精品解析：四川成都市龙泉驿区2025—2026学年下学期期中考试 九年级数学试题

2025-2026学年度（下）期中考试 九年级数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上，并检查条形码信息．考试结束，监考人员将答题卡和试卷一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列四个选项中，负无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是负无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是正无理数，不符合题意． 2. 我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型．下面有关科普的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，逐项计算即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 4. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 5. 甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，方差能反映一组数据的波动程度大小，方差越小，数据的波动程度越小，即越稳定，掌握方差和平均数的概念是解本题的关键． 根据四人方差大小和平均数大小即可判断． 【详解】解：由于甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93， 故甲丙两人的平均成绩更高； ，， ， 表明甲同学的成绩稳定， 这10次比赛中成绩又高又稳定的是甲， 故选：A． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直且相等 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 正方形的对角线互相垂直且平分 D. 平行四边形的对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的对角线性质逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A． 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，当且仅当为正方形时对角线相等，原命题是假命题，不符合题意． B． 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当为正方形时成立，原命题是假命题，不符合题意． C． 正方形的对角线互相垂直且平分，原命题是真命题，符合题意． D． 平行四边形的对角线互相平分，但相等仅当为矩形或正方形时成立，原命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，中，，将沿的方向平移得到，其中，，的对应点分别是点，，．若点是的中点，，，则点与点之间的距离为（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质；根据勾股定理求得的长，进而根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵将沿的方向平移得到，点是的中点， ∴． 故选：B． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，而方程中出现，可得方程中的x表示绳子的长，再检查符合题意． 【详解】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则可得方程， ∴方程中的x表示绳子的长， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 10. 当___________时，分式与的值互为相反数． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，得∶， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为∶0． 11. 如图，在直角坐标系中，的顶点与原点重合，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为轴，若，则______． 【答案】128 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，根据求出A点坐标，再代入即可． 【详解】解：∵点B的坐标为， ∴， ∵，点C与原点O重合， ∴ ∵与y轴平行， ∴A点坐标为， ∵A在上， ∴， 解得 故答案为：． 12. 正五边形的一个内角度数为______． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和内角．求出正五边形的一个外角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为， ∴正五边形的一个内角度数为． 故答案为： 13. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解． 【详解】解： 如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据作图可知为的角平分线，， ∴ ∴点E到的距离为 故答案为：3． 【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线之间的距离，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的性质、二次根式的化简、负整数指数幂运算、特殊角的三角函数值先分别化简每一项，再进行加减运算得到结果； （2）分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式    ； 【小问2详解】 解：，  解不等式，，  ， 解得；  解不等式，，  ， 解得 原不等式组的解集为． 15. 某校为了让学生更好的有节约粮食的意识，在某天午餐后，随机调查了部分学生这餐饭菜的剩余情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请根据图中提供的信息解答下列问题： 类别 A B C D 剩余量 剩一半 剩少量 剩大量 没有剩 人数 25 15 40 （1）本次共调查了多少名学生？并求出和的值； （2）在扇形统计图中表示“剩一半”的扇形圆心角是多少度？ （3）某班级抽查小组饭菜的剩余情况，某小组共4人这餐饭菜的剩余情况恰好有2人“没有剩”，剩下2人分别是“剩一半”和“剩少量”，若从该小组中抽取2人进行调查，用树状图或列表法求恰好抽到的2人都是“没有剩”的同学的概率． 【答案】（1）本次共调查了名学生，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由D类别人数及其所占百分比可得总人数；根据各类别人数之和等于总人数可得m的值，再根据百分比的概念可得n； （2）用乘以“剩一半”所占百分比即可得到结论； （3）利用树状图得出所有可能出现的结果和恰好抽到的2人都是“没有剩”的情况数，然后利用概率公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：本次共调查了（人）， ， ，即； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中表示“剩一半”的扇形圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：用甲、乙表示这四人这餐饭菜中“没有剩”，丙和丁分别表示“剩一半”和“剩少量”， 画树状图如下： 则共有12种情况，2人都是“没有剩”的同学的情况数为2种， 则恰好抽到的2人都是“没有剩”的同学的概率为． 16. 长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，在同一平面内．（参考数据：，，，．） （1）求塔架的长度； （2）求风叶的长度．（精确到米） 【答案】（1）塔架的长为米 （2）风叶的长为米． 【解析】 【分析】（1）在中，利用和，计算出； （2）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【小问1详解】 解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 设风叶的长度为， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得米． 答：风叶的长为米． 17. 如图，是的直径，为上一点，过点作，交于，两点，连接并延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）过点作的切线交的延长线于点，若，求和的长． 【答案】（1）见详解 （2）， 【解析】 【分析】（1）连接， 由垂径定理得， 即可得，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得， 即可证明． （2）根据题意设，则，连接，由（1）知，得出，证明，结合得出，根据是的切线，得出，从而证明，得出，结合，即可求出，根据，得出，证明，得出，令，在中和中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，  是直径，， 由垂径定理得，  ， 又，  ． 【小问2详解】 解：， 设， ， 连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， 令， 在中，，即， 解得：， ∴， 在中，，即， ∴， 故． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求和直线的解析式； （2）点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）①，② 【解析】 【分析】（1）将代入求出m，设直线的解析式为，将A，C，的坐标代入求解即可； （2）①先确定只有一种情况，作轴于点，证得求出，得，再求出所在直线的解析式，与反比例函数联立方程求解即可；②设点，过作轴，过作轴，利用，求出，过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点，利用求出，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①在中， 当和相似时，则中必须有一个角是 ∵是公共角，在第一象限，在轴正半轴 ∴只有一种情况， 作轴于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 在和中： ∴ ∴，即，解得， ∵点在轴上，且在点右侧， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， 则解得：， ∴所在直线的解析式为， ∵点是直线与反比例函数的交点 联立方程： 整理得： 解得： 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴ ②设点， 过作轴，过作轴 ∵，，点在直线下方， ∴，， ∴，，，，， ， 过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点， ∵点在直线上，则点的坐标是， ∴， ∴点到直线的距离是，点到直线的距离是， ∴ ， ∵， ∴ 即 解得或 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 比较大小：___________1．（填写“”，“”或“”） 【答案】> 【解析】 【分析】先确定的取值范围，再推导的范围，即可完成比较． 【详解】解： ， ，即， 不等式两边同时减1，得 ， 不等式两边同时除以2，得 ， ． 20. 已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系内各象限的点坐标的特征、不等式组的应用等知识点，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征，列不等式组判断是否存在满足条件的m，即可确定点P不可能在的象限． 【详解】解：当点P在第一象限，则，解得：，即点P可能在第一象限； 当点P在第二象限，则，该不等式组无解，故点P不可能在第二象限； 当点P在第三象限，则，解得：，故点P可能在第三象限； 当点P在第四象限，则，解得：，故点P可能在第四象限． 故选B． 21. 如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出的面积和阴影的面积，然后利用概率公式求解． 【详解】解：∵的半径为2， ∴， ∵线段是的直径，点C是上一点， ∴，， ∵， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ ∴这个点取在阴影部分的概率是． 22. 若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，准确的计算是解决本题的关键． 先解不等式组，解得取的整数，再解分式方程，根据分式方程的解，确定的取值范围，最后综合两个取值范围，即可解题． 【详解】解：， ∴， 不等式组有且仅有3个整数解， ， ∴， 由题意得， 解得， 关于的分式方程有非负整数解， 有， 解得，即， ∴， 解得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，1， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：0． 23. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“差直三角形”．在中，，，如果是“差直三角形”，那么的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先排除和的情况，然后分当时和当时两种情况，画出图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 当时，则， ∵， ∴， ∴，这与矛盾，故此种情况不成立． 当时，同理可证此种情况不成立． 当时，如图，作，交的延长线于点H，作于点D， ∵， ∴设 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴ 设， ∴， ∴（负值舍去），， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 当时，， ∵， ∴， ∴， 过点作交延长线于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，； 综上可知，的长为或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为91元；若完全用电动力行驶，则费用为21元，已知用油行驶每千米的费用比用电行驶的费用多0.5元． （1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ （2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要用电行驶多少千米？ 【答案】（1）完全用电行驶每千米的费用是元 （2）汽车至少需要完全用电行驶千米 【解析】 【分析】（1）设完全用电行驶每千米的费用是元，则完全用油行驶每千米的费用是元，根据相同路程下用油的费用为元，用电的费用为元建立方程求解即可； （2）求出甲地与乙地的距离为千米，设用电行驶千米，则用油行驶千米，再根据总费用不超过元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设完全用电行驶每千米的费用是元，则完全用油行驶每千米的费用是元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，，且符合题意， 是原方程的解， 答：完全用电行驶每千米的费用是元； 【小问2详解】 解：（千米）， 甲地到乙地的距离为千米， 设用电行驶千米，则用油行驶千米， 由题意得，， ， 汽车至少需要用电行驶82千米． 25. 在平行四边形中，，过点作，在直线上取一点，连接，使得． 【特例感知】 （1）如图1，连接，若，求的长； 【问题探究】 （2）如图2，连接，若，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，当时，为射线上一点，连接，若，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作于点H，证明平行四边形是菱形得，，求出，证明得，，求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）过点作交于点，交于点，证明平行四边形是矩形，证明，求出、，利用建立方程即可求解； （3）过点作交延长线于点，由可求出，结合圆周角定理和等边三角形的性质可得点的运动轨迹，进而可知取最大值时点的位置，最后结合已知条件求出长度即可． 【小问1详解】 解：如图所示，作于点H， ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：过点作交于点，交于点， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 在中，由三角形的面积可得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，即， 又∵， ∴在中，，即， 解得（舍去负值）， ∴． 【小问3详解】 解：过点作交延长线于点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 以为边长作等边，作的外接圆， ∵， ∴点在上运动， ∴当点在点的位置时，此时经过圆心，故取最大值，如下图所示： 连接，过点作， ∴经过圆心，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴． 综上：的最大值为． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线， （1）当点在该抛物线上时，求抛物线的解析式； （2）已知点，点，若抛物线与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围； （3）若直线与抛物线交于点，两点，点是抛物线的顶点，设直线，的解析式分别为与，求之间的数量关系．（用只含的代数式表示） 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入求解； （2）首先求出抛物线经过点和，对称轴为直线，顶点为，然后分两种情况讨论求解即可； （3）设，，将直线和抛物线联立得到，利用韦达定理得到，，然后将和代入直线得到，同理可得，，然后表示出和，进而求解即可． 【小问1详解】 解：当点在该抛物线上时， 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线 ∴当或时，，即抛物线经过点和， ∵抛物线 ∴抛物线对称轴为直线，顶点为 ∵抛物线与线段有且只有一个公共点， ①当时，抛物线开口向上， 当抛物线的顶点在线段上时，符合条件， 则解得； 当抛物线过点时，与抛物线有两个交点， ∴根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，如图所示， 当时，，解得； ②当时，抛物线开口向下， 当抛物线经过点时， 解得 ∴当时，抛物线在处的函数值小于1，在处的函数值大于1， ∴当抛物线与线段有且只有一个公共点时，； 当，抛物线开口向下， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，如图所示， 当时，，解得； 综上所述，的取值范围是或或； 【小问3详解】 解：∵直线与抛物线交于点，两点， 设， ∴联立得， 整理得， ∴， ∵抛物线顶点，直线的解析式为 ∴ ∴ 解得 同理可得， ∴ ； ∴ ∴ ∴ ∴之间的数量关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）期中考试 九年级数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上，并检查条形码信息．考试结束，监考人员将答题卡和试卷一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列四个选项中，负无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型．下面有关科普的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直且相等 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 正方形的对角线互相垂直且平分 D. 平行四边形的对角线互相平分且相等 7. 如图，中，，将沿的方向平移得到，其中，，的对应点分别是点，，．若点是的中点，，，则点与点之间的距离为（　　） A. B. C. D. 4 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：______． 10. 当___________时，分式与的值互为相反数． 11. 如图，在直角坐标系中，的顶点与原点重合，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为轴，若，则______． 12. 正五边形的一个内角度数为______． 13. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于；②分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交于点．若测得，则点到的距离为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 某校为了让学生更好的有节约粮食的意识，在某天午餐后，随机调查了部分学生这餐饭菜的剩余情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请根据图中提供的信息解答下列问题： 类别 A B C D 剩余量 剩一半 剩少量 剩大量 没有剩 人数 25 15 40 （1）本次共调查了多少名学生？并求出和的值； （2）在扇形统计图中表示“剩一半”的扇形圆心角是多少度？ （3）某班级抽查小组饭菜的剩余情况，某小组共4人这餐饭菜的剩余情况恰好有2人“没有剩”，剩下2人分别是“剩一半”和“剩少量”，若从该小组中抽取2人进行调查，用树状图或列表法求恰好抽到的2人都是“没有剩”的同学的概率． 16. 长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，在同一平面内．（参考数据：，，，．） （1）求塔架的长度； （2）求风叶的长度．（精确到米） 17. 如图，是的直径，为上一点，过点作，交于，两点，连接并延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）过点作的切线交的延长线于点，若，求和的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求和直线的解析式； （2）点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 比较大小：___________1．（填写“”，“”或“”） 20. 已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 21. 如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 22. 若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 23. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“差直三角形”．在中，，，如果是“差直三角形”，那么的长为___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为91元；若完全用电动力行驶，则费用为21元，已知用油行驶每千米的费用比用电行驶的费用多0.5元． （1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ （2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要用电行驶多少千米？ 25. 在平行四边形中，，过点作，在直线上取一点，连接，使得． 【特例感知】 （1）如图1，连接，若，求的长； 【问题探究】 （2）如图2，连接，若，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，当时，为射线上一点，连接，若，求的最大值． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线， （1）当点在该抛物线上时，求抛物线的解析式； （2）已知点，点，若抛物线与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围； （3）若直线与抛物线交于点，两点，点是抛物线的顶点，设直线，的解析式分别为与，求之间的数量关系．（用只含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $