计算题专项突破之二元一次方程组2025-2026学年人教版七年级数学下册（六板块）

计算题专项突破之二元一次方程组2025-2026学年 人教版七年级下册（六板块） 板块一：代入消元法解二元一次方程组 1.用代入法解下列方程组 x-y=4, (x-y=2, (1)13x+y=16: (2)13x+5y=14. 2.用代入法解下列方程组： ∫5x+4y=-1.5 |4x-3y-10=0 (1){2x-3y=4 (2)13x-2y=0 3,用代入法解下列方程组： x-y=4 (3x-y=2 (1) {2x+y=5:(2)19x+8y=17: 4.用代入法解下列方程组： 3x+2y=11,① 4x-3y=36,① (1)1 x=y+3,② (2) (y+5x=7,② 板块二：加减消元法解二元一次方程组 1.用加减法解下列方程组： |4x-y=14 [x-2y=7 (1)13x+y=7 (2) (x-3y=-8 2.用加减法解下列方程组： （4x-3y=11, x-y=3, (1)12x+y=13; (2)12y+3(x-y)=11 3.用加减法解下列方程组： |3μ+2t=7 (2a+b=3 (1) 6μ-2t=11 (2){3a+b=4: 4.用加减法解下列方程组： (3y-4x=0 (2x+y=3 (1)14x+y=8: (2) x-y=-1· 板块三：用指定方法解二元一次方程组 1.解下列方程组： a=2b+3 3m+b=11 (1) a=3b+20 (代入消元法)(2) -4m-b=11 (加减消元法) 2.解下列方程组： |3x-y=7 翠+号=10 (1){5x+2y=8(用代入法)为 （2) 号-号=5 (用加减 法) 3用指定的方法解下列方程组： (x-3y=4 5x+2y=4 (1){2x+y=13（代入法)： (2) (x+4y=-6(加减法). 4解下列方程组： 2x-y=4 @四6+241 代入元g号 (加减消元) 5-x=3(y-3 板块四：用合适方法解二元一次方程组 1.用适当的方法解下列方程组： yg2 [2x-3y=3 2.解下列方程组： y=2x-3, x_y a3x+2y=82) 34 4x+5y=32 3解方程组： r本 、2x+4y=5 +4x=1s2=1-y 4解下列方程组： x=y-3 y=2x-3 a7x+5y=9(23x+2y=8 5.解方程组： [x=2y [3x+2y=4 a3x-2y=8215-y+1-1 23 板块五：特殊法解二元一次方程组 3x-2y=8……① 1.解方程组 33x-2y)+4y=20….@时，可把①代入②得：3×8+4=20，求得 ∫x=2 y=-1,从而进一步求得y=一1这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法 2x-3y=12 解下列方程组132x-3y)+5y=26· 2.先阅读，然后解方程组. x-y-1=0① 解方程组气4x一)-y=5②时，可由0得x=1.③，然后再将③代入②得 x=0 4X1-y=5,求得y=-1,从而进一步求得y=-1这种方法被称为“整体代入 2x-3y+5=0 法”，请用这样的方法解下列方程组： y-4+*3=2y+1· 7 3.阅读下列材料： 2x+3y+2x-3y=7 4 3 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 2x+3y+2x-3y=8 3 2 ,小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错，如果把方 程组中的(2x+3y)看成一个整体，把(2x-3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题以 下是他的解题过程： 令m=2x+3y,n=2x-3y. [m+”=7 原方程组化为 43 m+”=8 32 m=60 解得 n=-24' 把m60 n=-24 代入m=2x+3y,n=2x-3y, 2x+3y=60 得 2x-3y=-24' [x=9 解得 y=14 ∴原方程组的解为 x=9 y=14 请你参考小明同学的做法解方程组： 2(x+1)+3y-2)=1 x+y+x-y=-3 (1) (x+-20y-2=4(2 2 5 2(x+y)-3x+3y=26 2x+5y=3① 4阅读材料：小强同学在解方程组 4x+11y=52② 时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程2变形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5…(③，把方程①代入③得： x=4 2×3+y=5即y=-1,把y=-1代入方程①，得x=4,所以方程组的解为 y=-1 请你解决以下问题 3x+5y=16 (1)模仿小强同学的“整体代换"法解方程组 6x+11y=351 2x2-xy+3y2=24 (2)已知x,y满足方程组 6x2+4xy+9y2=51 ()求y的值； ()求出这个方程组的所有整数解 板块六：二元一次方程组含参问题 3x+2y=k 1.已知方程组{2x+3y=k+3的解满足+y=5,求k的值. 2x-y=2m+8 2.已知关于x,y的方程组 x+y=4m+1 (1)试用含m的式子表示方程组的解 (2)若方程组的解也是方程2x+y=-14的解，求的m值· ax+by=2 x=-2 3.小李、小张两位同学同时解方程组 小李解对了，得： mx-7y=-8' {=3,小张抄 x=-2 错了m得 s2 求原方程组中a的值， 2ax+y=5 7 4在解方程组 2x-13时，由于相心，甲看错了方程组中的a,得解为X2,乙看 y=-2 错了方程组中的b,得解为 x=3 1y=-7 (1)甲把☑错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正解 【答案】 计算题专项突破之二元一次方程组2025-2026学年 人教版七年级下册（六板块） 板块一：代入消元法解二元一次方程组 1.用代入法解下列方程组. |x+2y=4 (x-y=4 (1)1y=2x-3 (2)1 4x+2y=-2· x-y=4① 【答案】解：(1) 3x+y=16②' 由①得：x=y+4, 代入②得：3(y+4)+y=16, 解得y=1. 将y=1代入x=y叶4中得x=5, |x=5 故方程组的解为： y=1: 'x-y=4① (2) 3x+5y=14②' 由①得：y=x-2,代入②得：3x+5(x-2)=14 解得x=3. 将x=3代入y=x-2,得y=1. X=3 故方程组的解为： y=1· 2.用代入法解下列方程组： |5x+4y=-1.5 |4x-3y-10=0 (1) 2x-3y=4 (2)13x-2y=0 5x+4y=-1.5① 【答案】解：(1) (2x-3y=4② 由@得：x=要®。 把③代入①得： 15y20+4y=-1.5, 2 去分母得：15y+20+8y=-3, 移项合并得：23y=-23, 解得：y=-1, 把y=-1代入③得：x=克， ∫x= 则方程组的解为y=一1 (4x-3y-10=0①○ (2)方程组整理得： (x=号y② 把②代入①得： 号y-3y-10=0, 去分母得：8y-9y-30=0, 解得：y=-30, 把y=-30代入②得：x=-20, (x=-20 则方程组的解为y=-30· 3.用代入法解下列方程组： |x-y=4 (3x-y=2 (1)12x+y=5;(2)1 9x+8y=17; x-y=4① 【答案】解：(1) (2x+y=5②' 由①得：x=y+4③， 把③代入②得：2(y+4)+y=5, 解得：y=-1, 把y=-1代入③得：x=-1+4=3, ∫x=3 则方程组的解为y=一1： 3x-y=2① (2) 9x+8y=17②' 由①得：y=3x-2③， 把③代入②得：9x+8(3x-2)=17, 解得：33x=33, 解得：x=1, 把x=1代入③得：y=3-2=1, (x=1 则方程组的解为y=1： 4.用代入法解下列方程组： 3x+2y=11,① (4x-3y=36,① (1) x=y+3,② (2) y+5x=7,② 【答案】解：(1)将方程②代入方程①得， 3(y+3)+2y=11, 解得y=, 把y=看代入②得， x=号 x=号 “该方程组的解为y=号 (2)将方程②变形为y=-5x+7③， 把③代入①得， 4x-3（-5x+7)=36, 解得x=3, 将x=3代入③得， y=-5X3+7, 解得y=-8, ∫x=3 该方程组的解为y=一8： 板块二：加减消元法解二元一次方程组 1.用加减法解下列方程组： (4x-y=14 x-2y=7 (1) (3x+y=7 (2) x-3y=-8 4x-y=14① 【答案】解：(1)(3x+y=7② ①+②得：7x=21, 解得：x=3, 把x=3代入②得：y=-2, ∫x=3 则方程组的解为y=一2： x-2y=7① (2) x-3y=-8② ①-②得：y=15, 把y=15代入①得：x=74, (x=74 则方程组的解为y=15· 2.用加减法解下列方程组： (4x-3y=11, x-y=3, （1) 2x+y=13; (2) 2y+3x-y)=11 （4x-3y=11① 【答案】解：(1){2x+y=13② ①+②×3得：10x=50, 解得：x=5, 把x=5代入①得：20-3y=11, 解得：y=3, |x=5 所以方程组的解为y=3: x-y=3① (2)方程组整理得： 3x-y=11②' ②-①得：2x=8, 解得：x=4, 把x=4代入①得：4-y=3, 解得：y=1, X=4 所以方程组的解为y=1· 3.用加减法解下列方程组： |3u+2t=7 （2a+b=3 (1) 、6μ-2t=11 (2){3a+b=4 3μ+2t=7① 【答案】解：(1) 6u-2t=11② ①+②得：9μ=18，即μ=2， 把μ=2代入①得：6+21=7， 解得：1=方， |u=2 则方程组的解为t=支： (2a+b=3① (2) 3a+b=4② ②-①得：a=1, 把a=1代入①得：2+b=3, 解得：b=1, a=1 则方程组的解为b=1· 4.用加减法解下列方程组： 13y-4x=0 (2x+y=3 (1) (4x+y=8; (2) x-y=-1· (3y-4x=0① 【答案】解：(1) 4x+y=8② ①+②得：4y=8, 解得：y=2, 把y=2代入②得：4x+2=8, 解得：x=, ∫x= 则方程组的解为y=2 2x+y=3① (2)方程组整理得： (x-3y=-2②' ①X3+②得：7x=7, 解得：x=1, 把x=1代入①得：2+y=3, 解得：y=1, ∫x=1 则方程组的解为y=1· 板块三：用指定方法解二元一次方程组 1.解下列方程组： a=2b+3 3m+b=11 (1) (代入消元法)(2)4m-b=11 (加减消元法)】 a=3b+20 【答案】(4) a=-31. m=-22 6=-17216-77 【详解】(1)解： a=2b+3① a=3b+20②' 把1代入(2得：2b+3=3b+20, 解得：b=-17, 把b=-17代入①得：a=2×(-17)+3=-31, a=-31 ∴原方程组的解为 b=-171 3m+b=11① (2）解 -4m-b=11②' ①+②得：-m=22, 解得：m=-22, 把m=-22代入（①得：3×-22）+b=11, 解得：b=77, ∴原方程组的解为 m=-22 b=77 2.解下列方程组： (3x-y=7 婴+号=10 (1)15x+2y=8(用代入法)： (2) 罗-=5 (用加减 法). 3x-y=7① 【答案】解：(1) 5x+2y=8② 由①得：y=3x-7③， 把③代入②得：5x+2(3x-7)=8, 解得：x=2, 把x=2代入①得：6-y=7, 解得：y=-1, ∫x=2 则方程组的解为y=一1： 3m+4n=120① (2)方程组整理得： 4m-3n=60② ①×3+②×4得：25m=600, 解得：m=24, 把m=24代入①得：72+4n=120, 解得：n=12, 则方程组的解为∫m=24. (n=12 3用指定的方法解下列方程组： (x-3y=4 5x+2y=4 (1) .2x+y=13 (代入法)： （2) 、x+4y=-6 (加减法). x-3y=4①) 【答案】解：(1) 2x+y=13②’ 由①得x=3y+4③， 把③代入②，得 2(3y+4)+y=13, 解得y=马， ∴x=3×号+4=6， (x=6号 “方程组的解为y=身： 5x+2y=4① (2) x+4y=-6②' ①×2-②，得 9x=14, 解得x=号， 把x=号代入②，得 号+4=6， 解得y=一号. x=号 “方程组的解为y=-号· 4解下列方程组： 2x-y=4 (1) 3x+2y=-1 优入清号告- (加减消元) 5-x=3y-3 【答案】(1) x=1 x=-1 y=-22) y=5 【详解】(1)解 2x-y=4① 3x+2y=-1② 由①可得：y=2x-49, 把③代入②，可得：3x+2(2x-4)=-1, 解得：x=1, 把x=1代入③，可得：y=2×1-4=-2, x=1 ∴原方程组的解为 y=-2 (2)解： 5-x=3y-3) 整理可得 3x+2y=7① x+3y=14②' 把②×3得：3x+9y=429, 由③-①，可得：7y=35, 解得：y=5, 把y=5代入②，可得：x+3×5=14, 解得：x=-1, x=-1 ,原方程组的解为 y=5 板块四：用合适方法解二元一次方程组 1.用适当的方法解下列方程组： 2x-3y=3 (1) x-y=4 (2r+y=5' (2) x+2y=-2 【答案】() x=3 x=0 y=-12) y=-1 【详解】(1)解： x-y=4① 2x+y=5②' ①+②得：3x=9, 解得：x=3,代入①中， 解得：y=-1, ∴所以原方程组的解为 x=3 y=-1 (2) 2x-3y=3① x+2y=-2②' ②×2-①得：7y=-7, 解得：y=-1,代入②中， 解得：x=0, x=0 ,所以原方程组的解为 y=-1 2.解下列方程组： y=2x-3 x_y a3x+2y=82 34 4x+5y=32 x=2 x=3 【答案】(1) U=i②=4 【详解】(1)将y=2x-3代入3x+2y=8, 得3x+2(2x-3)=8, 解得x=2, 将x=2代入y=2x-3=1, x=2 ∴，方程组的解为 y=1 x=① (2) 34 4x+5y=32② 由①得4x-3y=0(3, ②-3得8y=32, 解得y=4, 将y=4代入③，得4x-12=0, 解得x=3, x=3 ∴方程组的解 y=4 3.解方程组： y=x 2x+4y=5 (1) y+4x=15 (2) x=1-y x=- 1 x=3 【答案】(1) 2 2 【详解】(1)解 y=x① y+4x=15②' 把1代入到2中得：5x=15, 解得：x=3, 把x=3代入到①得：y=3, X=3 :方程组的解为 y=3 (2) 2x+4y=5① x=1-y② 把2代入①得：21-y)+4y=5, 3 解得：y=2 31 x=1- 22 1 x=- 2 :原方程组的解为 3 y= 2 4解下列方程组： x=y-3 y=2x-3 (47x+5y=9' (2) 3x+2y=8 ( x=- 1 x=2 【答案】(1) 22 y22 y=1 【详解】(1)解 x=y-3① 7x+5y=9② 把1代入(2得：7(y-3)+5y=9, 解得：y=2 把y=代入①得：x=-3=- 2 2 1 所以原方程组的解是 x2 5 y-2 y=2x-3① (2）解： 3x+2y=8②' 把1代入2得：3.x+2(2x-3)=8, 解得：x=2, 把x=2代入①得：y=4-3=1, x=2 则方程组的解为 y=1 5解方程组： 3x+2y=4 6,-网告 x=2y x=4 【答案】(1) x=2 y=2 (2) y=-1 [x=2y① 【详解】(1)解： 3x-2y=8②' 把1代入2得：3×2y-2y=8, 解得y=2, 把y=2代入①得：x=4, x=4 则方程组的解为 y=2 3x+2y=4① (2）解： xy+1=1② 23 由2得，3x-2y=8(③， ①+3得，6x=12, 解得x=2, 把x=2代入①得，6+2y=4, 解得y=-1, x=2 则方程组的解为 y=-1 板块五：特殊法解二元一次方程组 3x-2y=8………① 1.解方程组 、3(3x-2y)+4y=20….( ②时，可把①代入②得：3×8+4=20，求得 (x=2 y=-1,从而进一步求得y=-1这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法 2x-3y=12 解下列方程组132x-3y)+5y=26· 2x-3y=12① 【答案】解： 3(2x-3y)+5y=26②' 把①代入②得：3×12+5y=26, 解得y=-2, 把y=-2代入①得：2x+6=12, 解得x=3, x=3 故原方程组的解是： y=-2· 2.先阅读，然后解方程组， (x-y-1=0① 解方程组气4x-)-y=5②时，可由①得x=1.③，然后再将③代入②得 ∫x=0 4×1y=5,求得y=-1,从而进一步求得y=-1这种方法被称为“整体代入 2x-3y+5=0 法”，请用这样的方法解下列方程组： 6y-4+3 7 =2y+1 2x-3y+5=0① 【答案】解： 6y4+3=2y+1② 由①得，2x-3y=-5,③， 把③代入②得，4=2+1， 解得，y=, 把y=代入③得，x=-号， x=一 则方程组的解为： (y=g 3.阅读下列材料： 2x+3y+2x-3y=7 4 3 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 2x+3y+2x-3y=8 3 2 ,小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错.如果把方 程组中的(2x+3y)看成一个整体，把(2x-3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题.以 下是他的解题过程： 令m=2x+3y,n=2x-3y m+”=7 原方程组化为 43 m+”=8 32 m=60 解得 n=-24' 把m60 n=-24 代入m=2x+3y,n=2x-3y, 「2x+3y=60 2x-3y=-24' 解得 x=9 y=14 原方程组的解为 x=9 y=14 请你参考小明同学的做法解方程组： 2(x+1)+3(y-2)=1, x+y+x-=-3 四x+1-2y-2=42 25 2(x+y)-3x+3y=26 俗割四 、x=-6 y=4 【详解】(1)令m=x+1,n=y-2, 影 2m+3n=1 方程组 m-2n=4' 解得 m=2 n=-1' 所以 x+1=2 y-2=-1' x=1 解得 y=1 x=1 ∴原方程组的解为 y=1 (2）令p=x+y,9=x-y 卫+9=-3 原方程组化为 25 2p-3q=26 解得 p=-2 9=-10 把”0代入p=x+少9=x 得 x+y=-2 x-y=-10 x=-6 解得 y=4 4阅读材料：小强同学在解方程组 4r+11y=522时，采用了一种整体代换解法： 2x+5y=3① 解：将方程2变形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③)，把方程①代入③得： x=4 2×3+y=5即y=-1,把y=-1代入方程①，得x=4,所以方程组的解为 y=-1 请你解决以下问题 3x+5y=16 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组 6x+11y=35 2x2-xy+3y2=24 (2)已知x,y满足方程组 6x2+4xy+9y2=51 (i)）求y的值： ()求出这个方程组的所有整数解. 〔1 X= 【答案】(1)方程组的解为3 y-3 X=-3 x=3 (2)()xy=-3;(i)原方程组的所有整数解是 y=- 【详解】(1) 3x+5y=16① 6x+11y=35②' 将方程2变形：6x+10y+y=35, 即23x+5y)+y=35(③， 把方程①代入3得：2×16+y=35, 解得y=3, 把y=3代入方程①，得x= 1 1 x= 所以方程组的解为 3 y=3 2x2-xy+3y2=24① (2）()原方程组化为 3(2x2-y+3y2）+7xy=51② 将1代入方程2得：72+7xy=51, xy=-3 (i)由(i)得xy=-3, .x与y是整数， 或3成x3 或或=或- 由(i)可求得2x2+3y2=21, y=-1 符合题意， x=-3 x=3 故原方程组的所有整数解是 y=1 或 y=-1 板块六：二元一次方程组含参问题 3x+2y=k 1.已知方程组{2x+3y=k+3的解满足xy=5,求k的值. 【答案】解：①+②得：5x+5y=2k+3, x+y=梦， 又，x+y=5, :=5 解得k=11. 2x-y=2m+8 2.已知关于x,y的方程组 x+y=4m+1 (1)试用含m的式子表示方程组的解 (2)若方程组的解也是方程2x+y=-14的解，求的m值. x=21m+3 【答案】() y=2m-2 (2）-3 (1) 2x-y=2m+8① x+y=4m+1② ①+②，得3x=6m+9,解得x=2m+3 将x=2m+3代入到2中，得y=2m-2, x=2m+3 即方程组的解为： y=2m-2' (2) x=2m+3 将 y=2m-2 代入到2x+y=-14中， 有2(2m+3)+(2m-2)=-14, 解得m=-3. 即m的值为-3. ax+by=2 x=-2 3小李、小张两位同学同时解方程组 mr-7y=-8' 小李解对了，得： =3,小张抄 x=-2 错了m,得 y=2 求原方程组中a的值. 【答案】-1 【详解】解：将 (y=3、 =2代入ax+=2得： x=-2「x=-2 -2a+3b=2① -2a+2b=2② ①-②得：5b=0, 解得b=0, 把b=0代入①得：-2a=2, 解得：a=-1 故答案为：-1. 2ax+y=5 7 X= 4.在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a,得解为 2x-by=13 2,乙看 y=-2 x=3 错了方程组中的b,得解为 y=-7 (1)甲把错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正解 【答案】(1)甲把a错看成了1，乙把b错看成了1； x=2 2y=-3 【详解】(1)，解方程组 [2ax+y=5 2x-by=13 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a,得解为 7 X= 2 y=-2 7 把x=2代入2+y=5,得 y=-2 7 2×2a-2=5. 解得：a=l, x=3 解方程组 2x-13时，由于粗心，乙看错了方程组中的b,得解为 2ax+y=5 y=-71 起3，代入2x-=18,得 2×3+7b=13, 解得：b=1, ∴.甲把a错看成了1，乙把b错看成了1 (2)由题意得： 7 将=2代入2x-=13,得： y=-2 2x7+26=13. 入2 解得：b=3, 7代入2a+y=5,得 将x=3 2×3a-7=5 解得：a=2, 2×2x+y=5 ,原方程组为： 2x-3y=13 即 4x+y=5① 2x-3y=13②' ①×3+②得：14x=28, 解得：x=2, 将x=2代入①得：4×2+y=5, 解得：y=-3, x=2 原方程组的解为 y=-3