7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（题型专练） 数学人教A版必修第二册

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （答案版） 题型一：复数乘、除运算的三角表示 1.C 2．D 3．B 4.D 题型二：三角表示下复数的乘方与开方 1.A 2．C 3.A 4.C 题型三：复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 1.C 2．BD 3. (1) (2) 4. (1) (2)①；②线段的最大值为3. 题型一：三角表示下复数的乘方与开方 1. BD 2．AD 3．3 4. 题型二：复数乘、除运算的三角表示、求复数的模 1.1 2．ABC 3．BCD 4. 1. 2． 3． 4.(1)(2) 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 题型一：复数乘、除运算的三角表示 1.（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 2.（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 3.（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、共轭复数的概念及计算、复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B 4.（24-25高一下·全国·课后作业）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状. 【详解】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 题型二：三角表示下复数的乘方与开方 1.（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 2.（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】由题意可得，然后由棣莫弗定理得，即可求解其虚部. 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 3.（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 4.（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 题型三：复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 1.（24-25高一下·全国·课后作业）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意，得， 由复数相等的定义，得 解得，． 故选：C 2.（多选题）（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 B．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 C．复数，的辐角的主值分别是，，则的辐角的主值是 D．复数，的辐角的主值分别是，，且，则的辐角的主值是 【答案】BD 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、三角表示下复数的几何意义、复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】辅角的主值的取值范围是，若，，即可判断；由，即可判断；因为，即可判断；，为辐角的主值，可判断. 【详解】设，，则， 若，，则的辐角的主值为，不正确； ，的辐角的主值为，正确； 设，， ，， ， 若，则的辐角的主值为，不正确； ， 所以的辐角的主值是，正确. 故选：. 3.（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】复数化为三角形式，按三角形式的乘除运算法则，即可求解. 【详解】（1）． （2）原式． 4.（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式（辐角取主值）． (2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数． ①当时，解关于x的方程； ②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)①；②线段的最大值为3. 【知识点】复数的向量表示、复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】（1）根据复数代数形式与三角形式的对应关系求解；（2）将等边三角形转化为绕顺时针方向旋转得到，利用复数的三角形式进行运算，然后得到点坐标，再求的最大值. 【详解】（1）由，且，，解得：， 所以的三角形式为：. （2）①当时，，整理得， 解得： ； ②设， 则当时， 因为存在实数，使得成立，所以， 因为，所以， 此时，符合题意， 所以点的轨迹方程为，即的轨迹是单位圆的一部分. 设，表示的复数为，表示的复数为， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值. 【点睛】新定义问题，要准确理解定义，并将所求问题转换为新定义内容去解决. 题型一：三角表示下复数的乘方与开方 1.（多选题）（24-25高三上·云南·月考）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项. 【详解】设，其中，则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误； 故选：BD. 2.（多选题）（23-24高三上·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 【答案】AD 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数的乘方、求复数的模 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则以及复数模的计算公式，逐项进行运算求解. 【详解】对A，由题意知，正确； 对B，由题意知，错误； 对C，由题意知，令，则，当时，错误； 对D，，，所以，正确. 故选：AD 3.（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为 . 【答案】3 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、由复数模求参数 【分析】设，，然后代入中化简可求出，再由结合为正整数可求得答案. 【详解】不妨设，， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得，解得， 因为，所以，或 ①当时，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， ②当，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， 综上可知. 故答案为：3 4.（2025高三·全国·专题练习）求的立方根． 【答案】． 【知识点】复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数的三角形式先表示，利用复数乘除法的三角表示即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 它的立方根是：． 时，这三个方根分别是：． 题型二：复数乘、除运算的三角表示、求复数的模 1.（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则 . 【答案】1 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、求复数的模 【分析】根据给定条件，利用复数乘法的三角表示求出，进而求出模. 【详解】复数， 所以. 故答案为：1 2.（多选题）（21-22高三上·广东东莞·期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【知识点】复数的向量表示、复数乘、除运算的三角表示、求复数的模 【分析】若 ，则， ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D. 【详解】对于A： 若 ，则，故， 所以A正确； 对于B： 若，则， 所以B正确； 对于C： 设 ， 则 ，故 ， 所以C正确； 对于D： 如下图所示，若 ，，则，，故 ， 所以D错误. 故选：ABC 3.（多选题）（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 【答案】BCD 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数乘、除运算的三角表示、复数的相等 【分析】对于B,C,D选项，，可以选设复数的代数形式或者三角形式，利用复数的运算法则和共轭复数的定义运算判断结果；对于A选项，可以考虑举反例说明其错误. 【详解】对于A项，当时，而故A项错误； 对于B项，设其中， 则，则； 而 ，故B项正确； 对于C项，设其中， ，则，而，故C项正确； 对于D项，设其中，,依题，不全为零， 则由可得，化简得 ，即 因不全为零，不妨设，则有，即, 故得，即，故D项正确. 故选：BCD. 4.（24-25高三上·吉林·期中）如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数乘、除运算的三角表示 【分析】设，先相继求出、、对应的复数，再求，由条件列方程求，由此可得结论； 【详解】设，设对应的复数为，对应的复数为，则， ， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以， 又，所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，解决对于此类问题的关键是对新定义的透彻理解，解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 1.（2024高一下·全国·专题练习）已知是虚数单位，复数满足，求. 【答案】 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、求复数的模 【分析】借助复数的三角表示的运算法则计算即可得. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 2.（2025高三·全国·专题练习）若，求的值． 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算、复数乘、除运算的三角表示、斜率公式的应用 【分析】法一表示出和，建立方程求出，最后得到，法二设出，再结合斜率的几何意义建立方程，求出，最后得到，法三作出合理的图形，利用几何关系求出即可. 【详解】法一：设记为①， 记为②， 则得， 解得， 代入①＋②得，． 法二：设，得， ，解得，. 法三：如图2所示，．过作与实轴平行的直线AB， 取，则．    则，从而． 在中，，， 为正三角形，， ． 3.（2025高三·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、复数乘、除运算的三角表示 【分析】结合两角和的余弦公式和正弦公式，根据复数的乘法运算计算求解即可. 【详解】． 4.（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 题型一：复数乘、除运算的三角表示 1.（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 2.（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3.（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 4.（24-25高一下·全国·课后作业）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 题型二：三角表示下复数的乘方与开方 1.（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 题型三：复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 1.（24-25高一下·全国·课后作业）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 2.（多选题）（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 B．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是 C．复数，的辐角的主值分别是，，则的辐角的主值是 D．复数，的辐角的主值分别是，，且，则的辐角的主值是 3.（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 4.（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式（辐角取主值）． (2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数． ①当时，解关于x的方程； ②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值． 题型一：三角表示下复数的乘方与开方 1.（多选题）（24-25高三上·云南·月考）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 2.（多选题）（23-24高三上·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 3.（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为 . 4.（2025高三·全国·专题练习）求的立方根． 题型二：复数乘、除运算的三角表示、求复数的模 1.（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则 . 2.（多选题）（21-22高三上·广东东莞·期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（多选题）（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 4.（24-25高三上·吉林·期中）如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 1.（2024高一下·全国·专题练习）已知是虚数单位，复数满足，求. 2.（2025高三·全国·专题练习）若，求的值． 3.（2025高三·全国·专题练习）计算：． 4.（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $