4.3 公式法(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 八年级下册（北师大版） Vx2+4,AC=VBC2+AB=V(12-x+49。.∵AC+CE= ②。由①②得方程组 4a*b=30,解得a=13,b=-2。 V(12-x)449+V+4。连接AE。AC+CE≥AE, a+b=-9。 代数式V(12-x)+49+Vx+4的最小值为AE的长。过 2提公因式法（第1课时） 点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,.EF=BD= 1.42b22.-my3.4y4.1 5.C6.A7.D8.B 12,BF=DE=2。AF=AB+BF=9。.AE=VAF2+EF2= 9.(1)4xy2(3x-2y)(2)5xye-2yz)(3)3m(2m2- V99+12=15。.代数式的最小值为15。 3m-1)(4)-2ab(2a2b2-3a+b）(5)-5xyz(x+2y-1) (6)a(5ad+a2-2a-3）或-d(3+2a--5a3) 10.解：(1)1980 (2)原式=2024x(2024-2)-2022 20242×(2024+1)-2025 2022×(20242-1)2022674 2025×(20242-1)2025675° 11.(1)解：ab+ba=(10b+a)+(10a+b)=10b+a+10a+ 图 图2 第3题答图 b=11b+11a=11(b+a)。11(b+a)是11的倍数，.ab+ba能 4.解：如图1，将△AMD绕点A逆时针旋转60° 被11整除。 (2)证明：ababab=100000a+10000b+ 得到△AMD',MD=MD。AM'=AM,AD'=AD。 1000a+100b+10a+b=101010a+10101b=10101(10a+b)= △ADD'和△AMM'均为等边三角形。.AM=MM'。MA+ 1443x7(10a+b)。a,b为整数，且a>0,b≥0,1443× MD+ME=D'M'+MM'+ME。·.当D'M,MM',ME共线 7(10a+b)能被7整除，.形如ababab的六位数都能被 时最短。由于点E也为动点，.当DE⊥BC时，D'E= 7整除。 D'G+GE最短。此时ME在长方形AD,BC两边中点 12.m(x-2y）13.a(a-1)14.ab(amb)15.a(a+13)》 的连线上（如图2）。最小值为D'E=GE+D'G=500+ 2提公因式法（第2课时） 400V3≈1193(m)。最少费用为1193x500=596500 1.5(a+b)(x-y）2.p(p-1)P(p+1)3(1-2p）3.-35 (元)。答：当ME在长方形AD,BC两边中点的连 4.±1475.C6.D7.D8.B 线上时，修建专用车道的费用最少，最少费用为 9.(1)(x+y)(a+b-c）(2)(m-n)4(3)(x-2y): 596500元。 (x+2y-1)(4)5b(a-b2(2a㎡2-2ab-1) (5)-2(x D' y)(xy-1)(6)(a-b-c)2 10.解：(1)提公因式法2(2)2026次， (1+x)27。(3)原式=(1+x)[1++x(+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)-]=(x+1)(x+1)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+ 1)-2]=…=(x+1)(x+1)=(x+1)。(4)令x=4,则 1-4+1-5。原式-}x45+5454+)子×45t E 4灯4x5+45)=号×（1+44x5+4x544x5++ 图1 图2 第4题答图 4k5)-5]=子×(1+44x5+54x5++4x灯)子 4 第四章因式分解 1+4)2_5=5(5m-1)。 4 -4=4 1因式分解 11.a(a-b)12.813.B 1.整式乘法2.因式分解3.-154.B5.A 3公式法（第1课时） 6.D7.C 1.ab(a+3b)(a-3b)2.答案不唯一，如-b 8.解：(1)-(c),(2)-(b),(3)-(a)。 3.(x-3)4.x"(x+1)(x-1)5.1106.4050 9.解：图2对应：+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),图3 7.C8.B9.A 对应：ad2+b2+2c2+2ab+3ac+3bc=(a+b+c)(a+b+2c)。 10.(1)x(y+7)0-7)(2)2(2a-3b+2x)(2a-3b 10.证明：原式=326×(9-3-1)=5×32×324-45×324，所 以能被45整除。 2x) (3)+301-34)(1+1-=y) 11.解：(1)令x-2=0,即当x=2时，4+2k-8-0, 11.(1)2340(2)128000 解得k=2。·.该多项式为x2+2x-8。设另一个因式为x+ 12.(1)解：992-962=(99+96)×(99-96)=195x3=585。 a,则x2+2x-8=(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a,则-2a=-8。 (2)证明：设这两个连续的3的倍数为3n和3n+3 .a=4。.该多项式的另一个因式为x+4。(2)令 (其中n为整数)，则它们的平方差可以表示为(3+3)2- x=-2,则-16+4a-14+b=0①。令=1，则2++7+b-0 (3n)2。(3n+3)2-(3n)2=(3n+3+3n)(3n+3-3n)=3(6n+3)=9 参考答案与提示 (2n+1)。n为整数，.2n+1也是整数。.9(2n+1)一定 15.(1)证明：3m+n=b 是9的倍数。.两个连续的3的倍数的平方差一定是 ,mn=名，a是实数， 9的倍数。 .b=a(3m+n),c=amn,b2-12ac=[a(3m+n)P-12amn= 13.(1)解：2028=5082-506。(2)证明：设 d(9m2+6mn+n2)-12amn=d2(9m2-6n+m2)=a2(3m-n)2。 两个连续的偶数为2n,2(n+1),n为正整数，则完美 a,m,n是实数，a2(3m-n)2≥0。.b2-12ac为非负 数为[2(n+1)]2-(2n)2,.[2(n+1)]2-(2n)2=[2(n+1)- 数。(2)解：m,n不可能都为整数。理由：若m, 2n][2(n+1)+2n]=4(2n+1)。2n+1为奇数，.4(2n+1) n都为整数，可能有两种情况：m,n都为奇数；m,n 能被4整除。.任意一个完美数都能够被4整除。 为整数，且其中至少有一个为偶数。①当m,n都为 (3)解：根据题意，得阴影部分的面积为42-22+82-6+ 奇数时，则3m+n必为偶数。由(1)知b=a(3m+n), …+282-26=(4-2)×(4+2)+(8-6)×(8+6)+…+(28-26)× a为奇数，.a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾。 (28+26)=2×(4+2)+2×(8+6)+…+2×(28+26)=2×(2+4+6+ ②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则 8++26+28)=2x14x(2+28】=-420。 mn必为偶数。由(I)知c=amn,又，a为奇数， 2 :ammn必为偶数，这与c为奇数矛盾。综上所述，m, 14解：(1)13292-8x11,172-32-8x35。 (2)规 n不可能都为整数。 律：任意两个奇数的平方差是8的倍数。证明：设m, 第五章分式与分式方程 n为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1,则(2m+ 1分式及其基本性质（第1课时） 1)2-(2n+1)2=[(2m+1)+(2n+1)][(2m+1)-(2+1)]=4(m- n)(m+n+1)。当m,n同是奇数或偶数时，(m-n)一定 1-312号n品4 m-x 为偶数，所以4(m-n)一定是8的倍数；当m,n为一 5.B6.D7.C8.(1)x≠4(2)x≠±5 奇一偶时，(m++1)一定为偶数，所以4(m++1)一定 9.x≠1且x≠-4.10.m≤3且m≠0。 是8的倍数。所以任意两个奇数的平方差是8的倍数。 11.解：m>1。x2-2x+m=(x-1)2+m-1,若x无论 15.解：(1)9x3-2=x(9x2-y2)=x(3x-y)(3x+y）。 取什么值时，(x-1)P+m-1≠0，必须m-1>0,m>1。 当x=10,y=10时，3x-y=3×10-10=20,3x+y=3×10+ 12.解：(1)当+=0时，分式-b无意义。 10=40,.六位数密码可以是102040或104020或 x+a 201040或204010或401020或402010。(2)x= x=-2,-2+=0。a=2。当x-b=0时，分式-b的值 25,这个六位数密码为242527，.24=25-1,27=25+2， x+a 将多项式x3+px2+qx因式分解后，得到的因式分别 为0，又当x=1时，此分式的值为0,1-b=0。b= 为(x-1),x,(x+2),x3+px2+qx=x(x-1)(x+2)。 1。.a的值为2，b的值为1。(2)当a=2,b=1时， x(x-1)(x+2)=x3+x2-2x,p=1,9=-2。 分式2a=4 16.解：(1)原式=d2-4+4-6a+8=(-4)-6a+12= 品者。“分式年的值为正禁数，x+1日 (a-2)(a+2)-6(a-2)=(a-2)(a-4)。(2)由条件可得 或x+1=2或x+1=4。∴x=0或x=1或x=3。.整数x的 (a2-b2)c2=(2-b2)(+b2),.(2-b2)(a2+b2-c2)=0。.d2- 值为0或1或3。 b2=0或d+b2-c2-0。.a=b或d+b2=c2。△ABC是等腰 13.解：由题意，知提速前列车跑完全程所用的时 三角形或直角三角形。 间为101，提速后跑完全程所用的时间为测山。 17.(m+4)(m-4)18.7(m+2)(m-2)19.(x+ 3)(x-3) 提速后列车跑完全程节省了1500-1500 。t450h。 3公式法（第2课时） 14.1(答案不唯一)15.0（答案不唯一）16.A 1.x(x-3)22.(y+1)0-1)(x+1)23.1804.a+3b 1分式及其基本性质（第2课时）】 5.B6.D7.C 1.×或÷（答案不唯一）2. ,3.3x+1 &④4a-1y2)e-2y3)2+g ,12 4.1 1 6.D7.C8.D 4)-7b-2y x-Y 9.(1)-3c 9.(1)(x+2y)3(x-2y)(2)(a-b)4(3)(a+b)A 2d 2熟品 (4)解：原式=[(x2+3x)-2][(x2+3x)+4]+9=(x2+3x+1)）2。 (3)解：原式=(2y+x)(2y-x)=2y+x 10.(1)121(2)90000 (x-2y)2 2y-x1 11.解：小强猜想的结论是正确的。n(n+1)(n+ 10w品6子②2驶，昌 2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n2+3m)(n2+3n+2)+ 11.解：由题意，知加人mg糖之前糖水的含糖率 1=(n2+3n+1)2,且n是任意正整数。.(n2+3n+1)一定 也是一个正整数。.任意四个连续的正整数的积与1 为 -。:加入mg糖之后，糖水的质量为(a+m)g, 的和一定是一个完全平方数。 12.2(-3y)213.±1214.D 其中含糖为(b+m)g,∴此时含糖率为+m。由分式 a+m 8因式分解 第四章 公式法（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题因式分解：-a2+(2a-3b)2。 【分析】先将前后两项交换位置，变形为(2a-3b)2-2,再利用平方差公式因式分解， 2a-3b和a可以分别看成公式中的“a”和“b”。 【解答】-a2+(2a-3b)2=(2a-3b)2-=(2a-3b+a)(2a-3b-a)=(3a-3b)(a-3b)=3(a-b)(a-3b)。 【点拨】能利用平方差公式因式分解的多项式的结构特征：首先，多项式为两项的形式 (或能转化为两项差的形式)，且两项的符号相反；其次，这两项都可以写成平方的形式。此 处还要注意：分解后的各个因式，能分解的要继续分解，能合并同类项的要进行合并。 基础巩固达标闯关 1.因式分解：db-9ab3= 2.若多项式4d+M能用平方差公式因式分解，则单项式M= (写出一个即可)。 3.一个长方形的面积是(x2-9)m2,其长为(x+3)m,则这个长方形的宽为 mo 4.因式分解：x+2-x”= 5.在一边长为12.75cm的正方形中，挖去一边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面 积是 cm。 6.若x+y=2025,x-y=2,则代数式x2-y2= 7.下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是()》 A.x2-xy B.x2+xy C.-x2+y2 D.x2+y2 8.将多项式5-5b2因式分解，正确的结果是() A.5(1-b2) B.5(1+b)(1-b) C.(1+5b)(1-5b) D.5(1-b)2 9.若(3x-y2)M=y4-9x2,则M等于() A.-(3x+y2) B.-y2+3x C.3x+y2 D.-3x+y2 10.将下列多项式因式分解。 (1)xy2-49x。 (2)2(2a-3b)2-8x2。 (3)-25+121。 (4)1-(x+y)2。 4 89 口数学 八年级下册（北师大版） 能力提升脚综合拓展 -卡多 11.利用因式分解计算下列各题。 4922-02。 (2)2022-542+256×352。 12.(1)用简便方法计算992-96。 (2)请证明：任意两个连续的3的倍数的平方差一定是9的倍数。 13.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”。 例如：12=42-22,20=62-42,28=82-62，则12,20,28这三个数都是完美数。 (1)按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（要求直接写出）。 (2)证明：任意一个完美数都能够被4整除。 (3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形ABCD, 其边长为28，求阴影部分的总面积。 第13题图 *14.老师在黑板上写了三个算式：52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8x27,小华接着又写了 两个具有同样规律的算式：112-5=8×12,152-7=8×22。 (1)请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式。 (2)用文字写出反映上述算式的规律，并验证这个规律的正确性。 0 因式分解 第四章 15.生活中我们经常用到密码，如到银行取款。有一种用“因式分解法”产生的密 码，方便记忆，其原理是将一个多项式因式分解，如多项式x4-y4,因式分解的结果为(x y)(x+y)(x2+y2),当x=9,y=9时，各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是018162 或016218或180162或181620或162180或162018均可作为一个六位数密码。 (1)对于多项式9x3-x2,当=10，y=10时，写出用上述方法产生的一个六位数密码。 (2)对于多项式x3+px2+9x,当=25时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527， 请根据这个密码求出多项式中p,q的值。 16.对于形如x2+2xa-3a2的二次三项式，不能直接运用平方差公式因式分解，我们可以 在二次三项式x2+2xa-32中先减去一项2，使它与x2构成两项平方差的形式，再加上2，于 是有x2+2xa-3a2=x2-2+a2+2a-32=(x2-d2)+(2xa-22)=(x+a)(x-a)+2a(x-a)=(x-a)(x+3a)0 先认真阅读上面的因式分解的过程，在理解的基础上，依照上述的方法解决下列问题。 (1)请对多项式2-6a+8进行因式分解。 (2)已知a,b,c为△ABC的三边，且满足ac2-b2c2=a-b4,试判断△ABC的形状。 中考链接©真题演练 17.(2025山西)因式分解：m2-16= 18.(2025·北京)因式分解：7m2-28= 19.(2025·苏州)因式分解：x2-9= 91