10.3 实际问题与二元一次方程组（讲义） 2025-2026学年 人教版数学七年级下册

10．3 实际问题与二元一次方程组 1．掌握列二元一次方程组解实际问题的基本步骤，能根据题意列出方程组． 2．学会从实际问题中提取等量关系，建立方程组模型． 3．能熟练解方程组并检验结果是否符合实际意义． 4．掌握常见实际问题类型的数量关系，能解决行程、工程、利润、配套等问题． 5．体会方程建模思想，提高运用数学知识解决实际问题的能力． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 01 02 新知探究 知识梳理1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 2 知识梳理2 列方程(组)解应用题的核心要点 4 知识梳理3 常见实际问题的等量关系 7 知识梳理1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审：认真审题，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系． （2）设：设未知数，可直接设也可间接设，一般求什么设什么． （3）找：找出题目中包含的两个独立的等量关系． （4）列：根据等量关系列出两个方程，组成二元一次方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）验：检验解是否符合方程组，且是否符合实际意义． （7）答：写出完整答案，注明单位名称． 【例1】　（2025秋•潍坊期末）将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（　　） A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm 【答案】C 【分析】设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm，根据两图形给定的数据，得出关于x、h的二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm， 依题意得：， 解得：， 即桌子的高度h为70cm， 故选：C． 【例2】　（2025秋•松北区期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则乘车人数为（　　） A．15人 B．39人 C．41人 D．20人 【答案】B 【分析】设有x辆车，乘车人数为y人，根据今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设有x辆车，乘车人数为y人， 依题意得：， 解得：， 即乘车人数为39人， 故选：B． 【例3】　（2026•阜南县校级一模）“端午节”是中华民族的传统节日，某社区计划在今年“端午节”期间采购“砂糖馅”和“鲜肉馅”两种粽子到乡镇敬老院慰问老人．已知购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，求“砂糖馅”粽子和“鲜肉馅”粽子的单价． 【答案】“砂糖馅”粽子的单价为5元，“鲜肉馅”粽子的单价为6元． 【分析】设“砂糖馅”粽子的单价为x元，“鲜肉馅”粽子的单价为y元．根据“购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，”，列出方程组，即可求解． 【解答】解：设“砂糖馅”粽子的单价为x元，“鲜肉馅”粽子的单价为y元． 根据题意列二元一次方程组得： ， 解得， 即“砂糖馅”粽子的单价为5元，“鲜肉馅”粽子的单价为6元， 答：“砂糖馅”粽子的单价为5元，“鲜肉馅”粽子的单价为6元． 【例4】　（2026•阜阳校级一模）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 【答案】李三公家有8间客房，来了63位房客． 【分析】设有x间客房，y位房客，根据等量关系建立二元一次方程组，解方程，即可求解． 【解答】解：设李三公家的店有x间客房，来了y位房客， 根据题意，得， 解得， ∴李三公家有8间客房，来了63位房客， 答：李三公家有8间客房，来了63位房客． 知识梳理2 列方程(组)解应用题的核心要点 （1）关键：准确找出两个等量关系，这是列方程组的依据． （2）设元：设两个未知数，就需要列两个方程组成方程组． （3）统一：方程两边必须是同类量，且单位要统一． （4）检验：实际问题中，负数、分数不符合情境的解要舍去． （5）规范：设和答都必须写清单位，步骤完整． 【例5】　（2025秋•罗湖区期末）《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？”若设绳子长x尺，木长y尺．根据题意，可得列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：设绳子长x尺，木长y尺， 根据题意得：， 故选：C． 【例6】　（2026•惠安县一模）二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱．若设买甜果x个，苦果y个，则下列关于x，y的方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，列出方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 故选：C． 【例7】　（2025秋•芜湖校级期末）根据问题，列出方程组． 近年来，我国生态环境质量总体改善，生物多样性下降势头得到基本控制．根据2020年《中国生态环境状况公报》，我国列入国家重点保护野生动物名录的珍稀濒危水生和陆生野生动物有708种（类），其中大熊猫、金丝猴、扬子鳄等数百种动物为我国所特有，已知珍稀濒危水生野生动物比陆生野生动物的一半多99种（类）．我国珍稀濒危陆生野生动物、水生野生动物各有多少种（类）？ 【答案】设我国珍稀濒危陆生野生动物有x种（类），水生野生动物有y种（类），所列方程组为． 【分析】设我国珍稀濒危陆生野生动物有x种（类），水生野生动物有y种（类），根据“我国列入国家重点保护野生动物名录的珍稀濒危水生和陆生野生动物有708种（类），且珍稀濒危水生野生动物比陆生野生动物的一半多99种（类）”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：设我国珍稀濒危陆生野生动物有x种（类），水生野生动物有y种（类）， ∵我国列入国家重点保护野生动物名录的珍稀濒危水生和陆生野生动物有708种（类）， ∴x+y＝708； ∵珍稀濒危水生野生动物比陆生野生动物的一半多99种（类）， ∴yx＝99． ∴根据题意可列出方程组． 【例8】　（2025秋•汨罗市月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划x天完成，这批废铜共有y吨． （1）根据题意列出方程组； （2）求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】（1）； （2）原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 【分析】（1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）设原计划x天完成，这批废铜共有y吨，根据题意可得： ． （2）， ①﹣②可得：150（x﹣6）﹣120（x+3）＝0，解得：x＝42， 将x＝42代入①可得：y＝150（42﹣6）＝150×36＝5400吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 知识梳理3 常见实际问题的等量关系 （1）和差倍分问题： 较大量=较小量+多余量． 总量=倍数×每份的量． （2）行程问题： 路程=速度×时间． 相遇问题：路程和=总路程． 追及问题：路程差=相距路程． （3）航速问题： 顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速． 逆流（风）速度=静水（无风）中的速度－水（风）速． （4）工程问题： 工作量=工作效率×工作时间． 各部分工作量之和=总工作量． （5）增长率问题： 原量×（1+增长率）=增长后的量． 原量×（1－减少率）=减少后的量． （6）浓度问题： 溶液质量×浓度=溶质质量． （7）银行利率问题： 免税利息=本金×利率×期数． 税后利息=本金×利率×期数－本金×利率×期数×税率． （8）利润问题： 利润=售价-进价． 利润率=×100%． （9）配套问题： 两种部件的数量成固定比例． （10）数字问题： 两位数=10×十位数字+个位数字． 三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字． （11）年龄问题： 两人年龄的差值始终不变． 【例9】　（2025秋•贵池区期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（　　）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【答案】A 【分析】由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【解答】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为400÷4＝100米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为400÷40＝10米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则， 两式相加得2x＝110， ∴x＝55． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 【例10】　（2025秋•永丰县校级期末）甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 　　 岁． 【答案】23 【分析】设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲现在x岁，乙现在y岁， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：23． 【例11】　（2025秋•济南校级月考）从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是　 ． 【答案】765km/h． 【分析】设飞机的平均速度为xkm/h，风速为ykm/h，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可． 【解答】解：设风速为xkm/h，飞机无风时的平均速度为ykm/h． 解得． 故答案为：765km/h． 【例12】　（2025秋•玉溪期末）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品，苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（1628年），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 素材整合 某工厂计划生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． （1）应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ （2）若每副镜架的成本为100元，要达到30%的利润率（利润率＝利润÷成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】（1）应分配20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿； （2）每副镜架的出厂价应定为130元． 【分析】（1）核心思路是根据“镜腿数量是镜框数量的2倍”这一关系列方程组求解； （2）核心是对“利润率”公式的理解与运用． 【解答】解：（1）设分配x名工人生产镜框，y名工人生产镜腿． ， 解得， 答：应分配20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿； （2）若每副镜架的成本为100元，要达到30%的利润率（利润率＝利润÷成本）， 设每副镜架的出厂价应定为x元． 解得：x＝130． 答：故每副镜架的出厂价应定为130元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10．3 实际问题与二元一次方程组 1．掌握列二元一次方程组解实际问题的基本步骤，能根据题意列出方程组． 2．学会从实际问题中提取等量关系，建立方程组模型． 3．能熟练解方程组并检验结果是否符合实际意义． 4．掌握常见实际问题类型的数量关系，能解决行程、工程、利润、配套等问题． 5．体会方程建模思想，提高运用数学知识解决实际问题的能力． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 01 02 新知探究 知识梳理1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 2 知识梳理2 列方程(组)解应用题的核心要点 3 知识梳理3 常见实际问题的等量关系 5 知识梳理1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审：认真审题，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系． （2）设：设未知数，可直接设也可间接设，一般求什么设什么． （3）找：找出题目中包含的两个独立的等量关系． （4）列：根据等量关系列出两个方程，组成二元一次方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）验：检验解是否符合方程组，且是否符合实际意义． （7）答：写出完整答案，注明单位名称． 【例1】　（2025秋•潍坊期末）将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（　　） A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm 【例2】　（2025秋•松北区期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则乘车人数为（　　） A．15人 B．39人 C．41人 D．20人 【例3】　（2026•阜南县校级一模）“端午节”是中华民族的传统节日，某社区计划在今年“端午节”期间采购“砂糖馅”和“鲜肉馅”两种粽子到乡镇敬老院慰问老人．已知购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，求“砂糖馅”粽子和“鲜肉馅”粽子的单价． 【例4】　（2026•阜阳校级一模）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 知识梳理2 列方程(组)解应用题的核心要点 （1）关键：准确找出两个等量关系，这是列方程组的依据． （2）设元：设两个未知数，就需要列两个方程组成方程组． （3）统一：方程两边必须是同类量，且单位要统一． （4）检验：实际问题中，负数、分数不符合情境的解要舍去． （5）规范：设和答都必须写清单位，步骤完整． 【例5】　（2025秋•罗湖区期末）《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？”若设绳子长x尺，木长y尺．根据题意，可得列方程组（　　） A． B． C． D． 【例6】　（2026•惠安县一模）二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱．若设买甜果x个，苦果y个，则下列关于x，y的方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【例7】　（2025秋•芜湖校级期末）根据问题，列出方程组． 近年来，我国生态环境质量总体改善，生物多样性下降势头得到基本控制．根据2020年《中国生态环境状况公报》，我国列入国家重点保护野生动物名录的珍稀濒危水生和陆生野生动物有708种（类），其中大熊猫、金丝猴、扬子鳄等数百种动物为我国所特有，已知珍稀濒危水生野生动物比陆生野生动物的一半多99种（类）．我国珍稀濒危陆生野生动物、水生野生动物各有多少种（类）？ 【例8】　（2025秋•汨罗市月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划x天完成，这批废铜共有y吨． （1）根据题意列出方程组； （2）求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 知识梳理3 常见实际问题的等量关系 （1）和差倍分问题： 较大量=较小量+多余量． 总量=倍数×每份的量． （2）行程问题： 路程=速度×时间． 相遇问题：路程和=总路程． 追及问题：路程差=相距路程． （3）航速问题： 顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速． 逆流（风）速度=静水（无风）中的速度－水（风）速． （4）工程问题： 工作量=工作效率×工作时间． 各部分工作量之和=总工作量． （5）增长率问题： 原量×（1+增长率）=增长后的量． 原量×（1－减少率）=减少后的量． （6）浓度问题： 溶液质量×浓度=溶质质量． （7）银行利率问题： 免税利息=本金×利率×期数． 税后利息=本金×利率×期数－本金×利率×期数×税率． （8）利润问题： 利润=售价-进价． 利润率=×100%． （9）配套问题： 两种部件的数量成固定比例． （10）数字问题： 两位数=10×十位数字+个位数字． 三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字． （11）年龄问题： 两人年龄的差值始终不变． 【例9】　（2025秋•贵池区期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（　　）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【例10】　（2025秋•永丰县校级期末）甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 　　 岁． 【例11】　（2025秋•济南校级月考）从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是　 ． 【例12】　（2025秋•玉溪期末）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品，苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（1628年），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 素材整合 某工厂计划生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． （1）应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ （2）若每副镜架的成本为100元，要达到30%的利润率（利润率＝利润÷成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $