10.3 实际问题与二元一次方程组（讲义）数学新教材人教版七年级下册

第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 知识点一 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： ★1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. ★2、找等量关系的方法： （1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有:“比”“是”“等于”等； （2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； （3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系. ★3、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 知识点一 实际问题中的基本数量关系： ★行程问题：路程=速度×时间； ★工程问题： ①工作量＝人均效率×人数×时间； ②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量； ★销售问题： ①利润＝售价﹣进价，利润率100% ②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣 题型01 行程问题 1. 设速度 / 时间为 x、y. 2. 画线段图找等量. 3. 列方程组→解→验→答. 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽池州·期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 3．（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 4．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 题型02 工程问题 1. 设效率 / 天数为 x、y 2. 把总工作量看作 1 3. 按合作 / 单独做列方程 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）某企业承接了17000件文创产品生产订单，计划安排甲、乙两个车间共30名工人利用现有设备合作生产20天完成．已知甲车间每人每天能生产25件，乙车间每人每天能生产30件． (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ (2)为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．方案二：乙车间再临时招聘5名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输费1600元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 题型03 销售利润问题 1. 设进价 / 标价 / 数量为 x、y 2. 按利润、折扣、总价列方程 典｜例｜精｜析 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽阜阳·一模）第十二届世界运动会于年月日至日在四川成都举行，某经销店调查发现：吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受青少年喜爱．已知购进3个“蜀宝”比购进个“锦仔”多用元；购进个“蜀宝”和个“锦仔”共用元．该商店决定购进“蜀宝”和“锦仔”各个，其总费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26七年级上·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 3．（24-25八年级上·江西抚州·期末）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元 素材二 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 问题解决 (1)任务1：求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)任务2：某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 题型04 和差倍分问题 1. 直接设所求量为 x、y 2. 按文字描述列等式 典｜例｜精｜析 【例题4】（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 变｜式｜巩｜固 1．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 3．在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？ 4.（25-26八年级上·甘肃白银·期末）某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 题型05 配套问题 1. 设两种物件数量为 x、y 2. 按配套比例列方程（如 1:2） 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26九年级上·重庆·月考）某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 3．（2024秋•沙坪坝区校级期末）某工厂需要生产一批三人扭腰器（如图），每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产扶手架的个数比扭腰盘的个数少12个，且每天6个工人生产的扶手架数量与5个工人生产扭腰盘的数量相同． （1）工厂每人每天平均生产扶手架和扭腰盘各多少个？ （2）现共有42名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘配套？ 4．（25-26七年级上·山东临沂·期末）完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 题型06 数字问题 1. 设十位为 x，个位为 y 2. 按数字关系列方程 典｜例｜精｜析 【例题6】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 3．有一个三位数，各数位上的数字之和是15，个位数字与百位数字的差是5；如果颠倒各数位的数字的顺序，则所成的新数比原数的3倍少39．求这三位数． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 题型07 几何图形问题 1. 设长 / 宽 / 边长为 x、y 2. 按周长 / 面积公式列方程 典｜例｜精｜析 【例题7】如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 3．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    4．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 题型08 方案选择问题 1. 设两种方案的量为 x、y 2. 按费用相等列方程3. 计算并比较最优方案 典｜例｜精｜析 【例题8】（2026·四川宜宾·一模）某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（   ）种采购方案 A．2 B．3 C．4 D．5 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·重庆·月考）【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 2．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 3．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 5．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 知识点一 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： ★1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. ★2、找等量关系的方法： （1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有:“比”“是”“等于”等； （2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； （3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系. ★3、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 知识点一 实际问题中的基本数量关系： ★行程问题：路程=速度×时间； ★工程问题： ①工作量＝人均效率×人数×时间； ②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量； ★销售问题： ①利润＝售价﹣进价，利润率100% ②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣 题型01 行程问题 1. 设速度 / 时间为 x、y. 2. 画线段图找等量. 3. 列方程组→解→验→答. 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是根据相等关系列方程组；根据总路程和总时间的两个等量关系列方程组，核心是运用“时间=路程÷速度”的公式． 【详解】解：∵ 总路程为，乘车路程为，步行路程为， ∴ ， ∵ 总时间为，且时间=路程÷速度，汽车速度为，步行速度为， ∴ 乘车时间为，步行时间为， ∴ ， ∴方程组为， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决流水行船问题，根据顺水速度、逆水速度与静水速度、水流速度的关系列出方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， ∵顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 ∴根据题意列方程组得： 将两个方程相加得：， 解得。 把代入得：，解得。 ∴轮船在静水中的速度是，水流速度是。 故选：C 2．（25-26七年级上·安徽池州·期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【详解】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则 两式相加得， ∴． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 3．（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答． 【详解】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 4．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 题型02 工程问题 1. 设效率 / 天数为 x、y 2. 把总工作量看作 1 3. 按合作 / 单独做列方程 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】(1) (2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）某企业承接了17000件文创产品生产订单，计划安排甲、乙两个车间共30名工人利用现有设备合作生产20天完成．已知甲车间每人每天能生产25件，乙车间每人每天能生产30件． (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ (2)为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．方案二：乙车间再临时招聘5名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输费1600元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 【答案】(1) 甲车间有10名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产 (2) 应选择方案一更节省开支 【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y名工人参与生产，根据计划安排甲、乙两个车间共30名工人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为17000个列方程组，解方程组即可解决问题； （2）先求得企业完成生产任务所需的时间；分别求得需增加的费用，再比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车间各有x、y名工人参与生产， 根据题意，得， 解得， 答：甲车间有10名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产； （2）解：企业完成生产任务所需的时间为：（天）． ∴选择方案一需增加的费用为（元）． 选择方案二需增加的费用为（元）． ∵， ∴选择方案一能更节省开支． 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 【答案】(1)甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件 (2)甲车间抽调人数后有16人，乙车间抽调人数后有25人 (3)方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天 【分析】（1）设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设每个车间被抽走人，根据“抽调后两个车间每天生产总和不变”进行列式求解即可； （3）设甲车间工作天，乙车间工作天，根据题意列出二元一次方程，再求出符合要求的解即可． 【详解】（1）解：设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件， ， 解得， 答：甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件； （2）解：设每个车间被抽走人， 抽调前 抽调后 车间效率 个人效率 人数 个人效率 人数 车间效率 甲 500 25 20 30 和不变 乙 580 20 29 24 ∴ 解得， ∴甲车间人数：（人）；乙车间人数：（人）； （3）解：由（2）得，甲车间抽调后每天生产480个零件，乙车间抽调后每天生产600个零件， 设甲车间工作天，乙车间工作天， 由题意得，， ∴符合要求的解为， ∴方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天． 题型03 销售利润问题 1. 设进价 / 标价 / 数量为 x、y 2. 按利润、折扣、总价列方程 典｜例｜精｜析 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽阜阳·一模）第十二届世界运动会于年月日至日在四川成都举行，某经销店调查发现：吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受青少年喜爱．已知购进3个“蜀宝”比购进个“锦仔”多用元；购进个“蜀宝”和个“锦仔”共用元．该商店决定购进“蜀宝”和“锦仔”各个，其总费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．先设出两种吉祥物的单价，根据题意列方程组，求解单价后计算总费用即可． 【详解】解：设个“蜀宝”进价为元，个“锦仔”进价为元， 根据题意得， 将两个方程相加，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴总费用为元． 2．（25-26七年级上·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第一次和第二次购买的总价建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江西抚州·期末）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】(1)大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元 (2)3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 根据题意得：，解得： 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）解：根据题意得： 元 答：该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需3360元． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元 素材二 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 问题解决 (1)任务1：求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)任务2：某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【答案】(1)3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个 (2)选择促销方案①更合适，理由见解析 【分析】（1）设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个，根据“3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元”建立二元一次方程组求解即可； （2）分别计算两个方案的费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个． 根据题意得， 解得． 答：3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个； （2）解：选择促销方案①所需费用为（元）； 选择促销方案②所需费用为（（元）， 因为，所以选择促销方案①更合适． 题型04 和差倍分问题 1. 直接设所求量为 x、y 2. 按文字描述列等式 典｜例｜精｜析 【例题4】（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：设黑色的有块，白色的有块， ∴， 解得，， ∴白色皮块的块数为， 故选：B ． 变｜式｜巩｜固 1．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故选：C 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 【答案】 租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 【分析】设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； 【详解】解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆， 根据题意得：， 解得：， 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． 3．在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？ 【答案】甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米 【分析】设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米，再根据题意列出二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米， 由题意得， 解得：， 答：甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米． 4．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【答案】小型车位200个，车位100个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出其中的等量关系是解答本题的关键． 设小型车位有x个，车位有y个，根据共设小型车位和车位300个、全部满位1小时，总收费700元各列一个方程，组成二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小型车位有x个，车位有y个，由题意，得 ， 解得． 所以小型车位有200个，车位有100个． 题型05 配套问题 1. 设两种物件数量为 x、y 2. 按配套比例列方程（如 1:2） 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26九年级上·重庆·月考）某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量． 等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 3．（2024秋•沙坪坝区校级期末）某工厂需要生产一批三人扭腰器（如图），每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产扶手架的个数比扭腰盘的个数少12个，且每天6个工人生产的扶手架数量与5个工人生产扭腰盘的数量相同． （1）工厂每人每天平均生产扶手架和扭腰盘各多少个？ （2）现共有42名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘配套？ 【分析】（1）设工厂每人每天平均生产扶手架x个，每人每天平均生产扭腰盘y个，根据每人每天平均生产扶手架的个数比扭腰盘的个数少12个，且每天6个工人生产的扶手架数量与5个工人生产扭腰盘的数量相同，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设x名工人生产扶手架，则（42﹣x）名工人生产扭腰盘，根据每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设工厂每人每天平均生产扶手架x个，每人每天平均生产扭腰盘y个， 由题意得：， 解得：， 答：工厂每人每天平均生产扶手架60个，每人每天平均生产扭腰盘72个； （2）设x名工人生产扶手架，则（42﹣x）名工人生产扭腰盘， 由题意得：3×60x＝72（42﹣x）， 解得：x＝12， ∴42﹣x＝42﹣12＝30， 答：12名工人生产扶手架，30名工人生产扭腰盘，才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 4．（25-26七年级上·山东临沂·期末）完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】【任务一】每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套； 【任务二】每副镜架的出厂价应定为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用和利润率的计算，关键是理解配套关系和利润率的公式． 任务一：根据“每副镜架由1个镜框和2个镜腿配套”，得到镜腿数量是镜框数量的2倍，据此列方程求解； 任务二：根据“利润率=利润÷成本”先算出利润，再由“出厂价成本利润”利用方程计算出厂价． 【详解】任务一： 解：设分配名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． ∵每副镜架需要1个镜框和2个镜腿， ∴镜腿的日产量应是镜框日产量的2倍， 可得方程， 解得， 则生产镜腿的工人数量为(名)． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套． 任务二： 解：设每副镜架的出厂价应定为元． 由题意，得，解得． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 题型06 数字问题 1. 设十位为 x，个位为 y 2. 按数字关系列方程 典｜例｜精｜析 【例题6】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 【答案】21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 【答案】35 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为8和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新数比原数大18，得，化简得，即． 解方程组，解得， 故原数为． 故答案为：35． 3．有一个三位数，各数位上的数字之和是15，个位数字与百位数字的差是5；如果颠倒各数位的数字的顺序，则所成的新数比原数的3倍少39．求这三位数． 【答案】267． 【分析】根据题意可得到本题的等量关系，个位上的数字+十位上的数字+百位上的数字＝15，（个位上的数字+10×十位上的数字+100×百位上的数字）×3﹣39＝100×个位上的数字+10×十位上的数字+百位上的数字，个位数字﹣百位数字＝5，根据以上条件可列出方程组． 【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x﹣5， 依题意有 解得， 所以，百位上的数字为2 所以，这三位数是267． 答：这三位数是267． 【点睛】在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 【答案】 【分析】设十位数字为，个位数字为，通过看到的里程碑上的数字关系列方程，再用含与的代数式表示与看到的数，利用等量关系列方程 即可． 【详解】解：设他看到的数的十位数字为，个位数字为，则这个两位数可以表示为． 由题意，得 解得 故他看到的两位数是． 答：他看到的两位数是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组的应用：里程碑上的数的问题，掌握两位数与数字关系是解题的关键． 题型07 几何图形问题 1. 设长 / 宽 / 边长为 x、y 2. 按周长 / 面积公式列方程 典｜例｜精｜析 【例题7】如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．根据题意可知，本题中的相等关系是“周长为”和“小长方形的两个长等于一个长加两个宽”，列得方程组进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则， 解得， 所以每块小长方形的面积为， 故选：． 2．（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 3．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【答案】，见解析 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 4．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 题型08 方案选择问题 1. 设两种方案的量为 x、y 2. 按费用相等列方程3. 计算并比较最优方案 典｜例｜精｜析 【例题8】（2026·四川宜宾·一模）某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（   ）种采购方案 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元，根据题意，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出篮球和足球每个进价；）设采购m个篮球，n个足球，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】解：设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元， 依题意得：， 解得：， 则每个篮球的进价是150元，每个足球的进价是80元， 设采购m个篮球，n个足球， 依题意得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴或或， 答：该班共有3种采购方案． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·重庆·月考）【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 【答案】(1)盒装销售了50份，袋装销售了100份 (2)共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份 【分析】（1）设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意列出二元一次方程组并求出x，y的值即可； （2）设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意得到，即，推导出m为3的倍数，且，得到或6，进而求出n的值即可． 【详解】（1）解：设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意，得 ， 解得， 答：盒装销售了50份，袋装销售了100份． （2）解：设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意，得 ， 即， ∵m，n都为正整数， ∴m为3的倍数，且， 解得， ∴或6， 当时，； 当时，； 答：共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份． 2．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【分析】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 3．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 【答案】(1)型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元 (2)该公司有2种购进方案 【分析】（1）设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元，根据表格中的信息，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进型号机器人个，型号机器人个，根据两种型号的机器人的价格之和为450元，列出方程，求方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元． 根据题意，得， 解得， 答：型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元． （2）解：设购进型号机器人个，型号机器人个． 根据题意，得． 整理，得： ， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司有2种购进方案． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元 (2)共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， 答：A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆． 5．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $