精品解析：山东济南市2026届高三第二次模拟考试数学试题

绝密★启用并使用完毕前 济南市2026届高三第二次模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式得或 ，则或， 因为，所以. 2. 某机构用不同的人工智能系统对一幅素描作品进行评分，得到7个数据．去掉一个最高分和一个最低分后，得到的5个数据与原始数据相比一定不变的是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可求解. 【详解】根据题意，将7个数据从小到大排列，去掉一个最高分和最低分，得到5个有效评分，原始数据和有效评分相比，最中间的数没有发生改变，所以中位数不改变. 3. 已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助平面向量共线定理结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若与共线，当时，存在实数 ，使得， 整理得， 若与不共线，则且，矛盾，故与共线； 当，有，此时与共线； 故“与共线”是“与共线”的充分条件； 若与共线，则存在实数 ，使得， 则，，故与共线， 故“与共线”是“与共线”的必要条件； 综上可得：“与共线”是“与共线”的充要条件. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 5. 已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为 ，则点 到直线的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得、准线方程为，再计算出直线的方程及点 坐标，利用点到直线距离公式计算即可得. 【详解】由题意可得，则，即， 准线方程为，则 则点 到直线的距离为. 6. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用同构比较大小. 【详解】由于，所以， 设，则，所以在上单调递增， 那么，所以，， ，设，， 所以，在上单调递减，， 即, 由于，那么, ， 综上，. 【点睛】本题考查利用导数比较大小，解题关键在于利用同构式发现，进而得出，是难题. 7. 如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理及排列数公式计算求解. 【详解】由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意. 若顶点标注，则标注在中点处，此时有， 若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种， 所以不同的标注方法有种. 8. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，由余弦函数的对称性，，化简得到，代入即可求解. 【详解】由于，所以, 因为​，所以， 因为，且，则 ​由余弦函数的对称性，，且， 所以，则， 则， 因为，且， 所以 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，正确； 对B，若，则， 若，则，错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当且仅当 C. 当时， D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对函数求导分析其单调区间与极值点，再结合选项逐一判断. 【详解】已知，求导得， 令，得或， 当时， ，单调递增； 当时， ，单调递减； 当时， ，单调递增，极大值，极小值， 因式分解得：， 对于A选项：有两个极值点有两个实数根和， 且在这两点左右两侧导数异号，因此这两个点都是极值点，故A正确； 对于B选项，因为，其中， 要使，必须有且 ， 解，得，此时自然满足 ， 因此不等式解集为，故B正确； 对于C选项：当时，，当时，， 且，故两者均处于的单调递增区间， ，因为，所以，即， 又函数在上单调递增，故，故C正确； 对于D选项：取，计算得，为了使和为4， 需要，令，即， 分解得，解得 或， 若取，满足，但此时， 因此原命题不一定成立，故D错误. 11. 已知正四面体的棱长为，点平面，且，点在之间或在内．记为与（平行时两平面间的距离，则（ ） A. 该四面体外接球的表面积为 B. 的最小值为 C. 若，且，则直线与所成的角为 D. 若依次排列且两两平行，满足，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，将正四面体放入如图所示的正方体，设正方体的棱长为， 所以，所以， 该四面体外接球即为正方体的外接球，所以， 所以该四面体外接球的表面积为，故A正确； 对于B，因为，不妨设为平面，为平面， 所以，故B错误； 对于C，设直线与所成的角为，则， 因为，所以，则直线与所成的角为，故C正确； 对于D，若依次排列且两两平行，满足， 在上取点，使得，如图， 连接交于点 ，连接 交于点 ，分别过点作 ，连接， 则平面为平面，为平面，易知平面，均垂直底面， 以为坐标原点，将平面放入如图所示的平面直角坐标系， 则， 所以直线的方程为：，化简为：， 同理直线 的方程为：， 所以两直线间的距离即为， ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线 的一条渐近线被圆所截得的弦长为______． 【答案】 【解析】 【详解】令可得：， 所以双曲线 的一条渐近线可为：，即， 圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为：， 所以被圆所截得的弦长为：. 13. 已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥和圆柱的底面半径，由题意可得圆锥的高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可. 【详解】由圆锥与圆柱的底面积相等，所以圆柱和圆锥的底面半径相等，设为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，设圆锥的高为， 由圆锥与圆柱的体积相等得，，所以， 则圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积， 则. 14. 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 【答案】 【解析】 【分析】设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出. 【详解】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，， 则， 又， 则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别是，已知，． （1）证明：为等腰三角形； （2）若 边上的高为，且，求的周长． 【答案】（1）证明：因为， 由正弦定理可得， 即， 因为在中，， 所以，即， 因为在中，， 所以或（舍去）， 则， 则在中，， 即， 所以为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简条件可得，结合三角形内角关系即可证明结论；、 （2）根据可得，结合二倍角公式化简可得，从而得到，根据 边上的高为​，可得，即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知因此； 因为，代入 得：， 所以，得 因为为三角形内角，， 故：， 由于，所以 因为 边上的高为​， ， 所以，解得： 因为， 所以 因此， 所以的周长为： 16. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到， 平面 ，接着用体积公式求解即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可． 【小问1详解】 解：设的中点为，连接， 为等边三角形，边长为， ，，， 平面平面 ，平面平面， 平面，又 平面， ，， ，则， 又平面平面 ，平面平面， 平面 ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知 平面 ， ， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线斜率为，求； （2）若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义得出，即可解得实数的值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析在附近的符号变化，结合函数极大值点的定义可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，由题意可得， 由导数的几何意义可得，解得. 【小问2详解】 因为是的极大值点，，则， 令，其中，则，， ①当时，对任意的恒成立，则在上为减函数， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点； ②当时，函数在为增函数，由 可得， 由可得 ，由 可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，即当时， 若时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点； （ii）当时，即当时， 若时，；若时，. 此时函数在上单调递增，无极值点； （iii）当时，即当时， 若时，，即函数在上单调递减， 若时，，即函数在上单调递增， 此时为函数的极小值点 综上所述， ，即实数的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，焦距为2，过的直线与交于两点，为线段的中点，过的直线与交于两点． （1）求C的方程； （2）设分别为直线的斜率，已知． （ⅰ）证明：为线段的中点； （ⅱ）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，设中点， 联立，得， 则，， ，则， 即中点在直线 上， 又是直线上，则，重合， 所以为线段的中点； （ⅱ）是，定值为 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦距求椭圆方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，设中点，联立得到，再证明在直线 上即可； （ⅱ）根据题意可得，利用点得到点坐标，进而得到，再求弦长及点到直线的距离，进而求出面积即可． 【小问1详解】 解：由题意得, 解得， 所以椭圆的方程为 ； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称， ， 又，则， ，解得， ， 点到直线的距离， 故四边形的面积为定值． 【点睛】 19. 给定正整数n，数集满足对于任意 ，都存在 ，使得． （1）若，，且，求； （2）证明：对于任意 ，都有 ； （3）若， ，且，求数集中所有元素的和．（用含有 的式子表示） 【答案】（1） （2）证明：当 时，命题显然成立. 当 时，设 为 中的最大元素， 为 中的最小元素. 若 既不是最大元素，也不是最小元素，则 于是对任意 ，都有 另一方面，取 ，则 由题设，应存在 ，使得 即 这与 矛盾. 故 必为 中的最大元素或最小元素. 若 为最大元素，则对任意 ，都有 从而 若 为最小元素，同理可得 命题得证. （3）当时，中元素之和为；当 中元素之和为． 【解析】 【分析】（1）由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与 的差的绝对值. 结合已知元素逐一讨论即可. （2）先讨论 的情形. 当 时，用反证法证明 只能是集合中的最大元素或最小元素，进而得到结论. （3）分 与 两种情况讨论. 先证明相应顺序下数集中的元素构成等差数列，再求元素和. 【小问1详解】 当 时，取 ，则 故命题成立. 当 或 时，命题也显然成立. 由题意，对 ，应有 故 分别解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若 ，则 ，又已知 ，故 是 中的最小元素. 下证 成等差数列. 由 且 ，由题设知存在 ，使得 又因为 是最小元素，所以 . 由 可知 ，故只能有 ，从而 所以 成等差数列. 设对 ，都有 其中 . 则 即 由题设，存在 ，使得 由 可知 ，于是 . 又由归纳假设， 结合 ，可知只能有 所以 由数学归纳法可知，对任意 ，都有 故当 时， 中元素之和为 当 时， 为 中的最大元素. 用同样的方法可证 成等差数列. 又因为该等差数列的首项为 ，末项为 ，项数为 ，故当 时， 中元素之和为 综上，当 时， 中元素之和为 ；当 时， 中元素之和为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用并使用完毕前 济南市2026届高三第二次模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，若且，则（ ） A. B. C. D. 2. 某机构用不同的人工智能系统对一幅素描作品进行评分，得到7个数据．去掉一个最高分和一个最低分后，得到的5个数据与原始数据相比一定不变的是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 3. 已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 8. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当且仅当 C. 当 时， D. 若，则 11. 已知正四面体的棱长为，点平面，且，点在之间或在内．记为与（平行时两平面间的距离，则（ ） A. 该四面体外接球的表面积为 B. 的最小值为 C. 若，且，则直线与所成的角为 D. 若依次排列且两两平行，满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线 的一条渐近线被圆所截得的弦长为______． 13. 已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为______． 14. 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记 的内角的对边分别是，已知，． （1）证明： 为等腰三角形； （2）若边上的高为，且，求 的周长． 16. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线斜率为，求； （2）若是的极大值点，求的取值范围． 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，焦距为2，过的直线与交于两点，为线段的中点，过的直线与交于两点． （1）求C的方程； （2）设分别为直线的斜率，已知． （ⅰ）证明：为线段的中点； （ⅱ）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 给定正整数n，数集满足对于任意 ，都存在 ，使得． （1）若，，且，求； （2）证明：对于任意 ，都有 ； （3）若， ，且，求数集 中所有元素的和．（用含有 的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $