8.6.3 平面与平面垂直（一）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人： 日期： 8.6.3 平面与平面垂直（一） 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握平面与平面垂直的判定定理. 数学抽象 2.理解二面角、二面角的平面角的定义，会解决求简单的面面角问题. 直观想象 复习回顾 线线垂直 线面垂直 面面垂直 问题1：之前，我们是按照什么顺序研究线线垂直、线面垂直的？ 定义——判定——性质 问题2：那么我们之前有没有研究垂直的经验？ 角 直线与直线所成的角 直线与直线垂直 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度. 虚掩的门是指门和墙面什么关系？ 探索新知 问题1 自学教材P155中二面角的一些相关概念．类比角的概念的同时完成表格的填写． 探究： 二面角 半平面-直线（棱）-半平面； 从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形 探索新知 思考：如图, 在日常生活中, 我们常说 "把门开大一些"，是指哪个角大一些? A O B 思考：如何刻画二面角的大小呢？ 二面角 二面角的平面角 平面内两条直线所成角来度量. 探索新知 主要特征： 1.点在棱上；2.线在面内；3.线与棱垂直；4.范围：[0，π]. 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 探索新知 探索新知 关键：作二面角的关键是“垂线”,即从一个半平面上一点作另一个半平面的垂线,或者先证明已有的直线与另一个半平面垂直,再作平面角. 步骤：“一作二证三求” 提醒：找二面角的平面角可以从与二面角的棱垂直的边入手 二面角的求法 探索新知 探索新知 观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数． 三个二面角．教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上． 探索新知 问题　如何画两个相互垂直的平面？平面α与平面β垂直，记作什么？ 两个互相垂直的平面通常画成下图中的两种样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．平面α与平面β垂直， 记作：α⊥β. 探索新知 观察：如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？ 这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直． 探索新知 问题 若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一方法？ 可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可． 问题　判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其它的判定定理吗？ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”． 面面垂直的判定定理 问题　如何用符号语言表达面面垂直的判定定理？   m 探索新知 探索新知 探索新知 1.关键： 在利用线面垂直证明面面垂直时,关键是确定“线”,即在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直.一方面要分析图形中已有的垂直关系,另一方面要注意积累常见的线面垂直关系模型,能够直观进行判断选择. 2.步骤： 面面垂直证明的步骤与关键 课堂小结 1.二面角的概念 2.二面角平面角的概念 3.平面垂直的概念 4.两平面垂直的判定定理 课堂检测 D 课堂检测 B 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课后作业 课本第156页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 例7 如图所示，在正方体 中，求证：平面 平面 . 是正方体， 平面 ， . 又 ， 平面 ， 平面 平面 . 4．如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC. 证明：法一：(利用定义证明) ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形． 取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角． 在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a，∴SD＝eq \f(\r(2),2)a，BD＝eq \f(BC,2)＝eq \f(\r(2),2)a. 在Rt△ABD中，AD＝eq \f(\r(2),2)a，在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2， ∴∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC. 4．如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC. 证明：法二：(利用判定定理) ∵SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， ∴SA＝AB＝AC， ∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心． ∵△SBC为直角三角形， ∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， ∴AD⊥平面SBC. 又∵AD⊂平面ABC， ∴平面ABC⊥平面SBC. $