§2 复数的四则运算（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

§2 复数的四则运算 题型一 复数加减法的代数运算 1.【答案】A 【解析】.故选：A 2.【答案】C 【解析】由，则，则复数的虚部为.故选：C. 3.【答案】D 【解析】对于A，由题图可知，， 则不成立，故A错误； 对于B，，则不成立，故B错误； 对于C，，不成立，故C错误； 对于D，，所以有，故D正确. 故选：D 4.【解】（1）由题意可得：原式． （2）由题意可得：. 题型二 复数加减法的几何意义 5.【答案】A 【解析】，故选：A． 6.【答案】B 【解析】因为，，则， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B. 7.【答案】C 【解析】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 8.【答案】B 【解析】向量对应的复数分别记作，， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量，， 由向量减法的坐标运算可得向量， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. 故选：B 题型三 复数代数形式的乘法除法运算 9.【答案】21 【解析】根据可得到， 故，，求得，所以. 10.【答案】1 【解析】由得：，即 ，故， 11.【答案】 【解析】． 12.【答案】/ 【解析】原式． 13.【解】（1）原式． （2）因为， 所以， 原式 题型四 复数的乘方 14.【答案】A 【解析】，则. 15.【答案】B 【解析】， 所以复数在复平面内对应的点为，故选：B 16.【答案】B 【解析】因为虚数单位的幂的周期为，满足： 所以：，因此， 代入原式计算可得；. 17.【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，，，， 所以， 所以复数，， 所以 即，其虚部为1 题型五 共轭复数问题 18.【答案】C 【解析】因为， 且，故选项C正确. 19.【答案】C 【解析】因为，所以， 所以 20.【答案】D 【解析】由可得：， 则，则. 21.【答案】A 【解析】复数在复平面内表示的点在直线上， 则，即得，则， 则复数的共轭复数. 22.【答案】A 【解析】根据复数模的性质， 所以，即，, 所以，又由共轭复数的性质得. 题型一 与复数模相关的综合问题 23.【答案】ABC 【解析】对于A，，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：ABC 24.【答案】 【解析】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足，则. 25.【答案】 【解析】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 26.【答案】 【解析】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 题型二 复数范围内方程求解问题 27.【答案】D 【解析】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 28.【答案】C 【解析】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 29.【答案】B 【解析】因为是关于x的方程的根，则另一根为 由韦达定理得，所以 故选B 30.【答案】 【解析】由题意可知，， 则，则， 故. 31.【答案】1 【解析】由题意知是关于x的二次方程的一个虚根， 故是关于x的二次方程的另一个虚根， 则，则， 故， 题型三 复数的综合问题 32.【答案】B 【解析】依题意，，则为实数，正整数为偶数， 所以正整数n的最小值为2，故选B 33.【答案】 【解析】设，，，由题意，得， 则由，得，即， 故复数在复平面内对应的点组成的集合为． 34.【答案】CD 【解析】对于A，设，因为，，，A错误； 对于B，若，，则，，，但不成立，故B错误； 对于C，设，则，故，当时是零，当时，是纯虚数，C正确， 对于D，设，， 因为， 所以， 又，所以D正确． 故选：CD 35.【解】（1），， ，， ，，即，解得，即． （2）， ， ，的虚部为0，，该方程无实数解， 不存在实数，使得． 1.【答案】D 【解析】因为，所以的虚部为． 2.【答案】B 【解析】因为.所以. 3.【答案】D 【解析】由题意知，，则，故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 4.【答案】C 【解析】因为， 所以，所以其共轭复数. 5.【答案】C 【解析】由，得，所以，所以在复平面内的对应点为. 6.【答案】B 【解析】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即，所以. 7.【答案】B 【解析】由题意和图形可得，复数，， 所以． 8.【答案】A 【解析】依题意，互为共轭复数，由，得， 因此，A正确. 9.【答案】C 【解析】设，则， 整理得，即， 所以，则或， 又时，判别式， 所以此方程无实数根，故舍去， 所以或， 则，在复平面上对应的点为，位于第二象限或第三象限. 10.【答案】C 【解析】由， 其中，当时，最大值为. 11.【答案】ACD 【解析】，，则A正确，B错误． ，，C正确． ，对应的点在第三象限，D正确． 12.【答案】AD 【解析】， 对于A，，故A正确； 对于B，的虚部为，故B错误； 对于C，将代入方程得，， 所以不是方程的一个根，故C错误； 对于D，，为纯虚数，故D正确． 13.【答案】AC 【解析】因为，所以， 所以，则的虚部为，故A正确； ，，即，故B错误； 复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确； 若与复数相等，则， 解得，故D错误. 14.【答案】ABD 【解析】对A：由图可知，，，因为， 所以，故A正确； 对B：因为，为纯虚数，所以B正确； 对CD：因为，所以在复平面内对应的点为， 其位于第四象限，故C不正确，D正确． 故选：ABD. 15.【答案】ABD 【解析】对于A，令，则， 于是，所以，故A正确； 对于B，令，则，因为， ，故B正确； 对于C，令，满足， 而，，故C错误； 对于D，令，则， 于是，则，故D正确. 16.【答案】一 【解析】因， 则复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 17.【答案】 【解析】， 由该复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 则其实部为，即有，解得. 18.【答案】 【解析】由已知， 所以 . 19.【答案】/ 【解析】根据欧拉公式， 令，得到， 代入，得到， 所以则的虚部为. 20.【答案】 【解析】设 则， 化简得：， ， 又所以 所以，所以的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ §2 复数的四则运算 题型一 复数加减法的代数运算 1．计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 2．若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 3．如图，设向量，，所对应的复数为，那么（   ） A． B． C． D． 4.计算： (1)； (2)． 题型二 复数加减法的几何意义 5．已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（   ） A． B．10 C． D．5 6．设复数，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知平面直角坐标系中O是原点，向量对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是（    ） A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 题型三 复数代数形式的乘法除法运算 9.已知a，b均为实数，，则___________. 10.实数满足，则_____． 11.计算：______． 12．设是虚数单位，__________． 13.计算：(1)； (2)． 题型四 复数的乘方 14．若，则（    ） A． B． C．37 D．65 15．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．复数（    ）． A． B． C． D． 17.若复数（其中为虚数单位），则的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 题型五 共轭复数问题 18．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 19．若复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 20．已知复数满足，其中为虚数单位，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 21．已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 22．已知复数满足，其中是的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 题型一 与复数模相关的综合问题 23.已知，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026·吉林·模拟预测）复数满足，则________. 25．（2026·高一·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 26．（2026·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则______． 题型二 复数范围内方程求解问题 27．已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 28．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 29．已知是关于x的方程的根，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 30．已知i是虚数单位，是关于x的方程（p，）的一个根，则_____． 31．设，i为虚数单位，若是关于x的二次方程的一个虚根，则=______ 题型三 复数的综合问题 32.若复数为实数，则正整数n的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 34．（25-26高一下·全国·单元测试）设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 35.设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 1．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 5．若复数满足，则在复平面内的对应点为（    ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 7．已知图中小正方形的边长为1，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（   ） A． B． C． D． 8．若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（    ） A．5 B． C．3 D． 9．若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 10．若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 11．已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B．的虚部为-2 C． D．在复平面内，对应的点在第三象限 12．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 13．已知复数满足，则下列命题是真命题的是（    ） A．的虚部为 B． C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．若与复数相等，则 14．如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（   ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．在复平面内对应的点位于第四象限 15．设是z的共轭复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 16．设复数满足，则在复平面内对应的点位于第_____象限. 17．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 18．，则________. 19．欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，若复数满足，则的虚部为__________. 20．已知复数满足：，且，则的最小值为________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ §2 复数的四则运算 题型一 复数加减法的代数运算 1．计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 2．若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由，则，则复数的虚部为.故选：C. 3．如图，设向量，，所对应的复数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由题图可知，， 则不成立，故A错误； 对于B，，则不成立，故B错误； 对于C，，不成立，故C错误； 对于D，，所以有，故D正确. 故选：D 4.计算： (1)； (2)． 【解】（1）由题意可得：原式． （2）由题意可得：. 题型二 复数加减法的几何意义 5．已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（   ） A． B．10 C． D．5 【答案】A 【解析】， 故选：A． 6．设复数，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，，则， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 7.设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 8．已知平面直角坐标系中O是原点，向量对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是（    ） A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 【答案】B 【解析】向量对应的复数分别记作，， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量，， 由向量减法的坐标运算可得向量， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. 故选：B 题型三 复数代数形式的乘法除法运算 9.已知a，b均为实数，，则___________. 【答案】21 【解析】根据可得到， 故，，求得，所以. 10.实数满足，则_____． 【答案】1 【解析】由得：，即 ，故， 11.计算：______． 【答案】 【解析】． 12．设是虚数单位，__________． 【答案】/ 【解析】原式． 13.计算：(1)； (2)． 【解】（1）原式． （2）因为， 所以， 原式 题型四 复数的乘方 14．若，则（    ） A． B． C．37 D．65 【答案】A 【解析】，则. 15．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】， 所以复数在复平面内对应的点为，故选：B 16．复数（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为虚数单位的幂的周期为，满足： 所以：，因此， 代入原式计算可得；. 17.若复数（其中为虚数单位），则的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，，，， 所以， 所以复数，， 所以 即，其虚部为1 题型五 共轭复数问题 18．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 且，故选项C正确. 19．若复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以 20．已知复数满足，其中为虚数单位，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得：， 则，则. 21．已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数在复平面内表示的点在直线上， 则，即得，则， 则复数的共轭复数. 22．已知复数满足，其中是的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据复数模的性质， 所以，即，, 所以，又由共轭复数的性质得. 题型一 与复数模相关的综合问题 23.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：ABC 24．（2026·吉林·模拟预测）复数满足，则________. 【答案】 【解析】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足，则. 25．（2026·高一·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【解析】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 26．（2026·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 题型二 复数范围内方程求解问题 27．已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 28．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 29．已知是关于x的方程的根，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为是关于x的方程的根，则另一根为 由韦达定理得，所以 故选B 30．已知i是虚数单位，是关于x的方程（p，）的一个根，则_____． 【答案】 【解析】由题意可知，， 则，则， 故. 31．设，i为虚数单位，若是关于x的二次方程的一个虚根，则=______ 【答案】1 【解析】由题意知是关于x的二次方程的一个虚根， 故是关于x的二次方程的另一个虚根， 则，则， 故， 题型三 复数的综合问题 32.若复数为实数，则正整数n的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】依题意，，则为实数，正整数为偶数， 所以正整数n的最小值为2，故选B 33．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 【答案】 【解析】设，，，由题意，得， 则由，得，即， 故复数在复平面内对应的点组成的集合为． 34．（25-26高一下·全国·单元测试）设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 【答案】CD 【解析】对于A，设，因为，，，A错误； 对于B，若，，则，，，但不成立，故B错误； 对于C，设，则，故，当时是零，当时，是纯虚数，C正确， 对于D，设，， 因为， 所以， 又，所以D正确． 故选：CD 35.设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 【解】（1），， ，， ，，即，解得，即． （2）， ， ，的虚部为0，，该方程无实数解， 不存在实数，使得． 1．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以的虚部为． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为.所以. 3．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题意知，，则，故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 4．已知复数，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，所以其共轭复数. 5．若复数满足，则在复平面内的对应点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以，所以在复平面内的对应点为. 6．已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即，所以. 7．已知图中小正方形的边长为1，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意和图形可得，复数，， 所以． 8．若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】依题意，互为共轭复数，由，得， 因此，A正确. 9．若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】C 【解析】设，则， 整理得，即， 所以，则或， 又时，判别式， 所以此方程无实数根，故舍去， 所以或， 则，在复平面上对应的点为，位于第二象限或第三象限. 10．若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 其中，当时，最大值为. 11．已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B．的虚部为-2 C． D．在复平面内，对应的点在第三象限 【答案】ACD 【解析】，，则A正确，B错误． ，，C正确． ，对应的点在第三象限，D正确． 12．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 【答案】AD 【解析】， 对于A，，故A正确； 对于B，的虚部为，故B错误； 对于C，将代入方程得，， 所以不是方程的一个根，故C错误； 对于D，，为纯虚数，故D正确． 13．已知复数满足，则下列命题是真命题的是（    ） A．的虚部为 B． C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．若与复数相等，则 【答案】AC 【解析】因为，所以， 所以，则的虚部为，故A正确； ，，即，故B错误； 复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确； 若与复数相等，则， 解得，故D错误. 14．如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（   ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】对A：由图可知，，，因为， 所以，故A正确； 对B：因为，为纯虚数，所以B正确； 对CD：因为，所以在复平面内对应的点为， 其位于第四象限，故C不正确，D正确． 故选：ABD. 15．设是z的共轭复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，令，则， 于是，所以，故A正确； 对于B，令，则，因为， ，故B正确； 对于C，令，满足， 而，，故C错误； 对于D，令，则， 于是，则，故D正确. 16．设复数满足，则在复平面内对应的点位于第_____象限. 【答案】一 【解析】因， 则复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 17．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 【答案】 【解析】， 由该复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 则其实部为，即有，解得. 18．，则________. 【答案】 【解析】由已知， 所以 . 19．欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，若复数满足，则的虚部为__________. 【答案】/ 【解析】根据欧拉公式， 令，得到， 代入，得到， 所以则的虚部为. 20．已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】设 则， 化简得：， ， 又所以 所以，所以的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $