2026年小升初考前最后一课-数学（教师版+学生版）

【小升初考前必背01】基础概念篇 序号 概念 基本内容 等级 1 “0” ①0是一个有实际意义的数，既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限； ②0是最小的自然数，是一个偶数，是任何自然数(0除外)的倍数； ③0不能作除数。 2 自然数 ①用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……叫做自然数，简单说自然数就是大于等于零的整数。 ②最小的自然数数是0，没有最大的自然数，自然数都是整数，自然数也可以表示个数或次序。 3 整数 ①像…-3、-2、-1、0、1、2、3…这样的数统称为整数，其中像1、2、3、…这样的数叫做正整数，像…-3、-2、-1这样的数叫做负整数。 ②最小的正整数是1，没有最大的正整数；最大的负整数是-1，没有最小的负整数；整数有无限个，没有最小的整数，也没有最大的整数。 4 因数和倍数 如果a÷b=c(a、b、c均为正整数且b≠0)，除得的商是整数而没有余数： ①我们就说能被整除，或者说能整除； ②是的倍数，是的因数； ③倍数和因数是相互依存的。 ④一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身； ⑤一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 5 2、5、3的倍数特征 ①个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除； ②个位上是0或5的数，都能被5整除； ③一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 6 奇数和偶数 ①奇数：在自然数中，不是2的倍数的数，如1、3、5、7、9、11…； ②偶数：在自然数中，是2的倍数的数，如0、2、4、6、8、10…。 7 质数和合数 ①质数：只有1和它本身两个因数的数，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97； ②合数：除了1和它本身外还有别的因数的数，如4、6、8、9、12…。 ③1既不是质数也不是合数，2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 8 质因数 ①质因数：合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。 ②分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，例如把28分解质因数：。 9 最大公因数和最小公倍数 ①最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 ②最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 10 互质数 ①公因数只有1的两个数，叫做互质数。 ②互质关系： 1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。 11 求两个数的最大公因数或最小公倍数 ①枚举法；②短除法；③三种特殊情况： 其一：如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数； 其二：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数； 其三：分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 12 小数 ①把单位“1”平均分成10份、100份、1000份…，这样的一份或几份可以用分母是10、100、1000、…的分数来表示，也可以用小数来表示，小数是特殊形式的分数，但是不能说小数就是分数。 ②按整数部分是否为0，将小数分为纯小数和带小数；按小数部分位数是否有限分为有限小数和无限小数。 13 循环小数 ①无限小数分为循环小数和无限不循环小数 ②无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数，例如：∏。 ③循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 14 分数 把单位“1”平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数； 15 分数的分类 ①真分数：分子比分母小的分数叫真分数。 ②假分数：分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。 ③带分数：一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。 16 约分和通分 ①约分的方法：用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母，通常要除到得出最简分数为止。 ②通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 17 小数和分数的性质 ①小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 ②小数点移动规律： a：小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍…… b：小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍，小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍，小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍…… c：小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。 ②分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 18 百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比，百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 19 四种基础运算 ①加法：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中两个数都叫“加数”，结果叫“和”。 ②减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算，其中“和”叫“被减数”，已知的加数叫“减数”，求出的另一个加数叫“差”。 ③乘法：求n个相同加数的和的简便运算，叫做乘法，其中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数”，结果叫“积”。 ④除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法是乘法的逆运算，其中“积”叫做“被除数”，已知的一个因数叫做“除数”，求出来的另一个因数叫做“商”。 20 四大规律 1. 和的规律问题。 （1）和不变规律： 两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加数必须减去多少。 （2）和的变化规律： 一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增加（或减少）相同的数。 2. 差的变化规律。 （1）减数不变： 若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少；减数不变，被减数减少多少，差就减少多少。 （2）被减数不变： 若减数增加，被减数不变，则差减少；若减数减少，被减数不变，则差增加。 （3）差不变： 若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 3. 积的变化规律。 （1）两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 （2）一个因数乘A，另外一个因数乘B，那么积要乘A和B的积。 （3）一个因数除以A，另外一个因数除以B，那么积要除以A和B的积。 4. 积不变规律。 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 5. 商的变化规律。 （1）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。 （2）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。 （3）在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。 6. 商不变规律（商不变性质）。 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 21 四则运算顺序 ①运算等级：第一级加减法，第二级乘除法； ②运算顺序：先乘除，后加减；左向右，依次算；有括号，最优先。 22 方程 ①方程：含有未知数的等式叫做方程。 ②方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 23 比 两个数相除又叫做两个数的比，“：”是比号，读作“比”，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 24 比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 25 求比值和化简比 ①求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 ②根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比，它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 26 数的互化 1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 8. 比与除法互化，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商 27 比例的意义和性质 ①比例的意义。 表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 ②比例的性质。 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积，这叫做比例的基本性质。 28 正比例和反比例 ①成正比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系，用字母表示y/x=k(一定） ②成反比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，用字母表示x×y=k(一定) 29 比例尺 图上距离:实际距离=比例尺 30 三线 ①直线：没有端点，可以向两端无限延长。 ②射线：只有一个端点，可以向一端无限延长。 ③线段：有两个端点，射线和线段都是直线的一部分，两点之间，线段最短。 31 平行与垂直 ①垂线：两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫垂足，从直线外一点到直线所画的线段中，垂线最短。 ②平行线：在同一平面内的两条不相交的直线，叫做平行线。 32 角 锐角（小于90的角）、直角（等于90的角）、钝角（大于90而小于180的角）、平角（等于180的角）、周角（等于360的角） 33 长方形和正方形 ①长方形对边相等，4个角都是直角的四边形，有两条对称轴。 ②正方形四条边都相等，四个角都是直角的四边形，有4条对称轴。 34 三角形 ①由三条线段围成的图形，叫做三角形，它的内角和是180度，具有稳定性，有三条高。 ②三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ③三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 35 三角形三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 36 平行四边形和梯形 ①平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边行相对的边平行且相等，对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度，平行四边形容易变形。 ②梯形 只有一组对边平行的四边形叫做梯形，梯形中位线等于上下底和的一半，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，等腰梯形有一条对称轴。 37 圆和扇形 ①圆是一种封闭的曲线图形，圆心、半径、直径 ②在同圆或等圆中，，即直径是半径的2倍，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 ③圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴。 ④圆周长与直径的比值，用“”表示，是无限不循环小数，一般近似取≈3.14。 ⑤一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 38 长方体和正方体 ①长方体。 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）的立体图形叫做长方体，长方体相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等，有8个顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 正方体。 ②六个面都是正方形的立体图形叫做正方体，正方体六个面的面积相等，有12条棱，棱长都相等，有8个顶点，正方体可以看作特殊的长方体。 39 圆柱和圆锥 ①圆柱。 上下是圆，侧面展开是长方形；以长方形一条边所在直线为轴旋转一周形成圆柱。 ②圆锥。 底面是圆，侧面展开是扇形；以直角三角形一条直角边所在直线为轴旋转一周形成圆锥。 40 周长 封闭图形一周的长度。 41 面积 面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。 42 体积和容积 ①体积：用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。 ②容积：一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量。 43 三大统计图 ①条形统计图：便于直观了解数据的大小及不同数据的差异。 ②折线统计图：便于直观了解数据的变化趋势，也便于了解数据的大小。 ③扇形统计图：便于直观了解各部分数量占总数量的百分比，以及各部分之间的大小关系。 【小升初考前必背02】运算定律篇 运算律和运算性质 基本内容 字母表示 加法交换律 交换两个加数位置和不变。 加法结合律 先把前两个数相加,再加第三个数，或者先后两个数相加，再加第一个数，和不变。 乘法交换律 交换两个因数位置积不变。 乘法结合律 先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加。 减法性质 一个数减去两个数的和，等于这个数依次减去这两个数。 [来源:学科网ZXXK] 除法性质 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以这两个数。 【小升初考前必背03】单位换算篇 单位名称 换算方法 长度 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体（容）积 1立方米=1000立方分米=1000升 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤 1斤=500克 人民币 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间 1世纪=100年 1年=12月； 一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十天，平年二月二十八； 平年365天，闰年366天； 1小时=60分钟 1分钟=60秒 1小时=3600秒； 十二生肖先后顺序：鼠牛虎兔龙蛇，马羊猴鸡狗猪。 【小升初考前必背04】图形公式篇 图形名称 图形实例 周长C 面积S 正方形 长方形 三角形 平行四边形 梯形 圆 扇形 圆环 外圆内方 外方内圆 图形名称 图形实例 表面积 体积 正方体 长方体 圆柱体 圆锥体 [来源:学*科*网] 【小升初考前必背05】应用公式篇 类型 公式 和差倍 和倍 “1”=和÷（倍+1） 差倍 “1”=和÷（倍-1） 和差 大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2 归一问题 正归一 单一量×份数=总量 反归一 总量÷单一量=份数 还原问题 逆运算推导原数 归总问题 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 植树问题 基本 间距数=总长÷间距长 直线植树 两端都种：棵树=间距数+1 两端都不种：棵树=间距数-1 一端种一端不种：棵树=间距数 环形植树 棵树=间距数 盈亏问题 盈亏问题 份数=（盈+亏）÷分配差 盈盈问题 份数=（大盈-小盈）÷分配差 亏亏问题 份数=（大亏-小亏）÷分配差 年龄问题 年龄差不变，转换成和差倍问题 鸡兔同笼 假设法 假设全是鸡，少了几条腿； 除以腿的差，就是兔的数。 平均数问题 算术平均数 数量和÷数量=算术平均数 加权平均数 （部分×权数）总和÷权数和=加权平均数 行程问题 基本行程 速度×时间=路程 相遇问题 速度和×相遇时间=路程和 追及问题 速度差×追及时间=路程差 流水行船 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 火车过桥 路程和=车长+桥长 分数和百分数应用题 量率对应问题 单位“1”=分量÷分率 百分率问题 发芽率=发芽种子数/试验种子数×100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100% 浓度问题 浓度=×100% 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度 比和比例应用题 按比例分配问题 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：先求一份量，再求部分量 不变量问题 第1步：统一不变的单量； 第2步：统一一份量； 第3步：求解一份量。 经济问题 利润问题 利润=售价－成本 利润率=利润÷成本×100% =(售价÷成本－1)×100% 打八折：按定价的80%出售 利息问题 利息=本金×利率×时间 利息税=本金×利率×时间×税率 浓度问题 溶液重量=溶质重量＋溶剂重量 浓度=溶质重量÷溶液重量×100% 溶液重量×浓度=溶质重量 溶质重量÷浓度=溶液重量 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间 ；工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 ；工作总量÷工作效率和=合作时间 抽屉原理 1. 把或多于个苹果放在个抽屉里，其中一定有抽屉里至少有两个苹果。 2. 最不利原则：极限讨论，考虑最不利或最倒霉的情况。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（二） 参考时间：90分钟；试卷总分：100分 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共10分） 1．（本题1分）数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5 就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是( )。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 2．（本题1分）下面各比中，能与∶组成比例的是( )。 A．5∶4 B．4∶5 C．∶5 D． 3．（本题1分）一条彩带，用去，还剩米，用去的和剩下的相比，( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．同样多 D．无法比较 4．（本题1分）李老师为家人买了4件礼物，最便宜的12元，最贵的24元，那么这4件礼物总共需要的钱数( )。 A．少于60元 B．多于84元 C．在60元到84元之间 D．无法确定 5．（本题1分）某小区2025年拥有新能源汽车的家庭有240户，_____。该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是( )。 A．比2024年的多 B．2024年的比2025年的少 C．比2024年的少 D．2024年的比2025年的多 6．（本题1分）某班男生人数是女生人数的1.2倍，男生人数与全班人数的比是( )。 A．6∶11 B．5∶11 C．6∶5 D．5∶6 7．（本题1分）星星农场今年的粮食产量比去年增产一成二，就是今年的粮食产量是去年的百分之几？( ) A．1.2% B．12% C．112% D．120% 8．（本题1分）有10只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了( )。 A．1只鸽子 B．3只鸽子 C．4只鸽子 D．8只鸽子 9．（本题1分）“甲、乙两个网店销售进价100元的一款马面裙，______，王阿姨要买一条马面裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样。”横线上的条件是( )。 ①甲先提价50%再打八折出售    ②乙以60%的利润定价再打七五折出售 ③甲提价25%出售    ④乙先提价40%再让利20% A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．（本题1分）中国园林设计时常用到海棠门，“海棠门里观海棠”构成了一幅美丽图画，为园林增添了一份婉约与雅致，用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成的图（如图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是( )m2。 A．12π＋12 B．（1÷2）2π＋12 C．2×（1÷2）2π D．2×（1÷2）2π＋12 评卷人 得分 二、用心思考，正确填写。（每空1分，共20分） 11．（本题2分）2025年5月25日，在2025WCA丽水魔方公开赛三阶速拧复赛中，中国11岁选手王艺衡以平均3.91秒的成绩打破世界纪录。横线上的数是由( )个0.01累加组成的。在直线上用“•”表示出这个数的大致位置。 12．（本题1分）如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝( )。 13．（本题4分）7.2平方千米＝( )公顷      5时24分＝( )时   6.02吨＝( )吨( )千克 14．（本题1分）喜欢电脑的小松设计了一个猜年龄的程序： 小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年( )岁。 15．（本题1分）学校举办科技节，小红参加了实验操作、理论笔试和创意设计三个项目。已知实验操作和理论笔试的平均分是m分，创意设计比这两科的平均分多10分。那么小红这三个项目的平均分是( )分。 16．（本题1分）如果x和y互为倒数，且，那么15a＝( )。 17．（本题1分）中国古代劳动人民不仅擅长诗歌，还借助诗歌讨论数学问题。 三百七十八里关， 初行健步不为难， 次日脚痛减一半， 六朝才能到其关。 诗歌中的“里”是我国古代计量路程的单位，1里＝500米。这首诗歌的意思是三百七十八里的路程，第一天走的比较快，后面因为脚走疼了，每天走的路程都是前一天的一半，六天才能走完全程。 请算一算第六天走了( )里路。 18．（本题1分）六（1）班学生体育达标的人数和未达标的人数比是24∶1，达标率是( )%。 19．（本题2分）一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2∶1，这个三角形顶角度数是( )度。按角来分，它是( )三角形。 20．（本题1分）大力发展新能源汽车是促进节能减排、实现“双碳”目标的重要举措。如图是两种新能源汽车模型，如果黑色新能源汽车模型长24cm，那么白色新能源汽车模型长( )cm。 21．（本题2分）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是( )cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是( )cm。 22．（本题3分）瞧，我会观察、思考、表达。 (1)因为888÷24＝37，根据商不变的规律，所以555÷15＝( )； (2)数学课上，老师在黑板上刚写完算式“2025×101－2025＝”，小明一看就说出得数202500，他的想法是( )； (3)通过计算得到。根据这个发现，＝( )。 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共30分） 23．（本题8分）直接写出得数。                     24．（本题12分）脱式计算，能简算的要简算。                                         25．（本题6分）解比例或方程。                    26．（本题4分）图形计算。 请计算该“右转危险区”的面积。（本题取3） 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此设置了“右转危险区”标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是以A为圆心所画的四分之一圆。 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共14分） 27．（本题4分）按要求画一画。 （1）希望小学在体育中心的北偏东45°方向400米处，请用▲标出希望小学的位置。 （2）计划在距离体育中心300米处新建一个文化馆，请画出新建文化馆所有可能的位置。 28．（本题10分）下面方格纸中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）把长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。若用分别表示旋转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数对表示分别是( )，( )，( )。 （2）线段CD旋转到的位置所扫过的面积是( )平方厘米，点C旋转到点的位置所经过的路线长( )厘米。 （3）在图中画出点O，再连接EO和FO，使三角形EFO成为一个以点F为直角顶点的等腰直角三角形，此时点E在点O的( )偏( )( )°方向。 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共26分） 29．（本题3分）富乐国际恒温游泳馆冬天使用天然气加热泳池，采用新的节能技术后，12月每天用天然气420立方米，比上个月每天节约120立方米，那么原来可用20天的天然气，现在约多用多少天？（只保留整数部分） 30．（本题3分）2024年6月我国嫦娥六号从月球背面的艾特肯盆地采集月壤成功，引起全世界的高度关注。艾特肯盆地被公认为是月球上最大、最古老、最深的盆地，最深处的深度大约是12800米，比世界上著名的淡水湖——贝加尔湖最深处深度的7倍还多1341米，贝加尔湖最深处的深度有多少米？ 31．（本题4分）某乡村农田安装了AI农业灌溉系统，它能根据土壤湿度、天气情况自动调节灌溉量，比传统灌溉节省用水30%。 (1)该系统控制的农田是一块长200米、宽150米的长方形，在设计图上，该农田的长是8厘米。这张设计图的比例尺是多少？ (2)AI农业灌溉系统还能统计灌溉数据，已知该农田每次传统灌溉需用水180吨，每月灌溉4次。使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省多少吨水？ 32．（本题5分）如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 33．（本题5分）阅读材料回答下列问题。 水是人类发展不可缺少的自然资源，是人类和一切生物赖以生存的物质基础。生物体内含水量占体重的60%~80%，甚至90%以上。人体内的含水量占体重的，为了维持人类正常的生理代谢，每人每天至少需要饮用2.5升的水。 我国是一个干旱缺水的国家，全国约有660个城市，其中的城市供水不足，在这些供水不足的城市中，又有的城市严重缺水。所以保护水资源是我们每个人的责任。 (1)爸爸的体重是78kg，他体内大概含水多少千克？ (2)全国严重缺水的城市大约有多少个？ (3)为了鼓励居民节约用水，某地的自来水公司规定：每户每月用水15吨（含15吨）按每吨2.3元收费；超过15吨后，超出的部分按每吨5.5元收费。小涵家上月共交水费62元，小涵家上月用水多少吨？ 34．（本题6分）某社区为改善老旧道路，计划用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15米的人行道。工程队联系了搅拌站，混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5（每立方米混凝土总质量约2400千克）。搅拌站有一辆圆柱形搅拌车，罐体内部长（圆柱的高）5米、底面直径2米（π取3.14），每次搅拌需预留10%的空间防止溢出。 （1）铺设这条人行道需要多少立方米混凝土？按配比计算，需要水泥、沙子、石子各多少吨？（1吨＝1000千克） （2）搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是多少？若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要多少车次才能完成任务？（结果保留整数） 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 01查漏补缺，必背干货 【小升初考前必背01】基础概念篇 序号 概念 基本内容 等级 ①0是一个有实际意义的数，既可以表示“没有”，也可以 ★ 作为某些数量的界限； 1 “0” ②0是最小的自然数，是一个偶数，是任何自然数(0除外) 的倍数； ③0不能作除数。 ①用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、 ★ 10...叫做自然数，简单说自然数就是大于等于零的整 自然数 数。 ②最小的自然数数是0，没有最大的自然数，自然数都是 整数，自然数也可以表示个数或次序。 ①像..-3、-2、-1、0、1、2、3..这样的数统称为整数， ★★ 其中像1、2、3、…这样的数叫做正整数，像.…-3、-2、-1 这样的数叫做负整数。 3 整数 ②最小的正整数是1，没有最大的正整数；最大的负整数 是-1，没有最小的负整数：整数有无限个，没有最小的整 数，也没有最大的整数。 如果ab=c(a、b、c均为正整数且b0),除得的商是整数 ★★ 而没有余数： ①我们就说a能被b整除，或者说b能整除a: ②a是b、c的倍数，b、c是a的因数： 4 因数和倍数 ③倍数和因数是相互依存的。 ④一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1， 最大的因数是它本身： ⑤一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本 第1页共17页 南学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 身。 ①个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除： ★★ 2、5、3的 ②个位上是0或5的数，都能被5整除： 5 倍数特征 ③一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3 整除。 ①奇数：在自然数中，不是2的倍数的数，如1、3、5、7 ★★ 9、11.. 6 奇数和偶数 ②偶数：在自然数中，是2的倍数的数，如0、2、4、6、 8、10.。 ★★ ①质数：只有1和它本身两个因数的数，100以内的质数 有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97: 7 质数和合数 ②合数：除了1和它本身外还有别的因数的数，如4、6、 8、9、12..0 ③1既不是质数也不是合数，2是最小的质数，也是唯一 的偶数质数。 ①质因数：合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每 ★★ 个质数都叫做这个合数的质因数，例如15=3×5,3和5叫 做15的质因数。 8 质因数 ②分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出 来，叫做分解质因数，例如把28分解质因数： 28=2×2×7=22×7。 ①最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因 ★★★ 最大公因数 数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 9 和最小公倍 ②最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍 数 数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 ①公因数只有1的两个数，叫做互质数。 ★★ 10 互质数 ②互质关系： 第2页共17页 南学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质：两个不同 的质数互质；两个合数的公因数只有1时，这两个合数互 质。 ①枚举法；②短除法；③三种特殊情况： ★★★ 其一：如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两 求两个数的 个数的最小公倍数： 最大公因数 其二：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们 11 或最小公倍 的最小公倍数： 数 其三：分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘 积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 ①把单位1平均分成10份、100份、1000份..，这样的 ★★ 一份或几份可以用分母是10、100、1000、.的分数来表 示，也可以用小数来表示，小数是特殊形式的分数，但是 12 小数 不能说小数就是分数。 ②按整数部分是否为0，将小数分为纯小数和带小数：按 小数部分位数是否有限分为有限小数和无限小数。 ①无限小数分为循环小数和无限不循环小数 ★★ ②无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律 且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数，例如：Ⅱ。 13 循环小数 ③循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数 字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数；一个循环小 数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小 数的循环节。 把单位1”平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫 ★★ 14 分数 做分数： ①真分数：分子比分母小的分数叫真分数。 15 分数的分类 ②假分数：分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做 第3页共17页 南学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 假分数。 ③带分数：一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起 的数，叫做带分数。 ①约分的方法：用分子和分母的公因数(1除外)去除分 ★ 子、分母，通常要除到得出最简分数为止。 16 约分和通分 ②通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍 数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 ①小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大 ★★ 小不变。 ②小数点移动规律： a:小数点向右移动一位，原来的数就扩大I0倍；小数点 向右移动两位，原来的数就扩大100倍：小数点向右移动 三位，原来的数就扩大1000倍… 小数和分数 17 b:小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍，小数点 的性质 向左移动两位，原来的数就缩小100倍，小数点向左移动 三位，原来的数就缩小1000倍… c:小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。 ②分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相 同的数（零除外），分数的大小不变。 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫 ★★ 18 百分数 做百分率或百分比，百分数通常用"%来表示。百分号是 表示百分数的符号。 ①加法：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中 ★★ 两个数都叫加数”，结果叫“和。 四种基础运 ②减法：己知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加 19 算 数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算，其中“和”叫被 减数”，已知的加数叫“减数”，求出的另一个加数叫差”。 ③乘法：求n个相同加数的和的简便运算，叫做乘法，其 第4页共17页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数”，结果叫“积”。 ④除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因 数的运算，叫做除法。除法是乘法的逆运算，其中“积叫 做“被除数”，已知的一个因数叫做“除数”，求出来的另一 个因数叫做“商”。 1.和的规律问题。 ★★ (1)和不变规律： 两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加 数必须减去多少。 (2)和的变化规律： 一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增 加（或减少）相同的数。 2.差的变化规律。 (1)减数不变： 若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少：减数 不变，被减数减少多少，差就减少多少。 (2)被减数不变： 20 四大规律 若减数增加，被减数不变，则差减少；若减数减少，被减 数不变，则差增加。 (3)差不变： 若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 3.积的变化规律。 (1)两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除 以几(0除外)，积也乘几或除以相同的数。 (2)一个因数乘A,另外一个因数乘B,那么积要乘A 和B的积。 (3)一个因数除以A,另外一个因数除以B,那么积要除 以A和B的积。 4.积不变规律。 第5页共17页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几(0除外)，另一 个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 5.商的变化规律。 (1)在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以） 几(0除外)，商也要乘（或除以）几。 (2)在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以） 几(0除外)，商反而要除以（或乘以）几。 (3)在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除 以)一个相同的数(0除外)，那么余数也随之乘或除以 这个数。 6.商不变规律（商不变性质）。 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以)一个相 同的数(0除外)，商不变，这叫做“商不变规律”（或商 不变性质)。 四则运算顺 ①运算等级：第一级加减法，第二级乘除法： ★★ 21 序 ②运算顺序：先乘除，后加减：左向右，依次算；有括号， 最优先。 ①方程：含有未知数的等式叫做方程。 ★★ ②方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方 22 方程 程的解。 两个数相除又叫做两个数的比，“：”是比号，读作“比”， ★★ 23 比 比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后 项，比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)， ★★ 24 比的性质 比值不变，这叫做比的基本性质。 ①求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个 ★★★ 求比值和化 25 数值可以是整数，也可以是小数或分数。 简比 ②根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比，它的 第6页共17页 南学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 1.小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个 ★★★ 零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要 约分。 2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限 小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留 位小数。 3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其 他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含 有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在 26 数的互化 后面添上百分号。 5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去 掉，同时把小数点向左移动两位。 6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时， 通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要 约成最简分数。 8.比与除法互化，比的前项相当于被除数，后项相当于除 数，比值相当于商 ①比例的意义。 ★★★ 表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数，叫 比例的意义 做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 27 和性质 ②比例的性质。 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积，这叫做 比例的基本性质。 正比例和反 ①成正比例的量。 ★★★ 28 比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 第7页共17页 南学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定， 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关 系，用字母表示yxk(一定) ②成反比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做 成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，用字母表示 xy=k(一定) 29 比例尺 图上距离：实际距离=比例尺 ★★ ①直线：没有端点，可以向两端无限延长。 ★ ②射线：只有一个端点，可以向一端无限延长。 30 三线 ③线段：有两个端点，射线和线段都是直线的一部分，两 点之间，线段最短。 ①垂线：两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条 ★ 直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其 交点叫垂足，从直线外一点到直线所画的线段中，垂线最 31 平行与垂直 短。 ②平行线：在同一平面内的两条不相交的直线，叫做平行 线。 锐角（小于90的角）、直角（等于90的角）、钝角（大 ★ 32 角 于90而小于180的角)、平角（等于180的角）、周角 (等于360的角) ①长方形对边相等，4个角都是直角的四边形，有两条对 ★★ 长方形和正 称轴。 33 方形 ②正方形四条边都相等，四个角都是直角的四边形，有4 条对称轴。 ①由三条线段围成的图形，叫做三角形，它的内角和是180 ☆★★ 34 三角形 度，具有稳定性，有三条高。 ②三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角 第8页共17页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形。 ③三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三 角形。 三角形三边 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 ★ 35 关系 ①平行四边形 ★★ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边行 相对的边平行且相等，对角相等，相邻的两个角的度数之 平行四边形 和为180度，平行四边形容易变形。 36 和梯形 ②梯形 只有一组对边平行的四边形叫做梯形，梯形中位线等于上 下底和的一半，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，等腰梯形 有一条对称轴。 ①圆是一种封闭的曲线图形，圆心O、半径r、直径d ★★★ ②在同圆或等圆中，d=2r,即直径是半径的2倍，所有 的半径都相等，所有的直径都相等。 ③圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数 37 圆和扇形 条对称轴。 ④圆周长与直径的比值，用“π”表示，π是无限不循环小 数，一般近似取π3.14。 ⑤一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫 做扇形。 ①长方体。 ★★★ 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）的立 体图形叫做长方体，长方体相对的面面积相等，12条棱相 长方体和正 38 对的4条棱长度相等，有8个顶点，相交于一个顶点的三 方体 条棱的长度分别叫做长、宽、高。 正方体。 ②六个面都是正方形的立体图形叫做正方体，正方体六个 第9页共17页 南学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 面的面积相等，有12条棱，棱长都相等，有8个顶点， 正方体可以看作特殊的长方体。 ①圆柱。 ★★★ 上下是圆，侧面展开是长方形：以长方形一条边所在直线 为轴旋转一周形成圆柱。 39 圆柱和圆锥 ②圆锥。 底面是圆，侧面展开是扇形：以直角三角形一条直角边所 在直线为轴旋转一周形成圆锥。 40 周长 封闭图形一周的长度。 ★ 41 面积 面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。 ★ ①体积：用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。 ★★ 42 体积和容积 ②容积：一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量。 ①条形统计图：便于直观了解数据的大小及不同数据的差 ★★ 异。 ②折线统计图：便于直观了解数据的变化趋势，也便于了 43 三大统计图 解数据的大小。 ③扇形统计图：便于直观了解各部分数量占总数量的百分 比，以及各部分之间的大小关系。 第10页共17页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【小升初考前必背02】运算定律篇 运算律和运算性质 基本内容 字母表示 加法交换律 交换两个加数位置和不变。 a+b=b+a 先把前两个数相加，再加第三个数，或者先后 加法结合律 a+b+c=a+(b+c) 两个数相加，再加第一个数，和不变。 乘法交换律 交换两个因数位置积不变。 a×b=bxa 先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先 乘法结合律 a×b×c=a×(bxc) 把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。 两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分 a×(b+c)=a×b+axc 乘法分配律 别与这个数相乘，再把两个积相加。 一个数减去两个数的和，等于这个数依次减 a-(b+c)=a-b-c 减法性质 去这两个数。 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除 a÷(b×c)=a÷b÷c 除法性质 以这两个数。 第11页共17页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【小升初考前必背03】单位换算篇 单位名称 换算方法 1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米 长度 1米=100厘米 1厘米=10毫米 1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米 面积 1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米 1立方米=1000立方分米=1000升1立方分米=1000立方厘米 体（容）积 1立方分米=1升1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤1斤=500克 人民币 1元=10角 1角=10分1元=100分 1世纪=100年1年=12月； 三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十天，平年二月二十八： 时间 平年365天，闰年366天： 1小时=60分钟1分钟=60秒1小时=3600秒： 十二生肖先后顺序：鼠牛虎兔龙蛇，马羊猴鸡狗猪。 第12页共17页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【小升初考前必背04】图形公式篇 图形名称 图形实例 周长C 面积S 正方形 Aa a2 长方形 2(a+b) ab 三角形 a+b+c 2 b 平行四边形 2(a+b) ah 梯形 a+b+c+d (a+b)h 2 圆 2πr、πd 2 扇形 nnd +d nar2 360 360 第13页共17页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 圆环 O'r S*=π(R2-2） 外圆内方 S阴影=π72-22 =(π-2)r2 外方内圆 S阴影=42-π7产2 =(4-元)r2 图形名称 图形实例 表面积 体积 正方体 6a2 长方体 2(ab+ah+bh) abh 圆柱体 2π7h+2π2 πr2h w1- 圆锥体 元r2h πr2+πl 3 第14页共17页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【小升初考前必背05】应用公式篇 类型 公式 和倍 “1”=和÷（倍+1) 差倍 1”=和÷（倍-1) 和差倍 大数=（和+差）÷2 和差 小数=（和差）÷2 正归一 单一量×份数=总量 归一问题 反归一 总量÷单一量=份数 还原问题 逆运算推导原数 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个 单位数量 归总问题 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个 单位数量 基本 间距数=总长：间距长 两端都种：棵树=间距数+1 植树问题 直线植树 两端都不种：棵树=间距数-1 端种一端不种：棵树=间距数 环形植树 棵树=间距数 盈亏问题 份数=（盈+亏）÷分配差 盈亏问题 盈盈问题 份数=（大盈小盈）÷分配差 亏亏问题 份数=（大亏小亏)÷分配差 年龄问题 年龄差不变，转换成和差倍问题 假设全是鸡，少了几条腿： 鸡兔同笼 假设法 除以腿的差，就是兔的数。 算术平均数 数量和÷数量=算术平均数 平均数问题 加权平均数 (部分×权数)总和÷权数和=加权平均数 第15页共17页 命学科网 wwW.z××k.com 让教与学更高效 基本行程 速度×时间=路程 相遇问题 速度和×相遇时间=路程和 行程问题 追及问题 速度差×追及时间=路程差 顺水速度=船速+水速 流水行船 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 火车过桥 路程和=车长+桥长 量率对应问题 单位“1”=分量：分率 发芽率=发芽种子数/试验种子数×100% 小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100% 百分率问题 产品的合格率=合格的产品数/产品总数×1.00% 分数和百分 职工的出勤率=实际出勤人数应出勤人数 数应用题 ×100% 溶质质量 浓度 ×100% 溶液质量 浓度问题 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数 量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法 按比例分配问题 通常叫做按比例分配。 比和比例应 方法：先求一份量，再求部分量 用题 第1步：统一不变的单量： 不变量问题 第2步：统一一份量： 第3步：求解一份量。 利润=售价一成本 经济问题 利润问题 利润率=利润÷成本×100% (售价÷成本-1)×100% 第16页共17页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 打八折：按定价的80%出售 利息=本金×利率x时间 利息问题 利息税=本金×利率×时间×税率 溶液重量=溶质重量十溶剂重量 浓度=溶质重量÷溶液重量×100% 浓度问题 溶液重量×浓度=溶质重量 溶质重量÷浓度=溶液重量 工作总量=工作效率×工作时间：工作效率=工 作总量÷工作时间 工程问题 工作时间=工作总量÷工作效率：工作总量：工 作效率和=合作时间 1.把n+1或多于n+1个苹果放在n个抽屉里， 其中一定有抽屉里至少有两个苹果。 抽屉原理 2.最不利原则：极限讨论，考虑最不利或最倒 霉的情况。 第17页共17页学更高效 献出贴心建议，助你未雨绸缪 做好心理疏导，助你考后心安 08 小升初 最后一课 提供解题技巧助你顺利破卷 知识· 策略· 思维 三 四五六七 3 4567 1on12314 2 8 9 17 187202 15 16 25262习28 2026 23 24 22 29 30 第1贞共153贝 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 卷黄等语 “夏天过去，秋天过去，冬天又来了，骆驼队又来了，童年却一去不返了。” 一一林海音《城南旧事》 同学们，六年小学时光匆匆而过，数学课堂上的一笔一画、一题一解， 都藏着你们的努力与成长。从基础计算到思维拓展，从简单应用到综合探究，你 们一步步突破自我，积攒下满满的底气。 这是小升初考前最后一课，愿你们珍惜此刻，把所有知识沉淀于心，带着从 容与自信奔赴考场。考场上沉着审题、细心作答，把平日的积累尽数展现。 小学的篇章即将圆满收尾，而更广阔的数学天地在前方等候。愿你们以扎实 的学识为帆，以沉稳的心态为桨，从容应战，不负时光，不负自己，为六年小学 生活画上最完美的句号！ 祝前程似锦，未来可期！ 2026年4月 第2页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 目录 倍0】查漏补缺，必背干货 【小升初考前必背01】基础概念篇. 【小升初考前必背02】运算定律篇.13 【小升初考前必背03】单位换算篇…14 【小升初考前必背04】图形公式篇 15 【小升初考前必背05】应用公式篇 17 02 命题解读，考点预测 .20 一、数与量的认识十三种命题预测 20 二、数的运算七种命题预测 .25 三、式与方程十种命题预测 ..29 四、比和比例十二种命题预测 .36 五、图形与几何·二十六种命题预测 45 六、统计与概率·五种命题预测 ..64 七、数学思考·八种命题预测 .68 八、典型应用题十一种命题预测 72 03 重 点难点，情境命题 .84 一、新基础素养题型探究 .84 二、新情境应用题型探究 87 三、新思维拓展题型探究 。。。。。。。。。。 94 四、新综合素养题型探究 。n0000000000000000000000000。。 04 备考全程，硬核指南 .…104 一、考前准备篇 .104 二、考场注意篇 .111 第3页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 二、考后调整篇.… 123 【01放松身心劳逸结合】把孩子交给夏日阳光、绿树浓荫.123 【02文艺作品中找数学】中学生必看数学题材的电影…126 【03假期尾声收收心】七年级数学预习书籍推荐 136 05 最后 击 终极押 题 ….137 2026年小升初数学终极押题卷（一） (含判断题版本) .137 2026年小升初数学终极押题卷（二）（不含判断题版本） .144 第4页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 0查漏补缺，必背干货 【小升初考前必背01】基础概念篇 序号 概念 基本内容 等级 ①0是一个有实际意义的数，既可以表示没有”，也可以作为某些数量 ★ 的界限： “0” ②0是最小的自然数，是一个偶数，是任何自然数(0除外)的倍数： ③0不能作除数。 ①用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10.叫做 ★ 自然数，简单说自然数就是大于等于零的整数。 自然数 ②最小的自然数数是0，没有最大的自然数，自然数都是整数，自然数 也可以表示个数或次序。 ①像.3、-2、-1、0、1、2、3.这样的数统称为整数，其中像1、2、 ★★ 3、.…这样的数叫做正整数，像..-3、-2、-1这样的数叫做负整数。 整数 ②最小的正整数是1，没有最大的正整数：最大的负整数是-1，没有最 小的负整数：整数有无限个，没有最小的整数，也没有最大的整数。 如果ab=c(a、b、c均为正整数且b≠0)，除得的商是整数而没有余数： ★★ ①我们就说a能被b整除，或者说b能整除a; ②a是b、c的倍数，b、c是a的因数： 4 因数和倍数 ③倍数和因数是相互依存的。 ④一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是 它本身： ⑤一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 ①个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除： ★★ 2、5、3的 ②个位上是0或5的数，都能被5整除： 倍数特征 ③一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 ①奇数：在自然数中，不是2的倍数的数，如1、3、5、7、9、11 ★★ 奇数和偶数 ②偶数：在自然数中，是2的倍数的数，如0、2、4、6、8、10..。 第5页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 ①质数：只有1和它本身两个因数的数，100以内的质数有：2、3、5、 ★★ 7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67 7 质数和合数 71、73、79、83、89、97: ②合数：除了1和它本身外还有别的因数的数，如4、6、8、9、12..。 ③1既不是质数也不是合数，2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 ①质因数：合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都叫 ★★ 做这个合数的质因数，例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。 8 质因数 ②分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解 质因数，例如把28分解质因数：28=2×2×7=22×7。 ①最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最 ★★★ 最大公因数 大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 9 和最小公倍 ②最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最 数 小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 ①公因数只有1的两个数，叫做互质数。 ★★ ②互质关系： 10 互质数 1和任何自然数互质：相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质： 两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。 ①枚举法；②短除法；③三种特殊情况： ★★★ 其一：如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小 求两个数的 公倍数： 最大公因数 其二：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍 11 或最小公倍 数： 数 其三：分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因 数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 ①把单位“1平均分成10份、100份、1000份.，这样的一份或几份可 ★★ 以用分母是10、100、1000、.的分数来表示，也可以用小数来表示， 12 小数 小数是特殊形式的分数，但是不能说小数就是分数。 ②按整数部分是否为0，将小数分为纯小数和带小数；按小数部分位数 是否有限分为有限小数和无限小数。 第6页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 ①无限小数分为循环小数和无限不循环小数 ★★ ②无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限， 这样的小数叫做无限不循环小数，例如：Π。 13 循环小数 ③循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断 重复出现，这个数叫做循环小数；一个循环小数的小数部分，依次不 断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 14 分数 把单位“1”平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数： ★★ ①真分数：分子比分母小的分数叫真分数。 ★ ②假分数：分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。 15 分数的分类 ③带分数：一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做 带分数。 ①约分的方法：用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母，通 ★ 常要除到得出最简分数为止。 16 约分和通分 ②通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各 分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 ①小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 ★★ ②小数点移动规律： a:小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍：小数点向右移动两 位，原来的数就扩大100倍：小数点向右移动三位，原来的数就扩大 1000倍… 小数和分数 b:小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍，小数点向左移动两 17 的性质 位，原来的数就缩小100倍，小数点向左移动三位，原来的数就缩小 1000倍… c:小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。 ②分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零 除外)，分数的大小不变。 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或 ★★ 18 百分数 百分比，百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 第7页共153页 丽学科网 www zxx k com 让教与学更高效 ①加法：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中两个数都叫加 ★★ 数”，结果叫和”。 ②减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算， 叫做减法，减法是加法的逆运算，其中“和叫“被减数”，己知的加数叫 四种基础运 “减数”，求出的另一个加数叫“差”。 19 算 ③乘法：求个相同加数的和的简便运算，叫做乘法，其中相同的这 个数及n个这样的数都叫“因数”，结果叫“积”。 ④除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算， 叫做除法。除法是乘法的逆运算，其中“积叫做“被除数”，已知的一个 因数叫做“除数”，求出来的另一个因数叫做“商”。 1.和的规律问题。 ★★ (1)和不变规律： 两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加数必须减去 多少。 (2)和的变化规律： 一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增加（或减少） 相同的数。 2.差的变化规律。 (1)减数不变： 20 四大规律 若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少；减数不变，被减 数减少多少，差就减少多少。 (2)被减数不变： 若减数增加，被减数不变，则差减少：若减数减少，被减数不变，则 差增加。 (3)差不变： 若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 3.积的变化规律。 (1)两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几(0除外)， 积也乘几或除以相同的数。 第8页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 (2)一个因数乘A,另外一个因数乘B,那么积要乘A和B的积。 (3)一个因数除以A,另外一个因数除以B,那么积要除以A和B的 积。 4.积不变规律。 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几(0除外)，另一个因数除以（或 乘)相同的数，则它们的乘积不变。 5.商的变化规律。 (1)在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几(0除外)， 商也要乘（或除以）几。 (2)在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几(0除外)， 商反而要除以（或乘以）几。 (3)在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同 的数(0除外)，那么余数也随之乘或除以这个数。 6.商不变规律（商不变性质）。 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数(0除 外)，商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 四则运算顺 ①运算等级：第一级加减法，第二级乘除法： ★★ 21 序 ②运算顺序：先乘除，后加减；左向右，依次算；有括号，最优先。 ①方程：含有未知数的等式叫做方程。 ★★ 22 方程 ②方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 两个数相除又叫做两个数的比，“：”是比号，读作“比”，比号前面的数 23 比 叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得 的商，叫做比值。 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)，比值不变， ★★ 24 比的性质 这叫做比的基本性质。 ①求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是 ★★★ 求比值和化 整数，也可以是小数或分数。 25 简比 ②根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比，它的结果必须是 一个最简比，即前、后项是互质的数。 第9页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 1.小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母， ★★★ 把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的 不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数， 这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数， 这个分数就不能化成有限小数。 4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百 26 数的互化 分号。 5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把 小数点向左移动两位。 6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三 位小数)，再把小数化成百分数。 7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分 数。 8.比与除法互化，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相 当于商 ①比例的意义。 ★★★ 表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数，叫做比例的项， 比例的意义 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 27 和性质 ②比例的性质。 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积，这叫做比例的基本 性质。 ①成正比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量 正比例和反 中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比 28 比例 例的量，他们的关系叫做正比例关系，用字母表示yx=k(一定) ②成反比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另.一种量也随着变化，如果这两种量 第10页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的 关系叫做反比例关系，用字母表示x×y(一定) 29 比例尺 图上距离：实际距离=比例尺 ★★ ①直线：没有端点，可以向两端无限延长。 ★ ②射线：只有一个端点，可以向一端无限延长。 30 三线 ③线段：有两个端点，射线和线段都是直线的一部分，两点之间，线 段最短。 ①垂线：两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫垂足，从直线外 31 平行与垂直 一点到直线所画的线段中，垂线最短。 ②平行线：在同一平面内的两条不相交的直线，叫做平行线。 锐角（小于90的角）、直角（等于90的角）、钝角（大于90而小于 32 角 180的角)、平角（等于180的角）、周角（等于360的角） 长方形和正 ①长方形对边相等，4个角都是直角的四边形，有两条对称轴。 ★★ 33 方形 ②正方形四条边都相等，四个角都是直角的四边形，有4条对称轴。 ①由三条线段围成的图形，叫做三角形，它的内角和是180度，具有 ★★★ 稳定性，有三条高。 34 三角形 ②三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ③三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 三角形三边 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 35 关系 ①平行四边形 ★★ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边行相对的边平 行且相等，对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度，平行四边 平行四边形 36 形容易变形。 和梯形 ②梯形 只有一组对边平行的四边形叫做梯形，梯形中位线等于上下底和的一 半，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，等腰梯形有一条对称轴。 37 圆和扇形 ①圆是一种封闭的曲线图形，圆心O、半径r、直径d ★★★ 第11页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 ②在同圆或等圆中，d=2r,即直径是半径的2倍，所有的半径都相等， 所有的直径都相等。 ③圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴。 ④圆周长与直径的比值，用“π”表示，π是无限不循环小数，一般近似 取π3.14。 ⑤一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 ①长方体。 ★★★ 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）的立体图形叫做 长方体，长方体相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等， 长方体和正 有8个顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 38 方体 正方体。 ②六个面都是正方形的立体图形叫做正方体，正方体六个面的面积相 等，有12条棱，棱长都相等，有8个顶点，正方体可以看作特殊的长 方体。 ①圆柱。 ★★★ 上下是圆，侧面展开是长方形；以长方形一条边所在直线为轴旋转 周形成圆柱。 39 圆柱和圆锥 ②圆锥。 底面是圆，侧面展开是扇形；以直角三角形一条直角边所在直线为轴 旋转一周形成圆锥。 40 周长 封闭图形一周的长度。 41 面积 面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。 ★ ①体积：用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。 ★★ 42 体积和容积 ②容积：一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量。 ①条形统计图：便于直观了解数据的大小及不同数据的差异。 ★★ ②折线统计图：便于直观了解数据的变化趋势，也便于了解数据的大 43 三大统计图 小。 ③扇形统计图：便于直观了解各部分数量占总数量的百分比，以及各 部分之间的大小关系。 第12页共153页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【小升初考前必背02】运算定律篇 运算律和运算性质 基本内容 字母表示 加法交换律 交换两个加数位置和不变。 a+b=b+a 先把前两个数相加，再加第三个数，或者先后两个 加法结合律 a+b+c=a+(b+c) 数相加，再加第一个数，和不变。 乘法交换律 交换两个因数位置积不变。 a×b=bxa 先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后 乘法结合律 a×b×c=a×bxc) 两个数相乘，再乘第一个数，积不变。 两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与 乘法分配律 a×(b+c)=a×b+aXc 这个数相乘，再把两个积相加。 一个数减去两个数的和，等于这个数依次减去这 减法性质 a-(b+c)=a-b-c 两个数。 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以这 a÷(b×c)=a÷b÷c 除法性质 两个数。 第13页共153页 品学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【小升初考前必背03】单位换算篇 单位名称 换算方法 1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米 长度 1米=100厘米 1厘米=10毫米 1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米 面积 1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米 1立方米=1000立方分米=1000升1立方分米=1000立方厘米 体（容）积 1立方分米=1升1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤1斤=500克 人民币 1元=10角 1角=10分1元=100分 1世纪=100年1年=12月： 一三五七八十腊，三十一天永不差：四六九冬三十天，平年二月二十八； 时间 平年365天，闰年366天： 1小时=60分钟1分钟=60秒1小时=3600秒： 十二生肖先后顺序：鼠牛虎兔龙蛇，马羊猴鸡狗猪。 第14页共153页 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【小升初考前必背04】图形公式篇 图形名称 图形实例 周长C 面积S 正方形 Aa a 长方形 2(a+b) ab 三角形 a+b+c 之 6 平行四边形 2(a+b) ah 梯形 a+b+c+d (a+b)h 2 h d 圆 2πr、πd Tr2 扇形 nndd nar2 360 360 第15页共153页 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 圆环 S*=π(R2-r） 外圆内方 S阴影=π72-22 =(π-2)r2 外方内圆 S阴影=42-π2 =(4-π)r2 图形名称 图形实例 表面积 体积 正方体 6a2 a 长方体 2(ab+ah+bh) abh 圆柱体 2πh+2π2 πr2h 圆锥体 元r2h 元2+元l 3 第16页共153页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【小升初考前必背05】应用公式篇 类型 公式 和倍 “1”=和÷（倍+1） 差倍 “1”=和÷（倍-1) 和差倍 大数=（和+差）÷2 和差 小数=（和差）÷2 正归一 单一量×份数=总量 归一问题 反归一 总量÷单一量=份数 还原问题 逆运算推导原数 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 归总问题 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 基本 间距数=总长÷间距长 两端都种：棵树=间距数+1 植树问题 直线植树 两端都不种：棵树=间距数-1 一端种一端不种：棵树=间距数 环形植树 棵树=间距数 盈亏问题 份数=（盈+亏)÷分配差 盈亏问题 盈盈问题 份数=（大盈小盈）÷分配差 亏亏问题 份数=（大亏小亏）÷分配差 年龄问题 年龄差不变，转换成和差倍问题 假设全是鸡，少了几条腿： 鸡兔同笼 假设法 除以腿的差，就是兔的数。 算术平均数 数量和÷数量=算术平均数 平均数问题 加权平均数 (部分×权数)总和：权数和=加权平均数 行程问题 基本行程 速度×时间=路程 第17页共153页 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 相遇问题 速度和×相遇时间=路程和 追及问题 速度差×追及时间=路程差 顺水速度=船速+水速 流水行船 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 火车过桥 路程和=车长+桥长 量率对应问题 单位“1”=分量分率 发芽率=发芽种子数/试验种子数×100% 小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100% 百分率问题 产品的合格率=合格的产品数/产品总数×1.00% 分数和百分 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100% 数应用题 溶质质量 浓度 ×1006 溶液质量 浓度问题 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比 按比例分配问题 来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 比和比例应 方法：先求一份量，再求部分量 用题 第1步：统一不变的单量； 不变量问题 第2步：统一一份量； 第3步：求解一份量。 利润=售价一成本 利润率=利润÷成本×100% 利润问题 (售价÷成本一1)×100% 经济问题 打八折：按定价的80%出售 利息=本金×利率×时间 利息问题 利息税=本金×利率×时间×税率 浓度问题 溶液重量=溶质重量十溶剂重量 第18页共153页 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 浓度=溶质重量÷溶液重量×100% 溶液重量×浓度=溶质重量 溶质重量÷浓度=溶液重量 工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量：工作时 间 工程问题 工作时间=工作总量÷工作效率；工作总量：工作效率和=合作 时间 1.把n+1或多于n+1个苹果放在n个抽屉里，其中一定有抽屉 抽屉原理 里至少有两个苹果。 2.最不利原则：极限讨论，考虑最不利或最倒霉的情况。 第19页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 02 命 题解 读，考点预测 一、数与量的认识十三种命题预测 【命题解读】 数的认识一直是小学数学最为基础的内容之一，它主要涉及到三种数，即整数、小数和分 数（百分数），它经常是各学段各期末的重点考察内容，对其概念考察也是小升初的必考内容。 常见的量包括时间单位、质量单位、长度单位、面积单位、体积（容积）单位等，一直作 为小数数学基础内容存在，对于学生的实践认知和量感构建十分重要。 近年来的考察主要以数的基础认识和综合转化运用为主，题型上填空、选择、判断、计算 都有涉猎，一般难度不大，但容易出错，另外，关于正负数的意义以及在数轴上的应用也是今 年常考题型。 总之，解决数的综合问题，关键在于熟悉各类型数的基础概念，并能熟练掌握数与数之间 的形式转化，构建起数感和认知体系，这是考察的重点方向，也是后续进入中学进行实数学习 的基础。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数的读法与写法·数的改写与近似数 ☆★ 选、填 2 整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化 ★★★★★ 选、填 3 整、小、分、百、正数、负数综合比较 ★★★ 选、填 4 因数与倍数·奇数与偶数质数与合数 ★★ 选、填 5 2、5、3的倍数特征 ★ 选、填 6 最大公因数与最小公倍数的三种求法 ★★★ 选、填 7 最大公因数与最小公倍数综合应用 ★★★ 选、填、解 8 常用的量单位的认识与选择 ★ 选、填 9 常用的量·单位的进率与换算 选、填 10 倒数 ★★ 选、填 第20页共153页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 11 单位1”与等量关系式 ★ 填 12 正数与负数 ★★ 选、填 13 经过时间的计算 ★★ 选、填 【预测命题方向01】数的读法与写法•数的改写与近似数★★ 1.(2025河南商丘小升初真题)阅读下面的信息，根据要求填空。日前，泉州市统计局发 布《2018年泉州市国民经济和社会发展统计公报》，根据核算，泉州市土地面积约 11015( ),全市常住人口约8700500人。实现地区生产总值8467.98亿元，连续20年 保持全省第一。 (1)在括号内填入合适的单位名称。 (2)横线上的数读作( ),改写成以万”为单位的数是( )人 (3)生产总值保留整数约是( )亿元。 2.(2025·内蒙古鸟兰察布·小升初真题)文艺汇演给学生提供了一个展示才艺和个性的舞台。 本次文艺汇演演唱类节目占28.4%，舞蹈类节目占百分之二十一。 (1)28.4%读作( )百分之二十一写作( ) (2)去掉28.4%后面的百分号，相当于将原数扩大到原来的( )倍。 3.(2025贵州黔东南小升初真题)下列有8个数：0、32、56、78、-日3.14、952、 -60,其中( )是整数：( )是正数；( )是负数。 会【预测命题方向2】整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化★★★★★ 1.(2025河北保定·小升初模拟)( ):16=12÷( )=0.25=（=( )% 60 =( )(填成数)。 2.（2025四川巴中.小升初真题) )÷20=( )%=3:4=( )折。 【预测命题方向03】整、小、分、百、正数、负数综合比较★★★ 1.(2025河北石家庄小升初真惑)在0143、14%、0143、片、-0133中，最大的数是 ),最小的数是( ) 2.(2025海南海口小升初真题)在-10、05、、-78和0这五个数中，最大的是( ) 第21页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 最小的是( ) 令【预测命题方向04】因数与倍数奇数与偶数~质数与合数★★ 1.(2025·广西桂林·小升初真题)有一个数，它既是60的因数，也是60的倍数，这个数是 ),它的因数中是质数的有( ) 2.(2025·甘肃临夏·小升初真题)某一景区的WIFI密码有八位数字组成，3A71806B,A是6 和9的最大公约数，B既是奇数也是合数，则这一景区的WIFI密码是 3( )71806( ) 会【预测命题方向05】2、5、3的倍数的特征★ 1.（2025湖北武汉·小升初真题)袋子里有写着1~6的数字卡片各一张，任意摸出两张组成 一个两位数。其中是5的倍数的两位数有( )种可能情况：是3的倍数的两位数有 )种可能情况。 2.（2025·安徽毫州小升初真题)四位数3口4口，如果它是2和5倍数，这个数最小是( ): 如果它是2和3的倍数，这个数最大是( ) 。【预测命题方向06】最大公因数与最小公倍数的三种求法★★女 1.(2025·浙江台州·小升初模拟)两个非零自然数a和b,如果ab=8,那么a和b的最小公 倍数是( ),最大公因数是( ):如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的 最小公倍数是( ),最大公因数是( ) 2.（2025·山东·小升初模拟)已知a=m×2×3,b=m×3×7(m是不为零的自然数)，如果a和b的 最大公因数是6，那么α和b的最小公倍数是( )。 【预测命题方向07】最大公因数与最小公倍数综合应用★★★ 1.(2025浙江杭州小升初真题)有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成 若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样 的小正方形？ 第22页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·贵州安顺·小升初真题)爸爸带着扬扬一起跑步，爸爸每跑一圈用时4分钟，扬扬 每跑一圈用时6分钟。如果爸爸和扬扬在起点同时沿同一方向起跑，两人在起点再次相遇时， 爸爸和扬扬分别跑了多少圈？ 【预测命题方向08】常用的量·单位的认识与选择★ 1.(2025山东青岛·小升初真题)选择合适的数，填在相应的括号里（每个数只能选一次）。 15011.513505015 小军是六年级的学生，体重( )千克，身高( )厘米，每天早上6：00起床，洗 漱、收拾房间、吃饭用( )小时，然后去学校，学校离家( )米，他步行的速度 是( )米/秒，走( )分钟到学校。 2.(2025·江西赣州·小升初真题)学校开展劳动实践， 张杰班同学在菜地劳动，他用一把 1.50 )长的铁锹松土，准备种植蔬菜。菜地的面积20( ),他们先施肥，每块地 大约用2( )的肥料。再用容量为10( )的水桶给菜地浇水。 g 【预测命题方向09】常用的量单位的进率与换算★ 1.(2025·广东揭阳·小升初模拟) 0.75时=( )分 3600立方分米=( )立方米 5060克=( )千克 6.78元=( )分 2.(2025重庆梁平.小升初真题) 6.05时=( )时( )分 40千克60克=( )千克 50000公顷=( )平方千米 9.4立方米=( )升 令【预测命题方向10】倒数女★ 1. （2025河南郑州，小开初真题》如果m和”互为倒数，则后：品子-( 2.(225湖北武汉小升初真题)A=B×力=C=D15(A、B、CD为非0的正数. 第23页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 最大的是( ),最小的是( ) 令【预测命题方向1山)】单位“1与等量关系式★ 1.(2025四川成都小升初真题)张欢的身高的和肖恩一样高其中单位“1的量是( 他们之间的等量关系式为：张欢的身高×( )=肖恩的身高。 2.（2025·甘肃天水小升初真题)把一根5米长的绳子平均分成4段，每段是( )米， 每段是这根绳子的( ) 令【预测命题方向12】正数与负数★★ 1.(2025河南信阳·小升初真题)某牌面包的包装袋上有这样的标记：100士5g,和标准质量 比较，把面包净重104g记作+4g,那么面包净重98g记作( )。妈妈买回5袋面包依 次称重，分别记录为：+0.2g、一7g、0g、一5g、+3g,这5袋面包的合格率是( )%。 2.(2025河南郑州小升初真题)如下图，若点A表示的数是0.1，那么点C表示的数是 )；若点B表示的数是1，那么点A表示的数是( ):若点C表示的数是10， 那么点D表示的数是( ) 十D0A十B今 会【预测命题方向13】经过时间的计算★★ 1.(2025山东·小升初真题)北京时间2025年4月24日17时17分，中国神舟二十号载人 飞船搭载陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员在酒泉卫星发射中心发射升空，于2025年4月24 日23时49分成功对接于空间站天和核心舱径向端口，请你计算一下载人飞船从发射到成功对 接历经了( )时( )分。 2.（2025辽宁辽阳·小升初真题)某食品的外包装上标注的生产日期是2025年6月1日，保 质期是18个月。那么该食品最迟要在( )年( )月( )日前食用才能保证 安全。 第24页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 二、数的运算七种命题预测 【命题解读】 数的运算是小学数学最为重要的内容之一，小升初主要考察各类数的四则混合运算、简便 计算以及解方程或解比例，因为涉及到多种数以及数的多种转化，计算综合性比较强，考察知 识一般以下四点为主，即： 一是考察四种数之间的互相转化： 二是考察四种数之间的四则基础计算和方程的一般解法； 三是考察四则混合运算： 四是考察简便计算以及常用巧算法： 总之，熟练掌握四则运算关系、基础算法以及基本运算定律是正确计算的关键，另外，本 部分所涉及的十三种巧算法一般以思维拓展题型为主，涉及题型难度非常大，不适合作为一般 性内容进行讲解或训练，具体详情可参考编者的“小升初典型例题系列”。 日【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数的运算·基础运算 ★ 选、填、计 2 数的运算·和差积商四大运算规律 ★ 选、填 3 数的运算·运算律 ★ 选、填、判 4 数的运算·四则混合运算 ★★★★★ 计 5 数的运算·简便运算 ★★★★★ 计 6 数的运算·解方程和解比例 ★★★ 计 7 数的运算·列式计算 ★★ 计 【预测命题方向01】数的运算·基础运算★ 1.(2025·甘肃兰州·小升初真题)下面四个算式中，“5和4可以直接相加、减的是( ) A.352-174 B.7.5+3.49 c. D.5-2号 2.(2025山东菏泽·小升初真题)下面的算式计算结果比1大的是( ) 第25页共153页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A B C.+5 13 D.月 g 【预测命题方向02】数的运算•和差积商四大运算规律★ 1.(2023·湖南怀化小升初真题)已知☆一口=8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的 差是( ):已知o十口=8，如果两个数加数同时增加3，那么现在的和是( ) 2.(2024全国·小升初真题)根据28×45=1260，写出下面各题的得数。 2.8×4.5=( )1260÷2.8=( )12.6÷0.045=( ) 3. (2022山东临沂·小升初真题)在（)里填>”、“<”或=”。 ( )4 46.8÷1.2( )46.8 125%( & )8 【预测命题方向03】数的运算·运算律女 1.(2025·天津宁河·小升初真题)请将等式补充完整，并说明运用了哪种运算律。 (1)23×98+23×2=23×(98+),运用了( )律。 (2)(11×8)×125=11×( ),运用了( )律。 2. (2025·安徽宿州·小升初真题)以下是25×48的三种计算方法，请尝试说明下面各种计算 的道理。 ① ② ③ 25×48 25×48 25 =25×(4×12) =25×(40+8) ×48 =(25×4)×12 =25×40+25×8 200 =1200 =1000+200 100 =1200 1200 ①( ):②( ):③( )。 【预测命题方向04】数的运算·四则混合运算★★★★★ 1.（2025·四川绵阳·小升初真题)脱式计算。 1 47-18.75-1÷ ÷0.46 第26页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.（2025·河南郑州小升初真题)脱式计算。 2450-450÷18×25 5,71.1 16164°2 g 【预测命题方向05】数的运算简便运算★★★★★ 1.（2025·河南信阳·小升初真题)怎样简便怎样算。 25×12.5×32 18xg+写名 5320+468-03 2.(2025·四川小升初真题)计算下面各题，怎样简便就怎样算。 ①6x821 19738 ③68×9+33×909%-0.9 10 【预测命题方向06】数的运算·解方程和解比例★★★ 1.(2025·云南昭通小升初模拟)解方程： 5 2.6:x=0.13:0.5 25%x-1.7=5.8 3=35 第27页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·广西桂林·小升初真题)解方程或比例。 2r+3.2×5=21 7506x-5x=号 35x=7 【预测命题方向07】数的运算列式计算★★ 1.(2025·湖南永州小升初真题)列式计算。 甲数的号等于乙数的40%，乙数是35，甲数是多少？ 2.（2025·江西吉安·小升初模拟)列式计算。 一个数减少它的30%后是70的，求这个数。 第28页共153页 品学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 三、式与方程十种命题预测 【命题解读】 式与方程是小学最为重要的板块之一，在小升初考察中约占30%比重，它主要包括代数式 的初步构建、等式的性质、方程的解法以及列方程解决实际问题等内容，考虑到代数式具有一 定的抽象性，加上多种数的转化、方程的运算、代数式的变形等易错易混点，使得该板块具有 一定的难度。 近年来的考察主要以填空、解方程以及应用题等题型为主，压轴题常涉及复杂的方程应用， 命题主要呈现以下三个趋势： 趋势一，即跨学科融合，结合几何（圆柱与圆锥关系）、统计（分析数据建模）等方向设 计方程。 趋势二，即实际情境化，近年来常以“购物折扣”、“行程规划”等实际生活场景为载体 出题。 趋势三，即聚焦基础知识，常在填空、选择题型中聚焦方程的格式问题、等式的性质变形 等基础知识。 复习式与方程板块的内容，首先要构建思维框架，掌握基础知识和基本算法，其次是分层 突破，针对训练，强化基础计算和应用专题，最后要总结技巧，错题复盘，建立良性循环机制。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 用字母表示数 ★ 选、填 2 定义新运算·程序框图·探索规律·新型关系式 ★★★★★ 选、填 3 方程与等式的辨析 ★ 选、填、判 4 等式的性质与等量代换 ★★ 选、填、判 5 列方程解倍数问题 ★★★★ 解 6 列方程解行程问题 ★★★★★ 解 7 列方程解鸡免同笼问题 ★★★★★ 解 8 列方程解盈亏问题 ★★★ 解 第29页共153页 高学科网 www zxx k com 让教与学更高效 9 列方程解分数和百分数问题 ★★★★★ 解 10 列方程解比和比例问题 ★★★★★ 解 【预测命题方向01】用字母表示数★ 1. (2025甘肃兰州小升初真题)甲车的速度是v千米/时，乙车的速度比甲车的2多5千米， 乙车的速度是( )千米时（用含有v的式子表示)；当v=60千米时，乙车的速度是 ( )千米/时。 2.(2025浙江宁波小升初真题)有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相 同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 3cm 13.5cm m 36cm 60cm 图1 图2 (1)若有n只碗叠起来，它的高度是( )cm(用含有字母的式子表示)。 (②)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。 令【预测命题方向02】定义新运算程序框图·探索规律·新型关系式★★★★★ 1.(2025·河南郑州·小升初真题)规定：A★B=3A+2B,例如4★5=3×4+2×5=22。如果 x★(5★1)=70，那么x=( )。 2.(2025·黑龙江鸡西·小升初真题)琳琳设计了一个猜年龄程序： 输入你的年龄→加6→乘1.5→输出结果 如果输入的年龄是a岁，则输出的结果是( ):如果输出的结果是54，则输入的年龄是 ( )岁。 3.(2025江西上饶·小升初真题)新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和 磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，（ )根磁力棒。 第1个 第2个 第3个 第n个 4.（2025河南信阳·期末)爱眼小常识：看电视时要保持最佳观看距离，最佳观看距离一般 是电视屏幕对角线长度的2倍。如果用字母b表示电视屏幕对角线的长度（单位：英寸），那 第30页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 么最佳观看距离为( )英寸。丽丽家的电视机是70英寸，她的最佳观看距离是( ) 米。（电视机的尺寸是指屏幕对角线的长度，1英寸2.5厘米） 【预测命题方向03】方程与等式的辨析★ 1.(2025广东汕头·小升初模拟)下面式子中，是方程的是( A.5-x B.18:3=6 C.1-2x=0.5 D.4-3x<5 2.(2024福建漳州·小升初真题)韦恩图是一种展示集合关系的图形工具。下面的韦恩图中， )集合关系是正确的。 负 0 正 奇 0 偶 A B 数 数 数 数 方程 长方形 C. 等式 D 平行 四边形 【预测命题方向04】等式的性质与等量代换★★ 1.(2025·四川绵阳·小升初真题)已知△+口=24，△=口+口+口，△×口=( ) 2. (2025·重庆忠县·小升初真题)如果x-3.08=y+828,那么x、y两数相差( )。 【预测命题方向05】列方程解倍数问题★★★★ 1.(2025全国·小升初模拟)2023年5月28日，我国首架具有自主知识产权的干线客机C919 圆满完成载客首飞。一架C919客机的机身总长38.9米，比机高的4倍少8.9米，一架C919客 机机高多少米？（列方程解答） 第31页共153页 西学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025河南漯河小升初真题)有甲乙两桶大豆油，甲桶大豆油的质量是乙桶的，如果从 乙桶向甲桶倒4.5kg大豆油，那么两桶大豆油的质量正好相等。甲、乙两桶原来分别有大豆油 多少千克？（用方程知识解决） 8 【预测命题方向06】列方程解行程问题★★★★★ 1.（2025山东济南·小升初真题)甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两 地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车 每小时行驶多少千米？（用方程解答） 第32页共153页 西学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·河南郑州小升初真题)小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看 望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。 随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公 共汽车的平均速度是40千米时，问小张家到火车站有多远？ g 【预测命题方向07】列方程解鸡兔同笼问题★★★★★ 1.(2025·四川达州小升初真题)青山果园的苹果树和梨树一共有120棵，其中梨树的棵数 是苹果树的25%。青山果园的苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解答） 2.（2025·广东汕头·小升初模拟)妈妈在服装店买了一件上衣和一条裤子，共花了360元， 裤子的价格比上衣便宜了20%，那么上衣和裤子各多少元？ 第33页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 g【 预测命题方向08】列方程解盈亏问题★★★ 1.(2025·四川绵阳·小升初真题)将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3颗， 就会余下糖果17颗；如果每人分5颗，就会缺少糖果13颗。幼儿园小班有多少小朋友？这些 糖果共有多少颗？ 2.(2024四川广元·小升初真题)用绳子测量楼房的高度，把绳子折成相等的4段来量，绳 子比楼房高出5米，把绳子折成相等的5段来量，绳子比楼高出2米。这根绳子有多少米？楼 房高多少米？ g 【预测命题方向09】列方程解分数和百分数问题★★★★★ 1.(2025·湖北襄阳·小升初真题)甲桶的油比乙桶多3.6千克，如果从两桶油中各取出1千克， 则甲桶里利下油的员等于乙桶里利下油的号，那么甲桶里原来有多少千克油？ 第34页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·福建泉州小升初模拟)粮店运进一批大米与面粉，大米比面粉多450千克，当大 米卖出一些后剩下60%，而面粉没卖，这时大米比面粉少150千克。粮店运进这批大米、面粉 各多少千克？（先画图表示数量关系，再解答。） 【预测命题方向10】列方程解比和比例问题★★★★★ 1.(2025山东·小升初模拟)春秋战国时期，我国有一位发明家叫鲁班，手艺巧夺天工，传 说他用木头组成飞鸟，惟妙惟肖，十分逼真。鲁班3天能做15个飞鸟，如果要做80个飞鸟， 需要几天？（用比例解答) 2.(2025·广东汕头·小升初模拟)爸爸准备给客厅铺地砖，用边长5分米的方砖铺，需540 块，若改用边长6分米的方砖铺，需多少块？（用比例解） 第35页共153页 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 四、比和比例。十二种命题预测 【命题解读】 比和比例是小升初常考内容之一，在考察中一般占10%~15%，它主要涉及比和比例的基 础概念运用、相关计算以及实际应用，值得注意的是它常和分数、百分数结合考察。 近年来主要以化简比和求比值、按比例分配应用题、比例关系的判断、比例尺的计算、比 例应用题以及正反比例图标应用等高频考题为主，填空、选择、计算、应用等题型皆有出现， 考察难度一般，从命题情况来看，主要呈现以下三个趋势： 趋势一，即跨学科融合，结合科学实验（数据测量）、地理地图（比例尺）、经济生活等 内容出题。 趋势二，即实际情境化，近年来常以“网购优化比例”、“传统文化”、“行程规划”等 实际生活场景为载体出题。 趋势三，即思维进阶，增加开放性题目，或作为压轴题训练思维。 复习比和比例板块的内容，首先要强调概念辨析，例如比和比例、正比例和反比例的辨析， 其次针对性训练必不可少，最后建立错题本，总结方法。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 化简比与求比值 ★ 选、填、计 2 求比问题 ★★★ 选、填 3 按比例分配问题 ★★★★★ 选、填、解 4 比与分数百分数应用题 ☆★★★★ 选、填、解 5 比例的意义和比例的基本性质 ★ 选、填、判 6 正反比例关系的判断 ★★★ 选、填、判 7 比例尺的意义 ★ 选、填、判 8 比例尺的应用 ★★☆★ 解 9 正比例的应用 ★★★★★ 解 10 反比例的应用 ★★★★★ 解 第36页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 11 正反比例图表综合 ★★★★ 填、解 12 作图·比例尺与图形的放大缩小 ★★★★ 作 【预测命题方向01】化简比与求比值★ 1.（2025河北邢台·期末)化简下列各比并求比值。 2 1.1 749 36分钟：1小时0.2千克：25克 2.（2024河南周口小升初真题)化简下列各比，并求比值。 2.7:0.18 高：5。：品30厘米：2米 2【预测命题方向2】求比问题★★★ 1.(2025·河南周口·小升初真题)琳琳和彤彤两家到学校的路程相等，两人同时从家出发去 学校，琳琳4分钟走到学校，彤彤6分钟走到学校，琳琳和彤彤两人所用的时间比是( ) 速度比是( ) 2.（2025·四川绵阳·小升初真题)一段公路长20k,甲队单独修要8天修完，乙队单独修要 10天修完。甲乙两队的工作效率之比是( ) 第37页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 3.(2025四川绵阳小升初真题)甲数比乙数多，乙数与甲数的比是( )。 4,(2025浙江杭州，小升初真题)如下图中阴影部分的面积占小圆面积的}，占大圆面积的行， 小圆面积与大圆面积的比是( ):( )。 【预测命题方向03】按比例分配问题★★★★★ 1.(2025湖南永州小升初真题)李大爷家的蔬菜大棚如下图，其中2种白菜，其余的按3：2：1 种茄子、苦瓜、辣椒。种茄子、苦瓜、辣椒各需要多少平方米？ 2.(2025·广东汕头·小升初模拟)甲、乙两数的平均数是60，甲、乙两数的比是3：5，甲数和 乙数分别是多少？ 第38页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 3.(2025江苏南京·小升初其题)妈妈根据《学生餐营养指南》制定一日食谱，其中一道鱼 香肉丝的主要原料有瘦猪肉、胡萝卜、甜椒等。下图表示制作鱼香肉丝的三种食材的份数。 瘦猪肉口 胡萝卜口 甜椒口 (1)如果要制作一份450克的鱼香肉丝，三种食材各需要多少克？ (2)如果已有瘦猪肉500克，胡萝卜320克，甜椒600克，妈妈制作完鱼香肉丝用完了所有食 材，她在制作过程中添加了什么食材，添加了多少克？ 【预测命题方向04】比与分数百分数应用题★★★★★ 1.(2025新疆克拉玛依·小升初真题)仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为2：7， 如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的。仓库原有货物多少吨？ 第39页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.（2025·湖北武汉·小升初真题)甲、乙两个志愿者团队原来的捐款钱数比是7：3，现在甲 团队拿出60元给乙团队用于帮扶困难学生，这时甲、乙两个团队的捐款钱数比是2：3。现在 甲、乙两个团队各捐款多少元？ 【预测命题方向05】比例的意义和比例的墓本性质★ 1.(2025河南南阳·小升初真题)若4，x,8,16四个数可以组成比例，那么x最大是( 最小是( ) 2.(2025·浙江杭州小升初模拟)在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是53， 另一个内项是( ),这个比例可能是( ) 3.（2025山东菏泽·小升初真题)成语立竿见影用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中 的( )关系，把5×6=2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 8 【预测命题方向06】正反比例关系的判断★★★ 1.(2025·甘肃临夏·小升初真题)如果y=3,那么x、y成( )比例关系，如果y=3x, 那么x、y成( )比例关系 2.（2025辽宁本溪·小升初真题)圆的周长和它的半径成( )比例：一个三角形的面积 一定，它的底与高成( )比例。 【预测命题方向07】比例尺的意义★ 1.(2021·内蒙古呼和浩特·小升初真题)在一幅地图上新郑机场到新郑市区距离为3cm,而 实际距离为24km,这幅地图的比例尺是( )。 2.（2025·甘肃庆阳·小升初真题)上海中心大厦是我国第一高楼，小辰设计了一幅该高楼的 宣传海报，海报的比例尺是49▣，把线段比例尺改写为数值比例尺是( ),在海报上 第40页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 量得该高楼的高度是15.8cm,则该高楼的实际高度是( )m。 令【预测命题方向8】比例尺的应用★★★★ 1.(2025·河北张家口·小升初真题)近年来，我国无人驾驶技术不断取得突破。技术人员为 获得一辆以新能源为动力的无人驾驶汽车在行驶过程中的数据，他们在图纸上规划一段公路， 让无人驾驶汽车试运行。已知这幅图的比例尺是1：500000，这段公路的图上距离是28厘米， 如果这辆汽车以40千米时的速度行驶，几小时能行驶完？ 2.（2023·贵州黔西·小升初真题)在比例尺是1：1000的平面图上，量得一块长方形麦地的 长是12厘米，宽是8厘米。这块麦地的实际面积是多少平方米？ g 【预测命题方向09】正比例的应用★★★★★ 1.（2025·广东汕头·小升初模拟)一个车队向灾区运送1620吨救灾物资，已知2.4小时运了 324吨，照这样进度，运完这批物资还需几小时？（用比例解) 第41页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025河南开封小升初真题)成语立竿见影在《辞源》里的解释是竿立而影现，喻收 效迅速”。亮亮用数学的眼光来看，立刻联想到本学期所学的( )知识，即同一时间同一 地点，竿高和影长成( )比例关系。 他打算用这种方法测量校园里一座雕塑的高度： 第一步：某天下午4时，他在这座雕塑旁测得明明的影子长度为2.4米，明明的身高是1.6米： 第二步：同时测得这座雕塑的影子长度为42米。 请你根据测量的过程，求出这座雕塑的高度。（用比例解答） 【预测命题方向10】反比例的应用★★★★★ 1.(2025浙江宁波·小升初模拟)为备战学校“百年党史竞赛”，老师给莉莉准备了习题册。如 果每天做12题，15天可以做完，莉莉想10天就做完，每天应该做几题？（用比例解答） 第42页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·甘肃兰州·小升初真题)中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐 演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少 制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 【预测命题方向11】正反比例图表综合★★★★ 1.（2025·陕西榆林·小升初真题)电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。 新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关 数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 (1)判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 (2)把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 耗电量/千瓦时 72 60 6 24 12 0 行驶路程/千米 80160240320400480 (3)该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要( )千瓦 时；30千瓦时的电可行驶( )千米。 第43页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·贵州安顺·小升初真题)把相同体积的水倒入不同底面积的圆柱形杯子中，杯中水 面的高度与杯子的底面积关系的图像如图所示。 (1)底面积和水面高度成( )比例关系。 (2)在底面积是15平方厘米的圆柱形杯子中，水面的高度是( )厘米。 (3)请算一算，将同样体积的水全部倒入底面积是50平方厘米的圆柱形杯子中，杯子的高度 至少是多少厘米水才不溢出？ 水面高度/cm 60 55 45 40 2 15 10 5 0 →底面积/cm2 51015202530354045505560 【预测命题方向12】作图比例尺与图形的放大缩小★★★★ 1.(2025·湖北武汉·小升初真题)①画出三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形。 ②画出三角形ABC按2：1放大后的图形。 ③在方格图上找一个点作为圆心，并用字母O标注，然后画一个圆，使点D、E、F、G都在 这个圆上。 D A C 公 B 2.（2025湖北十堰·小升初真题)(1)学校在中心广场北偏西60°方向600米处，这幅图的比 例尺是( ) (2)书店在中心广场南偏东50°方向900米处，请在图中用.标出书店的位置。 第44页共153页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 学校 北 东 60° 2cm 中心广场 五、图形与几何·二十六种命题预测 ⊙ 【命题解读】 图形与几何，常与“数与代数”并列为小学数学最核心的两大板块，也是小升初考察最多 的内容之一，常年在小升初考试中占25%30%，它主要涉及基础图形特征、基本操作技能、 图形综合应用等内容，在填空、选择、计算、操作、应用等题型中均有所体现。 根据近年来出题情况的研究，呈现出以下三个趋势： 一是学科素养导向，即增加量感题型，例如估算面积。 二是生活情景化，即结合生活场景出题，例如航天科技、建筑模型等。 三是跨学科融合，即与科学、美术、交叉命题。 在复习过程中，要注意基础掌握基本图形特征，针对面积和体积相关问题要作重点突破， 熟练掌握相关解题模型。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 线与角平行与垂直 ★ 选、填、判、作 2 平面图形和立体图形的基本认识 ★ 选、填、判 3 钟表角度计算问题 ★★★ 选、填 4 长方形和正方形的拼接问题 ★★★ 选、填 5 平行四边形与三角形的关系问题 ★★★ 选、填 6 平行四边形与梯形的关系问题 ★★ 选、填 第45页共153页 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 7 长方形、正方形、平行四边形、三角形、 ★★★★★ 选、填、计、解 梯形的面积 8 周长与面积的比较 ★★★ 选 9 圆的周长问题 ★★★★ 选、填、计、解 10 最圆·外方内圆与外圆内方 ★★★★★ 选、填 11 圆环的面积 ★★★☆ 填、解 12 阴影图形的周长与面积 ☆★★★★ 计、解 13 立体图形的展开图 ★★ 选、作 14 长方体和正方体的表面积与体积 ★★★★★ 选、填、计、解 15 圆柱和圆锥的表面积与体积 ★★★★★ 选、填、计、解 16 圆柱与圆锥的旋转构成法 ★★★ 选、填 17 等积变形问题 ★★★★★ 解 18 切拼问题 ★★★★★ 选、填、解 19 排水法求不规则物体的体积 ★★★★★ 解 20 圆柱与圆锥的关系问题 ★★★★★ 选、填 21 倍比问题 ★★★ 选、填 22 组合体的表面积和体积 ★★★★★ 计、解 23 观察物体 ★ 选、填、作 24 平移、旋转和轴对称 ★★ 选、填、作 25 数对、位置与方向 ★★ 选、填、作 26 图形与几何综合作图 ★★★★★ 作 【预测命题方向1】线与角平行与垂直★ 1.(2025·广东湛江·小升初真题)线段有( )个端点，射线有( )个端点（填1” 或2)。 2.(2025四川绵阳·小升初真题)一个40°的角，透过放大5倍的放大镜看，这个角是( ) 3.(2025浙江金华小升初真题)图中，直线a和b的位置关系是( ),直线a和c的位 第46页共153页 画学科网 www zxx k com 让教与学更高效 置关系是( ),直线b和d的位置关系是( ),∠1=61°，那么∠2=( )°。 【预测命题方向02】平面图形和立体图形的基本认识★ 1.（2024河南郑州小升初真题)小学阶段很多知识之间有着密切联系。如图，若A表示等 腰三角形，则B可以表示等边三角形；若B表示方程，则A可以表示( ):请你自己 再举一个例子：( )。 B B 2.（2024浙江温州·小升初真题)知识之间是有密切联系的。如图，若A表示长方体，则B可 以表示正方体：若A表示相交，则B可以表示( )；若B表示等边三角形，则A可以表示 ) A B 【预测命题方向03】钟表角度计算问题★★★ 1. (2025湖南长沙·小升初真题)钟面上指示3：30时，时针与分针的夹角是( )度。 2. (2025·安徽宿州·小升初真题)从11：15到11：45，钟表的分针旋转了( ) 【预测命题方向04】长方形和正方形的拼接问题★★★ 1.（2025·河南郑州小升初真题)如下图，5个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个大长方 形，那么小长方形长与宽的比是( ) 第47页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2. (2019河南平顶山小升初真题)把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方 形。 用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是 )厘米。 令【预测命题方向05】平行四边形与三角形的关系问题★★女 1.(2025甘肃兰州小升初真题)奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。 这个三角形的面积是21.6cm2,底是6cm,拼成的平行四边形的高是( )cm。 6cm 2.（2025·重庆梁平小升初真题)一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是 )厘米：与这个三角形等底等积的平行四边形的高是( )厘米。 【预测命题方向06】平行四边形与梯形的关系问题★★ 1.(2025·广东潮州·小升初真题)图中，已知平行四边形ABCD的面积为40cm2,那么图中 阴影部分的面积是( )cm2,整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是( )。 y 8cm D 40cm2 B C 4cm 2.(2024重庆涪陵·小升初真题)一个梯形的下底是18cm,如果下底缩短8cm,就成为一个 平行四边形，面积减少28cm2,原梯形的高是( )cm,面积是( )cm2。 第48页共153页 2学科网 www.zxxk， com 让教与学更高效 【预测命题方向07】长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积★★★★ 1.(2025·云南昭通·小升初真题)永善县王叔叔家有一块平行四边形的橙子园，底是50米， 高是32米。每8平方米种一棵橙子树，这块地一共种了多少棵橙子树? 2.(2025·湖南邵阳·小升初真题)公园有一个长方形花圃，分成了两部分，分别种植月季和 杜鹃(如下图)。种月季的面积比种杜鹃的面积多 90 平方米，种月季的面积是多少平方米? 月季 15米 杜鹃 24米 3.(2025·四川成都·小升初真题)一个直角三角形的三条边的长度比是3：4：5， 周长是60 厘米，它的面积是多少平方厘米? 第49页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 【预测命题方向08】周长与面积的比较★★★ 1.(2025·山东枣庄·小升初真题)图中甲乙（阴影部分）所在的大圆直径相等。下列说法正 确的是( 甲 A.甲乙的周长和面积都相等 B.甲乙的面积相等，周长不相等 C.甲乙的周长相等，面积不相等D.甲乙的周长和面积都不相等 2.(2025江西萍乡·小升初真题)甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲 剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸 的利用率相比( 甲 A.甲更高 B.乙更高 C.丙更高 D.三人都相同 金【预测命题方向9】圆的周长问题★★★★ 1.（2025·山西运城小升初真题)在班级元旦联欢会上，同学们围坐成一个圆形玩击鼓传花 游戏。李老师站在圆心位置负责击鼓。围成的这个圆形的周长是9.42米，那么每位同学与李 老师相距( )米。 2.(2025·江西新余·小升初真题)一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块地毯边缘行进 一周（如图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是1.5dn, 它的圆心走过路线的长度是( )dm。 ⊙←⊙-⊙ ←18dm ⊙→⊙→⊙ 【预测命题方向10】最圆•外方内圆与外圆内方★★★★★ 1.（2025河南信阳·小升初真题)圆”是中国文化的一个重要元素。圆，有圆满之意，符合中 国人内心深处的向往。在中国建筑中经常能见到外圆内方的设计。如图圆的直径是2米。那 么圆和正方形之间部分的面积是( )平方米。 第50页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·河南焦作·小升初真题)在正方形里面画一个最大的圆，已知正方形的面积等于8c2, 那么这个圆的面积是( )cm2。 会【预测命题方向11】圆环的面积★★★★ 1.(2025江苏淮安·小升初真题)为美化校园环境，实验小学需翻新广场中央的圆形花坛， 并紧贴花坛外围铺设一条宽1米的环形地砖带。已知花坛的半径为4米，请计算铺设地砖的面 积是多少平方米？（先绘制示意图，再解答） 2.(2025·广西桂林·小升初真题)土星环是指由水、冰、尘埃和其他化学物质组成的绕着土 星运转的圆环。彬彬用一个乒乓球和一张圆环形硬纸板做了一个土星模型（如图），这张圆环 形硬纸板的面积是多少平方厘米？ 10cm 2cm 第51页共153页 西学科网 www zxx k com 让教与学更高效 【预测命题方向12】阴影图形的周长与面积★★★★★ 1.(2025·河北石家庄·小升初真题)两个正方形如图放置，求阴影部分的面积。 6 2.(2025浙江宁波·小升初真题)计算阴影部分的面积。（单位：厘米） E D 0 3.(2025·河北承德小升初真题)求图中阴影部分的周长。 33cm 20cm 第52页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 4.(2025贵州安顺·小升初真题)如图所示，将直角三角形ABC向右平移至直角三角形A'B'C 的位置。其中AD=1,CC=1.5,AB=3;求图中阴影部分的面积。（单位：cm) B B C1.5C 【预测命题方向13】立体图形的展开图★★ 1.(2025山东·小升初模拟)下面的图形中( )是正方体的展开图。 D 2. (2025·河北承德·小升初真题)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半 径与高的比是( )。 A.1:2元 B.1:元 C.元：1 D.1:1 会【预测命题方向14】长方体和正方体的表面积与体积★★★★★ 1.(2025·四川绵阳小升初真题)粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高 350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元， 粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 第53页共153页 西学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·江苏苏州小升初真题)学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6 米，四周用砖头砌成。砖的厚度是02米。 (1)如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ (2)在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36 元，一共需要多少钱？ g 【预测命题方向15】圆柱和圆锥的表面积与体积★★★★★ 1.(2025·江西上饶小升初真题)李叔叔做5节底面直径2分米，长8分米的圆柱形通风管， 至少要多少平方分米的铁皮？（只列式不计算） 第54页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·江西吉安·小升初真题)在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称走马灯”，是用竹和 纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的 影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯的体积。（π取3.14） 10cm 15cm 3.(2025·江苏无锡·小升初真题)一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 (1)这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ (2)如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 【预测命题方向16】圆柱与圆锥的旋转构成法★★★ 1.(2025河南南阳·小升初真题)把下边的长方形以它的长为轴旋转一周，会得到一个立体 图形，所得图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 5cm 3cm 第55页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·江西吉安·小升初真题) 如图：以！"为轴，旋转直角三角形4cm 一周得 1 9cm 到的图形体积是( )cm3。 【预测命题方向17】等积变形何题★★★★★ 1.(2025江苏常州·小升初真题)学习蜡烛的变化这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。 将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡 烛。 ()原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 2.(2025·湖北武汉·小升初真题)沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙 子)的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大 约多少厘米高的沙子？ 12cm 10cm 10cm 20cm 30cm 第56页共153页 西学科网 www zxx k com 让教与学更高效 3.(2025河南开封·小升初真题)为迎接中国共产党建党一百周年，某公园园艺处准备将一 个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米)造型的沙雕重新塑成高是1.8米的圆锥形沙雕， 那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 【预测命题方向18】切拼问题★★★★★ 1.(2025·四川绵阳·小升初真题)两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。 把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 2.(2025·河南信阳·小升初真题)如下图，一根长30分米的圆柱形木料，沿着横截面把它截 成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米。原来这根圆柱形木料的体积是多少？ 第57页共153页 西学科网 www zxx k com 让教与学更高效 3.（2025·河南南阳·小升初真题)将一个高12厘米的圆柱形木块平均切成两块（图1），表 面积增加48平方厘米。这个圆柱的底面半径是多少厘米？如果在该圆柱内削出一个最大的圆 锥（图2），这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 图1 图2 【预测命题方向19】排水法求不规则物体的体积★★★★★ 1.(2025·贵州黔南·小升初真题)芳芳家有一个无盖的长方体玻璃水箱。（单位：cm) 20 (1)制作一个这样的水箱需要多少平方厘米玻璃？ (2)水箱里原来水深14cm,放入一个体积为900cm的假山后，现在水深多少厘米？ 第58页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·湖南长沙·小升初真题)妈妈买了一个40克重的金手镯，想知道里面是不是空心 的。山山想到了阿基米德称皇冠的办法。他把手镯放入了一个底面半径为4厘米的圆柱形量 筒中，水面上升了0.1厘米（通过和AI的对话，他了解到40克黄金的体积应该是2.07立方厘 米)，请判断妈妈买的金手镯是否存在空心的现象？ 【预测命题方向20】圆柱与圆锥的关系问题★★★★★ 1.(2025·四川达州·小升初真题)一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积相差36立方厘 米。这个圆柱的体积是( )立方厘米。 2.(2025湖北武汉·小升初真题)一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3 倍，那么圆柱与圆锥的体积比是( ) 3.（2025浙江温州·小升初真题)图中，h1=h2,d1=d2,把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形 的杯子里，最多能倒满( )杯。 h h d2 【预测命题方向21】倍比问题★★★ 1.(2025·河北石家庄·小升初真题)一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大( )倍。 A.3 B.6 C.9 D.27 第59页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2023湖南张家界·小升初真题)如果把长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么它的体积 扩大( )倍。 A.3 B.9 C.27 D.10 3.(2020辽宁小升初真题) 圆柱的底面半径扩大2倍，高不变，体积扩大( )倍。 A.2 B.4 C.8 4.(2024河南信阳·小升初真题)把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将( )。 A.扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的 C.扩大到原来的6倍 D.缩小到原来的 g 【预测命题方向22】组合体的表面积和体积★★★★★ 1.（2025山东·小升初模拟)求下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm) (2) 8 2.(2025河北承德·小升初真题)如图，从正方体中挖掉一个最大的圆锥，求剩余部分的体 积。 cm cm 6cm 第60页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 【预测命题方向23】观察物体★ 1. (2025·四川达州·小升初真题)观察 它们从( )面和 )面看到的图形都相同。（填左x右或上） 2. (2025·湖北武汉·小升初真题)要想使如图的几何体从左面和上面看到的图形不变，最多 能增加( )个小正方体。 3. (2025湖南长沙小升初真题)一个用小正方体搭成的几何体，如图是从它的两个不同方 向看到的形状，要符合这两个条件，最少需要( )块，最多需要( )块，共有 )种摆法。 上面 正面 【预测命题方向24】平移、旋转和轴对称★★ 1. (2021·广东汕尾·小升初真题)下图中，由图形甲到图形乙所进行的变换是( 甲 A.先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6格 B.先向右平移9格，再绕点O顺时针旋转90° C.先绕点O逆时针旋转90°，再向右平移6格 D.先向右平移9格，再绕点O逆时针旋转90° 2.(2025·湖南长沙·小升初真题)下列图标中，是轴对称图形的是( 第61页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2 【预测命题方向25】数对、位置与方向★★ 1.(2025·福建宁德小升初真题)灵灵在教室里的座位用数对表示是(4,5)，巧巧的座位 在灵灵南偏东40°方向上，她的座位可能是( ) A.(3,4)B.（3,6) C.(5,4) D.(5,6) 2.(2025·广东佛山·小升初真题)乐乐从家到学校，他先向东走一段路程到达书店，再向东 北方向走一段路到达学校，乐乐走的路线图是( ) 学校北 学校 北 A. B 家 书店 书店 ·家 学校 北 学校北 C. D 了书店 书店 家 家 3.(2025·甘肃兰州小升初真题)乐乐从家向南偏东40°方向走3千米到学校，放学后原路返 回时，从学校出发，要向( )方向走3千米回到家。 A.北偏西40°B.南偏西50° C.北偏西50°D.南偏西40° 会【预测命题方向26】图形与几何综合作图★★★★★ 1.(2025·河南商丘·小升初真题)(1)画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形。 (2)把图B向右平移5格。 (3)把图C绕O点顺时针旋转90°。 A B 2.(2025广西梧州小升初真题)请画出一个周长为12.56cm的圆，在图上标出圆心0点， 半径，并画出两条互相垂直的对称轴。 第62页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 3.(2025·山东·小升初模拟)画出从前面、上面和左面看到的立体图形的形状。 前面 上面 左面 4. (2025·广东湛江·小升初真题)按要求画一画，填一填。 11 10 9 6 5 M 4 3 2 (3,3) 0 12345678910111213141516171819202122 (1)将图中的圆向上平移5格后，对应的圆心用数对表示是( ) (2)画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形①。 (3)按1：2的比画出图形①缩小后的图形②。 (4)以直线1为对称轴，画出图形M的另一半，使它成为一个轴对称图形。 第63页共153页 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 六、统计与概率·五种命题预测 【命题解读】 统计与概率一直是小学数学中最为基础的内容之一，在小升初考试中约占10%左右，近年 来比重有一定的提升，它主要包括统计图表与简单概率（可能性）两部分内容，一般在基础的 填空、选择等题型中体现。 近年来命题一般呈现以下几个趋势： 一是生活场景化，在实际应用题中的占比越来越大，常把统计图与生活情景结合进行考察。 二是跨学科出题，结合实验数据，观察图表，解决问题。 三是开放性试题，要求从相关图表中提取信息，提出并解决问题。 四是概率与计算的结合，简单概率克通过相关计算得出。 复习统计与概率，首先要构建知识框架，用树状图或图表熟练统计图表的异同点，其次要 注意训练解决实际问题。 日【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 统计图的选择 ★ 填 2 平均数问题 ★ 选、填、解 3 可能性 ★ 选、填 4 简单概率 ★ 选、填 5 统计图表综合应用 ★★★★★ 选、填、解 【预测命题方向01】统计图的选择★ 1.(2025江西南昌·小升初真题)根据下面各题情况，请选择合适的统计图。 A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图D.不确定 ①如果要统计2024年第33届巴黎奥运会上，中国、美国、日本、法国、澳大利亚这五六个国 家的金牌情况，宜选用( ) ②如果要统计第29届到第33届中国金牌数量的变化情况，宜选用( ) ③在2024年第33届巴黎奥运会上，中国共取得40枚金牌。要统计田径、游泳、体操、跳水、 第64页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 乒乓球等项目的占比情况，宜选用( ) 2.(2025河北沧州·小升初真题)气象站要记录某地一天中气温的变化情况，用( ) 统计图比较合适：要反映100毫升牛奶中蛋白质、脂肪、钠、钙等营养成分所占百分比，用 ( )统计图比较合适：要想了解学校各年级人数多少的情况，用( )统计图比较 合适。 【预测命题方向02】平均数问题★★ 1.(2025·湖南长沙·小升初真题)有6个数排成一列，这6个数的平均数是11，前4个数的 平均数是9，后3个数的平均数是14，则第四个数是( ) 2.(2025·吉林长春·小升初真题)甲、乙、丙、丁四人参加东北师大附中科技节比赛，甲、 乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么 他们四人的平均成绩为( )分。 令【预测命题方向3】可能性女 1.(2025·甘肃兰州小升初真题)盒子里有5个红球、7个白球和3个蓝球，任意摸出一个， 可能的结果有( )种，摸出( )球的可能性最大。 2.（2025河南开封·小升初真题)袋中有除颜色外其余完全相同的5个白球，4个黄球和6个 红球。从中任意摸出一个，摸到( )球的可能性最大：至少摸出( )个球，其中 一定有两个红球。 【预测命题方向04】简单概率★★ 1.(2025广东广州·小升初模拟)抽屉中有一双红色袜子，一双黑色袜子，一双白色袜子， 除了颜色外都相同，从中任取两只袜子恰好为一双的可能性为( ) 2.（2025·四川绵阳·小升初真题)每一颗骰子的六个面分别刻有数字1、2、3、4、5、6，若 同时抛出两颗骰子，出现点数和为7的可能性占( ),差为1的可能性占( (填分数) 令【预测命题方向05】统计图表综合应用★★★★★ 1.(2025·山东青岛·小升初真题)高科技给我们的生活带来便利的同时，也给一些不法分子 提供了可乘之机，他们的电信诈骗手段越来越难以防范。为了防止人们上当受骗，某公司开展 了“经历最多的诈骗方式的调查活动。经过整理分析后，绘制成了两个统计图。 第65页共153页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 经历最多的诈骗方式统计图 经历最多的诈骗方式统计图 ↑人数 120 QQ诈骗 虚拟中奖 N 90 10% 25% 电话 60 欠费 30 20 微信诈骗 (）% 0 微信虚假QQ电话诈骗 ()% 诈骗中奖诈骗欠费 方式 (1)把上面的两个统计图补充完整。 (2)为了防止诈骗，你想对身边的人说些什么？ 2.（2025·山东潍坊·小升初真题)乐乐从家出发去上学，走到A地时，发现忘记带科学课材 料，于是她赶紧小跑回家：拿好材料后，怕上学迟到，就骑自行车赶往学校。乐乐行程情况（图 1)和时间分配图（图2)。 25% 距离/米 学校 图1 图2 ■走路时间 ☐小跑时间 450× 60% ☐骑车时间 时间/分 058 ()乐乐从A地回家取材料的跑步速度是多少米/分？ (2)乐乐骑车的平均速度是250米/分，乐乐家到学校的距离是多少千米？ 第66页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 3.(2025·福建漳州小升初真题)某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的种子进行发芽 实验，将四种型号的种子试验粒数情况绘制成统计表，将四种型号的种子发芽情况绘制成条形 统计图。 四种型号种子试验粒数情况统计表 型号 B c D 种子数粒 700 400 440 460 四种型号种子的发芽状况统计图 发芽数/粒 800 630 600 418 400 360 414 200 D型号 ①根据以上信息，你建议推广哪种型号的种子？为什么？ ②对C型号的种子进一步试验，将记录下来的数据绘制成如下折线统计图。观察折线统计图， 关于温度与种子发芽率的关系，你有什么发现？（至少写2个发现） 发芽率/% 100 82 74 15 60 40 0510152025303540→温度/℃ 第67页共153页 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 七、数学思考•八种命题预测 【命题解读】 数学思考是小升初常考内容之一，约占小升初考试的15%左右，常在填空、选择、几何、 解决问题等题型中出现，值得注意的是，近年来多与代数、图形等内容结合进行综合考察。 近年来的命题主要呈现两个趋势，一是跨学科整合，凸显综合性，二是开放性，以观察和 探索为主，考察学生创新思维。 复习该板块内容，要注意归纳总结，针对高频考点作训练，着重思维提升。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数列规律探索 ★★★★ 选、填 2 算式规律探索 ★★★★★ 选、填 3 图形规律探索 ★★★★★ 选、填 4 数表规律探索 ★★★★★ 选、填 5 周期规律探索 ★★★★★ 选、填 6 逻辑推理 ★★★ 选、填、解 7 找次品 ★ 选、填 8 搭配问题 ★★ 选、填 【预测命题方向01】数列规律探索★★★★ 1.(2025重庆江北小升初真题)根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17. 的规律，51是第( )个数。 （225重庆北陪小开初真题)观察数列：行，京京言名名京，多… 2005 2. 2008' 207的规律，数列中第2008项是( 2008 )。 【预测命题方向02】算式规律探索★★★★★ 1.(2025湖南长沙.小升初真题)①1+2+3+4+5+6+7+8十9=5×9②6+7+8十9+10 第68页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 =8×5 ③472+473+474+475+476+477+478=475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101+102+103+104+105+106+107+108+109=105×( ) 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。( ) 2.（2025河北石家庄·小升初真题)规定：6*2=6+66=72：2*3=2+22+222=246：1*4= 1+11+111+1111,则7*5=( ) 令【预测命题方向03】图形规律探索★★★★★ 1.(2025·四川达州小升初真题)如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要( 个O,第n个图形需要( )个O。 OOOO 0 O O 。。。 O O O 00 0 0 第1个 第2个 第3个 2.(2025·广西北海·小升初真题)把相同规格的小长方形（黑长方形和白长方形）按规律排 列（如图），照此规律，当刚好出现第7个黑长方形时，白长方形有( )个：黑长方形 的个数占小长方形总个数的( ) 【预测命题方向04】数表规律探索★★★★★ 1. (2025·湖北武汉·小升初真题)根据如下数表的变化规律，2025在第( )行第 )列。 1 2 4 7 11 3 5 6 12 6 9 13 10 14 15 2. (2025·四川内江·小升初真题)现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数1~365， 如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。 第69页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 图2是完成上述排列后，抽出数字365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、 ③三个位置表示的数分别是：①( ):②( ):③( )。(如果是空格，用 6×表示) ① 365 ② 9 10 ③ 图1 图2 【预测命题方向05】周期规律探索★★★★★ 1.(2025新疆和田·小升初真题)OO☆☆☆OO☆☆☆..左边起第21个图形是( 前50个图形中O有( )个。 2.(2025·广西贵港小升初真题)☆◇口O☆◇口O☆◇口O...,照这样排下去，第24个图 形是( ),在前81个图形中，☆有( )个。 。【预测命题方向6】逻辑推理女★女 1.(2025四川绵阳·小升初真题)甲、乙、丙分别是三个项目的比赛冠军。已知他们各自只 参加了一次比赛，还知道：甲不是跑步冠军；乙不是游泳冠军；丙不是跳远冠军；跑步项目乙 没有参加。请问，游泳冠军是( 。 2.（2025·重庆南川小升初真题)甲、乙、丙、丁4人中只有一人做了好事。甲说：不是我 做的。”乙说：“是丁做的。丙说：不是我做的。”丁说：“是甲做的。”已知他们4人中只有1 个人说的真话。请问：是( )做了好事。 【预测命题方向07】找次品★ 1.(2025湖南永州·小升初真题)有5袋白糖，其中4袋每袋500g,另有1袋不是500g,但 不知道比500g轻还是重。假如使用天平称，至少称( )次能保证找出不是500g的那一袋。 2.(2025河南许昌·小升初真题)9个外观相同的零件中，有一个次品比其他零件要轻，用天 平至少称( )次可以保证找出次品。 令【预测命题方向08】搭配问题★★ 1.(2025河南郑州小升初真题)某兴趣小组共6名队员，在每次见面会上，如果每两人握 第70页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 一次手，一共要握( )次手。 2.(2025·广东梅州·小升初真题)梅州西到深圳北的高铁开通啦！其中D7337这趟车途经兴 宁南、五华、龙川西、河源东、惠州北、东莞南几个站点（如图)，请问单程有( )种 不同的车票。 兴宁南 龙川西惠州北 梅州西 五华 河源东东莞南深圳北 第71页共153页 品学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 八、典型应用题十一种命题预测 【命题解读】 应用题是小学数学最为重要的内容，约占小升初考试的30%，是试卷中分值最高，题型最 复杂的板块，它包括多种典型问题以及整数、小数、分数和百分数、比和比例应用题等内容。 近年来，命题呈现以下三个趋势： 是综合应用化，多知识点交叉，结合几何、代数综合考察。 二是创新题型渗透，诸如定义新运算、开放性问题等。 三是区域性差异化命题，不同版本不同地区所呈现出的命题趋势不同，一线城市更注重思 维灵活性，二三线城市保留传统问题。 高效复习应用题板块，首先要分模块突破，专项训练，其次优化解决问题策略，总结技巧 方法，最后着重实战，分析错题，特别是真题精炼。 a 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 分段计费问题 ★★★★★ 解 2 经济问题与促销问题 ★★★★★ 解 3 优化问题与租车租船问题 ★★ 解 4 工程问题 ★★★★★ 解 5 分数与百分数应用题 ★★★★★ 解 6 折扣·利率税率·利润问题 ★★★★★ 解 7 行程问题 ★★★★★ 解 8 鸡兔同笼问题 ★★★★ 选、填、解 9 植树问题 ★★★ 选、填、解 10 鸽巢问题 ★★★ 选、填 11 浓度问题 ★★★★ 解 第72页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 【预测命题方向01】分段计费问题★★★★★ 1.(2025山东青岛·小升初真题)代驾已成为热门，让更多不方便的人群多一点安全，下面 是e代驾”公司的收费标准。 时间段 起步价格 里程费 收费标准 07:00-23:59 9.9元（含2公里) 每公里4元 超过12公里 00:0006:59 18元（含3公里） 每公里加收1.5元 等候费：免费等候10分钟，超出后1元分钟 ()有一天晚上，王叔叔在外就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到7千米（公里）远的家 用车库，王叔叔应付多少代驾费？ (2)某天凌晨，李叔叔也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费81.5元（无等候费），此次代 驾行驶了多少千米？ 第73页共153页 丽学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025新疆克拉玛依·小升初真题)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采 取了价格调控手段，该市自来水收费见价目表。 价目表 每月用水量 单价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部 每立方米4元 分 超过10立方米部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若该户居民1月份用水12.5立方米，则应该收水费多少元？ (2)若某户居民2月份上缴水费40元，则2月份的用水量是多少立方米？ (3)若该户居民3、4月份共用水15立方米(4月份用水量超过3月份的用水量)，共缴水费 44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？ 第74页共153页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 g 【预测命题方向02】经济问题与促销问题★★★★★ 1.（2025浙江合州·小升初模拟)某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费 30元：方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有 效)。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (②)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 2. (2025·湖南邵阳·小升初真题)学校要买120本奖本，每种奖本在三家超市的原价都是6 元，三家超市采取了不同的促销方法（如下表），学校选择哪家超市购买最便宜？请写出比较 的过程。 甲超市：每满100元减25元 乙超市：每买10本送2本 丙超市：打8折出售 第75页共153页 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 令【预测命题方向3】优化问题与租车租船问题★★ 1.(2025河北邢台·小升初真题)光明小学六年级有120名师生去参观博物馆，某运输公司 有两种车辆可供选择： ①限坐40人的大客车，每人票价10元，如满座票价可打八折： ②限坐10人的面包车，每人票价12元，如满座票价可按75%优惠。 请你根据以上信息为光明小学六年级师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金。 2.(2025江苏盐城小升初真题)同学们在剪纸社团活动中，制作了72件我爱盐城主题剪 纸作品，贴在10块展板上展出，每块小展板贴6件，每块大展板贴8件。大、小展板各有多 少块？ 先假设两种展板的块数，再通过试验调整找出答案。 小展板块数 大展板块数 剪纸作品总件数 和72件比较 答：小展板有()块，大展板有()块。 第76页共153页 西学科网 www zxx k com 让教与学更高效 【预测命题方向04】工程问题★★★★★ 1.（2025·四川绵阳·小升初真题)下图是甲、乙、丙三人打一份稿件所用时间。 16 15 12 10 8 0 甲 乙丙 (1)甲所需时间比丙少几分之几？ (2)乙所需时间比甲多几分之几？ (3)如果乙和丙合作，多少天可以完成任务？ 2.(2025·四川凉山·小升初真题)一件工程，甲独做要6天完成，乙独做要9天完成，，现 在甲乙两队合做3天后，剩下的由甲独做还需要多少天才能完成？ 第77页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 令【预测命题方向05】分数与百分数应用题★★★★★ 1.(2025山西大同·小升初真题)希望书店卖掉两套书，一套《百科全书》，一套《中华传 统故事》，售价都是120元，其中《百科全书》赚了20%，《中华传统故事》亏了20%。请 你帮老板算一算，这两套书售出后，整体来看是赚了还是亏了？赚或亏了百分之几？ 2.(2025重庆沙坪坝小升初真题)加工一批零件，原计划每天加工30个，当加工完时， 由于改进了技术，工作效率提高了10%，结果提前了4天完成任务，问这批零件共有几个？ 第78页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 令【预测命题方向06】折扣利率税率利润问题★★★★★ 1.(2025·甘肃兰州小升初真题)某书店凭优惠卡购书可打八折，明明用优惠卡买了一套原 价60元的书。明明买这套书实际花了多少元？ 2.（2025湖南邵阳·小升初真题)张叔叔每月收入8000元，按《个人所得税规定》，每月收 入扣除5000元免缴税后，按3%缴纳个人所得税，张叔叔每月实际收入多少元？ 3.(2025·江苏苏州·小升初真题)妈妈用10万元购买了一款五年期的保险，比把10万元存 在银行，五年定期多收益1125元。已知银行五年定期的年利率是2.25%，若要获得与妈妈本 次购买保险相同的收益，在银行存五年定期需要本金多少万元？ 第79页共153页 西学科网 www zxx k com 让教与学更高效 4.（2025山东青岛·小升初真题)某文具批发商购进练习本1200本，每本练习本的成本是2.5 元。商家按成本提高40%后定价出售。 (1)照这样定价，售完所有练习本后预计能赚多少钱？ (2)一段时间后，商家只卖掉了80%的练习本，剩下的练习本打折出售，最终这批练习本实 际赚的钱是预计的86%，剩下的练习本是按定价打了几折出售？ a 【预测命题方向07】行程问题★★★★★ 1.（2025·河南新乡·小升初真题)甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42 千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中 相遇。A、B两地相距多少千米？ 第80页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·甘肃兰州小升初真题)甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每 小时行80千米，当两车在途中相遇时，甲、乙两车所行的路程比是4：3。相遇后，甲车保持原 来的速度继续向前行驶，1.5小时到达B地。乙车的速度是多少千米/小时？A、B两地间的路 程是多少千米？ 8 【预测命题方向08】鸡兔同笼问题★★★★ 1.(2025·安徽合肥小升初真题)张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛 的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元， 两种票各订了多少张？ 2.（2025·四川绵阳·小升初真题)足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分， 负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 多少场？ 第81页共153页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 g 【预测命题方向09】植树问题★★★ 1.(2025·湖北十堰·小升初真题)把一根3长的木料锯成同样长的6段，一共用时3分钟， 平均每锯一次用( )分钟，平均每段木料的长度是( )m。 2.(2025新疆乌鲁木齐·小升初真题)小红在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种到9 棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为每隔4米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有 ( )棵。 【预测命题方向10】鸽巢问题★★★ 1.(2025湖南永州·小升初真题)一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从 布袋中取出一个球，至少摸出( )个球才能保证摸到2个同色球。 2.(2025江西吉安·小升初真题)某班有40个同学，至少有( )名同学的生日是在同 一个月。 令【预测命题方向11】浓度问题★★★★ 1.(2024河南三门峡小升初真题)先阅读理解，再解决问题。 盐水浓度= 盐的质量+水的质量×100%，饱和盐水是指在一定温度下盐水中所含盐质量达到最大 盐的质量 限度（不能再溶解），如水温50°时饱和盐水的浓度约为2%。 (1)聪聪在一次科学实验中，将54克盐放在346克水中充分搅拌，此时盐水的浓度是多少？ (2)聪聪又用50°的水加入适量盐配出了3500克饱和盐水，他加入了多少克的盐？ 第82页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.(2025·湖南张家界·小升初真题)张小萌把含盐25%的盐水250克和含盐15%的盐水750 克混合在一起，这时所得到的盐水的浓度是多少？（损耗忽略不计） 第83页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 03 重点 难点，情境 命 题 新基础素养题型探究 【考情解读】 新素养命题的核心转变在于从单一知识点考查转向数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观 想象、数学运算、数据分析六大核心素养的综合测评，具体而言： 一 是从“抽象习题”到“真实情境”，大量融入“校园规划”“社区改造”“垃圾分类” 等生活化场景： 二是从“解题技巧”到“思维品质”，强调逻辑推理、逆向思维、新定义理解能力： 三是从“单一知识点”到“跨域整合”，多模块知识融合应用成为主流： 全国统一呈现“重基础、显思维、考能力”趋势，强调数学与生活、社会热点的结合， 另外也存在显著的区域差异，一线城市（如北京、上海）：更注重创新思维和跨学科整合，开 放性题目占比高：二线城市（如长沙、镇江）：稳步推进素养导向，逐步减少机械计算，增加 情境化应用题；三四线城市：基础题型仍占主导，但开始引入素养导向题目，难度梯度明显。 新基础素养题（判断、选择、填空、计算）占分最高、难度最低，核心是稳、准、快，技 巧围绕「少算、巧算、防坑」展开，是拿分关键。 令【题型实例】 一、填空题。 1.中央广播电视总台乙已蛇年春晚以“巳已如意，生生不息”为主题（如图）。将两个已字 对称摆放，恰似中国传统的如意纹样，双已合璧，事事如意，彰显着中华民族精神根脉生生不 息的时代力量。如果把乙2用1表示，那么2 用分数表示是( ),用小数表示是 ).82的( )%。 春节联欢晚会 2025 2.如图，七巧板中①号三角形占整个图形的( )。②号三角形占整个图形的( 第84页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 这个分数可变化为：2÷( )=( ):16=( )。（最后一空填小数) ② ③ ① ④ ⑤ ⑥ ⑦ 3. 如图所示和算式，其中画方框部分表示0.6的是( 1.3 811 8 A. B. 己经下载了6% 30 bdooo D 24 6← 个十 位分 分 位 4.40%=）=30÷( 25 )=( ):200=( )折。 5.在}，33.3%，3.3， 品中，( )最大，( )最小。 6. 20230706÷8,余数是( ) 7.图中，若圆形的位置是(2,3)，则三角形的位置是( ):如果三角形的面积是0.5cm2, 则圆的面积是( )cm2。 米 8. )米短号比号米长0米的是( )米。 9.为解决“看病难、看病贵的问题，某大药房响应国家号召，把所有药品的价格一律降低四 成进行出售。一种药品原价是每盒56元，降价后每盒( )元；一种药品现价是每盒84 元，降价之前每盒( )元。 二、判断题。 10.温度计上显示的0c表示没有温度。( ) 11.若13只母鸡13天下13个蛋，则100只母鸡100天下100个蛋。( 12.任意三个连续自然数的和都是3的倍数。( 第85页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 13.将边长为lcm的正方形按一行排列，当有3个正方形时，周长为8cm;每增加一个，周 长增加2cm。( ) 14.。既可以看作是一个分数，也可以看作是一个比。( 15.甲、乙、丙三个小朋友来自中国、日本、英国，甲不会说英文，乙不懂日语，丙可与英国 人热烈交谈。根据以上信息，我们知道乙小朋友是中国人。( ) 16.一年中有7个大月和5个小月。( ) 17.用四个圆心角为90°的扇形一定可以拼成一个圆。( 18.一种彩票的中奖率为1%，小明妈妈买了一百张彩票，不可能会中奖。( 19.0.9,0.99,0.999,.越向后写出的数越接近整数1。( 三、选择题。 20.下列问恶可用4：合引 解决的是( ) A.计算人均绿地面积 B.计算两队合作铺设步道时间 C.计算混合种植蔬菜总产量 D.计算15分钟步行范围 21.下面( )选项的计算过程与其它几项的本质是不同的。 A.商不变的规律：21=0.25=(21×4)÷(0.25×4)=84÷1=84 .分效的分器--品 C.除法的性质：16.84÷0.125÷80=16.84÷（0.125×80)=16.84÷10=1.684 D.比的化简：9 22.下图是六(1)班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm,这间教室的实际 长是10m,这幅平面图的比例尺是( ) 5cm A.1:2 B.2:1 C.1:200 D.200:1 23.用大小相同的小正方体摆成的物体，从正面看是： ■■从上面看是： 从左 面看是( ) 第86页共153页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.■ B.□ C. D 24.如图①，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导了梯形的面积计算公式。用这 样的思路，可以求出如图②所示的立体图形的体积是( )cn3。 8cm ① ② A.100 B.16 C.200元 D.240元 25.推导圆柱的体积计算公式的方法（如下图），与下面第( )个古代故事中的方法相 同。 A.揠苗助长B.刻舟求剑 C.曹冲称象 D.田忌赛马 26.下面选项中，( )是正确的。 A.读统计图时应注意弄清纵轴和横轴表示的意思 B.六(1)班某天的出勤率是102% C.扇形统计图能清楚地表示各部分的具体数量 D.平行四边形一定是轴对称图形 二、新情境应用题型探究 【考情解读】 新情境应用题型是小升初新素养命题的核心题型，分值占比高、难度中等偏上，是拉开分 数差距的关键。题目不再是纯数学式子，而是包装在生活场景里：购物促销、行程出行、工程 施工、铺砖装修、水电费计算、统计决策等，重点考数学建模+信息提取+实际解决问题 的能力。。 第87页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 【题型实例】 1.(新情境。与科技新闻的结合)中国空间站是一种在金地轨道长时间运行，可供多名航天 员巡访、长期工作的载人航天器。包括核心舱天和”、实验舱梦天”和问天”、载人飞船神舟” 和货运飞船天舟五个模块。组成空间站轨道高度为400一450公里，倾角42一43度，设计寿 命为10年，长期驻留3人，总重量可达180吨。核心舱全长16.56米，最大的直径是4米， 发射质量约为22.5吨，是空间站的管理和控制中心。 中国空间站未来还将单独发射一个光学舱，并计划在光学舱里架设一套口径2米的巡天望远镜， 视场角是哈勃的300多倍。在轨10年可以对40%以上的天区，约一万七千五百平方度天区进 行观测。 (平方度：在球上对应的是面积。把一个圆平分为360份，每段弧对圆心的夹角是1度，即半 径为R的圆，取一段长为πR180的弧长，它对圆心的夹角为一度。) 阅读以上材料，请回答以下问题。 (1)一万七千五百写作：( ),用四舍五入法精确到万位约是( )万。 (2)22.5吨=( )千克。 (3)巡天望远镜的镜头周长是( )米，面积有( )平方米。 (4)把180,16.56,4,300,40%这5个数按从小到大的顺序排列： ( )<( )<( )<( )<( (⑤)请列式并计算出天区的面积约是多少平方度： 2.(新情境。与时事热点的结合)中国广州经济发达，有“南大门”之称，是海上丝绸之路的 起点。截至2019年年底15305900人，总面积为7434平方千米，其中农业耕地面积约12万公 顷，在广州举办第七届中国广州国际投资年会，年会主题为领航新发展澎湃新活力。 (1)横线上的数读作( ),改写成用万”为单位的数是( (2)2021年2月份的下旬有( )天。 (3)7434平方千米=( )公顷。 (4)林业用地面积比农业耕地面积多( )%。 3.(新情境。与旅游文化的结合)阅读下面材料，完成问题。 平遥古城是一座具有2700多年历史的文化名城，是中国境内保存最为完整的一座古代县城。 平遥古城城池大致成正方形，城墙总周长6163米，墙高约12()，围成的古城面积约 第88页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2.25( )。平遥古城（景点)成人通票价格125元，学生凭有效证件可五二折购买门票。 近几年中，2019年平遥旅游人数最多，全年共接待游客17650400人次；旅游总收入二百零九 亿七于二百万元。2024年五一”假期，平遥古城共接待游客26.45万人（次），门票收入816.46 万元。平遥推光漆器、长山药、牛肉独具盛名，被称为平遥三宝”。 (1)在上述材料的括号里填上合适的计量单位。 (2)横线上的数读作( ),省略万”位后面的尾数约是( )万；写出波浪线上的 数( ),把它改写成用“亿”作单位的数是( )亿。 (3)学生凭有效证件购买古城通票需( )元。 (4)玲玲妈妈来平遥旅游买了一个推光漆首饰盒（如图），玲玲帮妈妈把20件首饰放进6 个抽屉里，她发现不管怎样放，总有一个抽屉至少放( )件首饰。 (5)按门票收入的3%缴纳营业税，2024年“五一”大约应缴纳营业税( )万元。（结果 保留两位小数) 4.(跨学科主题。历史文化)中国古代《九章算术》中有一道数学名题持米过关”，意思是 有一个人背了一袋大米过三关，在外关时用全部米的纳税，经过中关时用所剩米的二纳税， 经过内关时再用所剩米的纳税，最后还剩5斗米。请问：这个人原来带了多少斗米？先画图 表示数量关系，再解决问题。（斗”是中国古代的容量单位）今有人持米出三关，外关三而取 一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？ 第89页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 5.(跨学科主题·生活实践)养乐多是一种含有特殊活性乳酸菌的乳饮品，深受小朋友喜爱。 (1)一小瓶养乐多约一支铅笔的一半那么高。 净含量大约(100mL500mL1000mL)左右。（选择正确答案，圈一圈） (2)随着互联网的普及，网购已成为一种常见的购物方式。据统计，2017年中国网购用户规 模3.8亿，2018年达4.6亿，同比增长约21%。请计算说明这句话是否正确。 (3)养乐多一瓶单价：2.2元，小明想买50瓶，请计算四种购买方式哪种最合算。 A超市：一律九折优惠 B超市：买4瓶赠一瓶 C超市：满100元整单优惠15% D网站：（见图） 养乐多：5瓶 售价：10.6元，快递：12.00元。 第90页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 6.(跨学科主题。生活模拟)滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费 用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00:00~09:00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 17:0000:00 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00:00~06:00 2.40元/千米 00:00~06:00 0.60元/分钟 23:00~00:00 23:00~00:00 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费：超出 部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要 支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元， 李叔叔本次里程最长多少千米？ 尚贤酒店（市委党校店） 火车站 红绿灯少6.5公里11分钟 ● 千年庄 第91页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 7.(跨学科主题主题·实验测量)阅读并解答。 测量学校旗杆高度的实验 (1)实验器材：卷尺、2米长的竹竿 (2)实验时间：某个晴朗的上午 (3)实验步骤： ①将竹竿直立在学校的旗杆旁边。 ②量得竹竿的影长为1.2米。 ③在同一时间量得旗杆的影长为9.6米。 学校旗杆的高度为多少米？ 8.(跨学科主题。艺术设计)我是小小设计师：小亮家门前有一块空地，请根据描述帮小亮 进行设计。（方格图每小格为1平方厘米）》 (1)小亮在空地上围了一块平行四边形菜园(ABCD),他想在菜园的东面围一个花园，花 园是将菜园按2：1放大得到的，请画出放大后的花园。 (2)小亮家花园的面积是菜园面积的( ) (3)以点B为观测点，点A在点B的( )偏( )( )°方向。 第92页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 (4)若上图是一幅比例尺为1：200的平面图（局部），小亮准备给菜园四周围上篱笆，买 16米长的篱笆够吗？请说明理由。 9.(跨学科主题语文创作)近年来，我国铁路运行事业蓬勃发展。从普通列车到快速列车， 再到现在G字头”动车和D字头动车，中国铁路技术装备达到了“领跑世界的先进水平。下 面是一些列车运行速度的信息： ①普通列车运行速度为120千米时。 ②普通列车运行的速度是G字头动车的40%。 ③快速列车运行的速度比普通列车运行的速度快：。 ④D字头”动车运行的速度比快速列车运行的速度快50%。 (1)根据信息①和信息②，请你提出一个数学问题，并解答。 (2)要求D字头动车运行的速度，你会选择哪几条信息？请你写出来，并用你选择的信息 进行计算。 第93页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 三、 新思维拓展题型探究 【考情解读】 新思维拓展题型属于选拔区分题，难度中等偏上，是拉开分数差距的核心题型，围绕六大 数学核心素养：逻辑推理、数学抽象、直观想象、创新应用出题，侧重“现学现用、举一反三、 思维灵活”，不靠背公式，而靠思路方法。 不同类型新思维拓展题型解题技巧不同，新定义运算新概念题给出一种新符号、新规则， 让学生现场理解并计算；规律探究题数列规律、图形规律、周期规律、数表规律：逻辑推理题 真假话判断、人物排序、条件匹配、数字谜：几何拓展题割补平移、等高模型、一半模型、容 斥、阴影面积：经典应用题拓展还原问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程变速、工程变式：最值 与优化题至少、最多、最短路线、最省钱方案；数论初步因数倍数、质数合数、余数周期、页 码问题。 总的来说，解题时，先“翻译”，再做题：先从简单入手，找到规律，再做难题；能画图， 绝不空想；能转化，绝不硬算；先假设，再验证：最后答案一定要验证代入原题、代入规则， 看是否符合。 金【题型实例】 1.(算筹记数)早在两千多年前的《九章算术》中就有用算筹记录负数的记载。如：|一 表示“+213，而1一+表示“-213”，按照这样的表示法，下面算筹所表示的数中，( 表示“-112”。 A.-II川 B.- C.|-H 2.(完全数)古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和， 那么这个数就是完全数”。例如6有4个因数1,2,3,6，除本身6以外，还有1,2,3三 个因数。6=1+2+3，所以6是完全数”。下面的数中是“完全数的是( ) A.10 B.12 C.16 D.28 3.(图表探究)根据图形选择合适的选项。 第94页共153页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4 5 6 7 8910 14 15 16 17181920 22 23 24 25 27 282930 31 32 33 3435 36 37383940 图1 42 43444546 47484950 52 53 54 555657585960 图2 61 626364656667686970 71 727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100 (1)在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是( A.95 B.237 C.115 D.130 (2)在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是( )数。 A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数 4.(本位数)已知：在计算n十(n十1)十(n十2)的过程中，如果存在自然数n,使得各个 数位均不产生进位，那么称这样的自然数n为本位数”。 例如：2是本位数，因为2+3+4=9，没有进位：20是本位数，因为20+21+22=63，各个 数位均不产生进位： 13不是本位数，因为13+14+15=42，个位产生进位：90不是本位数，因为90+91+92=273， 十位产生进位。 (1)请你根据以上信息，判断下面的数中如果是本位数请在后面的括号内打√，如果不是“本位 数”请在后面的括号内打×。 50( )102( )2024( (2)1100中最小的本位数”是( ),最大的本位数”是( ) 5.(新定义计算)若A*B=(A+2)×(B-1),则6*(3*5)=( ) 6.(新定义计算)对任意两个数x,y规定运算*的含义是：x*y= 4×xxy(其中m是一 mxx+3xy 个确定的数)，如果1*2=1，那么m=( ),3*12=( ) 7.(材料阅读与理解)现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分。有 一种密码的明文（真实文)按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、.、N、M这26个 字母依次对应1、2、3、.、25、26这26个自然数（见下表）： 第95页共153页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 O W E R T Y U I 0 P A D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 t-I (x是自然数，1≤x≤26，x被3整除) 给出一个变换公式： x'=x+2 +17 (x是自然数，1≤x≤26，x被3整除) 3 =++8 （x是自然数1≤x≤26，x被整除) 3 将明文转换成密文，如：4→42+17=19，即R变为L: 3 将密文转换成明文，如：21→3×(21-17)-2=10，即X变为P: 已知不管是将明文转换成密文还是将密文转换成明文x(或x)的值都是1≤x(或x)<26的 自然数。 (1)按上述方法将明文N、E、T译为密文； (2)若按上述方法将明文译成的密文为D、W、N,请找出它的明文。 第96页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 8.(阅读与理解)小明热爱科学，喜欢创新，立志为中国智造贡献自己的力量。现在，他已 经拥有了两项自己的发明专利。有一天，他在阅读科学实验书籍时遇到了一个陌生的概念“饱 和盐水”，查阅资料后，收集了以下几条信息。请你阅读并理解信息后，再解决问题。 盐的质量 资料一盐水浓度的计算方法是：盐水浓度=盐的质量+水的质量×1006 资料二饱和盐水是指在一定温度下盐水中所含盐量达到最大限度（不能再溶解），如：水温 50℃时饱和盐水的浓度约为27%。 (1)把36克盐放入164克水中，充分搅拌，全部溶解。求：盐水的浓度是多少？ (2)如果把盐水加热到50摄氏度。还能再放入多少克盐。这杯盐水就会变成饱和盐水？（得 数保留一位小数) 第97页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 9.(观察与探究)数学思想方法是数学的灵魂，转化思想作为重要的数学思想方法之一，在 我们的学习生活中无处不在，如，在“曹冲称象的故事里，把大象的质量转化为石头的质量： 又如，推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形. (1)下面是北师大版数学六年级上册16页的部分内容，请同学们阅读并完成填空。 ○下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。 像三角形，它们 这是一个由草绳 的面积一样。 纺织成的圆形茶 杯垫片。 沿线剪开 太有意思啦！ 2元I 这时，三角形的面积相当于圆的面积。 观察这个三角形，底相当于圆的( ),高相当于圆的( 三角形的面积=底X高，所有圆的面积：§=（）X( 2 ①观察这个三角形，底相当于圆的( ),高相当于圆的( ②如果圆的半径是r,三角形的面积：S=a×h÷2。 那么圆的面积：S=( )x( )片2=( ) (2)你还能用转化的数学思想来解决以下数学问题吗？如图2，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了 一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积与瓶子容积的比值为( ) 20 第98页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 四、新综合素养题型探究 【考情解读】 新综合素养题型常在试卷最后1~2道，作为压轴题和小升初选拔核心区分题出现，它不 只考知识，更考数学核心素养：数学建模、逻辑推理、探究创新、语言表达、实际决策：它往 往题干长、情境真、知识点杂、答案不唯一，重过程，不再是“算个数就结束”。 在解题时，要学会把长题变短，圈出重点词语句子，剔除无关描述；要学会把大题拆成小 题，综合题终究是右多个基础题构成的，把大问拆成多个小问，步步为营，逐步解决：要学会 建模转化，将生活语言转化为数学语言，运用数学知识解决生活化问题：要学会多方案列举， 在不同方案中比较找出最优方案。 令【题型实例】 1.(跨模块综合题型)神舟十八号是我国载人航天工程发射的第十八艘飞船，于2024年4 月25日20时59分在酒泉卫星发射中心成功发射，这彰显了我国航天技术的成熟和活力。 (1)同学们在制作神舟十八号模型时，给飞船模型配置了一个圆柱形木质底座（如图所示）， 如果要给这个底座的侧面和上底面刷上油漆，需要刷漆的面积有多大？ (2)同学们制作飞船模型和模型底座共用了9.8千克的环保材料，其中制作飞船模型所用材 料的质量是制作模型底座的，制作模型底座所用的环保材料是多少千克？ (3)今年9月15日是全国科普日。为了给同学们科普航天知识，10位老师和135位同学将 乘车前往航空航天科技馆参观。可租车型和租金见下表。请为他们设计一个最省钱的租车方案， 并写出你的思考过程。 车型 可载乘客人数 租金 大巴车 40人/辆 900元/辆 小巴车 20人/辆 500元/辆 ldm 2dm 第99页共153页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 2. (实验操作与探究题型)同学们，你做过鸡蛋浮起来的实验吗？这个科学实验中也有许 多数学问题。 实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来。 准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大)，一些水和盐。 实验过程： (1)往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米； (2)放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米： (3)放入1个鸭蛋，再测量水面高度。 观察记录：鸡蛋和鸭蛋都浮在水中，如图①所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图②、 ③所示。 鸡蛋和鸭蛋在盐水中的状态 ① 水面高度变化图 三种物体体积占比统计图 水面高度/厘米 鸡蛋 9 ?个- 8.4 6%× 鸭 盐水84% 盐鸡 水蛋 ③ 请根据实验所得数据，解答问题。 (1)鸡蛋的体积是多少立方厘米？ (2)放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？ 第100页共153页 参考答案 一、填空题（共21分） 1． 154.37 272 2亿 2．15；3；75；七五 3． 50米 20 4．4 5．8 6．40 7．490 8．(1)20 (2) 正 0.25 9． 10．315 11．5 12． 151 1＋3n 二、判断题（共5分） 13．× 14．× 15．× 16．× 17．× 三、选择题（共5分） 18．A 19．D 20．A 22．C 四、计算题（共27分） 23．336；0.3；4.88；20 4；6.5；； 24．（1） （2） （3） 25．（1） 解：＝42 ÷＝42÷ ＝42× ＝36 （2） 解：＝60 ÷＝60÷ ＝60× ＝80 （3） 解：2×（－3.6）＝＋4.8 2－7.2＝＋4.8 2－7.2－＋7.2＝＋4.8－＋7.2 ＝12 26．3.14×62÷4 ＝3.14×36÷4 ＝113.04÷4 ＝28.26（cm2） 3.14×42÷4 ＝3.14×16÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（cm2） 28.26＋12.56－6×4 ＝28.26＋12.56－24 ＝40.82－24 ＝16.82（cm2） 五、作图题（共10分） 27．（1）画图如下： （2）18÷2＝9（厘米） 9÷（2＋1） ＝9÷3 ＝3（厘米） 长：3×2＝6（厘米） 宽：3×1＝3（厘米） 画图如下： 28．（1）按上述方法画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形，如下图； （2）按上述方法，取梯形的上底为1，下底为3，高为2，画出面积和三角形ABC相等的梯形，如下图（画法不唯一）； （3）按上述方法画出圆按2∶1放大后的图形，如下图。 六、解答题（共32分） 29．（48.2－6.2）÷5 ＝42÷5 ＝8.4（平方米） 答：1980年我国人均住房面积有8.4平方米。 30．96×× ＝84× ＝70（万人次） 答：府西街站的客运量是70万人次。 31．解：设要加清水x克。 4∶x＝1∶500 x＝4×500 x＝2000 答：要加清水2000克。 32．总份数：3＋17＝20（份） 盐的质量：200×＝30（克） 浓度：30÷150×100% ＝0.2×100% ＝20% 20%＜26% 答：不能观察到盐结晶现象。 33．金百汇商厦： 55×60＝3300（元） 3300÷1000＝3（个）……300（元） 3300－120×3 ＝3300－360 ＝2940（元） 华联商厦： 55×60×85% ＝3300×0.85 ＝2805（元） 小芳超市： 60÷（5＋1） ＝60÷6 ＝10（组） 实际需买：10×5＝50（个） 55×50＝2750（元） 比较：2750＜2805＜2940 小芳超市最便宜。 答：在金百汇商厦购买需要2940元，在华联商厦购买需要2805元，在小芳超市购买需要2750元。小芳超市更划算。 34．圆柱形玻璃杯的底面半径：（厘米） 圆柱形玻璃杯的底面积： （平方厘米） 圆柱形玻璃杯的容积：（立方厘米） 初始水的高度： （厘米） 初始水的体积：（立方厘米） 放入螺丝钉后水的高度： （厘米） 水加螺丝钉的体积：（立方厘米） 螺丝钉的总体积：（立方厘米） 一枚螺丝钉的体积：（立方厘米） 答：一枚螺丝钉的体积为0.628立方厘米。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷首寄语 “夏天过去，秋天过去，冬天又来了，骆驼队又来了，童年却一去不返了。” ——林海音《城南旧事》 同学们，六年小学时光匆匆而过，数学课堂上的一笔一画、一题一解，都藏着你们的努力与成长。从基础计算到思维拓展，从简单应用到综合探究，你们一步步突破自我，积攒下满满的底气。 这是小升初考前最后一课，愿你们珍惜此刻，把所有知识沉淀于心，带着从容与自信奔赴考场。考场上沉着审题、细心作答，把平日的积累尽数展现。 小学的篇章即将圆满收尾，而更广阔的数学天地在前方等候。愿你们以扎实的学识为帆，以沉稳的心态为桨，从容应战，不负时光，不负自己，为六年小学生活画上最完美的句号！ 祝前程似锦，未来可期！ 2026年4月 目 录 5 【小升初考前必背01】基础概念篇 5 【小升初考前必背02】运算定律篇 15 【小升初考前必背03】单位换算篇 16 【小升初考前必背04】图形公式篇 17 【小升初考前必背05】应用公式篇 19 22 一、数与量的认识·十三种命题预测 22 二、数的运算·七种命题预测 38 三、式与方程·十种命题预测 50 四、比和比例·十二种命题预测 66 五、图形与几何·二十六种命题预测 88 六、统计与概率·五种命题预测 131 七、数学思考·八种命题预测 140 八、典型应用题·十一种命题预测 152 174 一、新基础素养题型探究 174 二、新情境应用题型探究 189 三、新思维拓展题型探究 203 四、新综合素养题型探究 213 223 一、考前准备篇 223 二、考场注意篇 232 二、考后调整篇 244 【01放松身心劳逸结合】把孩子交给夏日阳光、绿树浓荫 244 【02文艺作品中找数学】中学生必看数学题材的电影 247 【03假期尾声收收心】七年级数学预习书籍推荐 257 258 2026年小升初数学终极押题卷（一）（含判断题版本） 258 2026年小升初数学终极押题卷（二）（不含判断题版本） 281 【小升初考前必背01】基础概念篇 序号 概念 基本内容 等级 1 “0” ①0是一个有实际意义的数，既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限； ②0是最小的自然数，是一个偶数，是任何自然数(0除外)的倍数； ③0不能作除数。 2 自然数 ①用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……叫做自然数，简单说自然数就是大于等于零的整数。 ②最小的自然数数是0，没有最大的自然数，自然数都是整数，自然数也可以表示个数或次序。 3 整数 ①像…-3、-2、-1、0、1、2、3…这样的数统称为整数，其中像1、2、3、…这样的数叫做正整数，像…-3、-2、-1这样的数叫做负整数。 ②最小的正整数是1，没有最大的正整数；最大的负整数是-1，没有最小的负整数；整数有无限个，没有最小的整数，也没有最大的整数。 4 因数和倍数 如果a÷b=c(a、b、c均为正整数且b≠0)，除得的商是整数而没有余数： ①我们就说能被整除，或者说能整除； ②是的倍数，是的因数； ③倍数和因数是相互依存的。 ④一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身； ⑤一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 5 2、5、3的倍数特征 ①个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除； ②个位上是0或5的数，都能被5整除； ③一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 6 奇数和偶数 ①奇数：在自然数中，不是2的倍数的数，如1、3、5、7、9、11…； ②偶数：在自然数中，是2的倍数的数，如0、2、4、6、8、10…。 7 质数和合数 ①质数：只有1和它本身两个因数的数，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97； ②合数：除了1和它本身外还有别的因数的数，如4、6、8、9、12…。 ③1既不是质数也不是合数，2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 8 质因数 ①质因数：合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。 ②分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，例如把28分解质因数：。 9 最大公因数和最小公倍数 ①最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 ②最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 10 互质数 ①公因数只有1的两个数，叫做互质数。 ②互质关系： 1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。 11 求两个数的最大公因数或最小公倍数 ①枚举法；②短除法；③三种特殊情况： 其一：如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数； 其二：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数； 其三：分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 12 小数 ①把单位“1”平均分成10份、100份、1000份…，这样的一份或几份可以用分母是10、100、1000、…的分数来表示，也可以用小数来表示，小数是特殊形式的分数，但是不能说小数就是分数。 ②按整数部分是否为0，将小数分为纯小数和带小数；按小数部分位数是否有限分为有限小数和无限小数。 13 循环小数 ①无限小数分为循环小数和无限不循环小数 ②无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数，例如：∏。 ③循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 14 分数 把单位“1”平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数； 15 分数的分类 ①真分数：分子比分母小的分数叫真分数。 ②假分数：分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。 ③带分数：一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。 16 约分和通分 ①约分的方法：用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母，通常要除到得出最简分数为止。 ②通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 17 小数和分数的性质 ①小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 ②小数点移动规律： a：小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍…… b：小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍，小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍，小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍…… c：小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。 ②分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 18 百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比，百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 19 四种基础运算 ①加法：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中两个数都叫“加数”，结果叫“和”。 ②减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算，其中“和”叫“被减数”，已知的加数叫“减数”，求出的另一个加数叫“差”。 ③乘法：求n个相同加数的和的简便运算，叫做乘法，其中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数”，结果叫“积”。 ④除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法是乘法的逆运算，其中“积”叫做“被除数”，已知的一个因数叫做“除数”，求出来的另一个因数叫做“商”。 20 四大规律 1. 和的规律问题。 （1）和不变规律： 两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加数必须减去多少。 （2）和的变化规律： 一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增加（或减少）相同的数。 2. 差的变化规律。 （1）减数不变： 若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少；减数不变，被减数减少多少，差就减少多少。 （2）被减数不变： 若减数增加，被减数不变，则差减少；若减数减少，被减数不变，则差增加。 （3）差不变： 若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 3. 积的变化规律。 （1）两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 （2）一个因数乘A，另外一个因数乘B，那么积要乘A和B的积。 （3）一个因数除以A，另外一个因数除以B，那么积要除以A和B的积。 4. 积不变规律。 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 5. 商的变化规律。 （1）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。 （2）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。 （3）在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。 6. 商不变规律（商不变性质）。 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 21 四则运算顺序 ①运算等级：第一级加减法，第二级乘除法； ②运算顺序：先乘除，后加减；左向右，依次算；有括号，最优先。 22 方程 ①方程：含有未知数的等式叫做方程。 ②方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 23 比 两个数相除又叫做两个数的比，“：”是比号，读作“比”，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 24 比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 25 求比值和化简比 ①求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 ②根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比，它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 26 数的互化 1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 8. 比与除法互化，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商 27 比例的意义和性质 ①比例的意义。 表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 ②比例的性质。 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积，这叫做比例的基本性质。 28 正比例和反比例 ①成正比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系，用字母表示y/x=k(一定） ②成反比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，用字母表示x×y=k(一定) 29 比例尺 图上距离:实际距离=比例尺 30 三线 ①直线：没有端点，可以向两端无限延长。 ②射线：只有一个端点，可以向一端无限延长。 ③线段：有两个端点，射线和线段都是直线的一部分，两点之间，线段最短。 31 平行与垂直 ①垂线：两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫垂足，从直线外一点到直线所画的线段中，垂线最短。 ②平行线：在同一平面内的两条不相交的直线，叫做平行线。 32 角 锐角（小于90的角）、直角（等于90的角）、钝角（大于90而小于180的角）、平角（等于180的角）、周角（等于360的角） 33 长方形和正方形 ①长方形对边相等，4个角都是直角的四边形，有两条对称轴。 ②正方形四条边都相等，四个角都是直角的四边形，有4条对称轴。 34 三角形 ①由三条线段围成的图形，叫做三角形，它的内角和是180度，具有稳定性，有三条高。 ②三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ③三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 35 三角形三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 36 平行四边形和梯形 ①平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边行相对的边平行且相等，对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度，平行四边形容易变形。 ②梯形 只有一组对边平行的四边形叫做梯形，梯形中位线等于上下底和的一半，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，等腰梯形有一条对称轴。 37 圆和扇形 ①圆是一种封闭的曲线图形，圆心、半径、直径 ②在同圆或等圆中，，即直径是半径的2倍，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 ③圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴。 ④圆周长与直径的比值，用“”表示，是无限不循环小数，一般近似取≈3.14。 ⑤一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 38 长方体和正方体 ①长方体。 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）的立体图形叫做长方体，长方体相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等，有8个顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 正方体。 ②六个面都是正方形的立体图形叫做正方体，正方体六个面的面积相等，有12条棱，棱长都相等，有8个顶点，正方体可以看作特殊的长方体。 39 圆柱和圆锥 ①圆柱。 上下是圆，侧面展开是长方形；以长方形一条边所在直线为轴旋转一周形成圆柱。 ②圆锥。 底面是圆，侧面展开是扇形；以直角三角形一条直角边所在直线为轴旋转一周形成圆锥。 40 周长 封闭图形一周的长度。 41 面积 面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。 42 体积和容积 ①体积：用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。 ②容积：一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量。 43 三大统计图 ①条形统计图：便于直观了解数据的大小及不同数据的差异。 ②折线统计图：便于直观了解数据的变化趋势，也便于了解数据的大小。 ③扇形统计图：便于直观了解各部分数量占总数量的百分比，以及各部分之间的大小关系。 【小升初考前必背02】运算定律篇 运算律和运算性质 基本内容 字母表示 加法交换律 交换两个加数位置和不变。 加法结合律 先把前两个数相加,再加第三个数，或者先后两个数相加，再加第一个数，和不变。 乘法交换律 交换两个因数位置积不变。 乘法结合律 先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加。 减法性质 一个数减去两个数的和，等于这个数依次减去这两个数。 [来源:学科网ZXXK] 除法性质 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以这两个数。 【小升初考前必背03】单位换算篇 单位名称 换算方法 长度 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体（容）积 1立方米=1000立方分米=1000升 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤 1斤=500克 人民币 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间 1世纪=100年 1年=12月； 一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十天，平年二月二十八； 平年365天，闰年366天； 1小时=60分钟 1分钟=60秒 1小时=3600秒； 十二生肖先后顺序：鼠牛虎兔龙蛇，马羊猴鸡狗猪。 【小升初考前必背04】图形公式篇 图形名称 图形实例 周长C 面积S 正方形 长方形 三角形 平行四边形 梯形 圆 扇形 圆环 外圆内方 外方内圆 图形名称 图形实例 表面积 体积 正方体 长方体 圆柱体 圆锥体 [来源:学*科*网] 【小升初考前必背05】应用公式篇 类型 公式 和差倍 和倍 “1”=和÷（倍+1） 差倍 “1”=和÷（倍-1） 和差 大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2 归一问题 正归一 单一量×份数=总量 反归一 总量÷单一量=份数 还原问题 逆运算推导原数 归总问题 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 植树问题 基本 间距数=总长÷间距长 直线植树 两端都种：棵树=间距数+1 两端都不种：棵树=间距数-1 一端种一端不种：棵树=间距数 环形植树 棵树=间距数 盈亏问题 盈亏问题 份数=（盈+亏）÷分配差 盈盈问题 份数=（大盈-小盈）÷分配差 亏亏问题 份数=（大亏-小亏）÷分配差 年龄问题 年龄差不变，转换成和差倍问题 鸡兔同笼 假设法 假设全是鸡，少了几条腿； 除以腿的差，就是兔的数。 平均数问题 算术平均数 数量和÷数量=算术平均数 加权平均数 （部分×权数）总和÷权数和=加权平均数 行程问题 基本行程 速度×时间=路程 相遇问题 速度和×相遇时间=路程和 追及问题 速度差×追及时间=路程差 流水行船 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 火车过桥 路程和=车长+桥长 分数和百分数应用题 量率对应问题 单位“1”=分量÷分率 百分率问题 发芽率=发芽种子数/试验种子数×100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100% 浓度问题 浓度=×100% 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度 比和比例应用题 按比例分配问题 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：先求一份量，再求部分量 不变量问题 第1步：统一不变的单量； 第2步：统一一份量； 第3步：求解一份量。 经济问题 利润问题 利润=售价－成本 利润率=利润÷成本×100% =(售价÷成本－1)×100% 打八折：按定价的80%出售 利息问题 利息=本金×利率×时间 利息税=本金×利率×时间×税率 浓度问题 溶液重量=溶质重量＋溶剂重量 浓度=溶质重量÷溶液重量×100% 溶液重量×浓度=溶质重量 溶质重量÷浓度=溶液重量 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间 ；工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 ；工作总量÷工作效率和=合作时间 抽屉原理 1. 把或多于个苹果放在个抽屉里，其中一定有抽屉里至少有两个苹果。 2. 最不利原则：极限讨论，考虑最不利或最倒霉的情况。 一、数与量的认识·十三种命题预测 【命题解读】 数的认识一直是小学数学最为基础的内容之一，它主要涉及到三种数，即整数、小数和分数（百分数），它经常是各学段各期末的重点考察内容，对其概念考察也是小升初的必考内容。 常见的量包括时间单位、质量单位、长度单位、面积单位、体积（容积）单位等，一直作为小数数学基础内容存在，对于学生的实践认知和量感构建十分重要。 近年来的考察主要以数的基础认识和综合转化运用为主，题型上填空、选择、判断、计算都有涉猎，一般难度不大，但容易出错，另外，关于正负数的意义以及在数轴上的应用也是今年常考题型。 总之，解决数的综合问题，关键在于熟悉各类型数的基础概念，并能熟练掌握数与数之间的形式转化，构建起数感和认知体系，这是考察的重点方向，也是后续进入中学进行实数学习的基础。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数的读法与写法·数的改写与近似数 选、填 2 整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化 选、填 3 整、小、分、百、正数、负数综合比较 选、填 4 因数与倍数·奇数与偶数·质数与合数 选、填 5 2、5、3的倍数特征 选、填 6 最大公因数与最小公倍数的三种求法 选、填 7 最大公因数与最小公倍数综合应用 选、填、解 8 常用的量·单位的认识与选择 选、填 9 常用的量·单位的进率与换算 选、填 10 倒数 选、填 11 单位“1”与等量关系式 填 12 正数与负数 选、填 13 经过时间的计算 选、填 【预测命题方向01】数的读法与写法·数的改写与近似数 1．（2025·河南商丘·小升初真题）阅读下面的信息，根据要求填空。日前，泉州市统计局发布《2018年泉州市国民经济和社会发展统计公报》，根据核算，泉州市土地面积约11015( )，全市常住人口约8700500人。实现地区生产总值8467.98亿元，连续20年保持全省第一。 (1)在括号内填入合适的单位名称。 (2)横线上的数读作( )，改写成以“万”为单位的数是( )人。 (3)生产总值保留整数约是( )亿元。 【答案】(1)平方千米/km2 (2) 八百七十万零五百 870.05万 (3)8468 【分析】（1）1公顷大约一个操场的大小，一平方千米大约是边长1000米的正方形大小，计量城市的土地面积，选用平方千米作单位。 （2）大数读法： 先分级；从右往左每四个数为一级，每级读法按照个级读法来读，后面加个万或亿字，中间有几个0都只读一个0，末尾的0都不读。改写成以“万”为单位的数在万位后面点上小数点即可。 （3）根据四舍五入的方法，看十分位上的数字进行取舍。 【详解】（1）泉州市土地面积约11015平方千米。 （2）读数时分级读，8700500分为万级870和个级0500，读作八百七十万零五百；改写成以“万”为单位的数是870.05万。 （3）8467.98的十分位是9，大于5，向个位进1； 即生产总值保留整数约是8468亿元。 2．（2025·内蒙古乌兰察布·小升初真题）文艺汇演给学生提供了一个展示才艺和个性的舞台。本次文艺汇演演唱类节目占28.4%，舞蹈类节目占百分之二十一。 (1)28.4%读作( )        百分之二十一写作( ) (2)去掉28.4%后面的百分号，相当于将原数扩大到原来的( )倍。 【答案】(1) 百分之二十八点四 21% (2)100 【分析】（1）百分数的读法：先读百分号，再读数字，读作“百分之…。百分数的写法：先写出百分之后面的数，之后在这个数后面加%。 （2）28.4%去掉百分号后变成28.4，而原来的28.4%化成小数是0.284，28.4÷0.284＝100，即去掉百分号后扩大到原来的100倍。 【详解】（1）28.4%读作百分之二十八点四        百分之二十一写作21% （2）28.4÷0.284＝100 所以去掉28.4%后面的百分号，相当于将原数扩大到原来的100倍。 3．（2025·贵州黔东南·小升初真题）下列有8个数：0、3.2、﹣5.6、78、﹣、3.14、952、﹣60，其中( )是整数；( )是正数；( )是负数。 【答案】 0、78、952、﹣60 3.2、78、3.14、952 ﹣5.6、、﹣60 【分析】整数包括正整数、负整数和零，且没有小数部分（即不是分数或小数）。大于零的数是正数，小于零的数是负数，据此解答。 【详解】0、3.2、﹣5.6、78、﹣、3.14、952、﹣60； 整数：0、78、952、﹣60； 正数：3.2、78、3.14、952； 负数：﹣5.6、﹣，﹣60。 下列有8个数：0、3.2、﹣5.6、78、﹣、3.14、952、﹣60，其中0、78、952、﹣60是整数，3.2、78、3.14、952是正数，﹣5.6、﹣，﹣60是负数。 【预测命题方向02】整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化 1．（2025·河北保定·小升初模拟）( )∶16＝12÷( )＝0.25＝＝( )%＝( )（填成数）。 【答案】4；48；15；25；二成五 【分析】0.25＝，根据分数与除法的关系＝1÷4，除法里的被除数对应比的前项、除数对应后项，因此1÷4＝1∶4；根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）：比的前、后项都乘4就是4∶16；根据商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）：被除数1乘12，除数4也乘12，就是12÷48。根据分数的基本性质（分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变）：的分子、分母同时乘15就是；小数转化为百分数的方法是“小数点右移两位＋百分号”：0.25的小数点右移两位是25，加上百分号就是25%；百分数与成数的关系：几成几就是百分之几十几，百分之几十几就是几成几；几成就是百分之几十，百分之几十就是几成。 【详解】根据分析：4∶16＝12÷48＝0.25＝＝25%＝二成五 2．（2025·四川巴中·小升初真题）＝( )÷20＝( )%＝3∶4＝( )折。 【答案】；15；75；七五 【分析】根据比与分数的关系，3∶4＝，所以第一空和第二空分别填3、4。 根据比与除法的关系3∶4＝3÷4，除数从4变为20，20÷4＝5，即除数乘5，那么被除数也要乘5，即3×5＝15，所以15÷20＝3∶4，第三空填15。 因为3∶4＝3÷4，3÷4＝0.75，把0.75的小数点向右移动两位，添上百分号就是75%，第四空填75。 根据折扣的意义，百分之几十就是几折，75%就是七五折，第五空填七五。 【详解】由分析可知： ＝15÷20＝75%＝3∶4＝七五折 【预测命题方向03】整、小、分、百、正数、负数综合比较 1．（2025·河北石家庄·小升初真题）在0.143、14%、、、﹣0.1433中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 ﹣0.1433 【分析】小数比较大小的方法：看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止； 有几个不同形式的数比较大小，一般情况下，都化为小数进行比较得出答案；分数化小数，用分子除以分母；百分数化小数，将小数点向左移动两位，再去掉百分号；循环小数改写成一般形式，多写出小数部分的几位数； 正数和负数比较大小：负数小于正数；据此解答。 【详解】14%＝0.14、≈0.143143、≈0.142857 0.143143＞0.143＞0.142857＞0.14＞﹣0.1433 所以最大的数是，最小的数是﹣0.1433。 2．（2025·海南海口·小升初真题）在﹣10、0.5、、﹣7.8和0这五个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 ﹣10 【分析】分数化成小数，用分子除以分母即可。 0既不是正数也不是负数。比0大的是正数，正数的数字越大，数值就越大；比0小的是负数，负数的数字越大，数值反而就越小；也就是负数都比0小，正数都比0大，正数都比负数大。 【详解】＝3÷5＝0.6 0.6＞0.5＞0＞﹣7.8＞﹣10 即＞0.5＞0＞﹣7.8＞﹣10。 这五个数中，最大的是，最小的是﹣10。 【预测命题方向04】因数与倍数·奇数与偶数·质数与合数 1．（2025·广西桂林·小升初真题）有一个数，它既是60的因数，也是60的倍数，这个数是( )，它的因数中是质数的有( )。 【答案】 60 2、3、5 【分析】因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以根据一个数，它既是60的因数，又是60的倍数，可知这个数就是60；应用列乘法算式法找出60的所有因数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。1既不是质数也不是合数，根据质数的定义，解答即可。 【详解】这个数既是60的因数，又是60的倍数，所以这个数就是60。 60＝1×60，60＝2×30，60＝3×20，60＝4×15，60＝5×12，60＝6×10，所以60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 因数中是质数的有2、3、5。 2．（2025·甘肃临夏·小升初真题）某一景区的WIFI密码有八位数字组成，3A71806B，A是6和9的最大公约数，B既是奇数也是合数，则这一景区的WIFI密码是3( )71806( )。 【答案】 3 9 【分析】①将6和9分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘即可求出两个数的最大公因数； ②找到0~9中既是奇数又是合数的数字即可。 【详解】①；，则6和9的最大公约数为3； ②0~9中0是偶数，1是奇数既不是质数也不是合数；2是质数也是偶数；3是奇数也是质数；4是偶数也是合数，5是奇数但是质数，6是偶数也是合数，7是奇数但是质数，8是偶数也是合数，9即使奇数也是合数，既是奇数又是合数的数字只有9。 某一景区的WIFI密码有八位数字组成，3A71806B，A是6和9的最大公约数，B既是奇数也是合数，则这一景区的WIFI密码是33718069。 【预测命题方向05】2、5、3的倍数的特征 1．（2025·湖北武汉·小升初真题）袋子里有写着1～6的数字卡片各一张，任意摸出两张组成一个两位数。其中是5的倍数的两位数有( )种可能情况；是3的倍数的两位数有( )种可能情况。 【答案】 5 10 【分析】5的倍数特征：个位是0或5的数字是5的倍数；3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可。 【详解】根据分析： 15、25、35、45、65是5的倍数，其中是5的倍数的两位数有5种可能； 12、15、24、36、45、21、51、42、63、54是3的倍数，其中是3的倍数的两位数有10种可能。 【点睛】本题考查5和3的倍数特征，明确它们的特征是解题的关键。 2．（2025·安徽亳州·小升初真题）四位数3□4□，如果它是2和5倍数，这个数最小是( )；如果它是2和3的倍数，这个数最大是( )。 【答案】 3040 3948 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8； 3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 5的倍数特征：个位是0或5。 对于同时是2和5的倍数，先根据其特征确定个位数字，再确定使数最小的百位数字；对于同时是2和3的倍数，先根据2的倍数特征确定个位可能的取值，再结合3的倍数特征确定使数最大的百位和个位数字。 【详解】同时是2和5的倍数，个位必须是0，此时四位数形式为3□40，要使数值最小，，百位上应填最小的自然数0，即3040。 同时是2和3的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，要使这个数最大，先考虑个位取最大的8，此时这个数为3□48。计算3＋4＋8＝15，15是3的倍数。百位上可以填0、3、6、9，要使这个数最大，百位应填9，所以这个数最大是3948。 即四位数3□4□，如果它是2和5倍数，这个数最小是3040；如果它是2和3的倍数，这个数最大是3948。 【预测命题方向06】最大公因数与最小公倍数的三种求法 1．（2025·浙江台州·小升初模拟）两个非零自然数a和b，如果a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )；如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 a b ab 1 【分析】两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中，最大的一个，叫做它们的最大公因数； 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，最小的一个，叫做它们的最小公倍数； 两个非零的自然数，如果它们是倍数关系，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。如果它们是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它们的最大公因数是1。 【详解】a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是a，最大公因数是b；a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是ab，最大公因数是1。 2．（2025·山东·小升初模拟）已知（是不为零的自然数），如果和的最大公因数是6，那么和的最小公倍数是( )。 【答案】84 【分析】两个合数分解质因数后，相同的质因数的乘积是两个合数的最大公因数，所有相同的和不同的质因数的乘积是两个合数的最小公倍数。 【详解】已知（是不为零的自然数），所以和的最大公因数是 所以， 和的小公倍数为： 【预测命题方向07】最大公因数与最小公倍数综合应用 1．（2025·浙江杭州·小升初真题）有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？ 【答案】20厘米；12个 【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，就是求80和60的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积，由此解答即可。 【详解】80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5 80和60的最大公因数是2×2×5＝20 即裁成的小正方形的边长最大是20厘米。 （80×60）÷（20×20） ＝4800÷400 ＝12（个） 答：剪出小正方形的边长最大是20厘米，至少可以剪12个这样的小正方形。 2．（2025·贵州安顺·小升初真题）爸爸带着扬扬一起跑步，爸爸每跑一圈用时4分钟，扬扬每跑一圈用时6分钟。如果爸爸和扬扬在起点同时沿同一方向起跑，两人在起点再次相遇时，爸爸和扬扬分别跑了多少圈？ 【答案】爸爸3圈；扬扬2圈 【分析】根据题意，爸爸每跑一圈用时4分钟，扬扬每跑一圈用时6分钟，两人在起点同时沿同一方向起跑，那么两人在起点再次相遇的时间是4和6的最小公倍数； 先把4和6分解质因数，再把它们的公有质因数和各自独有质因数的相乘，积就是它们的最小公倍数。用最小公倍数分别除以两人跑一圈所用时间，即是两人分别跑的圈数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 即每12分钟两人在起点再次相遇。 12÷4＝3（圈） 12÷6＝2（圈） 答：两人在起点再次相遇时，爸爸跑了3圈，扬扬跑了2圈。 【预测命题方向08】常用的量·单位的认识与选择 1．（2025·山东青岛·小升初真题）选择合适的数，填在相应的括号里（每个数只能选一次）。 150  1  1.5  1350  50  15 小军是六年级的学生，体重( )千克，身高( )厘米，每天早上6：00起床，洗漱、收拾房间、吃饭用( )小时，然后去学校，学校离家( )米，他步行的速度是( )米/秒，走( )分钟到学校。 【答案】 50 150 1 1350 1.5 15 【分析】根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．根据生活经验、对长度和质量单位大小的认识和数据的大小，根据计量单位应选择合适的数据，据此解答即可． 【详解】小军是六年级的学生，体重50千克，身高150厘米，每天早上6：00起床，洗漱、收拾房间、吃饭用1小时，然后去学校，学校离家1350米，他步行的速度是1.5米/秒，走15分钟到学校。 2．（2025·江西赣州·小升初真题）学校开展劳动实践，张杰班同学在菜地劳动，他用一把1.5( )长的铁锹松土，准备种植蔬菜。菜地的面积20( )，他们先施肥，每块地大约用2( )的肥料。再用容量为10( )的水桶给菜地浇水。 【答案】 米/m 平方米/m2 千克/kg 升/L 【分析】铁锹长度需用长度单位，厘米、分米较短，1.5米是比较符合实际的铁锹长度； 菜地面积需用面积单位，平方厘米、平方分米较小，20平方米是比较合理的菜地面积大小； 肥料用量需用质量单位，克较少，吨较多，每块地用2千克肥料是比较符合实际情况的； 水桶容量需用容积单位，毫升用于计量较少液体的体积，升用于计量较多液体的体积，容量为10升的水桶是常见的。 【详解】学校开展劳动实践，张杰班同学在菜地劳动，他用一把1.5米长的铁锹松土，准备种植蔬菜。菜地的面积20平方米，他们先施肥，每块地大约用2千克的肥料。再用容量为10升的水桶给菜地浇水。 【预测命题方向09】常用的量·单位的进率与换算 1．（2025·广东揭阳·小升初模拟） 0.75时＝( )分         3600立方分米＝( )立方米 5060克＝( )千克              6.78元＝( )分 【答案】 45 3.6 5.06 678 【分析】高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率，1时＝60分，1立方米＝1000立方分米，1千克＝1000克，1元＝10角＝100分，据此分析。 【详解】0.75×60＝45，所以0.75时＝45分 3600÷1000＝3.6，所以3600立方分米＝3.6立方米 5060÷1000＝5.06，所以5060克＝5.06千克 6.78×100＝678，所以6.78元＝678分 2．（2025·重庆梁平·小升初真题） 6.05时＝( )时( )分      40千克60克＝( )千克 50000公顷＝( )平方千米        9.4立方米＝( )升 【答案】 6 3 40.06 500 9400 【分析】根据进率：1时＝60分，1千克＝1000克，1平方千米＝100公顷，1立方米＝1000升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）6.05时＝6时＋0.05时，0.05×60＝3（分），所以6.05时＝6时3分； （2）60÷1000＝0.06（千克），40＋0.06＝40.06（千克），所以40千克60克＝40.06千克； （3）50000÷100＝500（平方千米），所以50000公顷＝500平方千米； （4）9.4×1000＝9400（升），所以9.4立方米＝9400升。 【预测命题方向10】倒数 1．（2025·河南郑州·小升初真题）如果和互为倒数，则( )。 【答案】 6 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，据此计算化简即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 因为，即 所以如果和互为倒数，则6。 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）A×＝B×＝C÷＝D÷15（A、B、C、D为非0的正数）。最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 B A 【分析】假设A×＝B×＝C÷＝D÷15＝1，根据“因数＝积÷另一个因数”“被除数＝商×除数”，分别求出A、B、C、D的值，然后比较即可解答。 【详解】假设A×＝B×＝C÷＝D÷15＝1， A×＝1 A＝1÷ ＝1× ＝ B×＝1 B＝1÷ ＝1×20 ＝20 C÷＝1 C＝1×＝ D÷15＝1 D＝1×15＝15 20＞15＞＞，所以B＞D＞C＞A。 所以A×＝B×＝C÷＝D÷15（A、B、C、D为非0的正数）。最大的是B，最小的是A。 【点睛】本题的解题关键是运用赋值法，先假设A×＝B×＝C÷＝D÷15＝1的结果为1，再利用乘除逆运算分别算出A、B、C、D的具体数值，最后通过比较这些数值的大小，确定其中最大和最小的数。 【预测命题方向11】单位“1”与等量关系式 1．（2025·四川成都·小升初真题）“张欢的身高的和肖恩一样高”其中单位“1”的量是( )；他们之间的等量关系式为：张欢的身高×( )＝肖恩的身高。 【答案】 张欢的身高 【分析】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”，所以题目中把张欢的身高看作单位“1”，根据分数乘法的意义，可知张欢的身高×＝肖恩的身高。 【详解】“张欢的身高的和肖恩一样高”其中单位“1”的量是张欢的身高；他们之间的等量关系式为：张欢的身高×＝肖恩的身高。 2．（2025·甘肃天水·小升初真题）把一根5米长的绳子平均分成4段，每段是( )米，每段是这根绳子的( )。 【答案】 【分析】本题考查分数的意义以及分数与除法的关系。区分“具体的数量”和“分率”是解题的关键。第一个空求的是每段的具体长度，属于数量，用总长度除以段数；第二个空求的是每段占全长的几分之几，属于分率，把全长看作单位“1”，平均分成4份，每份占全长的四分之一。 【详解】求每段的具体长度： 根据分数与除法的关系，用总长度除以段数。 （米） 所以每段是米。 求每段占这根绳子的几分之几：把这根绳子的全长看作单位“1”，平均分成4段，每段是其中的1份。 所以每段是这根绳子的。 故每段是米，每段是这根绳子的。 【预测命题方向12】正数与负数 1．（2025·河南信阳·小升初真题）某牌面包的包装袋上有这样的标记：100±5g，和标准质量比较，把面包净重104g记作＋4g，那么面包净重98g记作( )。妈妈买回5袋面包依次称重，分别记录为：＋0.2g、－7g、0g、－5g、＋3g，这5袋面包的合格率是( )%。 【答案】 －2g 80 【分析】100±5g表示吐司面包的质量比标准质量100g多或少5g都是合格的；＋4g表示比标准质量多4g，把比标准质量多的记作正数，则比标准质量少的记作负数；那么面包净重98g比标准质量少，应记作负数；＋0.2g表示比标准质量多0.2g；－7g表示比标准质量少7g；0g表示正好等于标准质量；－5g表示比标准质量少5g；＋3g表示比标准质量多3g；数出符合100±5g有4袋，合格数量除以总数量即为合格率，据此解答。 【详解】100－98＝2（克） 所以面包净重98g记作－2g，5袋面包的合格率是80%。 2．（2025·河南郑州·小升初真题）如下图，若点A表示的数是0.1，那么点C表示的数是( )；若点B表示的数是1，那么点A表示的数是( )；若点C表示的数是10，那么点D表示的数是( )。 【答案】 0.5/ /0.25 ﹣10 【分析】点A表示的数是0.1，则单位长度表示0.1，0到点C有5个单位长度，说明点C表示的数是0.5； 把0到点B的长度看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，其中的一份用分数表示为，即点A表示的数是； 数轴上的数以0为分界点，0左边的数小于0是负数，0右边的数大于0是正数；0到点D的距离和0到点C的距离相等，点C表示的数是10，则点D表示的数是﹣10，据此解答。 【详解】若点A表示的数是0.1，那么点C表示的数是0.5；若点B表示的数是1，那么点A表示的数是；若点C表示的数是10，那么点D表示的数是﹣10。 【预测命题方向13】经过时间的计算 1．（2025·山东·小升初真题）北京时间2025年4月24日17时17分，中国神舟二十号载人飞船搭载陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员在酒泉卫星发射中心发射升空，于2025年4月24日23时49分成功对接于空间站天和核心舱径向端口，请你计算一下载人飞船从发射到成功对接历经了( )时( )分。 【答案】 6 32 【分析】由题意知：2025年4月24日17时17分开始发射，于2025年4月24日23时49分成功对接，根据经过时间＝结束时刻－开始时刻，代入数据计算即可。 【详解】23时49分－17时17分＝6时32分 所以载人飞船从发射到成功对接历经了6时32分。 2．（2025·辽宁辽阳·小升初真题）某食品的外包装上标注的生产日期是2025年6月1日，保质期是18个月。那么该食品最迟要在( )年( )月( )日前食用才能保证安全。 【答案】 2026 12 1 【分析】生产日期是2025年6月1日，保质期是18个月，18÷12＝1（年）……6（月），即18个月是1年6个月。从2025年6月1日开始，经过1年是2026年6月1日，再经过6个月，6月1日加上6个月，6月1日加上6个月是12月1日。 【详解】18÷12＝1（年）……6（月） 2025年6月1日＋1年6个月＝2026年12月1日 该食品最迟要在2026年12月1日前食用才能保证安全。 二、数的运算·七种命题预测 【命题解读】 数的运算是小学数学最为重要的内容之一，小升初主要考察各类数的四则混合运算、简便计算以及解方程或解比例，因为涉及到多种数以及数的多种转化，计算综合性比较强，考察知识一般以下四点为主，即： 一是考察四种数之间的互相转化； 二是考察四种数之间的四则基础计算和方程的一般解法； 三是考察四则混合运算； 四是考察简便计算以及常用巧算法； 总之，熟练掌握四则运算关系、基础算法以及基本运算定律是正确计算的关键，另外，本部分所涉及的十三种巧算法一般以思维拓展题型为主，涉及题型难度非常大，不适合作为一般性内容进行讲解或训练，具体详情可参考编者的“小升初典型例题系列”。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数的运算·基础运算 选、填、计 2 数的运算·和差积商四大运算规律 选、填 3 数的运算·运算律 选、填、判 4 数的运算·四则混合运算 计 5 数的运算·简便运算 计 6 数的运算·解方程和解比例 计 7 数的运算·列式计算 计 【预测命题方向01】数的运算·基础运算 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）下面四个算式中，“5”和“4”可以直接相加、减的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两个数字能否直接相加减，核心是看它们是否处于相同的数位或是否是同分母分数的分子。 【详解】A．352的“5”在十位，174的“4”在个位，计数单位不同，不能直接相减。 B．7.5的“5”在十分位，3.49的“4”也在十分位，二者计数单位都是十分之一，计数单位相同，可以直接相加。 C．两个分数分母不同，的计数单位是，的计数单位是，计数单位不同，不能直接相加。 D．整数“5”的计数单位是1，中“4”的计数单位是，计数单位不同，不能直接相减。 2．（2025·山东菏泽·小升初真题）下面的算式计算结果比1大的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算四个选项算式的结果，再与1比较大小即可。 A．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分； B．根据除以一个非零数等于乘这个数的倒数，将除法转换成乘法计算； C．异分母分数相加减，先通分化成同分母分数，再分子相加减； D．异分母分数相加减，先通分化成同分母分数，再分子相加减。 【详解】A．，＜1，该选项不符合； B． ＝ ＝ ＜1，该选项不符合； C． ＝ ＝ ＞1，该选项符合； D． ＝ ＝ ＜1，该选项不符合。 计算结果比1大的是。 故答案为：C 【预测命题方向02】数的运算·和差积商四大运算规律 1．（2023·湖南怀化·小升初真题）已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是( )；已知○＋□＝8，如果两个数加数同时增加3，那么现在的和是( )。 【答案】 8 14 【分析】如果被减数和减数同时增加几，差不变。一个加数不变，另一个加数增加几，和就增加几。据此解答。 【详解】已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是8；已知○＋□＝8，如果两个数加数同时增加3，8＋3＋3＝14，那么现在的和是14。 2．（2024·全国·小升初真题）根据28×45＝1260，写出下面各题的得数。 2.8×4.5＝( )      1260÷2.8＝( )      12.6÷0.045＝( ) 【答案】 12.6 450 280 【分析】①新的乘法算式与原来的算式比较，两个乘数的小数点都向左移动了一位，那么乘积的小数点应该向左移动两位，即12.60，其中，小数部分末尾的0可以省略； ②由原来的乘法算式可以得到除法算式：1260÷28＝45，对比发现，新算式的被除数不变，除数的小数点向左移动一位（变成原来的），那么商就应该变成原来的10倍，也就是450； ③由原来的乘法算式可以得到除法算式：1260÷45＝28，再把12.6÷0.045的被除数和除数同时扩大到原来的100倍，得到1260÷4.5，此时商保持不变，再对比可发现，新算式中被除数不变，除数的小数点向左移动一位（变成原来的），那么商就应该变成原来的10倍，也就是280。 【详解】2.8×4.5＝12.6；1260÷2.8＝450；12.6÷0.045＝280 3．（2022·山东临沂·小升初真题）在（    ）里填“＞”、“＜”或“＝”。 ( )        46.8÷1.2( )46.8 125%( )        ( ) 【答案】 ＝ ＜ ＞ ＜ 【分析】把带分数化成假分数是，所以填等于号；一个不为0的数除以大于1的数，商小于这个数，1.2＞1，所以46.8÷1.2＜46.8；把125%、化成小数分别是1.25和1.2，所以填大于号；一个不为0的数乘小于1的数，积小于这个数，＜1，所以＜。 【详解】＝         46.8÷1.2＜46.8 125%＞         ＜ 【点睛】本题考查了灵活比较分数大小的掌握情况。 【预测命题方向03】数的运算·运算律 1．（2025·天津宁河·小升初真题）请将等式补充完整，并说明运用了哪种运算律。 (1)23×98＋23×2＝23×（98＋______），运用了( )律。 (2)（11×8）×125＝11×（______×______），运用了( )律。 【答案】(1) 2 乘法分配 (2) 8 125 乘法结合 【分析】（1）观察两个乘法算式，可以看到两个算式中都有乘数23，根据乘法分配律，a×b＋a×c＝a×（b＋c），转化为23×（98＋2）计算。 （2）因为8×125＝1000，乘积是整千数，能够简便计算，所以运用乘法结合律，先算8×125，再乘11。 【详解】（1）23×98＋23×2＝23×（98＋2），运用了乘法分配律。 （2）（11×8）×125＝11×（8×125），运用了乘法结合律。 2．（2025·安徽宿州·小升初真题）以下是25×48的三种计算方法，请尝试说明下面各种计算的道理。 ①( )；②( )；③( )。 【答案】 运用了乘法结合律 运用了乘法分配律 先算8个25的和，再算40个25的和，最后把两个和相加。 【分析】①把48看作4×12，再运用乘法结合律进行计算； ②把48看作40＋8，再运用乘法分配律进行计算； ③根据乘法的意义，先算8个25的和，再算40个25的和，再把两个和相加；据此解答。 【详解】根据题意与分析可得： 【预测命题方向04】数的运算·四则混合运算 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）脱式计算。           【答案】；20 【分析】，先算小括号里的，再算括号外的除法； ，先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，然后算中括号里的减法，最后算中括号外的除法。 【详解】 2．（2025·河南郑州·小升初真题）脱式计算。                   【答案】1825； 【分析】（1）遵循先乘除后加减的运算顺序，乘除运算从左往右依次计算； （2）遵循先算括号内，再算乘除，最后算加减的运算顺序。 【详解】（1）2450－450÷18×25 ＝2450－25×25 ＝2450－625 ＝1825 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【预测命题方向05】数的运算·简便运算 1．（2025·河南信阳·小升初真题）怎样简便怎样算。 25×12.5×32          18×（＋－）       53.2×＋46.8×0.3 【答案】10000；5；30 【分析】4×8＝32，应用乘法交换律和结合律，用25与4的积乘12.5与8的积； 用乘法分配律进行简便计算； 把换算成0.3，用乘法分配律进行简便计算。 【详解】25×12.5×32 ＝25×12.5×（4×8） ＝（25×4）×（12.5×8） ＝100×100 ＝10000 18×（＋－） ＝18×＋18×－18× ＝2＋6－3 ＝8－3 ＝5 53.2×＋46.8×0.3 ＝ 53.2×0.3＋46.8×0.3 ＝（53.2＋46.8）×0.3 ＝100×0.3 ＝30 2．（2025·四川·小升初真题）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 ①            ②            ③ 【答案】①；②56；③90 【分析】①把除法转化为乘法，原式转换成，然后利用乘法交换律转换成，据此进行计算。 ②利用乘法分配律转换成，据此进行计算。 ③把0.9看作（0.9×1），然后把百分数、小数都转化为分数，再利用乘法分配律逆运算进行计算。 【详解】① ＝ ＝ ＝ ＝ ② ＝ ＝65－30＋21 ＝35＋21 ＝56 ③ ＝ ＝（68＋33－1）× ＝100× ＝90 【预测命题方向06】数的运算·解方程和解比例 1．（2025·云南昭通·小升初模拟）解方程。 2.6∶x＝0.13∶0.5    25%x－1.7＝5.8     【答案】x＝10；x＝30；x＝18 【分析】根据比例的基本性质，外项积等于内项积，将比例方程转化为0.13x＝2.6×0.5，再根据等式性质2，两边同时除以0.13； 先将25％转化成小数0.25，将原式变为0.25x－1.7＝5.8，根据等式的性质1，两边同时加上1.7，再根据等式的性质2，两边再同时除以0.25； 根据等式的性质2，两边同时乘，再根据等式的性质2，两边同时除以，据此解题。 【详解】2.6∶x＝0.13∶0.5 解：0.13x＝2.6×0.5 0.13x＝1.3 x＝1.3÷0.13 x＝10 25%x－1.7＝5.8 解：0.25x－1.7＝5.8 0.25x＝5.8＋1.7 0.25x＝7.5 x＝7.5÷0.25 x＝30 x÷＝35 解：x＝35× x＝15 x＝15÷ x＝15× x＝18 2．（2025·广西桂林·小升初真题）解方程或比例。 x＋3.2×5＝21         75%x－x＝            3.5∶x＝ 【答案】x；x＝；x＝2 【分析】第一个方程先计算等式左侧的乘法，再利用等式的性质可解得方程的解。第二个方程先将百分数和分数变为小数，左侧作减法，再利用等式的性质可解得方程。第三个方程先将等式的右侧变为与左侧相同的形式，再利用比例的基本性质，将比例变形，再利用等式的性质解方程即可。 【详解】x＋3.2×5＝21               解：x＋16＝21   x＋16－16＝21－16 x＝5 x÷＝5÷ x＝5× x 75%x－x＝                解：0.75x－0.2x＝0.5 0.55x＝0.5 0.55x÷0.55＝0.5÷0.55 x＝ 3.5∶x＝ 解：3.5∶x＝7∶4            7x＝3.5×4 7x＝14 7x÷7＝14÷7 x＝2 【预测命题方向07】数的运算·列式计算 1．（2025·湖南永州·小升初真题）列式计算。 甲数的等于乙数的40%，乙数是35，甲数是多少？ 【答案】49 【分析】把乙数看作单位“1”，求它的40%是多少，35×40%＝14；再把甲数看作单位“1”，它的对应的是14，求单位“1”，用14÷，即可解答。 【详解】35×40%÷ ＝14÷ ＝14× ＝49 答：甲数是49。 2．（2025·江西吉安·小升初模拟）列式计算。 一个数减少它的30%后是70的，求这个数。 【答案】80 【分析】先根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”用70乘计算出70的是56；再将这个数看作单位“1”，减少它的30%后是56，也就是56是这个数的（1－30%），根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算”用56除以（1－30%）即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝80 所以这个数是80。 三、式与方程·十种命题预测 【命题解读】 式与方程是小学最为重要的板块之一，在小升初考察中约占30%比重，它主要包括代数式的初步构建、等式的性质、方程的解法以及列方程解决实际问题等内容，考虑到代数式具有一定的抽象性，加上多种数的转化、方程的运算、代数式的变形等易错易混点，使得该板块具有一定的难度。 近年来的考察主要以填空、解方程以及应用题等题型为主，压轴题常涉及复杂的方程应用，命题主要呈现以下三个趋势： 趋势一，即跨学科融合，结合几何（圆柱与圆锥关系）、统计（分析数据建模）等方向设计方程。 趋势二，即实际情境化，近年来常以“购物折扣”、“行程规划”等实际生活场景为载体出题。 趋势三，即聚焦基础知识，常在填空、选择题型中聚焦方程的格式问题、等式的性质变形等基础知识。 复习式与方程板块的内容，首先要构建思维框架，掌握基础知识和基本算法，其次是分层突破，针对训练，强化基础计算和应用专题，最后要总结技巧，错题复盘，建立良性循环机制。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 用字母表示数 选、填 2 定义新运算·程序框图·探索规律·新型关系式 选、填 3 方程与等式的辨析 选、填、判 4 等式的性质与等量代换 选、填、判 5 列方程解倍数问题 解 6 列方程解行程问题 解 7 列方程解鸡兔同笼问题 解 8 列方程解盈亏问题 解 9 列方程解分数和百分数问题 解 10 列方程解比和比例问题 解 【预测命题方向01】用字母表示数 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲车的速度是千米/时，乙车的速度比甲车的多5千米，乙车的速度是( )千米/时（用含有的式子表示）；当千米/时，乙车的速度是( )千米/时。 【答案】 v＋5 45 【分析】把甲车的速度看作单位“1”，单位“1”已知，乙车的速度＝甲车的速度×＋5千米；据此求出乙车的速度； 当v＝60千米/时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。 【详解】（v＋5）千米/时 当v＝60千米/时： 60×＋5 ＝40＋5 ＝45（千米/时） 2．（2025·浙江宁波·小升初真题）有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 (1)若有只碗叠起来，它的高度是( )cm（用含有字母的式子表示）。 (2)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。 【答案】(1)1.5n＋4.5 (2)75 【分析】（1）观察图2，6只碗叠起来的高度－2只碗叠起来的高度＝4只碗露出部分的高度，除以4求出叠起来1只碗露出部分的高度，2只碗叠起来的高度－1只碗露出部分的高度＝1只碗的高度，根据总高度＝（碗的数量－1）×1只碗露出部分的高度＋1只碗的高度，用字母表示出n只碗的高度即可； （2）根据第（1）题的分析，可得碗的数量＝（总高度－1只碗的高度）÷1只碗露出部分的高度＋1（结果用去尾法保留整数），求出每叠碗的数量，储碗柜的长÷碗的宽度＝沿长放的数量，储碗柜的宽÷碗的宽度＝沿宽放的数量，沿长放的数量×沿宽放的数量×每叠碗的数量＝这个储碗柜最多可摆放的数量，据此列式计算。 【详解】（1）（13.5－7.5）÷（6－2） ＝6÷4 ＝1.5（cm） 7.5－1.5＝6（cm） （n－1）×1.5＋6 ＝1.5n－1.5＋6 ＝（1.5n＋4.5）cm 若有只碗叠起来，它的高度是（1.5n＋4.5）cm。 （2）（13－6）÷1.5＋1 ＝7÷1.5＋1 ≈4＋1 ＝5（只） 60÷12＝5（只） 36÷12＝3（只） 5×3×5＝75（只） 这个储碗柜最多可摆放75只这种规格的碗。 【点睛】关键是看懂图示，先求出1只碗的高度。 【预测命题方向02】定义新运算·程序框图·探索规律·新型关系式 1．（2025·河南郑州·小升初真题）规定：A★B＝3A＋2B，例如4★5＝3×4＋2×5＝22。如果x★（5★1）＝70，那么＝( )。 【答案】12 【分析】首先根据运算定义计算括号内的部分5★1，得到结果后代入原方程，再根据定义把式子转化为符合题意的方程，解答即可。 【详解】5★1 ＝3×5＋2×1 ＝15＋2 ＝17 x★17＝3x＋2×17 3x＋2×17＝70 解：3x＋34＝70 3x＝70－34 3x＝36 x＝36÷3 x＝12 规定：A★B＝3A＋2B，例如4★5＝3×4＋2×5＝22。如果x★（5★1）＝70，那么＝12。 2．（2025·黑龙江鸡西·小升初真题）琳琳设计了一个猜年龄程序： 输入你的年龄→加6→乘1.5→输出结果 如果输入的年龄是a岁，则输出的结果是( )；如果输出的结果是54，则输入的年龄是( )岁。 【答案】 1.5（a＋6） 30 【分析】由题意可知，先表示输入的年龄加6，即a＋6，再乘1.5，即（a＋6）×1.5，也就是1.5（a＋6）；输出的结果是54，说明含有字母式子的值是54，即1.5（a＋6）＝54，再利用等式的性质解方程求出未知数的值，据此解答。 【详解】（a＋6）×1.5 ＝1.5（a＋6） 1.5（a＋6）＝54 解：1.5（a＋6）÷1.5＝54÷1.5 a＋6＝36 a＋6－6＝36－6 a＝30 所以，如果输入的年龄是a岁，则输出的结果是1.5（a＋6）；如果输出的结果是54，则输入的年龄是30岁。 3．（2025·江西上饶·小升初真题）新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 【答案】 4n＋2 5n＋1 【分析】如图所示，制作一个六边形需要6个磁力球和6根磁力棒，每多一个六边形，多4个磁力球和5根磁力棒，据此解答。 【详解】根据分析，可以把第1个六边形需要的磁力球个数记为：2＋4，需要磁力棒的个数记为：1＋5 所以六边形的个数与磁力球个数的关系是：磁力球个数＝2＋4×六边形的个数，即磁力球个数＝4n＋2； 六边形的个数与磁力棒个数的关系是：磁力棒个数＝1＋5×六边形的个数，即磁力棒个数＝5n＋1； 所以，第n个图形需要（4n＋2）个磁力球，（5n＋1）根磁力棒。 4．（2025·河南信阳·期末）爱眼小常识：看电视时要保持最佳观看距离，最佳观看距离一般是电视屏幕对角线长度的2倍。如果用字母b表示电视屏幕对角线的长度（单位：英寸），那么最佳观看距离为( )英寸。丽丽家的电视机是70英寸，她的最佳观看距离是( )米。（电视机的尺寸是指屏幕对角线的长度，1英寸≈2.5厘米） 【答案】 2b 3.5 【分析】（1）最佳观看距离＝电视屏幕对角线长度×2，据此列式计算； （2）先根据1英寸≈2.5厘米把70英寸换算成以厘米为单位，再根据最佳观看距离＝电视屏幕对角线长度×2求出最佳观看距离，最后根据1米＝100厘米把单位换算成米即可。 【详解】b×2＝2b（英寸） 70×2.5＝175（厘米） 175×2＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 爱眼小常识：看电视时要保持最佳观看距离，最佳观看距离一般是电视屏幕对角线长度的2倍。如果用字母b表示电视屏幕对角线的长度（单位：英寸），那么最佳观看距离为2b英寸。丽丽家的电视机是70英寸，她的最佳观看距离是3.5米。（电视机的尺寸是指屏幕对角线的长度，1英寸≈2.5厘米） 【预测命题方向03】方程与等式的辨析 1．（2025·广东汕头·小升初模拟）下面式子中，是方程的是( )。 A．5－x B．18÷3＝6 C．1－2x＝0.5 D．4－3x＜5 【答案】C 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数；由此即可选择。 【详解】A．5－x含有未知数但是不是等式，不是方程； B．18÷3＝6是等式但是不含有未知数，不是方程； C．1－2x＝0.5是等式并且含有未知数，是方程； D．4－3x＜5含有未知数但不是等式，不是方程。 故答案为：C 2．（2024·福建漳州·小升初真题）韦恩图是一种展示集合关系的图形工具。下面的韦恩图中，( )集合关系是正确的。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正负数的意义、偶数和奇数的意义、方程的意义和等式的意义、平行四边形和长方形的特征进行解答。 【详解】 A．比0大的数叫做正数，比0小的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，它们是并列关系，符合题意。 B．能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数；0是偶数，它们不是并列关系，不符合题意。 C．含有未知数的等式叫做方程；表示左右相等的式子叫做等式；方程一定时等式，等式不一定是方程，所以是等式包含方程，不符合题意。 D．，平行四边形对边平行且相等，长方形对边平行且相等，四个角都是直角；长方形是特殊的平行四边形，所以平行四边形包含长方形，不符合题意。 集合关系是正确的。 故答案为：A 【预测命题方向04】等式的性质与等量代换 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，△×□＝( )。 【答案】108 【分析】已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，把△换成3个□，式子就变成：3个□＋1个□＝24，也就是4个□的和是24，由此算出1个□＝ 24÷4＝6。因为1个△等于3个□，所以△＝3×6＝18。求□×△，代入数值，即可解答。 【详解】△＋□＝24 □＋□＋□＋□＝24 4□＝24 4□÷4＝24÷4 □＝6 △＝3×6＝18 △×□＝18×6＝108 所以△×□＝108。 2．（2025·重庆忠县·小升初真题）如果，那么、两数相差( )。 【答案】11.36 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；求解、两数相差的值需要将等式变形为等于某个数的形式，则首先将等式两边同时减并加上即可将等式变形。 【详解】 即、两数相差11.36。 【预测命题方向05】列方程解倍数问题 1．（2025·全国·小升初模拟）2023年5月28日，我国首架具有自主知识产权的干线客机圆满完成载客首飞。一架客机的机身总长38.9米，比机高的4倍少8.9米，一架客机机高多少米？（列方程解答） 【答案】11.95米 【分析】根据一架客机的机身总长比机高的4倍少8.9米，设机高为米，得出数量关系式：机身总长38.9米等于机高的4倍减去8.9米，列出方程，解方程得出机高。 【详解】解：设一架客机机高x米。 4x－8.9＝38.9 4x＝38.9＋8.9 4x＝47.8 x＝47.8÷4 x＝11.95 答：一架客机机高11.95米。 2．（2025·河南漯河·小升初真题）有甲乙两桶大豆油，甲桶大豆油的质量是乙桶的，如果从乙桶向甲桶倒4.5kg大豆油，那么两桶大豆油的质量正好相等。甲、乙两桶原来分别有大豆油多少千克？（用方程知识解决） 【答案】千克；千克 【分析】由题意可知，可设乙桶有x千克大豆油，则甲桶有千克大豆油，再根据等量关系“乙桶－4.5＝甲桶＋4.5”列出方程，求解即可解答。 【详解】解：设乙桶有x千克大豆油。 （千克） 答：甲桶有千克大豆油，乙桶有千克大豆油； 【预测命题方向06】列方程解行程问题 1．（2025·山东济南·小升初真题）甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】63千米 【分析】根据题意可知，设货车每时行千米，则货车速度×时间＋客车速度×时间＋135＝540，据此列出方程求解即可。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米。 3×72＋3x＋135＝540 216＋3x＋135＝540 351＋3x＝540 3x＝540－351 3x＝189 x＝189÷3 x＝63 答：货车每小时行驶63千米。 2．（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 【答案】90千米 【分析】根据题意，剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。根据时间＝路程÷速度，分别算出剩下的路程乘公共汽车的时间和乘出租车的时间。根据乘公共汽车的时间－乘出租车的时间＝多用的时间列方程解决。 【详解】解：设小张家到火车站的路程是3千米。 3－＝2（千米） 40×2＝80（千米/时） 45分钟＝小时 答：小张家到火车站有90千米。 【点睛】根据“继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站”。 剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。 【预测命题方向07】列方程解鸡兔同笼问题 1．（2025·四川达州·小升初真题）青山果园的苹果树和梨树一共有120棵，其中梨树的棵数是苹果树的。青山果园的苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解答） 【答案】苹果树有96棵；梨树有24棵 【分析】设青山果园的苹果树有棵，根据求一个数的百分之几是多少用乘法，可知梨树有棵，根据等量关系式：梨树的棵数＋苹果树的棵数＝120棵，列出方程，利用等式的性质，解答求出苹果树的棵数，进而求出梨树的棵数。 【详解】解：设青山果园的苹果树有棵，梨树的棵数是。 （棵） 答：青山果园的苹果树有96棵，梨树有24棵。 2．（2025·广东汕头·小升初模拟）妈妈在服装店买了一件上衣和一条裤子，共花了360元，裤子的价格比上衣便宜了20%，那么上衣和裤子各多少元？ 【答案】上衣200元；裤子160元 【分析】已知裤子的价格比上衣便宜了20%，把上衣的价格看作单位“1”，则裤子的价格是上衣的（1－20%）；设上衣的价格是元，则裤子的价格是（1－20%）元；等量关系：上衣的价格＋裤子的价格＝上衣和裤子的总价钱，据此列出方程，并求出方程的解，即上衣的价格，再用总价钱减去上衣的价格，求出裤子的价格。 【详解】解：设上衣的价格是元。 ＋（1－20%）＝360 ＋0.8＝360 1.8＝360 ＝360÷1.8 ＝200 裤子：360－200＝160（元） 答：上衣200元，裤子160元。 【预测命题方向08】列方程解盈亏问题 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3颗，就会余下糖果17颗；如果每人分5颗，就会缺少糖果13颗。幼儿园小班有多少小朋友？这些糖果共有多少颗？ 【答案】15人；62颗 【分析】第一次每人分3颗，第二次每人分5颗，第二次比第一次每人多5－3＝2（颗），因此每人多2颗，原来余17颗就变为少13颗，两次的分配差额是（17＋13）颗，可以用“总差额÷每人两次差额＝人数”，据此解答． 【详解】（17＋13）÷（5－3） ＝30÷2 ＝15（人） 15×3＋17 ＝45＋17 ＝62（颗） 【点睛】此题在求人数时，运用了关系式：（盈数＋亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数（人数）。 2．（2024·四川广元·小升初真题）用绳子测量楼房的高度，把绳子折成相等的4段来量，绳子比楼房高出5米，把绳子折成相等的5段来量，绳子比楼高出2米。这根绳子有多少米？楼房高多少米？ 【答案】绳子：60米；楼房：10米 【分析】解决用绳子测量楼房高度的问题，要抓住“绳子总长度始终不变”这一关键隐藏条件。当把绳子折成相等的4段来测量时，由于每一段绳子的长度都比楼房高度多出5米，所以此时绳子的总长度可以表示为4×（楼房高度＋5米）。而当把绳子折成相等的5段来测量时，每一段绳子长度比楼房高度多出2米，那么绳子总长度又可表示为5×（楼房高度＋2米）。因为绳子的实际总长度是固定不变的，所以“4×（楼房高度＋5米）”和“5×（楼房高度＋2米）”这两个用来表示绳长的式子是相等的。基于此，我们可以通过对比这两个式子，先计算出楼房的高度，之后再进一步求出绳子的长度。 【详解】表示两种折法的绳长： 折4段：绳长＝4×（楼高＋5）＝4×楼高＋20 折5段：绳长＝5×（楼高＋2）＝5×楼高＋10 利用绳长不变找关系： 因为绳长不变，所以4×楼高＋20＝5×楼高＋10 求楼高： 对比等式，5×楼高比4×楼高多1个楼高，20比10多10，所以1个楼高＝10米 求绳长（以折4段为例）： 4×（10＋5） ＝4×15 ＝60米 答：这根绳子有60米，楼房高10米。 【点睛】核心是抓“绳长不变”，将两种折法转化为含楼高的绳长表达式，通过对比表达式的差量（倍数差对应长度差），快速求出楼高与绳长，关键是对不变量和差量关系的灵活运用。 【预测命题方向09】列方程解分数和百分数问题 1．（2025·湖北襄阳·小升初真题）甲桶的油比乙桶多3.6千克，如果从两桶油中各取出1千克，则甲桶里剩下油的等于乙桶里剩下油的，那么甲桶里原来有多少千克油？ 【答案】11.8千克 【分析】把甲桶里原来油的质量设为未知数，乙桶里原来油的质量＝甲桶里原来油的质量－3.6千克，等量关系式：（甲桶里原来油的质量－1）×＝（乙桶里原来油的质量－1）×，根据等量关系式列出方程，并求出方程的解的性质2。 【详解】解：设甲桶里原来有千克油，则乙桶里原来有千克油。 答：甲桶里原来有11.8千克油。 2．（2025·福建泉州·小升初模拟）粮店运进一批大米与面粉，大米比面粉多450千克，当大米卖出一些后剩下60%，而面粉没卖，这时大米比面粉少150千克。粮店运进这批大米、面粉各多少千克？（先画图表示数量关系，再解答。） 【答案】图见详解；大米1500千克；面粉1050千克 【分析】先画一段线段表示大米的质量，再画一段比大米线段短的线段表示面粉的质量，大米比面粉长的线段就是多出的450千克，标记“450千克”。在大米与面粉长度相等的线段中画1小段表示150千克，则剩余大米的线段中表示“剩下60%”。 设粮店运进面粉x千克，大米比面粉多450千克，则粮店运进大米（x＋450）千克。当大米卖出一些后剩下60%，而面粉没卖，这时大米比面粉少150千克。即大米的质量乘60%等于面粉的质量减150千克，据此可列方程为：x－150＝（x＋450）×60%，然后解方程即可。 【详解】作图如下： 解：设粮店运进面粉x千克。 x－150＝（x＋450）×60% x－150＝（x＋450）×0.6 x－150＝0.6x＋270 x＝0.6x＋270＋150 x＝0.6x＋420 x－0.6x＝420 0.4x＝420 x＝420÷0.4 x＝1050 1050＋450＝1500（千克） 答：粮店运进大米1500千克，运进面粉1050千克。 【预测命题方向10】列方程解比和比例问题 1．（2025·山东·小升初模拟）春秋战国时期，我国有一位发明家叫鲁班，手艺巧夺天工，传说他用木头组成飞鸟，惟妙惟肖，十分逼真。鲁班3天能做15个飞鸟，如果要做80个飞鸟，需要几天？（用比例解答） 【答案】16天 【分析】鲁班3天能做15个飞鸟，可以用求出一天的量，即总数和天数成正比例关系，根据总数除以对应的天数等于1天的量这一等量关系列比例，需先把需要的天数设为天。 【详解】解：设需要天。 答：如果要做80个飞鸟，需要16天。 2．（2025·广东汕头·小升初模拟）爸爸准备给客厅铺地砖，用边长5分米的方砖铺，需540块，若改用边长6分米的方砖铺，需多少块？（用比例解） 【答案】375块 【分析】客厅的总面积保持不变，所以方砖的面积和所需块数成反比例关系。先设改用边长6分米的方砖需要x块，分别算出两种方砖的面积：边长5分米的方砖面积是5×5＝25平方分米，边长6分米的方砖面积是6×6＝36平方分米。根据“总面积相等”，可以列出反比例方程36x＝25×540，最后解这个方程即可得到需要方砖的数量。 【详解】解：设需要x块。 6×6×x＝5×5×540 36x＝25×540 36x＝13500 36x÷36＝13500÷36 x＝375 答：需要375块。 四、比和比例·十二种命题预测 【命题解读】 比和比例是小升初常考内容之一，在考察中一般占10%~15%，它主要涉及比和比例的基础概念运用、相关计算以及实际应用，值得注意的是它常和分数、百分数结合考察。 近年来主要以化简比和求比值、按比例分配应用题、比例关系的判断、比例尺的计算、比例应用题以及正反比例图标应用等高频考题为主，填空、选择、计算、应用等题型皆有出现，考察难度一般，从命题情况来看，主要呈现以下三个趋势： 趋势一，即跨学科融合，结合科学实验（数据测量）、地理地图（比例尺）、经济生活等内容出题。 趋势二，即实际情境化，近年来常以“网购优化比例”、“传统文化”、“行程规划”等实际生活场景为载体出题。 趋势三，即思维进阶，增加开放性题目，或作为压轴题训练思维。 复习比和比例板块的内容，首先要强调概念辨析，例如比和比例、正比例和反比例的辨析，其次针对性训练必不可少，最后建立错题本，总结方法。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 化简比与求比值 选、填、计 2 求比问题 选、填 3 按比例分配问题 选、填、解 4 比与分数百分数应用题 选、填、解 5 比例的意义和比例的基本性质 选、填、判 6 正反比例关系的判断 选、填、判 7 比例尺的意义 选、填、判 8 比例尺的应用 解 9 正比例的应用 解 10 反比例的应用 解 11 正反比例图表综合 填、解 12 作图·比例尺与图形的放大缩小 作 【预测命题方向01】化简比与求比值 1．（2025·河北邢台·期末）化简下列各比并求比值。                   分钟∶1小时        0.2千克∶25克 【答案】12∶5；；7∶1；7；3∶5；；8∶1；8 【分析】比的基本性质，比的前项和后项同时乘或者除以一个相同的数（0除外），比值的大小不变。根据比的基本性质化简，单位不同的先统一单位，分数或小数比可转化为整数比再化简，最后用前项除以后项求比值。 【详解】 比值： 比值： 分钟∶1小时 ＝36分钟∶60分钟 ＝（36÷12）∶（60÷12） ＝3∶5 比值：3∶5＝3÷5＝ 0.2千克∶25克 ＝200克∶25克 ＝（200÷25）∶（25÷25） ＝8∶1 比值：8∶1＝8÷1＝8 2．（2024·河南周口·小升初真题）化简下列各比，并求比值。 2.7∶0.18           ∶5          ∶      30厘米∶2米 【答案】15∶1；15；1∶18；；50∶27；；3∶20； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变，据此把给出的比化成最简整数比；单位不统一需要先转化成相同的单位再进行化简；用最简整数比的前项除以后项即可求出比值。 【详解】2.7∶0.18 ＝（2.7÷0.18）∶（0.18÷0.18） ＝15∶1 15∶1 ＝15÷1 ＝15 ∶5 ＝（×18）∶（5×18） ＝5∶90 ＝（5÷5）∶（90÷5） ＝1∶18 1∶18 ＝1÷18 ＝ ∶ ＝（×90）∶（×90） ＝50∶27 50∶27 ＝50÷27 ＝ 30厘米∶2米 ＝30厘米∶200厘米 ＝（30÷10）∶（200÷10） ＝3∶20 3∶20 ＝3÷20 ＝ 【预测命题方向02】求比问题 1．（2025·河南周口·小升初真题）琳琳和彤彤两家到学校的路程相等，两人同时从家出发去学校，琳琳4分钟走到学校，彤彤6分钟走到学校，琳琳和彤彤两人所用的时间比是( )，速度比是( )。 【答案】 2∶3 3∶2 【分析】（1）琳琳和彤彤两人所用的时间比＝琳琳走到学校的时间：彤彤走到学校的时间，再利用比的性质比的前项和后项同时除以2化简即可； （2）我们把两家到学校的路程看作单位“1”，琳琳的速度：，彤彤的速度：，再用速度相比化简即可。 【详解】46＝（4÷2）（6÷2）＝23； 琳琳的速度：，彤彤的速度： 琳琳和彤彤两人所用的时间比是23，速度比是32。 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）一段公路长20km，甲队单独修要8天修完，乙队单独修要10天修完。甲乙两队的工作效率之比是( )。 【答案】5∶4 【分析】将整个公路的工程量看作单位“1”，则用单位“1”除以甲队单独需要的天数8天即可求出甲队的工作效率，用单位“1”除以乙队单独需要的天数10天即可求出乙队的工作效率，即可求出甲乙两队的工作效率之比。 【详解】甲乙两队的工作效率之比＝； 即甲乙两队的工作效率之比是5∶4。 3．（2025·四川绵阳·小升初真题）甲数比乙数多，乙数与甲数的比是( )。 【答案】3∶4 【分析】甲数比乙数多，把乙数看作1，用1×（1＋）求出甲是多少，再求出乙数与甲数的比是多少。 【详解】1×（1＋）＝1×＝； 1∶＝（1×3）∶（×3）＝3∶4； 乙数与甲数的比是3∶4。 4．（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图中阴影部分的面积占小圆面积的，占大圆面积的，小圆面积与大圆面积的比是( )∶( )。 【答案】 5 18 【分析】设阴影部分面积为1，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用阴影部分面积除以它占小圆面积的分率，可求出小圆面积为1÷；同理，用阴影部分面积除以它占大圆面积的分率，可求出大圆面积为1÷；最后用小圆面积∶大圆面积，化成最简整数比即可。 【详解】设阴影部分面积为1； 1÷ ＝1× ＝ 1÷ ＝1×6 ＝6 小圆面积∶大圆面积 ＝∶6 ＝（×3）∶（6×3） ＝5∶18 小圆面积与大圆面积的比是5∶18。 【预测命题方向03】按比例分配问题 1．（2025·湖南永州·小升初真题）李大爷家的蔬菜大棚如下图，其中种白菜，其余的按种茄子、苦瓜、辣椒。种茄子、苦瓜、辣椒各需要多少平方米？ 【答案】种茄子需要300平方米，种苦瓜需要200平方米，种辣椒需要100平方米。 【分析】由图可知，蔬菜大棚的总面积是50×20＝1000（平方米），用1000×算出种白菜用了400平方米的面积，剩余600平方米按种茄子、苦瓜、辣椒，茄子、苦瓜、辣椒总面积的总份数为6，一份的面积是600÷6＝100（平方米），最后按比例分配分别算出面积即可。 【详解】50×20＝1000（平方米） 1000×＝400（平方米） 1000－400＝600（平方米） 1＋2＋3＝6 600÷6＝100（平方米） 茄子：100×3＝300（平方米） 苦瓜：100×2＝200（平方米） 辣椒：100×1＝100（平方米） 答：种茄子需要300平方米，种苦瓜需要200平方米，种辣椒需要100平方米。 2．（2025·广东汕头·小升初模拟）甲、乙两数的平均数是60，甲、乙两数的比是，甲数和乙数分别是多少？ 【答案】甲数：45；乙数：75 【分析】已知甲、乙两数的比是3∶5，甲、乙两数分别占甲、乙两数和的和。甲、乙两数的平均数是60，甲、乙两数之和是120，用甲、乙两数之和分别乘甲、乙两数占甲、乙两数和的分率，即可求出甲、乙两数。 【详解】甲数：60×2× ＝120× ＝45 乙数：60×2× ＝120× ＝75 答：甲数是45，乙数是75。 3．（2025·江苏南京·小升初真题）妈妈根据《学生餐营养指南》制定一日食谱，其中一道鱼香肉丝的主要原料有瘦猪肉、胡萝卜、甜椒等。下图表示制作鱼香肉丝的三种食材的份数。 (1)如果要制作一份450克的鱼香肉丝，三种食材各需要多少克？ (2)如果已有瘦猪肉500克，胡萝卜320克，甜椒600克，妈妈制作完鱼香肉丝用完了所有食材，她在制作过程中添加了什么食材，添加了多少克？ 【答案】(1)瘦猪肉：150克；胡萝卜：120克；甜椒：180克 (2)添加胡萝卜；80克 【分析】 （1）由图可知一道鱼香肉丝中，瘦猪肉∶胡萝卜∶甜椒＝5∶4∶6，那么三种食材的总份数为5＋4＋6＝15份。450克的鱼香肉丝，总质量是450克。 所以食材的质量＝总质量×食材的分率，用乘法计算即可解答。 （2）已知瘦猪肉有500克，瘦猪肉的份数占5份，先求出每份瘦猪肉的质量作为参照，则每份的质量为克；胡萝卜占4份，所以应有克，而现有胡萝卜320克，说明胡萝卜不够，用减法计算要添加多少克； 甜椒占6份，所以应有克，现有甜椒600克，刚好满足，不需要添加。 【详解】（1）瘦猪肉：（克） 胡萝卜：（克） 甜椒：（克） 答：瘦猪肉需要150克，胡萝卜需要120克，甜椒需要180克。 （2）每份瘦猪肉：（克） 应有胡萝卜：（克） 添加胡萝卜：（克） 应有甜椒：（克） 答：她在制作过程中添加了胡萝卜，添加了80克。 【预测命题方向04】比与分数百分数应用题 1．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的。仓库原有货物多少吨？ 【答案】360吨 【分析】已知运走的货物与剩下的货物重量比为2∶7，把原有货物总量看作2＋7＝9份，把原有货物总量看作单位“1”，则剩下的货物占原有货物的；运走64吨后剩下的货物占原有货物的，则64吨对应的占比为（－）；最后根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”用64吨除以它对应的占比，即可求出仓库原有货物的总量。 【详解】64÷（－） ＝64÷（－） ＝64÷（－） ＝64÷ ＝64× ＝360（吨） 答：仓库原有货物360吨。 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）甲、乙两个志愿者团队原来的捐款钱数比是7∶3，现在甲团队拿出60元给乙团队用于帮扶困难学生，这时甲、乙两个团队的捐款钱数比是2∶3。现在甲、乙两个团队各捐款多少元？ 【答案】甲捐款80元，乙捐款120元 【分析】根据甲、乙两个团队原来的钱数比是7∶3，把两个团队总钱数看作单位“1”，可知甲原来的钱占两个团队总钱数的，根据这时甲、乙两个团队的钱数比是2∶3，可知甲现在的钱占两个团队总钱数的，比原来少了（－），少了60元，因此用60÷（－），求出两个团队钱的总数，然后再平均分成2＋3＝5份，其中2份是甲，3份是乙，据此即可解答问题。 【详解】60÷（－） ＝60÷（－） ＝60÷（－） ＝60÷ ＝60× ＝200（元） 200÷（2＋3） ＝200÷5 ＝40（元） 甲：40×2＝80（元） 乙：40×3＝120（元） 答：现在甲团队捐款80元，乙团队捐款120元。 【预测命题方向05】比例的意义和比例的基本性质 1．（2025·河南南阳·小升初真题）若4，x，8，16四个数可以组成比例，那么x最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 2 【分析】对于任意比例a∶b＝c∶d或a∶c＝b∶d等形式（a、b均不为0），都满足外项积＝内项积，即a×d＝b×c。4、x、8、16四个数中，x可作为“外项”或“内项”。 情况1：x与4为一组（同作外项或内项），8与16为另一组，此时根据“外项积＝内项积”可得：4×x＝8×16。 情况2：x与8为一组（同作外项或内项），4与16为另一组，同理可得：8×x＝4×16。 情况3：x与16为一组（同作外项或内项），4与8为另一组，同理可得：16×x＝4×8。 据此计算x的值，然后比较大小即可。 【详解】情况1：x与4为一组（同作外项或内项），8与16为另一组。 4×x＝8×16 解：4x＝128 x＝128÷4 x＝32 情况2：x与8为一组（同作外项或内项），4与16为另一组。 8×x＝4×16 解：8x＝64 x＝64÷8 x＝8 情况3：x与16为一组（同作外项或内项），4与8为另一组。 16×x＝4×8 解：16x＝32 x＝32÷16 x＝2 32＞8＞2 x最大是32，最小是2。 2．（2025·浙江杭州·小升初模拟）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是53，另一个内项是( )，这个比例可能是( )。 【答案】 2∶53＝∶ 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，可知两个内项也互为倒数；再根据“其中一个内项是53”，用1除以53求出另一个内项。 两个外项只要保证乘积为1即可，据此写出这个比例。 【详解】1÷53＝ 所以，另一个内项是，这个比例可能是2∶53＝∶（答案不唯一）。 3．（2025·山东菏泽·小升初真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 【答案】 正比例 8 【分析】①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。据此解答“立竿见影”的比例关系； ②比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。在5×6＝2×15中，可以把5和6看作比例的两个外项，把2和15看作比例的两个内项；或者把5和6看作比例的两个内项，把2和15看作比例的两个外项；据此写出符合要求的比例即可确定比例的个数。 【详解】在阳光下，同一时间、同一地点，物体的高度与影子的长度的比值固定，所以“立竿见影”是应用了比例知识当中的正比例关系； 5×6＝2×15可以改写成：2∶5＝6∶15，15∶5＝6∶2，2∶6＝5∶15，15∶6＝5∶2，5∶2＝15∶6，6∶2＝15∶5，5∶15＝2∶6，6∶15＝2∶5，共8个不同的比例。 成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的正比例关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是8个不同的比例。 【预测命题方向06】正反比例关系的判断 1．（2025·甘肃临夏·小升初真题）如果，那么、成( )比例关系，如果，那么、成( )比例关系。 【答案】 反 正 【分析】①如果两个相关的量，它们的乘积一定，即可判定这两个量成反比例关系，通过和的乘积为定值则可判定其到底是正比例还是反比例； ②如果两个相关的量，它们的比值一定，即可判定这两个量成正比例关系，通过和的比值为定值则可判定其到底是正比例还是反比例。 【详解】①和的乘积为定值3，则、成成反比例； ②，即和的比值为定值，则、成正比例。 2．（2025·辽宁本溪·小升初真题）圆的周长和它的半径成( )比例；一个三角形的面积一定，它的底与高成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。 【详解】因为圆的周长÷半径＝2π（一定），符合正比例的意义，所以圆的周长和半径成正比例。 因为三角形的底×高＝面积×2（一定），符合反比例的意义，所以三角形的面积一定，底和高成反比例。 【预测命题方向07】比例尺的意义 1．（2021·内蒙古呼和浩特·小升初真题）在一幅地图上新郑机场到新郑市区距离为3cm，而实际距离为24km，这幅地图的比例尺是( )。 【答案】1∶800000 【分析】根据1km＝1000m，用24乘进率1000即可换算；根据1m＝100cm，用3除以进率100即可换算；图上距离∶实际距离＝比例尺，由此可知，比例尺的前项表示图上距离，后项表示实际距离，据此分析。 【详解】24×1000＝24000（m） 3÷100＝0.03（m） 即这幅地图的比例尺是1∶800000。 2．（2025·甘肃庆阳·小升初真题）上海中心大厦是我国第一高楼，小辰设计了一幅该高楼的宣传海报，海报的比例尺是，把线段比例尺改写为数值比例尺是( )，在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是( )m。 【答案】 1∶4000 632 【分析】 线段比例尺表示图上1cm相当于实际距离40m，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1m＝100cm”，把线段比例尺改写为数值比例尺。 已知在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1m＝100cm”，求出该高楼的实际高度。 【详解】1cm∶40m ＝1cm∶（40×100）cm ＝1∶4000 15.8÷ ＝15.8×4000 ＝63200（cm） 63200cm＝632m 把线段比例尺改写为数值比例尺是（1∶4000），在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是（632）m。 【预测命题方向08】比例尺的应用 1．（2025·河北张家口·小升初真题）近年来，我国无人驾驶技术不断取得突破。技术人员为获得一辆以新能源为动力的无人驾驶汽车在行驶过程中的数据，他们在图纸上规划一段公路，让无人驾驶汽车试运行。已知这幅图的比例尺是1∶500000，这段公路的图上距离是28厘米，如果这辆汽车以40千米/时的速度行驶，几小时能行驶完？ 【答案】3.5小时 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，因此实际距离＝图上距离÷比例尺，注意将计算结果的单位换算成千米，再根据“时间＝路程÷速度”求出行驶所需的时间。 【详解】实际距离：（厘米） 14000000厘米＝140千米 行驶时间：140÷40＝3.5（小时） 答：3.5小时能行驶完。 2．（2023·贵州黔西·小升初真题）在比例尺是1∶1000的平面图上，量得一块长方形麦地的长是12厘米，宽是8厘米。这块麦地的实际面积是多少平方米？ 【答案】9600平方米 【分析】比例尺的意义：图上距离与实际距离的比，即比例尺＝，则1∶1000＝。因此实际距离＝图上距离÷比例尺。已知一块长方形麦地在图上的长是12厘米，宽是8厘米。把数据代入即可计算出麦地实际的长和宽。然后根据长方形面积公式：面积＝长×宽，把实际的长和宽代入即可解答。 【详解】1∶1000＝ （厘米） （厘米） 1米＝100厘米 12000÷100＝120（米） 8000÷100＝80（米） 120×80＝9600（平方米） 答：这块麦地的实际面积是9600平方米。 【预测命题方向09】正比例的应用 1．（2025·广东汕头·小升初模拟）一个车队向灾区运送1620吨救灾物资，已知2.4小时运了324吨，照这样进度，运完这批物资还需几小时？（用比例解） 【答案】9.6小时 【分析】根据题意可知，物资的吨数∶运送时间＝车队每小时运送物资的吨数（一定），比值一定，则物资的吨数与运送时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设运完这批物资还需x小时。 （1620－324）∶x＝324∶2.4 324x＝（1620－324）×2.4 324x＝1296×2.4 324x＝3110.4 x＝3110.4÷324 x＝9.6 答：运完这批物资还需9.6小时。 2．（2025·河南开封·小升初真题）成语“立竿见影”在《辞源》里的解释是“竿立而影现，喻收效迅速”。亮亮用数学的眼光来看，立刻联想到本学期所学的( )知识，即同一时间同一地点，竿高和影长成( )比例关系。 他打算用这种方法测量校园里一座雕塑的高度： 第一步：某天下午4时，他在这座雕塑旁测得明明的影子长度为2.4米，明明的身高是1.6米； 第二步：同时测得这座雕塑的影子长度为4.2米。 请你根据测量的过程，求出这座雕塑的高度。（用比例解答） 【答案】比例；正 2.8米 【分析】同一时间同一地点，竿高和影长成正比例关系。根据影长∶杆长＝每米杆子的影长（一定），所以影长和杆长成正比例；设这座雕塑的高为米，明明的影子长度为2.4米，明明的身高是1.6米，雕塑的影子长度为4.2米。可列出比例式为：2.4∶1.6＝4.2∶，然后解答即可。 【详解】亮亮用数学的眼光来看，立刻联想到本学期所学的比例知识，即同一时间同一地点，竿高和影长成正比例关系。 解：设这座雕塑的高为米。 2.4∶1.6＝4.2∶ 答：这座雕塑的高为2.8米。 【预测命题方向10】反比例的应用 1．（2025·浙江宁波·小升初模拟）为备战学校“百年党史竞赛”，老师给莉莉准备了习题册。如果每天做12题，15天可以做完，莉莉想10天就做完，每天应该做几题？（用比例解答） 【答案】18题 【分析】根据题意，习题册的题目总数一定，也就是每天做题数量与所用天数的积一定，因此每天做题数量与所用天数成反比例；设每天应该做题，根据“实际每天做题数量×天数＝计划每天做题数量×天数”进行列式解答即可。 【详解】解：设每天应该做题。 10×＝12×15 10＝180 ＝180÷10 ＝18 答：每天应该做18题。 2．（2025·甘肃兰州·小升初真题）中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 【答案】25天 【分析】这批中国结的总量是不变的，每天制作的个数与天数的乘积是一定的，即两种量成反比例。原计划每天制作600个，实际每天少制作20%，把原计划每天制作的个数看作单位“1”，则实际每天制作数量是原计划的（1－20%），设实际用了x天。因为工作总量不变，所以“原计划效率×原计划时间＝实际效率×实际时间”，据此列方程为：600×（1－20%）×x＝600×20，然后解方程即可。 【详解】解：设实际用了天。 答：实际用了25天。 【预测命题方向11】正反比例图表综合 1．（2025·陕西榆林·小升初真题）电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 … 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 … （1）判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要( )千瓦时；30千瓦时的电可行驶( )千米。 【答案】（1）成正比例；因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定 （2）图见详解 （3）63；200 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）把统计表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接即可。 （3）由第（1）题可得出行驶路程与耗电量的比值，求行驶420千米需要的电量，即求比的后项，用比的前项除以比值即可；求30千瓦时的电可行驶的路程，即求比的前项，用比的后项乘比值即可。 【详解】（1）（一定） 答：该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例，因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定。 （2）根据分析如图： （3）80÷12＝（千米/千瓦时） 420÷＝420×＝63（千瓦时） ×30＝200（千米） 该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要63千瓦时；30千瓦时的电可行驶200千米。 2．（2025·贵州安顺·小升初真题）把相同体积的水倒入不同底面积的圆柱形杯子中，杯中水面的高度与杯子的底面积关系的图像如图所示。 （1）底面积和水面高度成( )比例关系。 （2）在底面积是15平方厘米的圆柱形杯子中，水面的高度是( )厘米。 （3）请算一算，将同样体积的水全部倒入底面积是50平方厘米的圆柱形杯子中，杯子的高度至少是多少厘米水才不溢出？ 【答案】（1）反； （2）20； （3）6厘米 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系； （2）反比例图象中，横轴表示底面积，纵轴表示水面高度，找出底面积是15平方厘米时对应的水面高度即可； （3）杯子的高度至少要和水面高度相等水才不会溢出，先根据“”求出水的体积，再根据“”求出杯子的高度，据此解答。 【详解】（1）底面积×高＝5×60＝10×30＝15×20＝…＝60×5＝300（立方厘米）（一定），所以底面积和水面高度成反比例关系。 （2）由图可知，在底面积是15平方厘米的圆柱形杯子中，水面的高度是20厘米。 （3）5×60÷50 ＝300÷50 ＝6（厘米） 答：杯子的高度至少是6厘米水才不溢出。 【预测命题方向12】作图·比例尺与图形的放大缩小 1．（2025·湖北武汉·小升初真题）①画出三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形。 ②画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。 ③在方格图上找一个点作为圆心，并用字母O标注，然后画一个圆，使点D、E、F、G都在这个圆上。 【答案】见详解 【分析】①根据图形旋转的性质，以点A为旋转中心，将三角形ABC的各边按逆时针方向旋转90°。先确定点B、C绕点A逆时针旋转90°后的位置，再连接各点得到旋转后的图形。 ②根据图形放大的性质，将三角形ABC的各边长度扩大到原来的2倍。AB的长度原来占3格，放大后的长度占6格，AC的长度原来占2格，放大后的长度占4格。先确定点B、C放大后的位置，再连接各点得到放大后的图形 ③观察可知D、E、F和G连接后是一个正方形，以正方形对角线的交点为圆心，以正方形对角线的一半为半径画一个圆即可。 【详解】根据分析，作图如下： 2．（2025·湖北十堰·小升初真题）（1）学校在中心广场北偏西方向600米处，这幅图的比例尺是( )。 （2）书店在中心广场南偏东方向900米处，请在图中用“·”标出书店的位置。 【答案】（1）1∶30000 （2）见详解 【分析】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出比例尺即可； （2）根据图上距离＝实际距离×比例尺，据此求出书店到中心广场的图上距离，然后再根据“上北下南，左西右东”及角度信息作图即可。 【详解】（1）由图可知，学校到中心广场的图上距离为2厘米 2厘米∶600米。 ＝2厘米∶60000厘米 ＝（2÷2）∶（60000÷2） ＝1∶30000 则这幅图的比例尺是1∶30000。 （2）900米＝90000厘米 90000×＝3（厘米） 如图所示： 五、图形与几何·二十六种命题预测 【命题解读】 图形与几何，常与“数与代数”并列为小学数学最核心的两大板块，也是小升初考察最多的内容之一，常年在小升初考试中占25%~30%，它主要涉及基础图形特征、基本操作技能、图形综合应用等内容，在填空、选择、计算、操作、应用等题型中均有所体现。 根据近年来出题情况的研究，呈现出以下三个趋势： 一是学科素养导向，即增加量感题型，例如估算面积。 二是生活情景化，即结合生活场景出题，例如航天科技、建筑模型等。 三是跨学科融合，即与科学、美术、交叉命题。 在复习过程中，要注意基础掌握基本图形特征，针对面积和体积相关问题要作重点突破，熟练掌握相关解题模型。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 线与角·平行与垂直 选、填、判、作 2 平面图形和立体图形的基本认识 选、填、判 3 钟表角度计算问题 选、填 4 长方形和正方形的拼接问题 选、填 5 平行四边形与三角形的关系问题 选、填 6 平行四边形与梯形的关系问题 选、填 7 长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积 选、填、计、解 8 周长与面积的比较 选 9 圆的周长问题 选、填、计、解 10 最圆·外方内圆与外圆内方 选、填 11 圆环的面积 填、解 12 阴影图形的周长与面积 计、解 13 立体图形的展开图 选、作 14 长方体和正方体的表面积与体积 选、填、计、解 15 圆柱和圆锥的表面积与体积 选、填、计、解 16 圆柱与圆锥的旋转构成法 选、填 17 等积变形问题 解 18 切拼问题 选、填、解 19 排水法求不规则物体的体积 解 20 圆柱与圆锥的关系问题 选、填 21 倍比问题 选、填 22 组合体的表面积和体积 计、解 23 观察物体 选、填、作 24 平移、旋转和轴对称 选、填、作 25 数对、位置与方向 选、填、作 26 图形与几何综合作图 作 【预测命题方向01】线与角·平行与垂直 1．（2025·广东湛江·小升初真题）线段有( )个端点，射线有( )个端点（填“1”或“2”）。 【答案】 2 1 【分析】本题考查线段和射线的定义。线段是直线上两点之间的部分，因此有2个端点；射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分，因此有1个端点。 【详解】线段有2个端点，射线有1个端点。 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个40°的角，透过放大5倍的放大镜看，这个角是( )。 【答案】40° 【分析】根据角的定义，角的大小只和角两边张开的大小有关，和边的长度无关。虽然放大镜放大了角两边的长度，但是角的大小不变，依旧是40°。 【详解】根据分析，一个40°的角，透过放大5倍的放大镜看，这个角是40°。 3．（2025·浙江金华·小升初真题）图中，直线和的位置关系是( )，直线和的位置关系是( )，直线和的位置关系是( )，，那么( )。 【答案】 平行/互相平行 垂直/互相垂直 相交 119 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。据此判断几条直线的位置关系。由图可知，∠1和∠2组成了一个平角。∠1＝61°，那么直接用180°减去61°即可算出∠2的度数。 【详解】由图可知，直线a和b没有交点，所以这两条直线互相平行。直线a和c相交成直角，所以这两条直线互相垂直。直线b和d有交点，所以这两条直线相交。 ∠2＝180°－∠1＝180°－61°＝119° 直线和的位置关系是平行，直线和的位置关系是垂直，直线和的位置关系是相交，，那么119°。 【预测命题方向02】平面图形和立体图形的基本认识 1．（2024·河南郑州·小升初真题）小学阶段很多知识之间有着密切联系。如图，若A表示等腰三角形，则B可以表示等边三角形；若B表示方程，则A可以表示( )；请你自己再举一个例子：( )。 【答案】 等式 若B表示长方形，则A可以表示平行四边形 【分析】有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形，据此可知：等边三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知数的等式，据此可知方程是特殊的等式，所以A可以表示等式；平行四边形：有两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；长方形：有一个角是直角的平行四边形是长方形；据此可知：长方形是特殊的平行四边形，可以据此举例解答。 【详解】根据分析可知：方程是特殊的等式，所以若B表示方程，则A可以表示等式； 长方形是特殊的平行四边形，若B表示长方形，则A可以表示平行四边形。 小学阶段很多知识之间有着密切联系。如图，若A表示等腰三角形，则B可以表示等边三角形；若B表示方程，则A可以表示等式；请你自己再举一个例子：若B表示长方形，则A可以表示平行四边形。 （答案不唯一） 2．（2024·浙江温州·小升初真题）知识之间是有密切联系的。如图，若表示长方体，则可以表示正方体；若表示相交，则可以表示( )；若表示等边三角形，则可以表示( )。 【答案】 垂直 等腰三角形 【分析】相交是指两条直线在同一平面内有一个公共点，垂直是相交的特殊情况，当两条相交直线所成的角为90°时，这两条直线互相垂直；等边三角形是三条边都相等，三个角也都相等（都是60°）的三角形，等腰三角形是至少有两条边相等的三角形。 【详解】所有的垂直都属于相交的范畴，垂直是相交的一种特殊形式 ，所以若A表示相交，B可以表示垂直； 等边三角形满足等腰三角形的定义，并且是等腰三角形中特殊的一种（三边都相等 ），即等边三角形的概念范围完全包含于等腰三角形，所以若B表示等边三角形，A可以表示等腰三角形。 【预测命题方向03】钟表角度计算问题 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）钟面上指示3：30时，时针与分针的夹角是( )度。 【答案】75 【分析】 时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。3：30如图所示：，此时时针在3和4中间，分针指向6，一共是两大格和一个大格的一半，据此用30°×＋30°×2即可解题。 【详解】30°×＋30°×2 ＝15°＋60° ＝75° 钟面上指示3：30时，时针与分针的夹角是75度。 2．（2025·安徽宿州·小升初真题）从11：15到11：45，钟表的分针旋转了( )。 【答案】180°/180度 【分析】分针转一个大格是30°，从11：15到11：45，分针从3走到9，走了6个大格，角度即为30°×6＝180°。据此解答即可。 【详解】30°×6＝180° 从11：15到11：45，钟表的分针旋转了180°。 【预测命题方向04】长方形和正方形的拼接问题 1．（2025·河南郑州·小升初真题）如下图，5个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个大长方形，那么小长方形长与宽的比是( )。 【答案】3∶2 【分析】设小长方形长为x，宽为y，如图长方形对边相等，3倍的小长方形的宽＝2倍小长方形的长，也就是3y＝2x，则x∶y＝3∶2。 【详解】设小长方形长为x，宽为y 3y＝2x x∶y＝3∶2。 2．（2019·河南平顶山·小升初真题）把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形。 用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。 【答案】 12 2n＋2 【分析】用5个正方形拼成的长方形，长是5厘米，宽是1厘米。用n个正方形拼成的长方形，长沙n厘米，宽是1厘米。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2＝2×长＋2×宽解答。 【详解】（5＋1）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 用5个正方形拼成的长方形的周长是12厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是（2n＋2）厘米。 【预测命题方向05】平行四边形与三角形的关系问题 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 【答案】3.6// 【分析】图形剪拼过程中，面积不变，底也不变，即三角形底和平行四边形的底相等，面积相等，平行四边形高＝面积÷底。 【详解】平行四边形面积＝三角形面积＝21.6cm²，平行四边形底＝三角形的底＝6cm，则平行四边形高为： 21.6÷6＝3.6（cm） 2．（2025·重庆梁平·小升初真题）一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是( )厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是( )厘米。 【答案】 9 4 【分析】三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知三角形面积为36平方厘米，高是8厘米，把数据代入计算即可得出三角形的底。当平行四边形与三角形等底等积时，三角形的高是平行四边形高的2倍，所以用三角形的高除以2即可得出平行四边形的高。 【详解】36×2÷8＝9（厘米） 8÷2＝4（厘米） 一个三角形的底是9厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是4厘米。 【预测命题方向06】平行四边形与梯形的关系问题 1．（2025·广东潮州·小升初真题）图中，已知平行四边形ABCD的面积为40cm2，那么图中阴影部分的面积是( )cm2，整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是( )。 【答案】 10 5∶1 【分析】平行四边形的面积公式为：面积＝底×高，则高＝面积÷底，已知平行四边形ABCD的面积是40cm2，底AD为8cm，那么高为40÷8＝5cm。这个高也是阴影三角形和梯形ABED的高。 阴影部分是一个三角形，底为4cm，高为5cm。三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2，所以阴影部分面积为：4×5÷2＝10cm2。 梯形的面积是平行四边形的面积加上阴影部分面积，即40＋10＝50cm2。阴影部分面积是10cm2，所以它们的面积比为50∶10，最后化简即可。 【详解】40÷8＝5（cm） 5×4÷2＝10（cm2） 40＋10＝50（cm2） 梯形面积∶阴影部分面积＝50∶10 50∶10 ＝（50÷10）∶（10÷10） ＝5∶1 图中阴影部分的面积是10cm2，整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是5∶1。 2．（2024·重庆涪陵·小升初真题）一个梯形的下底是18cm，如果下底缩短8cm，就成为一个平行四边形，面积减少28cm2，原梯形的高是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 7 98 【分析】分析可知，减少的部分是一个三角形，三角形的面积是28cm2，底是8cm，用三角形的面积乘2除以底，就求出三角形的高，这个高也是梯形的高； 梯形的下底是18cm，上底是18－8，根据：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可得到答案。 【详解】28×2÷8 ＝56÷8 ＝7（cm） （18－8＋18）×7÷2 ＝28×7÷2 ＝14×7 ＝98（cm2） 原梯形的高是7cm，面积是98cm2。 【预测命题方向07】长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积 1．（2025·云南昭通·小升初真题）永善县王叔叔家有一块平行四边形的橙子园，底是50米，高是32米。每8平方米种一棵橙子树，这块地一共种了多少棵橙子树？ 【答案】200棵 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，求出橙子园的面积，橙子园的面积÷每棵橙子树的占地面积＝橙子树的棵数，据此列式解答。 【详解】32×50÷8 ＝1600÷8 ＝200（棵） 答：这块地一共种了200棵橙子树。 2．（2025·湖南邵阳·小升初真题）公园有一个长方形花圃，分成了两部分，分别种植月季和杜鹃（如下图）。种月季的面积比种杜鹃的面积多90平方米，种月季的面积是多少平方米？ 【答案】225平方米 【分析】如图：种月季的面积比种杜鹃的面积多90平方米，多出的面积就是左面小长方形的面积，种月季的图形是一个梯形，用长方形的面积除以15求出小长方形的宽，也就是梯形的上底，下底是24米，高是15米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据解答即可。 【详解】（90÷15＋24）×15÷2 ＝（6＋24）×15÷2 ＝30×15÷2 ＝450÷2 ＝225（平方米） 答：种月季的面积是225平方米。 3．（2025·四川成都·小升初真题）一个直角三角形的三条边的长度比是3∶4∶5，周长是60厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】150平方厘米 【分析】三条边长度比为3∶4∶5，总份数为3＋4＋5＝12份。已知周长是60厘米，所以每份长度为60÷12＝5厘米。对应“3份”的边：5×3＝15厘米，对应“4份”的边：5×4＝20厘米，对应“5份”的边：5×5＝25厘米。直角三角形中，最长边（25厘米）是斜边，两条较短边（15厘米、20厘米）是直角边（互为底和高）。根据面积公式：面积＝底×高÷2，把数据代入计算即可。 【详解】3＋4＋5＝12（份） 60÷12＝5（厘米） 5×3＝15（厘米） 5×4＝20（厘米） 5×5＝25（厘米） 20×15÷2＝150（平方厘米） 答：它的面积是150平方厘米。 【预测命题方向08】周长与面积的比较 1．（2025·山东枣庄·小升初真题）图中甲乙（阴影部分）所在的大圆直径相等。下列说法正确的是( )。 A．甲乙的周长和面积都相等 B．甲乙的面积相等，周长不相等 C．甲乙的周长相等，面积不相等 D．甲乙的周长和面积都不相等 【答案】B 【分析】由图可知，甲的周长为圆周长的一半＋直径；因为乙中两个小圆的直径相加就是大圆的直径，所以两个小圆的周长和就是大圆周长的一半。所以乙的周长为小圆的周长＋大圆周长的一半＝大圆周长；所以乙的周长大，因此甲乙的周长不相等。甲的面积为圆面积的一半，乙的面积为大圆面积的一半；所以甲乙的面积相等； 【详解】甲的周长＝圆周长的一半＋直径 乙的周长：小圆的周长＋大圆周长的一半＝大圆周长 甲的面积为圆面积的一半，乙的面积为大圆面积的一半。 所以甲乙的周长不相等，甲乙的面积相等。 故答案为：B 2．（2025·江西萍乡·小升初真题）甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸的利用率相比( )。 A．甲更高 B．乙更高 C．丙更高 D．三人都相同 【答案】D 【分析】假设正方形的边长，甲中扇形的半径等于正方形的边长，乙中圆的半径等于正方形边长的一半，丙中小圆的半径等于正方形边长的，利用“”分别求出三位同学所剪图形的面积。 所剪的图形面积越大，对手工纸的利用率越高。 所剪的图形面积相等，对手工纸的利用率相同。 所剪的图形面积越小，对手工纸的利用率越低，据此解答。 【详解】假设正方形边长为2， 甲： 乙： 丙： 由上可知：甲、乙、丙三位同学剪的图形面积相等，所以三个人剩的手工纸一样多，也就是三个人对手工纸的利用率相同。 故答案为：D 【预测命题方向09】圆的周长问题 1．（2025·山西运城·小升初真题）在班级元旦联欢会上，同学们围坐成一个圆形玩“击鼓传花”游戏。李老师站在圆心位置负责击鼓。围成的这个圆形的周长是9.42米，那么每位同学与李老师相距( )米。 【答案】 1.5 【分析】要求每位同学与李老师的距离，实际上是在求这个圆的半径。圆的半径＝圆的周长÷3.14÷2。 【详解】9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（米） 2．（2025·江西新余·小升初真题）一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块地毯边缘行进一周（如图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是，它的圆心走过路线的长度是( )dm。 【答案】76.82 【分析】从图中可知，扫地机器人的圆心走过路线为两个半圆和长方形的两条长。两个半圆可以组成一个圆，这个圆的半径是（5＋1.5）dm，根据圆的周长公式C＝2πr，求出这个圆的周长，再加上2个18dm即可。 【详解】2×3.14×（5＋1.5）＋18×2 ＝6.28×6.5＋36 ＝40.82＋36 ＝76.82（dm） 所以它的圆心走过路线的长度是76.82dm。 【预测命题方向10】最圆·外方内圆与外圆内方 1．（2025·河南信阳·小升初真题）“圆”是中国文化的一个重要元素。圆，有圆满之意，符合中国人内心深处的向往。在中国建筑中经常能见到“外圆内方”的设计。如图圆的直径是2米。那么圆和正方形之间部分的面积是( )平方米。 【答案】1.14 【分析】 “外圆内方”的设计，正方形为圆内最大的正方形，如图，可以将正方形沿对角线平均分成两个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，利用求出圆的面积，利用三角形的面积＝底×高÷2求出正方形面积的一半，再乘2求出正方形面积，最后用圆的面积减去正方形面积。 【详解】（米） （平方米） （平方米） （平方米） 圆和正方形之间部分的面积是1.14平方米。 2．（2025·河南焦作·小升初真题）在正方形里面画一个最大的圆，已知正方形的面积等于8cm2，那么这个圆的面积是( )cm2。 【答案】6.28 【分析】在正方形里画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。设圆的半径为r，则正方形的边长为2r。已知正方形的面积为8cm2，根据正方形面积公式S＝a2（a为边长），可得（2r）2＝8，即4r2＝8，两边同时除以4，解得r2＝2。根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径，π取3.14），将r2＝2代入计算即可。 【详解】解：设圆的半径为r，则正方形的边长为2r。 （2r）2＝8 4r2＝8 r2＝8÷4 r2＝2 3.14×2＝6.28（cm2） 圆的面积是6.28cm2。 【预测命题方向11】圆环的面积 1．（2025·江苏淮安·小升初真题）为美化校园环境，实验小学需翻新广场中央的圆形花坛，并紧贴花坛外围铺设一条宽1米的环形地砖带。已知花坛的半径为4米，请计算铺设地砖的面积是多少平方米？（先绘制示意图，再解答） 【答案】见详解； 28.26平方米 【分析】根据环形的画法，先画出两个大小不同的同心圆，标注好内圆的半径4米和环宽1米，再根据环形面积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】作图如下： 4＋1＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：铺设地砖的面积是28.26平方米。 2．（2025·广西桂林·小升初真题）土星环是指由水、冰、尘埃和其他化学物质组成的绕着土星运转的圆环。彬彬用一个乒乓球和一张圆环形硬纸板做了一个土星模型（如图），这张圆环形硬纸板的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】利用圆面积公式，圆环的面积用以10厘米为直径的圆面积减厘米为直径的圆的面积即可求解。 【详解】 （平方厘米） 答：这张圆环形硬纸板的面积是50.24平方厘米。 【预测命题方向12】阴影图形的周长与面积 1．（2025·河北石家庄·小升初真题）两个正方形如图放置，求阴影部分的面积。 【答案】32 【分析】先将原图拼在一起的两个正方形补全成一个大长方形，如下图： 求阴影部分的面积就是用大长方形的面积减去①②③的3个空白三角形面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】大长方形的面积： 三角形①的面积： 三角形②的面积： 三角形③的面积： 阴影部分的面积： 阴影部分的面积32。 2．（2025·浙江宁波·小升初真题）计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】24平方厘米 【分析】阴影面积＝长方形ABOE面积＋长方形外部圆的面积－长方形内部圆的面积－三角形COD的面积，长方形的长、宽分别是8厘米、4厘米，圆的半径是4厘米，三角形的两条直角边都是4厘米，根据S长方形＝ab，S三角形＝ah，S圆＝πr2计算。 【详解】8×4＋3.14×42×－3.14×42×－4×4× ＝8×4－4×4× ＝32－8 ＝24（平方厘米） 故阴影部分面积是24平方厘米。 3．（2025·河北承德·小升初真题）求图中阴影部分的周长。 【答案】117.4cm 【分析】阴影部分的周长由长方形的两条长、一条宽以及圆周长的一半组成。长方形的长为33cm，两条长的长度为33×2＝66（cm）。长方形的宽为20cm。圆的直径等于长方形的宽，即是20cm，根据半圆的周长公式C＝πd÷2（π取3.14，d为直径），则半圆周长为（3.14×20÷2）cm。阴影部分的周长为：（66＋20＋31.4）cm，据此计算即可 【详解】33×2＝66（cm） 3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（cm） 66＋20＋31.4 ＝86＋31.4 ＝117.4（cm） 阴影部分的周长为117.4cm。 4．（2025·贵州安顺·小升初真题）如图所示，将直角三角形ABC向右平移至直角三角形的位置。其中，，；求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】3.75cm2 【分析】阴影部分的面积等于梯形的面积，用求出的长，即梯形的上底长，根据平移可知，，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2解答即可。 【详解】3－1＝2 （2＋3）×1.5÷2 ＝5×1.5÷2 ＝3.75（cm2） 答：阴影部分的面积是3.75cm2。 【预测命题方向13】立体图形的展开图 1．（2025·山东·小升初模拟）下面的图形中( )是正方体的展开图。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在正方体展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个； 在正方体展开图中不会包含“田”字形、“七”字形、“凹”字形，由此即可选择。 【详解】 是正方体的展开图。 2．（2025·河北承德·小升初真题）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是( )。 A．1∶2π B．1∶π C．π∶1 D．1∶1 【答案】A 【分析】根据比的意义写出圆柱的底面半径与高的比为r∶h，因为圆柱的侧面展开图是正方形，那么圆柱的高h和底面周长C相等，根据圆的周长公式C＝2πr，用2πr替换h，再化简比即可。 【详解】这个圆柱的底面半径与高的比是：r∶h r∶h ＝r∶2πr ＝（r÷r）∶（2πr÷r） ＝1∶2π 【预测命题方向14】长方体和正方体的表面积与体积 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【分析】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【详解】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6米，四周用砖头砌成。砖的厚度是0.2米。 （1）如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ （2）在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36元，一共需要多少钱？ 【答案】（1）3.6平方米； （2）0.726立方米；26.136元 【分析】（1） 一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，则这个花坛的四个侧面是相同的。求需要瓷砖多少平方米，就是求这个长方体花坛的侧面积，这四个面相等，用长方体的长×高×4，代入数据，求出侧面积； （2）花坛中间填满泥土，由题意知花坛中间是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，且花坛内侧长方体的长是（1.5－0.2－0.2）米，宽是（1.5－0.2－0.2）米，高是0.6米，据此解答即可。 【详解】（1）1.5×0.6×4 ＝0.9×4 ＝3.6（平方米） 答：至少需要贴3.6平方米的瓷砖。 （2）（1.5－0.2－0.2）×（1.5－0.2－0.2）×0.6 ＝（1.3－0.2）×（1.3－0.2）×0.6 ＝1.1×1.1×0.6 ＝1.21×0.6 ＝0.726（立方米） 0.726×36＝26.136（元） 答：一共需要26.136元。 【预测命题方向15】圆柱和圆锥的表面积与体积 1．（2025·江西上饶·小升初真题）李叔叔做5节底面直径2分米，长8分米的圆柱形通风管，至少要多少平方分米的铁皮？（只列式不计算） 【答案】3.14×2×8×5 【分析】圆柱的表面积等于两个底面加一个侧面，圆柱的底面是一个圆形，侧面沿着高剪开是一个长方形，长方形的长和宽分别是圆柱的底面周长和圆柱的高，所以圆柱侧面积＝底面周长×高。圆柱形通风管，只有一个侧面。用求得的侧面积乘5，即可求出做5节需要铁皮的面积。据此解答。 【详解】3.14×2×8×5 ＝50.24×5 ＝251.2（平方分米） 答：至少要251.2平方分米的铁皮。 2．（2025·江西吉安·小升初真题）在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 【答案】4710立方厘米 【分析】“走马灯”是一个圆柱体，根据圆柱的体积为V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】3.14×102×15 ＝314×15 ＝4710（立方厘米） 答：这个“走马灯”的体积是4710立方厘米。 3．（2025·江苏无锡·小升初真题）一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 【答案】（1）25.12立方分米 （2）128平方分米 【分析】（1）先根据底面周长公式C＝求出底面半径；再根据圆锥体积公式V＝求出圆锥体所占空间； （2）要使长方体包装盒最小，其长和宽应等于圆锥的底面直径，高应等于圆锥的高。根据底面周长公式C＝求出底面直径；再根据长方体的表面积公式S＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2计算所需要的硬纸板。 【详解】（1）×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×6 ＝×3.14×4×6 ＝25.12（立方分米） 答：这个圆锥体所占的空间是25.12立方分米。 （2）12.56÷3.14＝4（分米） （4×4＋4×6＋4×6）×2 ＝（16＋24＋24）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 答：至少要128平方分米的硬纸板。 【预测命题方向16】圆柱与圆锥的旋转构成法 1．（2025·河南南阳·小升初真题）把下边的长方形以它的长为轴旋转一周，会得到一个立体图形，所得图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 150.72 141.3 【分析】以长方形的长为轴旋转一周，会得到一个圆柱。圆柱的高是5厘米，底面半径是3厘米，再根据体积公式：和表面积公式：计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝150.72（平方厘米） ＝3.14×（3×3）×5 ＝3.14×9×5 ＝28.26×5 ＝141.3（立方厘米） 2．（2025·江西吉安·小升初真题）如图：以“”为轴，旋转直角三角形一周得到的图形体积是( )cm3。 【答案】339.12 【分析】直角三角形的两条直角边分别是4cm和9cm，绕着轴（短的那条直角边）旋转一周得到一个圆锥体，圆锥的底面半径是9cm，高是4cm，根据计算体积即可解答。 【详解】 （cm3） 图形体积是339.12cm3。 【预测命题方向17】等积变形问题 1．（2025·江苏常州·小升初真题）学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】(1)96平方厘米 (2)12.8厘米 【分析】解答这道题需明确：正方体表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积＝长×宽×高，则长方体的高＝体积÷长÷宽。 （1）题目中已知正方体的棱长为4厘米，根据正方体表面积公式计算即可。 （2）将正方体蜡块熔化后制作成一个长方体蜡块，体积不变。题目中已知长方体的长为2.5厘米，宽为2厘米，先根据正方体体积公式求出蜡块体积，再根据利用体积求长方体高的公式求出长方体的高。 【详解】（1） （平方厘米） 答：原先这块正方体蜡块的表面积是96平方厘米。 （2） （立方厘米） （厘米） 答：这支蜡烛的高是12.8厘米。 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【答案】0.628厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14），长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出沙的体积，然后用这些沙的体积除以长方体的底面积即可。 【详解】×3.14×（12÷2）2×10÷（30×20） ＝×3.14×62×10÷（30×20） ＝×3.14×36×10÷600 ＝×36×3.14×10÷600 ＝12×3.14×10÷600 ＝37.68×10÷600 ＝376.8÷600 ＝0.628（厘米） 答：在长方形木盒中会平铺大约0.628厘米高的沙子。 【点睛】这道题的关键是沙子体积不变，先算沙漏里圆锥形状沙子的体积，再用这个体积除以长方体木盒的底面积，就能得出沙子在木盒里平铺的高度。具体计算时，先由圆锥直径算出半径，代入圆锥体积公式求出沙子体积，再用体积除以长方体底面积，最终得到高度。 3．（2025·河南开封·小升初真题）为迎接中国共产党建党一百周年，某公园园艺处准备将一个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米）造型的沙雕重新塑成高是1.8米的圆锥形沙雕，那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 【答案】10.5平方米 【分析】先求圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的体积就是圆锥形沙雕的体积，圆锥的体积＝×底面积×高，代入数值，求出圆锥形沙雕的占地面积，据此解答。 【详解】3.5×1.8＝6.3（立方米） 6.3×3÷1.8 ＝18.9÷1.8 ＝10.5（平方米） 答：圆锥形沙雕的占地面积是10.5平方米。 【预测命题方向18】切拼问题 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 【答案】0.0304平方米 【分析】把两个长方体面积最小的面拼成一起，拼成的长方体的表面积最大，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入求出一个长方体的表面积，再乘2，等于2个长方体的表面积和，然后减去2个最小面的面积，即等于拼成后的长方体的最大表面积，最后把平方厘米换算成平方米即可解答。 【详解】（10×4＋10×3＋4×3）×2×2－4×3×2 ＝82×2×2－24 ＝328－24 ＝304（平方厘米） ＝0.0304平方米 答：拼成后的长方体表面积是0.0304平方米。 2．（2025·河南信阳·小升初真题）如下图，一根长30分米的圆柱形木料，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米。原来这根圆柱形木料的体积是多少？ 【答案】3.6立方米 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，在本题中，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米，可知增加了4个小底面，也就是4个底面的面积是4.8平方米，先计算出底面积，再用底面积乘高计算出体积。 【详解】30分米＝3米 4.8÷[（3－1）×2]×3 ＝4.8÷4×3 ＝1.2×3 ＝3.6（立方米） 答：原来这个圆柱形木料的体积是3.6立方米。 3．（2025·河南南阳·小升初真题）将一个高12厘米的圆柱形木块平均切成两块（图1），表面积增加平方厘米。这个圆柱的底面半径是多少厘米？如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥（图2），这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】这个圆柱的底面半径是1厘米，这个圆锥的体积是12.56立方厘米。 【分析】（1）观察可知，表面积增加的是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，据此用增加的表面积除以2，求出长方形的面积，再除以高，求出底面直径，再除以2即可求出底面半径。 （2）如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】（厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱的底面半径是1厘米，这个圆锥的体积是12.56立方厘米。 【预测命题方向19】排水法求不规则物体的体积 1．（2025·贵州黔南·小升初真题）芳芳家有一个无盖的长方体玻璃水箱。（单位：cm） (1)制作一个这样的水箱需要多少平方厘米玻璃？ (2)水箱里原来水深14cm，放入一个体积为900的假山后，现在水深多少厘米？ 【答案】(1)1560 (2) 17cm 【分析】（1）长方体水箱的长为20厘米（cm），宽为15厘米（cm），高为18厘米（cm）；根据题意及看图可知水箱由1个长×宽、2个长×高和2个宽×高的面组成；代入数据即可求出需要的水箱玻璃面积； （2）当假山完全浸没在水中且水没有溢出时，上升部分水的体积等于假山的体积，上升部分水的体积为长方体，其底面积等于水箱的底面积；水箱的底面积＝长×宽，且水面上升的高度等于假山的体积900立方厘米（）除以水箱的底面积，现在的水深等于原来水深14厘米（cm）加上水面上升的高度。 【详解】（1）（1）20×15＋20×18×2＋15×18×2 ＝300＋720＋540 ＝1020＋540 ＝1560（平方厘米） 答：制作一个这样的水箱需要1560平方厘米（）玻璃。 （2）（2）20×15＝300（平方厘米） 900÷300＝3（厘米） 3＋14＝17（厘米） 答：现在水深17厘米（cm）。 2．（2025·湖南长沙·小升初真题）妈妈买了一个40克重的金手镯，想知道里面是不是“空心”的。山山想到了“阿基米德称皇冠”的办法。他把手镯放入了一个底面半径为4厘米的圆柱形量筒中，水面上升了0.1厘米（通过和AI的对话，他了解到40克黄金的体积应该是2.07立方厘米），请判断妈妈买的金手镯是否存在“空心”的现象？ 【答案】存在“空心”的现象 【分析】水面上升的体积就是金手镯的体积，圆柱形量筒底面积×水面上升的高度＝金手镯的体积，与40克黄金的体积比较即可。 【详解】3.14×42×0.1 ＝3.14×16×0.1 ＝5.024（立方厘米） 5.024＞2.07 答：妈妈买的金手镯存在“空心”的现象 【预测命题方向20】圆柱与圆锥的关系问题 1．（2025·四川达州·小升初真题）一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积相差36立方厘米。这个圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】54 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份；用体积差除以份数差，求出一份数，再用一份数乘3，求出圆柱的体积。 【详解】36÷（3－1） ＝36÷2 ＝18（立方厘米） 18×3＝54（立方厘米） 这个圆柱的体积是54立方厘米。 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是( )。 【答案】1∶3 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，圆柱的体积＝底面积×高，解答此题即可。 【详解】假设圆锥和圆柱的高都是1，圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径为3。 圆柱的体积：π××1＝π 圆锥的体积：π××1÷3＝3π π∶3π＝1∶3 因此，一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是1∶3。 3．（2025·浙江温州·小升初真题）图中，h1＝h2，d1＝d2，把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满( )杯。 【答案】6 【分析】从图中可知，左边瓶中的饮料是圆柱形，杯子是圆锥形，由d1＝d2可知，它们的底面半径相等，根据底面积公式S＝πr2，可知圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积相等，设它们的底面积是S，高度h1＝h2＝h。 根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积（容积）公式V＝Sh，分别求出饮料的体积和杯子的容积，再用饮料的体积除以杯子的容积，即可求出最多能倒满的杯数。 【详解】设h1＝h2＝h，圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积都是S。 饮料的体积：S×（h1＋h2）＝ S×2h＝2Sh 杯子的容积：×S×h1＝Sh 2Sh÷Sh ＝2÷ ＝2×3 ＝6（杯） 最多能倒满6杯。 【预测命题方向21】倍比问题 1．（2025·河北石家庄·小升初真题）一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大( )倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】正方体的表面积计算公式：棱长×棱长×6，据此分析。 【详解】设正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a， 原来的正方体的表面积：6a2， 扩大后的正方体的表面积： 所以一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大9倍。 故答案为：C 2．（2023·湖南张家界·小升初真题）如果把长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么它的体积扩大( )倍。 A．3 B．9 C．27 D．10 【答案】C 【分析】设长方体的长是a，宽是b，高是长，扩大后的长是3a，宽是3b，高是3h，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，分别求出原来长方体的体积和扩大后的体积，再用扩大后的体积÷原来长方体的体积，即可解答。 【详解】设长方体的长是a，宽是b，高是长，扩大后的长是3a，宽是3b，高是3h。 （3a×3b×3h）÷（a×b×h） ＝（9ab×3h）÷（abh） ＝（27abh）÷abh ＝27 如果把长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么它的体积扩大27倍。 故答案为：C 3．（2020·辽宁·小升初真题）圆柱的底面半径扩大2倍，高不变，体积扩大( )倍。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【分析】假设底面半径2厘米，高3厘米，根据圆柱体积＝底面积×高，分别计算出底面半径扩大前后的圆柱体积，底面半径扩大后的体积÷原来体积即可。 【详解】假设底面半径2厘米，高3厘米。 2×2＝4（厘米） （3.14×42×3）÷（3.14×22×3） ＝42÷22 ＝16÷4 ＝4 圆柱的底面半径扩大2倍，高不变，体积扩大4倍。 故答案为：B 4．（2024·河南信阳·小升初真题）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将( )。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的6倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】根据等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的，又因为在捏橡皮泥的过程中，它的总体积不变，所以，把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大到原来的3倍。 【详解】设圆柱的底面积为S，高为h， 因为圆柱的体积V圆柱＝Sh， 依题意可设圆锥的底面积为S，高为y， 所以圆锥的体积为V圆锥＝Sy， 因为V圆柱＝V圆锥， 所以Sh＝Sy，y＝3h， 即把一团圆柱形的橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大到原来的3倍。 故答案为：A 【预测命题方向22】组合体的表面积和体积 1．（2025·山东·小升初模拟）求下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） （1）（2） 【答案】（1）628cm2；1177.5cm3；（2）238cm2；195cm3 【分析】图1的圆柱： （1）圆柱表面积＝侧面积＋2个底面积，底面积（圆的面积）S底＝πr2，圆柱侧面积公式S侧＝2πrh； 圆柱体积V＝πr2h，代入对应数据计算。 （2）组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体4个面面积，长方体表面积S长＝（ab＋ac＋bc）×2，正方体4个面面积＝4a2； 组合图形的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积V长＝abh，正方体体积V正＝a3，代入对应数据计算。 【详解】（1）表面积： 3.14×5×2×15＋3.14×52×2 ＝15.7×2×15＋3.14×25×2 ＝31.4×15＋78.5×2 ＝471＋157 ＝628（cm2） 体积： 3.14×52×15 ＝3.14×25×15 ＝78.5×15 ＝1177.5（cm3） （2）表面积： （7×8＋7×3＋8×3）×2＋3×3×4 ＝（56＋21＋24）×2＋36 ＝101×2＋36 ＝202＋36 ＝238（cm2） 体积： 7×8×3＋3×3×3 ＝168＋27 ＝195（cm3） 2．（2025·河北承德·小升初真题）如图，从正方体中挖掉一个最大的圆锥，求剩余部分的体积。 【答案】159.48cm3 【分析】要从正方体中挖掉一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，由图可知正方体的棱长是6cm，所以圆锥的底面直径是6cm，那么半径为6÷2＝3cm；根据正方体体积公式V＝a×a×a（a为正方体的棱长），圆锥的体积公式V＝πr2h（r为圆锥底面半径，h为圆锥的高，π取3.14），把数据分别代入公式计算后，再用正方体体积减圆锥体积即可得出剩余部分的体积。 【详解】6×6×6＝216（cm3） 6÷2＝3（cm） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3×3.14×6 ＝9.42×6 ＝56.52（cm3） 216－56.52＝159.48（cm3） 剩余部分的体积是159.48cm3。 【预测命题方向23】观察物体 1．（2025·四川达州·小升初真题）观察和，它们从( )面和( )面看到的图形都相同。（填“左”“右”或“上”） 【答案】 左 右 【分析】分别观察这两个立体图形从左面、右面和上面看到的图形，找出看到的图形都相同的那一个方向即可。 【详解】 从左面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是；从左面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是。因此它们从左面和右面看到的图形都相同。 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）要想使如图的几何体从左面和上面看到的图形不变，最多能增加( )个小正方体。 【答案】3 【分析】由题意可知，要使该几何体从左面和上面看到的图形不变，增加的小正方体可以放在上层小正方体的右边，可以增加3个；所以最多能增加3个小正方体。 【详解】由分析可知：要想使如图的几何体从左面和上面看到的图形不变，最多能增加3个小正方体。 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个用小正方体搭成的几何体，如图是从它的两个不同方向看到的形状，要符合这两个条件，最少需要( )块，最多需要( )块，共有( )种摆法。 【答案】 7 8 2 【分析】通过上面视图明确底层分布是第1、3列各2个、第2列1个，共5个小正方体；再看正面视图，可知第1、2列需要摆2层。由于上面视图里第1列有2个位置、第2列有1个位置，要满足最少块数，只需在第1列选1个位置、第2列选1个位置各摆1个（共2个），加上底层5个，最少共7块；要满足最多块数，则在第1列的2个位置、第2列的1个位置都摆上（共3个），加上底层5个，最多共8块。摆法数量需看第1列第2层的位置选择：第1列有2个位置可选，第2列固定1个位置，因此有2种摆法。 【详解】最少块数：底层块数＋第2层最少块数＝5＋（1＋1）＝7 最多块数：底层块数＋第2层最多块数＝5＋（2＋1）＝8 摆法数：第1列第2层的位置选择数（2种）×第2列第2层的位置选择数（1种）＝2×1＝2 最少需要7块，最多需要8块，共有2种摆法。 【点睛】先通过上面视图锁定底层的分布与数量，再结合正面视图明确各列的层数要求，最少块数是在满足层数的前提下“少放”第2层的小正方体，最多块数是“放满”第2层的所有可能位置；摆法数量则由第2层可选的位置组合决定。 【预测命题方向24】平移、旋转和轴对称 1．（2021·广东汕尾·小升初真题）下图中，由图形甲到图形乙所进行的变换是( )。 A．先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6格 B．先向右平移9格，再绕点O顺时针旋转90° C．先绕点O逆时针旋转90°，再向右平移6格 D．先向右平移9格，再绕点O逆时针旋转 90° 【答案】A 【分析】根据题目描述，依次进行图形变换，并观察变换后的图形是否与题目中描述的目标图形一致，最后，我们需要对比四个选项，找出与题目中描述的变换过程一致的选项，据此求解。 【详解】图形甲进行绕点O顺时针旋转90°的变换，得到一个新图形， 对旋转后的新图形进行向右平移6格的变换，得到最终的图形； 图形甲到图形乙所进行的变换是先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6格。 故答案为：A 2．（2025·湖南长沙·小升初真题）下列图标中，是轴对称图形的是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的含义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的这条直线叫作对称轴。据此解答即可。 【详解】根据轴对称图形的定义， A．是轴对称图形； B． 不是轴对称图形； C． 不是轴对称图形； D． 不是轴对称图形； 故答案为：A 【预测命题方向25】数对、位置与方向 1．（2025·福建宁德·小升初真题）灵灵在教室里的座位用数对表示是（4，5），巧巧的座位在灵灵南偏东40°方向上，她的座位可能是( )。 A．（3，4） B．（3，6） C．（5，4） D．（5，6） 【答案】C 【分析】灵灵的座位的南偏东40°方向，在灵灵的右后方。根据数对的概念，括号里左边的数代表列，右边的数代表行，即左边的数变大，右边的数变小，由此可做出选择。 【详解】灵灵在教室里的座位用数对表示是（4，5），巧巧的座位在灵灵南偏东40°方向上，她的座位所代表的数对，左边的数变大，右边的数变小，由此可确定巧巧的座位可能是（5，4）。 故答案为：C 2．（2025·广东佛山·小升初真题）乐乐从家到学校，他先向东走一段路程到达书店，再向东北方向走一段路到达学校，乐乐走的路线图是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别以家、书店为中心参照点，并按上北、下南、左西、右东标明，东与北之间为东北，东与南之间为东南，西与北之间为西北，西与南之间为西南，依此根据所走的线路进行选择。 【详解】A．此线路图是：乐乐从家到学校：先向东走一段路程到达书店，再向东北方向走一段路到达学校，符合题意； B．此线路图是：乐乐从家到学校：先向西走一段路程到达书店，再向西北方向走一段路到达学校，不符合题意； C．此线路图是：乐乐从家到学校：先向西走一段路程到达书店，再向东北方向走一段路到达学校，不符合题意； D．此线路图是：乐乐从家到学校：先向东北方向走一段路程到达书店，再向东北方向走一段路到达学校，不符合题意； 故答案为：A 3．（2025·甘肃兰州·小升初真题）乐乐从家向南偏东40°方向走3千米到学校，放学后原路返回时，从学校出发，要向( )方向走3千米回到家。 A．北偏西40° B．南偏西50° C．北偏西50° D．南偏西40° 【答案】A 【分析】根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等，据此解答。 【详解】南偏东40°方向的相反方向是北偏西40°方向。 乐乐从学校出发，要向北偏西40°方向走3千米回到家。 故答案为：A 【预测命题方向26】图形与几何综合作图 1．（2025·河南商丘·小升初真题）（1）画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形。 （2）把图B向右平移5格。 （3）把图C绕O点顺时针旋转。 【答案】见详解 【分析】（1）要求画出轴对称图形的另一半，需要在对称轴的下方，依次描出每个对应点，然后连接。 （2）要求向右平移5格，需要将图B的每个点向右平移5格描点，然后连线。 （3）要求把图C绕点顺时针旋转90°，只要将以为顶点的两条边分别顺时针旋转90°，再连线即可。 【详解】 2．（2025·广西梧州·小升初真题）请画出一个周长为12.56cm的圆，在图上标出圆心O点，半径r，并画出两条互相垂直的对称轴。 【答案】见详解 【分析】根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”计算出所画圆的半径。画圆：先将圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；然后将有针尖的一端固定在一个点上（即圆心）；再将装有铅笔尖的一只脚旋转一周，即可画出所需要的圆；最后标出半径。在同一平面内，如果一个图形沿一条直线对折后两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此画出两条互相垂直的对称轴。 【详解】 （cm） 以O为圆心、半径为2cm、并作两条互相垂直的对称轴的圆如下图所示（对称轴画法不唯一）： 3．（2025·山东·小升初模拟）画出从前面、上面和左面看到的立体图形的形状。 【答案】见详解 【分析】观察图形可知： 从前面能看到4个相同的正方形，分两层，上层1个，居左，下层3个； 从上面能看到4个相同的正方形，分两层，上层3个，下层1个，右齐； 从左面能看到3个相同的正方形，分两层，上层1个，左齐，下层2个； 据此进行作图即可。 【详解】如图： 4．（2025·广东湛江·小升初真题）按要求画一画，填一填。 （1）将图中的圆向上平移5格后，对应的圆心用数对表示是( )。 （2）画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形①。 （3）按1∶2的比画出图形①缩小后的图形②。 （4）以直线l为对称轴，画出图形M的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【答案】（1）（3，8） （2）（3）（4）见详解 【分析】（1）平移规则；向上平移行加，向右平移列加。图中圆的圆心用数对表示为（3，3），将圆向上平移5格，则圆心也向上平移5格，则行数为3＋5＝8（格）；列数不变，因此平移后对应圆心用数对表示是（3；8）； （2）根据图形旋转的性质，图形旋转后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化，将图形的各个部分以A点为旋转中心，顺时针旋转90°，据此画出长方形旋转后图形①。 （3）图形①是长和宽分别是4格、2格的长方形；按1∶2的比例缩小，则长为：4÷2＝2（格），宽为：2÷2＝1（格），据此画出缩小后的图形②即可。 （4）根据轴对称图形的性质，各对称点到对称轴的距离相等，据此先描出各对称点的位置，然后顺次连接各点画出轴对称图形的另一半。据此解答。 【详解】（1）3＋5＝8（格） 即将图中的圆向上平移5格后，对应的圆心用数对表示是（3，8）。 （2）（3）（4）画图如下： 六、统计与概率·五种命题预测 【命题解读】 统计与概率一直是小学数学中最为基础的内容之一，在小升初考试中约占10%左右，近年来比重有一定的提升，它主要包括统计图表与简单概率（可能性）两部分内容，一般在基础的填空、选择等题型中体现。 近年来命题一般呈现以下几个趋势： 一是生活场景化，在实际应用题中的占比越来越大，常把统计图与生活情景结合进行考察。 二是跨学科出题，结合实验数据，观察图表，解决问题。 三是开放性试题，要求从相关图表中提取信息，提出并解决问题。 四是概率与计算的结合，简单概率克通过相关计算得出。 复习统计与概率，首先要构建知识框架，用树状图或图表熟练统计图表的异同点，其次要注意训练解决实际问题。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 统计图的选择 填 2 平均数问题 选、填、解 3 可能性 选、填 4 简单概率 选、填 5 统计图表综合应用 选、填、解 【预测命题方向01】统计图的选择 1．（2025·江西南昌·小升初真题）根据下面各题情况，请选择合适的统计图。 A．条形统计图    B．折线统计图    C．扇形统计图    D．不确定 ①如果要统计2024年第33届巴黎奥运会上，中国、美国、日本、法国、澳大利亚这五六个国家的金牌情况，宜选用( )。 ②如果要统计第29届到第33届中国金牌数量的变化情况，宜选用( )。 ③在2024年第33届巴黎奥运会上，中国共取得40枚金牌。要统计田径、游泳、体操、跳水、乒乓球等项目的占比情况，宜选用( )。 【答案】 A B C 【分析】条形统计图能清楚地表示各部分的具体数据；折线统计图能清楚地看出数量的增减变化情况；扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中所占的百分比，根据题目要求选出符合情况的统计图即可。 【详解】条形统计图能清楚地表示各部分的具体数据，所以①选择条形统计图。 故答案为：A。 折线统计图能清楚地看出数量的增减变化情况，所以②选择折线统计图。 故答案为：B。 扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中所占的百分比，所以③选择扇形统计图。 故答案为：C。 2．（2025·河北沧州·小升初真题）气象站要记录某地一天中气温的变化情况，用( )统计图比较合适；要反映100毫升牛奶中蛋白质、脂肪、钠、钙等营养成分所占百分比，用( )统计图比较合适；要想了解学校各年级人数多少的情况，用( )统计图比较合适。 【答案】 折线 扇形 条形 【分析】条形统计图能清楚地表示出数量的多少； 折线统计图不仅能表示数量的多少，还能表示数量的增减变化情况； 扇形统计图表示部分与整体之间的关系；据此解答。 【详解】气象站要记录某地一天中气温的变化情况，用折线统计图比较合适；要反映100毫升牛奶中蛋白质、脂肪、钠、钙等营养成分所占百分比，用扇形统计图比较合适；要想了解学校各年级人数多少的情况，用条形统计图比较合适。 【预测命题方向02】平均数问题 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）有6个数排成一列，这6个数的平均数是11，前4个数的平均数是9，后3个数的平均数是14，则第四个数是( )。 【答案】12 【分析】用前4个数的平均数乘4，求出前4个数的和。用后3个数的平均数乘3，求出后3个数的和。用6个数的平均数乘6，求出6个数的和。用前4个数的和加上后3个数的和，再减去6个数的和，即可求出第4个数。 【详解】（9×4＋14×3）－11×6 ＝（36＋42）－66 ＝78－66 ＝12 所以第四个数是12。 2．（2025·吉林长春·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人参加东北师大附中科技节比赛，甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为( )分。 【答案】a＋1.5 【分析】先根据甲、乙的平均成绩求出丙和丁的成绩；再用甲、乙的平均成绩乘2求出甲、乙两人的总成绩；最后根据“四人的平均成绩＝（甲、乙两人总成绩＋丙的成绩＋丁的成绩）÷4”代入数值计算即可。 【详解】[a×2＋（a＋9）＋（a－3）]÷4 ＝[2a＋a＋9＋a－3]÷4 ＝[4a＋6]÷4 ＝4a÷4＋6÷4 ＝（a＋1.5）分 所以他们四人的平均成绩为（a＋1.5）分。 【预测命题方向03】可能性 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）盒子里有5个红球、7个白球和3个蓝球，任意摸出一个，可能的结果有( )种，摸出( )球的可能性最大。 【答案】 3 白 【分析】盒子里一共有几种颜色的球，任意摸出一个，就可能摸到几种结果，数量多的摸到的可能性就大，数量少的摸到的可能性就小；因为盒子里白球的个数最多，所以摸到白球的可能性最大。 【详解】任意摸出一个，可能摸出红球、白球、篮球，结果有3种。 7＞5＞3 摸出白球的可能性最大。 盒子里有5个红球、7个白球和3个蓝球，任意摸出一个，可能的结果有3种，摸出白球的可能性最大。 2．（2025·河南开封·小升初真题）袋中有除颜色外其余完全相同的5个白球，4个黄球和6个红球。从中任意摸出一个，摸到( )球的可能性最大；至少摸出( )个球，其中一定有两个红球。 【答案】 红 11 【分析】数量越多摸到的可能性越大，反之越小；考虑最不利原则，把白球和黄球全部摸完，再任意摸2个，一定可以保证有2个红球。 【详解】6＞5＞4 即摸到红球的可能性最大； 5＋4＋2 ＝9＋2 ＝11（个） 即至少摸出11个球，其中一定有两个红球。 袋中有除颜色外其余完全相同的5个白球，4个黄球和6个红球。从中任意摸出一个，摸到红球的可能性最大；至少摸出11个球，其中一定有两个红球。 【预测命题方向04】简单概率 1．（2025·广东广州·小升初模拟）抽屉中有一双红色袜子，一双黑色袜子，一双白色袜子，除了颜色外都相同，从中任取两只袜子恰好为一双的可能性为( )。 【答案】/0.2 【分析】由题意可知，一共有2×3＝6（只）袜子，第1只袜子有6种选择，第2只袜子有5种选择，一共有6×5＝30（种）可能，再除以2求出重复计算的可能，即30÷2＝15（种）可能，如果2只袜子同时为红色、黑色、白色，则两只袜子恰好为一双，那么从中任取两只袜子恰好为一双的可能有3种，最后根据“所求事件发生的可能性＝所求事件出现的可能结果个数÷所有可能发生的结果个数”求出从中任取两只袜子恰好为一双的可能性，据此解答。 【详解】2×3＝6（只） 6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（种） 分析可知，从中任取两只袜子恰好为一双的可能有3种。 3÷15＝ 所以，从中任取两只袜子恰好为一双的可能性为。 【点睛】本题主要考查求事件发生的可能性，分析题意求出所有可能发生的结果个数和所求事件出现的可能结果个数是解答题目的关键。 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）每一颗骰子的六个面分别刻有数字1、2、3、4、5、6，若同时抛出两颗骰子，出现点数和为7的可能性占( )，差为1的可能性占( )。（填分数） 【答案】 【分析】解决同时抛两颗骰子求点数和为7、点数差为1的可能性问题时，先算出两颗骰子总共会出现6×6＝36种等可能结果，再分别找出点数和为7的组合：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共6种，点数差为1的组合：（1，2）、（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4）、（4，3）、（4，5）、（5，4）、（5，6）、（6，5），共10种，最后用各自的组合数除以总结果数，就能得出点数和为7的可能性是，点数差为1的可能性是。 【详解】总可能数：6×6＝36 点数和为7的组合：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共6种。 点数和为7的可能性： 点数差为1的组合：（1，2）、（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4）、（4，3）、（4，5）、（5，4）、（5，6）、（6，5），共10种。 点数差为1的可能性： 出现点数和为7的可能性占，差为1的可能性占。 【预测命题方向05】统计图表综合应用 1．（2025·山东青岛·小升初真题）高科技给我们的生活带来便利的同时，也给一些不法分子提供了可乘之机，他们的电信诈骗手段越来越难以防范。为了防止人们上当受骗，某公司开展了“经历最多的诈骗方式”的调查活动。经过整理分析后，绘制成了两个统计图。 (1)把上面的两个统计图补充完整。 (2)为了防止诈骗，你想对身边的人说些什么？ 【答案】(1)见详解 (2)加强自我防范意识，保护好个人信息，不点击未知链接，不轻信陌生来电。（答案不唯一） 【分析】（1）把调查总人数看作单位“1”，根据“总人数＝QQ诈骗人数÷其对应百分比”计算出调查的总人数。根据“经历虚假中奖人数＝总人数×25%”计算出该类别的人数，进而补充条形统计图；根据“经历电话欠费诈骗百分比＝经历电话欠费诈骗人数÷总人数×100%”计算出其百分比，再结合各部分百分比之和为100%，算出经历微信诈骗的百分比，补充扇形统计图。 （2）为了防止诈骗，结合统计图中的信息，写出自己的想法，合理即可。 【详解】（1）调查总人数：20÷10%＝20÷0.1＝200（人） 经历虚假中奖诈骗的人数：200×25%＝200×0.25＝50（人） 经历电话欠费诈骗的人数：200－90－50－20＝40（人） 经历电话欠费诈骗的人数占调查总人数的百分比：40÷200×100%＝0.2×100%＝20% 经历微信诈骗的人数占调查总人数的百分比：1－10%－25%－20%＝45% 统计图如下： （2）想对身边的人说：加强自我防范意识，保护好个人信息，不点击未知链接，不轻信陌生来电。（答案不唯一） 2．（2025·山东潍坊·小升初真题）乐乐从家出发去上学，走到A地时，发现忘记带科学课材料，于是她赶紧小跑回家；拿好材料后，怕上学迟到，就骑自行车赶往学校。乐乐行程情况（图1）和时间分配图（图2）。 (1)乐乐从A地回家取材料的跑步速度是多少米/分？ (2)乐乐骑车的平均速度是250米/分，乐乐家到学校的距离是多少千米？ 【答案】(1)150米/分 (2)3千米 【分析】（1）观察可知，乐乐小跑回家的距离是450米，小跑回家的时间是（8－5）分钟，根据路程÷时间＝速度，列式解答即可。 （2）将总时间看作单位“1”，由图可知，走路用了5分钟，占总时间的25%，走路用的时间÷对应百分率＝总时间，总时间－骑自行车前的时间＝骑自行车的时间，用骑车的速度×骑车的时间＝总路程，据此列式解答。最后按1000米＝1千米换算单位。 【详解】（1）450÷（8－5） ＝450÷3 ＝150（米/分） 答：乐乐从A地回家取材料的跑步速度是150米/分。 （2）5÷25% ＝5÷0.25 ＝20（分） 20－8＝12（分） 250×12＝3000（米） 3000米＝3千米 答：乐乐家到学校的距离是3千米。 3．（2025·福建漳州·小升初真题）某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的种子进行发芽实验，将四种型号的种子试验粒数情况绘制成统计表，将四种型号的种子发芽情况绘制成条形统计图。 四种型号种子试验粒数情况统计表 型号 A B C D 种子数/粒 700 400 440 460 ①根据以上信息，你建议推广哪种型号的种子？为什么？ ②对C型号的种子进一步试验，将记录下来的数据绘制成如下折线统计图。观察折线统计图，关于温度与种子发芽率的关系，你有什么发现？（至少写2个发现） 【答案】①②见详解 【分析】①用公式：“发芽数种子数100%＝发芽率”算出每种型号的种子的发芽率，选择发芽率高的种子进行推广。 ②从折线统计图可以看出，随着温度升高，C型号种子的发芽率也在上升，到25℃时，发芽率最高，温度继续升高，发芽率随着温度升高反而开始下降。 【详解】①A型号种子发芽率： B型号种子发芽率： C型号种子发芽率： D型号种子发芽率： 答：建议推广C型号种子，因为C型号种子的发芽率更高。 ②答：发现一：温度在10~25℃之间时，C型号种子的发芽率随着温度的升高而升高； 发现二：温度在25℃时，C型号种子的发芽率最高。（答案不唯一） 七、数学思考·八种命题预测 【命题解读】 数学思考是小升初常考内容之一，约占小升初考试的15%左右，常在填空、选择、几何、解决问题等题型中出现，值得注意的是，近年来多与代数、图形等内容结合进行综合考察。 近年来的命题主要呈现两个趋势，一是跨学科整合，凸显综合性，二是开放性，以观察和探索为主，考察学生创新思维。 复习该板块内容，要注意归纳总结，针对高频考点作训练，着重思维提升。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数列规律探索 选、填 2 算式规律探索 选、填 3 图形规律探索 选、填 4 数表规律探索 选、填 5 周期规律探索 选、填 6 逻辑推理 选、填、解 7 找次品 选、填 8 搭配问题 选、填 【预测命题方向01】数列规律探索 1．（2025·重庆江北·小升初真题）根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…的规律，51是第( )个数。 【答案】41 【分析】数列规律是：从自然数里去掉所有5的倍数得到的。要找51是第几个数，得算1到51中有多少个5的倍数，用自然数总数减去5的倍数的个数就能得到结果。 【详解】1到51中5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50，一共10个，所以51的位置是51－10＝41 【点睛】关键是发现数列去掉所有5的倍数的规律，通过自然数个数减去5的倍数个数确定目标数的位置。 2．（2025·重庆北碚·小升初真题）观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是( )。 【答案】 【分析】首先根据题意，可得分母是2、4、6、8…的个数，分别是1、2、3、4…，若有m行，则共有个数。当时，一共有个数据；当时，一共有个数据。可得数列中第2008项的分母是63×2＝126，分子是，据此判断出数列中第2008项是多少。 【详解】数列改写如下： 第1行：， 第2行：，， 第3行：，，， 第4行：，，，， 故第行：，，，， 一共有个数据， 当时，一共有个数据， 当时，一共有个数据， 故分母，，分子为，故第2008项是。 【点睛】观察所给分数的分子和分母，可知可得分母是2、4、6、8...的个数分别是1、2、3、4... 若有m行，则共有个数。找到和2008相邻的两个数，m＝62和63，所以第2008项m＝63，这个分数的分母为63×2，分子为，即可写出第2008项的数。 【预测命题方向02】算式规律探索 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×( )。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。( ) 【答案】 9 11＋12＋13＋14＋15＝13×5 【分析】通过观察给定的三个例子，发现连续奇数个整数的和等于中间数乘整数的个数。据此数出算式中加数的个数即可解答第一空；第二空写出的是连续奇数个整数的和即可（答案不唯一）。 【详解】101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×9 同样规律的加法算式：11＋12＋13＋14＋15＝13×5（答案不唯一） 2．（2025·河北石家庄·小升初真题）规定：6*2＝6＋66＝72；2*3＝2＋22＋222＝246；1*4＝1＋11＋111＋1111，则7*5＝( )。 【答案】86415 【分析】先观察前面三个算式发现规律：*前面的数字表示加的数字，*后面的数字表示位数。如6*2表示把一个6加到两个6的和。7*5表示把7从一个7加到五个7的和。 【详解】7*5 ＝7＋77＋777＋7777＋77777 ＝86415 【预测命题方向03】图形规律探索 1．（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要( )个，第个图形需要( )个。 【答案】 40 4n 【分析】 观察图可知，第1个图形有4个，第2个图形有4×2＝8个，第3个图形有4×3＝12个，由此可得规律：第n个图形有4n个，据此规律解答。 【详解】10×4＝40（个） n×4＝4n（个） 即第10个图形需要10×4＝40个，第n个图形需要4n个。 2．（2025·广西北海·小升初真题）把相同规格的小长方形（黑长方形和白长方形）按规律排列（如图），照此规律，当刚好出现第7个黑长方形时，白长方形有( )个；黑长方形的个数占小长方形总个数的( )。 【答案】 21 【分析】根据图中的排列规律，1个黑色长方形，1个白色长方形，1个黑色长方形，2个白色长方形，1个黑色长方形，3个白色长方形，1个黑色长方形，4个白色长方形，1个黑色长方形，5个白色长方形，1个黑色长方形，6个白色长方形……根据这样的规律，算出白色长方形数量；利用7除以长方形总个数即可求出黑长方形的个数占小长方形总个数的几分之几。 【详解】白色长方形个数＝ （个） 即当刚好出现第7个黑长方形时，白色长方形有21个； 长方形总个数＝白色长方形个数＋黑色长方形个数＝21＋7＝28（个）； 黑色长方形占比＝7÷28＝，即黑长方形的个数占小长方形总个数的。 【预测命题方向04】数表规律探索 1．（2025·湖北武汉·小升初真题）根据如下数表的变化规律，2025在第( )行第( )列。 1 2 4 7 11 3 5 8 12 6 9 13 10 14 15 【答案】 9 56 【分析】观察数表可知，第1斜行有1个数，第2斜行有2个数，第3斜行有3个数…由此可知，第n斜行有n个数。每一斜行内的数字，行数从1开始依次增加，列数依次减少，且行数与列数之和等于斜行数加1。每一斜行的最后一个数等于从1加到该斜行数的和。解题时，先通过估算确定2025所在的斜行数，再根据斜行内规律计算具体的行数和列数。 【详解】假设2025在第n斜行。 n斜行所有数字的和为：1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）×n÷2 当n＝63时 （1＋n）×n÷2 ＝63×（63＋1）÷2 ＝63×64÷2 ＝2016 当n＝64时 （1＋n）×n÷2 ＝64×（64＋1）÷2 ＝64×65÷2 ＝2080 2016＜2025≤2080，所以2025位于第64斜行。 第63斜行的最后一个数是2016，位于第63行第1列。第64斜行的数字从第1行第64列开始排列，行数依次增加1，数值依次增加1。2025是第64 组中的第：2025－2016＝9（个）数。所以，2025位于第9行。 观察规律可知，在第n斜行中，任意位置的行数与列数之和等于n＋1。对于第64组，行数与列数之和为：64＋1＝65。列数为：65－9＝56。 因此2025在第9行第56列。 【点睛】关键是看懂数表中数字的排列规律，通过估算确定2025所在的斜行数。 2．（2025·四川内江·小升初真题）现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①( )；②( )；③( )。（如果是空格，用“×”表示） 【答案】 292 × 364 【分析】分析题目，如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方，即（2n－1）2，因为172＝289，192＝361，即最接近365的奇数的平方是361，据此画出以数361为右下角的数的排列，再根据361右面的一个数比它大1确定362的位置，再根据同一列上面的一个数比下面一个数大1进一步确定出365的位置，最后确定出需要填空的数。 【详解】19×19＝361 根据分析可知，以365为中心的九宫格如图：。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①292；②×；③364。（如果是空格，用“×”表示） 【预测命题方向05】周期规律探索 1．（2025·新疆和田·小升初真题）〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆……左边起第21个图形是( )，前50个图形中〇有( )个。 【答案】 〇 20 【分析】分析题目，按照“〇〇☆☆☆”每5个图形为一个周期，用21除以5，结合余数判断左边起第21个图形的形状即可；再用50除以5，商是几就有几组，每组有2个〇，据此用组数×2即可得到前50个图形中〇的个数。 【详解】21÷5＝4（组）……1（个） 50÷5＝10（组） 10×2＝20（个） 〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆……左边起第21个图形是〇，前50个图形中〇有20个。 2．（2025·广西贵港·小升初真题）☆◇□〇☆◇□〇☆◇□〇……，照这样排下去，第24个图形是( )，在前81个图形中，☆有( )个。 【答案】 〇 21 【分析】观察图形排列可知，这组图形是按照“☆◇□〇”每4个图形为一个循环周期进行排列； 求第24个图形，先用除法求出24里面有几个4，没有余数，就是一个循环周期里的最后一个图形。 求在前81个图形中☆的个数，先用除法求出81里面有几个4还余几，因为一个循环周期里只有1个☆，那么商是几，就有几个☆，再结合余数，确定余数里☆的个数，相加，即可求出☆的总个数。 【详解】24÷4＝6（组） 没有余数，第24个图形是〇； 81÷4＝20（组）……1（个） 余数是1，说明第81个图形是☆； ☆一共有： 20×1＋1 ＝20＋1 ＝21（个） ☆◇□〇☆◇□〇☆◇□〇……，照这样排下去，第24个图形是（〇），在前81个图形中，☆有（21）个。 【预测命题方向06】逻辑推理 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）甲、乙、丙分别是三个项目的比赛冠军。已知他们各自只参加了一次比赛，还知道：甲不是跑步冠军；乙不是游泳冠军；丙不是跳远冠军；跑步项目乙没有参加。请问，游泳冠军是( )。 【答案】甲 【分析】甲、乙、丙三个人，对应跑步、游泳、跳远三项运动，甲不是跑步冠军，跑步项目乙没有参加，那么丙是跑步冠军；乙不是游泳冠军，且跑步项目乙没有参加，那么乙是跳远冠军；甲是游泳冠军。列表法进行逻辑推理即可，根据题目的信息，在符合要求的位置打√，不符合要求的位置打×。 【详解】 跑步 游泳 跳远 甲 × √ × 乙 × × √ 丙 √ × × 游泳冠军是甲。 2．（2025·重庆南川·小升初真题）甲、乙、丙、丁4人中只有一人做了好事。甲说：“不是我做的。”乙说：“是丁做的。”丙说：“不是我做的。”丁说：“是甲做的。”已知他们4人中只有1个人说的真话。请问：是( )做了好事。 【答案】丙 【分析】由于有一人说的是真话，那么其他三个人就是说的假话，假如甲说的是真话，那么可知，不是甲做的，乙说的是假话，那么也不是丁做的，丙说的不是他做的，也是假话，就是丙做的，丁说，是甲做的，也是假话，则不是甲做的，通过这个可知是丙做的； 假如乙说了真话，甲说不是他做的，那是假话，是甲做的，乙说是丁做的，是真话，那是丁做的，冲突了，不符合题意； 假如是丙说的真话，则甲说不是他做的，这句话是假的，是甲做的，乙说是丁做的，这句话是假话，不是丁做的，丙说不是我做的，这句话是真话，不是丙做的，丁说是甲做的，这句话是假话，不是甲做的。这句话和最开始的矛盾，所以不符合。 假如是丁说的真话。其他三个人是假话，甲说不是他做的，这是假话，结果是甲做的，乙说是丁做的，这是假话，不是丁做的，丙说不是我做的，这是假话，是丙做的，丁说是甲做的，这是真话，是甲做的，和丙说的话矛盾。由此可知，甲说的是真话，这个是丙做的。 【详解】由分析可知： 甲、乙、丙、丁4人中只有一人做了好事。甲说：“不是我做的。”乙说：“是丁做的。”丙说：“不是我做的。”丁说：“是甲做的。”已知他们4人中只有1个人说的真话。请问：是丙做的。 【预测命题方向07】找次品 1．（2025·湖南永州·小升初真题）有5袋白糖，其中4袋每袋500g，另有1袋不是500g，但不知道比500g轻还是重。假如使用天平称，至少称( )次能保证找出不是500g的那一袋。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】（1）等一次称量：先把其中4袋拿出分作2份，放在天平左右两边进行称量，如果左右相等，那么说明剩下的那一袋是次品；如果左右不等，那么说明次品就在其中一边； （2）第二次称量：把左边的两袋分别放在天平的左右两边称量：如果相等，那么次品在右边一组的两袋中，如果不等，那么说明这两袋中有一袋是次品； （3）把确定有次品的2袋，分别与其它三袋中的任意一袋继续称量，相等的是500克，不等的就是次品。 假如使用天平，至少称3次能保证找出不是500g的那一袋。 2．（2025·河南许昌·小升初真题）9个外观相同的零件中，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称( )次可以保证找出次品。 【答案】2 【分析】将9个零件平均分成三份，任取其中两份放在天平上称量，结果可能有两种情况，一种情况是天平不平衡，则次品在质量较轻的一边，另一种情况是天平平衡，则次品在第三份中，总之通过第一次称量可以确定次品在哪一份中，接着，将包含次品的3个零件再分成三份，每份1个，任取其中两个进行称量，若天平平衡，则第三个是次品，若天平不平衡，则较轻的是次品。 【详解】根据分析： 9个外观相同的零件中，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称2次可以保证找出次品。 【点睛】本题主要考查找次品，关键根据物品的个数，对物品进行分份。 【预测命题方向08】搭配问题 1．（2025·河南郑州·小升初真题）某兴趣小组共6名队员，在每次见面会上，如果每两人握一次手，一共要握( )次手。 【答案】15 【分析】根据题意，共6名队员，第一名队员需要跟除自己之外的5人握手。第二名队员需要跟除自己和第一名之外的4人握手。第三名队员需要跟除自己、第一名、第二名之外的3人握手。第四名队员需要跟除自己、第一名、第二名、第三名之外的2人握手。第五名队员需要跟除自己、第一名、第二名、第三名、第四名之外的1人握手。第六名已经全部握过。 【详解】5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝15（次） 所以，一共要握15次手。 2．（2025·广东梅州·小升初真题）梅州西到深圳北的高铁开通啦！其中D7337这趟车途经兴宁南、五华、龙川西、河源东、惠州北、东莞南几个站点（如图），请问单程有( )种不同的车票。 【答案】28 【分析】图中共有8个站点（梅州西、兴宁南、五华、龙川西、河源东、惠州北、东莞南、深圳北），每两个站点之间需要一种车票。从第一个站点（梅州西）出发，到后面7个站点有7种车票；从第二个站点（兴宁南）出发，到后面6个站点有6种车票；从第三个站点（五华）出发，到后面5个站点有5种车票；……从第七个站点（东莞南）出发，到第八个站点（深圳北）有1种车票。将这些数量相加：7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28种。据此解答。 【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（种） 所以单程有28种不同的车票。 八、典型应用题·十一种命题预测 【命题解读】 应用题是小学数学最为重要的内容，约占小升初考试的30%，是试卷中分值最高，题型最复杂的板块，它包括多种典型问题以及整数、小数、分数和百分数、比和比例应用题等内容。 近年来，命题呈现以下三个趋势： 一是综合应用化，多知识点交叉，结合几何、代数综合考察。 二是创新题型渗透，诸如定义新运算、开放性问题等。 三是区域性差异化命题，不同版本不同地区所呈现出的命题趋势不同，一线城市更注重思维灵活性，二三线城市保留传统问题。 高效复习应用题板块，首先要分模块突破，专项训练，其次优化解决问题策略，总结技巧方法，最后着重实战，分析错题，特别是真题精炼。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 分段计费问题 解 2 经济问题与促销问题 解 3 优化问题与租车租船问题 解 4 工程问题 解 5 分数与百分数应用题 解 6 折扣·利率·税率·利润问题 解 7 行程问题 解 8 鸡兔同笼问题 选、填、解 9 植树问题 选、填、解 10 鸽巢问题 选、填 11 浓度问题 解 【预测命题方向01】分段计费问题 1．（2025·山东青岛·小升初真题）代驾已成为热门，让更多不方便的人群多一点安全，下面是“e代驾”公司的收费标准。 收费标准 时间段 起步价格 里程费 07：00~23：59 9.9元（含2公里） 每公里4元 超过12公里 每公里加收1.5元 00：00~06：59 18元（含3公里） 等候费：免费等候10分钟，超出后1元/分钟 (1)有一天晚上，王叔叔在外就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到7千米（公里）远的家用车库，王叔叔应付多少代驾费？ (2)某天凌晨，李叔叔也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费81.5元（无等候费），此次代驾行驶了多少千米？ 【答案】(1)29.9元 (2)17千米 【分析】（1）王叔叔晚上叫的代驾，起步价是9.9元，超过2公里的部分为5公里，这部分需要支付（5×4）元，最后利用加法求出一共需要支付多少钱； （2）李叔叔凌晨叫的代驾，起步价是18元。将总共的代驾费减去18元，求出超过3千米部分付了多少钱。将12千米减去3千米，将差乘4元，求出12千米超过3千米的部分需要支付多少元。对比发现，实际超过3千米部分付的钱比12千米超过3千米部分付的钱多，说明代驾路程大于12千米。这部分的单价是（4＋1.5）元，将超过12千米部分的钱除以（4＋1.5），求出超过12千米多少千米，再将其加上12千米，即可求出此次代驾行驶了多少千米。 【详解】（1）9.9＋（7－2）×4 ＝9.9＋5×4 ＝9.9＋20 ＝29.9（元） 答：王叔叔应付29.9元代驾费。 （2）81.5－18＝63.5（元） （12－3）×4 ＝9×4 ＝36（元） 63.5＞36，说明代驾路程超过12千米。 （63.5－36）÷（4＋1.5） ＝27.5÷5.5 ＝5（千米） 12＋5＝17（千米） 答：此次代驾行驶了17千米。 2．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取了价格调控手段，该市自来水收费见价目表。 价目表 每月用水量 单价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若该户居民1月份用水12.5立方米，则应该收水费多少元？ (2)若某户居民2月份上缴水费40元，则2月份的用水量是多少立方米？ (3)若该户居民3、4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份的用水量），共缴水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)48元 (2)11.5立方米 (3)3月份用水4立方米，4月份用水11立方米 【分析】（1）先把12.5立方米的用水量按价目表拆成三个价位的用水量，再根据“单价×数量＝总价”分别求出每个价位的费用，最后把三部分的费用相加，即可求出1月份应收的总水费。 （2）先分别求出6立方米和10立方米对应的水费，判断出40元的水费对应的用水量超过10立方米；再用总水费减去10立方米的水费，求出超过10立方米部分的费用，接着根据“总价÷单价＝数量”求出超过10立方米的水量，最后把10立方米和超出部分的水量相加，即可求出2月份的总用水量。 （3）先根据“3、4月共用水15立方米且4月用水量多于3月”确定3月用水量的范围，再分情况讨论不同区间的水费计算方式，结合总水费44元列算式求解，最后验证结果是否符合条件。 【详解】（1）2×6＋（10－6）×4＋（12.5－10）×8 ＝12＋4×4＋2.5×8 ＝12＋16＋20 ＝48（元） 答：应该收水费48元。 （2）超过10立方米部分：（40－2×6－4×4）÷8 ＝（40－12－16）÷8 ＝12÷8 ＝1.5（立方米） 2月份用水：10＋1.5＝11.5（立方米） 答：2月份用水为11.5立方米。 （3）解：设3月用水x立方米，则4月用水（15－x）立方米。 （1）当0＜x＜6，6＜15－x≤10时 2x＋6×2＋4×（15－x－6）＝44 2x＋6×2＋4×（9－x）＝44 2x＋12＋36－4x＝44 48－2x＝44 48－2x＋2x＝44＋2x 44＋2x－44＝48－44 2x＝4 2x÷2＝4÷2 x＝2 与6＜15－x≤10矛盾，舍去。 （2）当0＜x＜6，10＜15－x时 2x＋6×2＋4×4＋8×（15－x－10）＝44 2x＋12＋16＋8×（5－x）＝44 2x＋12＋16＋40－8x＝44 68－6x＝44 68－6x＋6x＝44＋6x 44＋6x＝68 44＋6x－44＝68－44 6x＝24 6x÷6＝24÷6 x＝4 四月份：15－4＝11（立方米） （3）当6＜x＜10，6＜15－x＜10时 2×6×2＋4×（x－6＋15－x－6）＝44 24＋4×3＝44 左边＝36，右边＝44 36≠44 方程无解。 答：3月份用水为4立方米，4月份用水为11立方米。 【预测命题方向02】经济问题与促销问题 1．（2025·浙江台州·小升初模拟）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【答案】(1)方式二 (2)15次 【分析】（1）方式一：单次卡，每年12月，每月3次，则一年的费用为（12×3×30）元。方式二：会员年卡，一次缴费240元会员费，每次另外收费14元，则费用为（240＋12×3×14）元，分别计算单次卡和会员年卡的费用，比较大小，选择费用低的更划算。 （2）采用列方程解决，设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等，x次收费30x元等于会员费加上另外收费14x，据此列式计算。 【详解】（1）方式一：12×3×30＝1080（元） 方式二：240＋14×3×12 ＝240＋504 ＝744（元） 744＜1080，方式二更划算。 答：李叔叔选择方式二更划算。 （2）解：设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。 30x＝240＋14x 30x－14x＝240 16x＝240 x＝15 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 2．（2025·湖南邵阳·小升初真题）学校要买120本奖本，每种奖本在三家超市的原价都是6元，三家超市采取了不同的促销方法（如下表），学校选择哪家超市购买最便宜？请写出比较的过程。 甲超市：每满100元减25元 乙超市：每买10本送2本 丙超市：打8折出售 【答案】甲超市 【分析】根据单价×数量＝总价，分别计算出在三家超市所需实际支付的费用，进行比较； 甲超市：看总价里面有几个完整的100元，就用总价减去几个25元后为实付钱数；乙超市是“买10赠2”的问题，看要购买的总数量中有几个完整的（10＋2）本，就有几个2本是赠送的；丙超市：“打八折”即实付价是原价的80%. 【详解】甲超市：120×6＝720（元） 720÷100＝7（个）……20（元） 720－7×25 ＝720－175 ＝545（元） 乙超市：将10＋2＝12本分为一组 120÷（10＋2） ＝120÷12 ＝10（组） 一组里边有2本是赠送的，所以120本中一共赠送的数量为： 10×2＝20（本） 需要实际付钱的本数： 120－20＝100（本） 100×6＝600（元） 丙超市：打八折 120×6×80% ＝720×0.8 ＝576（元） 545＜576＜600 答：学校选择甲超市购买最便宜。 【预测命题方向03】优化问题与租车租船问题 1．（2025·河北邢台·小升初真题）光明小学六年级有120名师生去参观博物馆，某运输公司有两种车辆可供选择： ①限坐40人的大客车，每人票价10元，如满座票价可打八折； ②限坐10人的面包车，每人票价12元，如满座票价可按75%优惠。 请你根据以上信息为光明小学六年级师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金。 【答案】3辆大客车；960元 【分析】方案1：只租大客车，总人数120人÷大客车限坐40人＝3辆（刚好满座，可享受八折）；总租金为：（10×120×80%）元。 方案2：只租面包车，120人÷面包车限坐10人＝12辆（刚好满座，可享受75%优惠）；总租金为：（12×120×75%）元。 方案3：混合租车（大客车＋面包车），优先租大客车，若租2辆大客车：可坐2×40＝80人，剩余120－80＝40人，租面包车40÷10＝4辆；总租金为（2×320＋4×90）元。 然后对比3种方案价格即可。 【详解】八折＝80% 只租大客车：120÷40＝3（辆） 10×120×80% ＝1200×0.8 ＝960（元） 只租面包车：120÷10＝12（辆） 12×120×75% ＝1440×0.75 ＝1080（元） 混合租车：2×40＝80（人） 120－80＝40（人） 40÷10＝4（辆） 2×320＋4×90 ＝640＋360 ＝1000（元） 960＜1000＜1080 答：租3辆大客车最省钱，需要960元。 2．（2025·江苏盐城·小升初真题）同学们在剪纸社团活动中，制作了72件“我爱盐城”主题剪纸作品，贴在10块展板上展出，每块小展板贴6件，每块大展板贴8件。大、小展板各有多少块？ 先假设两种展板的块数，再通过试验调整找出答案。 小展板块数 大展板块数 剪纸作品总件数 和72件比较 答：小展板有（    ）块，大展板有（    ）块。 【答案】 小展板块数 大展板块数 剪纸作品总件数 和72件比较 5块 5块 30＋40＝70（件） 比72件少2件 4块 6块 24＋48＝72（件） 相等 小展板4块；大展板6块 【分析】小展板数量＋大展板数量＝10块，小展板数量×每块小展板能贴的作品数量＋大展板数量×每块大展板能贴的作品数量＝剪纸作品总件数。据此利用表格进行尝试，并找出小展板、大展板的数量即可。 【详解】小展板5块，大展板5块时： 5×6＋5×8 ＝30＋40 ＝70（件） 70＜72 小展板4块，大展板6块时： 4×6＋6×8 ＝24＋48 ＝72（件） 72＝72 填表如下： 小展板块数 大展板块数 剪纸作品总件数 和72件比较 5块 5块 30＋40＝70（件） 比72件少2件 4块 6块 24＋48＝72（件） 相等 答：小展板有4块，大展板有6块。 【预测命题方向04】工程问题 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）下图是甲、乙、丙三人打一份稿件所用时间。 (1)甲所需时间比丙少几分之几？ (2)乙所需时间比甲多几分之几？ (3)如果乙和丙合作，多少天可以完成任务？ 【答案】(1) (2) (3)6（天） 【分析】由图可知，甲打一份稿件所用的时间是8天，乙打一份稿件所用的时间是15天，丙打一份稿件所用的时间是10天， （1）求甲所需的时间比丙少几分之几，就是用甲与丙的差去除以单位“1”，这里的单位“1”是丙； （2）求乙所需时间比甲多几分之几，就是用乙与甲的差去除以单位“1”，这里的单位“1”是甲； （3）求乙丙合作，多少天可以完成，我们就先求出乙丙的效率和，工作效率＝1÷工作时间，合作天数＝1÷乙丙效率和 【详解】（1）（10－8）÷10 ＝2÷10 ＝ 答：甲所需时间比丙少。 （2）（15－8）÷8 ＝7÷8 ＝ 答：乙所需时间比甲多。 （3）1÷（） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1×6 ＝6（天） 答：乙丙合作，需要6天完成 2．（2025·四川凉山·小升初真题）一件工程，甲独做要6天完成，乙独做要9天完成，，现在甲乙两队合做3天后，剩下的由甲独做还需要多少天才能完成？ 【答案】1天 【分析】将整个工程量看作单位1，则甲的工作效率为、乙两队的工作效率为。 再算出甲乙的工作效率和为（），再乘3求出3天合作完成的工作量， 接着用单位“1”减去合作完成的工作量求出剩余的工作量， 最后，用剩余的工作量除以甲队的工作效率即可解答。 【详解】16＝ 19＝ （）3 ＝3 ＝ 1-= ＝1（天） 答：剩下的由甲独做还需要1天才能完成。 【预测命题方向05】分数与百分数应用题 1．（2025·山西大同·小升初真题）希望书店卖掉两套书，一套《百科全书》，一套《中华传统故事》，售价都是120元，其中《百科全书》赚了20%，《中华传统故事》亏了20%。请你帮老板算一算，这两套书售出后，整体来看是赚了还是亏了？赚或亏了百分之几？ 【答案】亏了；亏了4% 【分析】解题的关键在于确定单位“1”。两套书的售价相同，但利润率对应的单位“1”均为各自的成本价，赚了20%是指售价比成本高20%，即售价＝成本×（1＋20%），因此成本＝售价÷（1＋20%）；亏了20%是指售价比成本低20%，即售价＝成本×（1－20%），因此成本＝售价÷（1－20%）；分别根据售价和利润率求出两套书的成本价，再把总成本价与总售价进行比较，确定盈亏情况，盈亏百分比＝盈亏金额÷总成本×100%。 【详解】《百科全书》的成本价： 120÷（1＋20%） ＝120÷120% ＝120÷1.2 ＝100（元） 《中华传统故事》的成本价： 120÷（1－20%） ＝120÷80% ＝120÷0.8 ＝150（元） 两套书的总成本价：100＋150＝250（元） 两套书的总售价：120×2＝240（元） 因为 240＜250，所以整体来看是亏了。 亏损金额：250－240＝10（元） 亏损百分比：10÷250×100% ＝0.04×100% ＝4% 答：整体来看是亏了，亏了 4%。 2．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）加工一批零件，原计划每天加工30个，当加工完时，由于改进了技术，工作效率提高了10%，结果提前了4天完成任务，问这批零件共有几个？ 【答案】1980个 【分析】明确“提前4天”是由于剩余工作量效率提高导致的。原计划与改进技术后的工作效率比为 1：（1＋10%）＝10：11 。在工作总量（剩余的）一定的情况下，工作时间与工作效率成反比，所以原计划与实际完成剩余工作的时间比为11：10。时间差1份对应提前的4天，由此可求出原计划完成剩余工作所需的时间，进而求出剩余工作量，最后根据剩余工作量占总量的求出零件总数。 【详解】则原效率与新效率的比为：1：（1＋10%）＝10：11 原计划时间与实际时间的比为 11：10 4÷（11−10）×11 ＝4÷1×11 ＝44（天） 30×44＝1320（个） 1320÷（1－） ＝1320÷ ＝1320× ＝1980（个） 答：这批零件共有1980个。 【预测命题方向06】折扣·利率·税率·利润问题 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）某书店凭优惠卡购书可打八折，明明用优惠卡买了一套原价60元的书。明明买这套书实际花了多少元？ 【答案】48元 【分析】打八折是指现价是原价的80%，把原价看成了单位“1”，根据“求一个数的百分之几是多少，用乘法计算”，用原价乘80%，即可求出实际花的钱数。 【详解】60×80% ＝60×0.8 ＝48（元） 答：明明买这套书实际花了48元。 2．（2025·湖南邵阳·小升初真题）张叔叔每月收入8000元，按《个人所得税规定》，每月收入扣除5000元免缴税后，按3%缴纳个人所得税，张叔叔每月实际收入多少元？ 【答案】7910元 【分析】由题意知，张叔叔每月收入扣除5000元免缴税后，要按3%的税率缴纳个人所得税，超过5000元的部分是8000－5000＝3000（元），这3000元按3%的税率缴纳个人所得税，应缴纳3000×3%＝90（元），用8000元减去90元即是每月的实际收入。 【详解】8000－（8000－5000）×3% ＝8000－3000×3% ＝8000－90 ＝7910（元） 答：张叔叔每月实际收入7910元。 3．（2025·江苏苏州·小升初真题）妈妈用10万元购买了一款五年期的保险，比把10万元存在银行，五年定期多收益1125元。已知银行五年定期的年利率是2.25%，若要获得与妈妈本次购买保险相同的收益，在银行存五年定期需要本金多少万元？ 【答案】11万元 【分析】根据“利息＝本金×利率×时间”用100000乘2.25%计算出一年的利息；用1125除以5计算出每年的保险收益比银行每年利息多的金额为225元；再用银行一年的利息加上225计算出保险每年的收益；最后根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算”用保险每年的收益除以银行年利率即可。 【详解】10万元＝100000元 （100000×2.25%＋1125÷5）÷2.25% ＝（100000×0.0225＋1125÷5）÷0.0225 ＝（2250＋225）÷0.0225 ＝2475÷0.0225 ＝110000（元） 110000元＝11万元 答：若要获得与妈妈本次购买保险相同的收益，在银行存五年定期需要本金11万元。 4．（2025·山东青岛·小升初真题）某文具批发商购进练习本1200本，每本练习本的成本是2.5元。商家按成本提高40%后定价出售。 （1）照这样定价，售完所有练习本后预计能赚多少钱？ （2）一段时间后，商家只卖掉了80%的练习本，剩下的练习本打折出售，最终这批练习本实际赚的钱是预计的86%，剩下的练习本是按定价打了几折出售？ 【答案】（1）1200元 （2）8折 【分析】（1）首先计算每本练习本的定价，每本定价等于原价乘，用每本定价减去成本，所得为每本的利润，用每本的利润乘本数就是照这样定价，售完所有练习本后预计能赚多少钱。 （2）首先计算数预计的收入，可用上一问求得的预计的利润乘86%；计算已售出的利润，用预计的利润乘80%可得卖掉的练习本赚的钱；两者作差后除以剩余的练习本数量即可得到剩余的练习本的每本平均利润，即可得到剩余的练习本的定价，用这个定价除以原本的定价即可得到剩余的练习本的折扣，带入数据即可求解。 【详解】（1） 答：照这样定价，售完所有练习本后预计能赚1200元。 （2） 答：剩下的练习本是按定价打了八折出售。 【点睛】折扣率的计算核心公式为，折扣率＝实际售价÷原价×100%。 【预测命题方向07】行程问题 1．（2025·河南新乡·小升初真题）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？ 【答案】454千米 【分析】先根据“1小时＝60分钟”把48分钟转化为0.8小时，甲车的行驶时间为（5.3－0.8）小时，再根据“路程＝速度×时间”求出相遇时甲车行驶的路程和乙车行驶的路程，最后相加求出总路程。 【详解】1小时＝60分钟 48÷60＝0.8（小时） 42×（5.3－0.8）＋50×5.3 ＝42×4.5＋50×5.3 ＝189＋265 ＝454（千米） 答：A、B两地相距454千米。 2．（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行。甲车每小时行80千米，当两车在途中相遇时，甲、乙两车所行的路程比是。相遇后，甲车保持原来的速度继续向前行驶，1.5小时到达地。乙车的速度是多少千米/小时？、两地间的路程是多少千米？ 【答案】60千米/小时；280千米 【分析】甲车速度不变，将甲车速度看作单位“1”，相遇时甲、乙两车的路程比为4∶3，所以乙车速度是甲车速度的；相遇后甲车行驶的路程对应相遇前乙车行驶的路程，根据路程＝速度×时间的公式求出这段路程；再结合乙车速度，根据时间＝路程÷速度的公式求出相遇时间；最后用两车速度和乘相遇时间求出总路程。 【详解】乙车速度：80×＝60（千米/小时） 甲车后来行驶路程：80×1.5＝120（千米） 相遇时间：120÷60＝2（小时） 总路程：（80＋60）×2 ＝140×2 ＝280（千米） 答：乙车的速度是60千米/小时，、两地间的路程是280千米。 【预测命题方向08】鸡兔同笼问题 1．（2025·安徽合肥·小升初真题）张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【答案】50元/张的6张；80元/张的4张 【分析】设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。根据“总价＝单价×数量”分别计算出50元/张的门票的总价和80元/张的门票的总价；再根据等量关系式“50元/张的门票的总价＋80元/张的门票的总价＝620”代入数值列出方程并求解。 【详解】解：设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。 10－6＝4（张） 答：50元/张的门票订了6张，80元/张的门票订了4张。 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】9场 【分析】鸡兔同笼问题，可采用假设法解题。 已知：足球队参加了15场比赛，负了4场，假设其余都胜利，即胜利：15－4＝11（场），应得分：11×3＝33分。又知：胜一场记3分，平一场记1分，所以将一场平局算作一场胜利的话，总分会多：3－1＝2（分）。假设的得分33分与实际得分29分，相差几个2分，就说明将几场平局算成了胜利，据此分析即可 【详解】假设足球队负了4场其余都胜利 应得： （15－4）×3 ＝11×3 ＝33（分） 平的场数： （33－29）÷（3－1） ＝4÷2 ＝2（场） 胜的场数： 15－4－2 ＝11－2 ＝9（场） 答：这支球队胜了9场。 【预测命题方向09】植树问题 1．（2025·湖北十堰·小升初真题）把一根3m长的木料锯成同样长的6段，一共用时3分钟，平均每锯一次用( )分钟，平均每段木料的长度是( )m。 【答案】 0.6/ 0.5/ 【分析】锯成6段需要锯（6－1）次，用需要的时间除以锯的次数，即可求出平均每锯一次用的时间；用总长度除以段数，即可求出平均每段木料的长度时多少m。 【详解】3÷（6－1） ＝3÷5 ＝0.6（分钟） 3÷6＝0.5（m） 所以，把一根3m长的木料锯成同样长的6段，一共用时3分钟，平均每锯一次用0.6分钟，平均每段木料的长度是0.5m。 2．（2025·新疆乌鲁木齐·小升初真题）小红在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种到9棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为每隔4米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有( )棵。 【答案】3 【分析】根据植树问题中两端都栽的情况，“间隔数＝棵数－1”，则种9棵树有（9－1）个间隔；再根据“间距×间隔数＝全长”求出种树的总长度； 原来每隔3米种一棵，要改为每隔4米一棵，那么在3和4的公倍数所在位置上的树和第一棵树，不必拔掉； 先求出3和4的最小公倍数，再求出最小公倍数的倍数，看总长度里有几个这个最小公倍数，就有几棵在3和4的公倍数所在位置上的树，再加上第一棵，就是不必拔掉的树的总棵数。 【详解】3×（9－1） ＝3×8 ＝24（米） 3和4的最小公倍数是：3×4＝12 12的倍数有：12、24… 即第一棵、12米距离上的那棵、24米距离上的那棵不必拔掉。 所以，不必再拔掉的树有3棵。 【预测命题方向10】鸽巢问题 1．（2025·湖南永州·小升初真题）一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从布袋中取出一个球，至少摸出( )个球才能保证摸到2个同色球。 【答案】4 【分析】总共有3种颜色的球，假设前面取的3个球颜色都不相同，那么再取1个球，不管这个球是哪种颜色，都会和前面3个球中的一个球颜色相同，这样就有2个同色球。 【详解】3＋1＝4（个） 所以，至少摸出4个球才能保证摸到2个同色球。 2．（2025·江西吉安·小升初真题）某班有40个同学，至少有( )名同学的生日是在同一个月。 【答案】4 【分析】如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。题中有40个同学，一年有12个月，用40÷12＝3（名）……4（名），也就是说平均每个月有3个同学生日，剩余的4个同学分别分配到不同的月份即可。 【详解】40÷12＝3（名）……4（名） 3＋1＝4（名） 至少有4名同学的生日是在同一个月。 【预测命题方向11】浓度问题 1．（2024·河南三门峡·小升初真题）先阅读理解，再解决问题。 盐水浓度＝×100%，饱和盐水是指在一定温度下盐水中所含盐质量达到最大限度（不能再溶解），如水温50°时饱和盐水的浓度约为2%。 （1）聪聪在一次科学实验中，将54克盐放在346克水中充分搅拌，此时盐水的浓度是多少？ （2）聪聪又用50°的水加入适量盐配出了3500克饱和盐水，他加入了多少克的盐？ 【答案】（1）13.5% （2）70克 【分析】（1）根据关系式：盐水浓度＝×100%，当盐的质量是54克，水的质量是346克，代入到关系式中即可求出盐水的浓度。 （2）水温50°时饱和盐水的浓度约为2%，用3500克饱和盐水乘2%，即可求出他加入了多少克盐。 【详解】（1）54÷（54＋346）×100% ＝54÷400×100% ＝0.135×100% ＝13.5% 答：此时盐水的浓度是13.5%。 （2）3500×2%＝70（克） 答：他加入了70克的盐。 2．（2025·湖南张家界·小升初真题）张小萌把含盐25%的盐水250克和含盐15%的盐水750克混合在一起，这时所得到的盐水的浓度是多少？（损耗忽略不计） 【答案】17.5% 【分析】根据题意，求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，分别求出250克中盐水含有盐的千克数，750克盐水中含盐的千克数，再把250克含盐量与750克含盐量相加，再除以（250＋750）乘100%，即可解答。 【详解】 答：这时所得到的盐水的浓度是17.5%。 一、新基础素养题型探究 【考情解读】 新素养命题的核心转变在于从单一知识点考查转向数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养的综合测评，具体而言： 一是从“抽象习题” 到 “真实情境”，大量融入“校园规划”“社区改造”“垃圾分类”等生活化场景； 二是从“解题技巧” 到 “思维品质”，强调逻辑推理、逆向思维、新定义理解能力； 三是从“单一知识点” 到 “跨域整合”，多模块知识融合应用成为主流； 全国统一呈现 “重基础、显思维、考能力” 趋势，强调数学与生活、社会热点的结合，另外也存在显著的区域差异，一线城市（如北京、上海）：更注重创新思维和跨学科整合，开放性题目占比高；二线城市（如长沙、镇江）：稳步推进素养导向，逐步减少机械计算，增加情境化应用题；三四线城市：基础题型仍占主导，但开始引入素养导向题目，难度梯度明显。 新基础素养题（判断、选择、填空、计算）占分最高、难度最低，核心是稳、准、快，技巧围绕「少算、巧算、防坑」展开，是拿分关键。 【题型实例】 一、填空题。 1．中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题（如图）。将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意，彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量。如果把用1 表示，那么用分数表示是( )，用小数表示是( )，占的( )%。 【答案】 0.5 50% 【分析】由题意可知，把看作单位“1”，把它平均分为2份，就是其中的1份，根据分数的意义，平均分的份数作分母，取的份数作分子，据此用分数表示，再用分子除以分母，得到小数形式，再根据小数化百分数的方法：小数点向右移动两位，再添百分号。 【详解】 中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题（如图）。将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意，彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量。如果把用1 表示，那么用分数表示是，用小数表示是0.5，占的50%。 2．如图，七巧板中①号三角形占整个图形的( )。②号三角形占整个图形的( )，这个分数可变化为：2÷( )＝( )∶16＝( )。（最后一空填小数） 【答案】 【分析】把整个图形看作单位“1”，把它平均分成4份，①号、②号三角形分别占1份，用分数表示为； 根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；那么＝＝；再根据分数与除法的关系把改写成2÷8，根据分数与比的关系把改写成4∶16； 把化成小数，用分子除以分母即可。 【详解】根据分数的意义可知，①号三角形、②号三角形都占整个图形的。 ＝＝，＝2÷8 ＝＝，＝4∶16 ＝1÷4＝0.25 七巧板中①号三角形占整个图形的。②号三角形占整个图形的，这个分数可变化为：2÷8＝4∶16＝0.25。 3．如图所示和算式，其中画方框部分表示0.6的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．画框部分表示已经下载了6%，根据百分数与小数的关系，把百分数化为小数与原题干进行对比即可； B．根据除数是整数的小数除法的计算方法，余数是6与十分位对齐，这个6表示0.6； C．把这个图形看作单位“1”，平均分成5份，画框部分占2份，用分数表示，然后再化为小数与原题干进行对比即可； D．由计数器可知，这个小数的个位上的数字是0，十分位上的数字也是0，百分位上的数字是6，然后用小数表示即可；据此解答。 【详解】A．6%是0.06，不符合题意； B．6在十分位，表示0.6，符合题意； C．＝0.4，不符合题意； D．6在百分位上，表示0.06，不符合题意。 故答案为：B 4．40%＝＝30÷( )＝( )∶200＝( )折。 【答案】10；75；80；四 【分析】百分数化成分数：先把百分数改写成分母为100的分数，然后能约分的要约成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号； 根据折扣的意义，百分之几十就是几折，百分之几十几就是几几折。 【详解】40%＝＝ ＝＝ ＝＝，＝30÷75 ＝＝，＝80∶200 40%＝四折 即40%＝＝30÷75＝80∶200＝四折。 5．在，33.3%，3.3，，中，( )最大，( )最小。 【答案】 3.3 【分析】根据百分数化小数的方法：小数点向左移动两位小数，再去掉百分号；分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数；把题目中的分数和百分数统一化为小数，利用小数比较大小的方法计算即可。 【详解】 在，33.3%，3.3，，中，3.3最大，最小。 6．20230706÷8，余数是( )。 【答案】2 【分析】一个数除以8的余数等于它的最后三位数字组成的数除以8的余数，用20230706的最后三位数字组成的数除以8，得到的余数就是原数除以8的余数。 【详解】706÷8＝88……2 706÷8的余数是2，所以20230706÷8，余数是2。 7．图中，若圆形的位置是（2，3），则三角形的位置是( )；如果三角形的面积是0.5cm2，则圆的面积是( )cm2。 【答案】 （3，1） 0.785 【分析】用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。由图可知，三角形在圆形的右下方，横向向右移动1格，纵向向下移动2格，若圆形的位置是（2，3），则列数加1，变为2＋1＝3，行数减2，变为3－2＝1，所以三角形的位置是（3，1）。 由图可知，三角形的面积是小正方形面积的一半，用三角形的面积乘2求出每个小正方形的面积为0.5×2＝1cm2，因为1×1＝1，所以每个小正方形的边长是1cm。圆的直径相当于小正方形的边长（1cm），所以圆的半径为1÷2＝0.5cm，根据圆的面积公式即可求出圆的面积。据此解答。 【详解】列数：2＋1＝3 行数：3－2＝1 三角形的位置是（3，1）。 0.5×2＝1（cm2） 1×1＝1 3.14×（1÷2）2 ＝3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（cm2） 综上，若圆形的位置是（2，3），则三角形的位置是（3，1）；如果三角形的面积是0.5cm2，则圆的面积是0.785cm2。 8．米比( )米短；比米长米的是( )米。 【答案】 //1.5 /0.95 【分析】求米比多少米短，把要求的长度看作单位“1”，则米是它的（1－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求解。 求比米长米的是多少米，根据分数加法的意义求解。 【详解】÷（1－） ＝÷ ＝× ＝（米） ＋ ＝＋ ＝（米） 米比（）米短；比米长米的是（）米。 9．为解决“看病难、看病贵”的问题，某大药房响应国家号召，把所有药品的价格一律降低四成进行出售。一种药品原价是每盒56元，降价后每盒( )元；一种药品现价是每盒84元，降价之前每盒( )元。 【答案】 33.6 140 【分析】几折就是百分之几十，将原价看作单位“1”，把所有药品的价格一律降低四成进行出售，也就是降低40%销售即按原价的六成即（1－40%）销售，原价×折扣率＝售价。售价÷折扣率＝原价。 【详解】56×（1－40%） ＝56×0.6 ＝33.6（元） 84÷（1－40%） ＝84÷0.6 ＝140（元） 所以为解决“看病难、看病贵”的问题，某大药房响应国家号召，把所有药品的价格一律降低四成进行出售。一种药品原价是每盒56元，降价后每盒33.6元；一种药品现价是每盒84元，降价之前每盒140元。 二、判断题。 10．温度计上显示的表示没有温度。( ) 【答案】× 【分析】温度计上显示的0℃不是表示没有温度，它是一个具体的温度值，同时也表示以0℃为分界点，零上温度都用正数来表示，零下温度都用负数来表示，据此进行判断。 【详解】0℃是水开始结冰的温度，表示以0℃为分界点零上温度都用正数来表示，零下温度都用负数来表示。并不是表示没有温度，原题说法错误。 故答案为：× 11．若13只母鸡13天下13个蛋，则100只母鸡100天下100个蛋。( ) 【答案】 × 【分析】根据“13只母鸡13天下13个蛋”，先求出13只母鸡平均每天下蛋的数量：（个）。 再求每只母鸡每天下蛋的数量：（个）。 通过计算100只母鸡100天应下的蛋数（），并与100个蛋进行比较，判断说法是否正确。 【详解】13只母鸡平均每天下蛋的数量：（个） 每只母鸡每天下蛋的数量：（个） 100只母鸡100天下蛋的数量：（个） ≠ 100，因此“100只母鸡100天下100个蛋”的说法是错误的。 【点睛】解决这类“归一问题”，核心是先求出“单一量”，再根据单一量计算总量，避免直接按“数量与时间同步放大”的错误直觉判断。本题的陷阱正是忽略了“单只母鸡的产蛋效率”，直接用“数量对应”代替了实际的效率计算。 12．任意三个连续自然数的和都是3的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】判断一个数是否为3的倍数，只需看它各个数位上的数字之和是否为3的倍数，数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。可以设三个连续自然数分别为a、a＋1、a＋2（a为大于0的自然数）。然后计算判断即可。 【详解】设三个连续自然数分别为a、a＋1、a＋2，它们的和为。因为3（a ＋ 1）能被3整除，所以任意三个连续自然数的和都是3的倍数。 故答案为：√ 13．将边长为1cm的正方形按一行排列，当有3个正方形时，周长为8cm；每增加一个，周长增加2cm。( ) 【答案】√ 【分析】当有n个边长为1cm的正方形按一行排列时，拼接后的图形是一个长方形，长为n×1＝n（cm），宽为1cm。根据长方形周长公式C＝（a＋b）×2（a为长，b为宽），可得周长为：（n＋1）×2＝2n＋2。当n＝3时，周长为：2×3＋2＝6＋2＝8cm，与题目中“有3个正方形时，周长为8cm”一致。当n增加1（即变为n＋1）时，新的周长为2（n＋1）＋2＝2n＋2＋2＝2n＋4，周长增加了：（2n＋4）－（2n＋2）＝2n＋4－2n－2＝2cm，所以每增加一个正方形，周长增加2cm。 【详解】当有n个边长为1cm的正方形按一行排列时。 长：n×1＝n（cm） 周长：（n＋1）×2＝2n＋2 n＝3，周长： 2×3＋2 ＝6＋2 ＝8（cm） 周长： 2（n＋1）＋2 ＝2n＋2＋2 ＝2n＋4（cm） （2n＋4）－（2n＋2） ＝2n＋4－2n－2 ＝2（cm） 所以当有3个正方形时，周长为8cm；每增加一个，周长增加2cm。原说法正确。 故答案为：√ 14．既可以看作是一个分数，也可以看作是一个比。( ) 【答案】 √ 【分析】根据比与分数、除法之间的联系，比的前项相当于分数的分子，后项相当于分数的分母，比号相当于分数线。因此，比也可以写成分数的形式，同一个书写形式在不同语境下可以代表不同的数学概念。 【详解】根据比与分数的关系可知，两个数的比也可以写成分数的形式。 符合分数的意义，表示把单位“1”平均分成8份，取其中的1份，是一个分数；同时也可以表示这个比，当比写成分数形式时，仍读作一比八。因此既可以看作是一个分数，也可以看作是一个比。 故答案为：√ 15．甲、乙、丙三个小朋友来自中国、日本、英国，甲不会说英文，乙不懂日语，丙可与英国人热烈交谈。根据以上信息，我们知道乙小朋友是中国人。( ) 【答案】× 【分析】根据题干信息：丙可与英国人热烈交谈，说明丙会说英语，且丙不是英国人（因为“与英国人交谈”通常指对方是英国人，而丙是交谈者）。甲不会说英文，说明甲不是英国人。乙不懂日语，说明乙不是日本人。由于甲、乙、丙三人分别来自中国、日本、英国，且每个国家只有一人，因此甲和丙都不是英国人，则乙一定是英国人。故乙不是中国人，结论错误。 【详解】由“丙可与英国人热烈交谈”可知，丙会说英语，且丙不是英国人。由“甲不会说英文”可知，甲不是英国人。因此，乙是英国人。所以乙不是中国人。 故答案为：× 16．一年中有7个大月和5个小月。( ) 【答案】× 【分析】根据月份的定义，大月是31天的月份，小月是30天的月份。一年中大月有7个（1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月），小月有4个（4月、6月、9月、11月），2月是特殊月份，既不是大月也不是小月。题干中“5个小月”的说法与实际不符。 【详解】根据分析可知：一年中有7个大月和4个小月，2月是特殊月份。因此，原题说法错误。 故答案为：× 17．用四个圆心角为90°的扇形一定可以拼成一个圆。( ) 【答案】× 【分析】扇形的大小是由半径和圆心角决定的。要拼成一个完整的圆，需要满足两个条件：第一，所有扇形的圆心角之和等于 360°；第二，所有扇形的半径必须相等。 【详解】本题中，四个扇形的圆心角都是 90°，90°×4＝360°，满足第一个条件。但是，题干中没有说明这四个扇形的半径是否相等。如果半径不相等，则无法拼成一个圆。因此，用四个圆心角为 90°的扇形不一定可以拼成一个圆。 故答案为：× 18．一种彩票的中奖率为1%，小明妈妈买了一百张彩票，不可能会中奖。( ) 【答案】× 【分析】中奖率为1%表示每次购买彩票都有中奖的可能性，尽管概率较小。购买一百张彩票增加了中奖的机会，但中奖事件仍可能发生，并非不可能。 【详解】彩票的中奖率为1%，即每张彩票中奖的概率是。小明妈妈购买了一百张彩票，增加了中奖的机会，中奖的可能性存在，因此“不可能会中奖”的说法不正确。 故答案为：× 19．0.9，0.99，0.999，…越向后写出的数越接近整数1。( ) 【答案】√ 【分析】观察这组小数的排列规律，后一个数比前一个多一个小数数位，且小数部分每个数位的数都是9，与整数1的差距分别是0.1、0.01、0.001…，与1的差距越小越接近整数1，据此分析。 【详解】根据分析，这组小数与整数1的差距分别是0.1、0.01、0.001…，与1的差距越来越小，因此越向后写出的数越接近整数1，原题说法正确。 故答案为：√ 三、选择题。 20．下列问题可用“”解决的是( )。 A．计算人均绿地面积 B．计算两队合作铺设步道时间 C．计算混合种植蔬菜总产量 D．计算15分钟步行范围 【答案】B 【分析】1表示工作量，和 分别表示两个个体的工作效率，＋表示两个工作效率的和，根据工作时间＝工作量÷工作效率，1除以两个工作效率和，求的是合作时间，据此逐项分析解答。 【详解】A．计算人均绿地面积，数量关系为：绿地总面积 ÷ 总人数，不符合题意。 B．计算两队合作铺设步道时间，属于工程问题。若把铺设步道的工作总量看作单位“1”，a、b分别为两队单独完成所需时间，则合作时间为1÷（＋），符合题意。 C．计算混合种植蔬菜总产量，数量关系通常为：各部分产量之和或面积乘单产，不符合题意。 D．计算15分钟步行范围，数量关系为：速度×时间，属于乘法运算，不符合题意。 “1÷（＋）”解决的是计算两队合作铺设步道时间。 21．下面( )选项的计算过程与其它几项的本质是不同的。 A．商不变的规律：21÷0.25＝（21×4）÷（0.25×4）＝84÷1＝84 B．分数的约分 C．除法的性质：16.84÷0.125÷80＝16.84÷（0.125×80）＝16.84÷10＝1.684 D．比的化简： 【答案】C 【分析】A．运用商不变的规律，被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变； B．运用分数的基本性质，分子和分母同时除以相同的数（0除外），分数的大小不变； C．一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个除数的积，是改变运算顺序简化计算； D．运用比的基本性质，比的前项和后项同时乘相同的数（0除外），比值不变。 【详解】A．根据商不变的规律，被除数21和除数0.25同时乘4，商不变，本质是算式的两项同时乘同一个不为0的数，结果不变。 B．根据分数的基本性质，分数​的分子153和分母187同时÷17，分数大小不变，本质是算式的两项同时除以同一个不为0的数，结果不变。 C．根据除法的性质，16.84连续÷0.125和80，等于16.84÷0.125和80的积，是通过改变运算顺序简化计算。 D．根据比的基本性质，比的前项和后项​同时乘39，比值不变，本质是算式的两项同时乘同一个不为0的数，结果不变。 除法的性质：16.84÷0.125÷80＝16.84÷（0.125×80）＝16.84÷10＝1.684计算过程与其它几项的本质是不同的。 22．下图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm，这间教室的实际长是10m，这幅平面图的比例尺是( )。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶200 D．200∶1 【答案】C 【分析】比例尺＝图上距离与实际距离的比，先统一单位，再计算比例尺。1m＝100cm。 【详解】10m＝1000cm 图上距离∶实际距离 ＝5cm∶1000cm ＝5∶1000 ＝（5÷5）∶（1000÷5） ＝1∶200 23．用大小相同的小正方体摆成的物体，从正面看是：从上面看是：，从左面看是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据从上面看确定底层有4个小正方体，根据从正面看确定没有第二层，还原出物体是“前排3个并排，后排中间1个”的形状。站在物体左侧向右看，视线会被前排最左侧的一列和后排中间的一列遮挡，看到的轮廓应该是竖直方向1层，水平方向2个正方形并排的形状。对照A、B、C、D四个选项，只有A选项（两个正方形横向并排）符合从左面看到的形状。 24．如图①，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导了梯形的面积计算公式。用这样的思路，可以求出如图②所示的立体图形的体积是( )cm3。      ①              ② A．100 B．16 C．200π D．240π 【答案】C 【分析】类比梯形面积的推导（两个完全一样的梯形拼成平行四边形）。对于图②的立体图形，我们需要找两个完全相同（高分别为10cm和15cm）的这种图形，把它们拼在一起。拼合后，会形成一个底面直径为8cm，高为cm的完整大圆柱。最后求原图形体积，只需要算出大圆柱体积的即可。 【详解】半径：（cm） 大圆柱的高：（cm） 拼合后的大圆柱体积：（cm3） 原图形体积：（cm3） 25．推导圆柱的体积计算公式的方法（如下图），与下面第( )个古代故事中的方法相同。 A．揠苗助长 B．刻舟求剑 C．曹冲称象 D．田忌赛马 【答案】C 【分析】推导圆柱体积公式时，我们把圆柱切割成若干个小扇形，再拼接成近似的长方体，这是利用了“转化”思想，逐一分析选项中古代故事所体现的思想即可。 【详解】A．揠苗助长：违背事物发展规律，和数学转化思想无关。 B．刻舟求剑：用静止的眼光看问题，忽视运动变化，和转化思想无关。 C．曹冲称象：把无法直接称量的大象重量，转化为可以称量的石头重量，本质也是“转化思想”，和圆柱体积推导的方法一致。 D．田忌赛马：是策略优化、博弈论的思想，和转化思想不同。 26．下面选项中，( )是正确的。 A．读统计图时应注意弄清纵轴和横轴表示的意思 B．六（1）班某天的出勤率是102% C．扇形统计图能清楚地表示各部分的具体数量 D．平行四边形一定是轴对称图形 【答案】A 【分析】因为读统计图的基本要求是明确统计量的含义，所以需依据统计图的阅读规范判断； 因为出勤率的计算是实际出勤人数与应出勤人数的比值，所以需依据出勤率的定义和取值范围判断； 因为不同统计图的功能不同，所以需依据扇形统计图的特点判断； 因为轴对称图形的定义是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合，所以需依据轴对称图形的定义判断平行四边形是否符合。 【详解】A．读取统计图时，必须先明确纵轴、横轴分别表示的含义，说法正确。 B．出勤率＝出勤人数÷总人数，出勤人数最多等于总人数，出勤率最高为100%，不可能达到102%，说法错误。 C．扇形统计图只能表示各部分占总体的百分$ 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（二） 参考时间：90分钟；试卷总分：100分 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共10分） 1．（本题1分）数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5 就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是( )。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 2．（本题1分）下面各比中，能与∶组成比例的是( )。 A．5∶4 B．4∶5 C．∶5 D． 3．（本题1分）一条彩带，用去，还剩米，用去的和剩下的相比，( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．同样多 D．无法比较 4．（本题1分）李老师为家人买了4件礼物，最便宜的12元，最贵的24元，那么这4件礼物总共需要的钱数( )。 A．少于60元 B．多于84元 C．在60元到84元之间 D．无法确定 5．（本题1分）某小区2025年拥有新能源汽车的家庭有240户，_____。该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是( )。 A．比2024年的多 B．2024年的比2025年的少 C．比2024年的少 D．2024年的比2025年的多 6．（本题1分）某班男生人数是女生人数的1.2倍，男生人数与全班人数的比是( )。 A．6∶11 B．5∶11 C．6∶5 D．5∶6 7．（本题1分）星星农场今年的粮食产量比去年增产一成二，就是今年的粮食产量是去年的百分之几？( ) A．1.2% B．12% C．112% D．120% 8．（本题1分）有10只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了( )。 A．1只鸽子 B．3只鸽子 C．4只鸽子 D．8只鸽子 9．（本题1分）“甲、乙两个网店销售进价100元的一款马面裙，______，王阿姨要买一条马面裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样。”横线上的条件是( )。 ①甲先提价50%再打八折出售    ②乙以60%的利润定价再打七五折出售 ③甲提价25%出售    ④乙先提价40%再让利20% A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．（本题1分）中国园林设计时常用到海棠门，“海棠门里观海棠”构成了一幅美丽图画，为园林增添了一份婉约与雅致，用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成的图（如图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是( )m2。 A．12π＋12 B．（1÷2）2π＋12 C．2×（1÷2）2π D．2×（1÷2）2π＋12 评卷人 得分 二、用心思考，正确填写。（每空1分，共20分） 11．（本题2分）2025年5月25日，在2025WCA丽水魔方公开赛三阶速拧复赛中，中国11岁选手王艺衡以平均3.91秒的成绩打破世界纪录。横线上的数是由( )个0.01累加组成的。在直线上用“•”表示出这个数的大致位置。 12．（本题1分）如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝( )。 13．（本题4分）7.2平方千米＝( )公顷      5时24分＝( )时   6.02吨＝( )吨( )千克 14．（本题1分）喜欢电脑的小松设计了一个猜年龄的程序： 小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年( )岁。 15．（本题1分）学校举办科技节，小红参加了实验操作、理论笔试和创意设计三个项目。已知实验操作和理论笔试的平均分是m分，创意设计比这两科的平均分多10分。那么小红这三个项目的平均分是( )分。 16．（本题1分）如果x和y互为倒数，且，那么15a＝( )。 17．（本题1分）中国古代劳动人民不仅擅长诗歌，还借助诗歌讨论数学问题。 三百七十八里关， 初行健步不为难， 次日脚痛减一半， 六朝才能到其关。 诗歌中的“里”是我国古代计量路程的单位，1里＝500米。这首诗歌的意思是三百七十八里的路程，第一天走的比较快，后面因为脚走疼了，每天走的路程都是前一天的一半，六天才能走完全程。 请算一算第六天走了( )里路。 18．（本题1分）六（1）班学生体育达标的人数和未达标的人数比是24∶1，达标率是( )%。 19．（本题2分）一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2∶1，这个三角形顶角度数是( )度。按角来分，它是( )三角形。 20．（本题1分）大力发展新能源汽车是促进节能减排、实现“双碳”目标的重要举措。如图是两种新能源汽车模型，如果黑色新能源汽车模型长24cm，那么白色新能源汽车模型长( )cm。 21．（本题2分）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是( )cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是( )cm。 22．（本题3分）瞧，我会观察、思考、表达。 (1)因为888÷24＝37，根据商不变的规律，所以555÷15＝( )； (2)数学课上，老师在黑板上刚写完算式“2025×101－2025＝”，小明一看就说出得数202500，他的想法是( )； (3)通过计算得到。根据这个发现，＝( )。 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共30分） 23．（本题8分）直接写出得数。                     24．（本题12分）脱式计算，能简算的要简算。                                         25．（本题6分）解比例或方程。                    26．（本题4分）图形计算。 请计算该“右转危险区”的面积。（本题取3） 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此设置了“右转危险区”标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是以A为圆心所画的四分之一圆。 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共14分） 27．（本题4分）按要求画一画。 （1）希望小学在体育中心的北偏东45°方向400米处，请用▲标出希望小学的位置。 （2）计划在距离体育中心300米处新建一个文化馆，请画出新建文化馆所有可能的位置。 28．（本题10分）下面方格纸中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）把长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。若用分别表示旋转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数对表示分别是( )，( )，( )。 （2）线段CD旋转到的位置所扫过的面积是( )平方厘米，点C旋转到点的位置所经过的路线长( )厘米。 （3）在图中画出点O，再连接EO和FO，使三角形EFO成为一个以点F为直角顶点的等腰直角三角形，此时点E在点O的( )偏( )( )°方向。 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共26分） 29．（本题3分）富乐国际恒温游泳馆冬天使用天然气加热泳池，采用新的节能技术后，12月每天用天然气420立方米，比上个月每天节约120立方米，那么原来可用20天的天然气，现在约多用多少天？（只保留整数部分） 30．（本题3分）2024年6月我国嫦娥六号从月球背面的艾特肯盆地采集月壤成功，引起全世界的高度关注。艾特肯盆地被公认为是月球上最大、最古老、最深的盆地，最深处的深度大约是12800米，比世界上著名的淡水湖——贝加尔湖最深处深度的7倍还多1341米，贝加尔湖最深处的深度有多少米？ 31．（本题4分）某乡村农田安装了AI农业灌溉系统，它能根据土壤湿度、天气情况自动调节灌溉量，比传统灌溉节省用水30%。 (1)该系统控制的农田是一块长200米、宽150米的长方形，在设计图上，该农田的长是8厘米。这张设计图的比例尺是多少？ (2)AI农业灌溉系统还能统计灌溉数据，已知该农田每次传统灌溉需用水180吨，每月灌溉4次。使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省多少吨水？ 32．（本题5分）如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 33．（本题5分）阅读材料回答下列问题。 水是人类发展不可缺少的自然资源，是人类和一切生物赖以生存的物质基础。生物体内含水量占体重的60%~80%，甚至90%以上。人体内的含水量占体重的，为了维持人类正常的生理代谢，每人每天至少需要饮用2.5升的水。 我国是一个干旱缺水的国家，全国约有660个城市，其中的城市供水不足，在这些供水不足的城市中，又有的城市严重缺水。所以保护水资源是我们每个人的责任。 (1)爸爸的体重是78kg，他体内大概含水多少千克？ (2)全国严重缺水的城市大约有多少个？ (3)为了鼓励居民节约用水，某地的自来水公司规定：每户每月用水15吨（含15吨）按每吨2.3元收费；超过15吨后，超出的部分按每吨5.5元收费。小涵家上月共交水费62元，小涵家上月用水多少吨？ 34．（本题6分）某社区为改善老旧道路，计划用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15米的人行道。工程队联系了搅拌站，混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5（每立方米混凝土总质量约2400千克）。搅拌站有一辆圆柱形搅拌车，罐体内部长（圆柱的高）5米、底面直径2米（π取3.14），每次搅拌需预留10%的空间防止溢出。 （1）铺设这条人行道需要多少立方米混凝土？按配比计算，需要水泥、沙子、石子各多少吨？（1吨＝1000千克） （2）搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是多少？若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要多少车次才能完成任务？（结果保留整数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（一） 参考时间：90分钟；试卷总分：100分 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空1分，共21分） 1．（本题3分）第19届亚运会在中国杭州举行。作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占地1543700平方米，合( )公顷。建筑面积约2720000平方米，把这个数改写成用“万平方米”作单位的数是( )万平方米。亚运会开幕式电视端累计观众收视人次达199086782次，这个数省略亿位后面的尾数约是( )次。 2．（本题4分）( )∶20＝0.75＝＝( )%＝( )折。 3．（本题2分）比40米多是( )，15千克比( )千克少25%。 4．（本题1分）一个整数把小数点向左移动一位，得到一个一位小数，这个小数比整数小了3.6，这个整数是( )。 5．（本题1分）笑笑的存钱罐里有面值5元和面值10元的人民币共12张，合计80元。其中面值5元的有( )张。 6．（本题1分）一个班男生和女生人数原来的比是9∶11，这学期转来2名男生，这时男生占总人数的，这个班原来有( )人。 7．（本题1分）成都“一带一路大厦”，在一幅比例尺是1∶20000的图上量得楼高约是2.45厘米，“一带一路大厦”实际高度是( )米。 8．（本题3分）小明家与姥姥家相距5千米。周末小明骑车从家出发去探望姥姥，去的途中修理自行车耽搁了一些时间。从图中可以看出： (1)小明在路上修车用了( )分。 (2)从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成( )比例，他的速度是( )千米/分。 9．（本题1分）活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是( )分米。 10．（本题1分）李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 11．（本题1分）一个盒子里装有大小相同的红黄蓝白球各5个，至少摸出( )个球，才能保证摸到两个相同颜色的球。 12．（本题2分）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去： 第50个图案中需要摆棋子( )枚，第n个图案中需要摆棋子( )枚。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题1分，共5分） 13．（本题1分）两个计数单位之间的进率是10。( ) 14．（本题1分）一个角的两条边越长，角就越大。( ) 15．（本题1分）一个两位数，个位上的数字是y，十位上的数字是x，这个数是xy。( ) 16．（本题1分）（甲数和乙数都不等于0），那么甲数∶乙数＝15∶1。( ) 17．（本题1分）在含糖20%的糖水中加入相同质量的糖和水后，糖水的含糖率不变。( ) 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共5分） 18．（本题1分）下面各组数中，不是互为相反意义的量是( )。 A．增加2kg和减少2cm B．收入200元和支出150元 C．向东走8m和向西走10m D．上升10dm和下降15dm 19．（本题1分）下面四个物体都是由5个小正方体组成，从前面和上面看到的形状不一样的物体是( )。 A．B． C． D． 20．（本题1分）一次考试中，乐乐语文和数学的平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分，乐乐这三科的平均分是( )分。 A．a＋2 B．a＋3 C．a＋4 D．a＋6 21．（本题1分）一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是( )。 A．10∶8 B．5∶4 C．∶ D．4∶5 22．（本题1分）妙想将3000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是1.2%，到期后可以获得本金和利息一共多少元？正确列式是( )。 A．3000×1.2% B．3000×1.2%×2 C．3000×1.2%×2＋3000 D．3000×（1＋1.2%）×2 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 四、一丝不苟，细心计算。（共27分） 23．（本题8分）直接写出得数。                               24．（本题9分）能简便计算的简便计算。 （1） （2） （3）… 25．（本题6分）解方程。 （1）     （2）     （3） 26．（本题4分）求下图中阴影部分的面积。（单位：cm） 评卷人 得分 五、手脑并用，实践操作。（共10分） 27．（本题4分）下面每个方格的边长表示1厘米。 (1)方格中的圆以点为圆心，请你将所画圆的涂上颜色。 (2)请在方格里画一个长方形，使长方形的周长是18厘米，长与宽的比是。 28．（本题6分） （1）画出三角形ABC绕点A逆时针旋转后的图形。 （2）在方格纸中画出一个面积和三角形ABC相等的梯形。 （3）在圆O的南偏东方向，画出圆按放大后的图形。 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 六、走进生活，解决问题。（共32分） 29．（本题5分）据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？ 30．（本题5分）太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人次，大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的，府西街站的客运量是多少万人次？ 31．（本题5分）妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 32．（本题5分）“盐池”里的科学。 运城盐池是我国最古老的盐池之一，盐工们通过晾晒盐水使盐结晶。已知常温下，当盐水浓度超过26%时，便会发生盐结晶现象。小宇在科学实验课上模拟这一过程，他配制了200克盐水，其中盐与水的质量比是3∶17。他将盐水加热蒸发，当盐水质量减少到150克时停止加热并冷却至常温。请问此时小宇能观察到盐结晶现象吗？请通过计算说明理由。 33．（本题6分）保洁组的同学要购买60个单价为55元的海绵拖把。下面是三家商店给出的优惠方案： 金百汇商厦每满1000元，返还现金120元 华联商厦 一律八五折 小芳超市 买五送一 请算出每家商店购买各需要多少钱，并比较哪家商店更划算？ 34．（本题6分）数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 O 2026年小升初数学终极押题卷（二） 参考时间：90分钟：试卷总分：100分 题号 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 O 2.请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3.测试范围：小学全部 吹 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共10分） 1.(本题1分)数学上把相差2的两个质数叫孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2， O O 那么3和5就是一对孪生质数。下列是李生质数的是( )。 A.2和3 B.9和11 C.11和13 D.13和15 2.(本题1分)下面各比中， 能与}： 组成比例的是( ) A.5:4 B.4:5 c.:5 D. 4 3.(本题1分）一条彩带，用去8，还利米，用去的和剩下的相比，( 5 謀 8 )9 A.用去的多 B.剩下的多 C.同样多 D.无法比较 4.(本题1分)李老师为家人买了4件礼物，最便宜的12元，最贵的24元，那么这4件礼物 总共需要的钱数( ) : : A.少于60元B.多于84元 C.在60元到84元之间D.无法确定 5.(本题1分)某小区2025年拥有新能源汽车的家庭有240户， 。该小区2024年拥有新 ☒ : 能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有x户，列式为 : 1+》-240,那么横线上应该填的条件是( ) : A.比2024年的多 B.2024年的比2025年的少 7 第1页共8页 ⊙学科网·学易金卷侧点：双发是 C.比2024年的少 D.2024年的比2025年的多号 6.(本题1分)某班男生人数是女生人数的1.2倍，男生人数与全班人数的比是( ) A.6:11 B.5:11 C.6:5 D.5:6 7.(本题1分)星星农场今年的粮食产量比去年增产一成二，就是今年的粮食产量是去年的百 分之几？( ) A.1.2% B.12% C.112% D.120% 8.(本题1分)有10只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了( )。 A.1只鸽子B.3只鸽子 C.4只鸽子 D.8只鸽子 9.（本题1分)甲、乙两个网店销售进价100元的一款马面裙， ，王阿姨要买一条马面 裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样。横线上的条件是( ①甲先提价50%再打八折出售②乙以60%的利润定价再打七五折出售 ③甲提价25%出售④乙先提价40%再让利20% A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 10.(本题1分)中国园林设计时常用到海棠门，海棠门里观海棠”构成了一幅美丽图画，为园 林增添了一份婉约与雅致，用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成的 图（如图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是( )m2。 1m A.12π+12 B.（1÷2)2π+12 C.2×(1÷2)2元 D.2×（1÷2)2元+12 评卷人 得分 二、用心思考，正确填写。（每空1分，共20分） 11.(本题2分)2025年5月25日，在2025WCA丽水魔方公开赛三阶速拧复赛中，中国11岁 选手王艺衡以平均3.91秒的成绩打破世界纪录。横线上的数是由( )个0.01累加组成的。 在直线上用.”表示出这个数的大致位置。 2 4 12.(本题1分)如果用[a表示a的全部因数的和，如[6]=1+2+3+6=12，那么[12]-[8]= ) 第2页共8页 ⊙学科网·学易金卷微商双家是6” 13.(本题4分)7.2平方千米=( )公顷 5时24分=( )时6.02吨=( 吨( )千克 14.（本题1分)喜欢电脑的小松设计了一个猜年龄的程序： 输入你的年龄 乘3减去5→乘2 加9 输出结果 小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年( )岁。 15.(本题1分)学校举办科技节，小红参加了实验操作、理论笔试和创意设计三个项目。已知 实验操作和理论笔试的平均分是m分，创意设计比这两科的平均分多10分。那么小红这三个 项目的平均分是( )分。 16.(本题1分)如果x和y互为倒数，且=上， 那么15a=( ) x a 17.(本题1分)中国古代劳动人民不仅擅长诗歌，还借助诗歌讨论数学问题。 诗歌中的“里”是我国古 代计量路程的单位，1里 =500米。这首诗歌的意 三百七十八里关， 思是三百七十八里的路 初行健步不为难， 程，第一天走的比较快， 次日脚痛减一半， 后面因为脚走疼了，每天 六朝才能到其关。 走的路程都是前一天的 一半，六天才能走完全 程。 请算一算第六天走了( )里路。 18.(本题1分)六(1)班学生体育达标的人数和未达标的人数比是24：1，达标率是( )%。 19.(本题2分)一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2：1，这个三角形顶角度数是 ( )度。按角来分，它是( )三角形。 20.(本题1分)大力发展新能源汽车是促进节能减排、实现双碳”目标的重要举措。如图是两 种新能源汽车模型，如果黑色新能源汽车模型长24c,那么白色新能源汽车模型长 )cm。 第3页共8页 21.（本题2分)一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：9，如果圆锥的高是6c, 那么圆柱的高是( )cm;如果圆柱的高是6cm,那么圆锥的高是( )cm。 : 22.(本题3分)瞧，我会观察、思考、表达。 (1)因为888÷24=37，根据商不变的规律，所以555÷15=( ): (2)数学课上，老师在黑板上刚写完算式2025×101一2025=”，小明一看就说出得数202500，他 的想法是( ): ⊙通过计第得到时片行}计专6 。根据这个发现， 11111+1+1 248163264+i28-( ) 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 三、一丝不荷，细心计算。（共30分） 23.(本题8分)直接写出得数 913.1 5421 1530 16*g7 +24 95 -4.8+5.2= 1 2 36+544 146+132+6+154= 〔1--》11动 24.(本题12分)脱式计算，能简算的要简算。 煞 蝶 12o-568 1 9.6-11÷7+7×4 .·..… 3.5×4+5.5×809%+0.8 5 +品 : O : 第4页共8页 80%×(3.2-2.99÷2.3) 1.97×430+38×19.7+1.9×197 O 25.（本题6分)解比例或方程。 152 =2.4 5.2.4 1.15. 3 6x=55 3209t O 26.(本题4分)图形计算。 请计算该“右转危险区的面积。（本题π取3） 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故， ·: 为此设置了右转危险区标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是以 荟 O A为圆心所画的四分之一圆。 右转 危险区 6米 E 4米 10米 6米 .: 10米 设计图 区 .· 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共14分) 27.（本题4分)按要求画一画。 0: 第5页共8页 ⊙学科风网·学易金卷侧城点：限文是着 北 体育中心 比例尺1：20000 (1)希望小学在体育中心的北偏东45°方向400米处，请用▲标出希望小学的位置。 (2)计划在距离体育中心300米处新建一个文化馆，请画出新建文化馆所有可能的位置。 28.（本题10分)下面方格纸中每个小方格的边长表示1厘米。 D 345678910111213141516 (1)把长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。若用A、B、C分别表示旋 转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数对表示分别是A( ),B( q( 。 (2)线段CD旋转到CD的位置所扫过的面积是( )平方厘米，点C旋转到点C的位置 所经过的路线长( )厘米。 (3)在图中画出点O,再连接EO和FO,使三角形EFO成为一个以点F为直角顶点的等腰直 角三角形，此时点E在点O的( )偏( )( )°方向。 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共26分) 29.（本题3分)富乐国际恒温游泳馆冬天使用天然气加热泳池，采用新的节能技术后，12月 每天用天然气420立方米，比上个月每天节约120立方米，那么原来可用20天的天然气，现在 约多用多少天？（只保留整数部分） 第6页共8页 ⊙学科网·学易金卷德高：双家是 30.(本题3分)2024年6月我国嫦娥六号从月球背面的艾特肯盆地采集月壤成功，引起全世 界的高度关注。艾特肯盆地被公认为是月球上最大、最古老、最深的盆地，最深处的深度大约 是12800米，比世界上著名的淡水湖—贝加尔湖最深处深度的7倍还多1341米，贝加尔湖最 深处的深度有多少米？ 31.（本题4分)某乡村农田安装了AI农业灌溉系统，它能根据土壤湿度、天气情况自动调节 灌溉量，比传统灌溉节省用水30%。 (1)该系统控制的农田是一块长200米、宽150米的长方形，在设计图上，该农田的长是8厘米。 这张设计图的比例尺是多少？ (2)AI农业灌溉系统还能统计灌溉数据，已知该农田每次传统灌溉需用水180吨，每月灌溉4次。 使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省多少吨水？ 32.（本题5分)如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过 的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 33.(本题5分)阅读材料回答下列问题。 水是人类发展不可缺少的自然资源，是人类和一切生物赖以生存的物质基础。生物体内含水量 占体重的60%80%，甚至90%以上。人体内的含水量占体重的子，为了维持人类正常的生理代 谢，每人每天至少需要饮用2.5升的水。 第7页共8页 我国是一个干旱缺水的国家，全国约有660个城市，其中二的城市供水不足，在这些供水不足 的城市中，又有的城市严重缺水。所以保护水资源是我们每个人的责任。 : (1)爸爸的体重是78kg,他体内大概含水多少千克？ (2)全国严重缺水的城市大约有多少个？ (3)为了鼓励居民节约用水，某地的自来水公司规定：每户每月用水15吨（含15吨)按每吨2.3 : 元收费：超过15吨后，超出的部分按每吨5.5元收费。小涵家上月共交水费62元，小涵家上 : 月用水多少吨？ .O : 34.（本题6分)某社区为改善老旧道路，计划用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15 : 米的人行道。工程队联系了搅拌站，混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2：3：5（每立方 米混凝土总质量约2400千克)。搅拌站有一辆圆柱形搅拌车，罐体内部长（圆柱的高）5米、 底面直径2米（π取3.14)，每次搅拌需预留10%的空间防止溢出。 .: (1)铺设这条人行道需要多少立方米混凝土？按配比计算，需要水泥、沙子、石子各多少吨？ : (1吨=1000千克) : (2)搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是多少？若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要 多少车次才能完成任务？（结果保留整数） 斟 : 第8页共8页绝密★启用前 O 2026年小升初数学终极押题卷（一） 参考时间：90分钟：试卷总分：100分 题号 三 四 五 六 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2.请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整， 格式正确，卷面整洁。 3. 测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 用心思考，正确填写。（每空1分，共21分) 1.(本题3分)第19届亚运会在中国杭州举行。作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占 O 地1543700平方米，合( )公顷。建筑面积约2720000平方米，把这个数改写成用万平 方米”作单位的数是( )万平方米。亚运会开幕式电视端累计观众收视人次达199086782 次，这个数省略亿位后面的尾数约是( )次。 2.(本题4分)( ):20=0.75=（2=( )%=( )折。 4 . 3.(本题2分)比40米多是( ),15千克比( )千克少25%。 . 拟 4.(本题1分)一个整数把小数点向左移动一位，得到一个一位小数，这个小数比整数小了3.6， 这个整数是( ) 5.(本题1分)笑笑的存钱罐里有面值5元和面值10元的人民币共12张，合计80元。其中面 值5元的有( )张。 6.(本题1分)一个班男生和女生人数原来的比是9：11，这学期转来2名男生，这时男生占 K 总人数的品， 这个班原来有( )人。 7.(本题1分)成都一带一路大厦”，在一幅比例尺是1：20000的图上量得楼高约是2.45厘米， “一带一路大厦实际高度是( )米。 O O 8.(本题3分)小明家与姥姥家相距5千米。周末小明骑车从家出发去探望姥姥，去的途中修 .: 第1页共6页 ⊙学科网·学易金卷贷粉流：限家是言产 理自行车耽搁了一些时间。从图中可以看出： A路程/千米 4 3 2 20406080100120140时间/分 (1)小明在路上修车用了( )分 (2)从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成( )比例，他的速度是( )千米/分。 9,（本题1分)话动课上，同学们用铁丝图成一个等腰三角形，其中两条边的长度号分米和分 米，这个三角形的周长是( )分米。 10.(本题1分)李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之 和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是( )立方分米 11.(本题1分)一个盒子里装有大小相同的红黄蓝白球各5个，至少摸出( )个球，才 能保证摸到两个相同颜色的球。 12.(本题2分)用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去： ① ③ 第50个图案中需要摆棋子( )枚，第n个图案中需要摆棋子( )枚。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画V,错的画×，每题1分，共5分) 13. (本题1分)两个计数单位之间的进率是10。( 14.(本题1分)一个角的两条边越长，角就越大。( 15.(本题1分)一个两位数，个位上的数字是y,十位上的数字是x,这个数是y。( 16.(本题1分)甲数×号乙数×（甲数和乙数都不等于0，那么甲数：乙数=15：1( ) 17.(本题1分)在含糖20%的糖水中加入相同质量的糖和水后，糖水的含糖率不变。( ) 评卷人 得分 三、反复比较。合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共5分） 18.(本题1分)下面各组数中，不是互为相反意义的量是( ) A.增加2kg和减少2cm B.收入200元和支出150元 C.向东走8m和向西走10m D.上升10dm和下降15dm 5 第2页共页 ⊙学科网·学易金卷微器高：及天是语 19.(本题1分)下面四个物体都是由5个小正方体组成，从前面和上面看到的形状不一样的物 体是( ) A 20.（本题1分)一次考试中，乐乐语文和数学的平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分， 乐乐这三科的平均分是( )分。 A.a+2 B.a十3 C.a+4 D.a+6 21.（本题1分)一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是( ) A.10:8 B.5:4 c日0 D.4:5 22.(本题1分)妙想将3000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是1.2%，到期后可以获得 本金和利息一共多少元？正确列式是( )。 A.3000×1.2% B.3000×1.2%×2 C.3000×1.2%×2+3000 D.3000×(1+1.2%)×2 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 四、一丝不荷，细心计算。（共27分) 23.(本题8分)直接写出得数。 256+80= 2.1÷7= 3.28+1.6= 2÷10%= 16×4 5×1.3= 24.（本题9分)能简便计算的简便计算。 名合a7s到 (2)62×225-2259%+22× 24×6 3)1+r+》10+60 第3页共6页 25.（本题6分)解方程。 ()子+5=42 (3)X-36x+4.8 : 32 (2) 寻x+5s0%r=60 48 舒 26.(本题4分)求下图中阴影部分的面积。（单位：cm) 0 6 评卷人 得分 五、手脑并用，实践操作。（共10分) : 27.(本题4分)下面每个方格的边长表示1厘米。 怒 蝶 (1)方格中的圆以点0为圆心，请你将所画圆的25%涂上颜色。 (2)请在方格里画一个长方形，使长方形的周长是18厘米，长与宽的比是2：1。 :0 A 28.(本题6分) C (1)画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。 .: 第4页共6页 : (2)在方格纸中画出一个面积和三角形ABC相等的梯形。 (3)在圆0的南偏东45°方向，画出圆按2：1放大后的图形 O O . 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 六、走进生活，解决问题。（共32分） 29.(本题5分)据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还 多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？ 30.(本题5分)太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前三 尽 .….… 位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人次， : 大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的。，府西街站的客运量是 多少万人次？ 新 O ..·. 31.(本题5分)妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精 的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解 : 答) 清洗物品 洗洁精：清水 瓜果、厨房用品 1:500 K 第5页共6页 学科网·学易金卷慨既燕：限是 32.(本题5分)盐池”里的科学。 运城盐池是我国最古老的盐池之一，盐工们通过晾晒盐水使盐结晶。已知常温下，当盐水浓度 超过26%时，便会发生盐结晶现象。小宇在科学实验课上模拟这一过程，他配制了200克盐水， 其中盐与水的质量比是3：17。他将盐水加热蒸发，当盐水质量减少到150克时停止加热并冷 却至常温。请问此时小宇能观察到盐结晶现象吗？请通过计算说明理由。 33.(本题6分)保洁组的同学要购买60个单价为55元的海绵拖把。下面是三家商店给出的优 惠方案： 金百汇商厦每满1000 华联商厦 小芳超市 元，返还现金120元 律八五折 买五送一 请算出每家商店购买各需要多少钱，并比较哪家商店更划算？ 34.(本题6分)数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们 合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是4厘米，高是10厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1：1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3：2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝 钉的体积。（π取3.14） ◎ 第6页共6页更高效 献出贴心建议，助你未雨绸缪 做好心理疏导，助你考后心安 22 小升初 最后一课 提供解题技巧助你顺利破卷 知识· 策略·思维 三 0五六七 一 二 2 34567 9 1on12314 8 17 1872021 15 16 24 25262728 2026 22 23 3列 29 30 第1页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 卷黄等语 “夏天过去，秋天过去，冬天又来了，骆驼队又来了，童年却一去不返了。” 一一林海音《城南旧事》 同学们，六年小学时光匆匆而过，数学课堂上的一笔一画、一题一解， 都藏着你们的努力与成长。从基础计算到思维拓展，从简单应用到综合探究，你 们一步步突破自我，积攒下满满的底气。 这是小升初考前最后一课，愿你们珍惜此刻，把所有知识沉淀于心，带着从 容与自信奔赴考场。考场上沉着审题、细心作答，把平日的积累尽数展现。 小学的篇章即将圆满收尾，而更广阔的数学天地在前方等候。愿你们以扎实 的学识为帆，以沉稳的心态为桨，从容应战，不负时光，不负自己，为六年小学 生活画上最完美的句号！ 祝前程似锦，未来可期！ 2026年4月 目录 第2页共286页 学科网 Www.zx×k.c0m 让教与学更高效 漏补 缺 必背干货 【小升初考前必背01】基础概念篇.… .5 【小升初考前必背02】运算定律篇 .14 【小升初考前必背03】单位换算篇 .15 【小升初考前必背04】图形公式篇 16 【小升初考前必背05】应用公式篇 .18 02命题 解读，考 点预测 .21 一、数与量的认识·十三种命题预测 21 二、数的运算七种命题预测… ..35 三、式与方程十种命题预测… .46 四、比和比例十二种命题预测 .61 五、图形与几何·二十六种命题预测 ..82 六、统计与概率·五种命题预测 …123 七、数学思考·八种命题预测… …131 八、典型应用题十一种命题预测 ...…142 03 重点难点，情境命题 ..163 一。 新基础素养题型探究 .163 二、新情境应用题型探究… 177 三、新思维拓展题型探究 190 四、新综合素养题型探究 199 04 备考全程，硬核指南 .208 一。 考前准备篇 208 二、考场注意篇 216 二、考后调整篇.227 【01放松身心劳逸结合】把孩子交给夏日阳光、绿树浓荫.…227 第3页共286页 学科网 www.zxx k.com 让教与学更高效 【02文艺作品中找数学】中学生必看数学题材的电影.…230 【03假期尾声收收心】七年级数学预习书籍推荐..240 05 最后一击，终极 押 题 ..241 2026年小升初数学终极押题卷（一）（含判断题版本） …241 2026年小升初数学终极押题卷（二)（不含判断题版本)…262 第4页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 0查漏补缺，必背干货 【小升初考前必背01】基础概念篇 序号 概念 基本内容 等级 ①0是一个有实际意义的数，既可以表示没有”，也可以作为某些数 ★ 量的界限； “0” ②0是最小的自然数，是一个偶数，是任何自然数(0除外)的倍数： ③0不能作除数。 ①用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10..叫做 ★ 自然数，简单说自然数就是大于等于零的整数。 自然数 ②最小的自然数数是0，没有最大的自然数，自然数都是整数，自然 数也可以表示个数或次序。 ①像..-3、-2、-1、0、1、2、3..这样的数统称为整数，其中像1、2、 ★★ 3、.这样的数叫做正整数，像..-3、-2、-1这样的数叫做负整数。 整数 ②最小的正整数是1，没有最大的正整数；最大的负整数是-1，没有 最小的负整数：整数有无限个，没有最小的整数，也没有最大的整数。 如果ab=c(a、b、c均为正整数且b≠0)，除得的商是整数而没有余数： ①我们就说a能被b整除，或者说b能整除a; ②a是b、c的倍数，b、c是a的因数： 4 因数和倍数 ③倍数和因数是相互依存的。 ④一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数 是它本身； ⑤一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 ①个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除： ★★ 2、5、3的 ②个位上是0或5的数，都能被5整除： 倍数特征 ③一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 ①奇数：在自然数中，不是2的倍数的数，如1、3、5、7、9、11 ★★ 奇数和偶数 ②偶数：在自然数中，是2的倍数的数，如0、2、4、6、8、10..。 第5页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 ★★ ①质数：只有1和它本身两个因数的数，100以内的质数有：2、3、5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 7 质数和合数 71、73、79、83、89、97: ②合数：除了1和它本身外还有别的因数的数，如4、6、8、9、12.。 ③1既不是质数也不是合数，2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 ①质因数：合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都叫 ★★ 做这个合数的质因数，例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。 P 质因数 ②分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解 质因数，例如把28分解质因数：28=2×2×7=22×7。 ①最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最 ★★★ 最大公因数 大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 9 和最小公倍 ②最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最 数 小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 ①公因数只有1的两个数，叫做互质数。 ②互质关系： 10 互质数 1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质：两个不同的质数互质； 两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。 ①枚举法：②短除法；③三种特殊情况： ★★★ 其一：如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小 求两个数的 公倍数： 最大公因数 其二：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍 11 或最小公倍 数 数 其三：分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因 数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 ①把单位“1平均分成10份、100份、1000份.，这样的一份或几份 ★★ 12 小数 可以用分母是10、100、1000、的分数来表示，也可以用小数来表 第6页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 示，小数是特殊形式的分数，但是不能说小数就是分数。 ②按整数部分是否为0，将小数分为纯小数和带小数：按小数部分位 数是否有限分为有限小数和无限小数。 ①无限小数分为循环小数和无限不循环小数 ★★ ②无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限， 这样的小数叫做无限不循环小数，例如：Ⅱ。 13 循环小数 ③循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断 重复出现，这个数叫做循环小数；一个循环小数的小数部分，依次不 断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 14 分数 把单位“1”平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数： ★★ ①真分数：分子比分母小的分数叫真分数。 ★ ②假分数：分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。 15 分数的分类 ③带分数：一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做 带分数。 ①约分的方法：用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母， ★ 通常要除到得出最简分数为止。 16 约分和通分 ②通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各 分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 ①小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 ★★ ②小数点移动规律： ā：小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两 位，原来的数就扩大100倍：小数点向右移动三位，原来的数就扩大 1000倍… 小数和分数 17 b:小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍，小数点向左移动两 的性质 位，原来的数就缩小100倍，小数点向左移动三位，原来的数就缩小 1000倍… c:小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。 ②分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零 除外)，分数的大小不变。 第7页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或 ★★ 18 百分数 百分比，百分数通常用%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 ①加法：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中两个数都叫 ★★ “加数”，结果叫“和”。 ②减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算， 叫做减法，减法是加法的逆运算，其中“和叫被减数”，已知的加数 四种基础运 叫“减数”，求出的另一个加数叫“差。 19 算 ③乘法：求n个相同加数的和的简便运算，叫做乘法，其中相同的这 个数及n个这样的数都叫因数”，结果叫积。 ④除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算， 叫做除法。除法是乘法的逆运算，其中积”叫做“被除数”，己知的 个因数叫做除数”，求出来的另一个因数叫做“商”。 1.和的规律问题。 ★★ (1)和不变规律： 两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加数必须减去 多少。 (2)和的变化规律： 一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增加（或减少） 相同的数。 2.差的变化规律。 20 四大规律 (1)减数不变： 若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少；减数不变，被减 数减少多少，差就减少多少。 (2)被减数不变： 若减数增加，被减数不变，则差减少；若减数减少，被减数不变，则 差增加。 (3)差不变： 若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 3.积的变化规律。 第8页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 (1)两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几(0除外)， 积也乘几或除以相同的数。 (2)一个因数乘A,另外一个因数乘B,那么积要乘A和B的积。 (3)一个因数除以A,另外一个因数除以B,那么积要除以A和B 的积。 4.积不变规律。 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几(0除外)，另一个因数除以 (或乘)相同的数，则它们的乘积不变。 5.商的变化规律。 (1)在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几(0除外)， 商也要乘（或除以）几。 (2)在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几(0除外)， 商反而要除以（或乘以）几。 (3)在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相 同的数(0除外)，那么余数也随之乘或除以这个数。 6.商不变规律（商不变性质）。 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数(0 除外)，商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质)。 四则运算顺 ①运算等级：第一级加减法，第二级乘除法： ★★ 21 序 ②运算顺序：先乘除，后加减：左向右，依次算；有括号，最优先。 ①方程：含有未知数的等式叫做方程。 ★★ 22 方程 ②方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 两个数相除又叫做两个数的比，“：”是比号，读作“比”，比号前面的 ★★ 23 比 数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所 得的商，叫做比值。 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)，比值不变， ★★ 24 比的性质 这叫做比的基本性质。 第9页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 ①求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是 ★★★ 求比值和化 整数，也可以是小数或分数。 25 简比 ②根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比，它的结果必须是 个最简比，即前、后项是互质的数。 1.小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母， ★★★ 把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的 不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数， 这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数， 这个分数就不能化成有限小数。 4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百 分号。 26 数的互化 5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把 小数点向左移动两位。 6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三 位小数)，再把小数化成百分数。 7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分 数。 8.比与除法互化，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相 当于商 ①比例的意义。 ★★★ 表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数，叫做比例的项， 比例的意义 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 27 和性质 ②比例的性质。 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积，这叫做比例的基本 性质。 28 正比例和反 ①成正比例的量。 ★★★ 第10页共286页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量 中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比 例的量，他们的关系叫做正比例关系，用字母表示yxk(一定) ②成反比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另.一种量也随着变化，如果这两种量 中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的 关系叫做反比例关系，用字母表示x×y=k(一定) 29 比例尺 图上距离：实际距离=比例尺 ★★ ①直线：没有端点，可以向两端无限延长。 ②射线：只有一个端点，可以向一端无限延长。 30 三线 ③线段：有两个端点，射线和线段都是直线的一部分，两点之间，线 段最短。 ①垂线：两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫垂足，从直线外 31 平行与垂直 点到直线所画的线段中，垂线最短。 ②平行线：在同一平面内的两条不相交的直线，叫做平行线。 锐角（小于90的角）、直角（等于90的角）、钝角（大于90而小 ★ 32 秀 于180的角)、平角（等于180的角）、周角（等于360的角） 长方形和正 ①长方形对边相等，4个角都是直角的四边形，有两条对称轴。 ★★ 33 方形 ②正方形四条边都相等，四个角都是直角的四边形，有4条对称轴。 ①由三条线段围成的图形，叫做三角形，它的内角和是180度，具有 ★★★ 稳定性，有三条高。 34 三角形 ②三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ③三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 三角形三边 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 ★ 35 关系 ①平行四边形 ★★ 平行四边形 36 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边行相对的边平 和梯形 行且相等，对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度，平行四边 第11页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 形容易变形。 ②梯形 只有一组对边平行的四边形叫做梯形，梯形中位线等于上下底和的一 半，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，等腰梯形有一条对称轴。 ①圆是一种封闭的曲线图形，圆心O、半径r、直径d ★★★ ②在同圆或等圆中，d=2r,即直径是半径的2倍，所有的半径都相 等，所有的直径都相等。 37 圆和扇形 ③圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴。 ④圆周长与直径的比值，用“π”表示，π是无限不循环小数，一般近 似取π3.14。 ⑤一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 ①长方体。 ★★★ 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）的立体图形叫做 长方体，长方体相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等， 长方体和正 有8个顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 38 方体 正方体。 ②六个面都是正方形的立体图形叫做正方体，正方体六个面的面积相 等，有12条棱，棱长都相等，有8个顶点，正方体可以看作特殊的 长方体。 ①圆柱。 ★★★ 上下是圆，侧面展开是长方形：以长方形一条边所在直线为轴旋转 周形成圆柱。 39 圆柱和圆锥 ②圆锥。 底面是圆，侧面展开是扇形：以直角三角形一条直角边所在直线为轴 旋转一周形成圆锥。 40 周长 封闭图形一周的长度。 ★ 41 面积 面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。 ★ ①体积：用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。 ★★ 42 体积和容积 ②容积：一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量。 第12页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 ①条形统计图：便于直观了解数据的大小及不同数据的差异。 ★★ ②折线统计图：便于直观了解数据的变化趋势，也便于了解数据的大 43 三大统计图 小。 ③扇形统计图：便于直观了解各部分数量占总数量的百分比，以及各 部分之间的大小关系。 第13页共286页 品学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 【小升初考前必背02】运算定律篇 运算律和运算性质 基本内容 字母表示 加法交换律 交换两个加数位置和不变。 a+b=b+a 先把前两个数相加，再加第三个数，或者先后 加法结合律 a+b+c=a+(b+c) 两个数相加，再加第一个数，和不变。 乘法交换律 交换两个因数位置积不变。 axb=bxa 先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先 乘法结合律 axb×c=ax(bxc) 把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。 两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分 乘法分配律 ax(b+c)=a×b+aXc 别与这个数相乘，再把两个积相加。 个数减去两个数的和，等于这个数依次减 a-(b+c)=a-b-c 减法性质 去这两个数。 个数除以两个数的积，等于这个数依次除 a÷(b×c)=a÷b÷c 除法性质 以这两个数。 第14页共286页 命学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 【小升初考前必背03】单位换算篇 单位名称 换算方法 1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米 长度 1米=100厘米 1厘米=10毫米 1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米 面积 1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米 1立方米=1000立方分米=1000升1立方分米=1000立方厘米 体（容）积 1立方分米=1升1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤1斤=500克 人民币 1元=10角 1角=10分1元=100分 1世纪=100年1年=12月： 一三五七八十腊，三十一天永不差：四六九冬三十天，平年二月二十八； 时间 平年365天，闰年366天： 1小时=60分钟1分钟=60秒1小时=3600秒： 十二生肖先后顺序：鼠牛虎兔龙蛇，马羊猴鸡狗猪。 第15页共286页 函学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 【小升初考前必背04】图形公式篇 图形名称 图形实例 周长C 面积S 正方形 Aa a 长方形 2(a+b) ab 三角形 a+b+c % 6 平行四边形 2(a+b) ah 梯形 atb+c+a (a+b)h 2 h d 圆 2n八πd Tr2 扇形 nnd +d n元r2 360 360 第16页共286页 扇学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 圆环 S*=π(R2-r） 外圆内方 S影=元72-22 =(π-2)r2 外方内圆 S影=42-π72 =(4-π)r2 图形名称 图形实例 表面积 体积 正方体 6a2 a 长方体 2(ab+ah+bh) abh 圆柱体 2元7h+2π2 π2h 圆锥体 πr2h 元r2+πl 3 第17页共286页 丽学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 【小升初考前必背05】应用公式篇 类型 公式 和倍 “1”=和÷（倍+1） 差倍 “1”=和÷（倍-1) 和差倍 大数=（和+差）÷2 和差 小数=（和差）÷2 正归一 单一量×份数=总量 归一问题 反归一 总量÷单一量=份数 还原问题 逆运算推导原数 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 归总问题 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 基本 间距数=总长÷间距长 两端都种：棵树=间距数+1 植树问题 直线植树 两端都不种：棵树=间距数-1 一端种一端不种：棵树=间距数 环形植树 棵树=间距数 盈亏问题 份数=（盈+亏)÷分配差 盈亏问题 盈盈问题 份数=（大盈小盈）÷分配差 亏亏问题 份数=（大亏小亏）÷分配差 年龄问题 年龄差不变，转换成和差倍问题 假设全是鸡，少了几条腿： 鸡兔同笼 假设法 除以腿的差，就是兔的数。 算术平均数 数量和÷数量=算术平均数 平均数问题 加权平均数 (部分×权数)总和：权数和=加权平均数 行程问题 基本行程 速度×时间=路程 第18页共286页 扇学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 相遇问题 速度和×相遇时间=路程和 追及问题 速度差×追及时间=路程差 顺水速度=船速+水速 流水行船 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 火车过桥 路程和=车长+桥长 量率对应问题 单位“1”=分量分率 发芽率=发芽种子数/试验种子数×100% 小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100% 百分率问题 产品的合格率=合格的产品数/产品总数×1.00% 分数和百分 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100% 数应用题 溶质质量 浓度 ×1006 溶液质量 浓度问题 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比 按比例分配问题 来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 比和比例应 方法：先求一份量，再求部分量 用题 第1步：统一不变的单量； 不变量问题 第2步：统一一份量； 第3步：求解一份量。 利润=售价一成本 利润率=利润÷成本×100% 利润问题 (售价÷成本一1)×100% 经济问题 打八折：按定价的80%出售 利息=本金×利率×时间 利息问题 利息税=本金×利率×时间×税率 浓度问题 溶液重量=溶质重量十溶剂重量 第19页共286页 扇学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 浓度=溶质重量÷溶液重量×100% 溶液重量×浓度=溶质重量 溶质重量÷浓度=溶液重量 工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量：工作时 间 工程问题 工作时间=工作总量÷工作效率；工作总量：工作效率和=合作 时间 1.把n+1或多于n+1个苹果放在n个抽屉里，其中一定有抽屉 抽屉原理 里至少有两个苹果。 2.最不利原则：极限讨论，考虑最不利或最倒霉的情况。 第20页共286页 学科网 www zxx k com 让教与学更高效 02 命 题 解读，考点预测 一、 数与量的认识十三种命题预测 【命题解读】 数的认识一直是小学数学最为基础的内容之一，它主要涉及到三种数，即整数、小数和分 数（百分数），它经常是各学段各期末的重点考察内容，对其概念考察也是小升初的必考内容。 常见的量包括时间单位、质量单位、长度单位、面积单位、体积（容积）单位等，一直作 为小数数学基础内容存在，对于学生的实践认知和量感构建十分重要。 近年来的考察主要以数的基础认识和综合转化运用为主，题型上填空、选择、判断、计算 都有涉猎，一般难度不大，但容易出错，另外，关于正负数的意义以及在数轴上的应用也是今 年常考题型。 总之，解决数的综合问题，关键在于熟悉各类型数的基础概念，并能熟练掌握数与数之间 的形式转化，构建起数感和认知体系，这是考察的重点方向，也是后续进入中学进行实数学习 的基础。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数的读法与写法·数的改写与近似数 ★★ 选、填 2 整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化 ★★★★★ 选、填 3 整、小、分、百、正数、负数综合比较 ★★★ 选、填 4 因数与倍数·奇数与偶数质数与合数 ★★ 选、填 5 2、5、3的倍数特征 ★ 选、填 6 最大公因数与最小公倍数的三种求法 ★★★ 选、填 7 最大公因数与最小公倍数综合应用 ★★★ 选、填、解 8 常用的量单位的认识与选择 ★ 选、填 9 常用的量单位的进率与换算 ★ 选、填 10 倒数 ★★ 选、填 第21页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 11 单位1与等量关系式 ★ 填 12 正数与负数 ★★ 选、填 13 经过时间的计算 ★★ 选、填 【预测命题方向01】数的读法与写法•数的改写与近似数★★ 1.(2025·河南商丘·小升初真题)阅读下面的信息，根据要求填空。日前，泉州市统计局发 布《2018年泉州市国民经济和社会发展统计公报》，根据核算，泉州市土地面积约 11015( ),全市常住人口约8700500人。实现地区生产总值8467.98亿元，连续20年 保持全省第一。 (1)在括号内填入合适的单位名称。 (2)横线上的数读作( ),改写成以万”为单位的数是( )人 (3)生产总值保留整数约是( )亿元。 【答案】1)平方千米/km2 (2) 八百七十万零五百 870.05万 (3)8468 【分析】(1)1公顷大约一个操场的大小，一平方千米大约是边长1000米的正方形大小，计 量城市的土地面积，选用平方千米作单位。 (2)大数读法： 先分级；从右往左每四个数为一级，每级读法按照个级读法来读，后面加个万或亿字，中间有 几个0都只读一个0，末尾的0都不读。改写成以“万”为单位的数在万位后面点上小数点即可。 (3)根据四舍五入的方法，看十分位上的数字进行取舍。 【详解】(1)泉州市土地面积约11015平方千米。 (2)读数时分级读，8700500分为万级870和个级0500，读作八百七十万零五百；改写成以“万” 为单位的数是870.05万。 (3)8467.98的十分位是9，大于5，向个位进1： 即生产总值保留整数约是8468亿元。 2.（2025·内蒙古乌兰察布·小升初真题)文艺汇演给学生提供了一个展示才艺和个性的舞台。 本次文艺汇演演唱类节目占28.4%，舞蹈类节日占百分之二十一。 (1)28.4%读作( 百分之二十一写作( 第22页共286页 品学科网 wwWw,ZX×k.Com 让教与学更高效 (2)去掉28.4%后面的百分号，相当于将原数扩大到原来的( )倍。 【答案】（①） 百分之二十八点四 21% (2)100 【分析】(1)百分数的读法：先读百分号，再读数字，读作“百分之.。百分数的写法：先写 出百分之后面的数，之后在这个数后面加%。 (2)28.4%去掉百分号后变成28.4，而原来的28.4%化成小数是0.284,28.4÷0.284=100，即 去掉百分号后扩大到原来的100倍。 【详解】(1)28.4%读作百分之二十八点四 百分之二十一写作21% (2)28.4-0.284=100 所以去掉28.4%后面的百分号，相当于将原数扩大到原来的100倍。 3.（2025·贵州黔东南·小升初真题)下列有8个数：0、3.2、-5.6、78、- 8、3.14、952、 - 60,其中( )是整数：( )是正数：( )是负数。 【答案】 0、78、952、-60 3.2、78、3.14、952 -5.6、 8、60 【分析】整数包括正整数、负整数和零，且没有小数部分（即不是分数或小数）。大于零的数 是正数，小于零的数是负数，据此解答。 【详解】0、32、-56、78、-8314、952、-60 整数：0、78、952、-60： 正数：3.2、78、3.14、952： 1 负数：-5.6、8’~60。 下列有8个数：0、32、-5.6、78、-日、314、952、-60，其中0、78、952、-60是整数， 32、78、314、952是正数，-56、-日，-60是负数. 【预测命题方向2】整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化★★★★★ 1.(2025河北保定·小升初模拟)( ):16=12÷( )=0.25=1=（ )% 60 =( )(填成数)。 【答案】4：48：15：25：二成五 【分析】0.25=，根据分数与除法的关系}=14，除法里的被除数对应比的前项、除数对应 第23页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 后项，因此1÷4=1：4；根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外）， 比值不变)：比的前、后项都乘4就是4：16：根据商不变的规律（被除数和除数同时乘或除 以相同的数(0除外)，商不变)：被除数1乘12，除数4也乘12，就是12÷48。根据分数的 基本性质（分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外），分数的大小不变)：1的分 子、分母同时乘15就是品：小数转化为百分数的方法是“小数点右移两位+百分号：025的 小数点右移两位是25，加上百分号就是25%；百分数与成数的关系：几成几就是百分之几十 几，百分之几十几就是几成几：几成就是百分之几十，百分之几十就是几成。 【详解】根据分析：4：16=12÷48=0.25=5 =25%=二成五 60 2.（2025·四川巴中·小升初真题) )÷20=( )%=3：4=( 折。 【答案】子：15：75：七五 【分析】根据比与分数的关系，3：4=子，所以第一空和第三空分别填3、4。 根据比与除法的关系3：4=3÷4，除数从4变为20,20÷4=5，即除数乘5，那么被除数也要 乘5，即3×5=15，所以15÷20=3：4，第三空填15。 因为3：4=3÷4,3÷4=0.75，把0.75的小数点向右移动两位，添上百分号就是75%，第四空 填75。 根据折扣的意义，百分之几十就是几折，75%就是七五折，第五空填七五。 【详解】由分析可知： =15*20=75%=3:4=七五折 3 【预测命题方向03】整、小、分、百、正数、负数综合比较★★★ 1. (2025-河北石家庄小升初真题)在0.143、14%、0.143、7、-0.1433中，最大的数是 ),最小的数是( )。 【答案】 0.143 -0.1433 【分析】小数比较大小的方法：看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大：整数部分相同 的，十分位上的数大的那个数就大：十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大， 第24页共286页 动学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 依次往右进行比较，直到比出大小为止： 有几个不同形式的数比较大小，一般情况下，都化为小数进行比较得出答案；分数化小数，用 分子除以分母；百分数化小数，将小数点向左移动两位，再去掉百分号；循环小数改写成一般 形式，多写出小数部分的几位数： 正数和负数比较大小：负数小于正数：据此解答。 【详解】14%=0.14、0.1430.143143、70.142857 0.143143>0.143>0.142857>0.14>-0.1433 所以最大的数是0.143，最小的数是-0.1433。 2.(2025海南海口小开初真题)在-1005、}、-78和0这五个数中，最大的是( 最小的是( ) 【答案】 3-5 -10 【分析】分数化成小数，用分子除以分母即可。 0既不是正数也不是负数。比0大的是正数，正数的数字越大，数值就越大：比0小的是负数， 负数的数字越大，数值反而就越小：也就是负数都比0小，正数都比0大，正数都比负数大。 【详解】 =3÷5=0.6 0.6>0.5>0>-7.8>-10 即>0.5>0>-78>-10 这五个数中，最大的是，最小的是-10。 【预测命题方向04】因数与倍数•奇数与偶数·质数与合数★★ 1.(2025·广西桂林·小升初真题)有一个数，它既是60的因数，也是60的倍数，这个数是 ),它的因数中是质数的有( )。 【答案】 60 2、3、5 【分析】因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以根据一个数，它既是60的因数， 又是60的倍数，可知这个数就是60：应用列乘法算式法找出60的所有因数。质数是指在大 于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。1既不是质数也不是合数，根据 质数的定义，解答即可。 【详解】这个数既是60的因数，又是60的倍数，所以这个数就是60。 第25页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 60=1×60,60=2×30,60=3×20,60=4×15,60=5×12,60=6×10,所以60的因数有1、2、 3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 因数中是质数的有2、3、5。 2.(2025·甘肃临夏·小升初真题)某一景区的WIFI密码有八位数字组成，3A71806B,A是6 和9的最大公数，B既是奇数也是合数，则这一景区的WIFI密码是 3( )71806( ) 【答案】 3 9 【分析】①将6和9分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘即可求出两个数的最 大公因数： ②找到09中既是奇数又是合数的数字即可。 【详解】①6=2×3：9=3×3，则6和9的最大公约数为3： ②0~9中0是偶数，1是奇数既不是质数也不是合数；2是质数也是偶数；3是奇数也是质数； 4是偶数也是合数，5是奇数但是质数，6是偶数也是合数，7是奇数但是质数，8是偶数也是 合数，9即使奇数也是合数，既是奇数又是合数的数字只有9。 某一景区的WIFI密码有八位数字组成，3A71806B,A是6和9的最大公约数，B既是奇数也 是合数，则这一景区的WIFI密码是33718069。 【预测命题方向05】2、5、3的倍数的特征★ 1.(2025·湖北武汉·小升初真题)袋子里有写着1~6的数字卡片各一张，任意摸出两张组成 个两位数。其中是5的倍数的两位数有( )种可能情况：是3的倍数的两位数有 )种可能情况。 【答案】 10 【分析】5的倍数特征：个位是0或5的数字是5的倍数：3的倍数特征：各个数位上数字之 和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可。 【详解】根据分析： 15、25、35、45、65是5的倍数，其中是5的倍数的两位数有5种可能： 12、15、24、36、45、21、51、42、63、54是3的倍数，其中是3的倍数的两位数有10种可 能。 【点睛】本题考查5和3的倍数特征，明确它们的特征是解题的关键。 2.（2025·安徽毫州小升初真题)四位数3口4口，如果它是2和5倍数，这个数最小是( 第26页共286页 品学科网 www.zxx k.com 让教与学更高效 如果它是2和3的倍数，这个数最大是( ) 【答案】 3040 3948 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8： 3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数： 5的倍数特征：个位是0或5。 对于同时是2和5的倍数，先根据其特征确定个位数字，再确定使数最小的百位数字：对于同 时是2和3的倍数，先根据2的倍数特征确定个位可能的取值，再结合3的倍数特征确定使数 最大的百位和个位数字。 【详解】同时是2和5的倍数，个位必须是0，此时四位数形式为3口40，要使数值最小，，百 位上应填最小的自然数0，即3040。 同时是2和3的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，要使这个数最大，先考虑个位取最大的8， 此时这个数为3o48。计算3+4+8=15,15是3的倍数。百位上可以填0、3、6、9，要使这 个数最大，百位应填9，所以这个数最大是3948。 即四位数3口4口，如果它是2和5倍数，这个数最小是3040：如果它是2和3的倍数，这个数 最大是3948。 会【预测命题方向06】最大公因数与最小公倍数的三种求法★★★ 1.(2025·浙江台州·小升初模拟)两个非零自然数a和b,如果a-b=8,那么a和b的最小公 倍数是( ),最大公因数是( ):如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的 最小公倍数是( ),最大公因数是( 【答案】 b ab 1 【分析】两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中，最大的一个，叫做它们的最大公因数： 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，最小的一个，叫做它们的最小公倍数： 两个非零的自然数，如果它们是倍数关系，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大 公因数。如果它们是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它们的最大公因数是1。 【详解】ab=8,那么a和b的最小公倍数是a,最大公因数是b;a和b是两个不同的质数， 那么a和b的最小公倍数是ab,最大公因数是1。 2.(2025·山东·小升初模拟)已知a=m×2×3,b=×3×7(m是不为零的自然数)，如果a和b的 最大公因数是6，那么a和b的最小公倍数是( )。 【答案】84 第27页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【分析】两个合数分解质因数后，相同的质因数的乘积是两个合数的最大公因数，所有相同的 和不同的质因数的乘积是两个合数的最小公倍数。 【详解】已知a=m×2×3,b=m×3×7(m是不为零的自然数)，所以a和b的最大公因数是3m 所以，3m=6 =6÷3 l=2 a和b的小公倍数为： 2×3×2×7 =6×14 =84 【预测命题方向07】最大公因数与最小公倍数综合应用★★★ 1.(2025·浙江杭州·小升初真题)有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成 若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样 的小正方形？ 【答案】20厘米；12个 【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，就是求80和60的最大公因数，求至少可 以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积，由此解答即可。 【详解】80=2×2×2×2×5,60=2×2×3×5 80和60的最大公因数是2×2×5=20 即裁成的小正方形的边长最大是20厘米。 (80×60)÷(20×20) =4800÷400 =12(个) 答：剪出小正方形的边长最大是20厘米，至少可以剪12个这样的小正方形。 2.(2025·贵州安顺小升初真题)爸爸带着扬扬一起跑步，爸爸每跑一圈用时4分钟，扬扬 每跑一圈用时6分钟。如果爸爸和扬扬在起点同时沿同一方向起跑，两人在起点再次相遇时， 爸爸和扬扬分别跑了多少圈？ 【答案】爸爸3圈：扬扬2圈 【分析】根据题意，爸爸每跑一圈用时4分钟，扬扬每跑一圈用时6分钟，两人在起点同时沿 第28页共286页 学科网 www.zxx k.com 让教与学更高效 同一方向起跑，那么两人在起点再次相遇的时间是4和6的最小公倍数： 先把4和6分解质因数，再把它们的公有质因数和各自独有质因数的相乘，积就是它们的最小 公倍数。用最小公倍数分别除以两人跑一圈所用时间，即是两人分别跑的圈数。 【详解】4=2×2 6=2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3=12 即每12分钟两人在起点再次相遇。 12÷4=3(圈) 12÷6=2(圈) 答：两人在起点再次相遇时，爸爸跑了3圈，扬扬跑了2圈。 【预测命题方向08】常用的量·单位的认识与选择★ 1.(2025·山东青岛·小升初真题)选择合适的数，填在相应的括号里（每个数只能选一次）。 15011.513505015 小军是六年级的学生，体重( )千克，身高( )厘米，每天早上6：00起床，洗 漱、收拾房间、吃饭用( )小时，然后去学校，学校离家( )米，他步行的速度 是( )米/秒，走( )分钟到学校 【答案】 50 150 1 1350 1.5 15 【分析】根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活 的选择.根据生活经验、对长度和质量单位大小的认识和数据的大小，根据计量单位应选择合 适的数据，据此解答即可。 【详解】小军是六年级的学生，体重50千克，身高150厘米，每天早上6：00起床，洗漱、 收拾房间、吃饭用1小时，然后去学校，学校离家1350米，他步行的速度是1.5米/秒，走15 分钟到学校。 2. (2025·江西赣州·小升初真题)学校开展劳动实践，张杰班同学在菜地劳动，他用一把 1.5( )长的铁锹松土，准备种植蔬菜。菜地的面积20( ),他们先施肥，每块地 大约用2( )的肥料。再用容量为10( )的水桶给菜地浇水。 【答案】 米/m 平方米m2 千克/kg 升L 【分析】铁楸长度需用长度单位，厘米、分米较短，1.5米是比较符合实际的铁锹长度； 菜地面积需用面积单位，平方厘米、平方分米较小，20平方米是比较合理的菜地面积大小： 第29页共286页 学科网 www.zxx k.com 让教与学更高效 肥料用量需用质量单位，克较少，吨较多，每块地用2千克肥料是比较符合实际情况的： 水桶容量需用容积单位，毫升用于计量较少液体的体积，升用于计量较多液体的体积，容量为 10升的水桶是常见的。 【详解】学校开展劳动实践，张杰班同学在菜地劳动，他用一把1.5米长的铁锹松土，准备种 植蔬菜。菜地的面积20平方米，他们先施肥，每块地大约用2千克的肥料。再用容量为10 升的水桶给菜地浇水。 【预测命题方向09】常用的呈单位的进率与换算★ 1. (2025广东揭阳·小升初模拟) 0.75时=( )分 3600立方分米=( )立方米 5060克=( )千克 6.78元=( )分 【答案】 45 3.6 5.06 678 【分析】高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率，1时=60分， 1立方米=1000立方分米，1千克=1000克，1元=10角=100分，据此分析。 【详解】0.75×60=45，所以0.75时=45分 3600÷1000=3.6,所以3600立方分米=3.6立方米 5060÷1000=5.06,所以5060克=5.06千克 6.78×100=678,所以6.78元=678分 2. (2025·重庆梁平·小升初真题) 6.05时=( )时( )分 40千克60克=( )千克 50000公顷=( )平方千米 9.4立方米=( )升 【答案】 6 3 40.06 500 9400 【分析】根据进率：1时=60分，1千克=1000克，1平方千米=100公顷，1立方米=1000 升：从高级单位向低级单位转换，乘进率：从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】(1)6.05时=6时+0.05时，0.05×60=3（分），所以6.05时=6时3分： (2)60÷1000=0.06(千克)，40+0.06=40.06（千克），所以40千克60克=40.06千克： (3)50000:100=500(平方千米)，所以50000公顷=500平方千米： (4)9.4×1000=9400(升)，所以9.4立方米=9400升。 第30页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【预测命题方向10】倒数★★ 1. (2025河南郑州小升初真题)如果m和互为倒数，则4？×2=( m2 m n 【答案】6 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，除以一个数(0除外)等于乘这个数的倒数，据此计算 化简即可。 【详解】4”上×2 n 2 m n =4×21×2 nl n nl n 4×21×2 ll×nl×n 82 ll×nl×n 、6 l×n 因为mxn=1, 即6=6=6 m×n1 所以如果m和n互为倒数，则4：”上×2=6。 m 2 m n 2. (225潮北武汉小升初真想)A号=B品-C号=D15A、B、《、D为非0的正数)。 2 最大的是( ),最小的是( )。 【答案】 B A 【分析】假设A=B0=C=D15=1,根据因数=积月一个因数被降数=商：除 3 2 数，分别求出A、B、C、D的值，然后比较即可解答。 【详解】假设A}B六-C号D15=1, 3 A=1*2 2 二13 B20 1 =1 第31页共286页 动学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 B=1动 =1×20 =20 c3=1 2 c=12- D-15=1 D=1×15=15 20>15>>,所以B>D>c>A 2 所以A=B =C?=D15(A、B、C、D为非0的正数)。最大的是B,最小的是A。 1 20 2 【点睛】本题的解题关健是运用赋值法，先假设A×B。=C=D=15=1的结果为1， 2 再利用乘除逆运算分别算出A、B、C、D的具体数值，最后通过比较这些数值的大小，确定 其中最大和最小的数。 【预测命题方向1】单位“1"与等呈关系式★ 1.(2025·四川成都小升初真题)张欢的身高的和肖恩一样高其中单位1的量是( ): 他们之间的等量关系式为：张欢的身高×( )=肖恩的身高。 【答案】 张欢的身高 6-7 【分析】根据判断单位1的方法：一般是把比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即 分数“的字前面的量看作单位“1”，所以题目中把张欢的身高看作单位“1”，根据分数乘法的意 6 义，可知张欢的身高×)=肖恩的身高。 【详解】“张欢的身高的9和肖恩一样高其中单位“1的量是张欢的身高；他们之间的等量关 系式为：张欢的身高×=肖恩的身高。 2. (2025·甘肃天水·小升初真题)把一根5米长的绳子平均分成4段，每段是( )米， 每段是这根绳子的( ) 【答案】 【分析】本题考查分数的意义以及分数与除法的关系。区分“具体的数量”和“分率”是解题的关 第32页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 键。第一个空求的是每段的具体长度，属于数量，用总长度除以段数：第二个空求的是每段占 全长的几分之几，属于分率，把全长看作单位“1”，平均分成4份，每份占全长的四分之一。 【详解】求每段的具体长度：根据分数与除法的关系，用总长度除以段数。 5=4-(米)所以每段是米。 求每段占这根绳子的几分之几：把这根绳子的全长看作单位1”，平均分成4段，每段是其中 的1份。 14=所以每段是这根绳子的子 故每段是米，每段是这根绳子的} 【预测命题方向12】正数与负数★★ 1.（2025·河南信阳·小升初真题)某牌面包的包装袋上有这样的标记：100士5g,和标准质量 比较，把面包净重104g记作+4g,那么面包净重98g记作( )。妈妈买回5袋面包依 次称重，分别记录为：十0.2g、一7g、0g、一5g、十3g,这5袋面包的合格率是( )%。 【答案】 -2g 80 【分析】100±5g表示吐司面包的质量比标准质量100g多或少5g都是合格的：+4g表示比标 准质量多4g,把比标准质量多的记作正数，则比标准质量少的记作负数：那么面包净重98g 比标准质量少，应记作负数：+0.2g表示比标准质量多0.2g:一7g表示比标准质量少7g:0g 表示正好等于标准质量；一5g表示比标准质量少5g;+3g表示比标准质量多3g；数出符合 100±5g有4袋，合格数量除以总数量即为合格率，据此解答。 【详解】100-98=2（克） 4÷5=0.8=80% 所以面包净重98g记作-一2g,5袋面包的合格率是80%。 2.（2025·河南郑州洲·小升初真题)如下图，若点A表示的数是0.1，那么点C表示的数是 ( ):若点B表示的数是1，那么点A表示的数是( ):若点C表示的数是10， 那么点D表示的数是( )。 0A十BC> 【答案】 05时 025 -10 【分析】点A表示的数是0.1，则单位长度表示0.1,0到点C有5个单位长度，说明点C表 第33页共286页 品学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 示的数是0.5： 把0到点B的长度看作单位“1%，把单位“1平均分成4份，其中的一份用分数表示为，即点 A表示的数是 数轴上的数以0为分界点，0左边的数小于0是负数，0右边的数大于0是正数：0到点D的 距离和0到点C的距离相等，点C表示的数是10，则点D表示的数是-10，据此解答 【详解】若点A表示的数是0.1，那么点C表示的数是0.5：若点B表示的数是1，那么点A 表示的数是：若点C表示的数是10，那么点D表示的数是-10。 【预测命题方向13】经过时间的计算★★ 1.(2025·山东·小升初真题)北京时间2025年4月24日17时17分，中国神舟二十号载人 飞船搭载陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员在酒泉卫星发射中心发射升空，于2025年4月24 日23时49分成功对接于空间站天和核心舱径向端口，请你计算一下载人飞船从发射到成功对 接历经了( )时( )分。 【答案】 6 32 【分析】由题意知：2025年4月24日17时17分开始发射，于2025年4月24日23时49分 成功对接，根据经过时间=结束时刻一开始时刻，代入数据计算即可。 【详解】23时49分-17时17分=6时32分 所以载人飞船从发射到成功对接历经了6时32分。 2.（2025·辽宁辽阳·小升初真题)某食品的外包装上标注的生产日期是2025年6月1日，保 质期是18个月。那么该食品最迟要在( )年( )月( )日前食用才能保证 安全。 【答案】 2026 12 1 【分析】生产日期是2025年6月1日，保质期是18个月，1812=1（年）6（月），即 18个月是1年6个月。从2025年6月1日开始，经过1年是2026年6月1日，再经过6个 月，6月1日加上6个月，6月1日加上6个月是12月1日。 【详解】1812=1（年）..6（月） 2025年6月1日+1年6个月=2026年12月1日 该食品最迟要在2026年12月1日前食用才能保证安全。 第34页共286页 命学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 二、数的运算七种命题预测 【命题解读】 数的运算是小学数学最为重要的内容之一，小升初主要考察各类数的四则混合运算、简便 计算以及解方程或解比例，因为涉及到多种数以及数的多种转化，计算综合性比较强，考察知 识一般以下四点为主，即： 一是考察四种数之间的互相转化； 二是考察四种数之间的四则基础计算和方程的一般解法； 三是考察四则混合运算： 四是考察简便计算以及常用巧算法： 总之，熟练掌握四则运算关系、基础算法以及基本运算定律是正确计算的关键，另外，本 部分所涉及的十三种巧算法一般以思维拓展题型为主，涉及题型难度非常大，不适合作为一般 性内容进行讲解或训练，具体详情可参考编者的“小升初典型例题系列”。 日【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数的运算·基础运算 ★ 选、填、计 2 数的运算·和差积商四大运算规律 ★ 选、填 3 数的运算·运算律 ★ 选、填、判 4 数的运算·四则混合运算 ★★★★★ 计 数的运算·简便运算 ★★★★★ 计 6 数的运算解方程和解比例 ★★★ 计 7 数的运算列式计算 ★★ 计 【预测命题方向01】数的运算·基础运算★ 1.(2025·甘肃兰州·小升初真题)下面四个算式中，“5和4可以直接相加、减的是( A.352-174 B.7.5+3.49 5,4 C.911 D.5-号 【答案】B 第35页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【分析】判断两个数字能否直接相加减，核心是看它们是否处于相同的数位或是否是同分母分 数的分子。 【详解】A.352的5”在十位，174的4在个位，计数单位不同，不能直接相减。 B.7.5的5”在十分位，3.49的4也在十分位，二者计数单位都是十分之一，计数单位相同， 可以直接相加。 C.两个分数分母不同， 的计数单位是)，音的计数单位是品：计数单位不同，不能直接相 加。 D.整数“5的计数单位是1， 号中4的计数单位是，计数单位不同，不能直接相减。 2. (2025·山东菏泽·小升初真题)下面的算式计算结果比1大的是( ) 13 A.25 1.3 13 31 B.25 C.25 D.52 【答案】C 【分析】分别计算四个选项算式的结果，再与1比较大小即可。 A.分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分： B.根据除以一个非零数等于乘这个数的倒数，将除法转换成乘法计算： C.异分母分数相加减，先通分化成同分母分数，再分子相加减： D.异分母分数相加减，先通分化成同分母分数，再分子相加减。 【详解】A.分0，高<1，该选项不符合 B.25 13 15 23 U 三 6 二<1，该选项不符合： 13 5,6 1010 11 10 10 该选项符合： 第36页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 D. 65 1010 1 10 <1,该选项不符合· 10 计算结果比1大的是。 故答案为：C 会 【预测命题方向02】数的运算·和差积商四大运算规律★ 1.(2023·湖南怀化小升初真题)已知☆一7=8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的 差是( ):已知o+口=8，如果两个数加数同时增加3，那么现在的和是( 【答案】 8 14 【分析】如果被减数和减数同时增加几，差不变。一个加数不变，另一个加数增加几，和就增 加几。据此解答。 【详解】已知☆一7=8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是8：已知o+口=8，如 果两个数加数同时增加3,8+3+3=14，那么现在的和是14。 2. (2024全国·小升初真题)根据28×45=1260，写出下面各题的得数。 2.8×4.5=( )1260÷2.8=( )12.6÷0.045=( 【答案】 12.6 450 280 【分析】①新的乘法算式与原来的算式比较，两个乘数的小数点都向左移动了一位，那么乘积 的小数点应该向左移动两位，即12.60，其中，小数部分末尾的0可以省略： ②由原来的乘法算式可以得到除法算式：1260：28=45，对比发现，新算式的被除数不变，除 数的小数点向左移动一位（变成原来的。），那么商就应该变成原来的10倍，也就是450： ③由原来的乘法算式可以得到除法算式：1260-45=28，再把12.6-0.045的被除数和除数同时 扩大到原来的100倍，得到1260÷4.5，此时商保持不变，再对比可发现，新算式中被除数不变， 除数的小数点向左移动一位（变成原来的。），那么商就应该变成原来的10信，也就是280。 【详解】2.8×4.5=12.6；1260÷2.8=450：12.6÷0.045=280 3.(2022山东临沂·小升初真题)在（)里填>”、“<”或=”。 第37页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 1 4( 46.8÷1.2( )46.8 125%( )g 34 8g( 【答案】 < > < 【分析】把节分数4化成假分数是兴，所以填等于号：一个不为0的数除以大于1的数，商 小于这个数，12>1，所以46.8=12<468：把125%、化成小数分别是125和12，所以填 大于号 :一个不为0的数乘小于1的数：积小于这个数，音<1，所以后号<号： 【详解】19=43 4 46.8÷1.2<46.8 125%> 5 【点睛】本题考查了灵活比较分数大小的掌握情况。 【预测命题方向03】数的运算运算律★ 1.(2025·天津宁河·小升初真题)请将等式补充完整，并说明运用了哪种运算律。 (1)23×98十23×2=23×(98+)，运用了( )律。 (2)(11×8)×125=11×( × ),运用了( )律。 【答案】() 2 乘法分配 (2) 8 125 乘法结合 【分析】(1)观察两个乘法算式，可以看到两个算式中都有乘数23，根据乘法分配律，a×b +a×c=a×(b+c),转化为23×(98+2)计算。 (2)因为8×125=1000，乘积是整千数，能够简便计算，所以运用乘法结合律，先算8×125， 再乘11。 【详解】(1)23×98+23×2=23×(98+2)，运用了乘法分配律。 (2)(11×8)×125=11×(8×125),运用了乘法结合律。 2.（2025·安徽宿州洲小升初真题)以下是25×48的三种计算方法，请尝试说明下面各种计算 的道理。 第38页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 ① ② ③ 25×48 25×48 25 =25×(4×12) =25×(40+8) ×48 =(25×4)×12 =25×40+25×8 200 =1200 =1000+200 100 =1200 1200 ①( ):②( ):③( ) 【答案】 运用了乘法结合律 运用了乘法分配律 先算8个25的和，再算40个 25的和，最后把两个和相加。 【分析】①把48看作4×12，再运用乘法结合律进行计算： ②把48看作40+8，再运用乘法分配律进行计算； ③根据乘法的意义，先算8个25的和，再算40个25的和，再把两个和相加：据此解答。 【详解】根据题意与分析可得： ① @ ③ ①运用了乘法结合律。 25×48 25×48 25 =25×(4×12) =25×(40+8) ×48 =(25×4)×12 =25×40+25×8 200 ②运用了乘法分配律。 =1200 =1000+200 100 =1200 1200 ③先算8个25的和，再算40个25的和 最后把两个和相加。… 【预测命题方向04】数的运算四则混合运算★★★★★ 1. (2025·四川绵阳·小升初真题)脱式计算。 48 6- 47 18.75-1÷ 25 ÷0.46 12 【答案】 20 【分析】石+言包 先算小括号里的，再算括号外的除法： 47- 18.75-1÷ 26 ÷0.46，先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，再算中括号里的 15 25 乘法，然后算中括号里的减法，最后算中括号外的除法。 【详解】 48 第39页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 s、1 16 3 84】 4848484848 1.17 4 48 1 48 4817 17 47-18.75-1÷ 8x26÷046 15225 47-18.75-1× 15 6 ÷0.46 25 =[47-18.75-1.875)x2.24÷0.46 =[47-16.875×2.24]÷0.46 =[47-37.8]÷0.46 =9.2÷0.46 =20 2.(2025·河南郑州·小升初真题)脱式计算。 2450-450÷18×25 571-1 161642 【答案】1825； 16 【分析】(1)遵循先乘除后加减的运算顺序，乘除运算从左往右依次计算： (2)遵循先算括号内，再算乘除，最后算加减的运算顺序。 【详解】(1)2450-450÷18×25 =2450-25×25 =2450-625 =1825 (2) 5(74).1 16+16162 5.3,1 16+162 第40页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 53 ×2 二1616 5.6 =6+6 11 【预测命题方向05】数的运算·简便运算★★★★★ 1.(2025河南信阳·小升初真题)怎样简便怎样算。 25×12.5×32 18x(+名) 53.2×10 46.8×0.3 【答案】10000：5：30 【分析】4×8=32，应用乘法交换律和结合律，用25与4的积乘12.5与8的积； 用乘法分配律进行简便计算： 把品换算皮03，用乘法分配律进行筒便计第。 【详解】25×12.5×32 =25×12.5×(4×8) =(25×4)×(12.5×8) =100×100 =10000 18兮+ 6 =18x+18-18x 6 =2+6-3 =8-3 =5 532×3 0 +46.8×0.3 =53.2×0.3+46.8×0.3 =(53.2+46.8)×0.3 =100×0.3 =30 2.(2025·四川小升初真题)计算下面各题，怎样简便就怎样算。 第41页共286页 品学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 ①6x821 19738 55+25×75 ② 1327 ③68×9+33×909%-0.9 10 【答案】①品： ②56：③90 6838 6388 【分析】①把除法转化为乘法，原式转换成9.然后利用乘法交换律转换成99， 据此进行计算。 ②利用乘法分配律转换皮名75子5+35，据此进行计算。 5 ③把0.9看作(0.9×1)，然后把百分数、小数都转化为分数，再利用乘法分配律逆运算进行计 算。 【详解】0合号 =6838 19721 6388 19217 4×8 77 32 49 132,7 ②5525 75 13 75-5×7万、 =65-30+21 =35+21 =56 ③68 9+33×90%-0.9 1 =68x9 33 9 9 10 1010 =(68+3-1D×10 9 =1008 =90 【预测命题方向06】数的运算·解方程和解比例★★★ 1.(2025·云南昭通·小升初模拟)解方程。 第42页共286页 品学科网 w ww.zxx k.com 让教与学更高效 53 2.6:x=0.13:0.525%x-1.7=5.8 635 【答案】x=10:x=30:x=18 【分析】根据比例的基本性质，外项积等于内项积，将比例方程转化为0.13x=2.6×0.5,再根 据等式性质2，两边同时除以0.13： 先将25%转化成小数0.25，将原式变为0.25x一1.7=5.8，根据等式的性质1，两边同时加上 1.7,再根据等式的性质2，两边再同时除以0.25： 根据等式的性质2，两边同时乘，再根据等式的性质2，两边同时除以。，据此解题。 【详解】2.6：x=0.13:0.5 解：0.13x=2.6×0.5 0.13x=1.3 x=1.3÷0.13 x=10 25%x-1.7=5.8 解：0.25x-1.7=5.8 0.25x=5.8+1.7 0.25x=7.5 x=7.5÷0.25 x=30 53 6X7=35 解：名x=35号 6X=15 X=15÷ 6 x=15x x=18 2.(2025广西桂林·小升初真题)解方程或比例。 2x+3.2×5=21 75%x-5=月 3.5:x=7 4 第43页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【答案】x号x=品：x=2 10 【分析】第一个方程先计算等式左侧的乘法，再利用等式的性质可解得方程的解。第三个方程 先将百分数和分数变为小数，左侧作减法，再利用等式的性质可解得方程。第三个方程先将等 式的右侧变为与左侧相同的形式，再利用比例的基本性质，将比例变形，再利用等式的性质解 方程即可。 【i详解】x+32x5=21 解： 3x+16=21 x+16-16=21-16 3 3 =5 33 3 =5÷ 22 2 =5x3 3 10 x-3 759%x 5日 1 解：0.75x-0.2x=0.5 0.55x=0.5 0.55x÷0.55=0.5÷0.55 9 35x= 解：3.5：x=7:4 7x=3.5×4 7x=14 7x÷7=14÷7 x=2 g 【预测命题方向07】数的运算·列式计算★★ 1.(2025·湖南永州·小升初真题)列式计算。 第44页共286页 品学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 甲数的号等于乙数的40%，乙数是35，甲数是多少？ 【答案】49 【分析】把乙数看作单位1”，求它的40%是多少，35×40%=14；再把甲数看作单位1”，它 的号对应的是14，求单位1”，用14号，即可解答。 【详解】35×40%-号 =14月 =14×2 =49 答：甲数是49 2.（2025江西吉安·小升初模拟)列式计算。 一个数减少它的30%后是70的，求这个数。 【答案】80 【分析】先根据“求一个数的几分之几是多少，.用乘法计算用70乘计算出70的是56：再 将这个数看作单位“1”，减少它的30%后是56，也就是56是这个数的(1一30%)，根据“已知 个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算”用56除以(1一30%)即可。 【详解】0x号1-30%) =70×4÷0.7 5 =56÷0.7 =80 所以这个数是80。 第45页共286页 品学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 三、式与方程十种命题预测 【命题解读】 式与方程是小学最为重要的板块之一，在小升初考察中约占30%比重，它主要包括代数式 的初步构建、等式的性质、方程的解法以及列方程解决实际问题等内容，考虑到代数式具有一 定的抽象性，加上多种数的转化、方程的运算、代数式的变形等易错易混点，使得该板块具有 一定的难度。 近年来的考察主要以填空、解方程以及应用题等题型为主，压轴题常涉及复杂的方程应用， 命题主要呈现以下三个趋势： 趋势一，即跨学科融合，结合几何（圆柱与圆锥关系）、统计（分析数据建模）等方向设 计方程。 趋势二，即实际情境化，近年来常以“购物折扣”、“行程规划”等实际生活场景为载体 出题。 趋势三，即聚焦基础知识，常在填空、选择题型中聚焦方程的格式问题、等式的性质变形 等基础知识。 复习式与方程板块的内容，首先要构建思维框架，掌握基础知识和基本算法，其次是分层 突破，针对训练，强化基础计算和应用专题，最后要总结技巧，错题复盘，建立良性循环机制。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 用字母表示数 ★ 选、填 2 定义新运算程序框图·探索规律·新型关系式 ★★★★★ 选、填 3 方程与等式的辨析 ★ 选、填、判 4 等式的性质与等量代换 ★★ 选、填、判 5 列方程解倍数问题 ★★★★ 解 6 列方程解行程问题 ★★★★★ 解 7 列方程解鸡兔同笼问题 ★★★★★ 解 8 列方程解盈亏问题 ★★★ 解 第46页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 9 列方程解分数和百分数问题 ★★★★★ 解 10 列方程解比和比例问题 ★★★★★ 解 【预测命题方向01】用字母表示数★ 1. (2025甘肃兰州小升初真题)甲车的速度是千米时，乙车的速度比甲车的多5千米， 2 乙车的速度是( )千米时（用含有v的式子表示)；当v=60千米时，乙车的速度是 )千米/时。 【答案】 含+5 45 【分析】把甲车的速度看作单位“1%，单位“1已知，乙车的速度=甲车的速度×+5千米：据 此求出乙车的速度： 当v=60千米时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。 2 【详解】(v+5)千米时 当v=60千米时： 60号+s =40+5 =45(千米/时) 2.（2025浙江宁波·小升初真题)有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相 同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 3cm 5cm cm 36cm 60cm 12cm- 图1 图2 (1)若有n只碗叠起来，它的高度是( )cm（用含有字母的式子表示)。 (②)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。 【答案】(1)1.5n+4.5 (2)75 【分析】(1)观察图2,6只碗叠起来的高度一2只碗叠起来的高度=4只碗露出部分的高度， 第47页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 除以4求出叠起来1只碗露出部分的高度，2只碗叠起来的高度一1只碗露出部分的高度=1 只碗的高度，根据总高度=（碗的数量一1）×1只碗露出部分的高度+1只碗的高度，用字母 表示出n只碗的高度即可： (2)根据第(1)题的分析，可得碗的数量=（总高度一1只碗的高度）÷1只碗露出部分的高 度十1（结果用去尾法保留整数），求出每叠碗的数量，储碗柜的长÷碗的宽度=沿长放的数量， 储碗柜的宽·碗的宽度=沿宽放的数量，沿长放的数量×沿宽放的数量×每叠碗的数量=这个储 碗柜最多可摆放的数量，据此列式计算。 【详解】(1)(13.5-7.5)÷(6-2) =6÷4 =1.5(cm) 7.5-1.5=6(cm) (n-1)×1.5+6 =1.5n-1.5+6 =(1.5n+4.5)cm 若有n只碗叠起来，它的高度是(1.5n+4.5)cm。 (2)(13-6)÷1.5+1 =7÷1.5+1 ≈4+1 =5(只) 60÷12=5(只) 36÷12=3(只) 5×3×5=75(只) 这个储碗柜最多可摆放75只这种规格的碗。 【点睛】关键是看懂图示，先求出1只碗的高度。 【预测命题方向2】定义新运算程序框图探索规律·新型关系式★★★★★ 1.(2025·河南郑州·小升初真题)规定：A★B=3A+2B,例如4★5=3×4+2×5=22。如果 x★(5★1)=70，那么x=( )。 【答案】12 【分析】首先根据运算定义计算括号内的部分5★1，得到结果后代入原方程，再根据定义把 第48页共286页 品学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 式子转化为符合题意的方程，解答即可。 【详解】5★1 =3×5+2×1 =15+2 =17 x★17=3x+2×17 3x+2×17=70 解：3x+34=70 3x=70-34 3x=36 x=36÷3 x=12 规定：A★B=3A+2B,例如4★5=3×4+2×5=22。如果x★(5★1)=70，那么x=12。 2.(2025·黑龙江鸡西·小升初真题)琳琳设计了一个猜年龄程序： 输入你的年龄→加6→乘1.5→输出结果 如果输入的年龄是a岁，则输出的结果是( ):如果输出的结果是54，则输入的年龄是 ( )岁。 【答案】 1.5(a+6) 30 【分析】由题意可知，先表示输入的年龄加6，即a+6,再乘1.5，即(a+6)×1.5,也就是 1.5(a+6);输出的结果是54，说明含有字母式子的值是54，即1.5(a+6)=54,再利用 等式的性质解方程求出未知数的值，据此解答。 【详解】(a+6)×1.5 =1.5(a+6) 1.5(a+6)=54 解：1.5(a+6)÷1.5=54÷1.5 a+6=36 a+6-6=36-6 a=30 所以，如果输入的年龄是a岁，则输出的结果是1.5(a+6)；如果输出的结果是54，则输入 第49页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 的年龄是30岁。 3. (2025江西上饶小升初真题)新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和 磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 第1个 第2个 第3个 第n个 【答案】 4n+2 5n+1 【分析】如图所示，制作一个六边形需要6个磁力球和6根磁力棒，每多一个六边形，多4 个磁力球和5根磁力棒，据此解答。 【详解】根据分析，可以把第1个六边形需要的磁力球个数记为：2十4，需要磁力棒的个数记 为：1+5 所以六边形的个数与磁力球个数的关系是：磁力球个数=2+4×六边形的个数，即磁力球个数 =4n+2: 六边形的个数与磁力棒个数的关系是：磁力棒个数=1+5×六边形的个数，即磁力棒个数=5 +1: 所以，第n个图形需要(4n+2)个磁力球，(5n+1)根磁力棒。 4.（2025·河南信阳·期末)爱眼小常识：看电视时要保持最佳观看距离，最佳观看距离一般 是电视屏幕对角线长度的2倍。如果用字母b表示电视屏幕对角线的长度（单位：英寸），那 么最佳观看距离为( )英寸。丽丽家的电视机是70英寸，她的最佳观看距离是( 米。（电视机的尺寸是指屏幕对角线的长度，1英寸2.5厘米） 【答案】 26 3.5 【分析】(1)最佳观看距离=电视屏幕对角线长度×2，据此列式计算： (2)先根据1英寸2.5厘米把70英寸换算成以厘米为单位，再根据最佳观看距离=电视屏幕 对角线长度×2求出最佳观看距离，最后根据1米=100厘米把单位换算成米即可。 【详解】b×2=2b(英寸) 70×2.5=175(厘米) 175×2=350(厘米) 350厘米=3.5米 爱眼小常识：看电视时要保持最佳观看距离，最佳观看距离一般是电视屏幕对角线长度的2 倍。如果用字母b表示电视屏幕对角线的长度（单位：英寸），那么最佳观看距离为2b英寸。 第50页共286页 学科网 www.zxx k.com 让教与学更高效 丽丽家的电视机是70英寸，她的最佳观看距离是3.5米。（电视机的尺寸是指屏幕对角线的 长度，1英寸2.5厘米) 令【预测命题方向03】方程与等式的辨析★ 1.(2025·广东汕头·小升初模拟)下面式子中，是方程的是( )。 A.5-x B.18÷3=6 C.1-2x=0.5 D.4-3x<5 【答案】C 【分析】方程必须具备两个条件：(1)必须是等式；(2)必须含有未知数：由此即可选择 【详解】A.5一x含有未知数但是不是等式，不是方程； B.18÷3=6是等式但是不含有未知数，不是方程： C.1一2x=0.5是等式并且含有未知数，是方程： D.4一3x<5含有未知数但不是等式，不是方程。 故答案为：C 2.(2024福建漳州·小升初真题)韦恩图是一种展示集合关系的图形工具。下面的韦恩图中， )集合关系是正确的。 负 正 奇 A 0 0 数 B 数 数 数 方程 长方形 C. 等式 D 平行 四边形 【答案】A 【分析】根据正负数的意义、偶数和奇数的意义、方程的意义和等式的意义、平行四边形和长 方形的特征进行解答。 【详解】 负 0 正 数 数 比0大的数叫做正数，比0小的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数， 它们是并列关系，符合题意。 第51页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 奇 偶 B. 0 数 数 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数：0是偶数，它们 不是并列关系，不符合题意。 方程 C 等式 含有未知数的等式叫做方程；表示左右相等的式子叫做等式：方程一定时 等式，等式不一定是方程，所以是等式包含方程，不符合题意。 长方形 D 平行 平行四边形对边平行且相等，长方形对边平行且相等，四个角都是直角： 四边形 长方形是特殊的平行四边形，所以平行四边形包含长方形，不符合题意。 负 0 正 数 数 集合关系是正确的。 故答案为：A 【预测命题方向04】等式的性质与等量代换★★ 1.(2025·四川绵阳·小升初真题)已知△+口=24，△=口十口十口，△×口=( 【答案】108 【分析】已知△十口=24，△=口+口十口，把△换成3个口，式子就变成：3个口+1个口=24， 也就是4个口的和是24，由此算出1个口=24÷4=6。因为1个△等于3个口，所以△=3×6= 18。求口×△，代入数值，即可解答。 【详解】△+o=24 0十0十0+0=24 4a=24 40÷4=24÷4 口=6 △=3×6=18 △×▣=18×6=108 所以△×口=108。 第52页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 2.(2025·重庆忠县·小升初真题)如果x-3.08=y+828,那么x、y两数相差( ) 【答案】11.36 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；求解x、y两数相差的值需要将 等式变形为x-y等于某个数的形式，则首先将等式两边同时减y并加上3.08即可将等式变形。 【详解】x-3.08=y+8.28 x-3.08-y=y+8.28-y x-y-3.08=8.28 x-y-3.08+3.08=8.28+3.08 x-y=11.36 即x、y两数相差11.36。 【预测命题方向05】列方程解倍数问题★★★★ 1.（2025全国小升初模拟)2023年5月28日，我国首架具有自主知识产权的千线客机C919 圆满完成载客首飞。一架C919客机的机身总长38.9米，比机高的4倍少8.9米，一架C919客 机机高多少米？（列方程解答） 【答案】11.95米 【分析】根据一架C919客机的机身总长比机高的4倍少8.9米，设机高为x米，得出数量关系 式：机身总长38.9米等于机高的4倍减去8.9米，列出方程，解方程得出机高。 【详解】解：设一架C919客机机高x米。 4x-8.9=38.9 4x=38.9+8.9 4x=47.8 x=47.8÷4 x=11.95 答：一架C919客机机高11.95米。 2. (2025河南漯河小升初真题)有甲乙两桶大豆油，甲桶大豆油的质量是乙桶的：，如果从 乙桶向甲桶倒4.5kg大豆油，那么两桶大豆油的质量正好相等。甲、乙两桶原来分别有大豆油 多少千克？（用方程知识解决） 【答案】？千克：？千克 第53页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【分析】由题意可知，可设乙桶有x千克大豆油，则甲桶有。x千克大豆油，再根据等量关系“乙 桶一4.5=甲桶+4.5列出方程，求解即可解答。 【详解】解：设乙桶有x千克大豆油。 x-45=3x+45 8 3 x-4.5+4.5=二x+4.5+4.5 P 3 x=-x+9 8 333 x+9 888 8s9 889 55 8 =9x8 72 x= 5 P2372-27 (千克) -85-5 答：甲桶有号 克大豆油，乙桶有召 千克大豆油； 【预测命题方向06】列方程解行程问题★★★★★ 1.(2025山东济南·小升初真题)甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两 地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车 每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】63千米 【分析】根据题意可知，设货车每时行千米，则货车速度×时间+客车速度×时间+135=540， 据此列出方程求解即可。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米。 3×72+3x+135=540 216+3x+135=540 351+3x=540 3x=540-351 第54页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 3x=189 x=189÷3 x=63 答：货车每小时行驶63千米。 2.（2025·河南郑州·小升初真题)小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看 望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。 随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公 共汽车的平均速度是40千米时，问小张家到火车站有多远？ 【答案】90千米 【分析】根据题意，剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用(30+15)分钟，即三小时。根据 时间=路程·速度，分别算出剩下的路程乘公共汽车的时间和乘出租车的时间。根据乘公共汽 车的时间一乘出租车的时间=多用的时间列方程解决。 【详解】解：设小张家到火车站的路程是3x千米。 3x一x=2x(千米) 40×2=80(千米/时) 45分钟=小时 2x_2x=3 40804 2x×4=80×3 8.x=240 8x÷8=240÷8 x=30 3x=30×3=90 答：小张家到火车站有90千米。 【点睛】根据继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车， 车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站”。剩下的路程乘公共汽车比乘 出租车多用(30+15)分钟，即小时。 第55页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【预测命题方向07】列方程解鸡兔同笼问题★食★★食 1.(2025·四川达州·小升初真题)青山果园的苹果树和梨树一共有120棵，其中梨树的棵数 是苹果树的25%。青山果园的苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解答） 【答案】苹果树有96棵；梨树有24棵 【分析】设青山果园的苹果树有x棵，根据求一个数的百分之几是多少用乘法，可知梨树有25%x 棵，根据等量关系式：梨树的棵数十苹果树的棵数=120棵，列出方程，利用等式的性质，解 答求出苹果树的棵数，进而求出梨树的棵数。 【详解】解：设青山果园的苹果树有x棵，梨树的棵数是25%x。 x+25%x=120 125%x=120 1.25x=120 x=120÷1.25 x=96 120-96=24(棵) 答：青山果园的苹果树有96棵，梨树有24棵。 2.(2025·广东汕头·小升初模拟)妈妈在服装店买了一件上衣和一条裤子，共花了360元， 裤子的价格比上衣便宜了20%，那么上衣和裤子各多少元？ 【答案】上衣200元；裤子160元 【分析】已知裤子的价格比上衣便宜了20%，把上衣的价格看作单位1”，则裤子的价格是上 衣的(1-20%)；设上衣的价格是x元，则裤子的价格是(1-一20%)x元；等量关系：上衣 的价格十裤子的价格=上衣和裤子的总价钱，据此列出方程，并求出方程的解，即上衣的价格， 再用总价钱减去上衣的价格，求出裤子的价格。 【详解】解：设上衣的价格是x元。 x+(1一20%)x=360 x+0.8x=360 1.8x=360 x=360÷1.8 x=200 裤子：360-200=160（元） 第56页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 答：上衣200元，裤子160元。 8 【预测命题方向08】列方程解盈亏问题★★★ 1.(2025·四川绵阳·小升初真题)将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3颗， 就会余下糖果17颗：如果每人分5颗，就会缺少糖果13颗。幼儿园小班有多少小朋友？这些 糖果共有多少颗？ 【答案】15人：62颗 【分析】第一次每人分3颗，第二次每人分5颗，第二次比第一次每人多5-3=2（颗），因 此每人多2颗，原来余17颗就变为少13颗，两次的分配差额是(17+13)颗，可以用“总差 额：每人两次差额=人数”，据此解答。 【详解】(17+13)÷(5一3) =30÷2 =15(人) 15×3+17 =45+17 =62(颗) 【点睛】此题在求人数时，运用了关系式：（盈数+亏数）÷两次分物数量的差=分物份数（人 数)。 2.(2024四川广元小升初真题)用绳子测量楼房的高度，把绳子折成相等的4段来量，绳 子比楼房高出5米，把绳子折成相等的5段来量，绳子比楼高出2米。这根绳子有多少米？楼 房高多少米？ 【答案】绳子：60米：楼房：10米 【分析】解决用绳子测量楼房高度的问题，要抓住绳子总长度始终不变这一关键隐藏条件。 当把绳子折成相等的4段来测量时，由于每一段绳子的长度都比楼房高度多出5米，所以此时 绳子的总长度可以表示为4×（楼房高度十5米）。而当把绳子折成相等的5段来测量时，每一 段绳子长度比楼房高度多出2米，那么绳子总长度又可表示为5×（楼房高度十2米）。因为绳 子的实际总长度是固定不变的，所以“4×（楼房高度+5米）”和5×（楼房高度+2米）这两 个用来表示绳长的式子是相等的。基于此，我们可以通过对比这两个式子，先计算出楼房的高 度，之后再进一步求出绳子的长度。 【详解】表示两种折法的绳长： 第57页共286页 品学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 折4段：绳长=4×（楼高+5）=4×楼高+20 折5段：绳长=5×（楼高+2）=5×楼高+10 利用绳长不变找关系： 因为绳长不变，所以4×楼高+20=5×楼高+10 求楼高： 对比等式，5×楼高比4×楼高多1个楼高，20比10多10，所以1个楼高=10米 求绳长（以折4段为例）： 4×(10+5) =4×15 =60米 答：这根绳子有60米，楼房高10米。 【点晴】核心是抓绳长不变”，将两种折法转化为含楼高的绳长表达式，通过对比表达式的差 量（倍数差对应长度差），快速求出楼高与绳长，关键是对不变量和差量关系的灵活运用。 。【预测命题方向09】列方程解分数和百分数问题★★★★★ 1.（2025湖北襄阳·小升初真题)甲桶的油比乙桶多3.6千克，如果从两桶油中各取出1千克， 则甲桶里剩下油的引等于乙桶里利下油的号，那么甲桶里原来有多少干克油？ 【答案】11.8千克 【分析】把甲桶里原来油的质量设为未知数，乙桶里原来油的质量=甲桶里原来油的质量一3.6 千克，等量关系式：（甲桶里原来油的质量-1）×员=（乙桶里原来油的质量-）×宁，根 据等量关系式列出方程，并求出方程的解的性质2。 【详解】解：设甲桶里原来有x千克油，则乙桶里原来有(x-3.6)千克油。 水员(36 -少员 46x月 -小721-g-46×21 (x-1)×2=(x-4.6)×3 2x-2=3x-4.6×3 2x-2=3x-13.8 第58页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 2x-2+13.8=3x-13.8+13.8 2x+11.8=3x 2x+11.8-2x=3x-2x x=11.8 答：甲桶里原来有11.8千克油。 2.(2025·福建泉州小升初模拟)粮店运进一批大米与面粉，大米比面粉多450千克，当大 米卖出一些后剩下60%，而面粉没卖，这时大米比面粉少150千克。粮店运进这批大米、面粉 各多少千克？（先画图表示数量关系，再解答。） 【答案】图见详解；大米1500千克；面粉1050千克 【分析】先画一段线段表示大米的质量，再画一段比大米线段短的线段表示面粉的质量，大米 比面粉长的线段就是多出的450千克，标记450千克”。在大米与面粉长度相等的线段中画1 小段表示150千克，则剩余大米的线段中表示“剩下60%”。 设粮店运进面粉x千克，大米比面粉多450千克，则粮店运进大米(x十450)千克。当大米卖 出一些后剩下60%，而面粉没卖，这时大米比面粉少150千克。即大米的质量乘60%等于面 粉的质量减150千克，据此可列方程为：x一150=(x+450)×60%,然后解方程即可。 【详解】作图如下： 大米： 剩下60% 150千克450千克、 面粉： x千克 解：设粮店运进面粉x千克。 x-150=(x+450)×60% x-150=(x+450)×0.6 x-150=0.6x+270 x=0.6x+270+150 x=0.6x+420 x-0.6x=420 0.4x=420 x=420-0.4 x=1050 第59页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 1050+450=1500(千克) 答：粮店运进大米1500千克，运进面粉1050千克。 令【预测命题方向10】列方程解比和此例问题★★★★★ 1.（2025山东·小升初模拟)春秋战国时期，我国有一位发明家叫鲁班，手艺巧夺天工，传 说他用木头组成飞鸟，惟妙惟肖，十分逼真。鲁班3天能做15个飞鸟，如果要做80个飞鸟， 需要几天？（用比例解答） 【答案】16天 【分析】鲁班3天能做15个飞鸟，可以用15÷3求出一天的量，即总数和天数成正比例关系， 根据总数除以对应的天数等于1天的量这一等量关系列比例，需先把需要的天数设为x天。 【详解】解：设需要x天。 15:3=80:x 15x=80×3 15x=240 x=240÷15 x=16 答：如果要做80个飞鸟，需要16天。 2.（2025·广东汕头·小升初模拟)爸爸准备给客厅铺地砖，用边长5分米的方砖铺，需540 块，若改用边长6分米的方砖铺，需多少块？（用比例解） 【答案】375块 【分析】客厅的总面积保持不变，所以方砖的面积和所需块数成反比例关系。先设改用边长6 分米的方砖需要x块，分别算出两种方砖的面积：边长5分米的方砖面积是5×5=25平方分米， 边长6分米的方砖面积是6×6=36平方分米。根据“总面积相等”，可以列出反比例方程36x 25×540,最后解这个方程即可得到需要方砖的数量。 【详解】解：设需要x块。 6×6×x=5×5×540 36x=25×540 36x=13500 36x÷36=13500-36 x=375 答：需要375块。 第60页共286页 扇学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 四、比和比例。十二种命题预测 【命题解读】 比和比例是小升初常考内容之一，在考察中一般占10%~15%，它主要涉及比和比例的基 础概念运用、相关计算以及实际应用，值得注意的是它常和分数、百分数结合考察。 近年来主要以化简比和求比值、按比例分配应用题、比例关系的判断、比例尺的计算、比 例应用题以及正反比例图标应用等高频考题为主，填空、选择、计算、应用等题型皆有出现， 考察难度一般，从命题情况来看，主要呈现以下三个趋势： 趋势一，即跨学科融合，结合科学实验（数据测量）、地理地图（比例尺)、经济生活等 内容出题。 趋势二，即实际情境化，近年来常以“网购优化比例”、“传统文化”、“行程规划”等 实际生活场景为载体出题。 趋势三，即思维进阶，增加开放性题目，或作为压轴题训练思维。 复习比和比例板块的内容，首先要强调概念辨析，例如比和比例、正比例和反比例的辨析， 其次针对性训练必不可少，最后建立错题本，总结方法。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 化简比与求比值 ★ 选、填、计 2 求比问题 ★★★ 选、填 3 按比例分配问题 ★★★★★ 选、填、解 比与分数百分数应用题 ★★★★★ 选、填、解 5 比例的意义和比例的基本性质 ★ 选、填、判 6 正反比例关系的判断 ★★★ 选、填、判 7 比例尺的意义 ★ 选、填、判 8 比例尺的应用 ★★★★ 解 9 正比例的应用 ★★★★★ 解 10 反比例的应用 ★★★★★ 解 第61页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 11 正反比例图表综合 ★★★★ 填、解 12 作图·比例尺与图形的放大缩小 ★★★★ 作 【预测命题方向01】化简比与求比值★ 1.（2025河北邢台·期末)化简下列各比并求比值。 42 1.1 749 36分钟：1小时 0.2千克：25克 【答案】125：号：7：1：735：}：8：1：8 【分析】比的基本性质，比的前项和后项同时乘或者除以一个相同的数(0除外)，比值的大 小不变。根据比的基本性质化简，单位不同的先统一单位，分数或小数比可转化为整数比再化 简，最后用前项除以后项求比值。 【详解】42子 21.7 54 -（20仔20 =84:35 =(84÷7):(35÷7) =12:5 比值：12：5=12÷5=1 1.1 749 =7:1 比值：7：1=7÷1=7 36分钟：1小时 =36分钟：60分钟 =(36÷12)：(60÷12) =3:5 第62页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 比值：3：5=35=3 0.2千克：25克 =200克：25克 =(200÷25):(25÷25) =8:1 比值：8：1=8÷1=8 2.(2024河南周口·小升初真题)化简下列各比，并求比值。 2.7:0.18 85 5.3 g:10 30厘米：2米 【答案】15：1：15：1：18：18：50：27； 93:20: 20 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)比值不变，据此把 给出的比化成最简整数比；单位不统一需要先转化成相同的单位再进行化简：用最简整数比的 前项除以后项即可求出比值。 【详解】2.7：0.18 =(2.7÷0.18):(0.18÷0.18) =15:1 15:1 =15÷1 =15 5 18 5 =(i8×18):(5×18) =5:90 =(5÷5)：(90÷5) =1：18 1:18 =1÷18 1 高品 第63页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 (号90)：（品o0) = =50:27 50:27 =50÷27 50 30厘米：2米 =30厘米：200厘米 =(30÷10):(200÷10) =3:20 3:20 =3÷20 8 【预测命题方向02】求比问题★★★ 1.(2025河南周口·小升初真题)琳琳和彤彤两家到学校的路程相等，两人同时从家出发去 学校，琳琳4分钟走到学校，彤彤6分钟走到学校，琳琳和彤彤两人所用的时间比是( ), 速度比是( ) 【答案】 2:3 3:2 【分析】(1)琳琳和形彤两人所用的时间比=琳琳走到学校的时间：彤形走到学校的时间， 再利用比的性质比的前项和后项同时除以2化简即可： (2)我们把两家到学校的路程看作单位1琳琳的速度：1：4子形形的速度：16专 再用速度相比化简即可。 【详解】4：6=(4÷2)：(62)=2：3： 琳琳的速度：14，形形的速度：16 6 6063 琳琳和彤彤两人所用的时间比是23，速度比是3：2。 2.(2025·四川绵阳·小升初真题)一段公路长20k,甲队单独修要8天修完，乙队单独修要 10天修完。甲乙两队的工作效率之比是( ) 第64页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【答案】5：4 【分析】将整个公路的工程量看作单位“1”，则用单位“1除以甲队单独需要的天数8天即可求 出甲队的工作效率，用单位1除以乙队单独需要的天数10天即可求出乙队的工作效率，即可 求出甲乙两队的工作效率之比。 【详解】甲乙两队的工作效幸之比=令品g /(10*40 =5:4； 即甲乙两队的工作效率之比是5：4。 3. (2025-四川绵阳小升初真题)甲数比乙数多 乙数与甲数的比是( 【答案】3：4 【分析】甲数比乙数多}，把乙数看作1，用1×(1+})求出甲是多少，再求出乙数与甲数 的比是多少。 【详解】1x(1+})=1×号= 33 1:(13):(3)=3:4: 乙数与甲数的比是3：4。 4.(225浙江杭州小升初真题)如下图中阴影部分的面积占小圆面积的}，占大圆面积的后， 小圆面积与大圆面积的比是( ):( 【答案】 18 【分析】设阴影部分面积为1，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用阴 影部分面积除以它占小圆面积的分率，可求出小圆面积为1÷：同理，用阴影部分面积除以它 占大圆面积的分率，可求出大圆面积为1。：最后用小圆面积：大圆面积，化成最简整数比 即可。 【详解】设阴影部分面积为1： 3 5 第65页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 =1 1÷6 =1×6 =6 小圆面积：大圆面积 =(33》:(6) =5:18 小圆面积与大圆面积的比是5：18。 令【预测命题方向3】按比例分配问题★★★★★ 1.(2025湖南永州小升初真题)李大爷家的蔬菜大棚如下图，其中号种白菜，其余的按3：2：1 种茄子、苦瓜、辣椒。种茄子、苦瓜、辣椒各需要多少平方米？ 50 【答案】种茄子需要300平方米，种苦瓜需要200平方米，种辣椒需要100平方米。 【分析】由图可知，蔬菜大棚的总面积是5020=1000（平方米），用100~号算出种白菜用 了400平方米的面积，剩余600平方米按3：2：1种茄子、苦瓜、辣椒，茄子、苦瓜、辣椒总面 积的总份数为6，一份的面积是600÷6=100（平方米），最后按比例分配分别算出面积即可。 【详解】50×20=1000（平方米） 1000x2=400(平方米) 1000-400=600(平方米) 1+2+3=6 600-6=100(平方米) 茄子：100×3=300（平方米） 第66页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 苦瓜：100×2=200（平方米） 辣椒：100×1=100（平方米） 答：种茄子需要300平方米，种苦瓜需要200平方米，种辣椒需要100平方米。 2.(2025·广东汕头·小升初模拟)甲、乙两数的平均数是60，甲、乙两数的比是3：5，甲数和 乙数分别是多少？ 【答案】甲数：45；乙数：75 【分折】已知甲、乙两数的比是3：5，甲、乙两数分别占甲、乙两数和的35和，巾、 乙两数的平均数是60，甲、乙两数之和是120，用甲、乙两数之和分别乘甲、乙两数占甲、乙 两数和的分率，即可求出甲、乙两数。 【详解】甲数：60235 =120× 8 =45 乙数：60×2×， 3+5 =1208 =75 答：甲数是45，乙数是75。 3. (2025·江苏南京·小升初真题)妈妈根据《学生餐营养指南》制定一日食谱，其中一道鱼 香肉丝的主要原料有瘦猪肉、胡萝卜、甜椒等。下图表示制作鱼香肉丝的三种食材的份数。 瘦猪肉口 胡萝卜① 甜椒口 (1)如果要制作一份450克的鱼香肉丝，三种食材各需要多少克？ (2)如果已有瘦猪肉500克，胡萝卜320克，甜椒600克，妈妈制作完鱼香肉丝用完了所有食 材，她在制作过程中添加了什么食材，添加了多少克？ 【答案】(1)瘦猪肉：150克：胡萝卜：120克：甜椒：180克 (2)添加胡萝卜：80克 【分析】(1)由图可知一道鱼香肉丝中，瘦猪肉：胡萝卜：甜椒=5：4：6，那么三种食材 的总份数为5+4+6=15份。450克的鱼香肉丝，总质量是450克。所以食材的质量=总质 第67页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 量×食材的分率，用乘法计算即可解答。 (2)已知瘦猪肉有500克，瘦猪肉的份数占5份，先求出每份瘦猪肉的质量作为参照，则每 份的质量为500÷5=100克；胡萝卜占4份，所以应有100×4=400克，而现有胡萝卜320克，说 明胡萝卜不够，用减法计算要添加多少克；甜椒占6份，所以应有100×6=600克，现有甜椒600 克，刚好满足，不需要添加。 【详解】(1)瘦猪肉：450× ×15=150(克) 胡萝卜：450×4 5-120(克) 甜椒：450×6=180（克） 15 答：瘦猪肉需要150克，胡萝卜需要120克，甜椒需要180克。 (2)每份瘦猪肉：500÷5=100（克） 应有胡萝卜：100×4=400（克） 添加胡萝卜：400-320=80（克） 应有甜椒：100×6=600（克） 600=600 答：她在制作过程中添加了胡萝卜，添加了80克。 【预测命题方向04】比与分数百分数应用题★★★★★ 1.(2025·新疆克拉玛依小升初真题)仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为2：7， 如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的？。仓库原有货物多少吨？ 【答案】360吨 【分析】已知运走的货物与剩下的货物重量比为2：7，把原有货物总量看作2+7=9份，把 原有货物总量看作单位“1”，则剩下的货物占原有货物的。：运走64吨后剩下的货物占原有货 物的，则64吨对应的占比为（写：最后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个 数用除法用64吨除以它对应的占比，即可求出仓库原有货物的总量。 【详解】64(，7-3 2+7-5） 73 =64（g5） 3527 =64（4545 第68页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 =648 45 =649 =360(吨) 答：仓库原有货物360吨。 2.(2025·湖北武汉·小升初真题)甲、乙两个志愿者团队原来的捐款钱数比是7：3，现在甲 团队拿出60元给乙团队用于帮扶困难学生，这时甲、乙两个团队的捐款钱数比是2：3。现在 甲、乙两个团队各捐款多少元？ 【答案】甲捐款80元，乙捐款120元 【分析】根据甲、乙两个团队原来的钱数比是7：3，把两个团队总钱数看作单位“1”，可知甲 原来的钱占两个团队总钱数的子3，根据这时甲、乙两个团B队的钱数比是2：3，可知甲现在 的钱古两个团队总钱数的2g比原来少了(3一子)，少了60元，因此用60(7写 3),求出两个团队钱的总数，然后再平均分成2十3三5份，其中2份是甲，3份是乙，据 此即可解答问题。 【详解】60：( 72 7+3 -2+3 7 =60（10 5 7 =60（10 10 3 =60÷ 10 =60号 =200(元) 200÷(2+3) =200÷5 =40(元) 甲：40×2=80（元） 乙：40×3=120（元） 答：现在甲团队捐款80元，乙团队捐款120元。 第69页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 【预测命题方向05】比例的意义和比例的基本性质★ 1.(2025·河南南阳·小升初真题)若4，x,8,16四个数可以组成比例，那么x最大是( 最小是( )。 【答案】 322 【分析】对于任意比例a:b=c:d或a:c=b:d等形式(a、b均不为0)，都满足外项积 内项积，即a×d=b×c。4、x、8、16四个数中，x可作为“外项”或内项”。 情况1：x与4为一组（同作外项或内项），8与16为另一组，此时根据外项积=内项积可 得：4×x=8×16。 情况2：x与8为一组（同作外项或内项），4与16为另一组，同理可得：8×x=4×16。 情况3：x与16为一组（同作外项或内项），4与8为另一组，同理可得：16×x=4×8。 据此计算x的值，然后比较大小即可。 【详解】情况1：x与4为一组（同作外项或内项），8与16为另一组。 4×x=8×16 解：4x=128 x=128÷4 x=32 情况2：x与8为一组（同作外项或内项），4与16为另一组。 8×x=4×16 解：8x=64 x=64÷8 x=8 情况3：x与16为一组（同作外项或内项），4与8为另一组。 16×x=4×8 解：16x=32 x=32÷16 x=2 32>8>2 x最大是32，最小是2。 2.（2025·浙江杭州小升初模拟)在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是53， 第70页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 另一个内项是( ),这个比例可能是( 【答案】 53 253=3:1 532 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，可知两 个内项也互为倒数；再根据其中一个内项是53”，用1除以53求出另一个内项。 两个外项只要保证乘积为1即可，据此写出这个比例。 【详解】153=品 所以，另一个内项是品这个比创可能是2：53=名：号（答案不曜一）。 3.（2025·山东菏泽·小升初真题)成语立竿见影用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中 的( )关系，把5×6=2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 【答案】 正比例 8 【分析】①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两 个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。据此解答立 竿见影的比例关系； ②比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。在5×6=2×15中，可以把5 和6看作比例的两个外项，把2和15看作比例的两个内项：或者把5和6看作比例的两个内 项，把2和15看作比例的两个外项：据此写出符合要求的比例即可确定比例的个数。 【详解】在阳光下，同一时间、同一地点，物体的高度与影子的长度的比值固定，所以“立竿 见影”是应用了比例知识当中的正比例关系： 5×6=2×15可以改写成：2：5=6：15,155=6：2,2：6=5：15,15：6=5：2,5：2=15：6， 6:2=15:5,5:15=2:6,6:15=2:5,共8个不同的比例。 成语“立竿见影用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的正比例关系，把5×6=2×15改写 成比例，可以是8个不同的比例。 【预测命题方向06】正反比例关系的判断★★★ 1.(2025甘肃临夏·小升初真题)如果y=3,那么x、y成( )比例关系，如果y=3x, 那么x、y成( )比例关系。 【答案】 反 正 【分析】①如果两个相关的量，它们的乘积一定，即可判定这两个量成反比例关系，通过x和 y的乘积为定值则可判定其到底是正比例还是反比例： 第71页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 ②如果两个相关的量，它们的比值一定，即可判定这两个量成正比例关系，通过x和y的比值 为定值则可判定其到底是正比例还是反比例。 【详解】①x和y的乘积为定值3，则x、y成成反比例： ②’=3，即y和x的比值为定值3，则x、y成正比例。 2.(2025·辽宁本溪·小升初真题)圆的周长和它的半径成( )比例：一个三角形的面积 一定，它的底与高成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还 是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。 【详解】因为圆的周长÷半径=2红（一定），符合正比例的意义，所以圆的周长和半径成正比 例。 因为三角形的底×高=面积×2（一定），符合反比例的意义，所以三角形的面积一定，底和高 成反比例。 令【预测命题方向07】比例尺的意义★ 1.(2021·内蒙古呼和浩特·小升初真题)在一幅地图上新郑机场到新郑市区距离为3cm,而 实际距离为24km,这幅地图的比例尺是( ) 【答案】1：800000 【分析】根据1km=1000m,用24乘进率1000即可换算；根据1m=100c,用3除以进率 100即可换算；图上距离：实际距离=比例尺，由此可知，比例尺的前项表示图上距离，后项 表示实际距离，据此分析。 【详解】24×1000=24000(m) 3÷100=0.03(m) 0.03:24000=(0.03÷0.03):(24000÷0.03)=1:800000 即这幅地图的比例尺是1：800000。 2.（2025·甘肃庆阳·小升初真题)上海中心大厦是我国第一高楼，小辰设计了一幅该高楼的 宣传海报，海报的比例尺是49四，把线段比例尺改写为数值比例尺是( ),在海报上 量得该高楼的高度是15.8cm,则该高楼的实际高度是( )m。 【答案】 1:4000 632 第72页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【分析】 线段比例尺049四表示图上1cm相当于实际距离40m,根据“比例尺=图上距离：实际距离” 以及进率“1m=100cm”,把线段比例尺改写为数值比例尺。 己知在海报上量得该高楼的高度是15.8cm,根据实际距离=图上距离÷比例尺以及进率1m =100cm”,求出该高楼的实际高度。 【详解】1cm:40m =1cm:(40×100)cm =1:4000 1 15.8÷ 4000 =15.8×4000 =63200(cm) 63200cm=632m 把线段比例尺改写为数值比例尺是(1：4000)，在海报上量得该高楼的高度是15.8cm,则该 高楼的实际高度是(632)m。 会【预测命题方向08】比例尺的应用★★★★ 1.(2025河北张家口·小升初真题)近年来，我国无人驾驶技术不断取得突破。技术人员为 获得一辆以新能源为动力的无人驾驶汽车在行驶过程中的数据，他们在图纸上规划一段公路， 让无人驾驶汽车试运行。已知这幅图的比例尺是1：500000，这段公路的图上距离是28厘米， 如果这辆汽车以40千米时的速度行驶，几小时能行驶完？ 【答案】3.5小时 【分析】比例尺=图上距离：实际距离，因此实际距离=图上距离÷比例尺，注意将计算结果 的单位换算成千米，再根据时间=路程÷速度求出行驶所需的时间。 【详解】实际距离：28÷1 =14000000(厘米) 500000 14000000厘米=140千米 行驶时间：140÷40=3.5（小时） 答：3.5小时能行驶完。 2.(2023·贵州黔西·小升初真题)在比例尺是1：1000的平面图上，量得一块长方形麦地的 长是12厘米，宽是8厘米。这块麦地的实际面积是多少平方米？ 第73页共286页 学科网 wwWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【答案】9600平方米 【分析】比例尺的意义：图上距离与实际距离的比，即比例尺= 图上距离 1 实际距离， 则1：1000= 1000° 因此实际距离=图上距离÷比例尺。已知一块长方形麦地在图上的长是12厘米，宽是8厘米。 把数据代入即可计算出麦地实际的长和宽。然后根据长方形面积公式：面积=长×宽，把实际 的长和宽代入即可解答。 【详解】1：1000=1000 1 12、1 =12×1000=12000(厘米) 1000 81 =8×1000=8000(厘米) 1000 1米=100厘米 12000÷100=120(米) 8000÷100=80(米) 120×80=9600(平方米) 答：这块麦地的实际面积是9600平方米。 令【预测命题方向9】正比例的应用★★★★女 1.(2025·广东汕头·小升初模拟)一个车队向灾区运送1620吨救灾物资，已知2.4小时运了 324吨，照这样进度，运完这批物资还需几小时？（用比例解) 【答案】9.6小时 【分析】根据题意可知，物资的吨数：运送时间=车队每小时运送物资的吨数（一定），比值 定，则物资的吨数与运送时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设运完这批物资还需x小时。 (1620-324):x=324:2.4 324x=(1620-324)×2.4 324x=1296×2.4 324x=3110.4 x=3110.4÷324 x=9.6 答：运完这批物资还需9.6小时。 2.(2025·河南开封·小升初真题)成语立竿见影在《辞源》里的解释是竿立而影现，喻收 第74页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 效迅速”。亮亮用数学的眼光来看，立刻联想到本学期所学的( )知识，即同一时间同一 地点，竿高和影长成( )比例关系 他打算用这种方法测量校园里一座雕塑的高度： 第一步：某天下午4时，他在这座雕塑旁测得明明的影子长度为2.4米，明明的身高是1.6米： 第二步：同时测得这座雕塑的影子长度为4.2米。 请你根据测量的过程，求出这座雕塑的高度。（用比例解答） 【答案】比例：正 2.8米 【分析】同一时间同一地点，竿高和影长成正比例关系。根据影长：杆长=每米杆子的影长( 定)，所以影长和杆长成正比例：设这座雕塑的高为x米，明明的影子长度为2.4米，明明的 身高是1.6米，雕塑的影子长度为4.2米。可列出比例式为：2.4：1.6=4.2：x,然后解答即可。 【详解】亮亮用数学的眼光来看，立刻联想到本学期所学的比例知识，即同一时间同一地点， 竿高和影长成正比例关系。 解：设这座雕塑的高为x米。 2.4:1.6=4.2:x 2.4x=1.6×4.2 2.4x=6.72 x=6.72÷2.4 x=2.8 答：这座雕塑的高为2.8米。 【预测命题方向10】反比例的应用★★★★★ 1.（2025·浙江宁波·小升初模拟)为备战学校百年党史竞赛，老师给莉莉准备了习题册。如 果每天做12题，15天可以做完，莉莉想10天就做完，每天应该做几题？（用比例解答） 【答案】18题 第75页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【分析】根据题意，习题册的题目总数一定，也就是每天做题数量与所用天数的积一定，因此 每天做题数量与所用天数成反比例：设每天应该做x题，根据“实际每天做题数量×天数=计划 每天做题数量×天数进行列式解答即可。 【详解】解：设每天应该做x题。 10×x=12×15 10x=180 x=180-10 x=18 答：每天应该做18题。 2.（2025·甘肃兰州·小升初真题)中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐 演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少 制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 【答案】25天 【分析】这批中国结的总量是不变的，每天制作的个数与天数的乘积是一定的，即两种量成反 比例。原计划每天制作600个，实际每天少制作20%，把原计划每天制作的个数看作单位“1”， 则实际每天制作数量是原计划的(1一20%)，设实际用了x天。因为工作总量不变，所以“原 计划效率×原计划时间=实际效率×实际时间”，据此列方程为：600×(1一20%)×x=600×20, 然后解方程即可。 【详解】解：设实际用了x天。 600×1-20%×x=600×20 600×80°%x=12000 480x=12000 480x÷480=12000÷480 x=12000÷480 x=25 答：实际用了25天。 令【预测命题方向11】正反比例图表综合★★★★ 1.（2025·陕西榆林·小升初真题)电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。 新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关 第76页共286页 动学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 (1)判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例， 并说明理由。 (2)把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 耗电量/千瓦时 60 8 36 12 0 行驶路程/千米 80160240320400480 (3)该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要( )千瓦 时：30千瓦时的电可行驶( )千米。 【答案】(1)成正比例：因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定 (2)图见详解 (3)63;200 【分析】(1)判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定， 还是对应的乘积一定：如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例：如果是乘积一定， 这两种相关联的量成反比例。 (2)把统计表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接 即可。 (3)由第(1)题可得出行驶路程与耗电量的比值，求行驶420千米需要的电量，即求比的后 项，用比的前项除以比值即可：求30千瓦时的电可行驶的路程，即求比的前项，用比的后项 乘比值即可。 【详解】1)80-160-240-320-40-480-20 122436486072 3 (一定) 答：该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例，因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量 的比值一定。 第77页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 (2)根据分析如图： 耗电量/千瓦时 72 60 8 34 0 行驶路程/千米 80160240320400480 (3)80-12= 20 (千米/千瓦时) 420 20=4203 =63(千瓦时) 20 20 3 ×30=200(千米) 该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要63千瓦时：30千瓦时 的电可行驶200千米。 2.(2025·贵州安顺·小升初真题)把相同体积的水倒入不同底面积的圆柱形杯子中，杯中水 面的高度与杯子的底面积关系的图像如图所示。 (1)底面积和水面高度成( )比例关系。 (2)在底面积是15平方厘米的圆柱形杯子中，水面的高度是( )厘米。 (3)请算一算，将同样体积的水全部倒入底面积是50平方厘米的圆柱形杯子中，杯子的高度 至少是多少厘米水才不溢出？ 水面高度/cm 60 550 40 35 02520 1 5 0 →底面积/cm 51015202530354045505560 第78页共286页 品学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【答案】(1)反： (2)20: (3)6厘米 【分析】(1)两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应 的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系： (2)反比例图象中，横轴表示底面积，纵轴表示水面高度，找出底面积是15平方厘米时对应 的水面高度即可； (3)杯子的高度至少要和水面高度相等水才不会溢出，先根据Va#=S”求出水的体积，再根 据h=V柱÷S”求出杯子的高度，据此解答。 【详解】(1)底面积×高=5×60=10×30=15×20=..=60×5=300（立方厘米）（一定），所 以底面积和水面高度成反比例关系。 (2)由图可知，在底面积是15平方厘米的圆柱形杯子中，水面的高度是20厘米。 (3)5×60÷50 =300÷50 =6(厘米) 答：杯子的高度至少是6厘米水才不溢出。 令【预测命题方向12】作图比例尺与图形的放大缩小★★★★ 1.(2025湖北武汉·小升初真题)①画出三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形。 ②画出三角形ABC按2：1放大后的图形。 ③在方格图上找一个点作为圆心，并用字母O标注，然后画一个圆，使点D、E、F、G都在 这个圆上。 G D E B 【答案】见详解 【分析】①根据图形旋转的性质，以点A为旋转中心，将三角形ABC的各边按逆时针方向旋 转90°。先确定点B、C绕点A逆时针旋转90°后的位置，再连接各点得到旋转后的图形。 第79页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 ②根据图形放大的性质，将三角形ABC的各边长度扩大到原来的2倍。AB的长度原来占3 格，放大后的长度占6格，AC的长度原来占2格，放大后的长度占4格。先确定点B、C放 大后的位置，再连接各点得到放大后的图形 ③观察可知D、E、F和G连接后是一个正方形，以正方形对角线的交点为圆心，以正方形对 角线的一半为半径画一个圆即可。 【详解】根据分析，作图如下： G B 2. (2025·湖北十堰·小升初真题)(1)学校在中心广场北偏西60°方向600米处，这幅图的比 例尺是( ) (2)书店在中心广场南偏东50°方向900米处，请在图中用.”标出书店的位置。 学校 十东 609 2cm 中心广场 【答案】(1)1：30000 (2)见详解 【分析】(1)根据比例尺=图上距离：实际距离，据此求出比例尺即可： (2)根据图上距离=实际距离×比例尺，据此求出书店到中心广场的图上距离，然后再根据“上 北下南，左西右东”及角度信息作图即可。 【详解】(1)由图可知，学校到中心广场的图上距离为2厘米 2厘米：600米。 =2厘米：60000厘米 =(2÷2):(60000÷2) 第80页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 =1:30000 则这幅图的比例尺是1：30000。 (2)900米=90000厘米 90000× =3(厘米) 30000 如图所示： 学校 北 十东 60° 2cm 中心广场 50° 书店 第81页共286页 丽学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 五、图形与几何二十六种命题预测 【命题解读】 图形与几何，常与“数与代数”并列为小学数学最核心的两大板块，也是小升初考察最多 的内容之一，常年在小升初考试中占25%~30%，它主要涉及基础图形特征、基本操作技能、 图形综合应用等内容，在填空、选择、计算、操作、应用等题型中均有所体现。 根据近年来出题情况的研究，呈现出以下三个趋势： 一是学科素养导向，即增加量感题型，例如估算面积。 二是生活情景化，即结合生活场景出题，例如航天科技、建筑模型等。 三是跨学科融合，即与科学、美术、交叉命题。 在复习过程中，要注意基础掌握基本图形特征，针对面积和体积相关问题要作重点突破， 熟练掌握相关解题模型。 日 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 线与角平行与垂直 ★ 选、填、判、作 2 平面图形和立体图形的基本认识 ★ 选、填、判 3 钟表角度计算问题 ★★★ 选、填 4 长方形和正方形的拼接问题 ★★★ 选、填 5 平行四边形与三角形的关系问题 ★★★ 选、填 6 平行四边形与梯形的关系问题 ★★ 选、填 7 长方形、正方形、平行四边形、三角形、 ★★★★★ 选、填、计、解 梯形的面积 8 周长与面积的比较 ★★★ 选 9 圆的周长问题 ☆☆★★ 选、填、计、解 10 最圆·外方内圆与外圆内方 ★★★★★ 选、填 11 圆环的面积 ★★★★ 填、解 12 阴影图形的周长与面积 ★★★★★ 计、解 第82页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 13 立体图形的展开图 ★★ 选、作 14 长方体和正方体的表面积与体积 ★★★★★ 选、填、计、解 15 圆柱和圆锥的表面积与体积 ★★★★★ 选、填、计、解 16 圆柱与圆锥的旋转构成法 ★★★ 选、填 17 等积变形问题 ★★★★★ 解 18 切拼问题 ★★★★★ 选、填、解 19 排水法求不规则物体的体积 ★★★★★ 解 20 圆柱与圆锥的关系问题 ★★★★★ 选、填 21 倍比问题 ★★★ 选、填 22 组合体的表面积和体积 ★★★★★ 计、解 23 观察物体 ★ 选、填、作 24 平移、旋转和轴对称 ★★ 选、填、作 25 数对、位置与方向 ★★ 选、填、作 26 图形与几何综合作图 ★★★★★ 作 【预测命题方向01】线与角平行与垂直★ 1.(2025广东湛江·小升初真题)线段有( )个端点，射线有( )个端点（填1” 或2)。 【答案】 2 1 【分析】本题考查线段和射线的定义。线段是直线上两点之间的部分，因此有2个端点；射线 是直线上一点向一侧无限延伸的部分，因此有1个端点。 【详解】线段有2个端点，射线有1个端点。 2.(2025·四川绵阳·小升初真题)一个40°的角，透过放大5倍的放大镜看，这个角是( 。 【答案】40 【分析】根据角的定义，角的大小只和角两边张开的大小有关，和边的长度无关。虽然放大镜 放大了角两边的长度，但是角的大小不变，依旧是40°。 【详解】根据分析，一个40°的角，透过放大5倍的放大镜看，这个角是40°。 3.(2025·浙江金华·小升初真题)图中，直线a和b的位置关系是( ),直线a和c的位 第83页共286页 品学科网 www.zxx k.com 让教与学更高效 置关系是( ),直线b和d的位置关系是( ),∠1=61°，那么∠2=( )°。 【答案】 平行/互相平行 垂直/互相垂直 相交 119 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线： 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直 线的交点叫做垂足。据此判断几条直线的位置关系。由图可知，∠1和∠2组成了一个平角。 ∠1=61°，那么直接用180°减去61°即可算出∠2的度数。 【详解】由图可知，直线a和b没有交点，所以这两条直线互相平行。直线a和c相交成直角， 所以这两条直线互相垂直。直线b和d有交点，所以这两条直线相交。 ∠2=180°-∠1=180°-61°=119° 直线a和b的位置关系是平行，直线a和c的位置关系是垂直，直线b和d的位置关系是相交， ∠1=61°，那么∠2=119°。 【预测命题方向02】平面图形和立体图形的基本认识★ 1.（2024河南郑州·小升初真题)小学阶段很多知识之间有着密切联系。如图，若A表示等 腰三角形，则B可以表示等边三角形：若B表示方程，则A可以表示( ):请你自己 再举一个例子：( )。 【答案】 等式 若B表示长方形，则A可以表示平行四边形 【分析】有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形，据此可 知：等边三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知数的等式，据此可知方程是特殊的等式， 所以A可以表示等式；平行四边形：有两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形：长 方形：有一个角是直角的平行四边形是长方形：据此可知：长方形是特殊的平行四边形，可以 据此举例解答。 第84页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【详解】根据分析可知：方程是特殊的等式，所以若B表示方程，则A可以表示等式： 长方形是特殊的平行四边形，若B表示长方形，则A可以表示平行四边形。 小学阶段很多知识之间有着密切联系。如图，若A表示等腰三角形，则B可以表示等边三角 形：若B表示方程，则A可以表示等式；请你自己再举一个例子：若B表示长方形，则A可 以表示平行四边形。 (答案不唯一) 2.（2024浙江温州·小升初真题)知识之间是有密切联系的。如图，若A表示长方体，则B可 以表示正方体；若A表示相交，则B可以表示( ):若B表示等边三角形，则A可以表示 )。 A B 【答案】 垂直 等腰三角形 【分析】相交是指两条直线在同一平面内有一个公共点，垂直是相交的特殊情况，当两条相交 直线所成的角为90°时，这两条直线互相垂直：等边三角形是三条边都相等，三个角也都相等 (都是60°)的三角形，等腰三角形是至少有两条边相等的三角形。 【详解】所有的垂直都属于相交的范畴，垂直是相交的一种特殊形式，所以若A表示相交， B可以表示垂直： 等边三角形满足等腰三角形的定义，并且是等腰三角形中特殊的一种（三边都相等），即等 边三角形的概念范围完全包含于等腰三角形，所以若B表示等边三角形，A可以表示等腰三 角形。 g 【预测命题方向03】钟表角度计算问题★★★ 1. (2025·湖南长沙·小升初真题)钟面上指示3：30时，时针与分针的夹角是( )度。 【答案】75 【分析】 112 10 时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。3：30如图所示： 9 此时时针在3和4中间，分针指向6，一共是两大格和一个大格的一半，据此用30°×一十30°×2 第85页共286页 学科网 wwWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 即可解题。 【详解】30°号 +30°×2 =15°+60° =750 钟面上指示3：30时，时针与分针的夹角是75度。 2.(2025·安徽宿州小升初真题)从11：15到11：45，钟表的分针旋转了( 山 【答案】180°180度 【分析】分针转一个大格是30°，从11：15到11：45，分针从3走到9，走了6个大格，角度 即为30°×6=180°。据此解答即可。 【详解】30°×6=180° 从11：15到11：45，钟表的分针旋转了180°。 会【预测命题方向04】长方形和正方形的拼接问题★★★ 1.（2025河南郑州小升初真题)如下图，5个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个大长方 形，那么小长方形长与宽的比是( 【答案】3：2 【分析】设小长方形长为x,宽为y,如图长方形对边相等，3倍的小长方形的宽=2倍小长方 形的长，也就是3y=2x,则x:y=3:2。 【详解】设小长方形长为x,宽为y 3y=2x x:y=3:2。 2.(2019河南平顶山·小升初真题)把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方 第86页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 形。 用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是 )厘米。 【答案】 12 2n+2 【分析】用5个正方形拼成的长方形，长是5厘米，宽是1厘米。用n个正方形拼成的长方形， 长沙n厘米，宽是1厘米。根据长方形的周长=（长+宽）×2=2×长+2×宽解答。 【详解】(5+1)×2 =6×2 =12(厘米) 用5个正方形拼成的长方形的周长是12厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是(2+2) 厘米。 8 【预测命题方向05】平行四边形与三角形的关系问题★★★ 1.(2025·甘肃兰州小升初真题)奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。 这个三角形的面积是21.6cm2,底是6cm,拼成的平行四边形的高是( )cm。 6cm 【答案】3.6/ 【分析】图形剪拼过程中，面积不变，底也不变，即三角形底和平行四边形的底相等，面积相 等，平行四边形高=面积底。 【详解】平行四边形面积=三角形面积=21.6c,平行四边形底=三角形的底=6cm,则平行 四边形高为： 21.6÷6=3.6(cm) 2. (2025·重庆梁平，小升初真题)一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是 )厘米：与这个三角形等底等积的平行四边形的高是( )厘米。 【答案】 9 4 【分析】三角形的面积公式为：面积=底×高÷2，则底=面积×2-高，已知三角形面积为36平 方厘米，高是8厘米，把数据代入计算即可得出三角形的底。当平行四边形与三角形等底等积 第87页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 时，三角形的高是平行四边形高的2倍，所以用三角形的高除以2即可得出平行四边形的高。 【详解】36×2÷8=9（厘米） 8÷2=4(厘米) 一个三角形的底是9厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是4厘米。 【预测命题方向06】平行四边形与梯形的关系问题★★ 1.(2025·广东潮州小升初真题)图中，已知平行四边形ABCD的面积为40c2,那么图中 阴影部分的面积是( )cm2,整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是( ) 4 8cm D 40cm2 B C 4cm E 【答案】 10 5:1 【分析】平行四边形的面积公式为：面积=底×高，则高=面积÷底，已知平行四边形ABCD 的面积是40cm2,底AD为8cm,那么高为40÷8=5cm。这个高也是阴影三角形和梯形ABED 的高。 阴影部分是一个三角形，底为4cm,高为5cm。三角形的面积公式为：面积=底×高÷2，所以 阴影部分面积为：4×5÷2=10cn2。 梯形的面积是平行四边形的面积加上阴影部分面积，即40+10=50cm2.阴影部分面积是10cm2, 所以它们的面积比为50：10，最后化简即可。 【详解】40-8=5(cm) 5×4÷2=10(cm2) 40+10=50(cm2) 梯形面积：阴影部分面积=50：10 50:10 =(50÷10):(10÷10) =5:1 图中阴影部分的面积是10cm2,整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是5：1。 2. (2024重庆涪陵小升初真题)一个梯形的下底是18cm,如果下底缩短8cm,就成为一个 平行四边形，面积减少28cm2,原梯形的高是( )cmn,面积是( )cm2。 【答案】 7 98 第88页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 【分析】分析可知，减少的部分是一个三角形，三角形的面积是28cm2,底是8cm,用三角形 的面积乘2除以底，就求出三角形的高，这个高也是梯形的高： 梯形的下底是18cm,上底是18一8，根据：梯形面积=（上底+下底）×高÷2，即可得到答案。 【详解】28×2÷8 =56÷8 =7(cm) (18-8+18)×7÷2 =28×7÷2 =14×7 =98(cm2) 原梯形的高是7cm,面积是98cm2。 。【预测命题方向07】长方形、正方形、平行四边形、三角形，梯形的面积★★★★ ★ 1.(2025·云南昭通·小升初真题)永善县王叔叔家有一块平行四边形的橙子园，底是50米， 高是32米。每8平方米种一棵橙子树，这块地一共种了多少棵橙子树？ 【答案】200棵 【分析】根据平行四边形面积=底×高，求出橙子园的面积，橙子园的面积÷每棵橙子树的占 地面积=橙子树的棵数，据此列式解答。 【详解】32×50÷8 =1600÷8 =200(棵) 答：这块地一共种了200棵橙子树。 2. (2025·湖南邵阳·小升初真题)公园有一个长方形花圃，分成了两部分，分别种植月季和 杜鹃（如下图）。种月季的面积比种杜鹃的面积多90平方米，种月季的面积是多少平方米？ 月季 15米 杜鹃 24米 【答案】225平方米 【分析】如图：种月季的面积比种杜鹃的面积多90平方米，多出的面积就是左面小长方形的 第89页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 面积，种月季的图形是一个梯形，用长方形的面积除以15求出小长方形的宽，也就是梯形的 上底，下底是24米，高是15米，根据梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，代入数据解答即 可。 月季 15米 杜鹃 24米 【详解】(90-15+24)×15÷2 (6+24)×15÷2 =30×15÷2 =450-2 =225(平方米) 答：种月季的面积是225平方米。 3.(2025四川成都小升初真题)一个直角三角形的三条边的长度比是3：4：5，周长是60 厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】150平方厘米 【分析】三条边长度比为3：4：5，总份数为3+4+5=12份。已知周长是60厘米，所以每 份长度为60-12=5厘米。对应3份的边：5×3=15厘米，对应4份的边：5×4=20厘米， 对应5份的边：5×5=25厘米。直角三角形中，最长边(25厘米)是斜边，两条较短边(15 厘米、20厘米)是直角边（互为底和高）。根据面积公式：面积=底×高÷2，把数据代入计算 即可。 【详解】3+4+5=12（份） 60÷12=5(厘米) 5×3=15(厘米) 5×4=20(厘米) 5×5=25(厘米) 20×15÷2=150(平方厘米) 答：它的面积是150平方厘米。 。【预测命题方向08】周长与面积的比较★★★ 1.(2025·山东枣庄·小升初真题)图中甲乙（阴影部分）所在的大圆直径相等。下列说法正 第90页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 确的是( 甲 A.甲乙的周长和面积都相等 B.甲乙的面积相等，周长不相等 C.甲乙的周长相等，面积不相等 D.甲乙的周长和面积都不相等 【答案】B 【分析】由图可知，甲的周长为圆周长的一半+直径：因为乙中两个小圆的直径相加就是大圆 的直径，所以两个小圆的周长和就是大圆周长的一半。所以乙的周长为小圆的周长+大圆周长 的一半=大圆周长：所以乙的周长大，因此甲乙的周长不相等。甲的面积为圆面积的一半，乙 的面积为大圆面积的一半；所以甲乙的面积相等： 【详解】甲的周长=圆周长的一半+直径 乙的周长：小圆的周长+大圆周长的一半=大圆周长 甲的面积为圆面积的一半，乙的面积为大圆面积的一半。 所以甲乙的周长不相等，甲乙的面积相等。 故答案为：B 2. (2025·江西萍乡·小升初真题)甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲 剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸 的利用率相比( A.甲更高 B.乙更高 C.丙更高 D.三人都相同 【答案】D 【分析】假设正方形的边长，甲中扇形的半径等于正方形的边长，乙中圆的半径等于正方形边 长的一半，丙中小圆的半径等于正方形边长的，利用s彩=2分别求出三位同学所剪图形 的面积。 所剪的图形面积越大，对手工纸的利用率越高。 第91页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 所剪的图形面积相等，对手工纸的利用率相同。 所剪的图形面积越小，对手工纸的利用率越低，据此解答。 【详解】假设正方形边长为2， 1 甲：元×22×1 4 =π×4x 4 =元4×4 =元 乙：π×(2÷2)月 =πx12 =π 1) 丙：π×2× ×4 4 =πX, =4 二元 由上可知：甲、乙、丙三位同学剪的图形面积相等，所以三个人剩的手工纸一样多，也就是三 个人对手工纸的利用率相同。 故答案为：D 【预测命题方向09】圆的周长问题★★★★ 1.(2025·山西运城小升初真题)在班级元旦联欢会上，同学们围坐成一个圆形玩击鼓传花 游戏。李老师站在圆心位置负责击鼓。围成的这个圆形的周长是9.42米，那么每位同学与李 老师相距( )米。 【答案】 1.5 【分析】要求每位同学与李老师的距离，实际上是在求这个圆的半径。圆的半径=圆的周长 第92页共286页 学科网 wwWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 ÷3.14÷2。 【详解】9.42÷3.14÷2 =3÷2 =1.5(米) 2.（2025·江西新余·小升初真题)一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块地毯边缘行进 一周（如图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是1.5， 它的圆心走过路线的长度是( )dm。 ⊙←—⊙←⊙ 5dm⊙ -18dm ⊙→⊙→⊙ 【答案】76.82 【分析】从图中可知，扫地机器人的圆心走过路线为两个半圆和长方形的两条长。两个半圆可 以组成一个圆，这个圆的半径是(5+1.5)d,根据圆的周长公式C=2πr,求出这个圆的周 长，再加上2个18dm即可。 【详解】2×3.14×(5+1.5)+18×2 =6.28×6.5+36 =40.82+36 =76.82(dm) 所以它的圆心走过路线的长度是76.82dm。 令【预测命题方向10】最圆·外方内圆与外圆内方★★★★★ 1.(2025河南信阳·小升初真题)“圆”是中国文化的一个重要元素。圆，有圆满之意，符合中 国人内心深处的向往。在中国建筑中经常能见到外圆内方的设计。如图圆的直径是2米。那 么圆和正方形之间部分的面积是( )平方米。 【答案】1.14 【分析】 第93页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 “外圆内方”的设计，正方形为圆内最大的正方形，如图，可以将正方形沿对角线平均分成两个三角形，三 角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，利用S=2求出圆的面积，利用三角形的面积=底× 高÷2求出正方形面积的一半，再乘2求出正方形面积，最后用圆的面积减去正方形面积。 【详解】2÷2=1（米） 3.14×12 =3.14×1 =3.14(平方米) 2×1÷2×2 =2÷2×2 =1×2 =2(平方米) 3.14-2=1.14(平方米) 圆和正方形之间部分的面积是1.14平方米。 2.(2025·河南焦作·小升初真题)在正方形里面画一个最大的圆，已知正方形的面积等于8c2, 那么这个圆的面积是( )cm2。 【答案】6.28 【分析】在正方形里画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。设圆的半径为r,则正方形的边长为2r。己 知正方形的面积为8cm2,根据正方形面积公式S=a2(a为边长)，可得(2r)2=8,即4r2=8,两边同时 除以4，解得r2=2。根据圆的面积公式S=π2(r为半径，元取3.14)，将r2=2代入计算即可。 【详解】解：设圆的半径为r,则正方形的边长为2r。 (2r)2=8 4r2=8 r2=8÷4 r2=2 3.14×2=6.28(cm2) 圆的面积是6.28cm2。 第94页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 【预测命题方向11】圆环的面积★★★★ 1.(2025·江苏准安·小升初真题)为美化校园环境，实验小学需翻新广场中央的圆形花坛， 并紧贴花坛外围铺设一条宽1米的环形地砖带。已知花坛的半径为4米，请计算铺设地砖的面 积是多少平方米？（先绘制示意图，再解答） 【答案】见详解： 28.26平方米 【分析】根据环形的画法，先画出两个大小不同的同心圆，标注好内圆的半径4米和环宽1米，再根据环 形面积公式：S=(R2一r),把数据代入公式解答。 【详解】作图如下： 。4米 4+1=5(米) 3.14×(52-42) =3.14×(25-16) =3.14×9 =28.26(平方米) 答：铺设地砖的面积是28.26平方米。 2.（2025广西桂林·小升初真题)土星环是指由水、冰、尘埃和其他化学物质组成的绕着土 星运转的圆环。彬彬用一个乒乓球和一张圆环形硬纸板做了一个土星模型（如图），这张圆环 形硬纸板的面积是多少平方厘米？ 第95页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 10cm 2cm 【答案】50.24平方厘米 【分析】利用圆面积公式Sa=π×2，圆环的面积用以10厘米为直径的圆面积减(10-4)厘米为直径的圆的 面积即可求解。 【详解】元×(10÷2)2-π×(10÷2-2)2 =π×52-π×32 =25π-9元 =16元 ≈16×3.14 =50.24(平方厘米) 答：这张圆环形硬纸板的面积是50.24平方厘米。 【预测命题方向12】阴影图形的周长与面积★★★★★ 1. (2025·河北石家庄·小升初真题)两个正方形如图放置，求阴影部分的面积。 8 8 6 【答案】32 【分析】先将原图拼在一起的两个正方形补全成一个大长方形，如下图： 6 ②2 6 6 求阴影部分的面积就是用大长方形的面积减去①②③的3个空白三角形面积，根据长方形的面积=长×宽， 三角形的面积=底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】大长方形的面积： 第96页共286页 学科网 www zxx k.com 让教与学更高效 (8+6)x8 =14×8 =112 三角形①的面积：8×8÷2=32 三角形②的面积： 6×(8-6)÷2 =6×2÷2 =6 三角形③的面积： (8+6)×6÷2 =14×6÷2 =42 阴影部分的面积：112-32-6-42=32 阴影部分的面积32。 2.(2025·浙江宁波·小升初真题)计算阴影部分的面积。（单位：厘米） A D dd & 0 【答案】24平方厘米 【分析】阴影面积=长方形ABOE面积+长方形外部！圆的面积-长方形内部：圆的面积-三角形COD的 面积，长方形的长、宽分别是8厘米、4厘米，圆的半径是4厘米，三角形的两条直角边都是4厘米，根据 S长=ab,Ss=动，8w=π计算。 【i详解】84+3.144-3144-44 1 =84-44号 =32-8 =24(平方厘米) 第97页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 故阴影部分面积是24平方厘米。 3. (2025·河北承德·小升初真题)求图中阴影部分的周长。 33cm 20cm 【答案】117.4cm 【分析】阴影部分的周长由长方形的两条长、一条宽以及圆周长的一半组成。长方形的长为33cm,两条长 的长度为33×2=66(cm)。长方形的宽为20cm。圆的直径等于长方形的宽，即是20cm,根据半圆的周长 公式C=d2(取3.14，d为直径)，则半圆周长为(3.14×202)cm。阴影部分的周长为：(66+20+31.4) cm,据此计算即可 【详解】33×2=66(cm) 3.14×20:2 =62.8÷2 =31.4(cm) 66+20+31.4 =86+31.4 =117.4(cm) 阴影部分的周长为117.4cm。 4.(2025·贵州安顺·小升初真题)如图所示，将直角三角形ABC向右平移至直角三角形AB'C 的位置。其中AD=1,CC'=1.5,AB=3;求图中阴影部分的面积。（单位：cm) B B C1.5C 【答案】3.75cnm 【分析】阴影部分的面积等于梯形ABB'D的面积，用AB'AD求出BD的长，即梯形的上底长，根据平移 可知，BB=CC',根据梯形的面积=（上底十下底）×高2解答即可。 【详解】3-1=2 (2+3)×1.5÷2 第98页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 =5×1.5÷2 =3.75(cm2) 答：阴影部分的面积是3.75cm2。 【预测命题方向13】立体图形的展开图★★ (2025·山东·小升初模拟)下面的图形中( )是正方体的展开图。 【答案】A 【分析】在正方体展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个： 在正方体展开图中不会包含“田字形、“七字形、“凹字形，由此即可选择。 【详解】 是正方体的展开图。 2. (2025·河北承德·小升初真题)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半 径与高的比是( )。 A.1:2元 B.1:元 C.π：1 D.1:1 【答案】A 【分析】根据比的意义写出圆柱的底面半径与高的比为r:,因为圆柱的侧面展开图是正方形， 那么圆柱的高h和底面周长C相等，根据圆的周长公式C=2π，用2π替换h,再化简比即可。 【详解】这个圆柱的底面半径与高的比是：r:h r:h =12m =(1r):(2t) =1:2π 【预测命题方向14】长方体和正方体的表面积与体积★★★★★ 1.（2025·四川绵阳·小升初真题)粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高 350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元， 第99页共286页 学科网 wWW,ZX×k.Com 让教与学更高效 粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【分析】先根据1米=10分米=100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉 刷四周和顶棚，粉刷的面积=长×宽+长×高×2+宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一 间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千 克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【详解】60分米=6米，350厘米=3.5米 (8×6+8×3.5×2+6×3.5×2)-32 =(48+56+42)-32 (104+42)-32 =146-32 =114(平方米) 114×5×1.2×15 =570×1.2×15 =684×15 =10260(元) 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 2. (2025·江苏苏州小升初真题)学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6 米，四周用砖头砌成。砖的厚度是0.2米。 (1)如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ (2)在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36 元，一共需要多少钱？ 【答案】(1)3.6平方米： (2)0.726立方米；26.136元 【分析】(1)一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，则这个花坛的四个侧面是相同的。求 需要瓷砖多少平方米，就是求这个长方体花坛的侧面积，这四个面相等，用长方体的长×高×4， 第100页共286页学科网·学易金卷 一、填空题（共21分） 1. 154.37 272 2亿 2.15;3;75;七五 3. 50米 20 4.4 5.8 6.40 7.490 8.(1)20 (2) 正 0.25 9. 10.315 11.5 12. 151 1+3m 二、判断题（共5分) 13.× 14.× 15.× 16.× 17.× 三、选择题（共5分） 18.A 19.D 20.A 22.C 四、计算题（共27分） 23.336;0.3:4.88;20 www Zxx k.com 帝 参考答案 第1页，共6页 卷，就用学易金卷 高学科网·学易金卷 44 4:6.5:37 24.1哈号5到 哈哈》 -21-「3x1] 6[154 =2113 660 =10 (2)63×2.25-225%+21×1 6 46 -6含225-25+225x号 6 =2s61+ =2.25×6 =13.5 3+-+ 1324 99、101 =2233 ×.…×1 100100 、101 200 25.(1) 2,1 3x+2t=42 解：名=42 =42÷ 6 x=42x9 x=36 1 (2)4x+50ar=60 解：子=60 子=60月 3 www,ZX×k.C0m 做好 -00+0 第2页，共6页 卷，就用学易金卷 高学科网·学易金卷 www Zx x=60×3 4 x=80 (3)-36x+4.8 4 8 解：2×(x-3.6)=x+4.8 2x-7.2=x+4.8 2x-7.2-x+7.2=x+4.8-x+7.2 x=12 26.3.14×62÷4 =3.14×36÷4 =113.04÷4 =28.26(cm2) 3.14×42÷4 =3.14×16÷4 =50.24÷4 =12.56(cm2) 28.26+12.56-6×4 =28.26+12.56-24 =40.82-24 =16.82(cm2) 五、作图题（共10分） 27.(1)画图如下： O 第3页， x k.com 做号 共6页 卷，就用学易金卷 网学科网·学易金卷 www,ZX×k,C0m 做好卷，就用学易金卷 (2)18÷2=9(厘米) 9÷(2+1) =9÷3 =3(厘米) 长：3×2=6（厘米） 宽：3×1=3（厘米） 画图如下： 28.(1)按上述方法画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形，如下图； (2)按上述方法，取梯形的上底为1，下底为3，高为2，画出面积和三角形ABC相等的梯 形，如下图（画法不唯一）： (3)按上述方法画出圆按2：1放大后的图形，如下图。 A B C 六、解答题（共32分） 29.(48.2-6.2)÷5 =42÷5 =8.4(平方米) 第4页，共6页 高学科网·学易金卷 www Zx 答：1980年我国人均住房面积有8.4平方米。 30.968*8 =84*8 =70(万人次) 答：府西街站的客运量是70万人次。 31.解：设要加清水x克。 4:x=1:500 x=4×500 x=2000 答：要加清水2000克。 32.总份数：3+17=20（份） 盐的质量：200×0=30（克） 浓度：30÷150×100% =0.2×100% =20% 20%<26% 答：不能观察到盐结晶现象。 33.金百汇商厦： 55×60=3300(元) 3300÷1000=3(个)..300（元) 3300-120×3 =3300-360 =2940(元) 华联商厦： 55×60×85% =3300×0.85 =2805(元) 小芳超市： 第5页， k.com 做攻 共6页 卷，就用学易金卷 学科网·学易金卷 www,ZX×k,C0m 做好卷，就用学易金卷 60÷(5+1) =60÷6 =10（组) 实际需买：10×5=50（个） 55×50=2750(元) 比较：2750<2805<2940 小芳超市最便宜。 答：在金百汇商厦购买需要2940元，在华联商厦购买需要2805元，在小芳超市购买需要2750 元。小芳超市更划算。 34.圆柱形玻璃杯的底面半径：4÷2=2（厘米） 圆柱形玻璃杯的底面积： 3.14×22 =3.14×4 =12.56(平方厘米) 圆柱形玻璃杯的容积：12.56×10=125.6（立方厘米) 初始水的高度： 10x1 ×1+1 1o片 =5(厘米) 初始水的体积：12.56×5=62.8（立方厘米) 放入螺丝钉后水的高度： 10x、3 3+2 10x3 =6(厘米) 水加螺丝钉的体积：12.56×6=75.36（立方厘米） 螺丝钉的总体积：75.36-62.8=12.56（立方厘米） 枚螺丝钉的体积：12.56÷20=0.628（立方厘米) 答：一枚螺丝钉的体积为0.628立方厘米。 第6页，共6页 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（一） 参考时间：90分钟；试卷总分：100分 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空1分，共21分） 1．（本题3分）第19届亚运会在中国杭州举行。作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占地1543700平方米，合( )公顷。建筑面积约2720000平方米，把这个数改写成用“万平方米”作单位的数是( )万平方米。亚运会开幕式电视端累计观众收视人次达199086782次，这个数省略亿位后面的尾数约是( )次。 【答案】 154.37 272 2亿 【分析】把高级单位的名数换算成低级单位的名数，用高级单位的数乘进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，用低级单位的数除以进率。 【详解】1公顷＝10000平方米，1543700÷10000＝154.37（公顷），即作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占地1543700平方米，合（154.37）公顷。 2720000平方米＝272万平方米，建筑面积约2720000平方米，把这个数改写成用“万平方米”作单位的数是（272）万平方米。 199086782≈2亿，这个数省略亿位后面的尾数约是（2亿）次。 2．（本题4分）( )∶20＝0.75＝＝( )%＝( )折。 【答案】15；3；75；七五 【分析】分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数不变； 分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数； 小数化分数：一位小数、两位小数、三位小数⋯化为分数后，分数的分母为10、100、1000⋯把原来的小数去掉小数点作分子；化成分数后，能约分的要约分，是假分数的要化成最简分数。 将小数点向右移动两位并添加百分号即可转化为百分数，百分之几就是几折。 【详解】； ； 。 即。 3．（本题2分）比40米多是( )，15千克比( )千克少25%。 【答案】 50米 20 【分析】第1空，把40米看作单位“1”。要求的数是单位“1”的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 第2空，把要求的数看作单位“1”。15千克是单位“1”的（1－25％），根据对应量除以对应分率等于单位“1”的量解决。 【详解】 ＝ ＝50（米） ＝ ＝20（千克） 所以，比40米多是50米，15千克比20千克少25%。 4．（本题1分）一个整数把小数点向左移动一位，得到一个一位小数，这个小数比整数小了3.6，这个整数是( )。 【答案】4 【分析】整数的小数点向左移动一位，相当于原数除以10，得到一位小数，原来的数看作10份，一位小数看作1份，这个小数比整数小了3.6，10份减去1份得到9份，9份相当于3.6，用3.6除以份数即可求出小数是多少，之后去掉小数点即可确定整数。 据此列出算式算出答案。 【详解】10－1＝9（份） 3.6÷9＝0.4 所以这个整数是4。 5．（本题1分）笑笑的存钱罐里有面值5元和面值10元的人民币共12张，合计80元。其中面值5元的有( )张。 【答案】8 【分析】可以利用方程解决问题，10元的面值张数＝12张－5元面值张数，5元面值的张数×5元＋10元面值的张数×10元＝80元，利用等量关系进行求解即可。 【详解】设面值5元的人民币为张，则10元面值的人民币有张。 那么面值5元的有8张。 6．（本题1分）一个班男生和女生人数原来的比是9∶11，这学期转来2名男生，这时男生占总人数的，这个班原来有( )人。 【答案】40 【分析】设这个班原来有x人，因为男生和女生人数原来的比是9∶11，所以原来男生人数有x人，女生人数有x人，这学期转来2名男生，总人数变为（x＋2）人，且男生占总人数的，因为女生人数不变，把新的总人数看作单位“1”，所以此时男生人数占新总人数的（1－），据此可列方程：（x＋2）×（1－）＝x，然后根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设这个班原来有x人。 把新的总人数看作单位“1”。 （x＋2）×（1－）＝x （x＋2）×＝x x＋2＝x÷ x＋2＝x× x＋2＝x x－x＝2 x＝2 x＝2÷ x＝2×20 x＝40 这个班原来有40人。 7．（本题1分）成都“一带一路大厦”，在一幅比例尺是1∶20000的图上量得楼高约是2.45厘米，“一带一路大厦”实际高度是( )米。 【答案】490 【分析】已知比例尺是1∶20000＝，表示图上1厘米代表实际20000厘米。图上距离是2.45厘米，根据：实际距离＝图上距离÷比例尺，把数据代入计算后把单位换算成米即可。 【详解】1∶20000＝ 2.45÷ ＝2.45×20000 ＝49000（厘米） 1米＝100厘米 49000÷100＝490（米） 所以“一带一路大厦”实际高度是490米。 8．（本题3分）小明家与姥姥家相距5千米。周末小明骑车从家出发去探望姥姥，去的途中修理自行车耽搁了一些时间。从图中可以看出： (1)小明在路上修车用了( )分。 (2)从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成( )比例，他的速度是( )千米/分。 【答案】(1)20 (2) 正 0.25 【分析】（1）路程不变的阶段是修车时间。由图可知，第20分钟到第40分钟时路程不变，因此修车用时为40－20＝20分。 （2）从姥姥家返回时（路程从5千米降至 0），路程随时间增加而均匀减少，速度（路程÷时间）恒定，根据“两种相关联的量，比值一定时成正比例”，可知路程和时间成正比例；返回用时为120－100＝20分钟，路程为5千米，根据“速度＝路程÷时间”可求出返回时的速度。 【详解】（1）40－20＝20（分） 小明在路上修车用了20分。 （2）5÷（120－100） ＝5÷20 ＝0.25（千米/分） 所以从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成正比例，他的速度是0.25千米/分。 9．（本题1分）活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是( )分米。 【答案】 【分析】等腰三角形的特征是两条腰相等，已知一个等腰三角形的两条边的长度分别是分米和分米，则另外一条边可能是分米或分米；根据三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边求出另一条边的长度，最后把三条边相加之和就是这个等腰三角形的周长。 【详解】如果这个等腰三角形的腰长度是分米。 ＋＝，因为＜，不满足三角形的两边之和大于第三条边，所以这个等腰三角形的腰长度是分米。 ＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝（分米） 这个三角形的周长是分米。 10．（本题1分）李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】315 【分析】把一根长方体木料锯成3段，需要锯（3－1）次，每锯1次增加2个截面，据此确定增加的截面个数，增加的表面积÷截面个数＝截面面积，木料长度＝段数×每段长度，根据长方体体积公式V＝Sh，用截面面积乘总长，即可求出它的体积，注意统一单位。 【详解】1.5米＝15分米 15×3＝45（分米） 28÷[（3－1）×2] ＝28÷[2×2] ＝28÷4 ＝7（平方分米） 7×45＝315（立方分米） 这根木料的体积是315立方分米。 【点睛】抓住表面积增加部分是长方体的4个底面的面积是解答此题的关键;注意单位名数的统一。 11．（本题1分）一个盒子里装有大小相同的红黄蓝白球各5个，至少摸出( )个球，才能保证摸到两个相同颜色的球。 【答案】5 【分析】要保证有2个球颜色相同，最不利的情况是：每种颜色的球都先摸出1个，此时再摸1个，无论是什么颜色，都能使该颜色的球达到2个。 【详解】4＋1＝5（个） 所以至少摸出5个球，才能保证摸到两个相同颜色的球。 12．（本题2分）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去： 第50个图案中需要摆棋子( )枚，第n个图案中需要摆棋子( )枚。 【答案】 151 1＋3n 【分析】由图可知，第1个图案中需要摆4枚棋子，可表示为1＋3×1； 第2个图案中需要摆7枚棋子，可表示为1＋3×2； 第3个图案中需要摆10枚棋子，可表示为1＋3×3； 发现规律：第n个图案中需要摆（1＋3n）枚棋子；据此解答。 【详解】1＋3×50 ＝1＋150 ＝151（枚） 因此，第50个图案中需要摆棋子151枚，第n个图案中需要摆棋子（1＋3n）枚。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题1分，共5分） 13．（本题1分）两个计数单位之间的进率是10。( ) 【答案】× 【分析】在十进制计数法中，每相邻两个计数单位之间的进率是 10。例如，个和十是相邻的计数单位，进率是 10；但个和百不是相邻的计数单位，进率是 100。题干中只提到“两个计数单位”，未说明是“相邻”的，因此进率不一定是 10。原题干中说法错误。 【详解】根据十进制计数法的规则，只有相邻的两个计数单位之间的进率才是 10。因此“两个计数单位之间的进率是10”说法错误。 故答案为：× 14．（本题1分）一个角的两条边越长，角就越大。( ) 【答案】× 【分析】角的大小由两条边张开的大小决定，与边的长短无关。 【详解】无论延长或缩短一个角的边，角的两条边张开的大小都不会改变。因此本题说法错误。 故答案为：× 15．（本题1分）一个两位数，个位上的数字是y，十位上的数字是x，这个数是xy。( ) 【答案】× 【分析】两位数的表示方法。十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一，因此正确的两位数应为十位数字乘10加个位数字。据此解答。 【详解】一个两位数，十位上的数字是x，表示x个十，即10x；个位上的数字是y，表示y个一。因此这个数应表示为10x ＋ y。题目中将十位和个位数字直接并列写成“xy”，不符合数学表达规范（“xy”通常表示x与y相乘），因此判断为错误。 故答案为：× 16．（本题1分）（甲数和乙数都不等于0），那么甲数∶乙数＝15∶1。( ) 【答案】× 【分析】根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，如果甲数×a＝乙数×b（a、b均不为0），则甲数∶乙数＝b∶a。本题中a＝，b＝，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简为最简单的整数比，据此判断。 【详解】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝15∶16 与题干中的15∶1矛盾，因此甲数∶乙数＝15∶1的说法错误。 故答案为：× 17．（本题1分）在含糖20%的糖水中加入相同质量的糖和水后，糖水的含糖率不变。( ) 【答案】× 【分析】在含糖20%的糖水中，糖占糖水总质量的20%。加入相同质量的糖和水后，新糖水的总质量和糖的质量均增加，但糖的质量增加率大于水的增加率（因为加入的糖和水质量相等，而原糖水中已有水），导致含糖率上升。因此，含糖率不变的说法错误。 【详解】设原糖水质量为100克，则糖的质量为（克），水的质量为（克）。 加入相同质量的糖和水各m克（），则新糖水总质量为克，新糖质量为克。新含糖率为。 例如，当克时，新含糖率为，大于20%；当克时，新含糖率为，仍大于20%。因此，含糖率不变不成立。 故答案为：× 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共5分） 18．（本题1分）下面各组数中，不是互为相反意义的量是( )。 A．增加2kg和减少2cm B．收入200元和支出150元 C．向东走8m和向西走10m D．上升10dm和下降15dm 【答案】A 【分析】因为互为相反意义的量需要满足两个条件，一是意义相反，二是属于同一类量，由此即可判定。 【详解】2kg是质量，2cm是长度，不属于同一类量，即不是互为相反意义的量是“增加2kg和减少2cm”。 19．（本题1分）下面四个物体都是由5个小正方体组成，从前面和上面看到的形状不一样的物体是( )。 A．B． C． D． 【答案】D 【分析】从前面和上面观察这四个物体，分别得出从前面和上面看到的平面图形，再比较，找出从前面和上面看到的形状不一样的物体。 【详解】从前面和上面看到的形状如下图： A． B． C． D． 从前面和上面看到的形状不一样的物体是。 故答案为：D 20．（本题1分）一次考试中，乐乐语文和数学的平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分，乐乐这三科的平均分是( )分。 A．a＋2 B．a＋3 C．a＋4 D．a＋6 【答案】A 【分析】根据题意，语文和数学两科平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分，英语分是a＋6，语文和数学的总分数是a×2，把这三科成绩相加的和，再除以3，就是这三科的平均分。 【详解】（a×2＋a＋6）÷3 ＝（3a＋6）÷3 ＝（a＋2）分 因此，乐乐这三科的平均分是（a＋2）分。 故答案为：A 21．（本题1分）一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是( )。 A．10∶8 B．5∶4 C．∶ D．4∶5 【答案】D 【分析】把工作总量看作单位“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间，求得甲、乙两队的工作效率后，求比即可。 【详解】把工作总量看作单位“1”。 所以甲乙两队工作效率比是4∶5。 故答案为：D 22．（本题1分）妙想将3000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是1.2%，到期后可以获得本金和利息一共多少元？正确列式是( )。 A．3000×1.2% B．3000×1.2%×2 C．3000×1.2%×2＋3000 D．3000×（1＋1.2%）×2 【答案】C 【分析】根据利息＝本金×利率×时间，列出利息算式，再加上本金，即可解答。 【详解】3000×1.2%×2＋3000 ＝36×2＋3000 ＝72＋3000 ＝3072（元） 妙想将3000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是1.2%，到期后可以获得本金和利息一共多少元？正确列式是3000×1.2%×2＋3000。 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 四、一丝不苟，细心计算。（共27分） 23．（本题8分）直接写出得数。                              【答案】336；0.3；4.88；20 4；6.5；； 【解析】略 24．（本题9分）能简便计算的简便计算。 （1） （2） （3）… 【答案】（1）10 （2）13.5 （3） 【分析】（1）在既有中括号，又有小括号的计算中，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的； （2）在几个乘法算式相加的计算中，如果有一个因数是相同的，可以利用乘法分配律进行简便计算，即； （3）在一长串的算式中，可以先化简，然后观察它们的规律，最后进行作答。 【详解】（1） （2） （3） 25．（本题6分）解方程。 （1）    （2）    （3） 【答案】（1）＝36；（2）＝80；（3）＝12 【分析】（1）先计算等式的左边，即，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可； （2）先把百分数化成分数，即50%＝，先计算等式的左边，得，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可； （3）根据等式的性质2，等式两边同时乘8，得到2×（－3.6）＝＋4.8，先计算等式的左边，即2×（－3.6）＝2－7.2，根据等式的性质1，等式两边同时减去，再加上7.2即可。 【详解】（1） 解：＝42 ÷＝42÷ ＝42× ＝36 （2） 解：＝60 ÷＝60÷ ＝60× ＝80 （3） 解：2×（－3.6）＝＋4.8 2－7.2＝＋4.8 2－7.2－＋7.2＝＋4.8－＋7.2 ＝12 26．（本题4分）求下图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】16.82cm2 【分析】由图可知，阴影部分面积＝半径为6cm的扇形面积＋半径为4cm的扇形面积－长方形面积，根据圆的面积＝πr2，扇形的面积是圆的面积的，代入数据即可求出扇形面积；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出长方形的面积，据此解答即可。 【详解】3.14×62÷4 ＝3.14×36÷4 ＝113.04÷4 ＝28.26（cm2） 3.14×42÷4 ＝3.14×16÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（cm2） 28.26＋12.56－6×4 ＝28.26＋12.56－24 ＝40.82－24 ＝16.82（cm2） 评卷人 得分 五、手脑并用，实践操作。（共10分） 27．（本题4分）下面每个方格的边长表示1厘米。 (1)方格中的圆以点为圆心，请你将所画圆的涂上颜色。 (2)请在方格里画一个长方形，使长方形的周长是18厘米，长与宽的比是。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）先把25%转化为，利用圆的对称性，过圆心画两条垂直的半径把圆分成4等份，涂其中1份即可。 （2）先根据周长求出长与宽的和，再按2∶1分配得到长和宽的长度，最后在方格中画出对应大小的长方形。 【详解】（1）画图如下： （2）18÷2＝9（厘米） 9÷（2＋1） ＝9÷3 ＝3（厘米） 长：3×2＝6（厘米） 宽：3×1＝3（厘米） 画图如下： 28．（本题6分） （1）画出三角形ABC绕点A逆时针旋转后的图形。 （2）在方格纸中画出一个面积和三角形ABC相等的梯形。 （3）在圆O的南偏东方向，画出圆按放大后的图形。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）根据图形旋转的性质，绕点A逆时针旋转90°即点A位置不变，点B、C分别绕点A逆时针旋转90°。先确定点B、C绕点A逆时针旋转90°后的对应点的位置，再依次连接A和B、C对应点得到旋转后的三角形。 （2）先计算三角形ABC的面积，设方格边长为1，通过数方格法可知三角形ABC面积为4×2÷2＝4。根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，要使梯形面积为4，即（上底＋下底）×高÷2＝4，则（上底＋下底）×高＝8，因为8＝1×8＝2×4，因此选取任意一组作为梯形上底＋下底的和以及高画出梯形即可； （3）根据图形放大的性质，圆按2∶1放大，即半径变为原来的2倍，即圆O的半径为1，放大后的圆半径则为2。以圆O为观测点，在南偏东45°方向上的位置，画出半径为2的圆。 【详解】（1）按上述方法画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形，如下图； （2）按上述方法，取梯形的上底为1，下底为3，高为2，画出面积和三角形ABC相等的梯形，如下图（画法不唯一）； （3）按上述方法画出圆按2∶1放大后的图形，如下图。 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 六、走进生活，解决问题。（共32分） 29．（本题5分）据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？ 【答案】 8.4平方米 【分析】用2024年我国人均住房面积的48.2平方米减去6.2平方米，再除以倍数5倍即可求出1980年我国人均住房面积有多少平方米。 【详解】（48.2－6.2）÷5 ＝42÷5 ＝8.4（平方米） 答：1980年我国人均住房面积有8.4平方米。 30．（本题5分）太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人次，大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的，府西街站的客运量是多少万人次？ 【答案】70万人次 【分析】先把长风街站的客运量看作单位“1”，大南门站的客运量是长风街站的，用乘法求出大南门站的客运量；然后把大南门站的客运量看作单位“1”，府西街站的客运量是大南门站的，再用乘法求出府西街站的客运量。 【详解】96×× ＝84× ＝70（万人次） 答：府西街站的客运量是70万人次。 31．（本题5分）妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 【答案】2000克 【分析】根据题意，洗洁精∶清水＝1∶500，我们可以设清水为x克，然后列出关系式，即4∶x＝1∶500，从而通过解方程求得清水的克数。 【详解】解：设要加清水x克。 4∶x＝1∶500 x＝4×500 x＝2000 答：要加清水2000克。 32．（本题5分）“盐池”里的科学。 运城盐池是我国最古老的盐池之一，盐工们通过晾晒盐水使盐结晶。已知常温下，当盐水浓度超过26%时，便会发生盐结晶现象。小宇在科学实验课上模拟这一过程，他配制了200克盐水，其中盐与水的质量比是3∶17。他将盐水加热蒸发，当盐水质量减少到150克时停止加热并冷却至常温。请问此时小宇能观察到盐结晶现象吗？请通过计算说明理由。 【答案】不能 【分析】先根据盐与水的质量比3∶17，把盐水的总质量看作3＋17＝20份，从而得出盐在原来200克盐水中所占的占比为，再用原来盐水的总质量乘这个占比求出盐的质量。蒸发过程中盐的质量保持不变，用盐的质量除以蒸发后盐水的质量150克求出此时盐水的浓度；最后将求出的浓度与26%进行比较，以此判断是否会出现盐结晶现象。 【详解】总份数：3＋17＝20（份） 盐的质量：200×＝30（克） 浓度：30÷150×100% ＝0.2×100% ＝20% 20%＜26% 答：不能观察到盐结晶现象。 33．（本题6分）保洁组的同学要购买60个单价为55元的海绵拖把。下面是三家商店给出的优惠方案： 金百汇商厦每满1000元，返还现金120元 华联商厦 一律八五折 小芳超市 买五送一 请算出每家商店购买各需要多少钱，并比较哪家商店更划算？ 【答案】金百汇商厦：2940元；华联商厦：2805元；小芳超市：2750元；小芳超市更划算。 【分析】金百汇商厦：“每满1000元，返还现金120元”，先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买60个拖把所需的总钱数，再用除法求出总钱数里有几个1000元，就减去几个120元，求出在金百汇商厦购买拖把需付的钱数； 华联商厦：“一律八五折”，即现价是原价的85%；先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买60个拖把所需的总钱数，再乘85%，求出在华联商厦购买拖把所需的钱数； 小芳超市：把“买五送一”看作一组，先用除法求出60里有几组，进而求出实际需买拖把的数量；然后根据“单价×数量＝总价”，求出在小芳超市购买拖把所需的钱数； 最后比较三家商店购买60个拖把所需的钱数，得出在哪家商店买更划算。 【详解】金百汇商厦： 55×60＝3300（元） 3300÷1000＝3（个）……300（元） 3300－120×3 ＝3300－360 ＝2940（元） 华联商厦： 55×60×85% ＝3300×0.85 ＝2805（元） 小芳超市： 60÷（5＋1） ＝60÷6 ＝10（组） 实际需买：10×5＝50（个） 55×50＝2750（元） 比较：2750＜2805＜2940 小芳超市最便宜。 答：在金百汇商厦购买需要2940元，在华联商厦购买需要2805元，在小芳超市购买需要2750元。小芳超市更划算。 34．（本题6分）数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 【答案】0.628立方厘米 【分析】根据圆柱体积公式计算玻璃杯的容积；由初始水的高度与水面离杯口的距离比为1：1，可知水体积占杯容积的一半；由放入螺丝钉后水的高度与水面离杯口的距离比为3：2，可知水加螺丝钉的体积占杯容积的；螺丝钉的总体积等于水加螺丝钉的体积减去水的体积；再除以螺丝钉的数量20，得到一枚螺丝钉的体积。 【详解】圆柱形玻璃杯的底面半径：（厘米） 圆柱形玻璃杯的底面积： （平方厘米） 圆柱形玻璃杯的容积：（立方厘米） 初始水的高度： （厘米） 初始水的体积：（立方厘米） 放入螺丝钉后水的高度： （厘米） 水加螺丝钉的体积：（立方厘米） 螺丝钉的总体积：（立方厘米） 一枚螺丝钉的体积：（立方厘米） 答：一枚螺丝钉的体积为0.628立方厘米。 【点睛】本题考查了比的应用和圆柱的体积，能根据比求出水和螺丝钉的体积占玻璃杯的几分之几，会灵活运用圆柱的体积公式是解题的关键。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（一) 参考时间：90分钟：试卷总分：100分 题号 二 三 四 五 六 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2.请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3.测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空1分。共21分) 1.(本题3分)第19届亚运会在中国杭州举行。作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区 占地1543700平方米，合( )公顷。建筑面积约2720000平方米，把这个数改写成用万 平方米”作单位的数是( )万平方米。亚运会开幕式电视端累计观众收视人次达 199086782次，这个数省略亿位后面的尾数约是( )次。 【答案】 154.37 272 2亿 【分析】把高级单位的名数换算成低级单位的名数，用高级单位的数乘进率；把低级单位的名 数换算成高级单位的名数，用低级单位的数除以进率。 【详解】1公顷=10000平方米，1543700÷10000=154.37（公顷)，即作为亚运会主场馆的杭 州奥体博览城核心区占地1543700平方米，合（154.37)公顷。 2720000平方米=272万平方米，建筑面积约2720000平方米，把这个数改写成用“万平方米， 作单位的数是(272)万平方米。 199086782≈2亿，这个数省略亿位后面的尾数约是(2亿)次。 试卷第1页，共21页 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2.(本题4分)( ):20=0.75=）=( )%=( )折。 4 【答案】15：3；75；七五 【分析】分数的分子和分母同时乘或除以同一个数(0除外)，分数不变： 分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数： 小数化分数：一位小数、两位小数、三位小数·化为分数后，分数的分母为10、100、1000 把原来的小数去掉小数点作分子；化成分数后，能约分的要约分，是假分数的要化成最简分数。 将小数点向右移动两位并添加百分号即可转化为百分数，百分之几就是几折。 【详解】075-高而器-子 0.75=33x515 44×520 15:20； 0.75=75%=七五折。 即15：20=0,75=3=75%=七五折。 4 3.(本题2分)比40米多号是( ),15千克比( )千克少25%。 【答案】 50米 20 【分析】第1空，把40米看作单位1”。要求的数是单位“1的(1+)，根据求一个数的几分 之几是多少，用乘法计算。 第2空，把要求的数看作单位1”。15千克是单位1的(1一25%)，根据对应量除以对应分率 等于单位1的量解决。 【详解】40x0+子 =0月 =50(米) 15÷1-25%) =15÷0.75 =20(千克) 所以，比40米多是50米，15千克比20千克少25%。 4.(本题1分)一个整数把小数点向左移动一位，得到一个一位小数，这个小数比整数小了 3.6,这个整数是( ) 试卷第2页，共21页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【答案】4 【分析】整数的小数点向左移动一位，相当于原数除以10，得到一位小数，原来的数看作10 份，一位小数看作1份，这个小数比整数小了3.6,10份减去1份得到9份，9份相当于3.6， 用36除以份数即可求出小数是多少，之后去掉小数点即可确定整数。 据此列出算式算出答案。 【详解】10一1=9（份） 3.6÷9=0.4 所以这个整数是4。 5.(本题1分)笑笑的存钱罐里有面值5元和面值10元的人民币共12张，合计80元。其中 面值5元的有( )张。 【答案】8 【分析】可以利用方程解决问题，10元的面值张数=12张一5元面值张数，5元面值的张数×5 元十10元面值的张数×10元=80元，利用等量关系进行求解即可。 【详解】设面值5元的人民币为x张，则10元面值的人民币有12-x张。 5x+1012-x)=80 5x+120-10x=80 120-5x=80 5x=120-80 5x=40 x=40÷5 x=8 那么面值5元的有8张。 6.(本题1分)一个班男生和女生人数原来的比是9：11，这学期转来2名男生，这时男生占 总人数的”。这个班原来有( )人 【答案】40 【分析】设这个班原来有x人，因为男生和女生人数原来的比是9：11，所以原来男生人数有 )x人，女生人数有，x人，这学期转来2名男生，总人数变为(x十2)人，且男生占 9 总人数的，因为女生人数不变，把新的总人数看作单位1，所以此时男生人数占新总人数 试卷第3页，共21页 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 的(1- 10 21）, 搭此可列方程：(x+2》×(1-品)=，x,然后根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设这个班原来有x人。 把新的总人数看作单位1”。 (x+2)×(1- ”=g品 9+11X (x+2) 1111 2120× 1111 x+2=20X*21 1121 x+2=20Xx 11 x+2=0x 21 2 20X-x=2 20X=2 x=2×20 x=40 这个班原来有40人。 7.（本题1分)成都一带一路大厦”，在一幅比例尺是1：20000的图上量得楼高约是2.45厘 米，“一带一路大厦实际高度是( )米。 【答案】490 【分析】已知比例尺是1：20000= 20000’表示图上1厘米代表实际20000厘米。图上距离是 1 2.45厘米，根据：实际距离=图上距离÷比例尺，把数据代入计算后把单位换算成米即可。 【详解】1：20000= 1 20000 1 2.45*2000 =2.45×20000 =49000(厘米) 1米=100厘米 49000÷100=490(米) 试卷第4页，共21页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以“一带一路大厦实际高度是490米。 8.(本题3分)小明家与姥姥家相距5千米。周末小明骑车从家出发去探望姥姥，去的途中修 理自行车耽搁了一些时间。从图中可以看出： 路程/千米 2 1 20406080100120140时间/分 (1)小明在路上修车用了( 分。 (2)从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成( )比例，他的速度是( )千米分。 【答案】(1)20 (2) 正 0.25 【分析】(1)路程不变的阶段是修车时间。由图可知，第20分钟到第40分钟时路程不变，因 此修车用时为40一20=20分。 (2)从姥姥家返回时（路程从5千米降至0)，路程随时间增加而均匀减少，速度（路程：时 间)恒定，根据两种相关联的量，比值一定时成正比例”，可知路程和时间成正比例：返回用 时为120一100=20分钟，路程为5千米，根据速度=路程÷时间可求出返回时的速度。 【详解】(1)40-20=20（分） 小明在路上修车用了20分。 (2)5÷(120-100) =5÷20 =0.25(千米/分) 所以从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成正比例，他的速度是0.25千米分。 9.（本偃1分)话动课上，同学们用铁丝圈成一个等股三角形，其中两条边的长度号分米和 分米，这个三角形的周长是( )分米。 【答案】号 【分析】等腰三角形的特征是两条辰相等，已知一个等腰三角形的两条边的长度分别是专分 米和分米，则另外一条边可能是号分米或分米：根据三角形的两边之和大于第三条边，两 边之差小于第三条边求出另一条边的长度，最后把三条边相加之和就是这个等腰三角形的周长。 试卷第5页，共21页 念学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】如果这个等腰三角形的腰长度是音分米。 吉+言一号，因为层<号不满足三角形的两边之和大于第条边，所以这个等服角形的 医长度是分米。 ++吉 994 5+5+5 18+4 15+15 22 (分米) 这个三角形的周长是器分米。 10.(本题1分)李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积 之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】315 【分析】把一根长方体木料锯成3段，需要锯(3一1)次，每锯1次增加2个截面，据此确定 增加的截面个数，增加的表面积÷截面个数=截面面积，木料长度=段数×每段长度，根据长方 体体积公式V=Sh,用截面面积乘总长，即可求出它的体积，注意统一单位。 【详解】1.5米=15分米 15×3=45(分米) 28÷[(3-1)×2] =28÷[2×2] =28÷4 =7(平方分米) 7×45=315(立方分米) 这根木料的体积是315立方分米。 【点睛】抓住表面积增加部分是长方体的4个底面的面积是解答此题的关键；注意单位名数的 统一。 11.（本题1分)一个盒子里装有大小相同的红黄蓝白球各5个，至少摸出( )个球， 才能保证摸到两个相同颜色的球。 【答案】5 试卷第6页，共21页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【分析】要保证有2个球颜色相同，最不利的情况是：每种颜色的球都先摸出1个，此时再摸 1个，无论是什么颜色，都能使该颜色的球达到2个。 【详解】4+1=5（个） 所以至少摸出5个球，才能保证摸到两个相同颜色的球。 12.(本题2分)用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去： ① ② ③ 第50个图案中需要摆棋子( )枚，第n个图案中需要摆棋子( )枚。 【答案】 151 1+3n 【分析】由图可知，第1个图案中需要摆4枚棋子，可表示为1+3×1： 第2个图案中需要摆7枚棋子，可表示为1+3×2： 第3个图案中需要摆10枚棋子，可表示为1十3×3： 发现规律：第n个图案中需要摆（1+3n)枚棋子；据此解答。 【详解】1+3×50 =1+150 =151(枚) 因此，第50个图案中需要摆棋子151枚，第n个图案中需要摆棋子(1+3n)枚。 评卷人 得分 一。 仔细推敲，判断正误。（对的画V，错的画×，每题1分，共5分) 13.(本题1分)两个计数单位之间的进率是10。( 【答案】× 【分析】在十进制计数法中，每相邻两个计数单位之间的进率是10。例如，个和十是相邻的 计数单位，进率是10：但个和百不是相邻的计数单位，进率是100。题干中只提到“两个计数 单位”，未说明是相邻的，因此进率不一定是10。原题干中说法错误。 【详解】根据十进制计数法的规则，只有相邻的两个计数单位之间的进率才是10。因此两个 计数单位之间的进率是10”说法错误。 故答案为：× 14.(本题1分)一个角的两条边越长，角就越大。( 试卷第7页，共21页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【答案】× 【分析】角的大小由两条边张开的大小决定，与边的长短无关。 【详解】无论延长或缩短一个角的边，角的两条边张开的大小都不会改变。因此本题说法错误。 故答案为：× 15.(本题1分)一个两位数，个位上的数字是y,十位上的数字是x,这个数是y。( 【答案】× 【分析】两位数的表示方法。十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一，因此正确 的两位数应为十位数字乘10加个位数字。据此解答。 【详解】一个两位数，十位上的数字是x,表示x个十，即1Ox:个位上的数字是y,表示y 个一。因此这个数应表示为10x+y。题目中将十位和个位数字直接并列写成xy”,不符合 数学表达规范(xy通常表示x与y相乘)，因此判断为错误。 故答案为：× 16.(本题1分)甲数×4乙数×3（甲数和乙数都不等于0），那么甲数：乙数=15：1( 【答案】× 【分析】根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，如果甲数×a=乙数×b(a、b 均不为0)，则甲数：乙数=b:a。本题中a=手，b=子，根据比的基本性质：比的前项和后 项同时乘或除以相同的数(0除外。比值不变，化简为最简单的整数比，裙此判断。 【详解】甲数×4=乙数x 甲数：乙数=3：4 4·5 =(×20):(传*20) =15:16 与题干中的15：1矛盾，因此甲数：乙数=15：1的说法错误。 故答案为：× 17.(本题1分)在含糖20%的糖水中加入相同质量的糖和水后，糖水的含糖率不变。( 【答案】× 【分析】在含糖20%的糖水中，糖占糖水总质量的20%。加入相同质量的糖和水后，新糖水 的总质量和糖的质量均增加，但糖的质量增加率大于水的增加率（因为加入的糖和水质量相等， 试卷第8页，共21页 念学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 而原糖水中已有水)，导致含糖率上升。因此，含糖率不变的说法错误。 【详解】设原糖水质量为100克，则糖的质量为100×20%=20（克），水的质量为100-20=80（克）。 加入相同质量的糖和水各m克(m>0),则新糖水总质量为100+叶m=q00+2)克，新糖质 量为(20十m)克。新含糖率为20+”×100%。 100+2 例如，当10克时，新含糖率为20+1030=025=259%，大于20%：当F20克时，新含糖 100+20120 率为20+20.40 ≈0.2857=28.57%，仍大于20%。因此，含糖率不变不成立。 100+40140 故答案为： 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共5分） 18.(本题1分)下面各组数中，不是互为相反意义的量是( ) A.增加2kg和减少2cm B.收入200元和支出150元 C.向东走8m和向西走10m D.上升10dm和下降15dm 【答案】A 【分析】因为互为相反意义的量需要满足两个条件，一是意义相反，二是属于同一类量，由此 即可判定。 【详解】2kg是质量，2cm是长度，不属于同一类量，即不是互为相反意义的量是“增加2kg 和减少2cm”。 19.（本题1分)下面四个物体都是由5个小正方体组成，从前面和上面看到的形状不一样的 物体是( A 【答案】D 【分析】从前面和上面观察这四个物体，分别得出从前面和上面看到的平面图形，再比较，找 出从前面和上面看到的形状不一样的物体。 【详解】从前面和上面看到的形状如下图： 试卷第9页，共21页 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 从前面和上面看到的形状不一样的物体是 故答案为：D 20.(本题1分)一次考试中，乐乐语文和数学的平均分是a分，英语比这两科的平均分多6 分，乐乐这三科的平均分是( )分。 A.a十2 B.a十3 C.a+4 D.a+6 【答案】A 【分析】根据题意，语文和数学两科平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分，英语分是 a+6,语文和数学的总分数是×2，把这三科成绩相加的和，再除以3，就是这三科的平均分。 【详解】(a×2+a+6)÷3 =(3a+6)÷3 =(a+2)分 因此，乐乐这三科的平均分是(a十2)分。 故答案为：A 21.(本题1分)一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是( A.10:8 B.5:4 C.sim D.4:5 【答案】D 【分析】把工作总量看作单位1”，工作效率=工作总量÷工作时间，求得甲、乙两队的工作效 率后，求比即可。 【详解】把工作总量看作单位1”。 1:08 试卷第10页，共21页 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1÷8= 8 1.1 108 =4:5 所以甲乙两队工作效率比是4：5。 故答案为：D 22.(本题1分)妙想将3000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是1.2%，到期后可以获 得本金和利息一共多少元？正确列式是( ) A.3000×1.2% B.3000×1.2%×2 C.3000×1.2%×2+3000 D.3000×(1+1.2%)×2 【答案】C 【分】根据利息=本金×利率×时间，列出利息算式，再加上本金，即可解答。 【详解】3000×1.2%×2+3000 =36×2+3000 =72+3000 =3072（元) 妙想将3000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是1.2%，到期后可以获得本金和利息一共 多少元？正确列式是3000×1.2%×2+3000。 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 四、一丝不荷，细心计算。（共27分) 23.(本题8分)直接写出得数。 256+80= 21÷7=3.28+1.6= 2÷10%= 16* 13 5x1.3= 5,1 1二× 62 37 【答案】336：0.3：4.88：20 65::手 【解析】略 试卷第11页，共21页 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(本题9分)能简便计算的简便计算。 哈[g到 (2) 6后×225-2256+22×1 46 )-》+ 【答案】(1)10 (2)13.5 (3) 101 200 【分析】(1)在既有中括号，又有小括号的计算中，要先算小括号里面的，再算中括号里面的， 最后算中括号外面的： (2)在几个乘法算式相加的计算中，如果有一个因数是相同的，可以利用乘法分配律进行简 便计算，即axb+axc=ax(b+c): (3)在一长串的算式中，可以先化简，然后观察它们的规律，最后进行作答。 【详解】少哈[g0375号)产号 =哈传》 1.3 =2二 “6154 =2113 “660 =10 (2) 68225-2506+24*8 46 6×2.25-2.25+2.25×司 6 =25(61 6 =2.25×6 =13.5 3+-0 试卷第12页，共21页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1324 99101 2233 100100 101 ≠200 25.(本题6分)解方程。 (1) (2)寻+50%r-60 (3)X-3.6=x+48 48 【答案】(1)x=36;(2)x=80:(3)x=12 【分析】()先计算等式的左边，即子+宁x,再根据等式的性质2，等式两边同时除以居 17 326 即可； （2)先把百分数化成分数，即50%=宁，先计7等式的左边，得宁方子，根拟等式的 性质2，等式两边同时除以即可： (3)根据等式的性质2，等式两边同时乘8，得到2×(x一3.6)=x十4.8，先计算等式的左 边，即2×(x一3.6)=2x一7.2，根据等式的性质1，等式两边同时减去x,再加上7.2即可。 【详部】1D子+分=42 解，君=42 77 X÷ 6”6 4257 、=29 x=36 1 (2)4+50ar=60 解：=60 =60 x=60x3 4 x=80 (3)X-36=x+4.8 4 8 解：2×（x-3.6)=x+4.8 2x-7.2=x+4.8 试卷第13页，共21页 念学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2x-7.2-x+7.2=x+4.8-x+7.2 x=12 26.(本题4分)求下图中阴影部分的面积。（单位：cm) 6 【答案】16.82cm2 【分析】由图可知，阴影部分面积=半径为6cm的扇形面积+半径为4cm的扇形面积一长方 形面积，根据圆的面积=π，扇形的面积是圆的面积的2，代入数据即可求出扇形面积；根据 长方形的面积=长×宽，代入数据即可求出长方形的面积，据此解答即可。 【详解】3.14×62÷4 =3.14×36÷4 =113.04÷4 =28.26(cm2) 3.14×42÷4 =3.14×16÷4 =50.24÷4 =12.56(cm2) 28.26+12.56-6×4 =28.26+12.56-24 =40.82-24 =16.82(cm2) 评卷人 得分 五、手脑并用，实践操作。（共10分） 27.(本题4分)下面每个方格的边长表示1厘米。 试卷第14页，共21页 高学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0 (1)方格中的圆以点0为圆心，请你将所画圆的25%涂上颜色。 (2)请在方格里画一个长方形，使长方形的周长是18厘米，长与宽的比是2：1。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】(1)先把25%转化为：，利用圆的对称性，过圆心画两条垂直的半径把圆分成4等份， 涂其中1份即可。 (2)先根据周长求出长与宽的和，再按2：1分配得到长和宽的长度，最后在方格中画出对应 大小的长方形。 【详解】(1)画图如下： (2)18÷2=9(厘米) 9:(2+1) =9÷3 =3(厘米) 长：3×2=6（厘米） 宽：3×1=3（厘米） 画图如下： 试卷第15页，共21页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6 B 28.（本题6分) A (1)画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。 (2)在方格纸中画出一个面积和三角形ABC相等的梯形。 (3)在圆0的南偏东45°方向，画出圆按2：1放大后的图形。 【答案】(1)(2)(3)见详解 【分析】(1)根据图形旋转的性质，绕点A逆时针旋转90°即点A位置不变，点B、C分别绕 点A逆时针旋转90°。先确定点B、C绕点A逆时针旋转90°后的对应点的位置，再依次连接 A和B、C对应点得到旋转后的三角形。 (2)先计算三角形ABC的面积，设方格边长为1，通过数方格法可知三角形ABC面积为4×2÷2 =4。根据梯形面积=（上底+下底）×高÷2，要使梯形面积为4，即（上底+下底）×高÷2=4， 则（上底+下底）×高=8，因为8=1×8=2×4，因此选取任意一组作为梯形上底十下底的和以 及高画出梯形即可； (3)根据图形放大的性质，圆按2：1放大，即半径变为原来的2倍，即圆O的半径为1，放 大后的圆半径则为2。以圆O为观测点，在南偏东45°方向上的位置，画出半径为2的圆。 【详解】(1)按上述方法画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形，如下图； (2)按上述方法，取梯形的上底为1，下底为3，高为2，画出面积和三角形ABC相等的梯 形，如下图（画法不唯一）： 试卷第16页，共21页 网学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)按上述方法画出圆按2：1放大后的图形，如下图。 A ® o C 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 六、走进生活，解决问题。（共32分） 29.（本题5分)据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍 还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？ 【答案】 8.4平方米 【分析】用2024年我国人均住房面积的48.2平方米减去6.2平方米，再除以倍数5倍即可求 出1980年我国人均住房面积有多少平方米。 【详解】(48.2一6.2)÷5 =42÷5 =8.4（平方米) 答：1980年我国人均住房面积有8.4平方米。 30.(本题5分)太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前 三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人 次，大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的。，府西街站的客运 量是多少万人次？ 【答案】70万人次 【分析】先把长风街站的客运量看作单位1”，大南门站的客运量是长风街站的？，用乘法求 出大南门站的客运量：然后把大南门站的客运量看作单位1”，府西街站的客运量是大南门站 试卷第17页，共21页 念学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 的。，再用乘法求出府西街站的客运量。 75 【详解】96×8×6 =84× 6 =70（万人次) 答：府西街站的客运量是70万人次。 31.(本题5分)妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁 精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知 识解答) Q 清洗物品 洗洁精：清水 瓜果、厨房用品 1:500 【答案】2000克 【分析】根据题意，洗洁精：清水=1：500，我们可以设清水为x克，然后列出关系式，即4：x =1:500,从而通过解方程求得清水的克数。 【详解】解：设要加清水x克。 4:x=1:500 x=4×500 x=2000 答：要加清水2000克。 32.(本题5分)“盐池”里的科学。 运城盐池是我国最古老的盐池之一，盐工们通过晾晒盐水使盐结晶。已知常温下，当盐水浓度 超过26%时，便会发生盐结晶现象。小宇在科学实验课上模拟这一过程，他配制了200克盐水， 其中盐与水的质量比是3：17。他将盐水加热蒸发，当盐水质量减少到150克时停止加热并冷 却至常温。请问此时小宇能观察到盐结晶现象吗？请通过计算说明理由。 【答案】不能 【分析】先根据盐与水的质量比3：17，把盐水的总质量看作3+17=20份，从而得出盐在原 来20克盐水中所占的占比为)，再用原米盐水的总质量乘这个占比求出盐的质量。蒸发过 程中盐的质量保持不变，用盐的质量除以蒸发后盐水的质量150克求出此时盐水的浓度；最后 试卷第18页，共21页 高学科网·学易金卷 Www,ZX×k,C0m 做好卷，就用学易金卷 将求出的浓度与26%进行比较，以此判断是否会出现盐结晶现象。 【详解】总份数：3+17=20（份） 盐的质量：200品-30（克） 浓度：30÷150×100% =0.2×100% =20% 20%<26% 答：不能观察到盐结晶现象。 33.(本题6分)保洁组的同学要购买60个单价为55元的海绵拖把。下面是三家商店给出的 优惠方案： 金百汇商厦每满1000 华联商厦 小芳超市 元，返还现金120元 律八五折 买五送一 请算出每家商店购买各需要多少钱，并比较哪家商店更划算？ 【答案】金百汇商厦：2940元；华联商厦：2805元；小芳超市：2750元：小芳超市更划算。 【分析】金百汇商厦：每满1000元，返还现金120元”，先根据单价×数量=总价”求出原价 购买60个拖把所需的总钱数，再用除法求出总钱数里有几个1000元，就减去几个120元，求 出在金百汇商厦购买拖把需付的钱数： 华联商厦：“一律八五折”，即现价是原价的85%：先根据单价×数量=总价”求出原价购买60 个拖把所需的总钱数，再乘85%，求出在华联商厦购买拖把所需的钱数； 小芳超市：把买五送一”看作一组，先用除法求出60里有几组，进而求出实际需买拖把的数 量；然后根据“单价×数量=总价”，求出在小芳超市购买拖把所需的钱数： 最后比较三家商店购买60个拖把所需的钱数，得出在哪家商店买更划算。 【详解】金百汇商厦： 55×60=3300(元) 3300÷1000=3(个)...300（元） 3300-120×3 =3300-360 =2940（元) 华联商厦： 试卷第19页，共21页 一学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 55×60×85% =3300×0.85 =2805(元) 小芳超市： 60÷(5+1) =60÷6 =10(组) 实际需买：10×5=50（个） 55×50=2750(元) 比较：2750<2805<2940 小芳超市最便宜。 答：在金百汇商厦购买需要2940元，在华联商厦购买需要2805元，在小芳超市购买需要2750 元。小芳超市更划算。 34.(本题6分)数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他 们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是4厘米，高是10厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1：1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3：2。请根据以上信息，计算出一枚螺 丝钉的体积。（π取3.14） 【答案】0.628立方厘米 【分析】根据圆柱体积公式计算玻璃杯的容积：由初始水的高度与水面离杯口的距离比为1： 1,可知水体积占杯容积的一半；由放入螺丝钉后水的高度与水面离杯口的距离比为3：2，可 知水加螺丝钉的体积占杯容积的？：；螺丝钉的总体积等于水加螺丝钉的体积减去水的体积；再 除以螺丝钉的数量20，得到一枚螺丝钉的体积。 圆柱的体积=底面积×高 V=π2h 【详解】圆柱形玻璃杯的底面半径：4÷2=2（厘米) 圆柱形玻璃杯的底面积： 试卷第20页，共21页 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3.14×22 =3.14×4 =12.56(平方厘米) 圆柱形玻璃杯的容积：12.56×10=125.6（立方厘米) 初始水的高度： 10x、1 1+1 =10x1 2 =5(厘米) 初始水的体积：12.56×5=62.8（立方厘米） 放入螺丝钉后水的高度： 10x、3 3+2 3 =10×2 5 =6（厘米) 水加螺丝钉的体积：12.56×6=75.36（立方厘米) 螺丝钉的总体积：75.36-62.8=12.56（立方厘米） 一枚螺丝钉的体积：12.56÷20=0.628（立方厘米） 答：一枚螺丝钉的体积为0.628立方厘米。 【点睛】本题考查了比的应用和圆柱的体积，能根据比求出水和螺丝钉的体积占玻璃杯的几分 之几，会灵活运用圆柱的体积公式是解题的关键。 试卷第21页，共21页学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（二） 参考时间：90分钟：试卷总分：100分 题号 二 四 五 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2.请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3.测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、 反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共10 分) 1.(本题1分)数学上把相差2的两个质数叫孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差 2,那么3和5就是一对李生质数。下列是孪生质数的是( ) A.2和3 B.9和11 C.11和13 D.13和15 【答案】C 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。由题 意可知，孪生质数是指两个数都是质数且它们的差为2，据此逐一分析各项即可。 【详解】A.2和3都是质数，但它们的差不是2，不符合题意： B.9不是质数，不符合题意； C.11和13都是质数，且它们的差为2，符合题意： D.15不是质数，不符合题意。 是孪生质数的是11和13。 2.（本题1分)下面各比中，能与：组成比例的是( 5 ) A.5:4 B.4:5 c.:5 D. 54 【答案】A 试卷第1页，共26页 学科网·学易金卷 www,ZX×k,C0m 做好卷，就用学易金卷 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比 值，比值相等的能组成比例：反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【详解】：片兮5= 4 A.5:4=5÷4=3 4 子-子比值相等，所以5：4能与片：片组成比例： B.4:5=45= 4 寺比值不相等，所以4：5不能与：组成比例： 5 c.5=*5=g动 六号比值不甜等，所以：5不能与；：片组成比例， D. 专：4=4=50 1、11 号比值不相等，所以：4不能与：号组成比例。 故答案为：A 3.(木题1分)一条彩带，用去，还利米，用去的和剩下的相比，( 8 A.用去的多B.剩下的多 C.同样多 D.无法比较 【答案】A 【分析】把全长看作单位用去的令还利米，所以剩下的正好是彩带的(1一，比较 全长的和全长的(1一令)的大小，据此解答。 【详解】剩下1-=3 88 子 用去的和剩下的相比，用去的多。 4.(本题1分)李老师为家人买了4件礼物，最便宜的12元，最贵的24元，那么这4件礼物 总共需要的钱数( ) A.少于60元B.多于84元 C.在60元到84元之间D.无法确定 【答案】C 【分析】首先要确定出最少需要多少钱与最多需要多少钱：已知最便宜的与最贵的，当总价 试卷第2页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 最少时，其余三件按最便宜的计算，当总价最多时，其余三件按最贵的计算：接下来结合已 知条件代入相关数据进行计算便可得出总价的范围。 【详解】12×3+24 =36+24 =60(元) 24×3+12 =72+12 =84(元) 这4件礼物总共需要的钱数在60元到84元之间。 5.(本题1分)某小区2025年拥有新能源汽车的家庭有240户， 。 该小区2024年拥有 新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有x户，列式为 〔+》=240，那么橘线上应浅填的条件是( )。 A.比2024年的多 B.2024年的比2025年的少月 C.比2024年的少} D.2024年的比2025年的多} 【答案】A 【分析】根据方程可得等量关系式：2024年拥有新能源汽车的家庭+2024年拥有新能源汽车 的家庭×号=2025年拥有新能源汽车的家庭，则2024年拥有新能源汽车的家庭数量为12025 年拥有新能源汽车的家庭240户表示比单位1多 【详解】根据方程(1+)x=240,可知2025年拥有新能源汽车的家庭数量比2024年拥有新 能源汽车的家庭数是多· 6.(本题1分)某班男生人数是女生人数的1.2倍，男生人数与全班人数的比是( A.6:11 B.5:11 C.6:5 D.5:6 【答案】A 【分所】先把1口长化成分数。12是一位小藏，用分数衣示为号的分后为号再银都分发 与比的关系：分数的分子相当于比的前项，分数的分母相当于比的后项，把号转化成6：5，即 男生人数有6份，女生人数有5份，则全班人数有(6十5)份，最后写出男生人数与全班人数 试卷第3页，共26页 高学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 的比即可。 【详解】12=号=6：5 6+5=11 男生人数与全班人数的比是6：11。 故答案为：A 7.(本题1分)星星农场今年的粮食产量比去年增产一成二，就是今年的粮食产量是去年的百 分之几？( ) A.1.2% B.12% C.112% D.120% 【答案】C 【分析】把去年的粮食产量看作单位1”，今年比去年增产一成二，也就是今年比去年多12%， 今年是去年的1+12%=112%。 【详解】1+12%=112% 8.(本题1分)有10只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了( A.1只鸽子B.3只鸽子 C.4只鸽子 D.8只鸽子 【答案】C 【分析】抽屉原理是指：假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少 有两个元素。本题可将鸽笼看作抽屉，鸽子看作元素，通过计算平均每个鸽笼飞进的鸽子数， 再结合余数来确定总有一个鸽笼至少飞进的鸽子数。 【详解】已知有10只鸽子要飞进3个鸽笼，用鸽子总数除以鸽笼数，可得：10-3=3（只）..1 (只)，这意味着平均每个鸽笼飞进3只鸽子后，还剩下1只鸽子。剩下的这1只鸽子无论飞 进哪个鸽笼，3+1=4（只)，那么这个鸽笼就至少有4只鸽子。 故答案为：C 9.(本题1分)“甲、乙两个网店销售进价100元的一款马面裙， 王阿姨要买一条马 面裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样。横线上的条件是( )。 ①甲先提价50%再打八折出售②乙以60%的利润定价再打七五折出售 ③甲提价25%出售④乙先提价40%再让利20% A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【答案】A 【分析】本题需要分别计算出甲、乙网店在不同条件下的售价，然后找出使得两个网店售价相 试卷第4页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 同的条件组合。售价计算公式为：售价=成本×(1十利润率)×折扣率（或提价后再折扣等情 况)。 【详解】①甲店：成本100元，先提价50%，价格变为100×(1+50%)=100×(1+0.5)= 100×1.5=150(元)，再打八折，售价为150×0.8=120（元)。 ②乙店：成本100元，以60%的利润定价，价格为100×(1+60%)=100×(1+0.6)=100×1.6 =160(元)，再打七五折，售价为160×0.75=120（元）。 ③甲店：成本100元，提价25%出售，售价为100×（1+25%)=100×(1+0.25)=100×1.25 =125（元)。 ④乙店：成本100元，先提价40%，价格变为100×(1+40%)=100×(1+0.4)=100×1.4= 140(元)，再让利20%，售价为140×(1一20%)=140×(1一0.2)=140×0.8=112（元)。 比较可得①和②时，甲、乙两店售价均为120元，价格一样。 故答案为：A 10.(本题1分)中国园林设计时常用到海棠门，海棠门里观海棠构成了一幅美丽图画，为 园林增添了一份婉约与雅致，用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成 的图（如图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是( )m2。 A.12π+12 B.(1÷2)2元+12 C.2×(1÷2)2m D.2×(1÷2)2元+12 【答案】D 【分析】由图可知该图形由一个边长为1m的正方形和两个直径为1m的半圆组成。首先分析 正方形部分，根据正方形面积公式S=边长×边长，可得正方形面积为1×1=12；再看半圆部 分，两个直径相等的半圆可组合成一个完整的圆，圆的直径与正方形边长相等（均为1），因 此圆的半径r一m,根据圆的面积公式S=,可推出两个半圆的总面积等价于该整圆的面 积，即π×(1÷2)2（也可表示为2×π×（1÷2）2，直接体现两个半圆的面积和)。综上，海棠门 的总面积为正方形面积与两个半圆面积之和，列式为2×（1÷2)2π+12，对应选项D。 【详解】解：1×1+π×(1÷2)2×2 试卷第5页，共26页 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =1+元π×0.25×2 =1+0.5元（平方米) 海棠门是面积是（1十0.5元)平方米。 故答案为：D 评卷人 得分 二、用心思考，正确填写。（每空1分，共20分） 11.（本题2分)2025年5月25日，在2025WCA丽水魔方公开赛三阶速拧复赛中，中国11 岁选手王艺衡以平均3.91秒的成绩打破世界纪录。横线上的数是由( )个0.01累加组 成的。在直线上用”表示出这个数的大致位置。 2 3 4 【答案】391 3.91 2 3 4 【分析】个位的计数单位是一，一位小数的计数单位是十分之一，两位小数的计数单位是百分 之一，三位小数的计数单位是千分之一，分别写作0.1、0.01、0.001，相邻计数单位间的进率 是10。 ①3.91是两位小数，是由391个0.01组成的。 ②图中每个小格代表0.1，先确定3.9的位置，再往后十分之一小格，画出3.91的点。 【详解】横线上的数是由391个0.01累加组成的。 画图如下： 3.91 2 4 12.(本题1分)如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]=1+2十3+6=12，那么[12]-[8]= ( ) 【答案】13 【分析】根据题意[a]表示a的全部因数的和，据此先分别求出[l2]与[8]的因数和，然后作差， 即可解答。 【详解】12的因数有1、2、3、4、6、12： 8的因数有1、2、4、8。 [12]=1+2+3+4+6+12=28 试卷第6页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 [8]=1+2+4+8=15 [12]-[8] =28-15 =13 如果用[a表示a的全部因数的和，如[6]=1十2+3十6=12，那么[12]-[8]=13。 13.(本题4分)7.2平方千米=( )公顷5时24分=( )时6.02吨= )吨( )千克 【答案】 720 5.4 6 20 【分析】(1)1平方千米=100公顷，大单位换算成小单位时乘进率： (2)1时=60分，小单位换算成大单位时除以进率： (3)1吨=1000千克，大单位换算成小单位时乘进率。 【详解】(1)7.2×100=720（公顷） 所以7.2平方千米=720公顷。 (2)24÷60=0.4(小时) 5+0.4=5.4（小时) 所以5时24分=5.4时 (3)0.02×1000=20(千克) 所以6.02吨=6吨20千克。 14.(本题1分)喜欢电脑的小松设计了一个猜年龄的程序： 输入你的年龄 乘3 减去5 乘2 加9 输出结果 小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年( )岁。 【答案】13 【分析】先用最后输出结果减去9，求出加9前的数：再除以2，求出乘2前的数：再加上5， 求出减去5前的数；再除以3，求出乘3前的数，即可求出小松今年的年龄。 【详解】[(77-9)÷2+5]3 =[68÷2+51÷3 =[34+5]÷3 =39÷3 =13(岁) 试卷第7页，共26页 高学科网·学易金卷 www,ZX×k.C0m 做好卷，就用学易金卷 小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年13岁。 15.(本题1分)学校举办科技节，小红参加了实验操作、理论笔试和创意设计三个项目。已 知实验操作和理论笔试的平均分是m分，创意设计比这两科的平均分多10分。那么小红这三 个项目的平均分是( )分。 【答案】m+9 【分析】己知实验操作和理论笔试的平均分是m分，用平均分乘2，求出这两科的分数之和： 已知创意设计比这两科的平均分多10分，用两科的平均分加上10，即是创意设计的分数： 用加法求出这三个项目的总分，再除以3，即是这三个项目的平均分。 【详解】实验操作和理论笔试的分数之和：2分； 创意设计的分数：(m+10)分 三个项目的总分：2m+(m+10)=（3m十10)分 三个项目的平均分： (3m+10)÷3 =(3m+10)号 =3+10号 =(m+号)（分） 那么小红这三个项日的平均分是(m号)分. 16.(本题1分)如果x和y五为倒数，且÷那么15a=( 【答案】3 【分析】根据比例的基本性质两个外项之积等于两个内项之积得5a=xy;x和y互为倒数， 那么xy的乘积是1，说明5a=1:然后根据等式的性质，方程两边同时除以5计算出a的值； 再将a的值代入15a中求出结果即可。 【详解】由云得5a=刘 已知x和y互为倒数，那么5a=y=1。 5a=1 解：5a÷5=1÷5 a=0.2 试卷第8页，共26页 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当a=0.2时，15a=15×0.2=3。 所以，15a=3。 17.(本题1分)中国古代劳动人民不仅擅长诗歌，还借助诗歌讨论数学问题。 诗歌中的“里”是我国古 代计量路程的单位，1里 =500米。这首诗歌的意 三百七十八里关， 思是三百七十八里的路 初行健步不为难， 程，第一天走的比较快， 次日脚痛减一半， 后面因为脚走疼了，每天 六朝才能到其关。 走的路程都是前一天的 一半，六天才能走完全 程。 请算一算第六天走了( )里路。 【答案】6 【分析】根据诗歌的意思可根据总路程以及每天的路程之间的数量关系，用方程求解。关键是 理解每天走的路程是前一天的一半，六天路程总和为378里，通过设第六天的路程为×里，依 次表示出前五天的路程，再列方程求解。 设第六天走了x里路，则第五天走了2x里，第四天走了4x里，第三天走了8x里，第二天走 了16x里，第一天走了32x里。根据六天走完全程378里，列出方程并求解。 【详解】解：设第六天走了x里路。 x+2x+4x+8x+16x+32x=378 63x=378 x=378÷63 X=6 答：第六天走了6里路。 18.(本题1分)六(1)班学生体育达标的人数和未达标的人数比是24：1，达标率是( )%。 【答案】96 【分析】达标率是指达标人数占总人数的百分之几，计算方法为：达标率：达标人数 抽测总人数 ×100%。 根据题意可以：把达标人数看成24份，未达标人数看成1份，那么总抽测人数就是达标人数 试卷第9页，共26页 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 加上未达标人数，即24+1=25份。 【详解】 24×100% 24+1 24 25 ×100% =0.96×100% =96% 答：这个班学生的达标率是96%。 19.(本题2分)一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2：1，这个三角形顶角度数是 )度。按角来分，它是( )三角形。 【答案】 90 直角 【分析】等腰三角形的两个底角相等，则这个等腰三角形的3个内角的度数比为2：1：1，再 根据三角形的内角和是80度，利用按比例分配的方法，求出最大角的度数，即为此三角形的 顶角；若最大角大于90°，为钝角即为钝角三角形；若最大角等于90°，为直角即为直角三角 形；若最大角小于90°，为锐角即为锐角三角形；据此解答。 【详解】180°×，2 2+1+1 =180°×分 =90° 一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2：1，这个三角形顶角度数是90度。按角来分， 它是直角三角形。 20.（本题1分)大力发展新能源汽车是促进节能减排、实现“双碳”目标的重要举措。如图是 两种新能源汽车模型，如果黑色新能源汽车模型长24c,那么白色新能源汽车模型长 )cm。 【答案】18 【分析】由图片可知，每个小格的长度一定，汽车的长度和格数成正比例关系。设白色新能源 汽车模型长xcm,列比例解答即可。 【详解】解：设白色新能源汽车模型长xcm。 试卷第10页，共26页 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x:3=24:4 4x=3×24 4x=72 x=72÷4 x=18 所以白色新能源汽车模型长18cm。 21.（本题2分)一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：9，如果圆锥的高是6cm, 那么圆柱的高是( )cm;如果圆柱的高是6cm,那么圆锥的高是( )cm。 【答案】 18 2 【分析】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1：3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相等， 体积的比是1：9，由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是1：3：也就是圆柱的高应该是圆 锥高的3倍。由此解答。 【详解】由分析可知，这个圆锥与这个圆柱的高的比是1：3。 当圆锥的高是6厘米时，圆柱的高为： 3×6=18(cm) 当圆柱的高是6厘米时，圆锥的高为： 6÷3=2(cm) 一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：9，如果圆锥的高是6cm,那么圆柱的高 是18cm;如果圆柱的高是6cm,那么圆锥的高是2cm。 22.(本题3分)瞧，我会观察、思考、表达。 (1)因为888÷24=37，根据商不变的规律，所以555÷15=( : (2)数学课上，老师在黑板上刚写完算式2025×101一2025=，小明一看就说出得数202500， 他的想法是( ) ®通过计身得到时片行片专甘品总 根据这个发现， 1+++1+1+L+1 24816+32+64+128=( ) 【答案】(1)37 (2)运用乘法分配律，将算式转化为2025×(101一1)计算 、127 3)128 试卷第11页，共26页 学科网·学易金卷 www,ZX×k.C0m 做好卷，就用学易金卷 【分析】(1)根据商不变的规律解答即可： (2)根据乘法分配律，2025×101一2025=2025×(101一1)，再作进一步解答： （3)根据已知数据找出规作，得到时好子子日=1-言= ,,据此计算解 答即可。 【详解】(1)（1)888÷24 =(888÷8)÷(24÷8) =111÷3 =（111×5)÷(3×5) =555÷15 =37 (2)(2)2025×101-2025 =2025×(101-1) =2025×100 =202500 他的想法是：运用乘法分配律，将算式转化为2025×(101一1)计算。 (3)(3) 1+1+1+1+111 248163264128 二1一1n8 127 128 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 三、一丝不荷，细心计算。（共30分) 23.(本题8分)直接写出得数。 913.1 1530 9s -4.8+5.2= 3.6+5.4×5-4=1 14.6+132+62+15.4= 2-88-5-1 -1--6…o】 试卷第12页，共26页 盒学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 【答案】296： 54:26: 20.6:3.6:50: 51 100 【解析】略 24.（本题12分)脱式计算，能简算的要简算。 1200÷ 9.6-11÷7+1×4 7 3.5x4 5.5×80%+0.8 [g*8 80%×(3.2-2.99÷2.3) 1.97×430+38×19.7+1.9x197 【答案】400：8.6 8:8 1.52:1970 【分析】(1)先根据乘法分配律把括号内的算式进行简算，再算括号外的除法： (2)先算除法、乘法，再根据减法的性质进行简算： (3)先把百分数、小数化成分数，再根据乘法分配律的逆运算进行简算： (4)先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法： (5)先算括号里的除法，再算括号里的减法，最后算括号外的乘法： (6)先根据积不变的规律把1.97×430改写成19.7×43，把1.9×197改写成19×19.7，再根据乘法分 配律的逆运算进行简算。 【详解】(1)1200÷ =1200÷ 56x 56× =1200÷[24-21] =1200÷3 =400 (2) 9.6-11÷7+2×4 试卷第13页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =96-号号 96(侣别 =9.6-1 =8.6 (3)35×4+5.5×809%+0.8 5 =35x4+5.5×4+4×1 4 5 55 =(3.5+5.5+1)×3 4 -10号 =8 (4) 6引品 1083 =g1510 =10x573 9*8」10 253 1210 8 (5)80%×(3.2-2.99÷2.3) =80%×(3.2-1.3) =0.8×1.9 =1.52 (6)1.97×430+38×19.7+1.9×197 =19.7×43+38×19.7+19×19.7 =19.7×(43+38+19) =19.7×100 =1970 试卷第14页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.（本题6分)解比例或方程。 15-2x=24 5.2.4 1.15. 3 6x=55 320gt 5 1 【答案】x=18.9；x=3x=12 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 分数除法的运算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 (1)根据等式的性质1和性质2解答； (2)(3)根据比例的基本性质，使内项积=外项积，再根据等式的性质2解答。 【详解】(1)15-号x=24 22 2 解：15-。x+2x=2.4+二x 3 3 3 2 15=2.4+-x 3 2 2.4+←x=15 3 2 2.4+-x-2.4=15-2.4 3=12.6 22 126 x=18.9 (2) 5:x=1 2.4 655 解： 245 556 22 2.2 3*5 x= 25 =32 5 x23 试卷第15页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3) 1.15. 320-9 x 解：3.0 151 11 3=36 1,1 x= 363 26.（本题4分)图形计算。 请计算该“右转危险区的面积。（本题π取3) 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故， 为此设置了右转危险区标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是 以A为圆心所画的四分之一圆。 右转 D 危险区 6米 C 4米 10米 6米 B - 10米 设计图 【答案】21平方米 【分析】如图所示，延长ED、BC交于点G,①的面积等于正方形CFDG的面积减去小扇形 的面积，小扇形的面积等于半径为4米圆面积的，②的面积等于半径为10米圆面积的，“右 转危险区”的面积=正方形ABGE的面积一①的面积一②的面积，据此解答。 【详解】 试卷第16页，共26页 高学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 6米 E F 4米 10米 ② 6米 B A 10米 ①的面积：4<4-3×4×} =16-3×16×月 =16-3×(16x3) =16-3×4 =16-12 =4(平方米) ②的面积：3×102×} =3x100×} =3×(100×4) =3×25 =75(平方米) 右转危险区的面积：10×10一4一75 =100-4-75 =96-75 =21(平方米) 所以，“右转危险区的面积是21平方米。 【点睛】本题主要考查含圆的组合图形面积的计算方法，分析图形求出①的面积和②的面积是 解答题目的关键。 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共14分) 27.（本题4分)按要求画一画。 试卷第17页，共26页 命学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 北 体育中心 比例尺1：20000 (1)希望小学在体育中心的北偏东45°方向400米处，请用▲标出希望小学的位置。 (2)计划在距离体育中心300米处新建一个文化馆，请画出新建文化馆所有可能的位置。 【答案】（1)图见详解： (2)图见详解 【分析】(1)由题意知：希望小学距离体育中心实际距离为400米，地图的比例尺为1：20000。 根据：图上距离=实际距离×比例尺，计算出希望小学和体育中心之间的图上距离，再根据上 北下南，左西右东的图上方向，确定北偏东45°方向并作图标出希望小学的位置即可； (2)距离体育中心300米处新建一个文化馆，则距离体育中心的距离为300米的所有点都可 能是文化馆的位置，根据比例尺1：20000将300米换算成图上距离。即以体育中心为圆心， 体育中心与文化馆的图上距离为半径画一个圆，圆周上所有位置都有可能是新建文化馆的位置。 据此作图。 【详解】(1)400米=40000厘米 40000× 1 20000 =2(厘米) 希望小学的位置标注如下图： (2)300米=30000厘米 30000× 1 =1.5厘米 20000 下图中的圆周就是新建文化馆所有可能的位置 体育中心 比例尺1：20000 28.(本题10分)下面方格纸中每个小方格的边长表示1厘米。 试卷第18页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5678910111213141516 (1)把长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。若用A、B、C分别表示旋 转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数对表示分别是A( ),B( q( )。 (2)线段CD旋转到C,D的位置所扫过的面积是( )平方厘米，点C旋转到点C的位置 所经过的路线长( )厘米。 (3)在图中画出点O,再连接EO和FO,使三角形EFO成为一个以点F为直角顶点的等腰 直角三角形，此时点E在点O的( )偏( ) )°方向。 【答案】（1)图见详解：A1(4,5),B1（4,2),C1(2,2): (2)7.065平方厘米；4.71厘米： (3)图见详解；北；西：45 【分析】(1)根据旋转的特征，将长方形ABCD绕D点顺时针旋转90°，点D位置不变，其 余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形：再根据用数对表示位置： 第一个数表示列数，第二个数表示行数确定A1、B1、C1的位置即可； (2)线段CD旋转到CD的位置扫过的面积等于半径等于DC的圆面积的：，点C旋转到点 C的位置所经过的路线的长度等于半径等于DC的圆周长的；根据圆的面积=π2，圆的周长 =2π列式计算即可： (3)等腰直角三角形：有一个角是直角，有两条边相等的三角形，据此确定点O的位置并画 出三角形，再根据“上北下南，左西右东的方位辨别方法及角度确定出位置即可。 【详解】(1)若用A,B1,C1分别表示旋转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数 对表示分别是A1(4,5),B1(4,2),C1(2,2)。 (2)3.14×32×} 试卷第19页，共26页 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =314*9x号 =2826x =7.065(平方厘米) 2×3×3.14×4 1 =63.14x号 =1884× =4.71(厘米) 线段CD旋转到CD的位置所扫过的面积是7.065平方厘米，点C旋转到点C的位置所经过 的路线长4.71厘米。 (3)点E在点0的北偏西45°方向。 (1)(3)作图如下： 0 B 5 6 8910111213141516 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共26分） 29.(本题3分)富乐国际恒温游泳馆冬天使用天然气加热泳池，采用新的节能技术后，12月 每天用天然气420立方米，比上个月每天节约120立方米，那么原来可用20天的天然气，现 在约多用多少天？（只保留整数部分） 【答案】6天 【分析】先根据每天节约的立方数×原来可用的天数=可节约的立方数”，用120乘20计算出 原来可用20天的天然气总共节约的立方数。再用节约的天然气立方数除以420，结果用四舍 五入法保留整数即可。 试卷第20页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】120×20-420 =2400÷420 ≈6（天) 答：现在约多用6天。 30.(本题3分)2024年6月我国嫦娥六号从月球背面的艾特肯盆地采集月壤成功，引起全世 界的高度关注。艾特肯盆地被公认为是月球上最大、最古老、最深的盆地，最深处的深度大约 是12800米，比世界上著名的淡水湖一贝加尔湖最深处深度的7倍还多1341米，贝加尔湖 最深处的深度有多少米？ 【答案】1637米 【分析】根据题意，艾特肯盆地最深处的深度比贝加尔湖最深处深度的7倍还多1341米，即 贝加尔湖深度的7倍加上1341米等于艾特肯盆地的深度，设贝加尔湖最深处的深度有x米， 由此列出方程7x十1341=12800，再根据等式性质，解方程即可。 【详解】解：设贝加尔湖最深处的深度有x米。 7x+1341=12800 7x+1341-1341=12800-1341 7x=11459 7x÷7=11459÷7 x=1637 答：贝加尔湖最深处的深度有1637米。 31.(本题4分)某乡村农田安装了AI农业灌溉系统，它能根据土壤湿度、天气情况自动调节 灌溉量，比传统灌溉节省用水30%。 (1)该系统控制的农田是一块长200米、宽150米的长方形，在设计图上，该农田的长是8厘 米。这张设计图的比例尺是多少？ (2)A虹农业灌溉系统还能统计灌溉数据，已知该农田每次传统灌溉需用水180吨，每月灌溉4 次。使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省多少吨水？ 【答案】(1)1：2500 (2)216吨 【分析】解答这道题需明确：比例尺是一幅图的图上距离与实际距离的比。求一个数的百分之 几是多少，用乘法。高级单位化成低级单位要乘进率；1米=100厘米。 试卷第21页，共26页 念学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (1)题目中已知该农田图上的长为8厘米，实际的长为200米，统一单位后，写出图上的长 与实际的长的比并化简即可。 (2)题目中已知该农田每次传统灌溉需用水180吨，每月灌溉4次，安装了AI农业灌溉系统， 比传统灌溉节省用水30%。表示节省的水量占传统灌溉用水量的30%，先求出每月4次的传 统灌溉用水量，再乘30%解答即可。 【详解】(1)200米=20000厘米 8:20000 =(8÷8):(20000÷8) =1:2500 答：这张设计图的比例尺是1：2500。 (2)180×4×30% =720×0.3 =216(吨) 答：使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省216吨水。 32.(本题5分)如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转 过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】(1)反比例 (2)320圈 【分析】(1)齿轮转动中，两齿轮在相同时间内的总齿数相等。即每个齿轮的齿数×转过的圈 数=转过的总齿数（一定），乘积一定，那么每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 (2)根据每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系，可得出等量关系：小齿轮的齿数×小齿 轮每分钟转的圈数=大齿轮的齿数×大齿轮每分钟转的圈数，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】(1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是反比例关系。 (2)解：设小齿轮每分钟转x圈。 试卷第22页，共26页 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 15x=60×80 15x=4800 x=4800÷15 x=320 答：小齿轮每分钟转320圈。 33.（本题5分)阅读材料回答下列问题。 水是人类发展不可缺少的自然资源，是人类和一切生物赖以生存的物质基础。生物体内含水量 占体重的60%80%，甚至90%以上。人体内的含水量占体重的子，为了维持人类正常的生理 代谢，每人每天至少需要饮用2.5升的水。 我国是一个干旱缺水的国家，全国约有660个城市，其中2的城市供水不足，在这些供水不足 的城市中，又有的城市严重缺水。所以保护水资源是我们每个人的责任。 (1)爸爸的体重是78kg,他体内大概含水多少千克？ (2)全国严重缺水的城市大约有多少个？ (3)为了鼓励居民节约用水，某地的自来水公司规定：每户每月用水15吨（含15吨）按每吨 2.3元收费：超过15吨后，超出的部分按每吨5.5元收费。小涵家上月共交水费62元，小涵 家上月用水多少吨？ 【答案】(1)52千克 (2)110个 (3)20吨 【分析】小题(1)直接根据体重与含水比例()计算；小题(2)需分步计算：先求供水不 足城市数（占总数的子），再求其中严重缺水的部分（占供水不足的}）：小题(3)为阶梯水 费问题，需先判断用水量是否超过15吨基准量，再分段计算超额部分。 【详解】(1)78×号=52（千克） 答：他体内大概含水52千克。 (2)60号=40（个） 40x4=10(个) 答：全国严重缺水的城市大约有110个。 试卷第23页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)15×2.3=34.5（元) 62>34.5 62-34.5=27.5（元) 27.5÷5.5=5(吨) 15+5=20(吨) 答：小涵家上月用水20吨。 34.(本题6分)某社区为改善老旧道路，计划用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15 米的人行道。工程队联系了搅拌站，混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2：3：5（每立方 米混凝土总质量约2400千克)。搅拌站有一辆圆柱形搅拌车，罐体内部长（圆柱的高）5米、 底面直径2米（π取3.14），每次搅拌需预留10%的空间防止溢出。 (1)铺设这条人行道需要多少立方米混凝土？按配比计算，需要水泥、沙子、石子各多少吨？ (1吨=1000千克) (2)搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是多少？若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要 多少车次才能完成任务？（结果保留整数） 【答案】(1)混凝土120立方米：水泥57.6吨；沙子86.4吨；石子144吨 (2)14.13立方米6车次 【分析】(1)已知用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15米的人行道，根据长方体的 体积=长×宽×高，求出混凝土的体积，再乘每立方米混凝土的质量，求出铺设这条人行道需 混凝土的总质量，并根据进率1吨=1000千克换算单位。 己知混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2：3：5，即水泥、沙子、石子的质量分别占混凝 上总质量间2子写2写5根据求-个数佰几分之几是多少，用栗法训算，分别 求出铺设这条人行道需要水泥、沙子、石子的质量。 (2)已知圆柱形搅拌车的罐体内部长5米、底面直径2米，根据圆柱的体积（容积）公式V =h,求出搅拌车罐体的容积； 把搅拌车罐体的容积看作单位1”，已知每次搅拌需预留10%的空间防止溢出，则每次实际可 运输混凝土的体积是罐体容积的(1一10%)，单位1”已知，用罐体容积乘(1一10%)，求出搅 拌车每次实际可运输的混凝土体积。 若每天需铺设80立方米混凝土，求完成任务至少需要的车次，用每天需铺设混凝土的体积除 以搅拌车每次实际可运输的混凝土体积即可，计算结果根据“进一法”保留整数。 试卷第24页，共26页 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】（1)混凝土体积：200×4×0.15=120（立方米) 总质量：120×2400=288000（千克） 288000千克=288吨 水泥：288× 2+3+5 =2s*合 =57.6(吨) 3 沙子：288× 2+3+5 =28×8 =86.4(吨) 石子：288×2+3+5 5 -288 =144（吨) 答：铺设这条人行道需要120立方米混凝土。按配比计算，需要水泥57.6吨，沙子86.4吨， 石子144吨。 (2)圆柱的底面半径：2÷2=1（米） 搅拌车罐体的容积： 3.14×12×5 =3.14×1×5 =15.7(立方米) 实际可运输： 15.7×（1-10%) =15.7×0.9 =14.13(立方米) 至少需要运： 80÷14.13≈6（车次） 答：搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是14.13立方米。若每天需铺设80立方米混凝土， 至少需要6车次才能完成任务。 试卷第25页，共26页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【点睛】(1)本题考查长方体体积公式的应用以及按比分配问题，把比转化成分数，再根据分 数乘法的意义求解。 (2)先根据圆柱的容积公式求出搅拌车罐体的容积，再把它看作单位1”，得出实际运输混凝 土的体积是罐体容积的(1一10%)，根据百分数乘法意义求出实际运输混凝土的体积；最后计 算运输车次时要根据进一法”保留整数。 试卷第26页，共26页※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（一） 参考时间：90分钟；试卷总分：100分 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空1分，共21分） 1．（本题3分）第19届亚运会在中国杭州举行。作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占地1543700平方米，合( )公顷。建筑面积约2720000平方米，把这个数改写成用“万平方米”作单位的数是( )万平方米。亚运会开幕式电视端累计观众收视人次达199086782次，这个数省略亿位后面的尾数约是( )次。 2．（本题4分）( )∶20＝0.75＝＝( )%＝( )折。 3．（本题2分）比40米多是( )，15千克比( )千克少25%。 4．（本题1分）一个整数把小数点向左移动一位，得到一个一位小数，这个小数比整数小了3.6，这个整数是( )。 5．（本题1分）笑笑的存钱罐里有面值5元和面值10元的人民币共12张，合计80元。其中面值5元的有( )张。 6．（本题1分）一个班男生和女生人数原来的比是9∶11，这学期转来2名男生，这时男生占总人数的，这个班原来有( )人。 7．（本题1分）成都“一带一路大厦”，在一幅比例尺是1∶20000的图上量得楼高约是2.45厘米，“一带一路大厦”实际高度是( )米。 8．（本题3分）小明家与姥姥家相距5千米。周末小明骑车从家出发去探望姥姥，去的途中修理自行车耽搁了一些时间。从图中可以看出： (1)小明在路上修车用了( )分。 (2)从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成( )比例，他的速度是( )千米/分。 9．（本题1分）活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是( )分米。 10．（本题1分）李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 11．（本题1分）一个盒子里装有大小相同的红黄蓝白球各5个，至少摸出( )个球，才能保证摸到两个相同颜色的球。 12．（本题2分）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去： 第50个图案中需要摆棋子( )枚，第n个图案中需要摆棋子( )枚。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题1分，共5分） 13．（本题1分）两个计数单位之间的进率是10。( ) 14．（本题1分）一个角的两条边越长，角就越大。( ) 15．（本题1分）一个两位数，个位上的数字是y，十位上的数字是x，这个数是xy。( ) 16．（本题1分）（甲数和乙数都不等于0），那么甲数∶乙数＝15∶1。( ) 17．（本题1分）在含糖20%的糖水中加入相同质量的糖和水后，糖水的含糖率不变。( ) 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共5分） 18．（本题1分）下面各组数中，不是互为相反意义的量是( )。 A．增加2kg和减少2cm B．收入200元和支出150元 C．向东走8m和向西走10m D．上升10dm和下降15dm 19．（本题1分）下面四个物体都是由5个小正方体组成，从前面和上面看到的形状不一样的物体是( )。 A．B． C． D． 20．（本题1分）一次考试中，乐乐语文和数学的平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分，乐乐这三科的平均分是( )分。 A．a＋2 B．a＋3 C．a＋4 D．a＋6 21．（本题1分）一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是( )。 A．10∶8 B．5∶4 C．∶ D．4∶5 22．（本题1分）妙想将3000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是1.2%，到期后可以获得本金和利息一共多少元？正确列式是( )。 A．3000×1.2% B．3000×1.2%×2 C．3000×1.2%×2＋3000 D．3000×（1＋1.2%）×2 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 四、一丝不苟，细心计算。（共27分） 23．（本题8分）直接写出得数。                               24．（本题9分）能简便计算的简便计算。 （1） （2） （3）… 25．（本题6分）解方程。 （1）     （2）     （3） 26．（本题4分）求下图中阴影部分的面积。（单位：cm） 评卷人 得分 五、手脑并用，实践操作。（共10分） 27．（本题4分）下面每个方格的边长表示1厘米。 (1)方格中的圆以点为圆心，请你将所画圆的涂上颜色。 (2)请在方格里画一个长方形，使长方形的周长是18厘米，长与宽的比是。 28．（本题6分） （1）画出三角形ABC绕点A逆时针旋转后的图形。 （2）在方格纸中画出一个面积和三角形ABC相等的梯形。 （3）在圆O的南偏东方向，画出圆按放大后的图形。 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 六、走进生活，解决问题。（共32分） 29．（本题5分）据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？ 30．（本题5分）太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人次，大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的，府西街站的客运量是多少万人次？ 31．（本题5分）妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 32．（本题5分）“盐池”里的科学。 运城盐池是我国最古老的盐池之一，盐工们通过晾晒盐水使盐结晶。已知常温下，当盐水浓度超过26%时，便会发生盐结晶现象。小宇在科学实验课上模拟这一过程，他配制了200克盐水，其中盐与水的质量比是3∶17。他将盐水加热蒸发，当盐水质量减少到150克时停止加热并冷却至常温。请问此时小宇能观察到盐结晶现象吗？请通过计算说明理由。 33．（本题6分）保洁组的同学要购买60个单价为55元的海绵拖把。下面是三家商店给出的优惠方案： 金百汇商厦每满1000元，返还现金120元 华联商厦 一律八五折 小芳超市 买五送一 请算出每家商店购买各需要多少钱，并比较哪家商店更划算？ 34．（本题6分）数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（二） 参考时间：90分钟：试卷总分：100分 题号 二 四 五 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2.请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3.测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、 反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共10 分) 1.(本题1分)数学上把相差2的两个质数叫孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差 2,那么3和5就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是( ) A.2和3 B.9和11 C.11和13 D.13和15 2.(本题1分)下面各比中，能与：专组成比例的是( ) c.}:5 1 A.5:4 B.4:5 D. 3.(本题1分)一条彩带，用去还剩米，用去的和下的相比，（ ) A.用去的多B.剩下的多 C.同样多 D.无法比较 4.(本题1分)李老师为家人买了4件礼物，最便宜的12元，最贵的24元，那么这4件礼物 总共需要的钱数( ) A.少于60元B.多于84元 C.在60元到84元之间D.无法确定 5.(本题1分)某小区2025年拥有新能源汽车的家庭有240户， 。该小区2024年拥有 新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有x户，列式为 〔1+》x=240,那么横线上应该填的条件是( 试卷第1页，共9页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.比2024年的多 B.2024年的比2025年的少1 7 C.比2024年的少号 D.2024年的比2025年的多习 6.(本题1分)某班男生人数是女生人数的1.2倍，男生人数与全班人数的比是( A.6:11 B.5:11 C.6:5 D.5:6 7.(本题1分)星星农场今年的粮食产量比去年增产一成二，就是今年的粮食产量是去年的百 分之几？( ) A.1.2% B.12% C.112% D.120% 8.(本题1分)有10只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了( A.1只鸽子B.3只鸽子 C.4只鸽子 D.8只鸽子 9.(本题1分)“甲、乙两个网店销售进价100元的一款马面裙， ，王阿姨要买一条马 面裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样。”横线上的条件是( )。 ①甲先提价50%再打八折出售②乙以60%的利润定价再打七五折出售 ③甲提价25%出售④乙先提价40%再让利20% A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 10.(本题1分)中国园林设计时常用到海棠门，海棠门里观海棠构成了一幅美丽图画，为 园林增添了一份婉约与雅致，用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成 的图（如图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是( )m2。 m A.12π+12 B.(1÷2)2π+12 C.2×（1÷2)2元 D.2×(1÷2)2π+12 评卷人 得分 二、用心思考，正确填写。（每空1分，共20分) 11.（本题2分)2025年5月25日，在2025WCA丽水魔方公开赛三阶速拧复赛中，中国11 岁选手王艺衡以平均3.91秒的成绩打破世界纪录。横线上的数是由( )个0.01累加组 成的。在直线上用.表示出这个数的大致位置。 试卷第2页，共9页 念学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 4 12.(本题1分)如果用[a]表示a的全部因数的和，如[61=1+2+3+6=12，那么121-「8]= ( ) 13.(本题4分)7.2平方千米=( )公顷5时24分=( )时6.02吨= ( )吨( )千克 14.(本题1分)喜欢电脑的小松设计了一个猜年龄的程序： 输入你的年龄 乘3 减去5 乘2 加9 输出结果 小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年( )岁。 15.(本题1分)学校举办科技节，小红参加了实验操作、理论笔试和创意设计三个项目。已 知实验操作和理论笔试的平均分是m分，创意设计比这两科的平均分多10分。那么小红这三 个项目的平均分是( )分。 16.(本题1分)如果x和y互为倒数，且3=二，那么15a=( ) x 17.(本题1分)中国古代劳动人民不仅擅长诗歌，还借助诗歌讨论数学问题。 诗歌中的里”是我国古 代计量路程的单位，1里 =500米。这首诗歌的意 三百七十八里关， 思是三百七十八里的路 初行健步不为难， 程，第一天走的比较快， 次日脚痛减一半， 后面因为脚走疼了，每天 六朝才能到其关。 走的路程都是前一天的 半，六天才能走完全 程。 请算一算第六天走了( )里路。 18.(本题1分)六(1)班学生体育达标的人数和未达标的人数比是24：1，达标率是( )%。 19.(本题2分)一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2：1，这个三角形顶角度数是 ( )度。按角来分，它是( )三角形。 20.(本题1分)大力发展新能源汽车是促进节能减排、实现“双碳目标的重要举措。如图是 两种新能源汽车模型，如果黑色新能源汽车模型长24cm,那么白色新能源汽车模型长 试卷第3页，共9页 学科网·学易金卷 www,ZX×k,C0m 做好卷，就用学易金卷 )c1m。 21.（本题2分)一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：9，如果圆锥的高是6cm, 那么圆柱的高是( )cn;如果圆柱的高是6cm,那么圆锥的高是( )cm。 22.(本题3分)瞧，我会观察、思考、表达。 (1)因为888÷24=37，根据商不变的规律，所以555÷15=( ): (2)数学课上，老师在黑板上刚写完算式2025×101一2025=”，小明一看就说出得数202500， 他的想法是( ) ®)通过计算得到时行+片名行计品总。 根据这个发现， 1,1,1,1111 2+4+8+16+32+4+128=( ) 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 三、一丝不荷，细心计算。（共30分) 23.(本题8分)直接写出得数。 931 5×471= 1530 1692 1+9.5:1-4.8+5.2= 2 3.6+5.4×-4÷1 14.6+132+62+15.4= 248-51 1f65×150 24.(本题12分)脱式计算，能简算的要简算。 I20-6[月8 96-117+x4 试卷第4页，共9页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3.5×4+5.5x80%+0.8 「7.1.83 5 g+50 80%×(3.2-2.99÷2.3) 1.97×430+38×19.7+1.9×197 25.(本题6分)解比例或方程。 3=24 15 5.2.4 6=55 损- 26.(本题4分)图形计算。 请计算该“右转危险区的面积。（本题π取3) 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故， 为此设置了右转危险区标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是 以A为圆心所画的四分之一圆。 右转 危险区、 D 6米 E C F 4米 10米 6米 B -A 10米 设计图 试卷第5页，共9页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共14分) 27.(本题4分)按要求画一画。 北 体育中心 比例尺1：20000 (1)希望小学在体育中心的北偏东45°方向400米处，请用▲标出希望小学的位置。 (2)计划在距离体育中心300米处新建一个文化馆，请画出新建文化馆所有可能的位置。 28.（本题10分)下面方格纸中每个小方格的边长表示1厘米。 345678910111213141516 (1)把长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。若用A、B、C分别表示旋 转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数对表示分别是A( ),B( ) G( ) (2)线段CD旋转到C,D的位置所扫过的面积是( )平方厘米，点C旋转到点C的位置 所经过的路线长( )厘米。 (3)在图中画出点O,再连接EO和FO,使三角形EFO成为一个以点F为直角顶点的等腰 直角三角形，此时点E在点O的( )偏( )( )°方向。 试卷第6页，共9页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共26分） 29.（本题3分)富乐国际恒温游泳馆冬天使用天然气加热泳池，采用新的节能技术后，12月 每天用天然气420立方米，比上个月每天节约120立方米，那么原来可用20天的天然气，现 在约多用多少天？（只保留整数部分） 30.（本题3分)2024年6月我国嫦娥六号从月球背面的艾特肯盆地采集月壤成功，引起全世 界的高度关注。艾特肯盆地被公认为是月球上最大、最古老、最深的盆地，最深处的深度大约 是12800米，比世界上著名的淡水湖一贝加尔湖最深处深度的7倍还多1341米，贝加尔湖 最深处的深度有多少米？ 31.(本题4分)某乡村农田安装了AI农业灌溉系统，它能根据土壤湿度、天气情况自动调节 灌溉量，比传统灌溉节省用水30%。 (1)该系统控制的农田是一块长200米、宽150米的长方形，在设计图上，该农田的长是8厘 米。这张设计图的比例尺是多少？ (2)A虹农业灌溉系统还能统计灌溉数据，已知该农田每次传统灌溉需用水180吨，每月灌溉4 次。使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省多少吨水？ 32.(本题5分)如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转 过的总齿数是相同的。 试卷第7页，共9页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 33.(本题5分)阅读材料回答下列问题。 水是人类发展不可缺少的自然资源，是人类和一切生物赖以生存的物质基础。生物体内含水量 占体重的60~80%，甚至90%以上。人体内的含水量占体重的子，为了维持人类正常的生理 代谢，每人每天至少需要饮用2.5升的水。 我国是一个干旱缺水的国家，全国约有660个城市，其中二的城市供水不足，在这些供水不足 的城市中，又有的城市严重缺水。所以保护水资源是我们每个人的责任。 (1)爸爸的体重是78kg,他体内大概含水多少千克？ (2)全国严重缺水的城市大约有多少个？ (3)为了鼓励居民节约用水，某地的自来水公司规定：每户每月用水15吨（含15吨）按每吨 2.3元收费；超过15吨后，超出的部分按每吨5.5元收费。小涵家上月共交水费62元，小涵 家上月用水多少吨？ 34.(本题6分)某社区为改善老旧道路，计划用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15 米的人行道。工程队联系了搅拌站，混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2：3：5（每立方 米混凝土总质量约2400千克)。搅拌站有一辆圆柱形搅拌车，罐体内部长（圆柱的高)5米、 底面直径2米（π取3.14），每次搅拌需预留10%的空间防止溢出。 试卷第8页，共9页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (1)铺设这条人行道需要多少立方米混凝土？按配比计算，需要水泥、沙子、石子各多少吨？ (1吨=1000千克) (2)搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是多少？若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要 多少车次才能完成任务？（结果保留整数） 试卷第9页，共9页学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（一) 参考时间：90分钟：试卷总分：100分 题号 二 三 四 五 六 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2.请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3.测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空1分。共21分) 1.(本题3分)第19届亚运会在中国杭州举行。作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区 占地1543700平方米，合( )公顷。建筑面积约2720000平方米，把这个数改写成用万 平方米”作单位的数是( )万平方米。亚运会开幕式电视端累计观众收视人次达 199086782次，这个数省略亿位后面的尾数约是( )次。 2.(本题4分)( ):20=0,75=4=( )%=( )折。 3.(本题2分)比40米多1是( ),15千克比( )千克少25%。 4.(本题1分)一个整数把小数点向左移动一位，得到一个一位小数，这个小数比整数小了 3.6,这个整数是( ) 5.(本题1分)笑笑的存钱罐里有面值5元和面值10元的人民币共12张，合计80元。其中 面值5元的有( )张。 6.(本题1分)一个班男生和女生人数原来的比是9：11，这学期转来2名男生，这时男生占 总人数的号，这个班原米有( )人 7.（本题1分)成都一带一路大厦”，在一幅比例尺是1：20000的图上量得楼高约是2.45厘 米，“一带一路大厦”实际高度是( )米。 试卷第1页，共7页 学科网·学易金卷 www,ZX×k,C0m 做好卷，就用学易金卷 8.(本题3分)小明家与姥姥家相距5千米。周末小明骑车从家出发去探望姥姥，去的途中修 理自行车耽搁了一些时间。从图中可以看出： 小路程/千米 4 20406080100120140时间/今分 (1)小明在路上修车用了( )分。 (②)从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成( )比例，他的速度是( )千米分。 9.(木题1分)话动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中丙条边的长度号分米和号 分米，这个三角形的周长是( )分米。 10.(本题1分)李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积 之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 11.（本题1分)一个盒子里装有大小相同的红黄蓝白球各5个，至少摸出( )个球， 才能保证摸到两个相同颜色的球。 12.（本题2分)用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去： ① ② ③ 第50个图案中需要摆棋子( )枚，第n个图案中需要摆棋子( )枚。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画V,错的画×，每题1分，共5分) 13.(本题1分)两个计数单位之间的进率是10。( ) 14.(本题1分)一个角的两条边越长，角就越大。( ) 15.(本题1分)一个两位数，个位上的数字是y,十位上的数字是x,这个数是y。( 16.(本题1分)甲数×乙数×（甲数和乙数都不等于0，那么甲数：乙数=15：1.( ) 17.(本题1分)在含糖20%的糖水中加入相同质量的糖和水后，糖水的含糖率不变。( 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共5分） 18.(本题1分)下面各组数中，不是互为相反意义的量是( ) 试卷第2页，共7页 念学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 A.增加2kg和减少2cm B.收入200元和支出150元 C.向东走8m和向西走10m D.上升10dm和下降15dm 19.(本题1分)下面四个物体都是由5个小正方体组成，从前面和上面看到的形状不一样的 物体是( A 20.(本题1分)一次考试中，乐乐语文和数学的平均分是分，英语比这两科的平均分多6 分，乐乐这三科的平均分是( )分。 A.a+2 B.a+3 C.a+4 D.a+6 21.（本题1分)一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是( ) A.10:8 B.5:4 c.8:0 1.1 D.4:5 22.(本题1分)妙想将3000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是1.2%，到期后可以获 得本金和利息一共多少元？正确列式是( ) A.3000×1.2% B.3000×1.2%×2 C.3000×1.2%×2+3000 D.3000×(1+1.2%)×2 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 四、一丝不苟，细心计算。（共27分） 23.(本题8分)直接写出得数。 256+80= 2.1÷7= 3.28+1.6= 2÷10%= 16x1」 5×1.3= 51 62 1x3 37 24.(本题9分)能简便计算的简便计算。 w哈哈05 (2)63x2.25-2259%+2×1 6 46 试卷第3页，共7页 念学科网·学易金卷 www,ZX×k,C0m 做好卷，就用学易金卷 31+-+0 25.(本题6分)解方程。 2 (1) (2) 4x+50%r=60 (3)x-36=x+48 4 8 26.(本题4分)求下图中阴影部分的面积。（单位：cm) 评卷人 得分 五、手脑并用，实践操作。（共10分） 27.(本题4分)下面每个方格的边长表示1厘米。 (1)方格中的圆以点0为圆心，请你将所画圆的25%涂上颜色。 (2)请在方格里画一个长方形，使长方形的周长是18厘米，长与宽的比是2：1。 试卷第4页，共7页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A B 28.(本题6分) (1)画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。 (2)在方格纸中画出一个面积和三角形ABC相等的梯形。 (3)在圆0的南偏东45°方向，画出圆按2：1放大后的图形。 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 六、走进生活，解决问题。（共32分） 29.(本题5分)据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍 还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？ 30.(本题5分)太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前 三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人 次，大南门站的客运量是长风街站的？，府西街站的客运量是大南门站的？，府西街站的客运 量是多少万人次？ 试卷第5页，共7页 学科网·学易金卷 www,ZX×k,C0m 做好卷，就用学易金卷 31.(本题5分)妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁 精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知 识解答) 清洗物品 洗洁精：清水 瓜果、厨房用品 1:500 ⊙ 32.(本题5分)“盐池”里的科学。 运城盐池是我国最古老的盐池之一，盐工们通过晾晒盐水使盐结晶。已知常温下，当盐水浓度 超过26%时，便会发生盐结晶现象。小宇在科学实验课上模拟这一过程，他配制了200克盐水， 其中盐与水的质量比是3：17。他将盐水加热蒸发，当盐水质量减少到150克时停止加热并冷 却至常温。请问此时小宇能观察到盐结晶现象吗？请通过计算说明理由。 33.(本题6分)保洁组的同学要购买60个单价为55元的海绵拖把。下面是三家商店给出的 优惠方案： 金百汇商厦每满1000 华联商厦 小芳超市 元，返还现金120元 律八五折 买五送一 请算出每家商店购买各需要多少钱，并比较哪家商店更划算？ 试卷第6页，共7页 学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 34.(本题6分)数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他 们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是4厘米，高是10厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1：1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3：2。请根据以上信息，计算出一枚螺 丝钉的体积。（π取3.14） 试卷第7页，共7页 卷首寄语 “夏天过去，秋天过去，冬天又来了，骆驼队又来了，童年却一去不返了。” ——林海音《城南旧事》 同学们，六年小学时光匆匆而过，数学课堂上的一笔一画、一题一解，都藏着你们的努力与成长。从基础计算到思维拓展，从简单应用到综合探究，你们一步步突破自我，积攒下满满的底气。 这是小升初考前最后一课，愿你们珍惜此刻，把所有知识沉淀于心，带着从容与自信奔赴考场。考场上沉着审题、细心作答，把平日的积累尽数展现。 小学的篇章即将圆满收尾，而更广阔的数学天地在前方等候。愿你们以扎实的学识为帆，以沉稳的心态为桨，从容应战，不负时光，不负自己，为六年小学生活画上最完美的句号！ 祝前程似锦，未来可期！ 2026年4月 目 录 5 【小升初考前必背01】基础概念篇 5 【小升初考前必背02】运算定律篇 13 【小升初考前必背03】单位换算篇 14 【小升初考前必背04】图形公式篇 15 【小升初考前必背05】应用公式篇 17 20 一、数与量的认识·十三种命题预测 20 二、数的运算·七种命题预测 25 三、式与方程·十种命题预测 29 四、比和比例·十二种命题预测 36 五、图形与几何·二十六种命题预测 45 六、统计与概率·五种命题预测 64 七、数学思考·八种命题预测 68 八、典型应用题·十一种命题预测 72 84 一、新基础素养题型探究 84 二、新情境应用题型探究 87 三、新思维拓展题型探究 94 四、新综合素养题型探究 99 104 一、考前准备篇 104 二、考场注意篇 111 二、考后调整篇 123 【01放松身心劳逸结合】把孩子交给夏日阳光、绿树浓荫 123 【02文艺作品中找数学】中学生必看数学题材的电影 126 【03假期尾声收收心】七年级数学预习书籍推荐 136 137 2026年小升初数学终极押题卷（一）（含判断题版本） 137 2026年小升初数学终极押题卷（二）（不含判断题版本） 144 【小升初考前必背01】基础概念篇 序号 概念 基本内容 等级 1 “0” ①0是一个有实际意义的数，既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限； ②0是最小的自然数，是一个偶数，是任何自然数(0除外)的倍数； ③0不能作除数。 2 自然数 ①用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……叫做自然数，简单说自然数就是大于等于零的整数。 ②最小的自然数数是0，没有最大的自然数，自然数都是整数，自然数也可以表示个数或次序。 3 整数 ①像…-3、-2、-1、0、1、2、3…这样的数统称为整数，其中像1、2、3、…这样的数叫做正整数，像…-3、-2、-1这样的数叫做负整数。 ②最小的正整数是1，没有最大的正整数；最大的负整数是-1，没有最小的负整数；整数有无限个，没有最小的整数，也没有最大的整数。 4 因数和倍数 如果a÷b=c(a、b、c均为正整数且b≠0)，除得的商是整数而没有余数： ①我们就说能被整除，或者说能整除； ②是的倍数，是的因数； ③倍数和因数是相互依存的。 ④一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身； ⑤一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 5 2、5、3的倍数特征 ①个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除； ②个位上是0或5的数，都能被5整除； ③一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 6 奇数和偶数 ①奇数：在自然数中，不是2的倍数的数，如1、3、5、7、9、11…； ②偶数：在自然数中，是2的倍数的数，如0、2、4、6、8、10…。 7 质数和合数 ①质数：只有1和它本身两个因数的数，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97； ②合数：除了1和它本身外还有别的因数的数，如4、6、8、9、12…。 ③1既不是质数也不是合数，2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 8 质因数 ①质因数：合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。 ②分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，例如把28分解质因数：。 9 最大公因数和最小公倍数 ①最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 ②最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 10 互质数 ①公因数只有1的两个数，叫做互质数。 ②互质关系： 1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。 11 求两个数的最大公因数或最小公倍数 ①枚举法；②短除法；③三种特殊情况： 其一：如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数； 其二：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数； 其三：分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 12 小数 ①把单位“1”平均分成10份、100份、1000份…，这样的一份或几份可以用分母是10、100、1000、…的分数来表示，也可以用小数来表示，小数是特殊形式的分数，但是不能说小数就是分数。 ②按整数部分是否为0，将小数分为纯小数和带小数；按小数部分位数是否有限分为有限小数和无限小数。 13 循环小数 ①无限小数分为循环小数和无限不循环小数 ②无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数，例如：∏。 ③循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 14 分数 把单位“1”平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数； 15 分数的分类 ①真分数：分子比分母小的分数叫真分数。 ②假分数：分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。 ③带分数：一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。 16 约分和通分 ①约分的方法：用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母，通常要除到得出最简分数为止。 ②通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 17 小数和分数的性质 ①小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 ②小数点移动规律： a：小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍…… b：小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍，小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍，小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍…… c：小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。 ②分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 18 百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比，百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 19 四种基础运算 ①加法：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中两个数都叫“加数”，结果叫“和”。 ②减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算，其中“和”叫“被减数”，已知的加数叫“减数”，求出的另一个加数叫“差”。 ③乘法：求n个相同加数的和的简便运算，叫做乘法，其中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数”，结果叫“积”。 ④除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法是乘法的逆运算，其中“积”叫做“被除数”，已知的一个因数叫做“除数”，求出来的另一个因数叫做“商”。 20 四大规律 1. 和的规律问题。 （1）和不变规律： 两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加数必须减去多少。 （2）和的变化规律： 一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增加（或减少）相同的数。 2. 差的变化规律。 （1）减数不变： 若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少；减数不变，被减数减少多少，差就减少多少。 （2）被减数不变： 若减数增加，被减数不变，则差减少；若减数减少，被减数不变，则差增加。 （3）差不变： 若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 3. 积的变化规律。 （1）两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 （2）一个因数乘A，另外一个因数乘B，那么积要乘A和B的积。 （3）一个因数除以A，另外一个因数除以B，那么积要除以A和B的积。 4. 积不变规律。 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 5. 商的变化规律。 （1）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。 （2）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。 （3）在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。 6. 商不变规律（商不变性质）。 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 21 四则运算顺序 ①运算等级：第一级加减法，第二级乘除法； ②运算顺序：先乘除，后加减；左向右，依次算；有括号，最优先。 22 方程 ①方程：含有未知数的等式叫做方程。 ②方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 23 比 两个数相除又叫做两个数的比，“：”是比号，读作“比”，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 24 比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 25 求比值和化简比 ①求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 ②根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比，它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 26 数的互化 1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 8. 比与除法互化，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商 27 比例的意义和性质 ①比例的意义。 表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 ②比例的性质。 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积，这叫做比例的基本性质。 28 正比例和反比例 ①成正比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系，用字母表示y/x=k(一定） ②成反比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，用字母表示x×y=k(一定) 29 比例尺 图上距离:实际距离=比例尺 30 三线 ①直线：没有端点，可以向两端无限延长。 ②射线：只有一个端点，可以向一端无限延长。 ③线段：有两个端点，射线和线段都是直线的一部分，两点之间，线段最短。 31 平行与垂直 ①垂线：两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫垂足，从直线外一点到直线所画的线段中，垂线最短。 ②平行线：在同一平面内的两条不相交的直线，叫做平行线。 32 角 锐角（小于90的角）、直角（等于90的角）、钝角（大于90而小于180的角）、平角（等于180的角）、周角（等于360的角） 33 长方形和正方形 ①长方形对边相等，4个角都是直角的四边形，有两条对称轴。 ②正方形四条边都相等，四个角都是直角的四边形，有4条对称轴。 34 三角形 ①由三条线段围成的图形，叫做三角形，它的内角和是180度，具有稳定性，有三条高。 ②三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ③三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 35 三角形三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 36 平行四边形和梯形 ①平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边行相对的边平行且相等，对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度，平行四边形容易变形。 ②梯形 只有一组对边平行的四边形叫做梯形，梯形中位线等于上下底和的一半，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，等腰梯形有一条对称轴。 37 圆和扇形 ①圆是一种封闭的曲线图形，圆心、半径、直径 ②在同圆或等圆中，，即直径是半径的2倍，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 ③圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴。 ④圆周长与直径的比值，用“”表示，是无限不循环小数，一般近似取≈3.14。 ⑤一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 38 长方体和正方体 ①长方体。 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）的立体图形叫做长方体，长方体相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等，有8个顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 正方体。 ②六个面都是正方形的立体图形叫做正方体，正方体六个面的面积相等，有12条棱，棱长都相等，有8个顶点，正方体可以看作特殊的长方体。 39 圆柱和圆锥 ①圆柱。 上下是圆，侧面展开是长方形；以长方形一条边所在直线为轴旋转一周形成圆柱。 ②圆锥。 底面是圆，侧面展开是扇形；以直角三角形一条直角边所在直线为轴旋转一周形成圆锥。 40 周长 封闭图形一周的长度。 41 面积 面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。 42 体积和容积 ①体积：用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。 ②容积：一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量。 43 三大统计图 ①条形统计图：便于直观了解数据的大小及不同数据的差异。 ②折线统计图：便于直观了解数据的变化趋势，也便于了解数据的大小。 ③扇形统计图：便于直观了解各部分数量占总数量的百分比，以及各部分之间的大小关系。 【小升初考前必背02】运算定律篇 运算律和运算性质 基本内容 字母表示 加法交换律 交换两个加数位置和不变。 加法结合律 先把前两个数相加,再加第三个数，或者先后两个数相加，再加第一个数，和不变。 乘法交换律 交换两个因数位置积不变。 乘法结合律 先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加。 减法性质 一个数减去两个数的和，等于这个数依次减去这两个数。 [来源:学科网ZXXK] 除法性质 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以这两个数。 【小升初考前必背03】单位换算篇 单位名称 换算方法 长度 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体（容）积 1立方米=1000立方分米=1000升 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤 1斤=500克 人民币 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间 1世纪=100年 1年=12月； 一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十天，平年二月二十八； 平年365天，闰年366天； 1小时=60分钟 1分钟=60秒 1小时=3600秒； 十二生肖先后顺序：鼠牛虎兔龙蛇，马羊猴鸡狗猪。 【小升初考前必背04】图形公式篇 图形名称 图形实例 周长C 面积S 正方形 长方形 三角形 平行四边形 梯形 圆 扇形 圆环 外圆内方 外方内圆 图形名称 图形实例 表面积 体积 正方体 长方体 圆柱体 圆锥体 [来源:学*科*网] 【小升初考前必背05】应用公式篇 类型 公式 和差倍 和倍 “1”=和÷（倍+1） 差倍 “1”=和÷（倍-1） 和差 大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2 归一问题 正归一 单一量×份数=总量 反归一 总量÷单一量=份数 还原问题 逆运算推导原数 归总问题 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量 植树问题 基本 间距数=总长÷间距长 直线植树 两端都种：棵树=间距数+1 两端都不种：棵树=间距数-1 一端种一端不种：棵树=间距数 环形植树 棵树=间距数 盈亏问题 盈亏问题 份数=（盈+亏）÷分配差 盈盈问题 份数=（大盈-小盈）÷分配差 亏亏问题 份数=（大亏-小亏）÷分配差 年龄问题 年龄差不变，转换成和差倍问题 鸡兔同笼 假设法 假设全是鸡，少了几条腿； 除以腿的差，就是兔的数。 平均数问题 算术平均数 数量和÷数量=算术平均数 加权平均数 （部分×权数）总和÷权数和=加权平均数 行程问题 基本行程 速度×时间=路程 相遇问题 速度和×相遇时间=路程和 追及问题 速度差×追及时间=路程差 流水行船 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 火车过桥 路程和=车长+桥长 分数和百分数应用题 量率对应问题 单位“1”=分量÷分率 百分率问题 发芽率=发芽种子数/试验种子数×100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100% 浓度问题 浓度=×100% 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度 比和比例应用题 按比例分配问题 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：先求一份量，再求部分量 不变量问题 第1步：统一不变的单量； 第2步：统一一份量； 第3步：求解一份量。 经济问题 利润问题 利润=售价－成本 利润率=利润÷成本×100% =(售价÷成本－1)×100% 打八折：按定价的80%出售 利息问题 利息=本金×利率×时间 利息税=本金×利率×时间×税率 浓度问题 溶液重量=溶质重量＋溶剂重量 浓度=溶质重量÷溶液重量×100% 溶液重量×浓度=溶质重量 溶质重量÷浓度=溶液重量 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间 ；工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 ；工作总量÷工作效率和=合作时间 抽屉原理 1. 把或多于个苹果放在个抽屉里，其中一定有抽屉里至少有两个苹果。 2. 最不利原则：极限讨论，考虑最不利或最倒霉的情况。 一、数与量的认识·十三种命题预测 【命题解读】 数的认识一直是小学数学最为基础的内容之一，它主要涉及到三种数，即整数、小数和分数（百分数），它经常是各学段各期末的重点考察内容，对其概念考察也是小升初的必考内容。 常见的量包括时间单位、质量单位、长度单位、面积单位、体积（容积）单位等，一直作为小数数学基础内容存在，对于学生的实践认知和量感构建十分重要。 近年来的考察主要以数的基础认识和综合转化运用为主，题型上填空、选择、判断、计算都有涉猎，一般难度不大，但容易出错，另外，关于正负数的意义以及在数轴上的应用也是今年常考题型。 总之，解决数的综合问题，关键在于熟悉各类型数的基础概念，并能熟练掌握数与数之间的形式转化，构建起数感和认知体系，这是考察的重点方向，也是后续进入中学进行实数学习的基础。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数的读法与写法·数的改写与近似数 选、填 2 整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化 选、填 3 整、小、分、百、正数、负数综合比较 选、填 4 因数与倍数·奇数与偶数·质数与合数 选、填 5 2、5、3的倍数特征 选、填 6 最大公因数与最小公倍数的三种求法 选、填 7 最大公因数与最小公倍数综合应用 选、填、解 8 常用的量·单位的认识与选择 选、填 9 常用的量·单位的进率与换算 选、填 10 倒数 选、填 11 单位“1”与等量关系式 填 12 正数与负数 选、填 13 经过时间的计算 选、填 【预测命题方向01】数的读法与写法·数的改写与近似数 1．（2025·河南商丘·小升初真题）阅读下面的信息，根据要求填空。日前，泉州市统计局发布《2018年泉州市国民经济和社会发展统计公报》，根据核算，泉州市土地面积约11015( )，全市常住人口约8700500人。实现地区生产总值8467.98亿元，连续20年保持全省第一。 (1)在括号内填入合适的单位名称。 (2)横线上的数读作( )，改写成以“万”为单位的数是( )人。 (3)生产总值保留整数约是( )亿元。 2．（2025·内蒙古乌兰察布·小升初真题）文艺汇演给学生提供了一个展示才艺和个性的舞台。本次文艺汇演演唱类节目占28.4%，舞蹈类节目占百分之二十一。 (1)28.4%读作( )        百分之二十一写作( ) (2)去掉28.4%后面的百分号，相当于将原数扩大到原来的( )倍。 3．（2025·贵州黔东南·小升初真题）下列有8个数：0、3.2、﹣5.6、78、﹣、3.14、952、﹣60，其中( )是整数；( )是正数；( )是负数。 【预测命题方向02】整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化 1．（2025·河北保定·小升初模拟）( )∶16＝12÷( )＝0.25＝＝( )%＝( )（填成数）。 2．（2025·四川巴中·小升初真题）＝( )÷20＝( )%＝3∶4＝( )折。 【预测命题方向03】整、小、分、百、正数、负数综合比较 1．（2025·河北石家庄·小升初真题）在0.143、14%、、、﹣0.1433中，最大的数是( )，最小的数是( )。 2．（2025·海南海口·小升初真题）在﹣10、0.5、、﹣7.8和0这五个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【预测命题方向04】因数与倍数·奇数与偶数·质数与合数 1．（2025·广西桂林·小升初真题）有一个数，它既是60的因数，也是60的倍数，这个数是( )，它的因数中是质数的有( )。 2．（2025·甘肃临夏·小升初真题）某一景区的WIFI密码有八位数字组成，3A71806B，A是6和9的最大公约数，B既是奇数也是合数，则这一景区的WIFI密码是3( )71806( )。 【预测命题方向05】2、5、3的倍数的特征 1．（2025·湖北武汉·小升初真题）袋子里有写着1～6的数字卡片各一张，任意摸出两张组成一个两位数。其中是5的倍数的两位数有( )种可能情况；是3的倍数的两位数有( )种可能情况。 2．（2025·安徽亳州·小升初真题）四位数3□4□，如果它是2和5倍数，这个数最小是( )；如果它是2和3的倍数，这个数最大是( )。 【预测命题方向06】最大公因数与最小公倍数的三种求法 1．（2025·浙江台州·小升初模拟）两个非零自然数a和b，如果a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )；如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 2．（2025·山东·小升初模拟）已知（是不为零的自然数），如果和的最大公因数是6，那么和的最小公倍数是( )。 【预测命题方向07】最大公因数与最小公倍数综合应用 1．（2025·浙江杭州·小升初真题）有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？ 2．（2025·贵州安顺·小升初真题）爸爸带着扬扬一起跑步，爸爸每跑一圈用时4分钟，扬扬每跑一圈用时6分钟。如果爸爸和扬扬在起点同时沿同一方向起跑，两人在起点再次相遇时，爸爸和扬扬分别跑了多少圈？ 【预测命题方向08】常用的量·单位的认识与选择 1．（2025·山东青岛·小升初真题）选择合适的数，填在相应的括号里（每个数只能选一次）。 150  1  1.5  1350  50  15 小军是六年级的学生，体重( )千克，身高( )厘米，每天早上6：00起床，洗漱、收拾房间、吃饭用( )小时，然后去学校，学校离家( )米，他步行的速度是( )米/秒，走( )分钟到学校。 2．（2025·江西赣州·小升初真题）学校开展劳动实践，张杰班同学在菜地劳动，他用一把1.5( )长的铁锹松土，准备种植蔬菜。菜地的面积20( )，他们先施肥，每块地大约用2( )的肥料。再用容量为10( )的水桶给菜地浇水。 【预测命题方向09】常用的量·单位的进率与换算 1．（2025·广东揭阳·小升初模拟） 0.75时＝( )分         3600立方分米＝( )立方米 5060克＝( )千克              6.78元＝( )分 2．（2025·重庆梁平·小升初真题） 6.05时＝( )时( )分      40千克60克＝( )千克 50000公顷＝( )平方千米        9.4立方米＝( )升 【预测命题方向10】倒数 1．（2025·河南郑州·小升初真题）如果和互为倒数，则( )。 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）A×＝B×＝C÷＝D÷15（A、B、C、D为非0的正数）。最大的是( )，最小的是( )。 【预测命题方向11】单位“1”与等量关系式 1．（2025·四川成都·小升初真题）“张欢的身高的和肖恩一样高”其中单位“1”的量是( )；他们之间的等量关系式为：张欢的身高×( )＝肖恩的身高。 2．（2025·甘肃天水·小升初真题）把一根5米长的绳子平均分成4段，每段是( )米，每段是这根绳子的( )。 【预测命题方向12】正数与负数 1．（2025·河南信阳·小升初真题）某牌面包的包装袋上有这样的标记：100±5g，和标准质量比较，把面包净重104g记作＋4g，那么面包净重98g记作( )。妈妈买回5袋面包依次称重，分别记录为：＋0.2g、－7g、0g、－5g、＋3g，这5袋面包的合格率是( )%。 2．（2025·河南郑州·小升初真题）如下图，若点A表示的数是0.1，那么点C表示的数是( )；若点B表示的数是1，那么点A表示的数是( )；若点C表示的数是10，那么点D表示的数是( )。 【预测命题方向13】经过时间的计算 1．（2025·山东·小升初真题）北京时间2025年4月24日17时17分，中国神舟二十号载人飞船搭载陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员在酒泉卫星发射中心发射升空，于2025年4月24日23时49分成功对接于空间站天和核心舱径向端口，请你计算一下载人飞船从发射到成功对接历经了( )时( )分。 2．（2025·辽宁辽阳·小升初真题）某食品的外包装上标注的生产日期是2025年6月1日，保质期是18个月。那么该食品最迟要在( )年( )月( )日前食用才能保证安全。 二、数的运算·七种命题预测 【命题解读】 数的运算是小学数学最为重要的内容之一，小升初主要考察各类数的四则混合运算、简便计算以及解方程或解比例，因为涉及到多种数以及数的多种转化，计算综合性比较强，考察知识一般以下四点为主，即： 一是考察四种数之间的互相转化； 二是考察四种数之间的四则基础计算和方程的一般解法； 三是考察四则混合运算； 四是考察简便计算以及常用巧算法； 总之，熟练掌握四则运算关系、基础算法以及基本运算定律是正确计算的关键，另外，本部分所涉及的十三种巧算法一般以思维拓展题型为主，涉及题型难度非常大，不适合作为一般性内容进行讲解或训练，具体详情可参考编者的“小升初典型例题系列”。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数的运算·基础运算 选、填、计 2 数的运算·和差积商四大运算规律 选、填 3 数的运算·运算律 选、填、判 4 数的运算·四则混合运算 计 5 数的运算·简便运算 计 6 数的运算·解方程和解比例 计 7 数的运算·列式计算 计 【预测命题方向01】数的运算·基础运算 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）下面四个算式中，“5”和“4”可以直接相加、减的是( )。 A． B． C． D． 2．（2025·山东菏泽·小升初真题）下面的算式计算结果比1大的是( )。 A． B． C． D． 【预测命题方向02】数的运算·和差积商四大运算规律 1．（2023·湖南怀化·小升初真题）已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是( )；已知○＋□＝8，如果两个数加数同时增加3，那么现在的和是( )。 2．（2024·全国·小升初真题）根据28×45＝1260，写出下面各题的得数。 2.8×4.5＝( )      1260÷2.8＝( )      12.6÷0.045＝( ) 3．（2022·山东临沂·小升初真题）在（    ）里填“＞”、“＜”或“＝”。 ( )        46.8÷1.2( )46.8 125%( )        ( ) 【预测命题方向03】数的运算·运算律 1．（2025·天津宁河·小升初真题）请将等式补充完整，并说明运用了哪种运算律。 (1)23×98＋23×2＝23×（98＋______），运用了( )律。 (2)（11×8）×125＝11×（______×______），运用了( )律。 2．（2025·安徽宿州·小升初真题）以下是25×48的三种计算方法，请尝试说明下面各种计算的道理。 ①( )；②( )；③( )。 【预测命题方向04】数的运算·四则混合运算 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）脱式计算。            2．（2025·河南郑州·小升初真题）脱式计算。                    【预测命题方向05】数的运算·简便运算 1．（2025·河南信阳·小升初真题）怎样简便怎样算。 25×12.5×32           18×（＋－）        53.2×＋46.8×0.3 2．（2025·四川·小升初真题）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 ①             ②             ③ 【预测命题方向06】数的运算·解方程和解比例 1．（2025·云南昭通·小升初模拟）解方程。 2.6∶x＝0.13∶0.5     25%x－1.7＝5.8      2．（2025·广西桂林·小升初真题）解方程或比例。 x＋3.2×5＝21          75%x－x＝             3.5∶x＝ 【预测命题方向07】数的运算·列式计算 1．（2025·湖南永州·小升初真题）列式计算。 甲数的等于乙数的40%，乙数是35，甲数是多少？ 2．（2025·江西吉安·小升初模拟）列式计算。 一个数减少它的30%后是70的，求这个数。 三、式与方程·十种命题预测 【命题解读】 式与方程是小学最为重要的板块之一，在小升初考察中约占30%比重，它主要包括代数式的初步构建、等式的性质、方程的解法以及列方程解决实际问题等内容，考虑到代数式具有一定的抽象性，加上多种数的转化、方程的运算、代数式的变形等易错易混点，使得该板块具有一定的难度。 近年来的考察主要以填空、解方程以及应用题等题型为主，压轴题常涉及复杂的方程应用，命题主要呈现以下三个趋势： 趋势一，即跨学科融合，结合几何（圆柱与圆锥关系）、统计（分析数据建模）等方向设计方程。 趋势二，即实际情境化，近年来常以“购物折扣”、“行程规划”等实际生活场景为载体出题。 趋势三，即聚焦基础知识，常在填空、选择题型中聚焦方程的格式问题、等式的性质变形等基础知识。 复习式与方程板块的内容，首先要构建思维框架，掌握基础知识和基本算法，其次是分层突破，针对训练，强化基础计算和应用专题，最后要总结技巧，错题复盘，建立良性循环机制。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 用字母表示数 选、填 2 定义新运算·程序框图·探索规律·新型关系式 选、填 3 方程与等式的辨析 选、填、判 4 等式的性质与等量代换 选、填、判 5 列方程解倍数问题 解 6 列方程解行程问题 解 7 列方程解鸡兔同笼问题 解 8 列方程解盈亏问题 解 9 列方程解分数和百分数问题 解 10 列方程解比和比例问题 解 【预测命题方向01】用字母表示数 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲车的速度是千米/时，乙车的速度比甲车的多5千米，乙车的速度是( )千米/时（用含有的式子表示）；当千米/时，乙车的速度是( )千米/时。 2．（2025·浙江宁波·小升初真题）有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 (1)若有只碗叠起来，它的高度是( )cm（用含有字母的式子表示）。 (2)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。 【预测命题方向02】定义新运算·程序框图·探索规律·新型关系式 1．（2025·河南郑州·小升初真题）规定：A★B＝3A＋2B，例如4★5＝3×4＋2×5＝22。如果x★（5★1）＝70，那么＝( )。 2．（2025·黑龙江鸡西·小升初真题）琳琳设计了一个猜年龄程序： 输入你的年龄→加6→乘1.5→输出结果 如果输入的年龄是a岁，则输出的结果是( )；如果输出的结果是54，则输入的年龄是( )岁。 3．（2025·江西上饶·小升初真题）新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 4．（2025·河南信阳·期末）爱眼小常识：看电视时要保持最佳观看距离，最佳观看距离一般是电视屏幕对角线长度的2倍。如果用字母b表示电视屏幕对角线的长度（单位：英寸），那么最佳观看距离为( )英寸。丽丽家的电视机是70英寸，她的最佳观看距离是( )米。（电视机的尺寸是指屏幕对角线的长度，1英寸≈2.5厘米） 【预测命题方向03】方程与等式的辨析 1．（2025·广东汕头·小升初模拟）下面式子中，是方程的是( )。 A．5－x B．18÷3＝6 C．1－2x＝0.5 D．4－3x＜5 2．（2024·福建漳州·小升初真题）韦恩图是一种展示集合关系的图形工具。下面的韦恩图中，( )集合关系是正确的。 A． B． C． D． 【预测命题方向04】等式的性质与等量代换 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，△×□＝( )。 2．（2025·重庆忠县·小升初真题）如果，那么、两数相差( )。 【预测命题方向05】列方程解倍数问题 1．（2025·全国·小升初模拟）2023年5月28日，我国首架具有自主知识产权的干线客机圆满完成载客首飞。一架客机的机身总长38.9米，比机高的4倍少8.9米，一架客机机高多少米？（列方程解答） 2．（2025·河南漯河·小升初真题）有甲乙两桶大豆油，甲桶大豆油的质量是乙桶的，如果从乙桶向甲桶倒4.5kg大豆油，那么两桶大豆油的质量正好相等。甲、乙两桶原来分别有大豆油多少千克？（用方程知识解决） 【预测命题方向06】列方程解行程问题 1．（2025·山东济南·小升初真题）甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 2．（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 【预测命题方向07】列方程解鸡兔同笼问题 1．（2025·四川达州·小升初真题）青山果园的苹果树和梨树一共有120棵，其中梨树的棵数是苹果树的。青山果园的苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解答） 2．（2025·广东汕头·小升初模拟）妈妈在服装店买了一件上衣和一条裤子，共花了360元，裤子的价格比上衣便宜了20%，那么上衣和裤子各多少元？ 【预测命题方向08】列方程解盈亏问题 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3颗，就会余下糖果17颗；如果每人分5颗，就会缺少糖果13颗。幼儿园小班有多少小朋友？这些糖果共有多少颗？ 2．（2024·四川广元·小升初真题）用绳子测量楼房的高度，把绳子折成相等的4段来量，绳子比楼房高出5米，把绳子折成相等的5段来量，绳子比楼高出2米。这根绳子有多少米？楼房高多少米？ 【预测命题方向09】列方程解分数和百分数问题 1．（2025·湖北襄阳·小升初真题）甲桶的油比乙桶多3.6千克，如果从两桶油中各取出1千克，则甲桶里剩下油的等于乙桶里剩下油的，那么甲桶里原来有多少千克油？ 2．（2025·福建泉州·小升初模拟）粮店运进一批大米与面粉，大米比面粉多450千克，当大米卖出一些后剩下60%，而面粉没卖，这时大米比面粉少150千克。粮店运进这批大米、面粉各多少千克？（先画图表示数量关系，再解答。） 【预测命题方向10】列方程解比和比例问题 1．（2025·山东·小升初模拟）春秋战国时期，我国有一位发明家叫鲁班，手艺巧夺天工，传说他用木头组成飞鸟，惟妙惟肖，十分逼真。鲁班3天能做15个飞鸟，如果要做80个飞鸟，需要几天？（用比例解答） 2．（2025·广东汕头·小升初模拟）爸爸准备给客厅铺地砖，用边长5分米的方砖铺，需540块，若改用边长6分米的方砖铺，需多少块？（用比例解） 四、比和比例·十二种命题预测 【命题解读】 比和比例是小升初常考内容之一，在考察中一般占10%~15%，它主要涉及比和比例的基础概念运用、相关计算以及实际应用，值得注意的是它常和分数、百分数结合考察。 近年来主要以化简比和求比值、按比例分配应用题、比例关系的判断、比例尺的计算、比例应用题以及正反比例图标应用等高频考题为主，填空、选择、计算、应用等题型皆有出现，考察难度一般，从命题情况来看，主要呈现以下三个趋势： 趋势一，即跨学科融合，结合科学实验（数据测量）、地理地图（比例尺）、经济生活等内容出题。 趋势二，即实际情境化，近年来常以“网购优化比例”、“传统文化”、“行程规划”等实际生活场景为载体出题。 趋势三，即思维进阶，增加开放性题目，或作为压轴题训练思维。 复习比和比例板块的内容，首先要强调概念辨析，例如比和比例、正比例和反比例的辨析，其次针对性训练必不可少，最后建立错题本，总结方法。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 化简比与求比值 选、填、计 2 求比问题 选、填 3 按比例分配问题 选、填、解 4 比与分数百分数应用题 选、填、解 5 比例的意义和比例的基本性质 选、填、判 6 正反比例关系的判断 选、填、判 7 比例尺的意义 选、填、判 8 比例尺的应用 解 9 正比例的应用 解 10 反比例的应用 解 11 正反比例图表综合 填、解 12 作图·比例尺与图形的放大缩小 作 【预测命题方向01】化简比与求比值 1．（2025·河北邢台·期末）化简下列各比并求比值。                    分钟∶1小时        0.2千克∶25克 2．（2024·河南周口·小升初真题）化简下列各比，并求比值。 2.7∶0.18           ∶5          ∶      30厘米∶2米 【预测命题方向02】求比问题 1．（2025·河南周口·小升初真题）琳琳和彤彤两家到学校的路程相等，两人同时从家出发去学校，琳琳4分钟走到学校，彤彤6分钟走到学校，琳琳和彤彤两人所用的时间比是( )，速度比是( )。 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）一段公路长20km，甲队单独修要8天修完，乙队单独修要10天修完。甲乙两队的工作效率之比是( )。 3．（2025·四川绵阳·小升初真题）甲数比乙数多，乙数与甲数的比是( )。 4．（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图中阴影部分的面积占小圆面积的，占大圆面积的，小圆面积与大圆面积的比是( )∶( )。 【预测命题方向03】按比例分配问题 1．（2025·湖南永州·小升初真题）李大爷家的蔬菜大棚如下图，其中种白菜，其余的按种茄子、苦瓜、辣椒。种茄子、苦瓜、辣椒各需要多少平方米？ 2．（2025·广东汕头·小升初模拟）甲、乙两数的平均数是60，甲、乙两数的比是，甲数和乙数分别是多少？ 3．（2025·江苏南京·小升初真题）妈妈根据《学生餐营养指南》制定一日食谱，其中一道鱼香肉丝的主要原料有瘦猪肉、胡萝卜、甜椒等。下图表示制作鱼香肉丝的三种食材的份数。 (1)如果要制作一份450克的鱼香肉丝，三种食材各需要多少克？ (2)如果已有瘦猪肉500克，胡萝卜320克，甜椒600克，妈妈制作完鱼香肉丝用完了所有食材，她在制作过程中添加了什么食材，添加了多少克？ 【预测命题方向04】比与分数百分数应用题 1．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的。仓库原有货物多少吨？ 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）甲、乙两个志愿者团队原来的捐款钱数比是7∶3，现在甲团队拿出60元给乙团队用于帮扶困难学生，这时甲、乙两个团队的捐款钱数比是2∶3。现在甲、乙两个团队各捐款多少元？ 【预测命题方向05】比例的意义和比例的基本性质 1．（2025·河南南阳·小升初真题）若4，x，8，16四个数可以组成比例，那么x最大是( )，最小是( )。 2．（2025·浙江杭州·小升初模拟）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是53，另一个内项是( )，这个比例可能是( )。 3．（2025·山东菏泽·小升初真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 【预测命题方向06】正反比例关系的判断 1．（2025·甘肃临夏·小升初真题）如果，那么、成( )比例关系，如果，那么、成( )比例关系。 2．（2025·辽宁本溪·小升初真题）圆的周长和它的半径成( )比例；一个三角形的面积一定，它的底与高成( )比例。 【预测命题方向07】比例尺的意义 1．（2021·内蒙古呼和浩特·小升初真题）在一幅地图上新郑机场到新郑市区距离为3cm，而实际距离为24km，这幅地图的比例尺是( )。 2．（2025·甘肃庆阳·小升初真题）上海中心大厦是我国第一高楼，小辰设计了一幅该高楼的宣传海报，海报的比例尺是，把线段比例尺改写为数值比例尺是( )，在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是( )m。 【预测命题方向08】比例尺的应用 1．（2025·河北张家口·小升初真题）近年来，我国无人驾驶技术不断取得突破。技术人员为获得一辆以新能源为动力的无人驾驶汽车在行驶过程中的数据，他们在图纸上规划一段公路，让无人驾驶汽车试运行。已知这幅图的比例尺是1∶500000，这段公路的图上距离是28厘米，如果这辆汽车以40千米/时的速度行驶，几小时能行驶完？ 2．（2023·贵州黔西·小升初真题）在比例尺是1∶1000的平面图上，量得一块长方形麦地的长是12厘米，宽是8厘米。这块麦地的实际面积是多少平方米？ 【预测命题方向09】正比例的应用 1．（2025·广东汕头·小升初模拟）一个车队向灾区运送1620吨救灾物资，已知2.4小时运了324吨，照这样进度，运完这批物资还需几小时？（用比例解） 2．（2025·河南开封·小升初真题）成语“立竿见影”在《辞源》里的解释是“竿立而影现，喻收效迅速”。亮亮用数学的眼光来看，立刻联想到本学期所学的( )知识，即同一时间同一地点，竿高和影长成( )比例关系。 他打算用这种方法测量校园里一座雕塑的高度： 第一步：某天下午4时，他在这座雕塑旁测得明明的影子长度为2.4米，明明的身高是1.6米； 第二步：同时测得这座雕塑的影子长度为4.2米。 请你根据测量的过程，求出这座雕塑的高度。（用比例解答） 【预测命题方向10】反比例的应用 1．（2025·浙江宁波·小升初模拟）为备战学校“百年党史竞赛”，老师给莉莉准备了习题册。如果每天做12题，15天可以做完，莉莉想10天就做完，每天应该做几题？（用比例解答） 2．（2025·甘肃兰州·小升初真题）中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 【预测命题方向11】正反比例图表综合 1．（2025·陕西榆林·小升初真题）电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 … 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 … （1）判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要( )千瓦时；30千瓦时的电可行驶( )千米。 2．（2025·贵州安顺·小升初真题）把相同体积的水倒入不同底面积的圆柱形杯子中，杯中水面的高度与杯子的底面积关系的图像如图所示。 （1）底面积和水面高度成( )比例关系。 （2）在底面积是15平方厘米的圆柱形杯子中，水面的高度是( )厘米。 （3）请算一算，将同样体积的水全部倒入底面积是50平方厘米的圆柱形杯子中，杯子的高度至少是多少厘米水才不溢出？ 【预测命题方向12】作图·比例尺与图形的放大缩小 1．（2025·湖北武汉·小升初真题）①画出三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形。 ②画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。 ③在方格图上找一个点作为圆心，并用字母O标注，然后画一个圆，使点D、E、F、G都在这个圆上。 2．（2025·湖北十堰·小升初真题）（1）学校在中心广场北偏西方向600米处，这幅图的比例尺是( )。 （2）书店在中心广场南偏东方向900米处，请在图中用“·”标出书店的位置。 五、图形与几何·二十六种命题预测 【命题解读】 图形与几何，常与“数与代数”并列为小学数学最核心的两大板块，也是小升初考察最多的内容之一，常年在小升初考试中占25%~30%，它主要涉及基础图形特征、基本操作技能、图形综合应用等内容，在填空、选择、计算、操作、应用等题型中均有所体现。 根据近年来出题情况的研究，呈现出以下三个趋势： 一是学科素养导向，即增加量感题型，例如估算面积。 二是生活情景化，即结合生活场景出题，例如航天科技、建筑模型等。 三是跨学科融合，即与科学、美术、交叉命题。 在复习过程中，要注意基础掌握基本图形特征，针对面积和体积相关问题要作重点突破，熟练掌握相关解题模型。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 线与角·平行与垂直 选、填、判、作 2 平面图形和立体图形的基本认识 选、填、判 3 钟表角度计算问题 选、填 4 长方形和正方形的拼接问题 选、填 5 平行四边形与三角形的关系问题 选、填 6 平行四边形与梯形的关系问题 选、填 7 长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积 选、填、计、解 8 周长与面积的比较 选 9 圆的周长问题 选、填、计、解 10 最圆·外方内圆与外圆内方 选、填 11 圆环的面积 填、解 12 阴影图形的周长与面积 计、解 13 立体图形的展开图 选、作 14 长方体和正方体的表面积与体积 选、填、计、解 15 圆柱和圆锥的表面积与体积 选、填、计、解 16 圆柱与圆锥的旋转构成法 选、填 17 等积变形问题 解 18 切拼问题 选、填、解 19 排水法求不规则物体的体积 解 20 圆柱与圆锥的关系问题 选、填 21 倍比问题 选、填 22 组合体的表面积和体积 计、解 23 观察物体 选、填、作 24 平移、旋转和轴对称 选、填、作 25 数对、位置与方向 选、填、作 26 图形与几何综合作图 作 【预测命题方向01】线与角·平行与垂直 1．（2025·广东湛江·小升初真题）线段有( )个端点，射线有( )个端点（填“1”或“2”）。 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个40°的角，透过放大5倍的放大镜看，这个角是( )。 3．（2025·浙江金华·小升初真题）图中，直线和的位置关系是( )，直线和的位置关系是( )，直线和的位置关系是( )，，那么( )。 【预测命题方向02】平面图形和立体图形的基本认识 1．（2024·河南郑州·小升初真题）小学阶段很多知识之间有着密切联系。如图，若A表示等腰三角形，则B可以表示等边三角形；若B表示方程，则A可以表示( )；请你自己再举一个例子：( )。 2．（2024·浙江温州·小升初真题）知识之间是有密切联系的。如图，若表示长方体，则可以表示正方体；若表示相交，则可以表示( )；若表示等边三角形，则可以表示( )。 【预测命题方向03】钟表角度计算问题 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）钟面上指示3：30时，时针与分针的夹角是( )度。 2．（2025·安徽宿州·小升初真题）从11：15到11：45，钟表的分针旋转了( )。 【预测命题方向04】长方形和正方形的拼接问题 1．（2025·河南郑州·小升初真题）如下图，5个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个大长方形，那么小长方形长与宽的比是( )。 2．（2019·河南平顶山·小升初真题）把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形。 用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。 【预测命题方向05】平行四边形与三角形的关系问题 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 2．（2025·重庆梁平·小升初真题）一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是( )厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是( )厘米。 【预测命题方向06】平行四边形与梯形的关系问题 1．（2025·广东潮州·小升初真题）图中，已知平行四边形ABCD的面积为40cm2，那么图中阴影部分的面积是( )cm2，整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是( )。 2．（2024·重庆涪陵·小升初真题）一个梯形的下底是18cm，如果下底缩短8cm，就成为一个平行四边形，面积减少28cm2，原梯形的高是( )cm，面积是( )cm2。 【预测命题方向07】长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积 1．（2025·云南昭通·小升初真题）永善县王叔叔家有一块平行四边形的橙子园，底是50米，高是32米。每8平方米种一棵橙子树，这块地一共种了多少棵橙子树？ 2．（2025·湖南邵阳·小升初真题）公园有一个长方形花圃，分成了两部分，分别种植月季和杜鹃（如下图）。种月季的面积比种杜鹃的面积多90平方米，种月季的面积是多少平方米？ 3．（2025·四川成都·小升初真题）一个直角三角形的三条边的长度比是3∶4∶5，周长是60厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【预测命题方向08】周长与面积的比较 1．（2025·山东枣庄·小升初真题）图中甲乙（阴影部分）所在的大圆直径相等。下列说法正确的是( )。 A．甲乙的周长和面积都相等 B．甲乙的面积相等，周长不相等 C．甲乙的周长相等，面积不相等 D．甲乙的周长和面积都不相等 2．（2025·江西萍乡·小升初真题）甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸的利用率相比( )。 A．甲更高 B．乙更高 C．丙更高 D．三人都相同 【预测命题方向09】圆的周长问题 1．（2025·山西运城·小升初真题）在班级元旦联欢会上，同学们围坐成一个圆形玩“击鼓传花”游戏。李老师站在圆心位置负责击鼓。围成的这个圆形的周长是9.42米，那么每位同学与李老师相距( )米。 2．（2025·江西新余·小升初真题）一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块地毯边缘行进一周（如图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是，它的圆心走过路线的长度是( )dm。 【预测命题方向10】最圆·外方内圆与外圆内方 1．（2025·河南信阳·小升初真题）“圆”是中国文化的一个重要元素。圆，有圆满之意，符合中国人内心深处的向往。在中国建筑中经常能见到“外圆内方”的设计。如图圆的直径是2米。那么圆和正方形之间部分的面积是( )平方米。 2．（2025·河南焦作·小升初真题）在正方形里面画一个最大的圆，已知正方形的面积等于8cm2，那么这个圆的面积是( )cm2。 【预测命题方向11】圆环的面积 1．（2025·江苏淮安·小升初真题）为美化校园环境，实验小学需翻新广场中央的圆形花坛，并紧贴花坛外围铺设一条宽1米的环形地砖带。已知花坛的半径为4米，请计算铺设地砖的面积是多少平方米？（先绘制示意图，再解答） 2．（2025·广西桂林·小升初真题）土星环是指由水、冰、尘埃和其他化学物质组成的绕着土星运转的圆环。彬彬用一个乒乓球和一张圆环形硬纸板做了一个土星模型（如图），这张圆环形硬纸板的面积是多少平方厘米？ 【预测命题方向12】阴影图形的周长与面积 1．（2025·河北石家庄·小升初真题）两个正方形如图放置，求阴影部分的面积。 2．（2025·浙江宁波·小升初真题）计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 3．（2025·河北承德·小升初真题）求图中阴影部分的周长。 4．（2025·贵州安顺·小升初真题）如图所示，将直角三角形ABC向右平移至直角三角形的位置。其中，，；求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【预测命题方向13】立体图形的展开图 1．（2025·山东·小升初模拟）下面的图形中( )是正方体的展开图。 A． B． C． D． 2．（2025·河北承德·小升初真题）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是( )。 A．1∶2π B．1∶π C．π∶1 D．1∶1 【预测命题方向14】长方体和正方体的表面积与体积 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6米，四周用砖头砌成。砖的厚度是0.2米。 （1）如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ （2）在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36元，一共需要多少钱？ 【预测命题方向15】圆柱和圆锥的表面积与体积 1．（2025·江西上饶·小升初真题）李叔叔做5节底面直径2分米，长8分米的圆柱形通风管，至少要多少平方分米的铁皮？（只列式不计算） 2．（2025·江西吉安·小升初真题）在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 3．（2025·江苏无锡·小升初真题）一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 【预测命题方向16】圆柱与圆锥的旋转构成法 1．（2025·河南南阳·小升初真题）把下边的长方形以它的长为轴旋转一周，会得到一个立体图形，所得图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 2．（2025·江西吉安·小升初真题）如图：以“”为轴，旋转直角三角形一周得到的图形体积是( )cm3。 【预测命题方向17】等积变形问题 1．（2025·江苏常州·小升初真题）学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 3．（2025·河南开封·小升初真题）为迎接中国共产党建党一百周年，某公园园艺处准备将一个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米）造型的沙雕重新塑成高是1.8米的圆锥形沙雕，那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 【预测命题方向18】切拼问题 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 2．（2025·河南信阳·小升初真题）如下图，一根长30分米的圆柱形木料，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米。原来这根圆柱形木料的体积是多少？ 3．（2025·河南南阳·小升初真题）将一个高12厘米的圆柱形木块平均切成两块（图1），表面积增加平方厘米。这个圆柱的底面半径是多少厘米？如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥（图2），这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【预测命题方向19】排水法求不规则物体的体积 1．（2025·贵州黔南·小升初真题）芳芳家有一个无盖的长方体玻璃水箱。（单位：cm） (1)制作一个这样的水箱需要多少平方厘米玻璃？ (2)水箱里原来水深14cm，放入一个体积为900的假山后，现在水深多少厘米？ 2．（2025·湖南长沙·小升初真题）妈妈买了一个40克重的金手镯，想知道里面是不是“空心”的。山山想到了“阿基米德称皇冠”的办法。他把手镯放入了一个底面半径为4厘米的圆柱形量筒中，水面上升了0.1厘米（通过和AI的对话，他了解到40克黄金的体积应该是2.07立方厘米），请判断妈妈买的金手镯是否存在“空心”的现象？ 【预测命题方向20】圆柱与圆锥的关系问题 1．（2025·四川达州·小升初真题）一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积相差36立方厘米。这个圆柱的体积是( )立方厘米。 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是( )。 3．（2025·浙江温州·小升初真题）图中，h1＝h2，d1＝d2，把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满( )杯。 【预测命题方向21】倍比问题 1．（2025·河北石家庄·小升初真题）一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大( )倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 2．（2023·湖南张家界·小升初真题）如果把长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么它的体积扩大( )倍。 A．3 B．9 C．27 D．10 3．（2020·辽宁·小升初真题）圆柱的底面半径扩大2倍，高不变，体积扩大( )倍。 A．2 B．4 C．8 4．（2024·河南信阳·小升初真题）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将( )。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的6倍 D．缩小到原来的 【预测命题方向22】组合体的表面积和体积 1．（2025·山东·小升初模拟）求下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） （1） （2） 2．（2025·河北承德·小升初真题）如图，从正方体中挖掉一个最大的圆锥，求剩余部分的体积。 【预测命题方向23】观察物体 1．（2025·四川达州·小升初真题）观察和，它们从( )面和( )面看到的图形都相同。（填“左”“右”或“上”） 2．（2025·湖北武汉·小升初真题）要想使如图的几何体从左面和上面看到的图形不变，最多能增加( )个小正方体。 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个用小正方体搭成的几何体，如图是从它的两个不同方向看到的形状，要符合这两个条件，最少需要( )块，最多需要( )块，共有( )种摆法。 【预测命题方向24】平移、旋转和轴对称 1．（2021·广东汕尾·小升初真题）下图中，由图形甲到图形乙所进行的变换是( )。 A．先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6格 B．先向右平移9格，再绕点O顺时针旋转90° C．先绕点O逆时针旋转90°，再向右平移6格 D．先向右平移9格，再绕点O逆时针旋转 90° 2．（2025·湖南长沙·小升初真题）下列图标中，是轴对称图形的是( )。 A． B． C． D． 【预测命题方向25】数对、位置与方向 1．（2025·福建宁德·小升初真题）灵灵在教室里的座位用数对表示是（4，5），巧巧的座位在灵灵南偏东40°方向上，她的座位可能是( )。 A．（3，4） B．（3，6） C．（5，4） D．（5，6） 2．（2025·广东佛山·小升初真题）乐乐从家到学校，他先向东走一段路程到达书店，再向东北方向走一段路到达学校，乐乐走的路线图是( )。 A． B． C． D． 3．（2025·甘肃兰州·小升初真题）乐乐从家向南偏东40°方向走3千米到学校，放学后原路返回时，从学校出发，要向( )方向走3千米回到家。 A．北偏西40° B．南偏西50° C．北偏西50° D．南偏西40° 【预测命题方向26】图形与几何综合作图 1．（2025·河南商丘·小升初真题）（1）画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形。 （2）把图B向右平移5格。 （3）把图C绕O点顺时针旋转。 2．（2025·广西梧州·小升初真题）请画出一个周长为12.56cm的圆，在图上标出圆心O点，半径r，并画出两条互相垂直的对称轴。 3．（2025·山东·小升初模拟）画出从前面、上面和左面看到的立体图形的形状。 4．（2025·广东湛江·小升初真题）按要求画一画，填一填。 （1）将图中的圆向上平移5格后，对应的圆心用数对表示是( )。 （2）画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形①。 （3）按1∶2的比画出图形①缩小后的图形②。 （4）以直线l为对称轴，画出图形M的另一半，使它成为一个轴对称图形。 六、统计与概率·五种命题预测 【命题解读】 统计与概率一直是小学数学中最为基础的内容之一，在小升初考试中约占10%左右，近年来比重有一定的提升，它主要包括统计图表与简单概率（可能性）两部分内容，一般在基础的填空、选择等题型中体现。 近年来命题一般呈现以下几个趋势： 一是生活场景化，在实际应用题中的占比越来越大，常把统计图与生活情景结合进行考察。 二是跨学科出题，结合实验数据，观察图表，解决问题。 三是开放性试题，要求从相关图表中提取信息，提出并解决问题。 四是概率与计算的结合，简单概率克通过相关计算得出。 复习统计与概率，首先要构建知识框架，用树状图或图表熟练统计图表的异同点，其次要注意训练解决实际问题。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 统计图的选择 填 2 平均数问题 选、填、解 3 可能性 选、填 4 简单概率 选、填 5 统计图表综合应用 选、填、解 【预测命题方向01】统计图的选择 1．（2025·江西南昌·小升初真题）根据下面各题情况，请选择合适的统计图。 A．条形统计图    B．折线统计图    C．扇形统计图    D．不确定 ①如果要统计2024年第33届巴黎奥运会上，中国、美国、日本、法国、澳大利亚这五六个国家的金牌情况，宜选用( )。 ②如果要统计第29届到第33届中国金牌数量的变化情况，宜选用( )。 ③在2024年第33届巴黎奥运会上，中国共取得40枚金牌。要统计田径、游泳、体操、跳水、乒乓球等项目的占比情况，宜选用( )。 2．（2025·河北沧州·小升初真题）气象站要记录某地一天中气温的变化情况，用( )统计图比较合适；要反映100毫升牛奶中蛋白质、脂肪、钠、钙等营养成分所占百分比，用( )统计图比较合适；要想了解学校各年级人数多少的情况，用( )统计图比较合适。 【预测命题方向02】平均数问题 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）有6个数排成一列，这6个数的平均数是11，前4个数的平均数是9，后3个数的平均数是14，则第四个数是( )。 2．（2025·吉林长春·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人参加东北师大附中科技节比赛，甲、乙两人的平均成绩为a分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为( )分。 【预测命题方向03】可能性 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）盒子里有5个红球、7个白球和3个蓝球，任意摸出一个，可能的结果有( )种，摸出( )球的可能性最大。 2．（2025·河南开封·小升初真题）袋中有除颜色外其余完全相同的5个白球，4个黄球和6个红球。从中任意摸出一个，摸到( )球的可能性最大；至少摸出( )个球，其中一定有两个红球。 【预测命题方向04】简单概率 1．（2025·广东广州·小升初模拟）抽屉中有一双红色袜子，一双黑色袜子，一双白色袜子，除了颜色外都相同，从中任取两只袜子恰好为一双的可能性为( )。 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）每一颗骰子的六个面分别刻有数字1、2、3、4、5、6，若同时抛出两颗骰子，出现点数和为7的可能性占( )，差为1的可能性占( )。（填分数） 【预测命题方向05】统计图表综合应用 1．（2025·山东青岛·小升初真题）高科技给我们的生活带来便利的同时，也给一些不法分子提供了可乘之机，他们的电信诈骗手段越来越难以防范。为了防止人们上当受骗，某公司开展了“经历最多的诈骗方式”的调查活动。经过整理分析后，绘制成了两个统计图。 (1)把上面的两个统计图补充完整。 (2)为了防止诈骗，你想对身边的人说些什么？ 2．（2025·山东潍坊·小升初真题）乐乐从家出发去上学，走到A地时，发现忘记带科学课材料，于是她赶紧小跑回家；拿好材料后，怕上学迟到，就骑自行车赶往学校。乐乐行程情况（图1）和时间分配图（图2）。 (1)乐乐从A地回家取材料的跑步速度是多少米/分？ (2)乐乐骑车的平均速度是250米/分，乐乐家到学校的距离是多少千米？ 3．（2025·福建漳州·小升初真题）某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的种子进行发芽实验，将四种型号的种子试验粒数情况绘制成统计表，将四种型号的种子发芽情况绘制成条形统计图。 四种型号种子试验粒数情况统计表 型号 A B C D 种子数/粒 700 400 440 460 ①根据以上信息，你建议推广哪种型号的种子？为什么？ ②对C型号的种子进一步试验，将记录下来的数据绘制成如下折线统计图。观察折线统计图，关于温度与种子发芽率的关系，你有什么发现？（至少写2个发现） 七、数学思考·八种命题预测 【命题解读】 数学思考是小升初常考内容之一，约占小升初考试的15%左右，常在填空、选择、几何、解决问题等题型中出现，值得注意的是，近年来多与代数、图形等内容结合进行综合考察。 近年来的命题主要呈现两个趋势，一是跨学科整合，凸显综合性，二是开放性，以观察和探索为主，考察学生创新思维。 复习该板块内容，要注意归纳总结，针对高频考点作训练，着重思维提升。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 数列规律探索 选、填 2 算式规律探索 选、填 3 图形规律探索 选、填 4 数表规律探索 选、填 5 周期规律探索 选、填 6 逻辑推理 选、填、解 7 找次品 选、填 8 搭配问题 选、填 【预测命题方向01】数列规律探索 1．（2025·重庆江北·小升初真题）根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…的规律，51是第( )个数。 2．（2025·重庆北碚·小升初真题）观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是( )。 【预测命题方向02】算式规律探索 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×( )。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。( ) 2．（2025·河北石家庄·小升初真题）规定：6*2＝6＋66＝72；2*3＝2＋22＋222＝246；1*4＝1＋11＋111＋1111，则7*5＝( )。 【预测命题方向03】图形规律探索 1．（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要( )个，第个图形需要( )个。 2．（2025·广西北海·小升初真题）把相同规格的小长方形（黑长方形和白长方形）按规律排列（如图），照此规律，当刚好出现第7个黑长方形时，白长方形有( )个；黑长方形的个数占小长方形总个数的( )。 【预测命题方向04】数表规律探索 1．（2025·湖北武汉·小升初真题）根据如下数表的变化规律，2025在第( )行第( )列。 1 2 4 7 11 3 5 8 12 6 9 13 10 14 15 2．（2025·四川内江·小升初真题）现有365张大小相同的卡片，上面分别印着自然数，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出数字“365”周围的部分。 在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，我们就把它叫做空格。其中①、②、③三个位置表示的数分别是：①( )；②( )；③( )。（如果是空格，用“×”表示） 【预测命题方向05】周期规律探索 1．（2025·新疆和田·小升初真题）〇〇☆☆☆〇〇☆☆☆……左边起第21个图形是( )，前50个图形中〇有( )个。 2．（2025·广西贵港·小升初真题）☆◇□〇☆◇□〇☆◇□〇……，照这样排下去，第24个图形是( )，在前81个图形中，☆有( )个。 【预测命题方向06】逻辑推理 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）甲、乙、丙分别是三个项目的比赛冠军。已知他们各自只参加了一次比赛，还知道：甲不是跑步冠军；乙不是游泳冠军；丙不是跳远冠军；跑步项目乙没有参加。请问，游泳冠军是( )。 2．（2025·重庆南川·小升初真题）甲、乙、丙、丁4人中只有一人做了好事。甲说：“不是我做的。”乙说：“是丁做的。”丙说：“不是我做的。”丁说：“是甲做的。”已知他们4人中只有1个人说的真话。请问：是( )做了好事。 【预测命题方向07】找次品 1．（2025·湖南永州·小升初真题）有5袋白糖，其中4袋每袋500g，另有1袋不是500g，但不知道比500g轻还是重。假如使用天平称，至少称( )次能保证找出不是500g的那一袋。 2．（2025·河南许昌·小升初真题）9个外观相同的零件中，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称( )次可以保证找出次品。 【预测命题方向08】搭配问题 1．（2025·河南郑州·小升初真题）某兴趣小组共6名队员，在每次见面会上，如果每两人握一次手，一共要握( )次手。 2．（2025·广东梅州·小升初真题）梅州西到深圳北的高铁开通啦！其中D7337这趟车途经兴宁南、五华、龙川西、河源东、惠州北、东莞南几个站点（如图），请问单程有( )种不同的车票。 八、典型应用题·十一种命题预测 【命题解读】 应用题是小学数学最为重要的内容，约占小升初考试的30%，是试卷中分值最高，题型最复杂的板块，它包括多种典型问题以及整数、小数、分数和百分数、比和比例应用题等内容。 近年来，命题呈现以下三个趋势： 一是综合应用化，多知识点交叉，结合几何、代数综合考察。 二是创新题型渗透，诸如定义新运算、开放性问题等。 三是区域性差异化命题，不同版本不同地区所呈现出的命题趋势不同，一线城市更注重思维灵活性，二三线城市保留传统问题。 高效复习应用题板块，首先要分模块突破，专项训练，其次优化解决问题策略，总结技巧方法，最后着重实战，分析错题，特别是真题精炼。 【命题导向】 命题序号 命题方向 命题频率 命题形式 1 分段计费问题 解 2 经济问题与促销问题 解 3 优化问题与租车租船问题 解 4 工程问题 解 5 分数与百分数应用题 解 6 折扣·利率·税率·利润问题 解 7 行程问题 解 8 鸡兔同笼问题 选、填、解 9 植树问题 选、填、解 10 鸽巢问题 选、填 11 浓度问题 解 【预测命题方向01】分段计费问题 1．（2025·山东青岛·小升初真题）代驾已成为热门，让更多不方便的人群多一点安全，下面是“e代驾”公司的收费标准。 收费标准 时间段 起步价格 里程费 07：00~23：59 9.9元（含2公里） 每公里4元 超过12公里 每公里加收1.5元 00：00~06：59 18元（含3公里） 等候费：免费等候10分钟，超出后1元/分钟 (1)有一天晚上，王叔叔在外就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到7千米（公里）远的家用车库，王叔叔应付多少代驾费？ (2)某天凌晨，李叔叔也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费81.5元（无等候费），此次代驾行驶了多少千米？ 2．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取了价格调控手段，该市自来水收费见价目表。 价目表 每月用水量 单价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若该户居民1月份用水12.5立方米，则应该收水费多少元？ (2)若某户居民2月份上缴水费40元，则2月份的用水量是多少立方米？ (3)若该户居民3、4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份的用水量），共缴水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？ 【预测命题方向02】经济问题与促销问题 1．（2025·浙江台州·小升初模拟）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 2．（2025·湖南邵阳·小升初真题）学校要买120本奖本，每种奖本在三家超市的原价都是6元，三家超市采取了不同的促销方法（如下表），学校选择哪家超市购买最便宜？请写出比较的过程。 甲超市：每满100元减25元 乙超市：每买10本送2本 丙超市：打8折出售 【预测命题方向03】优化问题与租车租船问题 1．（2025·河北邢台·小升初真题）光明小学六年级有120名师生去参观博物馆，某运输公司有两种车辆可供选择： ①限坐40人的大客车，每人票价10元，如满座票价可打八折； ②限坐10人的面包车，每人票价12元，如满座票价可按75%优惠。 请你根据以上信息为光明小学六年级师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金。 2．（2025·江苏盐城·小升初真题）同学们在剪纸社团活动中，制作了72件“我爱盐城”主题剪纸作品，贴在10块展板上展出，每块小展板贴6件，每块大展板贴8件。大、小展板各有多少块？ 先假设两种展板的块数，再通过试验调整找出答案。 小展板块数 大展板块数 剪纸作品总件数 和72件比较 答：小展板有（    ）块，大展板有（    ）块。 【预测命题方向04】工程问题 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）下图是甲、乙、丙三人打一份稿件所用时间。 (1)甲所需时间比丙少几分之几？ (2)乙所需时间比甲多几分之几？ (3)如果乙和丙合作，多少天可以完成任务？ 2．（2025·四川凉山·小升初真题）一件工程，甲独做要6天完成，乙独做要9天完成，，现在甲乙两队合做3天后，剩下的由甲独做还需要多少天才能完成？ 【预测命题方向05】分数与百分数应用题 1．（2025·山西大同·小升初真题）希望书店卖掉两套书，一套《百科全书》，一套《中华传统故事》，售价都是120元，其中《百科全书》赚了20%，《中华传统故事》亏了20%。请你帮老板算一算，这两套书售出后，整体来看是赚了还是亏了？赚或亏了百分之几？ 2．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）加工一批零件，原计划每天加工30个，当加工完时，由于改进了技术，工作效率提高了10%，结果提前了4天完成任务，问这批零件共有几个？ 【预测命题方向06】折扣·利率·税率·利润问题 1． （2025·甘肃兰州·小升初真题）某书店凭优惠卡购书可打八折，明明用优惠卡买了一套原价60元的书。明明买这套书实际花了多少元？ 2．（2025·湖南邵阳·小升初真题）张叔叔每月收入8000元，按《个人所得税规定》，每月收入扣除5000元免缴税后，按3%缴纳个人所得税，张叔叔每月实际收入多少元？ 3．（2025·江苏苏州·小升初真题）妈妈用10万元购买了一款五年期的保险，比把10万元存在银行，五年定期多收益1125元。已知银行五年定期的年利率是2.25%，若要获得与妈妈本次购买保险相同的收益，在银行存五年定期需要本金多少万元？ 4．（2025·山东青岛·小升初真题）某文具批发商购进练习本1200本，每本练习本的成本是2.5元。商家按成本提高40%后定价出售。 （1）照这样定价，售完所有练习本后预计能赚多少钱？ （2）一段时间后，商家只卖掉了80%的练习本，剩下的练习本打折出售，最终这批练习本实际赚的钱是预计的86%，剩下的练习本是按定价打了几折出售？ 【预测命题方向07】行程问题 1．（2025·河南新乡·小升初真题）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？ 2．（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行。甲车每小时行80千米，当两车在途中相遇时，甲、乙两车所行的路程比是。相遇后，甲车保持原来的速度继续向前行驶，1.5小时到达地。乙车的速度是多少千米/小时？、两地间的路程是多少千米？ 【预测命题方向08】鸡兔同笼问题 1．（2025·安徽合肥·小升初真题）张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 多少场？ 【预测命题方向09】植树问题 1．（2025·湖北十堰·小升初真题）把一根3m长的木料锯成同样长的6段，一共用时3分钟，平均每锯一次用( )分钟，平均每段木料的长度是( )m。 2．（2025·新疆乌鲁木齐·小升初真题）小红在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种到9棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为每隔4米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有( )棵。 【预测命题方向10】鸽巢问题 1．（2025·湖南永州·小升初真题）一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从布袋中取出一个球，至少摸出( )个球才能保证摸到2个同色球。 2．（2025·江西吉安·小升初真题）某班有40个同学，至少有( )名同学的生日是在同一个月。 【预测命题方向11】浓度问题 1．（2024·河南三门峡·小升初真题）先阅读理解，再解决问题。 盐水浓度＝×100%，饱和盐水是指在一定温度下盐水中所含盐质量达到最大限度（不能再溶解），如水温50°时饱和盐水的浓度约为2%。 （1）聪聪在一次科学实验中，将54克盐放在346克水中充分搅拌，此时盐水的浓度是多少？ （2）聪聪又用50°的水加入适量盐配出了3500克饱和盐水，他加入了多少克的盐？ 2．（2025·湖南张家界·小升初真题）张小萌把含盐25%的盐水250克和含盐15%的盐水750克混合在一起，这时所得到的盐水的浓度是多少？（损耗忽略不计） 一、新基础素养题型探究 【考情解读】 新素养命题的核心转变在于从单一知识点考查转向数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养的综合测评，具体而言： 一是从“抽象习题” 到 “真实情境”，大量融入“校园规划”“社区改造”“垃圾分类”等生活化场景； 二是从“解题技巧” 到 “思维品质”，强调逻辑推理、逆向思维、新定义理解能力； 三是从“单一知识点” 到 “跨域整合”，多模块知识融合应用成为主流； 全国统一呈现 “重基础、显思维、考能力” 趋势，强调数学与生活、社会热点的结合，另外也存在显著的区域差异，一线城市（如北京、上海）：更注重创新思维和跨学科整合，开放性题目占比高；二线城市（如长沙、镇江）：稳步推进素养导向，逐步减少机械计算，增加情境化应用题；三四线城市：基础题型仍占主导，但开始引入素养导向题目，难度梯度明显。 新基础素养题（判断、选择、填空、计算）占分最高、难度最低，核心是稳、准、快，技巧围绕「少算、巧算、防坑」展开，是拿分关键。 【题型实例】 一、填空题。 1．中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题（如图）。将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意，彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量。如果把用1 表示，那么用分数表示是( )，用小数表示是( )，占的( )%。 2．如图，七巧板中①号三角形占整个图形的( )。②号三角形占整个图形的( )，这个分数可变化为：2÷( )＝( )∶16＝( )。（最后一空填小数） 3．如图所示和算式，其中画方框部分表示0.6的是( )。 A． B． C． D． 4．40%＝＝30÷( )＝( )∶200＝( )折。 5．在，33.3%，3.3，，中，( )最大，( )最小。 6．20230706÷8，余数是( )。 7．图中，若圆形的位置是（2，3），则三角形的位置是( )；如果三角形的面积是0.5cm2，则圆的面积是( )cm2。 8．米比( )米短；比米长米的是( )米。 9．为解决“看病难、看病贵”的问题，某大药房响应国家号召，把所有药品的价格一律降低四成进行出售。一种药品原价是每盒56元，降价后每盒( )元；一种药品现价是每盒84元，降价之前每盒( )元。 二、判断题。 10．温度计上显示的表示没有温度。( ) 11．若13只母鸡13天下13个蛋，则100只母鸡100天下100个蛋。( ) 12．任意三个连续自然数的和都是3的倍数。( ) 13．将边长为1cm的正方形按一行排列，当有3个正方形时，周长为8cm；每增加一个，周长增加2cm。( ) 14．既可以看作是一个分数，也可以看作是一个比。( ) 15．甲、乙、丙三个小朋友来自中国、日本、英国，甲不会说英文，乙不懂日语，丙可与英国人热烈交谈。根据以上信息，我们知道乙小朋友是中国人。( ) 16．一年中有7个大月和5个小月。( ) 17．用四个圆心角为90°的扇形一定可以拼成一个圆。( ) 18．一种彩票的中奖率为1%，小明妈妈买了一百张彩票，不可能会中奖。( ) 19．0.9，0.99，0.999，…越向后写出的数越接近整数1。( ) 三、选择题。 20．下列问题可用“”解决的是( )。 A．计算人均绿地面积 B．计算两队合作铺设步道时间 C．计算混合种植蔬菜总产量 D．计算15分钟步行范围 21．下面( )选项的计算过程与其它几项的本质是不同的。 A．商不变的规律：21÷0.25＝（21×4）÷（0.25×4）＝84÷1＝84 B．分数的约分 C．除法的性质：16.84÷0.125÷80＝16.84÷（0.125×80）＝16.84÷10＝1.684 D．比的化简： 22．下图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm，这间教室的实际长是10m，这幅平面图的比例尺是( )。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶200 D．200∶1 23．用大小相同的小正方体摆成的物体，从正面看是：从上面看是：，从左面看是( )。 A． B． C． D． 24．如图①，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导了梯形的面积计算公式。用这样的思路，可以求出如图②所示的立体图形的体积是( )cm3。      ①              ② A．100 B．16 C．200π D．240π 25．推导圆柱的体积计算公式的方法（如下图），与下面第( )个古代故事中的方法相同。 A．揠苗助长 B．刻舟求剑 C．曹冲称象 D．田忌赛马 26．下面选项中，( )是正确的。 A．读统计图时应注意弄清纵轴和横轴表示的意思 B．六（1）班某天的出勤率是102% C．扇形统计图能清楚地表示各部分的具体数量 D．平行四边形一定是轴对称图形 二、新情境应用题型探究 【考情解读】 新情境应用题型是小升初新素养命题的核心题型，分值占比高、难度中等偏上，是拉开分数差距的关键。题目不再是纯数学式子，而是包装在生活场景里：购物促销、行程出行、工程施工、铺砖装修、水电费计算、统计决策等，重点考数学建模 + 信息提取 + 实际解决问题的能力。。 【题型实例】 1．（新情境·与科技新闻的结合）中国空间站是一种在金地轨道长时间运行，可供多名航天员巡访、长期工作的载人航天器。包括核心舱“天和”、实验舱“梦天”和“问天”、载人飞船“神舟”和货运飞船“天舟”五个模块。组成空间站轨道高度为400－450公里，倾角42－43度，设计寿命为10年，长期驻留3人，总重量可达180吨。核心舱全长16.56米，最大的直径是米，发射质量约为22.5吨，是空间站的管理和控制中心。 中国空间站未来还将单独发射一个光学舱，并计划在光学舱里架设一套口径2米的巡天望远镜，视场角是哈勃的300多倍。在轨10年可以对40%以上的天区，约一万七千五百平方度天区进行观测。 （平方度：在球上对应的是面积。把一个圆平分为360份，每段弧对圆心的夹角是1度，即半径为R的圆，取一段长为的弧长，它对圆心的夹角为一度。） 阅读以上材料，请回答以下问题。 (1)一万七千五百写作：( )，用“四舍五入”法精确到万位约是( )万。 (2)22.5吨＝( )千克。 (3)巡天望远镜的镜头周长是( )米，面积有( )平方米。 (4)把180，16.56，，300，40%这5个数按从小到大的顺序排列： ( )＜( )＜( )＜( )＜( ) (5)请列式并计算出天区的面积约是多少平方度： 2．（新情境·与时事热点的结合）中国广州经济发达，有“南大门”之称，是海上丝绸之路的起点。截至2019年年底15305900人，总面积为7434平方千米，其中农业耕地面积约12万公顷，在广州举办第七届中国广州国际投资年会，年会主题为领航新发展澎湃新活力。 (1)横线上的数读作( )，改写成用“万”为单位的数是( )。 (2)2021年2月份的下旬有( )天。 (3)7434平方千米＝( )公顷。 (4)林业用地面积比农业耕地面积多( )%。 3．（新情境·与旅游文化的结合）阅读下面材料，完成问题。 平遥古城是一座具有2700多年历史的文化名城，是中国境内保存最为完整的一座古代县城。平遥古城城池大致成正方形，城墙总周长6163米，墙高约12（    ），围成的古城面积约2.25( )。平遥古城（景点）成人通票价格125元，学生凭有效证件可五二折购买门票。近几年中，2019年平遥旅游人数最多，全年共接待游客17650400人次；旅游总收入二百零九亿七千二百万元。2024年“五一”假期，平遥古城共接待游客26.45万人（次），门票收入816.46万元。平遥推光漆器、长山药、牛肉独具盛名，被称为“平遥三宝”。 （1）在上述材料的括号里填上合适的计量单位。 （2）横线上的数读作( )，省略“万”位后面的尾数约是( )万；写出波浪线上的数( )，把它改写成用“亿”作单位的数是( )亿。 （3）学生凭有效证件购买古城通票需( )元。 （4）玲玲妈妈来平遥旅游买了一个推光漆首饰盒（如图），玲玲帮妈妈把20件首饰放进6个抽屉里，她发现不管怎样放，总有一个抽屉至少放( )件首饰。 （5）按门票收入的3%缴纳营业税，2024年“五一”大约应缴纳营业税( )万元。（结果保留两位小数） 4．（跨学科主题·历史文化）中国古代《九章算术》中有一道数学名题“持米过关”，意思是有一个人背了一袋大米过三关，在外关时用全部米的纳税，经过中关时用所剩米的纳税，经过内关时再用所剩米的纳税，最后还剩5斗米。请问：这个人原来带了多少斗米？先画图表示数量关系，再解决问题。（“斗”是中国古代的容量单位）今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？ 5．（跨学科主题·生活实践）养乐多是一种含有特殊活性乳酸菌的乳饮品，深受小朋友喜爱。 （1）一小瓶养乐多约一支铅笔的一半那么高。 净含量大约（100mL  500mL  1000mL）左右。（选择正确答案，圈一圈） （2）随着互联网的普及，网购已成为一种常见的购物方式。据统计，2017年中国网购用户规模3.8亿，2018年达4.6亿，同比增长约21%。请计算说明这句话是否正确。 （3）养乐多一瓶单价：2.2元，小明想买50瓶，请计算四种购买方式哪种最合算。 A超市：一律九折优惠 B超市：买4瓶赠一瓶 C超市：满100元整单优惠15% D网站：（见图） 养乐多：5瓶 售价：10.6元，快递：12.00元。 6．（跨学科主题·生活模拟）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 （1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ （2）6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 7．（跨学科主题主题·实验测量）阅读并解答。 测量学校旗杆高度的实验 （1）实验器材：卷尺、2米长的竹竿 （2）实验时间：某个晴朗的上午 （3）实验步骤： ①将竹竿直立在学校的旗杆旁边。 ②量得竹竿的影长为1.2米。 ③在同一时间量得旗杆的影长为9.6米。 学校旗杆的高度为多少米？ 8．（跨学科主题·艺术设计）我是小小设计师：小亮家门前有一块空地，请根据描述帮小亮进行设计。（方格图每小格为1平方厘米） （1）小亮在空地上围了一块平行四边形菜园（ABCD），他想在菜园的东面围一个花园，花园是将菜园按2∶1放大得到的，请画出放大后的花园。 （2）小亮家花园的面积是菜园面积的( )。 （3）以点B为观测点，点A在点B的( )偏( )( )°方向。 （4）若上图是一幅比例尺为1∶200的平面图（局部），小亮准备给菜园四周围上篱笆，买16米长的篱笆够吗？请说明理由。 9．（跨学科主题·语文创作）近年来，我国铁路运行事业蓬勃发展。从普通列车到快速列车，再到现在“G字头”动车和“D字头”动车，中国铁路技术装备达到了“领跑世界”的先进水平。下面是一些列车运行速度的信息： ①普通列车运行速度为120千米/时。 ②普通列车运行的速度是“G字头”动车的40%。 ③快速列车运行的速度比普通列车运行的速度快。 ④“D字头”动车运行的速度比快速列车运行的速度快50%。 （1）根据信息①和信息②，请你提出一个数学问题，并解答。 （2）要求“D字头”动车运行的速度，你会选择哪几条信息？请你写出来，并用你选择的信息进行计算。 三、新思维拓展题型探究 【考情解读】 新思维拓展题型属于选拔区分题，难度中等偏上，是拉开分数差距的核心题型，围绕六大数学核心素养：逻辑推理、数学抽象、直观想象、创新应用出题，侧重“现学现用、举一反三、思维灵活”，不靠背公式，而靠思路方法。 不同类型新思维拓展题型解题技巧不同，新定义运算新概念题给出一种新符号、新规则，让学生现场理解并计算；规律探究题数列规律、图形规律、周期规律、数表规律；逻辑推理题真假话判断、人物排序、条件匹配、数字谜；几何拓展题割补平移、等高模型、一半模型、容斥、阴影面积；经典应用题拓展还原问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程变速、工程变式；最值与优化题至少、最多、最短路线、最省钱方案；数论初步因数倍数、质数合数、余数周期、页码问题。 总的来说，解题时，先“翻译”，再做题；先从简单入手，找到规律，再做难题；能画图，绝不空想；能转化，绝不硬算；先假设，再验证；最后答案一定要验证代入原题、代入规则，看是否符合。 【题型实例】 1．（算筹记数）早在两千多年前的《九章算术》中就有用算筹记录负数的记载。如：表示“﹢213”，而表示“﹣213”，按照这样的表示法，下面算筹所表示的数中，( )表示“﹣112”。 A． B． C． 2．（完全数）古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数。，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是( )。 A．10 B．12 C．16 D．28 3．（图表探究）根据图形选择合适的选项。 (1)在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是( )。 A．95 B．237 C．115 D．130 (2)在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是( )数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 4．（本位数）已知：在计算n＋（n＋1）＋（n＋2）的过程中，如果存在自然数n，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的自然数n为“本位数”。 例如：2是本位数，因为2＋3＋4＝9，没有进位；20是本位数，因为20＋21＋22＝63，各个数位均不产生进位； 13不是本位数，因为13＋14＋15＝42，个位产生进位；90不是本位数，因为90＋91＋92＝273，十位产生进位。 (1)请你根据以上信息，判断下面的数中如果是“本位数”请在后面的括号内打√，如果不是“本位数”请在后面的括号内打×。 50( )   102( )   2024( ) (2)1～100中最小的“本位数”是( )，最大的“本位数”是( )。 5．（新定义计算）若，则( )。 6．（新定义计算）对任意两个数x，y规定运算“*”的含义是：（其中是一个确定的数），如果12＝1，那么＝( )，312＝( )。 7．（材料阅读与理解）现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分。有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个自然数（见下表）： Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 给出一个变换公式： 将明文转换成密文，如：，即R变为L； 将密文转换成明文，如：，即X变为P； 已知不管是将明文转换成密文还是将密文转换成明文x（或x）的值都是1≤x（或x）≤26的自然数。 （1）按上述方法将明文N、E、T译为密文； （2）若按上述方法将明文译成的密文为D、W、N，请找出它的明文。 8．（阅读与理解）小明热爱科学，喜欢创新，立志为中国智造贡献自己的力量。现在，他已经拥有了两项自己的发明专利。有一天，他在阅读科学实验书籍时遇到了一个陌生的概念“饱和盐水”，查阅资料后，收集了以下几条信息。请你阅读并理解信息后，再解决问题。 资料一盐水浓度的计算方法是：盐水浓度 资料二饱和盐水是指在一定温度下盐水中所含盐量达到最大限度（不能再溶解），如：水温50℃时饱和盐水的浓度约为27%。 （1）把36克盐放入164克水中，充分搅拌，全部溶解。求：盐水的浓度是多少？ （2）如果把盐水加热到50摄氏度。还能再放入多少克盐。这杯盐水就会变成饱和盐水？（得数保留一位小数） 9．（观察与探究）数学思想方法是数学的灵魂，转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在，如，在“曹冲称象”的故事里，把大象的质量转化为石头的质量；又如，推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形…… （1）下面是北师大版数学六年级上册16页的部分内容，请同学们阅读并完成填空。 ①观察这个三角形，底相当于圆的( )，高相当于圆的( )。 ②如果圆的半径是r，三角形的面积：S＝a×h÷2。 那么圆的面积：S＝( )×( )÷2＝( )。 （2）你还能用转化的数学思想来解决以下数学问题吗？如图2，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积与瓶子容积的比值为( )。 四、新综合素养题型探究 【考情解读】 新综合素养题型常在试卷最后1～2 道，作为压轴题和小升初选拔核心区分题出现，它不只考知识，更考数学核心素养：数学建模、逻辑推理、探究创新、语言表达、实际决策；它往往题干长、情境真、知识点杂、答案不唯一，重过程，不再是 “算个数就结束”。 在解题时，要学会把长题变短，圈出重点词语句子，剔除无关描述；要学会把大题拆成小题，综合题终究是右多个基础题构成的，把大问拆成多个小问，步步为营，逐步解决；要学会建模转化，将生活语言转化为数学语言，运用数学知识解决生活化问题；要学会多方案列举，在不同方案中比较找出最优方案。 【题型实例】 1．（跨模块综合题型）神舟十八号是我国载人航天工程发射的第十八艘飞船，于2024年4月25日20时59分在酒泉卫星发射中心成功发射，这彰显了我国航天技术的成熟和活力。 （1）同学们在制作神舟十八号模型时，给飞船模型配置了一个圆柱形木质底座（如图所示），如果要给这个底座的侧面和上底面刷上油漆，需要刷漆的面积有多大？ （2）同学们制作飞船模型和模型底座共用了9.8千克的环保材料，其中制作飞船模型所用材料的质量是制作模型底座的，制作模型底座所用的环保材料是多少千克？ （3）今年9月15日是全国科普日。为了给同学们科普航天知识，10位老师和135位同学将乘车前往航空航天科技馆参观。可租车型和租金见下表。请为他们设计一个最省钱的租车方案，并写出你的思考过程。 车型 可载乘客人数 租金 大巴车 40人/辆 900元/辆 小巴车 20人/辆 500元/辆 2．（实验操作与探究题型）同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。 实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来。 准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大），一些水和盐。 实验过程： （1）往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米； （2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米； （3）放入1个鸭蛋，再测量水面高度。 观察记录：鸡蛋和鸭蛋都浮在水中，如图①所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图②、③所示。 请根据实验所得数据，解答问题。 （1）鸡蛋的体积是多少立方厘米？ （2）放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？ 3．（统计分析题型）变速跑有助于培养韧性和耐力，第一阶段慢跑热身，第二阶段提速长跑，第三阶段快速冲刺。图1是小锋在变速跑训练中的行程情况，图2是跑步时间分配情况。 （1）求图中a的值。 （2）跑步的快慢除了“速度”外，还可以用“配速”来记录。速度和配速的换算如下表所示。 速度x（千米/分） …… 0.25 0.2 0.125 0.1 …… 配速y（分/千米） …… 4 5 8 10 …… ①如果速度和配速分别用“x”和“y”表示，请表示出这两者的关系：__________ ②计算小锋在这次变速跑中第二阶段的平均配速。 4．（方案优化题型）小明是六年级学生，他计划暑假和爸爸、妈妈一起去“绿野仙踪”生态园游玩三天两夜。下面是小明了解到的一些信息。 信息清单 【交通方式】自驾：单程油费60元，高速费单程40元，景区停车费20元/天。 公共交通：成人火车票单程50元，学生半价；到达后需换乘景区公交，每人单程10元。 【住宿】标准间：每间每晚200元，只可住两个成人。 家庭房：可住两个成人和一个儿童，每间每晚240元，连续住两晚可享九折优惠。 【门票】方案1：成人票80元/人，学生票半价。 方案2：套票188元（包含2张成人票和1张儿童票），网购打九五折。 【其它】小明妈妈有一张“满300元减50元”的景区消费券，可用于门票或住宿。 （1）小明一家选择以“自驾”的方式往返景区，请你计算出往返需要多少交通费（不计停车费）？ （2）选择哪个方案购买门票更省钱？可省多少钱？ （3）住宿费至少需要多少钱？ 5．（项目实践题型）临近毕业，A、B两校六年级学生分别为自己的母校绘制了学校平面图，作为礼物送给母校。请你帮助他们完成下面以“约‘绘’我的校园——绘制校园平面图”为主题的项目学习任务。 任务一：实地测量，收集数据。 A校同学测得学校长150米，宽120米。他们要把校园平面图画在一张A4纸上（A4纸尺寸：长297mm宽210mm），选择（    ）的比例尺合适（注意：图的大小要合适哟）。 任务二：确定比例尺，绘制平面图。 B校同学测得学校旗杆在大门正北方向60米处，科技楼在大门东偏北40°的方向90米处。帮助B校同学在下面算出大门到旗杆和科技馆的有关数据，然后在右边B校同学画的部分校园平面图中标出旗杆和科技馆的位置。 6．（开放说理题型）数学辩论题。 观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质，7与9互质，4与9也互质……正方：根据上述现象，B与C互质，则A与C一定互质。你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论。 一、考前准备篇 【01解题方法篇】掌握方法，高效解题 小升初数学考试是检验整个小学阶段的数学测试，不仅要掌握基础知识、公式、定理，学会基础运算，并学会运用解决实际问题，也是对孩子们数学思想和数学解题技巧的大考验，所以编者总结了小学数学十大常用解题方法，下面一一进行解密。 一、对照法。 如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法。根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。 例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少? 对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道:三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。 二、公式法。 运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。它体现的是由一般到特殊的演绎思维。公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。 例2：计算59×37+12×59+59 59×37+12×59+59 =59×(37+12+1)……运用乘法分配律 =59×50……运用加法计算法则 =(60-1)×50……运用数的组成规则 =60×50-1×50……运用乘法分配律 =3000-50……运用乘法计算法则 =2950……用减法计算法 三、比较法。 通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法 例3：填空:0.75的最高位是( )，这个数小数部分的最高位是(),十分位的数4与十位上的数4相比，它们的( )相同，( )不同，前者比后者小了( )。 这道题的意图就是要对”一个数的最高位和小数部分的最高位的区别”，还有“数位和数值”的区别等。 四、分类法。 根据事物的共同点和差异点将事物区分为不同种类的方法，叫做分类法。分类是以比较为基础的。依据事物之间的共同点将它们合为较大的类，又依据差异点将较大的类再分为较小的类。 分类即要注意大类与小类之间的不同层次，又要做到大类之中的各小类不重复、不遗漏、不交叉。 例4：10和1000之间有多少个数是3的倍数？ 思路：10~1000之间的3的倍数太多了，我们需要运用分类法分成两类来讨论。 ①大于10的两位数：（99-10+1)÷3=30个； ②小于1000的三位数：（999-100+1)÷3=300个； 因此，一共有300+30=330个。 五、分析法。 把整体分解为部分，把复杂的事物分解为各个部分或要素，并对这些部分或要素进行研究、推导的一种思维方法叫做分析法。 例5：玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。问平均每天超过计划多少件? 思路:要求平均每天超过计划多少件，必须知道:计划每天生产多少件和实际每天生产多少件。计划每天生产多少件已知，实际每天生产多少件，题中没有告诉，还得求出来。要求实际每天生产多少件玩具，必须知道:实际生产多少天，和实际生产多少件，这两个条件题中都已知。 六、综合法。 把对象的各个部分或各个方面或各个要素联结起来，并组合成一个有机的整体来研究、推导和一种思维方法叫做综合法。 例6：两个质数，它们的差是小于30的合数，它们的和即是11的倍数又是小于50的偶数。写出适合上面条件的各组数。 思路：11的倍数同时小于50的偶数有22和44。 两个数都是质数，而和是偶数显然这两个质数中没有2 和是22的两个质数有:3和19，5和17。它们的差都是小于30的合数吗? 和是44的两个质数有:3和41，7和37，13和31。它们的差是小于30的合数吗? 这就是综合法的思路。 七、方程法。 用字母表示未知数，并根据等量关系列出含有字母的表达式(等式)。列方程是一个抽象概括的过程，解方程是一个演绎推导的过程。方程法最大的特点是把未知 数等同于已知数看待，参与列式、运算，克服了算术法必须避开求知数来列式的不足。有利于由已知向未知的转化，从而提高了解题的效率和正确率。 例7：一个数扩大3倍后再增加100然后缩小2倍后再减去36，得50。求这个数 这道题就需要用方程法进行解答，具体方法，会在公开课里进行详细解答 八、参数法。 用只参与列式、运算而不需要解出的字母或数表示有关数量，并根据题意列出算式的一种方法叫做参数法。参数又叫辅助未知数，也称中间变量。参数法是方程法延伸、拓展的产物。 例8：汽车爬山，上山时平均每小时行15千米，下山时平均每小时行驶10千米，问汽车的平均速度是每小时多少千米? 上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2。而应该用上下山的路程。 九、排除法。 排除法的逻辑原理是：任何事物都有其对立面，在有正确与错误的多种结果中，一切错误的结果都排除了，剩余的只能是正确的结果。这种方法也叫淘汰法、筛选法或反证法。这是一种不可缺少的形式思维方法。 例9：为什么说除2外，所有质数都是奇数? 这就要用反证法:比2大的所有自然数不是质数就是合数。假设:比2大的质数有偶数，那么，这个偶数一定能被2整除，也就是说它一定有约数2。一个数的约 数除了1和它本身外，还有别的约数(约数2)，这个数一定是合数而不是质数。这和原来假定是质数对立(矛盾)。所以，原来假设错误。 十、特例法。 对于涉及一般性结论的题目，通过取特殊值或画特殊图或定特殊位置等特例来解题的方法叫做特例法。特例法的逻辑原理是：事物的一般性存在于特殊性之中。 例10：大圆半径是小圆半径的2倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。 可以取小圆半径为1，那么大圆半径就是2。计算一下，就能得出正确结果。 【02答题技巧篇】审题作答，步步为营 一、审题阶段。 审题的正确是正确解题的开始和基础，对题目的阅读，除了有较好的语文基础外，必须结合数学的特点，最后达到看懂、看清题目内容的目的。审题过程注意以下几点： 1. 最简单的题目可以看一遍，一般的题目至少要看两遍。 如果通过对文字及插图的阅读觉得此题是熟悉的，肯定了此题会做，这时一定要重新读一遍再去解答，千万不要凭着经验和旧的思维定势，在没有完全看清题目的情况下仓促解答。因为同样的内容或同样的插图，并不意味着有相同的设问，问题的性质是可以翻新的。 2. 对“生题难题”的审查要耐心地读几遍。 所谓的生题就是平时没有见过的题目或擦身而过没有深入研究的题目，它可能是用所学的知识来解决 与生活及生产实际中相关连的问题。遇到这种生疏的题，从心理上先不要觉得很难，由于生题第一次出现，它包括的内容及能力要求可能难度并不大，只要通过几遍 阅读看清题意，再联系学过的知识，大部分题目是不难解决的。 3. 审题过程中要边阅读边分辨出已知量和待求量。 已知的条件及待求的内容以题目的叙述为准。尤其不要以某些插图为准，有时图中给出的符号不一定是已知量，另外，凡是能画草图的题，应该边审题边作图，这样可以建立起直观的图景，帮助记忆和分析问题。 二、作答阶段。 试题的题型有单选题、填空题、、解答题，解答题一般包括计算题、证明题、作图题、阅读理解题、及综合题等。每一种题型都有各自的测试功能，应答时也应有各自的注意点。 1. 单项选择题的应答。试题的特点是概念性强、针对性强，具有一定的迷惑性。 主要考查学生的判断能力和比较能力。应答的主要方式有两种： （1）直接判断法：利用概念、规律和事实直接看准某一选项是完全肯定的，其它选项是不正确的，这时将唯一的正确选项答出; （2）排除法：如果不能完全肯定某一选项正确，也可以肯定哪些选项一定不正确，先把它们排除掉，在余下的选项中做认真的分析与比较，最后确实一个选项。单项选项题一定不要缺答。 2. 填空题的应答：由于填空题不要求书写思考过程或计算过程，需要有较高的判断能力和准确的计 算能力。对概念性的问题回答要确切、简练;对计算性的问题回答要准确，包括数字的位数、单位、正负号等，对比例性的计算千万不要前后颠倒，对一题有几个答 案的各种情况要特别考虑全面，每一题只有满分和零分两个评分档。 3. 计算题的应答：计算题综合性强，一道难度较大的题反映的是一个较复杂或较深奥的运算过程， 必须通过分析与综合，推理与运算才能完整地解出答案。对有数字运算的题目一般应采取从已知条件开始，每用一次公式就代入一次数字，一步一步地解下去。在解 题过程中，能画图的一定要作图辅佐解题;数字与单位要统一。 4. 难题应答：避免留下空白题。切不可因为一时想不出解答方法而放弃了难 题，应会做哪一问就写上哪一问，尽量不留空白卷。遇到一至几道未见过的，不会做的难题，这是正常现象;反之，如果一门课的题目，大家都会做，甚至都觉得很 容易，这份考题就出糟了，它无法实现合理的区分度，就不能正常地进行选拔考试了。因此，考题中，若没有一些大家末曾见过的”难题”，反而是不正常了。当 然，这样的”难题”，也是在大纲范围以内的题目。所以，往往是乍看很难，冷静地仔细想想，也还是可以做出来的。 总之，考生如果有了碰到难题的思想准备，就 会减少对难题的恐惧心理，从而增强自己解出难题的勇气。要想到”我难他亦难，我易他也易。”要难，大家都难；要易，大家都容易。不管题目的难易程度如何，考生的机会都是均等的。这样一想，考题再难，也就不足畏惧了。考试中遇到难题，应尽量放到最后去攻克，如果其它题都已做完且检查无误，而又有一定的时间的话，就应想办法攻克难题关。 三、书写阶段。 考试是在一定的时间内完成一定数量的题目解答，所以应该做到稳中有快，准中有快，且快而不乱。 要提高答题速度，除了上述的审题能力、应答能力外，还要提高书写能力，这个能力不仅是写字快，还要写得规范，写得符合要求。比如： 填空题的内容写在给定的横线上； 改正错误时，要涂去错误重新再写，不要乱涂乱改； 计算题要把解写上，证明题要把证明两字写上，内容从上到下、从左到右 整齐有序，过程清楚;尤其几何题要一个步骤一行，步骤要详细，切不可跳步。 作图题可用铅笔作答因为答题主要以快而准为目的，所以有的考生在答题时不注意书 写的清晰，字迹潦草到看不清楚的地步，乱涂乱改的结果使卷面很不整洁，在教师阅卷时容易造成误解。 总之，小升初应试是同学”身经百战”后的集中检验，应试的成功是心理素质、知识应用、综合能力的成功。 二、考场注意篇 【01应试心理篇】临场发挥，科学备考 小升初考试的特点是以小数数学基本概念、基础运算以及基本解题能力的高低为标准的一次考试，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练，已成为小升初数学的重要内容之一，正确运用数学临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。 一、调整大脑思绪，提前进入数学情境。 考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而稳定情绪、增强信心，减轻压力、轻装上阵，使思维单一化、数学化，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。 二、“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场。 集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。 三、沉着应战，确保旗开得胜，以振奋精神。 良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。 四、“六先六后”，因人因卷制宜。 在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金时间了。这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。 1.先易后难。即先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际情况，果断跳过“啃”不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。 2.先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较透彻、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中、高档题目的目的。 3.先同后异。即先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。中考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。 4.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在解答大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础。 5.先点后面。近年的数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。 6.先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。 五、一“慢”一“快”，相得益彰。 有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。 六、确保运算准确，立足一次成功。 小升初考试一般设置需要在90分钟时间内完成26-30道题，对于部分同学时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也毫无意义。 七、讲求规范书写，力争既对又全。 考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范。会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成数学试卷非智力因素失分的一大方面。因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”。“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。 八、面对难题，讲究策略，争取得分。 会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法： 1. 缺步解答。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成等量关系式，设应用题的未知数，依题意正确画出图形等，都能得分而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。 2. 跳步解答。当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。 九、以退求进，立足特殊，发散一般。 对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊(如用特殊法解选择题)，化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。总之，退到一个你能够解决的程度上，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决。 十、执果索因，逆向思考，正难则反。 对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。 十一、回避结论的肯定与否定，解决探索性问题。 对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。 十二、应用性问题思路：面—点—线。 解决应用性问题，首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过冗长叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。当然，求解过程和结果都不能离开实际。 【02注意事项篇】阅卷流程，着重细节 由于网上阅卷具有自动屏蔽考生信息，确保阅卷过程客观公正，大大提高阅卷效率等优点，网络阅卷成为现有科技条件下广泛使用的阅卷方式。 那么学生在填涂答题卡的过程中有哪些需要注意的事项呢？网络阅卷流程具体又是怎样进行的呢？ ☆☆电子阅卷流程与答题卡填涂注意事项 走近电子阅卷，看看试卷在阅卷人眼中呈现的样子。 一、扫描。 1.如果不使用规定的2B铅笔，可能识别被误判为“空选”，造成失分。 2.蓝色钢笔书写后，扫描字迹较浅，若无法辨认，容易误判或不给分。 1. 作图未使用规定铅笔，或下笔太轻，会造成扫描看不清楚，请慎重 4.语言表述需简明扼要，勿超出答题区域。 二、阅卷。 1.主观题和客观题 一般客观题为选择题，由电脑自动阅卷完成；主观题为填空题、解答题，划分区域后，由人工网上阅卷完成。改卷中存在争议的部分，往往都是主观题部分。 2.正评和仲裁 每次考试，一般每道题由两位老师独立评分，即为正评。 评卷前会在系统内设定一个允许误差，比如1分，若两位老师评分不超过允许误差，则得分按均值计算；若评分超过允许误差，则试卷提交到第三位老师进行仲裁，作为最终结果。考试按不同题型分类，允许误差为0分或1分。 3.评卷误差的产生 评卷误差的产生，主要有两个原因：一是解题过程的规范性，二是书写的规范性。 由于解题过程的不规范，其实是方法掌握得不够全面，各题迥异不具代表性，这里主要展示一些书写规范性的问题。 ①写的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。 ②解答题未化简到最终结果可能扣分；填空题以下三种情况未化简则全扣。 ③万别和阅卷老师开玩笑，情节严重者，本题即使有部分正确依然0分处理。 建议同学们要注意平时作业和考试中的书写，一定要非常规范，养成良好的习惯，这样在中考中就会很自然地书写规范，考出自己满意的成绩！ 三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面。 具体包括以下6点： 1.卷面清洁，这是最基本的要求； 2.书写工整，字迹清晰； 3.在规定的答题区域答题，否则做无用功； 4.表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述； 5.语言要简洁，答中要害； 6.语言表述要规范，尽量用专业术语。 如果卷面做到了以上6点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的中考评分原则下，将无形中增加了多得分的砝码。 四、以下是网上阅卷中发现的考生答题不规范的典型情况。 1.字迹潦草 问题一：字迹潦草、字迹过淡的情况不少。中考阅卷是在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没有平时纸质阅卷那么清晰易认，加上中考阅卷时间短、任务重，因此字迹不清楚的试卷是不受阅卷老师欢迎的。 【应对】书写差的学生应加强书法练习，不仅每个字要力争书写工整、大方，而且整个卷面要做到干净、清洁；答题卡答题范围设置是假定用三号字书写两倍正确答案字数的大小，考生无需担心字写大了书写空间不够；考试时统一要求学生使用配套的0.5mm考试专用水芯笔，避免笔迹过淡或过浓导致扫描不清晰。 2.题号填涂与作答不符 问题二：试卷中有选考题，要求考生除了答出所选题目的答案外，还要在答题卡中将相应的选择题号涂黑，而部分考生出现答题内容与所涂题号不一致的情况，这样做，该题0分。例如，考生涂的是39题题号，答的却是40题的内容，只能得零分。 【应对】答选考题时，一定要头脑清醒，选定要答的题目一定要涂对题号，否则白费了工夫，还不得分。 3.超出规定区域答题 问题三：部分学生还没想好便匆忙答题，以至于格式没安排好，超出了该题预留的答题位置。在网上阅卷中，超出规定区域的答案无效。 【应对】答大题时，想好了再动笔，先答什么，后答什么，要有条理，不能写了半天还没入主题，重要的东西没地方写了，再东找点地方，西找点地方写，结果不得分。 4.答案分块 问题四：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。“分块”现象容易导致阅卷老师漏阅得分点，造成赋分过少的现象。 【应对】中考试题中的非选择题一般是一个要点2分。因此，书写答案前先确定需要书写的要点个数，规划好答案的整体布局，在书写前对答案打好草稿，然后从左上角往右下角书写，这样就不会出现图示的“分块”现象；备考过程中加强对中考非选择题答案的揣摩，分析答案要点有几个，答案依据在哪，为什么只答这几个要点等。做到答题时条理分明，避免书写之后又补充答案的现象。 5.答案不分层次 问题五：不少考生答一道大题时，没有层次，一口气写了一大段，让阅卷老师很难查找知识点。 【应对】对于一道需要答出很多采分点的大题，考生作答时要尽可能做到有层次，这样能让阅卷老师感觉到该考生思路是清晰的，便于得高分。 6.作图不规范 问题六：部分学生在答题卡上作图不清晰，要不过淡，要不就东一条线、西一条线，擦又没擦干净，显得很脏，这让阅卷老师很难辨识清楚。 【应对】作图题要本着清晰、干净的原则，该用尺子的地方一定要用尺子，线条要重些，但又不能让其看起来显得很脏。 7.出现删除符号 问题七：部分考生匆忙答题，答错了一段，便用删除符号大面积删掉。 【应对】往年中考中允许使用白纸“打补丁”，而现在中考则取消了“打补丁”。因此，很多学生感觉答题出现错误时，往往使用删除符号划掉部分字词，这是一个极其错误的思维定势。 阅卷有一个“采点得分”原则，即只看对的答案。只要不是同一句话中前后矛盾，那么即使是错误的答案也不会影响考生应得分数。因此，在不允许“打补丁”的前提下，已经书写的答案就不要使用删除符号。 解决方案：1.如果答案中已经用数字标注①、②、③等，则无需进行修改。2.如果没有使用数字标注的习惯，则在认为要删除的答案前后标上句号，使其与别的答案存在并列关系。 5、 数学阅卷中给考生在考试中发挥提几点意见。 1.发挥最大潜能，让考分达到最大值，忽略其他一切与考试无关的东西。 2.几何第1问一般较为简单，用一般知识即可解决， 3.由于每道大题答题框面积有限，故答题只能写必要关键步骤，有些课本上没有的常规结论直接使用。 4.如果将前面的过程写得过细，必然会导致后面拥挤，关键的内容没有写上。 5.大家知道，大题不能留空白，“会而不对”的题将涉及的知识套上去，必要时用“瑕疵”法求解。 6.熟知中考数学解答题的评分标准：解答题评分的大思想“踩点给分”，先由评卷全体老师把该题可能有的解法都解出来，每种解法，细化步骤，讨论哪一步给多少分，直到评卷组长通过为止。 8.做题的几个原则：①先易后难，先熟后生；②一慢一快：审题要慢，做题要快；③不能小题难做，小题大做，要小题小做，小题巧做；④基础题要拿满分，难题力争多得分，似曾相识题力争不失分；⑤考试不怕题不会，就怕会题做不对。 三、考后调整篇 【01放松身心劳逸结合】把孩子交给夏日阳光、绿树浓荫 紧张忙碌的考试过去了，终于可以松一口气，那么应该如何放松疲惫的身心呢？应该如何有计划有效果地去调整呢？ 一、去见书本以外更广阔的天地。 学生还是应该多出去走走看看，平时上学时间紧，只能对着课本，现如今考试结束放假了，应该多和同学或者家长一起，出去旅旅游。或者爬山涉水，登高望远，或者去自己心仪大学所在的城市，提前感受一下氛围。 二、重拾兴趣，去发现更好的自己。 每个学生都应该有自己的兴趣爱好，比方说打球、音乐、美术等。之前为了考试，这些兴趣爱好只能靠边站。现如今考试已经结束，这些健康的兴趣爱好可以重拾起来。只要有兴趣，就能玩得更开心。 三、运动，挥洒汗水，强健体魄 不要小看运动的作用，它的确可以放松身心的。因为之前备战考试，做了很多脑力劳动，现在考试结束后，应该多做一下体力劳动，只有这样才能德智体全面发展。挥洒汗水，强健体魄，让青春在运动中闪光！ 【02文艺作品中找数学】中学生必看数学题材的电影 01英文名称：π 别名：3.14159265358(USA) 发行时间：1998年07月10日 简介：科幻惊栗手法描写一名天才数学家触目惊心的经历。才华盖世的数学家马斯在过去十年来，发现股票市场在混乱波动背后原来由一套数学模式操控，于是致力研究寻出该数学模式。没想到，主宰金融市场的一家华尔街财团，以及不择手段要释破圣经密码的一个卡巴拉宗教组织均同时派员追缉他，马斯既要保护一己安全，同时亦要尽快找出这些影响世界金融市场的密码。 02美丽心灵 英文名称：A Beutiful Mind 发行时间：2001年出品 简介：故事的原型是数学家小约翰-福布斯-纳什(Jr.John Forbes Nash)。英俊而又十分古怪的纳什早年就作出了惊人的数学发现，开始享有国际声誉。但纳什出众的直觉受到了精神分裂症的困扰，使他向学术上最高层次进军的辉煌历程发生了巨大改变。面对这个曾经击毁了许多人的挑战，纳什在深爱着的妻子艾丽西亚(Alicia)的相助下，毫不畏惧，顽强抗争。经过了几十年的艰难努力，他终于战胜了这个不幸，并于1994年获得诺贝尔奖。 03心灵捕手 英文名称：Good Will Hunting 别名：骄阳似我 发行时间：1997 简介：一个麻省理工学院的数学教授，在他系上的公布栏写下一道他觉得十分困难的题目，希望他那些杰出的学生能解开答案，可是却无人能解。结果一个年轻的清洁工(麦特戴蒙饰)却在下课打扫时，发现了这道数学题并轻易的...... 4、费马最后定理 英文名称：Fermat s Last Theorem 发行时间：2005年 简介：本片从证明了费玛最后定理的安德鲁怀尔斯 （Andrew Wiles）开始谈起，描述了 Fermat s Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。 5、笛卡儿 英文名称：Decartes 发行时间：2006年 简介：勒奈·笛卡尔（René Descartes‎，常作笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省笛卡尔-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩），法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。 6、牛顿的黑暗秘密 英文名称：Newton s Dark Secrets 发行时间：2005年 简介：1643年1月4日，在英格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自耕农家庭里，牛顿诞生了。牛顿是一个早产儿，出生时只有三磅重，接生婆和他的亲人都担心他能否活下来。谁也没有料到这个看起来微不足道的小东西会成为了一位震古烁今的科学巨人，并且竟活到了85岁的高龄。 7、阿基米德的秘密 英文名称：Infinite Secrets: The Genius of Archimedes 发行时间：2005年 简介：阿基米德(Archimedes，约公元前287～212)是古希腊物理学家、数学家，静力学和流体静力学的奠基人。除了伟大的牛顿和伟大的爱因斯坦，再没有一个人象阿基米德那样为人类的进步做出过这样大的贡献。即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。 8、伽利略:为真理而战 英文名称：Galileo s Battle For The Heavens 发行时间：2006年03月 简介：基于达娃·索贝尔(Dava Sobel)的畅销传记《伽利略的女儿：科学、信仰和爱的历史回忆》改编而成，向我们展示了伟大科学家伽利略的人生轨迹和追求真理的道路。 9、阿兰·图灵 英文名称：Alan Turing 简介：阿兰·图灵（Alan Turing）这个名字无论是在计算机领域、数学领域、人工智能领域还是哲学、逻辑学等领域，都可谓“掷地有声”。图灵是计算机逻辑的奠基者，许多人工智能的重要方法也源自这位伟大的科学家。他在24岁时提出了图灵机理论，31岁参与了Colossus（二战时，英国破解德国通讯密码的计算机）的研制，33岁时构思了仿真系统，35岁提出自动程序设计概念，38岁设计了“图灵测试”，在后来还创造了一门新学科—非线性力学。虽然图灵去世时只有42岁，但在其短暂而离奇的生涯中的那些科技成就，已让后人享用不尽。人们仰望着这位伟大的英国科学家，把“计算机之父”、“人工智能之父”、“破译之父”等等头衔都加冕在了他身上，甚至认为，他在技术上的贡献及对未来世界的影响几乎可与牛顿、爱因斯坦等巨人比肩。 15、知无涯者 简介：影片是关于印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金的传记片。斯里尼瓦瑟·拉马努金（戴夫·帕特尔 饰）生于印度坦焦尔区的埃罗德，幼时即表现出数学才能，但因家境贫困未能受到很好的教育。1904年获奖学金入贡伯戈纳姆大学学习，由于偏科未能毕业。1907年后为谋生计备尝艰辛，但仍刻苦自学数学。1912年在印度数学会杂志上发表论文《伯努尼数的一些性质》，崭露头角。后在友人的协助下，给英国著名数学家哈代（杰瑞米·艾恩斯 饰）去信，陈述自己在数论方面的研究，并列举在其他方面得到的定理和猜想。哈代对其才华称奇，在1914年推荐并资助他入剑桥大学深造。从此他既是哈代的学生，又是哈代的合作者。 【03假期尾声收收心】七年级数学预习书籍推荐 小升初考试过后假期尾声，同学们可以自主尝试预习初中数学知识，编者此处建议预先过程书籍配合学习视频更加高效有用。 01初中数学学习视频建议：乐乐课堂、洋葱数学等视频网站。 02自主学习书籍建议：《学习·探究·诊断》、《新教材完全解读》。 03自主学习资料查找建议：学科网：https://www.zxxk.com/ 2026年小升初数学终极押题卷（一）（含判断题版本） 参考时间：90分钟；试卷总分：100分 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空1分，共21分） 1．（本题3分）第19届亚运会在中国杭州举行。作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占地1543700平方米，合( )公顷。建筑面积约2720000平方米，把这个数改写成用“万平方米”作单位的数是( )万平方米。亚运会开幕式电视端累计观众收视人次达199086782次，这个数省略亿位后面的尾数约是( )次。 2．（本题4分）( )∶20＝0.75＝＝( )%＝( )折。 3．（本题2分）比40米多是( )，15千克比( )千克少25%。 4．（本题1分）一个整数把小数点向左移动一位，得到一个一位小数，这个小数比整数小了3.6，这个整数是( )。 5．（本题1分）笑笑的存钱罐里有面值5元和面值10元的人民币共12张，合计80元。其中面值5元的有( )张。 6．（本题1分）一个班男生和女生人数原来的比是9∶11，这学期转来2名男生，这时男生占总人数的，这个班原来有( )人。 7．（本题1分）成都“一带一路大厦”，在一幅比例尺是1∶20000的图上量得楼高约是2.45厘米，“一带一路大厦”实际高度是( )米。 8．（本题3分）小明家与姥姥家相距5千米。周末小明骑车从家出发去探望姥姥，去的途中修理自行车耽搁了一些时间。从图中可以看出： (1)小明在路上修车用了( )分。 (2)从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成( )比例，他的速度是( )千米/分。 9．（本题1分）活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是( )分米。 10．（本题1分）李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 11．（本题1分）一个盒子里装有大小相同的红黄蓝白球各5个，至少摸出( )个球，才能保证摸到两个相同颜色的球。 12．（本题2分）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去： 第50个图案中需要摆棋子( )枚，第n个图案中需要摆棋子( )枚。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题1分，共5分） 13．（本题1分）两个计数单位之间的进率是10。( ) 14．（本题1分）一个角的两条边越长，角就越大。( ) 15．（本题1分）一个两位数，个位上的数字是y，十位上的数字是x，这个数是xy。( ) 16．（本题1分）（甲数和乙数都不等于0），那么甲数∶乙数＝15∶1。( ) 17．（本题1分）在含糖20%的糖水中加入相同质量的糖和水后，糖水的含糖率不变。( ) 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共5分） 18．（本题1分）下面各组数中，不是互为相反意义的量是( )。 A．增加2kg和减少2cm B．收入200元和支出150元 C．向东走8m和向西走10m D．上升10dm和下降15dm 19．（本题1分）下面四个物体都是由5个小正方体组成，从前面和上面看到的形状不一样的物体是( )。 A．B． C． D． 20．（本题1分）一次考试中，乐乐语文和数学的平均分是a分，英语比这两科的平均分多6分，乐乐这三科的平均分是( )分。 A．a＋2 B．a＋3 C．a＋4 D．a＋6 21．（本题1分）一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是( )。 A．10∶8 B．5∶4 C．∶ D．4∶5 22．（本题1分）妙想将3000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是1.2%，到期后可以获得本金和利息一共多少元？正确列式是( )。 A．3000×1.2% B．3000×1.2%×2 C．3000×1.2%×2＋3000 D．3000×（1＋1.2%）×2 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 四、一丝不苟，细心计算。（共27分） 23．（本题8分）直接写出得数。                                 24．（本题9分）能简便计算的简便计算。 （1） （2） （3）… 25．（本题6分）解方程。 （1）    （2）    （3） 26．（本题4分）求下图中阴影部分的面积。（单位：cm） 评卷人 得分 五、手脑并用，实践操作。（共10分） 27．（本题4分）下面每个方格的边长表示1厘米。 (1)方格中的圆以点为圆心，请你将所画圆的涂上颜色。 (2)请在方格里画一个长方形，使长方形的周长是18厘米，长与宽的比是。 28．（本题6分） （1）画出三角形ABC绕点A逆时针旋转后的图形。 （2）在方格纸中画出一个面积和三角形ABC相等的梯形。 （3）在圆O的南偏东方向，画出圆按放大后的图形。 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 六、走进生活，解决问题。（共32分） 29．（本题5分）据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？ 30．（本题5分）太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人次，大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的，府西街站的客运量是多少万人次？ 31．（本题5分）妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 32．（本题5分）“盐池”里的科学。 运城盐池是我国最古老的盐池之一，盐工们通过晾晒盐水使盐结晶。已知常温下，当盐水浓度超过26%时，便会发生盐结晶现象。小宇在科学实验课上模拟这一过程，他配制了200克盐水，其中盐与水的质量比是3∶17。他将盐水加热蒸发，当盐水质量减少到150克时停止加热并冷却至常温。请问此时小宇能观察到盐结晶现象吗？请通过计算说明理由。 33．（本题6分）保洁组的同学要购买60个单价为55元的海绵拖把。下面是三家商店给出的优惠方案： 金百汇商厦每满1000元，返还现金120元 华联商厦 一律八五折 小芳超市 买五送一 请算出每家商店购买各需要多少钱，并比较哪家商店更划算？ 34．（本题6分）数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 2026年小升初数学终极押题卷（二）（不含判断题版本） 参考时间：90分钟；试卷总分：100分 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共10分） 1．（本题1分）数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5 就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是( )。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 2．（本题1分）下面各比中，能与∶组成比例的是( )。 A．5∶4 B．4∶5 C．∶5 D． 3．（本题1分）一条彩带，用去，还剩米，用去的和剩下的相比，( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．同样多 D．无法比较 4．（本题1分）李老师为家人买了4件礼物，最便宜的12元，最贵的24元，那么这4件礼物总共需要的钱数( )。 A．少于60元 B．多于84元 C．在60元到84元之间 D．无法确定 5．（本题1分）某小区2025年拥有新能源汽车的家庭有240户，_____。该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是( )。 A．比2024年的多 B．2024年的比2025年的少 C．比2024年的少 D．2024年的比2025年的多 6．（本题1分）某班男生人数是女生人数的1.2倍，男生人数与全班人数的比是( )。 A．6∶11 B．5∶11 C．6∶5 D．5∶6 7．（本题1分）星星农场今年的粮食产量比去年增产一成二，就是今年的粮食产量是去年的百分之几？( ) A．1.2% B．12% C．112% D．120% 8．（本题1分）有10只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了( )。 A．1只鸽子 B．3只鸽子 C．4只鸽子 D．8只鸽子 9．（本题1分）“甲、乙两个网店销售进价100元的一款马面裙，______，王阿姨要买一条马面裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样。”横线上的条件是( )。 ①甲先提价50%再打八折出售    ②乙以60%的利润定价再打七五折出售 ③甲提价25%出售    ④乙先提价40%再让利20% A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．（本题1分）中国园林设计时常用到海棠门，“海棠门里观海棠”构成了一幅美丽图画，为园林增添了一份婉约与雅致，用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成的图（如图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是( )m2。 A．12π＋12 B．（1÷2）2π＋12 C．2×（1÷2）2π D．2×（1÷2）2π＋12 评卷人 得分 二、用心思考，正确填写。（每空1分，共20分） 11．（本题2分）2025年5月25日，在2025WCA丽水魔方公开赛三阶速拧复赛中，中国11岁选手王艺衡以平均3.91秒的成绩打破世界纪录。横线上的数是由( )个0.01累加组成的。在直线上用“•”表示出这个数的大致位置。 12．（本题1分）如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝( )。 13．（本题4分）7.2平方千米＝( )公顷      5时24分＝( )时   6.02吨＝( )吨( )千克 14．（本题1分）喜欢电脑的小松设计了一个猜年龄的程序： 小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年( )岁。 15．（本题1分）学校举办科技节，小红参加了实验操作、理论笔试和创意设计三个项目。已知实验操作和理论笔试的平均分是m分，创意设计比这两科的平均分多10分。那么小红这三个项目的平均分是( )分。 16．（本题1分）如果x和y互为倒数，且，那么15a＝( )。 17．（本题1分）中国古代劳动人民不仅擅长诗歌，还借助诗歌讨论数学问题。 三百七十八里关， 初行健步不为难， 次日脚痛减一半， 六朝才能到其关。 诗歌中的“里”是我国古代计量路程的单位，1里＝500米。这首诗歌的意思是三百七十八里的路程，第一天走的比较快，后面因为脚走疼了，每天走的路程都是前一天的一半，六天才能走完全程。 请算一算第六天走了( )里路。 18．（本题1分）六（1）班学生体育达标的人数和未达标的人数比是24∶1，达标率是( )%。 19．（本题2分）一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2∶1，这个三角形顶角度数是( )度。按角来分，它是( )三角形。 20．（本题1分）大力发展新能源汽车是促进节能减排、实现“双碳”目标的重要举措。如图是两种新能源汽车模型，如果黑色新能源汽车模型长24cm，那么白色新能源汽车模型长( )cm。 21．（本题2分）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是( )cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是( )cm。 22．（本题3分）瞧，我会观察、思考、表达。 (1)因为888÷24＝37，根据商不变的规律，所以555÷15＝( )； (2)数学课上，老师在黑板上刚写完算式“2025×101－2025＝”，小明一看就说出得数202500，他的想法是( )； (3)通过计算得到。根据这个发现，＝( )。 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共30分） 23．（本题8分）直接写出得数。                       24．（本题12分）脱式计算，能简算的要简算。                                     25．（本题6分）解比例或方程。                      26．（本题4分）图形计算。 请计算该“右转危险区”的面积。（本题取3） 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此设置了“右转危险区”标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是以A为圆心所画的四分之一圆。 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共14分） 27．（本题4分）按要求画一画。 （1）希望小学在体育中心的北偏东45°方向400米处，请用▲标出希望小学的位置。 （2）计划在距离体育中心300米处新建一个文化馆，请画出新建文化馆所有可能的位置。 28．（本题10分）下面方格纸中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）把长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。若用分别表示旋转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数对表示分别是( )，( )，( )。 （2）线段CD旋转到的位置所扫过的面积是( )平方厘米，点C旋转到点的位置所经过的路线长( )厘米。 （3）在图中画出点O，再连接EO和FO，使三角形EFO成为一个以点F为直角顶点的等腰直角三角形，此时点E在点O的( )偏( )( )°方向。 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共26分） 29．（本题3分）富乐国际恒温游泳馆冬天使用天然气加热泳池，采用新的节能技术后，12月每天用天然气420立方米，比上个月每天节约120立方米，那么原来可用20天的天然气，现在约多用多少天？（只保留整数部分） 30．（本题3分）2024年6月我国嫦娥六号从月球背面的艾特肯盆地采集月壤成功，引起全世界的高度关注。艾特肯盆地被公认为是月球上最大、最古老、最深的盆地，最深处的深度大约是12800米，比世界上著名的淡水湖——贝加尔湖最深处深度的7倍还多1341米，贝加尔湖最深处的深度有多少米？ 31．（本题4分）某乡村农田安装了AI农业灌溉系统，它能根据土壤湿度、天气情况自动调节灌溉量，比传统灌溉节省用水30%。 (1)该系统控制的农田是一块长200米、宽150米的长方形，在设计图上，该农田的长是8厘米。这张设计图的比例尺是多少？ (2)AI农业灌溉系统还能统计灌溉数据，已知该农田每次传统灌溉需用水180吨，每月灌溉4次。使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省多少吨水？ 32．（本题5分）如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 33．（本题5分）阅读材料回答下列问题。 水是人类发展不可缺少的自然资源，是人类和一切生物赖以生存的物质基础。生物体内含水量占体重的60%~80%，甚至90%以上。人体内的含水量占体重的，为了维持人类正常的生理代谢，每人每天至少需要饮用2.5升的水。 我国是一个干旱缺水的国家，全国约有660个城市，其中的城市供水不足，在这些供水不足的城市中，又有的城市严重缺水。所以保护水资源是我们每个人的责任。 (1)爸爸的体重是78kg，他体内大概含水多少千克？ (2)全国严重缺水的城市大约有多少个？ (3)为了鼓励居民节约用水，某地的自来水公司规定：每户每月用水15吨（含15吨）按每吨2.3元收费；超过15吨后，超出的部分按每吨5.5元收费。小涵家上月共交水费62元，小涵家上月用水多少吨？ 34．（本题6分）某社区为改善老旧道路，计划用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15米的人行道。工程队联系了搅拌站，混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5（每立方米混凝土总质量约2400千克）。搅拌站有一辆圆柱形搅拌车，罐体内部长（圆柱的高）5米、底面直径2米（π取3.14），每次搅拌需预留10%的空间防止溢出。 （1）铺设这条人行道需要多少立方米混凝土？按配比计算，需要水泥、沙子、石子各多少吨？（1吨＝1000千克） （2）搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是多少？若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要多少车次才能完成任务？（结果保留整数） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 一、选择题（共10分） 1.C 2.A 3.A 4.C 5.A 6.A 7.C 8.C 9.A 10.D 二、填空题（共20分） 11.391 3.91 2 3 4 12.13 13. 720 5.4 2 14.13 15.a+号 16.3 17.6 18.96 www .zxxk.com 做好 参考答案 0 第1页，共3页 卷，就用学易金卷 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19. 90 直角 20.18 21. 18 22.(1)37 (2)运用乘法分配律，将算式转化为2025×(101一1)计算 器 三、计算题（共30分） 23.296； 54:26: 20.6:36:50:20g 51 100 24.112o-6号-8别 =1200÷56×3-56×3 7 8 =1200÷[24-21 =1200÷3 =400 (2)9.6-11*7+x4 =9.6-1+4 77 =96-号引 =9.6-1 =8.6 (3)3.5x4+5.5×80%+0.8 5 =35×4+5.5x4+4x1 5 55 第1页，共3页 @学科网·学易金卷 4 =(3.5+5.5+1×2 5 -10×5 4 =8 - 「10.81.3 =9*15]10 「10.1513 =9×810 253 X- 1210 (5)80%×(3.2-2.99÷2.3) =80%×(3.2-1.3) =0.8×1.9 =1.52 (6)1.97×430+38×19.7+1.9×197 =19.7×43+38×19.7+19×19.7 =19.7×43+38+19 =19.7×100 =1970 25.1015号-24 解：15-2x+2x=24+2x 2 33 3 2 15=2.4+2x 3 2.4+5x=15 2 2.4+2x-2.4=15-2.4 3 www .zxxk.com 做妇 第1页，共3页 卷，就用学易金卷 学科网·学易金卷 2 x=12.6 3 22 2 X÷ =12.6÷ 3 3 3 3 x=12.6× 2 x=18.9 (2) 5. 2.4 二 55 解： 2-5 4 5 X= -6 5 2 2 5 3 2 2 X 3 5 2 5 3 2 5 X= 3 1.1 5 (3) 3209 1 51 解： 一X三一X 920 1 1 一X 3 36 1 1 3 1 ×3 36 1 X= 12 D 6米 C 4米 F 26. ② 6米 B --日 10米 ①的面积：44-3×42×号 =16-3×16×号 www.zxxk.com 做刻 E 10米 第1页，共3页 卷，就用学易金卷 画学科网·学易金卷 Www.Zx) =16-3×(16x4) =16-3×4 =16-12 =4(平方米) ②的面积：3x102×} =3×100×4 =3×(100×4) =3×25 =75(平方米) “右转危险区的面积：10×10一4一75 =100-4-75 =96-75 =21(平方米)》 所以，“右转危险区的面积是21平方米。 四、作图题（共14分） 27.(1)400米=40000厘米 40000× 1 =2(厘米)》 20000 希望小学的位置标注如下图： (2)300米=30000厘米 30000× =1.5厘米 20000 下图中的圆周就是新建文化馆所有可能的位置 第1页， k.com 做好 共3页 卷，就用学易金卷 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 体育中心 0 比例尺1：20000 28.(1)若用A1,B1,C1分别表示旋转后的A、B、C的对应 示分别是A(4,5),B1(4,2),C1(2,2)。 (2)314*324 =3.149x4 =2826×号 =7.065(平方厘米) 2X3×3144 =63.14 =18.84× 4 =4.71(厘米) 线段CD旋转到CD的位置所扫过的面积是7.065平方厘米， 的路线长4.71厘米。 (3)点E在点0的北偏西45°方向。 (1)(3)作图如下： B 2 56 7 8910111213141516 第1页，共3页 做好卷，就用学易金卷 点，则这三个点的位置用数对表 点C旋转到点C,的位置所经过 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 五、解答题（共26分） 29.120×20÷420 =2400÷420 6(天) 答：现在约多用6天。 30.解：设贝加尔湖最深处的深度有x米。 7x+1341=12800 7x+1341-1341=12800-1341 7x=11459 7x÷7=11459:7 x=1637 答：贝加尔湖最深处的深度有1637米。 31.(1)200米=20000厘米 8:20000 =(8÷8):(20000÷8) =1:2500 答：这张设计图的比例尺是1：2500。 (2)180×4×30% =720×0.3 =216(吨) 答：使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省216吨水。 32.(1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是反比例关系。 （2)解：设小齿轮每分钟转x圈。 15x=60×80 第1页，共3页 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好 15x=4800 x=4800÷15 x=320 答：小齿轮每分钟转320圈。 38.)78*号2（千克 答：他体内大概含水52千克。 2 (2)660×5=440(个) 3 440x3=110(个) 答：全国严重缺水的城市大约有110个。 (3)15×2.3=34.5(元) 62>34.5 62-34.5=27.5(元)》 27.5÷5.5=5(吨) 15+5=20(吨) 答：小涵家上月用水20吨。 34.(1)混凝土体积：200×4×0.15=120（立方米） 总质量：120×2400=288000（千克） 288000千克=288吨 2 水泥：288×2+3+5 2 =288×1 10 =57.6(吨)》 沙子：288× 2+3+5 第1页，共3页 卷，就用学易金卷 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com -288×3 10 =86.4(吨) 石子：288×2+3+5 5 =288× 10 =144(吨》 答：铺设这条人行道需要120立方米混凝土。按配比计算， 石子144吨。 (2)圆柱的底面半径：2÷2=1（米） 搅拌车罐体的容积： 3.14×12×5 =3.14×1×5 =15.7（立方米) 实际可运输： 15.7×(1-10%) =15.7×0.9 =14.13(立方米) 至少需要运： 80÷14.136(车次) 答：搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是14.13立方米。 至少需要6车次才能完成任务。 第1页，共3页 做好卷，就用学易金卷 需要水泥57.6吨，沙子86.4吨， 若每天需铺设80立方米混凝土，学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 参考答案 一、选择题（共10分） 1.C 2.A 3.A 4.C 5.A 6.A 7.C 8.C 9.A 10.D 二、填空题（共20分） 11.391 3.91 2 3 4 12.13 13. 720 5.4 620 14.13 15.m+10 3 16.3 17.6 18.96 19 90 直角 20.18 21. 18 2 22.(1)37 (2)运用乘法分配律，将算式转化为2025×(101一1)计算 e2 第1页，共8页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 三、计算题（共30分） 23.296; 54:26: 206:36:50:20g 51 100 24.(1)120÷ 6x别 -12-[6号56引 =1200÷[24-21] =1200÷3 =400 （2）96-1-7+号4 96-14 7+7 =96-侣引 =9.6-1 =8.6 (3)35×4+5.5×809%+0.8 5 =35g55号1 =(3.5+5.5+10×5 4 10号 =8 阳品 g}品 第2页，共8页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 「101573 -gx810 一X 253 1210 =8 (5)80%×(3.2-2.99÷2.3) =80%×(3.2-1.3) =0.8×1.9 =1.52 (6)1.97×430+38x19.7+1.9×197 =19.7×43+38x19.7+19x19.7 =19.7×(43+38+19) =19.7×100 =1970 25.(1)15-2x=24 3 解：15-2x+2、 2x+2x=24+3X 2 33 15=24号 2 24+号=15 2.4+x-2.4=15-2.4 3 3=12.6 2 3 3 x=12.6× 2 x=18.9 (2) 5. 2.4 6x=55 2.45 解：x= 556 第3页，共8页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22 x= 35 25 ×23 1.1_5:x (3)3209 1.51 解：3=920 11 X= 336 1.1 x=363 3 36 12 D 6米 E ① C 26. 4米 10米 ② 6米 B -日A 10米 ①的面积：4x4-3×4×} =16-3x16x4 =16-3×(16×4) =16-3×4 =16-12 =4(平方米) ②的面积：3×102×} =3x10x号 =3×(100×4) =3×25 第4页，共8页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =75(平方米) “右转危险区的面积：10×10一4一75 =100-4-75 =96-75 =21(平方米) 所以，“右转危险区的面积是21平方米。 四、作图题（共14分) 27.(1)400米=40000厘米 40000×、1 =2(厘米) 20000 希望小学的位置标注如下图： (2)300米=30000厘米 1 30000× 20000 =1.5厘米 下图中的圆周就是新建文化馆所有可能的位置 体育中心 比例尺1：20000 28.(1)若用A1,B1,C分别表示旋转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数对表 示分别是A1(4,5),B1(4,2),C（2,2)。 （2)314*32x =3.14*9号 =2826*号 =7.065(平方厘米) 233.14 =6x3.14×} =1884x} 第5页，共8页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =4.71(厘米) 线段CD旋转到CD的位置所扫过的面积是7.065平方厘米，点C旋转到点C的位置所经过 的路线长4.71厘米。 (3)点E在点0的北偏西45°方向。 (1)（3)作图如下： B D B 12345678910111213141516 五、解答题（共26分） 29.120×20÷420 =2400÷420 ≈6（天） 答：现在约多用6天。 30.解：设贝加尔湖最深处的深度有x米。 7x+1341=12800 7x+1341-1341=12800-1341 7x=11459 7x÷7=11459÷7 x=1637 答：贝加尔湖最深处的深度有1637米。 31.(1)200米=20000厘米 8:20000 =(8÷8):(20000÷8) =1:2500 答：这张设计图的比例尺是1：2500。 (2)180×4×30% 第6页，共8页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =720×0.3 =216(吨) 答：使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省216吨水。 32.(1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是反比例关系。 (2)解：设小齿轮每分钟转x圈。 15x=60×80 15x=4800 x=4800÷15 x=320 答：小齿轮每分钟转320圈。 3.1)78号 =52(千克) 答：他体内大概含水52千克。 6260*号 =440(个) 440×年=110（个) 答：全国严重缺水的城市大约有110个。 (3)15×2.3=34.5(元) 62>34.5 62-34.5=27.5（元) 27.5÷5.5=5(吨) 15+5=20(吨) 答：小涵家上月用水20吨。 34.(1)混凝土体积：200×4×0.15=120（立方米) 总质量：120×2400=288000（千克） 288000千克=288吨 水泥：288× 3 2+3+5 =288×10 =57.6(吨) 第7页，共8页 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 沙子：288× 2+3+5 =288 =86.4(吨) 5 石子：288× 2+3+5 -288 =144(吨) 答：铺设这条人行道需要120立方米混凝土。按配比计算，需要水泥57.6吨，沙子86.4吨， 石子144吨。 (2)圆柱的底面半径：2÷2=1（米） 搅拌车罐体的容积： 3.14×12×5 =3.14×1×5 =15.7(立方米) 实际可运输： 15.7×(1-10%) =15.7×0.9 =14.13(立方米) 至少需要运： 80÷14.13≈6（车次) 答：搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是14.13立方米。若每天需铺设80立方米混凝土， 至少需要6车次才能完成任务。 第8页，共8页 绝密★启用前 2026年小升初数学终极押题卷（二） 参考时间：90分钟；试卷总分：100分 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：小学全部 【第一部分】基础知识与基本能力 评卷人 得分 一、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题1分，共10分） 1．（本题1分）数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5 就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是( )。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 【答案】C 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。由题意可知，孪生质数是指两个数都是质数且它们的差为2，据此逐一分析各项即可。 【详解】A．2和3都是质数，但它们的差不是2，不符合题意； B．9不是质数，不符合题意； C．11和13都是质数，且它们的差为2，符合题意； D．15不是质数，不符合题意。 是孪生质数的是11和13。 2．（本题1分）下面各比中，能与∶组成比例的是( )。 A．5∶4 B．4∶5 C．∶5 D． 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【详解】∶＝÷＝×5＝ A．5∶4＝5÷4＝ ＝，比值相等，所以5∶4能与∶组成比例； B．4∶5＝4÷5＝ ≠，比值不相等，所以4∶5不能与∶组成比例； C．∶5＝÷5＝×＝ ≠，比值不相等，所以∶5不能与∶组成比例； D．∶4＝÷4＝×＝ ≠，比值不相等，所以∶4不能与∶组成比例。 故答案为：A 3．（本题1分）一条彩带，用去，还剩米，用去的和剩下的相比，( )。 A．用去的多 B．剩下的多 C．同样多 D．无法比较 【答案】A 【分析】把全长看作单位“1”，用去的，还剩米，所以剩下的正好是彩带的（1－），比较全长的和全长的（1－）的大小，据此解答。 【详解】剩下1－＝ ＞ 用去的和剩下的相比，用去的多。 4．（本题1分）李老师为家人买了4件礼物，最便宜的12元，最贵的24元，那么这4件礼物总共需要的钱数( )。 A．少于60元 B．多于84元 C．在60元到84元之间 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先要确定出最少需要多少钱与最多需要多少钱； 已知最便宜的与最贵的，当总价最少时，其余三件按最便宜的计算，当总价最多时，其余三件按最贵的计算； 接下来结合已知条件代入相关数据进行计算便可得出总价的范围。 【详解】12×3＋24 ＝36＋24 ＝60（元） 24×3＋12 ＝72＋12 ＝84（元） 这4件礼物总共需要的钱数在60元到84元之间。 5．（本题1分）某小区2025年拥有新能源汽车的家庭有240户，_____。该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是( )。 A．比2024年的多 B．2024年的比2025年的少 C．比2024年的少 D．2024年的比2025年的多 【答案】A 【分析】根据方程可得等量关系式：2024年拥有新能源汽车的家庭＋2024年拥有新能源汽车的家庭×＝2025年拥有新能源汽车的家庭，则2024年拥有新能源汽车的家庭数量为“1”，2025年拥有新能源汽车的家庭240户表示比单位“1”多。 【详解】根据方程（）x＝240，可知2025年拥有新能源汽车的家庭数量比2024年拥有新能源汽车的家庭数量多。 6．（本题1分）某班男生人数是女生人数的1.2倍，男生人数与全班人数的比是( )。 A．6∶11 B．5∶11 C．6∶5 D．5∶6 【答案】A 【分析】先把1.2转化成分数，1.2是一位小数，用分数表示为，约分后为，再根据分数与比的关系：分数的分子相当于比的前项，分数的分母相当于比的后项，把转化成6∶5，即男生人数有6份，女生人数有5份，则全班人数有（6＋5）份，最后写出男生人数与全班人数的比即可。 【详解】1.2＝＝6∶5 6＋5＝11 男生人数与全班人数的比是6∶11。 故答案为：A 7．（本题1分）星星农场今年的粮食产量比去年增产一成二，就是今年的粮食产量是去年的百分之几？( ) A．1.2% B．12% C．112% D．120% 【答案】C 【分析】把去年的粮食产量看作单位“1”，今年比去年增产一成二，也就是今年比去年多12%，今年是去年的1＋12%＝112%。 【详解】1＋12%＝112% 8．（本题1分）有10只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了( )。 A．1只鸽子 B．3只鸽子 C．4只鸽子 D．8只鸽子 【答案】C 【分析】抽屉原理是指：假如有n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。本题可将鸽笼看作抽屉，鸽子看作元素，通过计算平均每个鸽笼飞进的鸽子数，再结合余数来确定总有一个鸽笼至少飞进的鸽子数。 【详解】已知有10只鸽子要飞进3个鸽笼，用鸽子总数除以鸽笼数，可得：10÷3＝3（只）……1（只），这意味着平均每个鸽笼飞进3只鸽子后，还剩下1只鸽子。剩下的这1只鸽子无论飞进哪个鸽笼，3＋1＝4（只），那么这个鸽笼就至少有4只鸽子。 故答案为：C 9．（本题1分）“甲、乙两个网店销售进价100元的一款马面裙，______，王阿姨要买一条马面裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样。”横线上的条件是( )。 ①甲先提价50%再打八折出售    ②乙以60%的利润定价再打七五折出售 ③甲提价25%出售    ④乙先提价40%再让利20% A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题需要分别计算出甲、乙网店在不同条件下的售价，然后找出使得两个网店售价相同的条件组合。售价计算公式为：售价＝成本×（1＋利润率）×折扣率（或提价后再折扣等情况）。 【详解】①甲店：成本100元，先提价50%，价格变为100×（1＋50%）＝100×（1＋0.5）＝100×1.5＝150（元），再打八折，售价为150×0.8＝120（元）。 ②乙店：成本100元，以60%的利润定价，价格为100×（1＋60%）＝100×（1＋0.6）＝100×1.6＝160（元），再打七五折，售价为160×0.75＝120（元）。 ③甲店：成本100元，提价25%出售，售价为100×（1＋25%）＝100×（1＋0.25）＝100×1.25＝125（元）。 ④乙店：成本100元，先提价40%，价格变为100×（1＋40%）＝100×（1＋0.4）＝100×1.4＝140（元），再让利20%，售价为140×（1－20%）＝140×（1－0.2）＝140×0.8＝112（元）。 比较可得①和②时，甲、乙两店售价均为120元，价格一样。 故答案为：A 10．（本题1分）中国园林设计时常用到海棠门，“海棠门里观海棠”构成了一幅美丽图画，为园林增添了一份婉约与雅致，用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成的图（如图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是( )m2。 A．12π＋12 B．（1÷2）2π＋12 C．2×（1÷2）2π D．2×（1÷2）2π＋12 【答案】D 【分析】由图可知该图形由一个边长为1m的正方形和两个直径为1m的半圆组成。首先分析正方形部分，根据正方形面积公式S＝边长×边长，可得正方形面积为1×1＝1m2；再看半圆部分，两个直径相等的半圆可组合成一个完整的圆，圆的直径与正方形边长相等（均为1m），因此圆的半径r＝m，根据圆的面积公式S＝πr2，可推出两个半圆的总面积等价于该整圆的面积，即π×（1÷2）2（也可表示为2×π×（1÷2）2，直接体现两个半圆的面积和）。综上，海棠门的总面积为正方形面积与两个半圆面积之和，列式为2×（1÷2）2π＋12，对应选项D。 【详解】解：1×1＋π×（1÷2）2×2 ＝1＋π×0.25×2 ＝1＋0.5π（平方米） 海棠门是面积是（1＋0.5π）平方米。 故答案为：D 评卷人 得分 二、用心思考，正确填写。（每空1分，共20分） 11．（本题2分）2025年5月25日，在2025WCA丽水魔方公开赛三阶速拧复赛中，中国11岁选手王艺衡以平均3.91秒的成绩打破世界纪录。横线上的数是由( )个0.01累加组成的。在直线上用“•”表示出这个数的大致位置。 【答案】391 【分析】个位的计数单位是一，一位小数的计数单位是十分之一，两位小数的计数单位是百分之一，三位小数的计数单位是千分之一，分别写作0.1、0.01、0.001，相邻计数单位间的进率是10。 ①3.91是两位小数，是由391个0.01组成的。 ②图中每个小格代表0.1，先确定3.9的位置，再往后十分之一小格，画出3.91的点。 【详解】横线上的数是由391个0.01累加组成的。 画图如下： 12．（本题1分）如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝( )。 【答案】13 【分析】根据题意[a]表示a的全部因数的和，据此先分别求出[12]与[8]的因数和，然后作差，即可解答。 【详解】12的因数有1、2、3、4、6、12； 8的因数有1、2、4、8。 [12]＝1＋2＋3＋4＋6＋12＝28 [8]＝1＋2＋4＋8＝15 [12]－[8] ＝28－15 ＝13 如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝13。 13．（本题4分）7.2平方千米＝( )公顷      5时24分＝( )时   6.02吨＝( )吨( )千克 【答案】 720 5.4 6 20 【分析】（1）1平方千米＝100公顷，大单位换算成小单位时乘进率； （2）1时＝60分，小单位换算成大单位时除以进率； （3）1吨＝1000千克，大单位换算成小单位时乘进率。 【详解】（1）7.2×100＝720（公顷） 所以7.2平方千米＝720公顷。 （2）24÷60＝0.4（小时） 5＋0.4＝5.4（小时） 所以5时24分＝5.4时 （3）0.02×1000＝20（千克） 所以6.02吨＝6吨20千克。 14．（本题1分）喜欢电脑的小松设计了一个猜年龄的程序： 小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年( )岁。 【答案】13 【分析】先用最后输出结果减去9，求出加9前的数；再除以2，求出乘2前的数；再加上5，求出减去5前的数；再除以3，求出乘3前的数，即可求出小松今年的年龄。 【详解】[（77－9）÷2＋5]÷3 ＝[68÷2＋5]÷3 ＝[34＋5]÷3 ＝39÷3 ＝13（岁） 小松的年龄输入后，最后输出的结果是77，小松今年13岁。 15．（本题1分）学校举办科技节，小红参加了实验操作、理论笔试和创意设计三个项目。已知实验操作和理论笔试的平均分是m分，创意设计比这两科的平均分多10分。那么小红这三个项目的平均分是( )分。 【答案】m＋ 【分析】已知实验操作和理论笔试的平均分是m分，用平均分乘2，求出这两科的分数之和； 已知创意设计比这两科的平均分多10分，用两科的平均分加上10，即是创意设计的分数； 用加法求出这三个项目的总分，再除以3，即是这三个项目的平均分。 【详解】实验操作和理论笔试的分数之和：2m分； 创意设计的分数：（m＋10）分 三个项目的总分：2m＋（m＋10）＝（3m＋10）分 三个项目的平均分： （3m＋10）÷3 ＝（3m＋10）× ＝3m×＋10× ＝（m＋）（分） 那么小红这三个项目的平均分是（m＋）分。 16．（本题1分）如果x和y互为倒数，且，那么15a＝( )。 【答案】3 【分析】根据比例的基本性质“两个外项之积等于两个内项之积”得5a＝xy；x和y互为倒数，那么xy的乘积是1，说明5a＝1；然后根据等式的性质，方程两边同时除以5计算出a的值；再将a的值代入15a中求出结果即可。 【详解】由得5a＝xy 已知x和y互为倒数，那么5a＝xy＝1。 5a＝1 解：5a÷5＝1÷5 a＝0.2 当a＝0.2时，15a＝15×0.2＝3。 所以，15a＝3。 17．（本题1分）中国古代劳动人民不仅擅长诗歌，还借助诗歌讨论数学问题。 三百七十八里关， 初行健步不为难， 次日脚痛减一半， 六朝才能到其关。 诗歌中的“里”是我国古代计量路程的单位，1里＝500米。这首诗歌的意思是三百七十八里的路程，第一天走的比较快，后面因为脚走疼了，每天走的路程都是前一天的一半，六天才能走完全程。 请算一算第六天走了( )里路。 【答案】6 【分析】根据诗歌的意思可根据总路程以及每天的路程之间的数量关系，用方程求解。关键是理解每天走的路程是前一天的一半，六天路程总和为378里，通过设第六天的路程为x里，依次表示出前五天的路程，再列方程求解。 设第六天走了x里路，则第五天走了2x里，第四天走了4x里，第三天走了8x里，第二天走了16x里，第一天走了32x里。根据六天走完全程378里，列出方程并求解。 【详解】解：设第六天走了x里路。 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＝378 63x＝378 x＝378÷63 x＝6 答：第六天走了6里路。 18．（本题1分）六（1）班学生体育达标的人数和未达标的人数比是24∶1，达标率是( )%。 【答案】96 【分析】达标率是指达标人数占总人数的百分之几，计算方法为：。 根据题意可以：把达标人数看成24份，未达标人数看成1份，那么总抽测人数就是达标人数加上未达标人数，即24＋1＝25份。 【详解】 答：这个班学生的达标率是96%。 19．（本题2分）一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2∶1，这个三角形顶角度数是( )度。按角来分，它是( )三角形。 【答案】 90 直角 【分析】等腰三角形的两个底角相等，则这个等腰三角形的3个内角的度数比为2∶1∶1，再根据三角形的内角和是180度，利用按比例分配的方法，求出最大角的度数，即为此三角形的顶角；若最大角大于90°，为钝角即为钝角三角形；若最大角等于90°，为直角即为直角三角形；若最大角小于90°，为锐角即为锐角三角形；据此解答。 【详解】180°× ＝180°× ＝90° 一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2∶1，这个三角形顶角度数是90度。按角来分，它是直角三角形。 20．（本题1分）大力发展新能源汽车是促进节能减排、实现“双碳”目标的重要举措。如图是两种新能源汽车模型，如果黑色新能源汽车模型长24cm，那么白色新能源汽车模型长( )cm。 【答案】18 【分析】由图片可知，每个小格的长度一定，汽车的长度和格数成正比例关系。设白色新能源汽车模型长xcm，列比例解答即可。 【详解】解：设白色新能源汽车模型长xcm。 x∶3＝24∶4 4x＝3×24 4x＝72 x＝72÷4 x＝18 所以白色新能源汽车模型长18cm。 21．（本题2分）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是( )cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是( )cm。 【答案】 18 2 【分析】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1∶3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3；也就是圆柱的高应该是圆锥高的3倍。由此解答。 【详解】由分析可知，这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3。 当圆锥的高是6厘米时，圆柱的高为： 3×6＝18（cm） 当圆柱的高是6厘米时，圆锥的高为： 6÷3＝2（cm） 一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是18cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是2cm。 22．（本题3分）瞧，我会观察、思考、表达。 (1)因为888÷24＝37，根据商不变的规律，所以555÷15＝( )； (2)数学课上，老师在黑板上刚写完算式“2025×101－2025＝”，小明一看就说出得数202500，他的想法是( )； (3)通过计算得到。根据这个发现，＝( )。 【答案】(1)37 (2)运用乘法分配律，将算式转化为2025×（101－1）计算 (3) 【分析】（1）根据商不变的规律解答即可； （2）根据乘法分配律，2025×101－2025＝2025×（101－1），再作进一步解答； （3）根据已知数据找出规律，得到，＝1－＝，……，据此计算解答即可。 【详解】（1）（1）888÷24 ＝（888÷8）÷（24÷8） ＝111÷3 ＝（111×5）÷（3×5） ＝555÷15 ＝37 （2）（2）2025×101－2025 ＝2025×（101－1） ＝2025×100 ＝202500 他的想法是：运用乘法分配律，将算式转化为2025×（101－1）计算。 （3）（3） ＝1－ ＝ 【第二部分】基础运算与基本技能 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共30分） 23．（本题8分）直接写出得数。                       【答案】296；；26； 20.6；3.6；50；； 【解析】略 24．（本题12分）脱式计算，能简算的要简算。                                     【答案】400；8.6 8； 1.52；1970 【分析】（1）先根据乘法分配律把括号内的算式进行简算，再算括号外的除法； （2）先算除法、乘法，再根据减法的性质进行简算； （3）先把百分数、小数化成分数，再根据乘法分配律的逆运算进行简算； （4）先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （5）先算括号里的除法，再算括号里的减法，最后算括号外的乘法； （6）先根据积不变的规律把改写成，把改写成，再根据乘法分配律的逆运算进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 25．（本题6分）解比例或方程。                    【答案】；； 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 分数除法的运算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 （1）根据等式的性质1和性质2解答； （2）（3）根据比例的基本性质，使内项积＝外项积，再根据等式的性质2解答。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 26．（本题4分）图形计算。 请计算该“右转危险区”的面积。（本题取3） 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此设置了“右转危险区”标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是以A为圆心所画的四分之一圆。 【答案】21平方米 【分析】如图所示，延长ED、BC交于点G，①的面积等于正方形CFDG的面积减去小扇形的面积，小扇形的面积等于半径为4米圆面积的，②的面积等于半径为10米圆面积的，“右转危险区”的面积＝正方形ABGE的面积－①的面积－②的面积，据此解答。 【详解】 ①的面积：4×4－3×42× ＝16－3×16× ＝16－3×（16×） ＝16－3×4 ＝16－12 ＝4（平方米） ②的面积：3×102× ＝3×100× ＝3×（100×） ＝3×25 ＝75（平方米） “右转危险区”的面积：10×10－4－75 ＝100－4－75 ＝96－75 ＝21（平方米） 所以，“右转危险区”的面积是21平方米。 【点睛】本题主要考查含圆的组合图形面积的计算方法，分析图形求出①的面积和②的面积是解答题目的关键。 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共14分） 27．（本题4分）按要求画一画。 （1）希望小学在体育中心的北偏东45°方向400米处，请用▲标出希望小学的位置。 （2）计划在距离体育中心300米处新建一个文化馆，请画出新建文化馆所有可能的位置。 【答案】（1）图见详解； （2）图见详解 【分析】（1）由题意知：希望小学距离体育中心实际距离为400米，地图的比例尺为1∶20000。根据：图上距离＝实际距离×比例尺，计算出希望小学和体育中心之间的图上距离，再根据上北下南，左西右东的图上方向，确定北偏东45°方向并作图标出希望小学的位置即可； （2）距离体育中心300米处新建一个文化馆，则距离体育中心的距离为300米的所有点都可能是文化馆的位置，根据比例尺1∶20000将300米换算成图上距离。即以体育中心为圆心，体育中心与文化馆的图上距离为半径画一个圆，圆周上所有位置都有可能是新建文化馆的位置。据此作图。 【详解】（1）400米＝40000厘米 40000×＝2（厘米） 希望小学的位置标注如下图： （2）300米＝30000厘米 30000×＝1.5厘米 下图中的圆周就是新建文化馆所有可能的位置 。 28．（本题10分）下面方格纸中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）把长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。若用分别表示旋转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数对表示分别是( )，( )，( )。 （2）线段CD旋转到的位置所扫过的面积是( )平方厘米，点C旋转到点的位置所经过的路线长( )厘米。 （3）在图中画出点O，再连接EO和FO，使三角形EFO成为一个以点F为直角顶点的等腰直角三角形，此时点E在点O的( )偏( )( )°方向。 【答案】（1）图见详解：A1（4，5），B1（4，2），C1（2，2）； （2）7.065平方厘米；4.71厘米； （3）图见详解；北；西；45 【分析】（1）根据旋转的特征，将长方形ABCD绕D点顺时针旋转90°，点D位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形；再根据用数对表示位置：第一个数表示列数，第二个数表示行数确定A1、B1、C1的位置即可； （2）线段CD旋转到C1D的位置扫过的面积等于半径等于DC的圆面积的，点C旋转到点C1的位置所经过的路线的长度等于半径等于DC的圆周长的；根据圆的面积＝πr2，圆的周长＝2πr列式计算即可； （3）等腰直角三角形：有一个角是直角，有两条边相等的三角形，据此确定点O的位置并画出三角形，再根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法及角度确定出位置即可。 【详解】（1）若用A1，B1，C1分别表示旋转后的A、B、C的对应点，则这三个点的位置用数对表示分别是A1（4，5），B1（4，2），C1（2，2）。 （2）3.14×32× ＝3.14×9× ＝28.26× ＝7.065（平方厘米） 2×3×3.14× ＝6×3.14× ＝18.84× ＝4.71（厘米） 线段CD旋转到C1D的位置所扫过的面积是7.065平方厘米，点C旋转到点C1的位置所经过的路线长4.71厘米。 （3）点E在点O的北偏西45°方向。 （1）（3）作图如下： 【第三部分】生活实际与综合应用 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共26分） 29．（本题3分）富乐国际恒温游泳馆冬天使用天然气加热泳池，采用新的节能技术后，12月每天用天然气420立方米，比上个月每天节约120立方米，那么原来可用20天的天然气，现在约多用多少天？（只保留整数部分） 【答案】6天 【分析】先根据“每天节约的立方数×原来可用的天数＝可节约的立方数”，用120乘20计算出原来可用20天的天然气总共节约的立方数。再用节约的天然气立方数除以420，结果用“四舍五入”法保留整数即可。 【详解】120×20÷420 ＝2400÷420 ≈6（天） 答：现在约多用6天。 30．（本题3分）2024年6月我国嫦娥六号从月球背面的艾特肯盆地采集月壤成功，引起全世界的高度关注。艾特肯盆地被公认为是月球上最大、最古老、最深的盆地，最深处的深度大约是12800米，比世界上著名的淡水湖——贝加尔湖最深处深度的7倍还多1341米，贝加尔湖最深处的深度有多少米？ 【答案】1637米 【分析】根据题意，艾特肯盆地最深处的深度比贝加尔湖最深处深度的7倍还多1341米，即贝加尔湖深度的7倍加上1341米等于艾特肯盆地的深度，设贝加尔湖最深处的深度有x米，由此列出方程7x＋1341＝12800，再根据等式性质，解方程即可。 【详解】解：设贝加尔湖最深处的深度有x米。 7x＋1341＝12800 7x＋1341－1341＝12800－1341 7x＝11459 7x÷7＝11459÷7 x＝1637 答：贝加尔湖最深处的深度有1637米。 31．（本题4分）某乡村农田安装了AI农业灌溉系统，它能根据土壤湿度、天气情况自动调节灌溉量，比传统灌溉节省用水30%。 (1)该系统控制的农田是一块长200米、宽150米的长方形，在设计图上，该农田的长是8厘米。这张设计图的比例尺是多少？ (2)AI农业灌溉系统还能统计灌溉数据，已知该农田每次传统灌溉需用水180吨，每月灌溉4次。使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省多少吨水？ 【答案】(1) (2)216吨 【分析】解答这道题需明确：比例尺是一幅图的图上距离与实际距离的比。求一个数的百分之几是多少，用乘法。高级单位化成低级单位要乘进率；1米＝100厘米。 （1）题目中已知该农田图上的长为8厘米，实际的长为200米，统一单位后，写出图上的长与实际的长的比并化简即可。 （2）题目中已知该农田每次传统灌溉需用水180吨，每月灌溉4次，安装了AI农业灌溉系统，比传统灌溉节省用水30%。表示节省的水量占传统灌溉用水量的30%，先求出每月4次的传统灌溉用水量，再乘30%解答即可。 【详解】（1）200米＝20000厘米 答：这张设计图的比例尺是。 （2） （吨） 答：使用AI农业灌溉系统后，该农田每月能节省216吨水。 32．（本题5分）如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】(1)反比例 (2)320圈 【分析】（1）齿轮转动中，两齿轮在相同时间内的总齿数相等。即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，那么每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （2）根据每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系，可得出等量关系：小齿轮的齿数×小齿轮每分钟转的圈数＝大齿轮的齿数×大齿轮每分钟转的圈数，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】（1）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是反比例关系。 （2）解：设小齿轮每分钟转圈。 15＝60×80 15＝4800 ＝4800÷15 ＝320 答：小齿轮每分钟转320圈。 33．（本题5分）阅读材料回答下列问题。 水是人类发展不可缺少的自然资源，是人类和一切生物赖以生存的物质基础。生物体内含水量占体重的60%~80%，甚至90%以上。人体内的含水量占体重的，为了维持人类正常的生理代谢，每人每天至少需要饮用2.5升的水。 我国是一个干旱缺水的国家，全国约有660个城市，其中的城市供水不足，在这些供水不足的城市中，又有的城市严重缺水。所以保护水资源是我们每个人的责任。 (1)爸爸的体重是78kg，他体内大概含水多少千克？ (2)全国严重缺水的城市大约有多少个？ (3)为了鼓励居民节约用水，某地的自来水公司规定：每户每月用水15吨（含15吨）按每吨2.3元收费；超过15吨后，超出的部分按每吨5.5元收费。小涵家上月共交水费62元，小涵家上月用水多少吨？ 【答案】(1)52千克 (2)110个 (3)20吨 【分析】小题（1）直接根据体重与含水比例（）计算；小题（2）需分步计算：先求供水不足城市数（占总数的），再求其中严重缺水的部分（占供水不足的）；小题（3）为阶梯水费问题，需先判断用水量是否超过15吨基准量，再分段计算超额部分。 【详解】（1）78×＝52（千克） 答：他体内大概含水52千克。 （2）660＝440（个） 440＝110（个） 答：全国严重缺水的城市大约有110个。 （3）152.3＝34.5（元） 62 ＞ 34.5 62-34.5＝27.5（元） 27.55.5＝5（吨） 15＋5＝20（吨） 答：小涵家上月用水20吨。 34．（本题6分）某社区为改善老旧道路，计划用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15米的人行道。工程队联系了搅拌站，混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5（每立方米混凝土总质量约2400千克）。搅拌站有一辆圆柱形搅拌车，罐体内部长（圆柱的高）5米、底面直径2米（π取3.14），每次搅拌需预留10%的空间防止溢出。 （1）铺设这条人行道需要多少立方米混凝土？按配比计算，需要水泥、沙子、石子各多少吨？（1吨＝1000千克） （2）搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是多少？若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要多少车次才能完成任务？（结果保留整数） 【答案】（1）混凝土120立方米；水泥57.6吨；沙子86.4吨；石子144吨 （2）14.13立方米；6车次 【分析】（1）已知用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15米的人行道，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出混凝土的体积，再乘每立方米混凝土的质量，求出铺设这条人行道需混凝土的总质量，并根据进率“1吨＝1000千克”换算单位。 已知混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5，即水泥、沙子、石子的质量分别占混凝土总质量的、、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别求出铺设这条人行道需要水泥、沙子、石子的质量。 （2）已知圆柱形搅拌车的罐体内部长5米、底面直径2米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出搅拌车罐体的容积； 把搅拌车罐体的容积看作单位“1”，已知每次搅拌需预留10%的空间防止溢出，则每次实际可运输混凝土的体积是罐体容积的（1－10%），单位“1”已知，用罐体容积乘（1－10%），求出搅拌车每次实际可运输的混凝土体积。 若每天需铺设80立方米混凝土，求完成任务至少需要的车次，用每天需铺设混凝土的体积除以搅拌车每次实际可运输的混凝土体积即可，计算结果根据“进一法”保留整数。 【详解】（1）混凝土体积：200×4×0.15＝120（立方米） 总质量：120×2400＝288000（千克） 288000千克＝288吨 水泥：288× ＝288× ＝57.6（吨） 沙子：288× ＝288× ＝86.4（吨） 石子：288× ＝288× ＝144（吨） 答：铺设这条人行道需要120立方米混凝土。按配比计算，需要水泥57.6吨，沙子86.4吨，石子144吨。 （2）圆柱的底面半径：2÷2＝1（米） 搅拌车罐体的容积： 3.14×12×5 ＝3.14×1×5 ＝15.7（立方米） 实际可运输： 15.7×（1－10%） ＝15.7×0.9 ＝14.13（立方米） 至少需要运： 80÷14.13≈6（车次） 答：搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是14.13立方米。若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要6车次才能完成任务。 【点睛】（1）本题考查长方体体积公式的应用以及按比分配问题，把比转化成分数，再根据分数乘法的意义求解。 （2）先根据圆柱的容积公式求出搅拌车罐体的容积，再把它看作单位“1”，得出实际运输混凝土的体积是罐体容积的（1－10%），根据百分数乘法意义求出实际运输混凝土的体积；最后计算运输车次时要根据“进一法”保留整数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $