4.3公式法 自主达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《4.3公式法》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B．8 C． D．6 5．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 7．若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 8．将两个正方形，如图摆放，点E在上，点G在上，若两个正方形面积之和为58，，则图中阴影部分面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 二、填空题（满分24分） 9．_________=(_________)2 10．因式分解：_____． 11．因式分解： _________ ． 12．分解因式：___________． 13．若，则的值为______． 14．不论，取何实数，式子的值总是________． 15．由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 16．如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是___________（用含的式子表示）． 三、解答题（满分72分） 17．分解因式： (1)； (2)； (3)． 18．在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 19．简便运算： (1) (2) 20．在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 21．先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：令，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若m为正整数，则为整数的平方，请说明理由． 22．常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述方法的其中一种无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式子的因式分解．具体过程如下： ． 像这种将一个多项式适当分组后，进行因式分解的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)已知，且，求的值． 23．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 参考答案 1．D 【分析】本题考查因式分解的正确性判断，包括完全平方公式、平方差公式、提取公因式法，解题关键是确保分解彻底且变形正确． 【详解】解：选项A：，分解错误． 选项B：，选项提取公因式不彻底，分解错误． 选项C：，选项未分解彻底，错误． 选项D：，分解正确． 因此，因式分解正确的是选项D． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式． 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 3．C 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，将分解因式，再代入已知条件计算的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 4．B 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 5．B 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式、整体代入法求代数式的值，先利用平方差公式对所求代数式进行因式分解，可得：原式，再将分解后的式子与已知条件建立联系，代入计算即可得出结果. 【详解】解： ， ，， 原式 ． 故选：B． 6．D 【分析】此题考查了因式分解的应用，将两个已知等式相减，利用平方差公式及的条件求出的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可． 【详解】解：∵①，② ∴得 ∴ 又∵，即 ∴， ∴． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，将代数式分解因式，利用三角形三边关系得，，然后判断符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵，，是三角形三边， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即原代数式的值小于零， 故选：． 8．C 【分析】本题考查了因式分解和完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设，，根据题意可得，，再由完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：设，， 由题得，， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过完全平方公式，比较系数求解空白处的值． 【详解】解：设空白处为常数 和数值 ，则有 ， ∴ ， 解得 ， 则 ． 故答案为： ； 10． 【分析】直接套用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 11． 【分析】先提公因式，再利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 12． 【分析】本题考查因式分解，先分组得到，再利用完全平方公式分解因式，进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．9 【分析】将所求多项式利用完全平方公式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式因式分解，得 ， 将代入，得 原式． 14．非负数 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，利用完全平方公式将原式变形为，根据平方的非负性，得出表达式值总是非负数． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴不论，取何实数，式子的值总是非负数， 故答案为：非负数． 15．4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 16． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，拼成的大正方形面积等于9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，因此求出9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，再利用完全平方公式把面积的表达式分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴拼成的大正方形的边长为， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． (1)用十字相乘法分解因式； (2)用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， （2）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， ． 21．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识，难度中等． （1）设，则可化为，即，再将代入，即可解答； （2）将原式化为，令，则原式化为，即，由A为正整数，得到为整数的平方，即可解答． 【详解】（1）解：设， 则 ； （2）解：原式 令， ∵m为正整数， ∴是正整数， 则原式 ， ∵A为正整数， ∴为整数，故原式为整数的平方． ∴若m为正整数，则为整数的平方． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． （1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； （2）先分组，然后提公因式，然后利用平方差公式与完全平方公式因式分解，即可求解； （3）对进行因式分解，可得，则可得，两边同时乘以即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ，即， 两边同时乘以可得， ． 23．(1)， (2)图见解析， 【分析】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需B卡片，C卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可． 【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∵B卡片面积为，C卡片面积为， ∴需要B卡片2张，C卡片3张； （2）解：如图 学科网（北京）股份有限公司 $