精品解析：山东青州第一中学2025-2026学年高三普通部二轮专题复习模拟考试（五）数学试题

青州一中高三普通部二轮专题复习模拟考试（五）数学 一、单选题 1. 已知关于的方程有实根，则的值为（ ） A. 0 B. －1 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数运算及复数相等即可求出答案. 【详解】由方程有实根， 可得，整理得. 由复数相等的充要条件得. 故选：A 2. 若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解析 对于A：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而增大，不合题意，故A错误； 对于B：因为 在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误； 对于C：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误； 对于D：因为在定义域内单调递减且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，故D正确；故选D. 3. 已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：C. 4. （ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值. 【详解】 故选: D 5. 在成都大学生世界运动会中，甲、乙、丙参加了游泳、体操、足球三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加游泳；②若甲参加体操，则丙参加足球；③若丙没有参加体操，则甲参加体操.下列说法正确的是（　　） A. 丙参加了体操 B. 乙参加了体操 C. 丙参加了足球 D. 甲参加了足球 【答案】A 【解析】 【分析】先利用①乙没有参加游泳，推出乙参加体操或足球；再分情况讨论，假设乙参加体操，推出矛盾得到乙只能参加足球， 进而得到甲、丙所参加的项目，从而求解. 【详解】由①可知，乙参加体操或足球， 若乙参加体操，则由③可知丙没有参加体操，甲参加体操，产生矛盾， 故乙只能参加足球，选项B错误； 由前面分析可知，甲参加体操或游泳， 若甲参加体操，则由②可知丙参加足球，这与乙参加足球矛盾， 则甲只能参加游泳，选项D错误； 由以上分析可知，丙参加体操，选项C错误，选项A正确. 故选：A． 6. 在正三棱台中，， ， 与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将棱台补全为棱锥，结合已知条件求出大小棱锥的高，利用及棱锥体积公式求棱台的体积. 【详解】由题设，将棱台补全为正棱锥 ，如下图，且均为正三角形， 其中为底面中心，连接，则 面，而 面，即， 所以 与平面ABC所成角为，而，则，所以， 令的高为，结合棱台的结构特征，知， 所以棱台体积. 故选：C 7. 在等差数列中，，当取得最小值时，（ ） A. 27 B. 18 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得，根据均值不等式，求得当 时，取得最小值，从而可得答案． 【详解】在等差数列中，设公差为， 由得 根据基本不等式，有， 当且仅当即，即 时， 取得最小值， 故． 故选：D 8. 如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率. 【详解】 设左焦点为，则，，，， 在中用勾股定理，化简得， 所以 所以，所以. 故选:C. 二、多选题 9. 非空集合，，均为的真子集，且，则（ ） A. B.  C.  D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据真子集和并集概念得到A正确；B选项，求出，故B错误；C选项，由补集和真子集的概念得到C正确；D选项，利用韦恩图得到D错误. 【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因为，所以， 而，故B错误； C选项，因为，所以，C正确； D选项，，如图所示， 所以表示的集合为①，不是空集，D错误. 故选：AC 10. 在平面直角坐标系中，，则下列曲线中存在两个不同的点使得且的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将条件转化为曲线与线段的垂直平分线有两个不同的交点,依次验证即可. 【详解】由题，线段的垂直平分线为：，与曲线有两个不同的交点， 对于A选项，圆心，圆心到直线的距离为，直线与圆只有一个交点，不合题意，故A选项错误； 对于B选项，联立，故B选项正确； 对于C选项，无解，故C选项错误； 对于D选项，，故D选项正确. 故选：BD. 11. 已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在 ，使得 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，进而可求判断A; 利用裂项相消法计算可判断B；利用等差数列前和公式计算可判断C；构造函数可得 ，进而可得，令，计算可判断D. 【详解】由，可得，所以， 所以是等差数列，又，所以， 所以等差数列的首项为3，公差为2，所以， 所以，所以，故A正确； ， 所以 ， 令，解得 ，所以存在，使得，故B正确； 对于，故C错误； 对于D，令， 求导得，所以，解得， 当时，，在上单调递减， 当 时，，在上单调递增， 所以，即，所以 ， 所以，化简得，仅当时等号成立； 令，得，此时等号不成立 所以， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，有种，形成了四个空， 再将甲乙插入四个空，有种， 所以甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种. 故答案为： . 13. 函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及导函数的符号与函数的单调性的关系，把问题转化为二次函数的零点分布问题求解. 【详解】函数求导， 因为在区间上不单调，所以在区间内有零点. 又因为为偶函数，所以在上最多只有1个根. ，因为，， 所以 . 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为F，其准线l与坐标轴交于点K．P为E上一点，的平分线与y轴交于点M，则点M纵坐标的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求得焦点及点的坐标，设点，根据角平分线定理及基本不等式可得的取值范围，从而求得的取值范围，得到点M纵坐标的最大值. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以. 当点在原点时，易知. 当点不在原点时，设，则. . 由角平分线定理，得. 设，则. ， 因为 ，所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，所以， 所以. 即，即， 解得. 所以点M纵坐标的最大值为. 四、解答题 15. 中，，是内一点，． （1）若，求； （2）若是等腰直角三角形，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理求得，然后根据正弦定理求得. （2）在中和在中利用余弦定理，将和，然后根据余角列出等式，进而求得的腰，进而求得三角形面积. 【小问1详解】 根据正弦定理得，，所以. 因为，所以，所以. 根据正弦定理得，所以. 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，所以设， 在中，根据余弦定理， 得，化简得. 在中，根据余弦定理， 得，化简得， 所以. 因为，所以， 化简得，解得或. 又，，所以. 所以. 16. 已知双曲线：的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）设是上的动点，直线和分别与直线交于点.若与 的面积相等，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式和已知点坐标，列出关于的方程组，解出，得到双曲线方程； （2）设出点的坐标，求出直线与的交点，利用面积相等的条件列出方程，结合双曲线方程求解点的坐标. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设点，则，已知，，则. 直线的方程为，令，可得， 直线的方程为，令，得， 则. 因为，即，所以 点到直线的距离. 因为与的面积相等， 所以，即. 代入可得： 因为，所以，即. 由可得：. 当时，展开化简得，解得. 将代入，解得. 当时，展开化简得， 此方程的判别式，方程无解. 所以点的坐标为或. 17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值； （ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率； （ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y，求； （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，…，第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到 ），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到），直到遥控车移到第49格（获得优惠券10000元）或第50格（获得大礼包）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为，其中，试证明，是等比数列，计算获得优惠券的概率和获得大礼包的概率，并比较它们的大小． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】（1）千米； （2）（i）； （ii）； （3）证明如下： 第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即． 遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种； ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为． ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为． 所以，所以． 所以时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以 . 所以获得优惠券的概率， 获得大礼包的概率． 所以． 所以获得优惠券的概率大． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值计算公式即可得到答案； （2）（i）利用正态分布的特点求出对应区间概率即可；（ii）利用二项分布的数学期望计算公式即可得到答案； （3）首先通过分析得，再构造即可证明其为等比数列，利用累加法和等比数列求和公式即可得到获得优惠券的概率，从而得到获得大礼包的概率，最后利用作差法即可比较两者大小关系. 【小问1详解】 (千米). 【小问2详解】 （i）由． 所以 . （ii）依题意有，所以． 【小问3详解】 略 18. 已知函数的一个极值点是． （1）求a与b的关系式； （2）求出的单调区间； （3）设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当 时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或 ，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案 （3）利用导数研究函数的单调性，分别求出和的最值，将不等式能成立问题转化为最值问题，求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. 【小问2详解】 ，由（1）可知. ①当时，令得或 ，列表如下： x 2 - 0 + 0 - 满足是函数的极值点； ②当 时，令得或 ，列表如下： x 2 - 0 + 0 - 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当 时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【小问3详解】 由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥 中，底面为正方形，平面平面 ，，，，点在线段 上（与 不重合）． （1）若平面 平面 ，证明：平面; （2）当 面积最小时，求二面角 的正弦值； （3）在（2）的条件下，若，是线段的 等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面 的截面，记相应截面面积为 ，证明： （参考公式：）， 【答案】（1）底面为正方形，则 ， 又因为平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ， 又因为 平面， 平面，所以平面. （2） （3）由（2）知，， ， 由题意不妨设是距离点P的由近及远的个等分点，第 个等分为，截面为， 则，所以， 即， . 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理可证明； （2）利用线面垂直的判定先证 平面 ，当面积取得最小值时，即最小，计算出， 的长度，根据相似比即可确定 值，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角； （3）根据（2）可知，这些截面都是相似直角梯形，利用相似可得到第个截面的面积，再根据求和公式求和即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，设直线交于点 ，连接 ， 底面为正方形， ，平面平面 ， 平面 平面，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 在中，， ，， 所以 ，即， 又，所以 ， 又 ， ， 平面 ，平面 ， 平面 ， ，又 ，所以 ， 故当最小时，即 时，面积取得最小值， ，，， 时，， ， ， 所以，即的面积最小时， 以 为原点，以 为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， 则 ， 设平面 的法向量为， 则，得， 令，得 ， 设平面 的法向量为， 由得， 令，得 ， ∴， 则二面角 的正弦值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青州一中高三普通部二轮专题复习模拟考试（五）数学 一、单选题 1. 已知关于的方程有实根，则的值为（ ） A. 0 B. －1 C. D. 1 2. 若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 5. 在成都大学生世界运动会中，甲、乙、丙参加了游泳、体操、足球三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加游泳；②若甲参加体操，则丙参加足球；③若丙没有参加体操，则甲参加体操.下列说法正确的是（　　） A. 丙参加了体操 B. 乙参加了体操 C. 丙参加了足球 D. 甲参加了足球 6. 在正三棱台中，， ， 与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，，当取得最小值时，（ ） A. 27 B. 18 C. 6 D. 3 8. 如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 非空集合，，均为的真子集，且，则（ ） A. B.  C.  D. 10. 在平面直角坐标系中，，则下列曲线中存在两个不同的点使得且的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在 ，使得 C. D. 三、填空题 12. 甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种.（用数字作答） 13. 函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是______. 14. 已知抛物线的焦点为F，其准线l与坐标轴交于点K．P为E上一点，的平分线与y轴交于点M，则点M纵坐标的最大值为______． 四、解答题 15. 中，，是内一点，． （1）若，求； （2）若是等腰直角三角形，求的面积． 16. 已知双曲线：的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）设是上的动点，直线和分别与直线交于点.若与 的面积相等，求点的坐标. 17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值； （ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率； （ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y，求； （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，…，第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到 ），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到），直到遥控车移到第49格（获得优惠券10000元）或第50格（获得大礼包）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为，其中，试证明，是等比数列，计算获得优惠券的概率和获得大礼包的概率，并比较它们的大小． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 18. 已知函数的一个极值点是． （1）求a与b的关系式； （2）求出的单调区间； （3）设 ，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面平面 ，，，，点在线段 上（与 不重合）． （1）若平面 平面 ，证明：平面 ; （2）当 面积最小时，求二面角 的正弦值； （3）在（2）的条件下，若，是线段的 等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面 的截面，记相应截面面积为 ，证明： （参考公式：）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $