第10章　相交线、平行线与平移 课件 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

基础过关 01 能力提升 02 10.3　平行线的性质 核心素养 03 返回目录 10.3　平行线的性质 知识点1　两直线平行，同位角相等 1．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝58°，则下列结论错误的是( ) A．∠3＝58° B．∠4＝122° C．∠5＝42° D．∠2＝58° C 返回目录 10.3　平行线的性质 2．如图，直线a，b被c，d所截，且 a∥b，则下列结论中正确的是( ) A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠2＋∠4＝180° D．∠1＋∠4＝180° B 返回目录 10.3　平行线的性质 3．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置，如果∠1＝35°，那么∠2的度数为( ) A．135° B．145° C．155° D．165° B 返回目录 10.3　平行线的性质 4．如图，CD平分∠ACB，DE∥AC．若∠1＝35°，则∠2＝ °．  70 返回目录 10.3　平行线的性质 知识点2　两直线平行，内错角相等 5．如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为( ) A．65° B．57.5° C．50° D．45° C 返回目录 10.3　平行线的性质 6．如图，直线a∥b，将含有30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝25°，则∠2的大小为( ) A．60° B．55° C．45° D．35° B 返回目录 10.3　平行线的性质 7．如图，已知AD∥BC，∠B＝25°，DB平分∠ADE，求∠DEC的度数． 解：因为AD∥BC，∠B＝25°，所以∠ADB＝∠B＝25°．因为DB平分∠ADE，所以∠ADE＝2∠ADB＝50°．因为AD∥BC，所以∠DEC＝∠ADE＝50°． 返回目录 10.3　平行线的性质 知识点3　两直线平行，同旁内角互补 8．如图，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，则∠2的度数为( ) A．36° B．46° C．72° D．82° A 返回目录 10.3　平行线的性质 9．如图，直线l1与l2平行，∠1＝110°，∠2＝130°，那么∠3的度数为 °．  60 返回目录 10.3　平行线的性质 10．已知：DE⊥AO于点E，BO⊥AO， ∠CFB＝∠EDO．试说明：CF∥DO．  解：因为DE⊥AO于点E，BO⊥AO，所以∠DEO＋∠BOE＝180°，所以DE∥OB，所以∠EDO＝∠DOB．因为∠CFB＝∠EDO，所以∠CFB＝∠DOB，所以CF∥DO． 返回目录 10.3　平行线的性质 11．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28'，则∠D的度数是( ) A．72°28' B．101°28' C．107°32' D．127°32' C 返回目录 10.3　平行线的性质 12．如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3的度数为( ) A．87° B．23° C．67° D．90° A 返回目录 10.3　平行线的性质 13．如图，已知直线AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是( ) A．∠α＋∠β－2∠γ＝180° B．∠β－∠α＝∠γ C．∠α＋∠β＋∠γ＝360° D．∠β＋∠γ－∠α＝180° D 返回目录 10.3　平行线的性质 14．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为 ．  98° 返回目录 10.3　平行线的性质 15．如图，已知∠EDC＝∠GFD，∠DEF＋∠AGF＝180°． (1)请判断AB与EF的位置关系，并说明理由； 解：AB∥EF．理由：因为∠EDC＝∠GFD，所以DE∥FG，所以∠DEF＝∠GFE．因为∠DEF＋∠AGF＝180°，所以∠GFE＋∠AGF＝180°，所以AB∥EF． 返回目录 10.3　平行线的性质 (2)过点G作线段GH⊥EF，垂足为H，若∠DEF＝30°，求∠FGH的度数． 解：因为AB∥EF，所以∠BGH＝∠GHF．因为GH⊥EF，所以∠BGH＝∠GHF＝90°．因为∠DEF＝30°，所以∠GFE＝∠DEF＝30°．又因为AB∥EF，所以∠BGF＝∠GFE＝30°，所以∠FGH＝90°－∠BGF＝90°－30°＝60°． 返回目录 10.3　平行线的性质 16．(1)如图1，E点在BC上，∠A＝∠D， ∠ACB＋∠BED＝180°．试说明：AB∥CD； 解：如图1，延长DE交AB于点F．因为∠ACB＋∠BED＝180°，∠CED＋∠BED＝180°，所以∠ACB＝∠CED，所以AC∥DF，所以∠A＝∠DFB． 因为∠A＝∠D，所以∠DFB＝∠D，所以AB∥CD． 图1 返回目录 10.3　平行线的性质 (2)如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，其反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数； 返回目录 10.3　平行线的性质 解：如图2，作EM∥CD，HN∥CD．因为AB∥CD，所以AB∥EM∥HN∥CD，所以∠2＋∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，∠1＝∠ABG，∠1＋∠β＝∠3，所以∠ABG＋∠β＝∠3．因为BG平分∠ABE，所以∠ABG＝∠ABE，所以∠ABE＋∠β＝∠3．因为DH平分∠EDF，所以∠3＝∠EDF，所以∠ABE＋∠β＝∠EDF，所以∠β＝(∠EDF－∠ABE)，所以∠EDF－∠ABE＝2∠β．设∠DEB＝∠α．因为∠α＝∠2＋∠MEB＝180°－∠EDF＋∠ABE＝180°－(∠EDF－∠ABE)＝180°－2∠β．因为∠DEB比∠DHB大60°，所以∠β＝∠α－60°，所以∠α＝180°－2(∠α－60°)，解得∠α＝100°， 即∠DEB的度数为100°． 图2 返回目录 10.3　平行线的性质 解：如图3，过点E作ES∥CD，设直线CF和射线BP相交于点G，因为BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，所以∠EBM＝∠MBK＝∠EBK，∠CDN＝∠EDN＝∠CDE．因为ES∥CD，AB∥CD，所以ES∥AB∥CD，所以∠DES＝∠CDE，∠BES＝∠ABE＝180°－∠EBK，∠G＝∠PBK，由(2)可知∠DEB＝100°，所以∠DES＋∠BES＝∠CDE＋180°－∠EBK＝100°，所以∠EBK－∠CDE＝80°．因为BP∥DN，所以∠CDN＝∠G，所以∠PBK＝∠G＝∠CDN＝∠CDE，所以∠PBM＝∠MBK－∠PBK＝∠EBK－∠CDE＝(∠EBK－∠CDE)＝×80°＝40°． 图3 (3)保持(2)中所求的∠DEB的度数不变，如图3，AB∥CD，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度数． 返回目录 10.3　平行线的性质 $ 　专题训练(九)　相交线、平行线中的方程思想　 专题训练(九)　相交线、平行线中的方程思想　 类型一　相交线中的方程思想 1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD， OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE＝7∶1，求∠AOF的度数． 解：设∠AOD＝7x°，则∠BOE＝x°．因为OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2∠BOE＝2x°．因为∠AOD＋∠BOD＝180°，所以7x°＋2x°＝180°，解得x＝20，所以∠DOE＝∠BOE＝20°，∠AOC＝∠BOD＝40°，所以∠COE＝180°－∠DOE＝160°．因为OF平分∠COE，所以∠COF＝∠COE＝80°，所以∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝120°． 专题训练(九)　相交线、平行线中的方程思想　 2．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝2∶5． (1)如图1，若∠BOD＝70°，求∠BOE的度数； 图1 解：因为∠BOD＝70°，直线AB和CD相交于点O， 所以∠AOC＝70°，∠BOC＝110°．又因为∠AOE∶∠EOC＝2∶5，所以∠COE＝70°×＝50°，所以∠BOE＝50°＋110°＝160°． 专题训练(九)　相交线、平行线中的方程思想　 (2)如图2，若OF平分∠BOE，∠BOF＝∠AOC＋10°， 求∠EOF的度数． 图2 解：设∠AOE＝2α，∠EOC＝5α，则∠BOF＝7α＋10°．因为OF平分∠BOE，所以∠BOF＝∠BOE＝(180°－∠AOE)＝(180°－2α)＝90°－α，所以7α＋10°＝90°－α，解得α＝10°，所以∠EOF＝∠BOF＝70°＋10°＝80°． 专题训练(九)　相交线、平行线中的方程思想　 类型二　平行线中的方程思想 3．如图，点C在直线GF上，AB∥DE∥GF，∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4．求∠1的度数． 解：设∠1＝2x，则∠D＝3x，∠B＝4x．因为AB∥GF∥DE，所以∠B＋∠GCB＝180°，∠D＋∠FCD＝180°，所以∠GCB＝180°－4x，∠FCD＝180°－3x．因为180°－4x＋180°－3x＋2x＝180°，所以x＝36°，所以∠1＝72°． 专题训练(九)　相交线、平行线中的方程思想　 4．如图，已知两条射线BP∥CQ，动线段AD的两个端点A，D分别在射线BP，CQ上，且∠B＝∠ADC＝110°，F在线段AB上，AC平分∠DCF，CE平分∠BCF． (1)请判断AD与BC的位置关系，并说明理由； 解：AD∥BC．理由如下：因为BP∥CQ，所以∠DCB＝180°－∠B＝180°－110°＝70°，所以∠ADC＋∠DCB＝110°＋70°＝180°，所以AD∥BC． 专题训练(九)　相交线、平行线中的方程思想　 (2)求∠ACE的度数； 解：因为AC平分∠DCF，CE平分∠BCF，所以∠ACF＝∠DCF，∠FCE＝∠FCB，所以∠ACE＝∠ACF＋∠FCE＝∠DCF＋∠FCB＝∠DCB＝×70°＝35°． 专题训练(九)　相交线、平行线中的方程思想　 (3)若平行移动AD，使∠BEC＝∠CAD，求∠CAD的度数．  解：设∠ACD＝θ，因为BP∥CQ，所以∠BEC＝∠DCE＝∠ACE＋∠ACD＝35°＋θ．因为AD∥BC，所以∠CAD＝∠ACB＝∠DCB－∠ACD＝70°－θ．因为∠BEC＝∠CAD，所以35°＋θ＝(70°－θ)，解得θ＝28°，所以∠CAD＝70°－28°＝42°． 专题训练(九)　相交线、平行线中的方程思想　 $ 基础过关 01 能力提升 02 10.4　平移 核心素养 03 返回目录 10.4　平移 知识点1　平移 1．下列生活现象是数学中的平移的是( ) A．树叶随风飘落 B．电梯升降 C．钟表指针转动 D．车轮的转动 B 返回目录 10.4　平移 2．如图所示，三角形DEF经过平移可以得到三角形ABC，那么∠C的对应角和ED的对应边分别是( ) A．∠F，AC B．∠BOD，BA C．∠F，BA D．∠BOD，AC C 返回目录 10.4　平移 3．如图，将左边的正方形向右平移5个单位长度，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是( ) A．5 B．25 C．50 D．20 B 返回目录 10.4　平移 知识点2　平移的性质 4．平移改变的是图形的( ) A．形状 B．大小 C．位置 D．无法确定 C 返回目录 10.4　平移 5．如图，将三角形ABE向右平移3 cm得到三角形DCF，连接AD，若BE＝8 cm，则CE＝ cm．  5 返回目录 10.4　平移 6．如图，将长为6 cm，宽为4 cm的长方形ABCD先向右平移2 cm，再向下平移1 cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为 cm2．  24 返回目录 10.4　平移 7．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，若AE＝8 cm，DB＝2 cm． (1)求AD的长； 解：因为三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，所以AB＝DE，所以AD＝BE．因为AE＝8 cm，DB＝2 cm，所以AD＝BE＝＝3(cm)． 返回目录 10.4　平移 (2)求四边形AEFC的周长．  解：因为三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，所以BC＝EF＝3 cm，CF＝AD＝3 cm，所以四边形AEFC的周长为AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18(cm)． 返回目录 10.4　平移 知识点3　平移作图 8．如图，在10×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，下面平移步骤正确的是( )  A．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位 B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位 C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移5个单位，再向上平移2个单位 A 返回目录 10.4　平移 9．如图，在方格纸中，三角形ABC的三个顶点和点P，Q都在格点(网格线的交点)上，平移三角形ABC，使它的顶点都落在格点上并满足下列条件． (1)使P，Q中的一点在平移后的三角形内部，另一点在平移后的三角形的边上，在图1中作图； (2)使P，Q两点都在平移后的三角形的边上，在图2中作图． 解：(1)如图1，三角形A'B'C'即为所求．(答案不唯一) (2)如图2所示，三角形A″B″C″即为所求．(答案不唯一) 返回目录 10.4　平移 10．如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到点A'，作出平移后的四边形． 解：如图，四边形A'B'C'D'即为所求． 返回目录 10.4　平移 11．如图，将面积为5的三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中的四边形ACED的面积为( ) A．5 B．10 C．15 D．20 C 返回目录 10.4　平移 12．如图，将直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，三角形BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②三角形ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16．其中正确的有( ) A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ C 返回目录 10.4　平移 13．如图，将三角形ABC沿BC方向平移1个单位得到三角形DEF，若三角形ABC的周长等于8，则四边形ABFD的周长等于 ．  10 返回目录 10.4　平移 14．如图1是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图c，则图3中的∠CFE的度数是 ．  120° 返回目录 10.4　平移 15．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上．  (1)在图中过点C作出CD⊥AB于点D； 解：在图中过点C作出CD⊥AB于点D，即作出三角形ABC中AB边上的高CD，如图1所示． 图1 返回目录 10.4　平移 (2)若点P在方格纸的格点上，且使得三角形PBC与三角形ABC的面积相等，则点P的个数有 个(点P异于点A)．  4 解：如图2所示，满足条件的点P有4个． 图2 返回目录 10.4　平移 16．在三角形ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D． (1)在图1中，将三角形ABD沿BC的方向平移，使点D移至点C的位置，得到三角形A'B'D'，且A'B'交AC于点E，猜想∠B'EC与∠A'之间的数量关系，并说明理由； 图1　 解：∠B'EC＝2∠A'．理由：因为三角形A'B'D'是由三角形ABD通过平移得到的，所以A'B'∥AB，∠A'＝∠BAD，所以∠B'EC＝∠BAC．因为AD平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠BAD，所以∠B'EC＝2∠A'． 返回目录 10.4　平移 图2 (2)在图2中，将三角形ABD沿AC的方向平移得到三角形A'B'D'，其中A'B'经过点D，试说明：A'D'平分∠B'A'C． 解：因为三角形A'B'D'是由三角形ABD通过平移得到的，所以A'B'∥AB，∠B'A'D'＝∠BAD，所以∠B'A'C＝∠BAC．因为AD平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠BAD，所以∠B'A'C＝2∠B'A'D'，所以A'D'平分∠B'A'C． 返回目录 10.4　平移 $ 第2课时　垂线及其性质 基础过关 01 能力提升 02 10.1　相交线 核心素养 03 返回目录 第2课时　垂线及其性质 知识点1　垂直的概念 1．如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中能说明AB⊥CD的有( ) ①∠BOC＝90°；②∠BOC＝∠AOC； ③∠BOC＝∠AOD；④∠BOC＋∠AOC＝180°． A．1个　 　B．2个　 　C．3个　 　D．4个 B 返回目录 第2课时　垂线及其性质 2．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，则∠1与∠2的关系是( ) A．∠1＋∠2＝180° B．∠1＋∠2＝90° C．∠1＝∠2 　　　　D．无法确定 B 返回目录 第2课时　垂线及其性质 3．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是( )   A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90° C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180° C 返回目录 第2课时　垂线及其性质 4．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB． (1)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由； 解：ON⊥CD．理由：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°，所以∠1＋∠AOC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以∠2＋∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，所以ON⊥CD． 返回目录 第2课时　垂线及其性质 (2)若∠1＝∠BOC，求∠MOD的度数．  解：因为OM⊥AB，∠1＝∠BOC，所以∠1＝30°，∠BOC＝120°．又因为∠1＋∠MOD＝180°，所以∠MOD＝180°－∠1＝150°． 返回目录 第2课时　垂线及其性质 A　 B　 C　 D 知识点2　垂线的画法 5．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是( ) C 返回目录 第2课时　垂线及其性质 6．如图，分别过点P作直线AB的垂线． (1)　 　 (2)　 　(3) 如图所示 (1)　 (2)　 (3) 返回目录 第2课时　垂线及其性质 知识点3　垂线段最短和点到直线的距离 7．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则( ) A．PT≥2PQ 　　　　B．PT≤2PQ C．PT≥PQ 　　　　 D．PT≤PQ C 返回目录 第2课时　垂线及其性质 8．在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出( ) A．0条　 B．1条　 C．2条　 D．3条 B 返回目录 第2课时　垂线及其性质 9．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到直线BC的距离是线段 的长度．  AD 返回目录 第2课时　垂线及其性质 10．希望村在落实“脱贫先修路”的计划中需要在家乡河上建一座桥，如图所示的方案中，在 处建桥最合适，理由是 ．  垂线段最短 MA 返回目录 第2课时　垂线及其性质 11．如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB为( ) A．10° B．20° C．30° D．40° B 返回目录 第2课时　垂线及其性质 12．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥CD，∠AOC＝55°，∠BOE的度数是( ) A．125° B．135° C．145° D．155° C 返回目录 第2课时　垂线及其性质 13．甲、乙、丙共同完成这样一道题目：“如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为O．若∠EOF＝α，请用含α的代数式表示∠AOC，∠BOE，∠AOF中任意两个角的度数．”甲的结果是∠AOC＝α－90°，∠BOE＝α；乙的结果是∠BOE＝180°－α，∠AOF＝360°－2α；丙的结果是∠AOC＝α－90°，∠AOF＝360°－α，下列判断正确的是( ) A．甲的结果正确，乙的结果错误 B．甲和乙的结果都错误 C．乙和丙的结果都正确 D．乙的结果正确，丙的结果错误 D 返回目录 第2课时　垂线及其性质 14．如图，老师在黑板上随便画了两条直线，AB，CD相交于点O，还作了∠BOC的平分线OE，CD的垂线OF，量得∠DOE被一直线分成2∶3两部分，小颖同学马上就知道∠AOF等于________________．  45°或° 返回目录 第2课时　垂线及其性质 15．已知AB⊥CD于O点，直线EF 过O点，∠EOC＝15°，求∠BOF的度数． 解：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝∠BOD＝90°．因为 ∠COE＝∠DOF，又因为∠COE＝15°，所以∠DOF＝15°，所以 ∠BOF＝∠BOD －∠DOF＝90°－15°＝75°． 返回目录 第2课时　垂线及其性质 16．从饲养场到公路要修一条路，你觉得怎样设计最短？请画一画，并说明理由． 略 返回目录 第2课时　垂线及其性质 17．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于O． (1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数； 解：因为EO⊥CD，所以∠DOE＝90°．又因为∠BOD＝∠AOC＝36°，所以∠BOE＝90°－36°＝54°． 返回目录 第2课时　垂线及其性质 解：因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，所以∠BOD＝∠COD＝30°，所以∠AOC＝30°．因为EO⊥CD，所以∠COE＝90°，所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝90°＋30°＝120°． (2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数； (3)在(2)的条件下，请你过点O作直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F(点F不与点O重合)，然后直接写出∠EOF的度数．  解：∠EOF的度数为30°或150°． 返回目录 第2课时　垂线及其性质 $ 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 基础过关 01 能力提升 02 10.2　平行线的判定 核心素养 03 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 知识点1　平行线的定义及其基本事实 1．下列说法错误的是( ) A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d D．若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交 A 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 2．在纸上画一个△ABC并取一点P，过点P画一条直线与BC平行，则这样的直线( ) A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 D 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 4．若直线l1∥l2，l2∥l3，l3∥l4，则l1与l4的位置关系是 __________．  3．如图，已知OM∥a，ON∥a，则O，M，N三点共线，理由是 ．  l1∥l4 过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 知识点2　同位角、内错角、同旁内角 5．∠1与∠2是同位角的图形是( ) C 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 A　　　 B　　　 C　　　 D 6．在我们常见的英文字母中，也存在着内错角．下面几个字母中，含有内错角的字母是( ) C 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 7．如图，下列描述各角之间同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是( )   A．∠1与∠4是同位角 B．∠2与∠3是内错角 C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠2与∠4是同旁内角 D 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 8．如图，点D是BC上一点，∠C＝65°，则图中与∠C构成同旁内角的角有 个．  4 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 9．如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠C中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则abc＝ ．  16 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 10．如图，写出下列各对角的位置关系．  (1)∠A与∠1； (2)∠A与∠B； (3)∠4与∠2； (4)∠1与∠3． 解：(1)同位角．(2)同旁内角．(3)对顶角．(4)内错角． 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 11．如图，∠1和∠2是内错角，可看成是由直线( )   A．AD，BC被AC所截构成 B．AB，CD被AC所截构成 C．AB，CD被AD所截构成 D．AB，CD被BC所截构成 B 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 12．如图，直线AB，CD与直线EF，GH分别相交，图中的同旁内角共有( )   A．4对 B．8对 C．12对 D．16对 D 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 13．如图，①∠1与∠4是内错角；②∠1与∠2是同位角；③∠2与∠4是内错角；④∠4与∠5是同旁内角；⑤∠3与∠4是同位角；⑥∠2与∠5是内错角．其中正确的共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 14．如图，用数字表示的角中，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则ab－c＝ ．  9 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 15．如图所示，指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的，并说出它们是什么角．  (1)∠1和∠2； (2)∠2和∠6； (3)∠6和∠A； (4)∠3和∠5； (5)∠3和∠4； (6)∠4和∠7． 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 解：(1)∠1和∠2是直线ED和直线BD被直线AB所截得到的同位角．(2)∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线BD所截得到的内错角．(3)∠6和∠A是直线AB和直线BD被直线AC所截得到的同位角．(4)∠3和∠5是直线ED和直线CD被直线EC所截得到的同旁内角．(5)∠3和∠4是直线ED和直线BC被直线EC所截得到的内错角．(6)∠4和∠7是直线BE和直线BC被直线EC所截得到的同旁内角． 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 16．如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，∠COM＝120°，∠EMB＝∠COF． (1)求∠FOG的度数； 解：因为∠COM＝120°，所以∠DOF＝120°．因为OG平分∠DOF，所以∠FOG＝60°． 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 (2)写出一个与∠FOG互为同位角的角； 解：与∠FO G互为同位角的角是∠BMF． (3)求∠AMO的度数．  解：因为∠COM＝120°，所以∠COF＝60°．因为∠EMB＝∠COF，所以∠EMB＝30°，所以∠AMO＝30°． 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 17．如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3的其中两种不同路径如下： 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 路径1：∠1 ∠9 ∠3； 路径2：∠1 ∠12 ∠6 ∠10 ∠3． 试一试： (1)写出从起始位置∠1跳到终点位置∠8的一种路径； 解：路径：∠1 ∠12 ∠8． 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 (2)从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置上？ 解：从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点位置∠8．其路径为∠1 ∠10 ∠5 ∠11 ∠8． (答案不唯一) 返回目录 第1课时　平行线、同位角、内错角及同旁内角 $ 本章总结提升 思维导图 01 整合训练 02 第10章　相交线、平行线与平移 返回目录 本章总结提升 、 返回目录 本章总结提升 、 返回目录 本章总结提升 热点一　相交线 1．如图，下列说法不正确的是( ) A．∠3和∠4是同位角 B．∠1和∠3是对顶角 C．∠4＋∠2＝180° D．∠1和∠4是内错角 C 返回目录 本章总结提升 3．如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数为( ) A．70° B．90° C．110° D．130° 2．如果∠α＝60°，那么∠α的余角的度数是( ) A．30° B．60° C．90° D．120° C A 返回目录 本章总结提升 4．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° A 返回目录 本章总结提升 5．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝35°，那么∠2＝ °．  55 返回目录 本章总结提升 6．噪音对环境的影响与距离有关，与噪音来源距离越近噪音越大．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由点A向点B行驶，M是位于AB一侧的某所学校．通过画图完成下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校M受噪音影响最严重？ 解：如图，根据“垂线段最短”，过点M作线段AB的垂线，垂足为P，所以当汽车行驶到P点时，学校M受噪音影响最严重． 返回目录 本章总结提升 (2)在什么范围内，学校M受噪音影响越来越大？在什么范围内，学校M受噪音影响越来越小？  解：如图，由(1)可知，汽车行驶在AP段时，学校M受噪音影响越来越大；汽车行驶在PB段时，学校M受噪音影响越来越小． 返回目录 本章总结提升 7．如图，直线AB与CD相交于点E，∠BEC＝45°， 射线EG在∠AEC内，如图1． (1)若∠CEG比∠AEG小25°，求∠BEG的大小； 图1　 解：因为∠CEG＝∠AEG－25°，所以∠AEG＝180°－∠BEC－∠CEG＝180°－45°－(∠AEG－25°)＝160°－∠AEG，所以∠AEG＝80°，所以∠BEG＝180°－∠AEG＝180°－80°＝100°． 返回目录 本章总结提升 (2)若射线EF平分∠AED，∠FEG＝m°(m＞90)，如图2，求∠AEG－∠CEG的大小(用含m的代数式表示)． 　图2 解：因为EF平分∠AED，所以∠AEF＝∠DEF． 设∠AEF＝∠DEF＝α°，所以∠AEG＝∠FEG－∠AEF＝(m－α)°，∠CEG＝180°－∠GEF－∠DEF＝(180－m－α)°，所以∠AEG－∠CEG＝(m－α)°－(180－m－α)°＝(2m－180)°． 返回目录 本章总结提升 热点二　平行线的判定与性质 8．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，且交CD于D点，∠CDE＝150°，则∠C为( ) A．120° B．150° C．135° D．110° A 返回目录 本章总结提升 9．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是( ) A．40° B．60° C．70° D．80° C 返回目录 本章总结提升 10．如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝ 95°，则∠3＝( ) A．120° B．130° C．140° D．150° D 返回目录 本章总结提升 A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 11．某同学的作业如图所示，其中※处填的依据是( ) C 直线l1，l2，l3，l4的位置如图所示．若∠1＝∠2，试说明：∠3＝∠4． 请完成下面的说明过程． 解：已知∠1＝∠2， 根据(内错角相等，两直线平行)，得l1∥l2． 再根据(　※　)，得∠3＝∠4． 返回目录 本章总结提升 12．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，过点F作FG⊥EH于点G，且FE平分∠AFG，∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D＋∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 B 返回目录 本章总结提升 13．如图，直线a∥b，点A，B在直线a上(点A在点B左侧)，点C，D在直线b上(点C在点D左侧)，AD和BC相交于点E． (1)试说明：∠BED＝∠BAD＋∠BCD； 图1 解：过点E作EG∥AB，如图1． 因为AB∥CD，所以EG∥AB∥CD，所以∠BAD＝∠AEG，∠BCD＝∠CEG，所以∠BED＝∠AEC＝∠AEG＋∠CEG＝∠BAD＋∠BCD． 返回目录 本章总结提升 (2)分别作∠BAD和∠BCD的平分线相交于点F． ①结合题意，补全图形； ②用等式表示∠AFC和∠BED的数量关系，并说明理由． 解：①补全图形，如图2所示． 图2 返回目录 本章总结提升 ②2∠AFC＝∠BED．理由：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图2．由(1)可知∠BED＝∠AEC＝∠BAD＋∠BCD，同理可得∠AFC＝∠BAF＋∠DCF．因为AF，CF分别平分∠BAD和∠BCD，所以∠BAD＝2∠BAF，∠BCD＝2∠DCF，所以∠BED＝∠AEC＝∠BAD＋∠BCD＝2∠BAF＋2∠DCF＝2(∠BAF＋∠DCF)＝2∠AFC，所以2∠AFC＝∠BED． 返回目录 本章总结提升 热点三　平移 14．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若三角形ABE平移到三角形DCF，a＝4，h＝3，则三角形ABE的平移距离为( ) A．3 B．4 C．5 D．12 B 返回目录 本章总结提升 15．如图，横、纵相邻两点间的距离均为1个单位． (1)画出图形ABCD先向右平移6个单位，再向上平移2个单位后的图形A'B'C'D'； 解：如图所示． 返回目录 本章总结提升 (2)已知(1)中图形ABCD中的点B，C对应图形A'B'C'D'中的点B'，C'，连接BB'，CC'．观察图形，BB'与CC'有什么位置关系？有什么数量关系？  解：如图，BB'∥CC'，BB'＝CC'． 返回目录 本章总结提升 16．如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)判断两条路线的长短； 解：根据平移的性质可知粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B的长相等． 返回目录 本章总结提升 (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为起步价为7元，3 km以后每千米1.8元(不足1 km按1 km算)，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程s(s＞3)km之间的关系．  解：根据题意得，m＝7＋1.8(s－3)＝(1.8s＋1.6)． 返回目录 本章总结提升 $ 第2课时　平行线的判定 基础过关 01 能力提升 02 10.2　平行线的判定 核心素养 03 返回目录 第2课时　平行线的判定 知识点1　同位角相等，两直线平行 1．如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列能判定AB∥CD的是( ) A．∠2＝35° B．∠2＝45° C．∠2＝55° D．∠2＝125° C 返回目录 第2课时　平行线的判定 2．如图，由∠1＝∠2，能得到的是( ) A．AB∥CD B．CD∥EF C．AB∥EF D．BC∥DF B 返回目录 第2课时　平行线的判定 3．如图，已知∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，请填写说明DE∥BF的理由的依据． 解：因为DE平分∠COA，BF平分∠CBA(已知)， 所以∠1＝∠CDA，∠3＝∠CBA( )．  因为∠CDA＝∠CBA(已知)， 所以∠1＝∠3( )．  因为∠1＝∠2( )，  所以∠2＝∠3( )，  所以DE∥BF( )．  同位角相等，两直线平行 等量代换 已知 等量代换 角平分线的定义 返回目录 第2课时　平行线的判定 知识点2　内错角相等，两直线平行 4．如图，∠5＝∠6，则可得出( ) A．AD//BC B．AB//DC C．AD//BC D．都不对 B 返回目录 第2课时　平行线的判定 5．如图，下列条件中能判定l1∥l2的是( ) A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠5 C．∠3＝∠5 D．∠1＝∠2 B 返回目录 第2课时　平行线的判定 6．如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有 __ ．  GP∥HQ AB∥CD， 返回目录 第2课时　平行线的判定 7．如图，∠FAB＝46°，CE⊥CD，当∠FCE＝ °时，CD∥AB．  136 返回目录 第2课时　平行线的判定 知识点3　同旁内角互补，两直线平行 8．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( ) A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180° C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3 D 返回目录 第2课时　平行线的判定 9．如图，直线a，b被直线c所截，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°．其中能判断a∥b的是( ) A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ D 返回目录 第2课时　平行线的判定 10．同一平面内的四条直线a，b，c，d满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是( ) A．a⊥d B．b⊥d C．a⊥c D．a∥d A 返回目录 第2课时　平行线的判定 11．如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是( ) A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3且∠2＝∠4 C．∠1＋∠3＝90°且∠2＋∠4＝90° D．∠1＋∠2＝90° D 返回目录 第2课时　平行线的判定 12．将一副三角板按如图所示方式放置． 结论Ⅰ：若∠1＝45°，则有BC∥AE； 结论Ⅱ：若∠1＝30°，则有DE∥AB． 下列判断正确的是( ) A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对 D 返回目录 第2课时　平行线的判定 13．学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．她先按照图2动手操作，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手操作，得到过点P的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与折线a平行，她的根据是__________________________________ ．  一条直线，那么这两条直线平行 在同一平面内，如果两条直线垂直于同 返回目录 第2课时　平行线的判定 解：∠BCD＋∠ACE＝180°．理由：因为∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，所以∠BCD＋∠ACE＝90°＋∠ACD＋∠ACE＝90°＋90°＝180°． (2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由； 14．如图，将一副三角板的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°． (1)若∠BCD＝110°，则∠ACE＝ ；  70° 返回目录 第2课时　平行线的判定 (3)若按住三角板ABC不动，将三角板DCE绕顶点C转动一周，试探究当∠BCD等于多少度时，CE∥AB，请画出图，并说明理由． 图1　　　图2 解：分两种情况：①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．理由：因为∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°．所以∠ACE＝30°，所以∠A＝∠ACE＝30°，所以AB∥CE． ②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．理由：因为∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，所以∠BCE＝60°，所以∠BCE＝∠B＝60°，所以AB∥CE． 综上所述，当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB． 返回目录 第2课时　平行线的判定 15．如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C，即∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF． (1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数； 解：因为∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE，∠PAD＋∠PAB＋∠BAE＝180°，所以∠PAB＝180°－32°－32°＝116°． 返回目录 第2课时　平行线的判定 (2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．  解：BC∥PA．理由：因为∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE，所以∠PAB＝180°－2∠BAE．同理可得∠ABC＝180°－2∠ABE．因为∠BAE＋∠ABE＝90°，所以∠PAB＋∠ABC＝360°－2(∠BAE＋∠ABE)＝180°，所以BC∥PA． 返回目录 第2课时　平行线的判定 $ 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 类型一　过“拐点”作平行线 1．如图，若a∥b，则图中∠1的度数是 ．  72° 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 2．一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，那么∠ABC＋∠BCD＝ ． 270° 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 3．如图，已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP，∠PAB＝45°，∠PCD＝60°，求∠APC的度数． 解：如图，过点P向右作PE∥AB．因为AB∥CD，所以AB∥CD∥PE，所以∠EPA＋∠A＝180°，∠EPC＋∠C＝180°．因为∠PAB＝45°，∠PCD＝60°，所以∠EPA＝135°，∠EPC＝120°，所以∠APC＝∠EPA－∠EPC＝15°． 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 4．如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面．这一篮球架可以通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝35°，且点H，D，B在同一直线上时，求∠H的大小． 解：如图，过点D向左作DI∥EF．因为∠F＝150°，所以∠FDI＝180°－∠F＝30°．又因为∠FDH＝∠CDB＝35°，所以∠IDH＝∠FDI＋∠FDH＝30°＋35°＝65°．由题意，EF∥GH∥AB，所以DI∥GH，所以∠H＝180°－∠IDH＝180°－65°＝115°． 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 5．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点， 已知∠2＝28°，∠BPC＝58°．求∠1的度数． 解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图1所示． 因为PN∥AB，AB∥CD，所以PN∥CD，所以∠4＝∠2＝28°．因为PN∥AB，所以∠3＝∠1．因为∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，所以∠1＝30°． 图1 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 方法二：过点P作射线PM∥AB，如图2所示． 因为PM∥AB，AB∥CD，所以PM∥CD，所以∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°，因为∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，所以∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°．因为AB∥PM，所以∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°． 图2 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 6．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD． (1)如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； 解：如图1，过点P作EF∥AB．因为∠A＝50°，所以∠APE＝∠A＝50°．因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠CDP＋∠EPD＝180°．因为∠D＝150°，所以∠EPD＝180°－150°＝30°，所以∠APD＝∠APE＋∠EPD＝50°＋30°＝80°． 图1 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 (2)如图2，判断∠PAB，∠CDP，∠APD之间的数量关系，并说明理由； 解：∠CDP＋∠PAB－∠APD＝180°．理由：如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，所以∠CDP＝∠DPF，∠FPA＋∠PAB＝180°．因为∠FPA＝∠DPE－∠APD， 所以∠DPF－∠APD＋∠PAB＝180°， 所以∠CDP＋∠PAB－∠APD＝180°． 图2 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 (3)如图3，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN＋∠PAB＝∠APD， 求∠AND的度数．(提示：三角形内角和为180°) 解：如图3，设PD交AN于点O．因为AP⊥PD，所以∠APO＝90°．因为∠PAN＋∠PAB＝∠APD，所以∠PAN＋∠PAB＝90°．因为∠POA＋∠PAN＝90°，所以∠POA＝∠PAB．因为∠POA＝∠NOD，所以∠NOD＝∠PAB．因为DN平分∠PDC，所以∠ODN＝∠PDC，所以∠AND＝180°－∠NOD－∠ODN＝180°－(∠PAB＋∠PDC)．由(2)得∠CDP＋∠PAB－∠APD＝180°，所以∠CDP＋∠PAB＝180°＋∠APD，所以∠AND＝180°－(∠PAB＋∠PDC)＝180°－(180°＋∠APD)＝180°－×(180°＋90°)＝45°． 图3 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 类型二　加截线或延长线段 7．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝( ) A．140°　　B．130°　　C．120°　　D．110° B 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 8．如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若x＝50°，y＝30°，则z的度数为( ) A．20° B．30° C．40° D．50° A 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 9．如图所示，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，试判断AB与GF的位置关系，并说明理由． 解：AB∥GF．理由：如图，作CK∥FG，延长GF，CD交于点H．因为CK∥FG，所以∠H＋∠2＋∠BCK＝180°．因为CD∥EF，所以∠H＝∠1．又因为∠1＋∠2＝∠ABC，所以∠ABC＋∠BCK＝180°，所以AB∥CK．因为FG∥CK，所以AB∥GF． 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 10．如图所示，∠BAP与∠APD互补，∠BAE＝∠CPF．试说明：∠E＝∠F． 解：延长AE交CD于点G，如图．  因为∠BAP与∠APD互补，所以∠BAP＋∠APD＝180°，所以AB∥CD，所以∠BAE＝∠AGC．因为∠BAE＝∠CPF，所以∠AGC＝∠CPF，所以FP∥AG，所以∠AEF＝∠F． 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 11．如图，若MN⊥AB，∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，试判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由． 解：MN∥EF．理由：过点B作BG∥MN，如图所示．因为AB⊥MN，所以BG⊥AB，所以∠ABG＝90°．因为∠ABC＝130°，所以∠GBC＝40°．因为∠FCB＝40°，所以∠GBC＝∠FCB，所以BG∥EF．又因为BG∥MN，所以MN∥EF． 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 12．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，求∠E的度数(用加截线法解决)． 解：如图，过点E向下作EF∥AB，所以AB∥CD∥EF．因为∠BAE＝82°，所以∠AEF＝98°．又因为∠DCE＝120°，所以∠CEF＝60°，所以∠AEC＝∠AEF－∠CEF＝98°－60°＝38°． 专题训练(八)　平行线中常见作辅助线的方法　 $ 第1课时　对顶角的性质 基础过关 01 能力提升 02 10.1　相交线 返回目录 第1课时　对顶角的性质 A 　 B 　 C 　 D 知识点1　对顶角的概念 1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形是( ) C 返回目录 第1课时　对顶角的性质 2．如图，下列各组角中，互为对顶角的是( ) A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5 A 返回目录 第1课时　对顶角的性质 3．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOD的对顶角是 ．  ∠BOC 返回目录 第1课时　对顶角的性质 知识点2　对顶角的性质 4．如图是一把剪刀，若∠AOB＋∠COD＝60°，则∠AOC的度数为( ) A．120° B．130° C．140° D．150° D 返回目录 第1课时　对顶角的性质 5．如图，三条直线交于同一点，∠1∶∠2∶∠3＝2∶3∶1，则∠4＝ ．  60° 返回目录 第1课时　对顶角的性质 6．如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE平分∠BOD，求∠EOD的角度． 解：因为直线AB，CD相交于点O，所以∠AOC＝∠BOD．因为∠AOC＝70°，所以∠BOD＝70°．因为OE平分∠BOD，所以∠EOD＝35°． 返回目录 第1课时　对顶角的性质 7．如图，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列选项中，正确的一组是( )   A．∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60° B．∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30° C．∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60° D．∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30° D 返回目录 第1课时　对顶角的性质 8．已知∠AOB＋∠BOC＝180°，且∠BOC＞∠AOB．OD平分∠AOB，射线OE使∠BOE＝∠EOC，当∠DOE＝72°时，∠EOC的度数为( ) A．72° B．180° C．72°或108° D．以上都不对 A 返回目录 第1课时　对顶角的性质 9．如图，已知直线a，b，c两两相交，∠3＝∠1，∠2＝50°，则∠4的度数是多少？ 解：因为∠2＝50°，所以∠1＝∠2＝50°，所以∠3＝∠1＝75°，所以∠4＝∠3＝75°． 返回目录 第1课时　对顶角的性质 $