第7章 复数讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 必修第七章复数 ?知识梳理 知识点1：复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a十bi(a,b∈R)的数叫复数，其中a,b分别是它的和若b=0,则a十bi为实数；若b≠0， 则a十bi为虚数；若 ,则a+bi为纯虚数， (2)复数相等：a十bi=c十1= (a,b,c,d∈R). (3)共轭复数：a十bi与c十d共轭⊙ (a,b,c,d∈R). 知识点2：复数的几何意义 (I)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b(a,b∈R). (2)复数z=a十bi(a,b∈R)台平面向量. (3)复数的模： 向量的模r叫做复数z=a十bi(a,b∈R)的模，记作z或a十bi,即 知识点3：复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设=a+bi,2=c十d(a,b,c,d∈R),则 ①加法：1+22=(a+bi1+(c十d)= ②减法：1一2=(a十bi)-(c十)= ③乘法：12=(a十bi)(c十d)= ④除法：z1z2=a+bic+di=a+bic-di c+di c-di (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1，，3∈C,有1十2=十，(a1十2)十3=十（②2十）. 第1页共5页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点突破 考点一复数的有关概念 【例1-1】设m∈R,则“m=2”是“复数z=m2-4+(m-1)i为纯虚数的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 【例1-2】（多选题）关于复数z=-3+4i说法正确的是(） A.=5 B.z=3-4i C.z的实部-3 D.z的虚部4 考点二复数的几何意义 【例2】已知复数z满足iz=-1+2i,则复数z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点三复数的四则运算 【例31】z=1+2i 1+23 =() B. D 第2页共5页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【例3-2】（多选题)已知复数：=6+81 则() 1-3i A.z的虚部为一5 13 B.|z=10 C.z-2i为实数 D.:号为地数 【例3-3】计算： (1)(-3-41)+(2+i)-(1-51） (2)(5+√2i)(-V5+√2i) 4 【例34】已知z=a+bi(a,beR,z+2i和子均为实数，其中i是虚数单位 (1)求复数z: @老计m十方应的点第四象限，求实数m的取值范 第3页共5页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ ?课后巩固 1.已知复数z满足(3-4)z=1,则z在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ②是虚数单位，则2吉的共轭复数是() B. 11 22 C.1-i D.1+i 3.棣莫弗公式(cosx+i.sinx)”=cos(nx)+isin(nx)(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754) 2 发现的，根据棣莫弗公式可知，复数cos工+isin 在复平面内所对应的点位于() 3 3 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(多选题)下列说法正确的是() A..zEC 第4页共5页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ B.i2024=-1 C.若z=1,zeC,则z-2的最小值为1 D.若-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,9∈R)的根，则p=8 5.(多选题)下列命题为真命题的是() A.复数2-2i对应的点在第二象限 B.若i为虚数单位，则2023=-i C.在复数集C中，方程x2+x+1=0的两个解分别为-1+5；和-！-3 22 22 D.复平面内满足条件z+≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆 6.已知复数z=(1+im2-3im+2i-1,m为实数. (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z>2,求m的值； (3)若m=0,求已的值， 第5页共5页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 必修 第七章 复 数 知识点1：复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的___和___.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若_________，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__________________(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔______________(a，b，c，d∈R)． 知识点2：复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 ． (3)复数的模： 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即________________________． 知识点3：复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___________________； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝___________________； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝___________________； ④除法：＝＝＝__________________________． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 考点一 复数的有关概念 【例1-1】设，则“”是“复数为纯虚数”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】复数为纯虚数，则，解得：， 所以“”是“复数为纯虚数”的充分而不必要条件.故选：A. 【例1-2】（多选题）关于复数说法正确的是（       ） A． B．i C．的实部 D．的虚部 【答案】ACD【详解】对选项A，，故A正确；对选项B，i，故B错误； 对选项C，的实部，故C正确；对选项D，的虚部，故D正确.故选：ACD 考点二 复数的几何意义 【例2】已知复数z满足，则复数在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D 考点三 复数的四则运算 【例3-1】（       ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意得.故选：A. 【例3-2】（多选题）已知复数则（    ） A．的虚部为 B． C．为实数 D．为纯虚数 【答案】ABD 【例3-3】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【例3-4】已知和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数z； (2)若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】广东省东莞市东莞中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 【分析】（1）计算出，，根据两者均为实数列出方程组，求出，得到答案； （2）化简得到，从而根据所在象限得到不等式组，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）， ， ， 由题意，，可得，则 （2）， 由题意，，解得或. 实数的取值范围是. 1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 2. i是虚数单位，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【来源】内蒙古赤峰市2024届高三下学期3�20模拟考试理科数学试题 【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 4.下列说法正确的是（    ） A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【来源】广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故，由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确；对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确，故选：ACD 5.（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．复数对应的点在第二象限 B．若为虚数单位，则 C．在复数集中，方程的两个解分别为和 D．复平面内满足条件的复数z所对应的点Z的集合是以点为圆心，2为半径的圆 【答案】BC 【来源】广东省广州市第八十九中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 【分析】根据复数的定义可判断A；根据的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的几何意义可判断D.【详解】对于A，复数对应的点为，在第四象限，故A错误； 对于B，，故B正确；对于C，， 所以在复数集中，方程有两个解，分别为和，故C正确； 对于D，复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，故D错误.故选：BC 6.已知复数，m为实数． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值； (3)若﹐求的值． 【答案】(1)；(2)2；(3). 【来源】广东省广州市白云艺术中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题 【详解】（1）由，得，由z是纯虚数，得，解得，所以m的值是. （2）由，得，解得，所以m的值为2. （3）当时，，则， 所以. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $