期末复习讲义03：复数【10个题型】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义03：复数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的概念与分类】 【练方法】 方法技巧 1标准形式，区分实部、虚部，虚部不含 2分类判定先看虚部：为实数；为虚数；为纯虚数 3纯虚数双重条件：实部且虚部，极易遗漏 4两个复数相等：实部与实部相等、虚部与虚部分别相等，列方程组求参数 5复数不能比较大小，只有实数可直接比大小 公式结论 1复数标准形式： （实部），（虚部） 2分类判定 实数： 虚数： 纯虚数： 3复数相等充要条件 4虚数单位基础： （25-26高一下·河北唐山·阶段检测）若复数，则的虚部为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于， 故，，即的虚部为. （25-26高一下·江西新余·阶段检测）复数的虚部为______．经典例题2例题 【答案】 【详解】因为，所以的虚部为. （25-26高一下·上海·期中）已知，其中为虚数单位，则 ______.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据复数相等得到的值，从而求出的值. 【详解】已知，其中，则，， 因此. （25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. （25-26高一下·江苏·期中）若复数是纯虚数，则实数m的值为______．小试牛刀3 【答案】0 【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可. 【详解】根据纯虚数的定义：对于复数，当且仅当且时，该复数为纯虚数， 因为复数为纯虚数，m为实数， 所以，即，解得. 【题型2：复数的四则运算】 【练方法】 方法技巧 1加减运算：实部、虚部分别合并，同类项对齐计算 2乘法运算：多项式展开，再将替换为化简 3除法运算：分子分母同乘分母的共轭复数，分母实数化后拆分实虚部 4混合运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内 5高次乘方先化简低次的周期，再代入求值 公式结论 设 1加法： 2减法： 3乘法： 4除法： 5的周期性：，周期为4 （25-26高一下·江苏南京·期末）若复数满足，则（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设（），则，代入已知等式求出；再计算，最后求乘积. 【详解】设，，则. 代入得. 根据复数相等，得，解得，.，故. （2026·江西·二模）设，则z的共轭复数的虚部是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则，所以的虚部为 （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．的虚部为 D．为纯虚数 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 所以，，的虚部为，为纯虚数． （25-26高二上·贵州遵义·期末）已知复数满足，则的虚部是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，∴， 即， ∴，即的虚部是. （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）（多选）已知复数，，则（   ）小试牛刀3 A． B．在复平面内对应的点在第四象限 C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：因为，所以，A错误； 选项B：因为，所以对应的点的坐标为在第四象限，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，D正确. 【题型3：复数对应的象限】 【练方法】 方法技巧 1先化为标准，对应复平面点，横轴实轴、纵轴虚轴 2根据坐标正负判断象限： 第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 3点在虚轴，点在实轴，坐标轴上的点不属于任何象限 4四则运算后先化简出实、虚部，再判断坐标符号 公式结论 1复数复平面点 2象限判定规则 Ⅰ象限： Ⅱ象限： Ⅲ象限： Ⅳ象限： 3坐标轴判定 实轴上：；虚轴上：；原点： （25-26高二下·湖南长沙·期中）设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为，在复平面上对应的点为，位于第一象限，故A正确. （25-26高一下·广西河池·期中）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？经典例题2例题 (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出复数对应的点的坐标，由该点位于第二象限，列出不等式组，解得的范围． （2）写出复数对应的点的坐标，由该点位于第四象限，列出不等式组，解得m的范围． 【详解】（1）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第二象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第二象限． （2）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第四象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第四象限． （25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知复数．小试牛刀1 (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用纯虚数的定义求解a的值； （2）利用复数的几何意义表示z＋2i对应的点，再求出a的取值范围. 【详解】（1）由已知得：，解得：； （2）复数在复平面内对应的点的坐标为 ， 则，解得：． （2026·安徽淮南·二模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（   ）小试牛刀2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先对复数进行化简，将分母实数化，得到复数的代数形式，再根据实部和虚部的正负确定对应点所在象限即可. 【详解】因为， 所以复数 在复平面内对应的点为 ， 因为点 的横坐标为正、纵坐标为负，因此位于第四象限. （2026·广东汕头·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ）小试牛刀3 A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 在复平面内对应的点为, 即复数对应的点位于虚轴. 【题型4：求复数的模长】 【练方法】 方法技巧 1标准式直接套模长公式，平方求和再开根号 2运算型复数：利用模的运算性质，不用展开化简复数，简化计算 3乘积、商的模分开计算，高次幂模等于模的幂 4共轭复数模相等，可借助共轭简化模长计算 公式结论 1模长基础公式： 2模运算性质 3重要恒等式： （25-26高二下·广东广州·期末）复数z满足，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，代入题干所给的等式求解，根据模长公式计算模长，代入即可求解． 【详解】设，则，则， 则，解得； 故，； 故． （2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（   ）经典例题2例题 A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】将复数对应的点绕原点逆时针旋转，对应复数变为； 再关于实轴对称，对应复数变为， 所得点对应复数为， 旋转与关于实轴对称均不改变复数的模长， 所以． （2026·北京丰台·三模）设，其中x，y是实数，则（ ）小试牛刀1 A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据复数相等的充要条件求出实数x，y的值，再代入复数模的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为x，y是实数，所以，所以， 所以. （25-26高一下·天津蓟州·期中）若复数，则＝________________ ．小试牛刀2 【答案】 【详解】复数，所以 （2026·云南·模拟预测）（    ）小试牛刀3 A． B．10 C． D．2 【答案】C 【详解】. 【题型5：由复数的模长求参数】 【练方法】 方法技巧 1先将含参复数整理为，分离实部、虚部（含参数） 2代入模长公式列方程 3两边平方去掉根号，解实数方程得到参数，检验分母不为0、虚数限制 4多参数时分式、根式额外增加定义域约束 公式结论 1设，已知 列方程：，平方得 2辅助恒等式：，可用于快速构造参数方程 （2026·湖北·模拟预测）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______．经典例题1例题 【答案】或 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再由模的结果计算即得. 【详解】由题可设， 则. 因为，所以，所以. 所以或. （24-25高二下·上海静安·阶段检测）若，则______．经典例题2例题 【答案】 【分析】通过设将两个复数的问题转化为单个复数的问题，再利用复数模的性质列方程求解可得. 【详解】设，因为，所以. 又因为，所以，即. 设，由得：记作①， 再由得：记作②， ②①相减得，即，解得. 再将代入①得，，解得. 因此. （23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则______．小试牛刀1 【答案】 【分析】令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. （22-23高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设，已知，则___________.小试牛刀2 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义转化为向量间的运算，即可得解. 【详解】设复数在复平面内对应的向量分别为， 由题意可得，， 所以，所以， 所以，故. 故答案为：4. （24-25高一下·福建泉州·阶段检测）已知复数，满足，，则的值为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】设，，根据已知条件和复数模的概念即可计算﹒ 【详解】设，，则， ，则， 即，即， ∴， ∵， ∴ ﹒ 故答案为：﹒ 【题型6：复数对应的轨迹问题】 【练方法】 方法技巧 1设动点复数，代入模/等式条件转化为的实数方程 2：定点、半径的圆；：两点垂直平分线 3（）为椭圆；为双曲线 4线性约束，消去复数，只保留解析几何方程判断轨迹类型 公式结论 设 1圆： 2垂直平分线：，到两点距离相等 （25-26高二下·上海·期中）已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求最大值． 【详解】， 设，则，整理得， 所以复数对应的点在复平面上是以为圆心，半径的圆及内部， 的最大值为， 所以的最大值为． （25-26高一下·江西·阶段检测）若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 所以，解得， 所以 ． （2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知复数满足，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为复数满足，则z对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 表示的几何意义为圆上点到原点的距离，到原点的距离为， 则，即的取值范围为. （2026·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】 由可知在复平面内所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 在复平面内所对应的点为，又，所以点在圆外， 所以的最小值为. （25-26高一下·江苏南通·期中）若复数满足，则的取值范围是______________．小试牛刀3 【答案】 【详解】设，由，可得， 所以，所以复数在复平面内对应的点为以为圆心，2为半径的圆上的点， 又， 所以的取值范围是. 【题型7：复数的乘方运算】 【练方法】 方法技巧 1纯虚数乘方：利用周期4化简指数， 2代数形式乘方：二项式展开，替换逐步化简 3三角形式高次乘方：优先棣莫弗定理，大幅简化高次幂计算 4乘积乘方可分开求幂： 公式结论 1周期幂： 2幂运算性质：， 3棣莫弗定理（三角式）： （25-26高一下·陕西咸阳·期中）（    ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 （25-26高一下·江苏镇江·期末）（多选）已知复数满足，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】因式分解求解判断A；利用实系数一元二次方程韦达定理判断B；变形判断C；利用等式性质推理判断D. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则方程的两个虚根互为共轭复数，因此，B正确； 对于C，由，得，因此，C错误； 对于D，由，得，因此， 则，D正确. （25-26高一下·贵州·期中）计算__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】由复数的运算法则逐步化简，即可得解． 【详解】 ． （25-26高一下·山东聊城·期中）已知复数满足，且.小试牛刀2 (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； (2)在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； (3)在（1）问条件下，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用复数的运算，即可求解； （2）根据条件，利用复数的运算得，即可求解； （3）根据条件，利用复数的运算及虚数单位的运算性质，即可求解. 【详解】（1）设， ，即， 由，得，则， 又，则，解得， 又复数在复平面内对应的点在第二象限，， 所以. （2）由（1）知， 所以， 因为复数在复平面内对应点在第三象限，所以，解得. （3）由（1）知， . （25-26高一下·山东枣庄·期中）已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，.小试牛刀3 (1)求m的值； (2)求的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1） 应用纯虚数定义列式计算求解； （2）应用复数的乘方总结特征计算求解. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 则， 即， 所以或且，， 解得，所以m的值为3. （2）由（1）知，又，，，， 则（）， 所以 【题型8：复数范围内一元二次方程的根】 【练方法】 方法技巧 1实系数一元二次方程 ：两个不等实根；：两个相等实根；：一对共轭虚根 2求根公式在复数域通用：，负数开根号转化虚数 3韦达定理复数域依然成立，两根之和、两根之积不变 4已知一根求另一根：实系数方程虚根成对共轭 公式结论 实系数 1判别式 2求根公式：，时 3韦达定理： 4虚根共轭定理：若是方程根，则也是方程根 （25-26高一下·河南开封·期末）已知复数（）．经典例题1例题 (1)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (2)若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对应点所在象限列不等式，由此求得的取值范围. （2）先求得，然后根据虚根成对以及根与系数关系求得，进而求得. 【详解】（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限， 则，解得，即. （2）由于为正实数，所以，解得，所以， 而是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以，即， 所以. （25-26高一下·四川资阳·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足，其中是的共轭复数．经典例题2例题 (1)求复数的虚部； (2)若复数是关于的方程（，且p，）的一个复数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题先利用复数模的定义与点在第四象限的条件，求出的虚部为，再将代入实系数方程，通过复数相等的条件列方程组求出、，最终得到. 【详解】（1）已知，则其共轭复数. 由，得. 即，解得，. 又在复平面内对应的点在第四象限，故，得. 所以复数的虚部为. （2）由（1）知. 因为是方程的根，代入得. 计算. 代入方程得. 整理得. 因为，所以实部与虚部分别为，即. 由第二个方程得，代入第一个方程得，即. 所以. （25-26高一下·广东广州·期中）已知复数.小试牛刀1 (1)若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）复数，即复数在复平面上对应点坐标为， 对应点落在第四象限，即，解得. （2）为的共轭复数，所以， ，即，解得，即， 是关于的方程的一个根， 代入可得，化简可得， 即，解得，，所以原方程为， 利用求根公式可得， 所以该一元二次方程的另一复数根为. （25-26高一下·上海闵行·期中）已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____．小试牛刀2 【答案】或或 【分析】设出一般形式后代入方程，并通过复数为零时的特殊性分类讨论求出具体值. 【详解】设，那么，得到. 由此可知. 若，.因为，所以，解得. 又因为，所以. 若，.因为，所以或.那么或. 综上所述或. （25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知是关于的方程（）的一个根，则________．小试牛刀3 【答案】2 【详解】因为是关于的方程（）的一个根， 所以， 所以， 所以，解得. 所以. 【题型9：共轭复数】 【练方法】 方法技巧 1写共轭复数只需改变虚部符号，实部保持不变 2四则运算共轭性质：和、差、积、商的共轭等于共轭的和、差、积、商 3是高频转化式，用于分母实数化、求模、化简 4实数等价条件：；纯虚数等价条件： 公式结论 设，共轭复数 1共轭运算性质 2核心恒等式： 3等价判定 为纯虚数且 （25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知复数,其中,若与互为共轭复数,则____.经典例题1例题 【答案】 【详解】 若 与 互为共轭复数，则 ， 解得，所以 故. （河南湘豫大联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题）已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数 （   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将已知等式变形求出复数，再根据共轭复数的定义计算得到结果. 【详解】由， 可得， 的共轭复数. （25-26高一下·江西·阶段检测）已知是复数的共轭复数，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，即为， 可得，则， 所以. （2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算性质，化简得到，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得，则， 所以，所以. （23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________.小试牛刀3 【答案】1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 【题型10：复数的三角表示】 【练方法】 方法技巧 1代数转三角：，，，为辐角 2辐角主值范围，根据点所在象限确定角度 3乘除运算用三角式：模相乘除，辐角相加减 4高次幂直接使用棣莫弗定理，简化大量展开计算 公式结论 1三角标准形式： 为模，为辐角，主值 2代数转三角关系 3三角式乘除 4棣莫弗乘方定理 （25-26高一下·重庆·期中）由代数基本定理，给定，方程有个复数根，且，将称为n次单位根.经典例题1例题 (1)求三次单位根，并计算与的值. (2)欧拉公式给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求模运算，可简化运算过程．例如，. （i）证明：. （ii）证明： . 【答案】(1) (2)证明：（ⅰ）当时，， 即，所以， 所以， 因为是方程的根，所以. （ⅱ）当为偶数时，为整数，则，则原式为， 当为奇数时，由题可知，，，，是方程的根， 所以， 令，可得，所以， 两边同时取模，可得， 因为，所以， 则， 又因为， 即与首末等距离的两项余弦值互为相反数，乘积为负， 所以， 所以， 所以 . 【分析】（1）由题意知，结合复数的运算法则，即可求解； （2）证明：（ⅰ）当时，，即， 所以，所以， 因为是方程的根， 所以. （ⅱ）当为奇数时，得到，令，得到，求得，结合诱导公式，得到，再由为偶数时，求得原式为，即可得证； （2026·湖南长沙·三模）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（    ）经典例题2例题 A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 【答案】BCD 【分析】根据题意结合复数的三角表示以及几何意义依次判断即可. 【详解】对于A，已知，则复数可以表示为， 根据题意，，其中为偶数， 当时，，这是实数，不是纯虚数，故A错误； 对于B，已知，则模长，辐角满足，所以， 因此，则，故B正确； 对于C，点对应的复数为，模长，设辐角为，则， 将点绕原点逆时针旋转，相当于将复数乘以， 设旋转后的点为，对应的复数为，则， 对应的点的坐标为，故C正确； 对于D，设直线上任意一点为，对应的复数为，旋转后的点为，对应的复数为， 根据题意，是由顺时针旋转得到的，即是由逆时针旋转得到的， 因此，所以，， 将代入直线方程：，得，化简得， 因此旋转后得直线方程为，故D正确. （2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. （25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. （25-26高三上·浙江杭州·期末）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设．小试牛刀3 (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 【答案】(1) 设， 则 ，则，而， 所以； (2)（2）已知， 则， 所以 ， 因为，所以，即，解得； (3) 由棣莫弗定理公式， 得 ； ； ， 则，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义03：复数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的概念与分类】 【练方法】 方法技巧 1标准形式，区分实部、虚部，虚部不含 2分类判定先看虚部：为实数；为虚数；为纯虚数 3纯虚数双重条件：实部且虚部，极易遗漏 4两个复数相等：实部与实部相等、虚部与虚部分别相等，列方程组求参数 5复数不能比较大小，只有实数可直接比大小 公式结论 1复数标准形式： （实部），（虚部） 2分类判定 实数： 虚数： 纯虚数： 3复数相等充要条件 4虚数单位基础： （25-26高一下·河北唐山·阶段检测）若复数，则的虚部为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·江西新余·阶段检测）复数的虚部为______．经典例题2例题 （25-26高一下·上海·期中）已知，其中为虚数单位，则 ______.小试牛刀1 （25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________.小试牛刀2 （25-26高一下·江苏·期中）若复数是纯虚数，则实数m的值为______．小试牛刀3 【题型2：复数的四则运算】 【练方法】 方法技巧 1加减运算：实部、虚部分别合并，同类项对齐计算 2乘法运算：多项式展开，再将替换为化简 3除法运算：分子分母同乘分母的共轭复数，分母实数化后拆分实虚部 4混合运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内 5高次乘方先化简低次的周期，再代入求值 公式结论 设 1加法： 2减法： 3乘法： 4除法： 5的周期性：，周期为4 （25-26高一下·江苏南京·期末）若复数满足，则（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·江西·二模）设，则z的共轭复数的虚部是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．的虚部为 D．为纯虚数 （25-26高二上·贵州遵义·期末）已知复数满足，则的虚部是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）（多选）已知复数，，则（   ）小试牛刀3 A． B．在复平面内对应的点在第四象限 C． D． 【题型3：复数对应的象限】 【练方法】 方法技巧 1先化为标准，对应复平面点，横轴实轴、纵轴虚轴 2根据坐标正负判断象限： 第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 3点在虚轴，点在实轴，坐标轴上的点不属于任何象限 4四则运算后先化简出实、虚部，再判断坐标符号 公式结论 1复数复平面点 2象限判定规则 Ⅰ象限： Ⅱ象限： Ⅲ象限： Ⅳ象限： 3坐标轴判定 实轴上：；虚轴上：；原点： （25-26高二下·湖南长沙·期中）设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （25-26高一下·广西河池·期中）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？经典例题2例题 (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． （25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知复数．小试牛刀1 (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． （2026·安徽淮南·二模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（   ）小试牛刀2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2026·广东汕头·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ）小试牛刀3 A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限 【题型4：求复数的模长】 【练方法】 方法技巧 1标准式直接套模长公式，平方求和再开根号 2运算型复数：利用模的运算性质，不用展开化简复数，简化计算 3乘积、商的模分开计算，高次幂模等于模的幂 4共轭复数模相等，可借助共轭简化模长计算 公式结论 1模长基础公式： 2模运算性质 3重要恒等式： （25-26高二下·广东广州·期末）复数z满足，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（   ）经典例题2例题 A． B． C．3 D．5 （2026·北京丰台·三模）设，其中x，y是实数，则（ ）小试牛刀1 A． B． C．4 D． （25-26高一下·天津蓟州·期中）若复数，则＝________________ ．小试牛刀2 （2026·云南·模拟预测）（    ）小试牛刀3 A． B．10 C． D．2 【题型5：由复数的模长求参数】 【练方法】 方法技巧 1先将含参复数整理为，分离实部、虚部（含参数） 2代入模长公式列方程 3两边平方去掉根号，解实数方程得到参数，检验分母不为0、虚数限制 4多参数时分式、根式额外增加定义域约束 公式结论 1设，已知 列方程：，平方得 2辅助恒等式：，可用于快速构造参数方程 （2026·湖北·模拟预测）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______．经典例题1例题 （24-25高二下·上海静安·阶段检测）若，则______．经典例题2例题 （23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则______．小试牛刀1 （22-23高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设，已知，则___________.小试牛刀2 （24-25高一下·福建泉州·阶段检测）已知复数，满足，，则的值为______.小试牛刀3 【题型6：复数对应的轨迹问题】 【练方法】 方法技巧 1设动点复数，代入模/等式条件转化为的实数方程 2：定点、半径的圆；：两点垂直平分线 3（）为椭圆；为双曲线 4线性约束，消去复数，只保留解析几何方程判断轨迹类型 公式结论 设 1圆： 2垂直平分线：，到两点距离相等 （25-26高二下·上海·期中）已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______．经典例题1例题 （25-26高一下·江西·阶段检测）若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知复数满足，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A．3 B．4 C．5 D．6 （25-26高一下·江苏南通·期中）若复数满足，则的取值范围是______________．小试牛刀3 【题型7：复数的乘方运算】 【练方法】 方法技巧 1纯虚数乘方：利用周期4化简指数， 2代数形式乘方：二项式展开，替换逐步化简 3三角形式高次乘方：优先棣莫弗定理，大幅简化高次幂计算 4乘积乘方可分开求幂： 公式结论 1周期幂： 2幂运算性质：， 3棣莫弗定理（三角式）： （25-26高一下·陕西咸阳·期中）（    ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． （25-26高一下·江苏镇江·期末）（多选）已知复数满足，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·贵州·期中）计算__________．小试牛刀1 （25-26高一下·山东聊城·期中）已知复数满足，且.小试牛刀2 (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； (2)在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； (3)在（1）问条件下，求的值. （25-26高一下·山东枣庄·期中）已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，.小试牛刀3 (1)求m的值； (2)求的值. 【题型8：复数范围内一元二次方程的根】 【练方法】 方法技巧 1实系数一元二次方程 ：两个不等实根；：两个相等实根；：一对共轭虚根 2求根公式在复数域通用：，负数开根号转化虚数 3韦达定理复数域依然成立，两根之和、两根之积不变 4已知一根求另一根：实系数方程虚根成对共轭 公式结论 实系数 1判别式 2求根公式：，时 3韦达定理： 4虚根共轭定理：若是方程根，则也是方程根 （25-26高一下·河南开封·期末）已知复数（）．经典例题1例题 (1)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (2)若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值． （25-26高一下·四川资阳·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足，其中是的共轭复数．经典例题2例题 (1)求复数的虚部； (2)若复数是关于的方程（，且p，）的一个复数根，求的值． （25-26高一下·广东广州·期中）已知复数.小试牛刀1 (1)若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. （25-26高一下·上海闵行·期中）已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____．小试牛刀2 （25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知是关于的方程（）的一个根，则________．小试牛刀3 【题型9：共轭复数】 【练方法】 方法技巧 1写共轭复数只需改变虚部符号，实部保持不变 2四则运算共轭性质：和、差、积、商的共轭等于共轭的和、差、积、商 3是高频转化式，用于分母实数化、求模、化简 4实数等价条件：；纯虚数等价条件： 公式结论 设，共轭复数 1共轭运算性质 2核心恒等式： 3等价判定 为纯虚数且 （25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知复数,其中,若与互为共轭复数,则____.经典例题1例题 （河南湘豫大联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题）已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数 （   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·江西·阶段检测）已知是复数的共轭复数，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________.小试牛刀3 【题型10：复数的三角表示】 【练方法】 方法技巧 1代数转三角：，，，为辐角 2辐角主值范围，根据点所在象限确定角度 3乘除运算用三角式：模相乘除，辐角相加减 4高次幂直接使用棣莫弗定理，简化大量展开计算 公式结论 1三角标准形式： 为模，为辐角，主值 2代数转三角关系 3三角式乘除 4棣莫弗乘方定理 （25-26高一下·重庆·期中）由代数基本定理，给定，方程有个复数根，且，将称为n次单位根.经典例题1例题 (1)求三次单位根，并计算与的值. (2)欧拉公式给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求模运算，可简化运算过程．例如，. （i）证明：. （ii）证明： . （2026·湖南长沙·三模）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（    ）经典例题2例题 A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： （2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·浙江杭州·期末）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设．小试牛刀3 (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $