精品解析：广东汕头市潮阳区金培学校2025-2026学年度第二学期九年级数学第四周学情自测

2025−2026学年度第二学第四周数学试卷 前言：坚持的人不喊累，爱上数学不撤退． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列各数中负数是（　　） A. B. C. D. 2. 小猫沿着小路自东向西奔跑，它看到下面三幅图的先后顺序是（ ） A. ②③① B. ②①③ C. ①②③ D. ③①② 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 5. 如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，，点D为上一个动点，E为的中点，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点，交射线于点，连接．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若多项式因式分解的结果为，则__________． 12. 如图，，，，，，则的长是________． 13. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 14. 如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是______． 15. 如图，点，，，都在直径为4的上，若，，则阴影部分扇形的面积是______． 三、解答题（一）（本大题共3题，每题7分，共21分） 16. 化简求值：，其中． 17. 如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 18. 掷实心球是中考必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x（）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20. 为推选一名同学参加学校的演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表： 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 （1）如果按三项得分的平均数确定优胜者，__________是优胜者（填“甲”“乙”或“丙”）． （2）如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？ （3）哪一种计算方法比较合理？你认为要选哪一名学生去参加比赛？ 21. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，是的直径，是的弦，点P为延长线上一点，连接的平分线与直径交于点E，交于点D． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）探究与之间的数量关系，并说明理由． 23. 定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”．比如：，，，都是“等距点”． （1）求反比例函数图象上的“等距点”坐标； （2）A，B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； （3）二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点 ，且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为，，（），求的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学第四周数学试卷 前言：坚持的人不喊累，爱上数学不撤退． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列各数中负数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值、有理数的乘方，本题需根据相反数、绝对值、有理数乘方的运算法则分别计算各选项的值，再判断是否为负数． 【详解】解：A选项：，其中是正数，是正数，故A选项不符合题意； B选项：是负数，故B选项符合题意； C选项：，其中是正数，是正数，故C选项不符合题意； D选项：，其中是正数，故D选项不符合题意． 故选：B． 2. 小猫沿着小路自东向西奔跑，它看到下面三幅图的先后顺序是（ ） A. ②③① B. ②①③ C. ①②③ D. ③①② 【答案】C 【解析】 【分析】根据从不同方向观察物体，即可得到相应的图形． 【详解】解：在小路的相应位置标注所看到的图形的位置，如图所示： 所以自东向西的顺序为①②③． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，二次根式的加法．根据完全平方公式，同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，二次根式的加法，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、 ，故本选项错误，不符合题意； B、 ，故本选项错误，不符合题意； C、 ，故本选项错误，不符合题意； D、 ，故本选项正确，符合题意； 故选：D 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为零且判别式非负，列不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 其中， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，因此．结合可计算出，最后利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及平移，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点C的纵坐标，代入可求出点的坐标，进而可求出点C的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为. 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选： A． 7. 已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的图象和性质；根据一次函数过点得到一次函数解析式，分别讨论当时，当时的函数图象，再结合题意列出不等式，计算求解即可． 【详解】解：将点代入，得， 解得，故一次函数为． 当时，代入，， 反比例函数过第一、三象限， 当时， 一次函数，过第二、三、四象限， 不满足当时，恒成立， 当时，如图， 当时，， ∵当时，恒成立， ∴， 解得：， 故选：B． 8. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．作于，于，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出，由菱形的面积可得出答案． 【详解】解：作于，于，连接、交于点． 由题意知：，， 四边形是平行四边形， 两个矩形等宽， ， ， ， 平行四边形是菱形， ，，， 点，之间的距离为，点，之间的距离为， ，， ， ， ， ． 这两张纸条的宽为， 故选：D． 9. 如图，为的直径，，点D为上一个动点，E为的中点，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，作出的中点F，连接、、、，先得出点是在以点为圆心，2为半径的圆上，所以当点在线段上时，有最小值，再据此求解即可． 【详解】解：如图，作出的中点F，连接、、、， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点F是的中点，E为的中点， ∴，， ∴点是在以点为圆心，2为半径的圆上， ∴当点在线段上时，有最小值， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴, ∴, ∴的最小值为． 故选：C． 10. 如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点，交射线于点，连接．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的作法和性质，相似三角形的性质与判定等，利用矩形和角平分线的定义可得，即得，得到，进而由得，再根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若多项式因式分解的结果为，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是整式乘法的逆运算是关键． 通过比较因式分解后的形式与原始多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴ ∴ 得方程组： 解得： ． 故答案为：． 12. 如图，，，，，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查了相似三角形的性质和判定，（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似；（2）两角分别相等的两个三角形相似；（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（4）三边成比例的两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，即可完成计算． 【详解】解：，，，， ∴，， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 13. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 14. 如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和锐角三角函数的知识；通过菱形对角线的性质得出的长度，再通过的正弦值得出菱形边长，勾股定理求得，进而可得的长，再根据菱形的面积即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，与交于点， 与互相垂直平分， ， ， ， ． 菱形的面积为 故答案为：． 15. 如图，点，，，都在直径为4的上，若，，则阴影部分扇形的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，垂径定理，圆周角定理，利用数形结合是解题的关键． 根据垂径定理得到，再由圆周角定理得到，从而求出扇形的面积得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵的直径为4 ， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3题，每题7分，共21分） 16. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法. 由已知条件  得出 ，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：由题意得，分母  且 ， 解得  且 . 解方程  得  或 ，均满足分式有意义的条件， ∵， ∴， ∴， 原式 将代入得，原式． 17. 如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：连接． 是的两条切线， ，， ． ，四边形的内角和为， 在四边形中，． ， ， ． 18. 掷实心球是中考必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x（）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2） 当时x的值． 令，则 解得，（舍去）． 因为，所以该女生在此项考试中不得满分． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及的知识点有二次函数的顶点式、利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程的关系．解题用到了函数建模思想（将实心球行进路线抽象为二次函数模型）、方程思想（求函数解析式和落地点水平距离时列方程求解）．解题关键是根据已知条件准确设出二次函数的顶点式，易错点是在求解落地点水平距离时，忽略舍去不符合实际意义的负根． （1）已知抛物线的顶点坐标为，所以设顶点式，再将起点代入顶点式，通过解方程求出a的值，进而得到函数表达式． （2）要判断是否得满分，需求出实心球落地点的水平距离，即令函数表达式中的，解一元二次方程，得到正的x值后与比较大小． 【小问1详解】 已知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的顶点式为． ∵掷出时起点处高度为，即当时，， 解得． 所以y关于x的函数表达式为． ． 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】 解：命题1、命题2、命题3都是真命题，具体证明如下： 命题1： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 命题2：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 命题3：连接， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 【解析】 【分析】此题考查真命题，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】略 20. 为推选一名同学参加学校的演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表： 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 （1）如果按三项得分的平均数确定优胜者，__________是优胜者（填“甲”“乙”或“丙”）． （2）如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？ （3）哪一种计算方法比较合理？你认为要选哪一名学生去参加比赛？ 【答案】（1）丙 （2）乙 （3）第（2）问的计算方法比较合理；乙 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，算术平均数的求法，根据某方面的需要选拔时往往利用加权平均数更合适是解题的关键． （1）先根据三项得分计算各人的平均分，再比较即可； （2）按照权重为，，的比例计算各人的测试成绩，再进行比较； （3）根据某方面的需要选拔时往往利用加权平均数更合适进行解答即可． 【小问1详解】 解：丙． （分）， （分）， （分）． ， 丙为优胜者． 【小问2详解】 解：甲的平均成绩为（分）， 乙的平均成绩为（分）， 丙的平均成绩为（分）． 丙的平均成绩＜甲的平均成绩＜乙的平均成绩， 乙为优胜者． 【小问3详解】 解：加权平均数能够体现权重的重要性，有利于人才的选拔， 所以第（2）问的计算方法比较合理，我认为要选乙去参加比赛． 21. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 【答案】（1）； （2） ；， 理由：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； 的长为． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形． （）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （）延长至点，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； 过作于，根据三线合一性质可求出，由可得，在中，根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故的长为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，是的直径，是的弦，点P为延长线上一点，连接的平分线与直径交于点E，交于点D． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 为圆的半径， 是的切线； （2） 证明：的平分线交于点， ， ，， 又∵， ， ∴； （3） 解：，理由如下： 连接，过点作于，作于， ， 平分，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ∴， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，从而得出，进而得出，即，即可得证； （2）由角平分线的定义可得，从而推出即可得证； （3）连接，过点作于，作于，证明，再证明四边形是正方形，可得，从而即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆的综合应用，考查了三角形全等的判定与性质、解直角三角形、角平分线的性质、圆周角定理、切线的判定、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 23. 定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”．比如：，，，都是“等距点”． （1）求反比例函数图象上的“等距点”坐标； （2）A，B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； （3）二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点 ，且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为，，（），求的值或取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）当，且时，． 【解析】 【分析】（1）设“等距点”的坐标为，根据反比例函数解析式得出，求出或（舍去），即可得出答案； （2）设，，根据函数解析式得出，，求出，，求出直线与轴交点的坐标为，根据，求出的值即可得出答案； （3）根据二次函数（为常数，）的图象经过点，求出，，根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，分两种情况：方程①有两个不相等的实数根、方程②有两个相等的实数根；方程①与方程②均有两个相等的实数根，或当方程①有两个不相等的实数根、方程②有两个相等的实数根时，或当方程①有两个相等的实数根、方程②有两个不相等的实数根时（不符合题意舍去），再比较大小得出，代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数． 图象在第一象限， ∴设“等距点”的坐标为， ∴， 解得或（负值，舍去）， ∴反比例函数图象上的“等距点”坐标为； 【小问2详解】 解：设，， 则，， 解得，， ∴，， 把代入得， 解得， ∴直线与轴交点的坐标为， ，即， 解得， ∴一次函数解析式为或； 【小问3详解】 解：∵二次函数（为常数，）的图象经过点， ∴，即， ∵， ∴，， ∴，解得， 由，且可得， ∴二次函数解析式为， 当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，①， 整理得，则， 当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，②， 整理得，则， ∵， ∴， 如图，当，时，方程①有两个不相等的实数根，方程②有两个相等实数根，且①②有一个相等的根，此时不符合题意， 如图，当方程①有两个不相等的实数根、方程②有两个不相等的实数根时，且两个方程有一个相等根； ∴， 当时， ∴，，， ∴， 当时，如图， ∴，，， ∴， ∴， 此时：， 如图，当方程①有两个不相等的实数根、方程②有两个相等的实数根时，或当方程①有两个相等的实数根、方程②有两个不相等的实数根时（不符合题意舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴方程的解为或；方程的解为， 当时， ，，， 则 ， ∵， ∴，则， ∴， ∴当时，； 当时，而， ∴，，， 则 ， ∴当时，； 此时，当，且时，； 综上所述，当，且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $