解析几何：定值问题、最值与范围问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

解析几何：定值问题、最值与范围问题专项训练 解析几何：定值问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 定值问题 最值与范围问题 考点一 定值问题 例1．（2026·广东汕头·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为． (1)求的方程． (2)过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值． 例2．（2026·福建厦门·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． (1)求的方程； (2)点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 例3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 变式1．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 变式2．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的短半轴长为2，以椭圆长轴和短轴四个端点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的标准方程． (2)若斜率为，且经过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 考点二 最值与范围问题 例1．（2026·湖南·二模）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 例2．（25-26高三下·浙江嘉兴·月考）已知椭圆：过点，短轴长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)已知点且，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求实数的值； (3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线：与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 例3．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 变式1．（2026·河北·模拟预测）双曲线的一个焦点坐标为，上、下顶点分别为A，B．已知M是双曲线C上的动点，满足两直线MA，MB的斜率之积为定值． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A是双曲线C上与点的距离最小的点，求m的取值范围． 变式2．（25-26高三下·江西抚州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点为椭圆上的动点，椭圆的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：以为直径的圆和以椭圆的长轴为直径的圆内切； (3)为椭圆的左，右顶点，点，当不与重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点，求的最大值. 变式3．（2026·浙江金华·二模）设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解析几何：定值问题、最值与范围问题专项训练 解析几何：定值问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 定值问题 最值与范围问题 考点一 定值问题 例1．（2026·广东汕头·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为． (1)求的方程． (2)过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆的定义及直角三角形的性质，列出关于的方程组，求解可得； （2）设直线的方程为，设，直线的方程与椭圆方程联立，得；与直线联立，得点的坐标；根据向量的坐标运算，得，化简可得为定值． 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则， 解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题可知，，直线的斜率存在. 设直线的方程为，， 由，得， 所以. 由，得. 由，， 得， 所以，即， 所以 ， 即为定值，定值为. 例2．（2026·福建厦门·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． (1)求的方程； (2)点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii）存在点，使得为定值. 【分析】（1）由条件得到在椭圆上，代入椭圆方程，结合即可求解； （2）（i）分别设，，，，通过联立椭圆方程，得到坐标，确定方程，进而得到坐标，即可求证，（ii）设，通过，得到恒成立，进而可求解. 【详解】（1）依题意， 所以， 由直线交于，两点，， 可知点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆方程为； （2） （i）设，， 设直线，， 由可得： ， 解得， 同理联立和椭圆方程，可得， 所以直线的斜率为， 所以直线， 同理可得的斜率为， 所以直线， 由可得，又， 所以； （ii）假设存在点，使得为定值， 即， 所以恒成立， 则，解得， 所以存在点，使得为定值. 例3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为，得，结合双曲线过定点，联立求解得到双曲线的标准方程； （2）（ⅰ）设过定点的直线方程，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到两点纵坐标的和与积的关系式；根据斜率公式，得到，，从而计算出的值； （ⅱ）分别设过定点的直线，方程，分别与双曲线方程联立求出点与点，点与点的横、纵坐标之间的关系式，根据,,三点共线，则求出定点。 【详解】（1）双曲线过点，渐近线方程为， ，解得； 的标准方程为. （2）（ⅰ），的左顶点； 直线过点，设直线方程为，，； ，联立方程得， ， 则，； 直线与的左支交于，两点，，； 即，解得； 综上所述，的值为. （ⅱ）直线过点，设直线的方程为，，，则； ，联立方程得， 则，得； ； 同理可求得，； ①当直线斜率存在时，如图所示： ,,三点共线，，即， 则，化简得; 令，即，即直线过定点; ②当直线斜率不存在时，如图所示： 此时，则，解得，； 直线的方程为，也过定点； 直线恒过定点. 变式1．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由点差法和斜率的关系可得椭圆的基本量，进而可得椭圆方程； （2）根据三角形为直角三角形进行分三类情况讨论，若时结合根与系数关系可得斜率值；若或时，分别可得或的坐标，进而可得斜率值； （3）分别用直线的斜率为表示出点的横坐标，进而可证明定值. 【详解】（1）设，则，两式相减，得，即. 因为为的中点，所以， 所以直线的斜率为，所以， 所以，即. 因为椭圆的焦距为，所以，又因为， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为.设，如图： 将代入方程，消得， ，解得. 则. 若时，有，即，, 即， 所以，化简整理得，解得，符合； 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 综上，或. （3）由直线的方程，知. 因为点为点关于轴的对称点，所以，所以直线的方程为， 令，得点的横坐标为，因为， 所以， 所以为定值. 变式2．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率及短轴长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程； （2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得. 【详解】（1）因为离心率为，椭圆的短轴长为， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知点，，设（，）， 则，即①， 则直线的方程为，令，得，所以， 直线的方程为，令，得，所以， 所以， ， 所以四边形的面积为：又因为，所以 ， 所以四边形ABCD的面积为定值． 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的短半轴长为2，以椭圆长轴和短轴四个端点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的标准方程． (2)若斜率为，且经过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，定值为12 【分析】（1）根据短半轴的长度、四边形的面积确定，的值，求出椭圆的标准方程． （2）联立直线和椭圆方程，用表示出，，利用两点间的距离公式表示出，化简即可判断是否为定值. 【详解】（1）由题意得 解得 故椭圆的标准方程为． （2）设，，， 由题意得，直线的方程为， 由 消去得， 由， 解得， ． 又，， 所以 ， 所以是定值，且该定值为12． 考点二 最值与范围问题 例1．（2026·湖南·二模）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据距离公式以及题干条件化简得出点的轨迹方程； （2）（i）求出点、的坐标，直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，点，利用角平分线定理得出，结合两点间的距离公式解出的值，即可证得结论成立； （ii）先证明、、三点共线，可得出，根据点在第二象限求出的取值范围，再利用二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 由此得，平方化简得，即． （2）（i）令，代入，得，解得，故、， 设直线的方程为，与曲线的方程联立得： ，则， 所以，解得， 故，故， 设点，则， 由题意得，， 因为平分，由角平分线定理得，即， 化简得，即，解得， 所以点在定直线上． （ii）连接并延长交双曲线于点，下证点与点重合， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 将直线与曲线的方程联立得：， 所以，， 故，则， 由（i）得，则，故、、三点共线． 又因为、、三点共线，即与点重合，所以， 因为点在第二象限，则，解得， 所以． 例2．（25-26高三下·浙江嘉兴·月考）已知椭圆：过点，短轴长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)已知点且，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求实数的值； (3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线：与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件列式求出即可. （2）设椭圆上任一点为，利用两点间距离公式列式，再结合椭圆范围及二次函数性质求出最小值即可. （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出点的轨迹，借助对称性即可求解的最小值. 【详解】（1）由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆过点，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）设椭圆上任一点为，则，即，， 则点到的距离为 ， 由，得，函数在上单调递减， 则当时，，解得， 所以. （3）由（1）得， 设点， 由，得， 由，解得， 于是，， 由在椭圆上，得， 即，则， 直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得 ，解得，因此在定直线上， 由图知，点都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 则，， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时取等号， 所以的最小值为. 例3．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，再将点的坐标代入双曲线的方程，可求出的值，进而可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点、，易知点、关于原点对称，则，利用点差法可求得的值； （3）设点、，则、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，可得出，求出的方程，由此可得出点的坐标，并求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，结合韦达定理可得出的值，结合可得出的取值范围，在利用弦长公式以及双曲线的定义可求得周长的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，则，则双曲线的方程可化为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知，双曲线的方程为，即， 设点、，易知点、关于原点对称，则， 因为，所以，故， 所以. （3）因为，所以双曲线的方程为，即， 易知点、、， 设点、，则、， 联立得， 则，可得， 由韦达定理可得，，故①， 直线的方程为，在该直线方程中令可得点， 直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得， 即②， 由①得，代入②式得， 故，解得， 所以，可得， 所以 ， 因为，故直线恒过右焦点， 由双曲线的定义可得，， 故的周长为， 即周长的取值范围是. 变式1．（2026·河北·模拟预测）双曲线的一个焦点坐标为，上、下顶点分别为A，B．已知M是双曲线C上的动点，满足两直线MA，MB的斜率之积为定值． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A是双曲线C上与点的距离最小的点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据焦点坐标得出，再应用斜率公式求出，联立求解即可得出双曲线的方程； （2）设动点坐标为，再应用两点间距离公式结合二次函数性质及的范围列式计算求解. 【详解】（1）由双曲线的一个焦点坐标为，可知， 因为，，设，则， 又，即， 所以， 即双曲线的标准方程为； （2）设动点坐标为在双曲线上，即，且或， ，且或， 的对称轴为， 因为A是双曲线C上与点的距离最小的点， 即当时，取得的最小值， 所以需满足； 所以， 即得m的取值范围为：． 变式2．（25-26高三下·江西抚州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点为椭圆上的动点，椭圆的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：以为直径的圆和以椭圆的长轴为直径的圆内切； (3)为椭圆的左，右顶点，点，当不与重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据离心率公式、三角形面积最大值及椭圆基本关系，联立方程组求； （2）根据椭圆定义及三角形中位线定理确定两圆圆心距等于半径差，进而得出两圆内切； （3）设直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，求交点的轨迹，再通过斜率表示，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由已知得，，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）设的中点为，因为是椭圆上的点， 所以，所以， 因为是的中点，所以， 又以长轴为直径的圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的圆心为，半径为； 所以，所以两圆相内切； 即以为直径的圆和以长轴为直径的圆内切. （3）由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消整理得， ， 设、，则，. 因为的方程为，的方程为 两直线方程联立得， 因为， 所以， 解得，所以动点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性不妨设，直线、的倾斜角为，， 由图可知，且， 因为，则， 因为，， 所以， 当且仅当时等号成立， 此时，，所以的最大值为. 变式3．（2026·浙江金华·二模）设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得的关系式，进而可求得椭圆C的标准方程； （2）设直线l的方程为，点，，联立方程组，利用根与系数的关系求得点Q的坐标，进而求得直线的方程，进而求得点的坐标，可求得的取值范围． 【详解】（1）由题意可得，， 将代入中，可得, 依题意，点在第一象限，故得， 由，，得， 解得，，所以， 所以椭圆标准方程为． （2）设直线l的方程为，点，． 联立，得， 由解得 且，， 所以，从而， 解得，， 所以， 令，则， 综上，的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $