(      ) A.68度 B.52度 C.12度 D.28度 6．具有线性相关关系的变量的一组数据如下： x 0 1 2 3 y -5 -4.5 -4.2 -3.5 其线性回归直线方程为,则回归直线经过(      ) A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 7．已知取表中的数值,若具有线性相关关系,线性回归方程为,则(      ) x 0 1 3 4 y a 4.3 4.8 6.7 A.2.2 B.2.4 C.2.5 D.2.6 8．已知变量y与x的一组数据如表所示,根据数据得到y关于x的经验回归方程为. x 2 3 4 5 y 若,则(      ) A.6.8 B.7.8 C.8.8 D.9.8 9．变量y,x之间有如下对应数据： x 4 4.5 5.5 6 y 12 11 10 已知变量y对x呈线性相关关系,且回归方程为,则m的值是(      ) A.10 B.9 C.8 D.7 10．已知变量x,y呈线性相关关系,回归方程为,且变量x,y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时,预测值为-0.2,则m的值为(      ) A.3 B.2.8 C.2 D.1 11．已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间x（分钟）与一个月内减轻的体重y（斤）的一组数据如表所示： x 30 40 50 60 70 y 1.1 1.9 3.2 4 4.8 一个月内减轻的体重y与每天投入的体育锻炼时间x之间具有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是,据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时,该月内减轻的体重约为(   ) A.6.8斤 B.6.9斤 C.7.0斤 D.7.1斤 12．某餐厅的原料费支出x（单位：万元）与销售额y（位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则表中的m的值为(      ) x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 A.60 B.55 C.50 D.45 13．年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 ，.已知，，现用最小二乘法算得线性回归方程是(      ) A. B. C. D. 14．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，若已知y与x之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则y关于x的经验回归方程是( ) A. B. C. D. 15．已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的回归直线方程为(      ) （附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，） A. B. C. D. 16．某种细胞的存活率y（%）与存放温度x（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示： 存放温度x/℃ 20 15 10 5 0 存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63 计算得，，，，并求得经验回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的经验回归方程为(      ) A. B. C. D. 二、填空题 17．根据下表数据得到y关于x的线性回归方程,则_____________. x 1 2 3 4 y 1 4 5 8 18．下表提供了某工厂节能降耗技术改造后,一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据,求得y关于x的线性回归方程为,那么表格中t的值为_____________. 19．高中女学生的身高预报体重的回归方程是(其中x,的单位分别是cm,kg),则此方程在样本点处的残差是________________. 20．某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的,高温可以使蛋白质变性失活,于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系,微生物数量y(个)与温度的部分数据如下表： 温度 4 8 10 18 微生物数量y(个) 30 22 18 14 由表中数据算得回归方程为,预测当温度为时,微生物数量为_____________个. 21．某地建立了农业科技图书馆,供农民免费借阅,收集了近5年的借阅数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y/万册 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表,可得y关于x的线性回归方程为.则__________________. 22．已知一种服装的销售量y（单位：百件）与第x周的一组相关数据统计如表所示,若两变量x,y的经验回归方程为,则________________． x 1 2 3 4 5 y 7.5 6 3.3 a 1 23．一组数据的线性回归方程为，若，则_______________. 三、解答题 24．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数X/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间Y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 （1）画出散点图； （2）求Y关于X的线性回归方程； （3）关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？ 参考答案 1．答案：D 解析：由于线性回归方程中x的系数为0.83,因此y与x具有正的线性相关关系,故A正确; 线性回归方程必过样本中心点,故B正确; 由线性回归方程中系数的意义知,x每增加1cm,其体重约增加0.83kg,故C正确; 当某大学生的身高为170cm时,其体重估计值是55.39kg,而不是具体值,故D不正确. 故选:D 2．答案：D 解析：由线性回归方程的性质， 知回归直线恒过点， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D. 3．答案：B 解析：由题意可得,, 则,解得. 故选：B. 4．答案：A 解析：因为，所以， 所以，得，故选A。 5．答案：A 解析：由表格可知，，根据回归直线方程必过，得，因此当时，，故选择A. 6．答案：D 解析：由图表中的数据知：x,y呈正相关, 所以, 又, 则样本中心为,在第四象限, 所以回归直线经过第一、三、四象限, 故选：D. 7．答案：A 解析：由题意可知：,, 所以样本中心为, 代入回归方程有：,解得. 故选：A. 8．答案：D 解析： 9．答案：B 解析：,. 则有,解得. 故选：B. 10．答案：C 解析：由题意知回归方程为过点,则, 即； 又,, 由于回归方程为必过样本中心点, 故, 故选：C. 11．答案：A 解析：由表中数据可得 , , 将代入得,解得, 即, 则当时,. 故选：A. 12．答案：A 解析：因为，， 带入得得. 故选：A 13．答案：D 解析：法一：运用公式计算得出结果. 法二：求得，，因为中心点在回归线上，排除A；因为x，y是正相关，排除D；根据表格数据可知，C的拟合度高于B的拟合度，故选：D. 14．答案：A 解析：由题可得，，由，， 所以所求经验回归方程为.故选：A. 15．答案：D 解析：由题意得，，因为，，所以，，故回归直线方程为，故选：D. 16．答案：A 解析：依题意，设更正后的经验回归方程为，更正后，，，， ，，所以更正后的经验回归方程为.故选：A. 17．答案：1 解析：, 所以,解得. 故答案为：1. 18．答案：3 解析：. 因为回归直线过样本中心点, 所以,解得. 故答案为：3. 19．答案：1.5 解析：由样本数据得到,女大学生的身高预报体重的回归方程是, 当时,, 此方程在样本处残差为：. 故答案为：1.5. 20．答案：9 解析：由表格数据可知,,, 因为点在直线上,所以, 即,故当时,, 即预测当温度为时,微生物数量为9个. 故答案为：9. 21．答案：4.68 解析：根据表格可知, ,, 代入,可得. 故答案为：4.68. 22．答案：2.2 解析：由题意得：,, 根据经验回归方程过点,所以有, 故答案为：2.2. 23．答案：78 解析：由得. 因为过点，所以，所以. 故答案为：78. 24．答案：（1）图见解析 （2） （3）当加工零件每增加1个，加工时间约增加 解析：（1）散点图如图. （2）利用最小二乘法确定线性回归方程为：. （3）关于加工零件的个数与加工时间可得结论： 当加工零件每增加1个，加工时间约增加. 学科网（北京）股份有限公司 $